Bac matematică M4 pedagogic 2020, sesiunea specială varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați rația progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b1=2\displaystyle b_1=2 și b4=−2\displaystyle b_4=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al unei progresii geometrice cu rația q\displaystyle q: bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}. Pentru n=4\displaystyle n=4 obținem b4=b1⋅q3\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}.
    b4=b1⋅q3\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}
  2. Înlocuim b1=2\displaystyle b_1=2 și b4=−2\displaystyle b_4=-2 în relația obținută și ajungem la ecuația în q\displaystyle q.
    2q3=−2\displaystyle 2q^{3}=-2
  3. Împărțim ambii membri ai ecuației la 2\displaystyle 2 și obținem q3=−1\displaystyle q^{3}=-1.
    q3=−1\displaystyle q^{3}=-1
  4. Singura soluție reală a ecuației q3=−1\displaystyle q^{3}=-1 este q=−1\displaystyle q=-1, deoarece q3+1=(q+1)(q2−q+1)\displaystyle q^{3}+1=(q+1)(q^{2}-q+1), iar al doilea factor nu are rădăcini reale. Deci rația este −1\displaystyle -1.
    q=−1\displaystyle q=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−6x+3\displaystyle f(x)=x^2-6x+3. Arătați că f(0)=f(6)\displaystyle f(0)=f(6).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în formula funcției: f(0)=02−6⋅0+3\displaystyle f(0)=0^{2}-6\cdot 0+3.
    f(0)=02−6⋅0+3\displaystyle f(0)=0^{2}-6\cdot 0+3
  2. Primii doi termeni sunt nuli, deci f(0)=0−0+3=3\displaystyle f(0)=0-0+3=3.
    f(0)=3\displaystyle f(0)=3
  3. Înlocuim x=6\displaystyle x=6 în formula funcției: f(6)=62−6⋅6+3\displaystyle f(6)=6^{2}-6\cdot 6+3.
    f(6)=62−6⋅6+3\displaystyle f(6)=6^{2}-6\cdot 6+3
  4. Avem 62=36\displaystyle 6^{2}=36 și 6⋅6=36\displaystyle 6\cdot 6=36, deci f(6)=36−36+3=3\displaystyle f(6)=36-36+3=3.
    f(6)=36−36+3=3\displaystyle f(6)=36-36+3=3
  5. Cum f(0)=3\displaystyle f(0)=3 și f(6)=3\displaystyle f(6)=3, rezultă că f(0)=f(6)\displaystyle f(0)=f(6).
    f(0)=3=f(6), deci f(0)=f(6)\displaystyle f(0)=3=f(6)\text{, deci }f(0)=f(6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x−2)=1\displaystyle \log_3(x-2)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x−2>0\displaystyle x-2>0, adică x>2\displaystyle x>2.
    x>2\displaystyle x>2
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡3(x−2)=1\displaystyle \log_3(x-2)=1 înseamnă x−2=31\displaystyle x-2=3^{1}, adică x−2=3\displaystyle x-2=3.
    x−2=3\displaystyle x-2=3
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri și obținem x=3+2=5\displaystyle x=3+2=5. Verificăm condiția de existență: 5>2\displaystyle 5>2, deci soluția convine.
    x=5, care convine\displaystyle x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,7,8,9\}, acesta să fie mai mic sau egal cu media aritmetică a elementelor mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul elementelor mulțimii A\displaystyle A, adică 6\displaystyle 6, pentru că putem alege oricare dintre cele șase numere.
    nr. cazuri posibile=6\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=6
  2. Calculăm suma elementelor mulțimii A\displaystyle A: 1+2+3+7+8+9\displaystyle 1+2+3+7+8+9.
    1+2+3+7+8+9=30\displaystyle 1+2+3+7+8+9=30
  3. Media aritmetică este suma elementelor împărțită la numărul lor: ma=306\displaystyle m_a=\dfrac{30}{6}.
    ma=1+2+3+7+8+96=5\displaystyle m_a=\frac{1+2+3+7+8+9}{6}=5
  4. Căutăm elementele mulțimii A\displaystyle A care sunt mai mici sau egale cu 5\displaystyle 5. Acestea sunt 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, deci sunt 3\displaystyle 3 cazuri favorabile. Numerele 7\displaystyle 7, 8\displaystyle 8 și 9\displaystyle 9 sunt mai mari decât 5\displaystyle 5.
    {1,2,3}, deci sunt 3 cazuri \displaystyle \{1,2,3\}\text{, deci sunt 3 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  5. Aplicăm formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=36=12\displaystyle p=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=36=12\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreptele d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2 de ecuații y=3x−1\displaystyle y=3x-1, respectiv y=ax+5\displaystyle y=ax+5, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreptele d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2 sunt perpendiculare.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuațiile sunt de forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, deci panta este coeficientul lui x\displaystyle x. Pentru d1:y=3x−1\displaystyle d_1: y=3x-1 avem md1=3\displaystyle m_{d_1}=3, iar pentru d2:y=ax+5\displaystyle d_2: y=ax+5 avem md2=a\displaystyle m_{d_2}=a.
    md1=3\displaystyle m_{d_1}=3, md2=a\displaystyle \ m_{d_2}=a
  2. Dreptele d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2 sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este −1\displaystyle -1, adică md1⋅md2=−1\displaystyle m_{d_1}\cdot m_{d_2}=-1. Înlocuind pantele, obținem 3⋅a=−1\displaystyle 3\cdot a=-1.
    3a=−1\displaystyle 3a=-1
  3. Împărțim ecuația 3a=−1\displaystyle 3a=-1 la 3\displaystyle 3 și obținem a=−13\displaystyle a=-\dfrac{1}{3}.
    a=−13\displaystyle a=-\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A și punctul D∈AC\displaystyle D\in AC, piciorul bisectoarei unghiului B\displaystyle B. Știind că BD=CD\displaystyle BD=CD, arătați că m(∡ACB)=30∘\displaystyle m(\measuredangle ACB)=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul BDC\displaystyle BDC are BD=CD\displaystyle BD=CD, deci este isoscel cu baza BC\displaystyle BC. Unghiurile de la bază sunt congruente: ∡DBC=∡DCB\displaystyle \measuredangle DBC=\measuredangle DCB, iar cum D∈AC\displaystyle D\in AC, avem ∡DCB=∡ACB\displaystyle \measuredangle DCB=\measuredangle ACB.
    m(∡DBC)=m(∡ACB)\displaystyle m(\measuredangle DBC)=m(\measuredangle ACB)
  2. BD\displaystyle BD este bisectoarea unghiului B\displaystyle B, deci m(∡DBC)=12m(∡ABC)\displaystyle m(\measuredangle DBC)=\dfrac{1}{2}m(\measuredangle ABC). Din pasul anterior rezultă că ∡ACB\displaystyle \measuredangle ACB este jumătate din ∡ABC\displaystyle \measuredangle ABC.
    m(∡ACB)=m(∡DBC)=12m(∡ABC)\displaystyle m(\measuredangle ACB)=m(\measuredangle DBC)=\frac{1}{2}m(\measuredangle ABC)
  3. Notăm m(∡ACB)=x\displaystyle m(\measuredangle ACB)=x. Atunci m(∡ABC)=2x\displaystyle m(\measuredangle ABC)=2x. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt complementare.
    2x+x=90∘\displaystyle 2x+x=90^\circ
  4. Din 3x=90∘\displaystyle 3x=90^\circ obținem x=30∘\displaystyle x=30^\circ, adică unghiul ACB\displaystyle ACB are măsura de 30∘\displaystyle 30^\circ.
    m(∡ABC)+m(∡ACB)=90∘, deci m(∡ACB)=30∘\displaystyle m(\measuredangle ABC)+m(\measuredangle ACB)=90^\circ\text{, deci }m(\measuredangle ACB)=30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, 4∗0=9\displaystyle 4*0=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție, x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5, și o folosim pentru x=4\displaystyle x=4 și y=0\displaystyle y=0, adică înlocuim x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 și y\displaystyle y cu 0\displaystyle 0.
    4∗0=4+a⋅0+5\displaystyle 4*0=4+a\cdot 0+5
  2. Produsul dintre a\displaystyle a și 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, oricare ar fi numărul real a\displaystyle a, deci termenul cu a\displaystyle a dispare din expresie.
    a⋅0=0, deci 4∗0=4+0+5\displaystyle a\cdot 0=0\text{, deci }4*0=4+0+5
  3. Adunăm 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5 și obținem 9\displaystyle 9. Rezultatul nu depinde de a\displaystyle a, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    4∗0=4+5=9, pentru orice numa˘r real a\displaystyle 4*0=4+5=9\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, pentru a=1\displaystyle a=1, legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 legea devine x∗y=x+y+5\displaystyle x*y=x+y+5. Trebuie să arătăm că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z) pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.
    x∗y=x+y+5\displaystyle x*y=x+y+5
  2. Calculăm x∗y=x+y+5\displaystyle x*y=x+y+5, apoi compunem rezultatul cu z\displaystyle z: primul termen este x+y+5\displaystyle x+y+5, iar al doilea este z\displaystyle z, deci (x∗y)∗z=(x+y+5)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y+5)*z.
    (x∗y)∗z=(x+y+5)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y+5)*z
  3. Aplicăm definiția: (x+y+5)∗z=(x+y+5)+z+5\displaystyle (x+y+5)*z=(x+y+5)+z+5. Adunăm constantele 5+5=10\displaystyle 5+5=10.
    (x∗y)∗z=x+y+z+10\displaystyle (x*y)*z=x+y+z+10
  4. Calculăm acum cealaltă grupare. Mai întâi y∗z=y+z+5\displaystyle y*z=y+z+5, deci x∗(y∗z)=x∗(y+z+5)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z+5).
    x∗(y∗z)=x∗(y+z+5)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z+5)
  5. Aplicăm definiția: x∗(y+z+5)=x+(y+z+5)+5=x+y+z+10\displaystyle x*(y+z+5)=x+(y+z+5)+5=x+y+z+10. Cele două grupări dau același rezultat pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}, deci legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+y+z+10=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=x+y+z+10=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Scriem x∗y\displaystyle x*y după definiție: x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5.
    x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5
  2. Calculăm y∗x\displaystyle y*x, schimbând rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y în definiție: y∗x=y+ax+5\displaystyle y*x=y+ax+5.
    y∗x=y+ax+5\displaystyle y*x=y+ax+5
  3. Impunem condiția x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y\displaystyle x,y, adică x+ay+5=y+ax+5\displaystyle x+ay+5=y+ax+5.
    x+ay+5=y+ax+5\displaystyle x+ay+5=y+ax+5
  4. Reducem termenul 5\displaystyle 5 din ambii membri și mutăm termenii: x−ax=y−ay\displaystyle x-ax=y-ay.
    x−ax=y−ay\displaystyle x-ax=y-ay
  5. Scoatem factor comun: x(1−a)=y(1−a)\displaystyle x(1-a)=y(1-a), deci (1−a)(x−y)=0\displaystyle (1-a)(x-y)=0, adică (a−1)(x−y)=0\displaystyle (a-1)(x-y)=0.
    (a−1)(x−y)=0\displaystyle (a-1)(x-y)=0
  6. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x,y\displaystyle x,y, deci și pentru x≠y\displaystyle x\neq y, când x−y≠0\displaystyle x-y\neq 0. Atunci a−1=0\displaystyle a-1=0, de unde a=1\displaystyle a=1. Pentru a=1\displaystyle a=1 legea este x∗y=x+y+5\displaystyle x*y=x+y+5, care este comutativă.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că, dacă legea de compoziție „∗\displaystyle *” are element neutru, atunci a=1\displaystyle a=1.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem că legea are element neutru e\displaystyle e. Atunci pentru orice x\displaystyle x real avem x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x. În particular, luăm x=0\displaystyle x=0 și scriem condiția e∗0=0\displaystyle e*0=0.
    e∗0=0\displaystyle e*0=0
  2. Aplicăm definiția legii: e∗0=e+a⋅0+5=e+5\displaystyle e*0=e+a\cdot 0+5=e+5. Din e+5=0\displaystyle e+5=0 obținem e=−5\displaystyle e=-5.
    e+a⋅0+5=0⇒e=−5\displaystyle e+a\cdot 0+5=0\Rightarrow e=-5
  3. Elementul neutru trebuie să funcționeze și când stă în stânga, deci trebuie să avem e∗0=0∗e=0\displaystyle e*0=0*e=0, adică 0∗(−5)=0\displaystyle 0*(-5)=0.
    0∗(−5)=0\displaystyle 0*(-5)=0
  4. Calculăm 0∗(−5)=0+a⋅(−5)+5=−5a+5\displaystyle 0*(-5)=0+a\cdot(-5)+5=-5a+5. Din −5a+5=0\displaystyle -5a+5=0 obținem 5a=5\displaystyle 5a=5, deci a=1\displaystyle a=1.
    −5a+5=0⇒a=1\displaystyle -5a+5=0\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x∗x2)∗(x∗x2)=15\displaystyle (x*x^2)*(x*x^2)=15.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 legea devine x∗y=x+y+5\displaystyle x*y=x+y+5. Calculăm mai întâi x∗x2\displaystyle x*x^{2}.
    x∗x2=x+x2+5\displaystyle x*x^{2}=x+x^{2}+5
  2. Notăm t=x+x2+5\displaystyle t=x+x^{2}+5. Expresia cerută este t∗t\displaystyle t*t, deci aplicăm legea cu ambele argumente egale cu t\displaystyle t: t∗t=t+t+5\displaystyle t*t=t+t+5.
    (x∗x2)∗(x∗x2)=(x+x2+5)+(x+x2+5)+5\displaystyle (x*x^{2})*(x*x^{2})=(x+x^{2}+5)+(x+x^{2}+5)+5
  3. Reducem termenii asemenea: 2x2+2x+10+5\displaystyle 2x^{2}+2x+10+5.
    (x∗x2)∗(x∗x2)=2x2+2x+15\displaystyle (x*x^{2})*(x*x^{2})=2x^{2}+2x+15
  4. Egalăm expresia cu 15\displaystyle 15 și scădem 15\displaystyle 15 din ambii membri: 2x2+2x+15=15\displaystyle 2x^{2}+2x+15=15.
    2x2+2x=0\displaystyle 2x^{2}+2x=0
  5. Dăm factor comun 2x\displaystyle 2x: 2x(x+1)=0\displaystyle 2x(x+1)=0. Anulăm fiecare factor: x=0\displaystyle x=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0.
    2x(x+1)=0⇔x=−1 sau x=0\displaystyle 2x(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+ay+5\displaystyle x*y=x+ay+5, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=−3\displaystyle a=-3, determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 4x∗2x=3\displaystyle 4^x*2^x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−3\displaystyle a=-3 în definiția legii de compoziție și obținem x∗y=x−3y+5\displaystyle x*y=x-3y+5.
    x∗y=x−3y+5\displaystyle x*y=x-3y+5
  2. Aplicăm legea pentru primul termen 4x\displaystyle 4^x și al doilea termen 2x\displaystyle 2^x: 4x∗2x=4x−3⋅2x+5\displaystyle 4^x*2^x=4^x-3\cdot 2^x+5. Egalăm cu 3\displaystyle 3 și mutăm 3\displaystyle 3 în stânga, deci 4x−3⋅2x+2=0\displaystyle 4^x-3\cdot 2^x+2=0.
    4x−3⋅2x+2=0\displaystyle 4^x-3\cdot 2^x+2=0
  3. Observăm că 4x=(22)x=(2x)2\displaystyle 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2. Notăm t=2x\displaystyle t=2^x, cu t>0\displaystyle t>0, și ecuația devine t2−3t+2=0\displaystyle t^2-3t+2=0.
    t2−3t+2=0\displaystyle t^2-3t+2=0, t=2x>0\displaystyle \ t=2^x>0
  4. Descompunem în factori: căutăm două numere cu suma 3\displaystyle 3 și produsul 2\displaystyle 2, adică 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Deci t2−3t+2=(t−1)(t−2)\displaystyle t^2-3t+2=(t-1)(t-2), adică (2x−1)(2x−2)=0\displaystyle (2^x-1)(2^x-2)=0.
    (2x−1)(2x−2)=0\displaystyle (2^x-1)(2^x-2)=0
  5. Un produs este nul când un factor este nul. Din 2x=1=20\displaystyle 2^x=1=2^0 obținem x=0\displaystyle x=0, iar din 2x=2=21\displaystyle 2^x=2=2^1 obținem x=1\displaystyle x=1. Ambele valori ale lui t\displaystyle t sunt pozitive, deci convin.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5445)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=9\displaystyle \det A=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣5445∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5&4\\4&5\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣5445∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5&4\\4&5\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordinul 2: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c. Obținem produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=5⋅5−4⋅4\displaystyle \det A=5\cdot 5-4\cdot 4
  3. Calculăm produsele: 5⋅5=25\displaystyle 5\cdot 5=25 și 4⋅4=16\displaystyle 4\cdot 4=16. Apoi scădem: 25−16=9\displaystyle 25-16=9. Deci det⁡A=9\displaystyle \det A=9, așa cum trebuia arătat.
    det⁡A=25−16=9\displaystyle \det A=25-16=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5445)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Arătați că (A−I2)(A−9I2)=O2\displaystyle (A-I_2)(A-9I_2)=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A−I2\displaystyle A-I_2, scăzând element cu element: pe diagonală 5−1=4\displaystyle 5-1=4, iar în rest elementele rămân 4\displaystyle 4.
    A−I2=(5−1445−1)=(4444)\displaystyle A-I_2=\begin{pmatrix}5-1&4\\4&5-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}
  2. Avem 9I2=(9009)\displaystyle 9I_2=\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}, deci pe diagonală 5−9=−4\displaystyle 5-9=-4, iar în rest elementele rămân 4\displaystyle 4.
    A−9I2=(5−9445−9)=(−444−4)\displaystyle A-9I_2=\begin{pmatrix}5-9&4\\4&5-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&4\\4&-4\end{pmatrix}
  3. Înmulțim cele două matrice, linie cu coloană: fiecare element al produsului este suma produselor dintre elementele liniei din prima matrice și cele ale coloanei din a doua matrice.
    (A−I2)(A−9I2)=(4444)(−444−4)=(4⋅(−4)+4⋅44⋅4+4⋅(−4)4⋅(−4)+4⋅44⋅4+4⋅(−4))\displaystyle (A-I_2)(A-9I_2)=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4&4\\4&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\cdot(-4)+4\cdot 4&4\cdot 4+4\cdot(-4)\\4\cdot(-4)+4\cdot 4&4\cdot 4+4\cdot(-4)\end{pmatrix}
  4. Fiecare element este −16+16=0\displaystyle -16+16=0 sau 16−16=0\displaystyle 16-16=0. Rezultă matricea nulă, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    (A−I2)(A−9I2)=(0000)=O2\displaystyle (A-I_2)(A-9I_2)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5445)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Se consideră matricea B=A−5I2\displaystyle B=A-5I_2. Demonstrați că suma elementelor matricei B⋅B\displaystyle B\cdot B este divizibilă cu 25\displaystyle 2^5.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 5I2\displaystyle 5I_2, înmulțind fiecare element al matricei unitate cu 5\displaystyle 5.
    5I2=(5005)\displaystyle 5I_2=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}
  2. Scădem 5I2\displaystyle 5I_2 din A\displaystyle A, element cu element, și obținem matricea B\displaystyle B.
    B=A−5I2=(5−54−04−05−5)=(0440)\displaystyle B=A-5I_2=\begin{pmatrix}5-5&4-0\\4-0&5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B, folosind regula linie pe coloană pentru fiecare element: 0⋅0+4⋅4=16\displaystyle 0\cdot 0+4\cdot 4=16, 0⋅4+4⋅0=0\displaystyle 0\cdot 4+4\cdot 0=0, și analog pentru celelalte.
    B⋅B=(0⋅0+4⋅40⋅4+4⋅04⋅0+0⋅44⋅4+0⋅0)=(160016)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}0\cdot 0+4\cdot 4&0\cdot 4+4\cdot 0\\4\cdot 0+0\cdot 4&4\cdot 4+0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix}
  4. Adunăm elementele matricei B⋅B\displaystyle B\cdot B și observăm că suma este 32\displaystyle 32, care este chiar 25\displaystyle 2^5, deci este divizibilă cu 25\displaystyle 2^5.
    16+0+0+16=32=25, deci suma este \displaystyle 16+0+0+16=32=2^5\text{, deci suma este }divizibila˘ cu 25\displaystyle \text{divizibilă cu }2^5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5445)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(aA+I2)=0\displaystyle \det(aA+I_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea aA\displaystyle aA înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu a\displaystyle a.
    aA=(5a4a4a5a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}5a&4a\\4a&5a\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea I2\displaystyle I_2, adică adunăm 1\displaystyle 1 pe diagonala principală.
    aA+I2=(5a+14a4a5a+1)\displaystyle aA+I_2=\begin{pmatrix}5a+1&4a\\4a&5a+1\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: det⁡(aA+I2)=(5a+1)2−(4a)2\displaystyle \det(aA+I_2)=(5a+1)^2-(4a)^2.
    det⁡(aA+I2)=(5a+1)2−16a2\displaystyle \det(aA+I_2)=(5a+1)^2-16a^2
  4. Dezvoltăm pătratul și reducem termenii asemenea: 25a2+10a+1−16a2=9a2+10a+1\displaystyle 25a^{2}+10a+1-16a^{2}=9a^{2}+10a+1.
    det⁡(aA+I2)=9a2+10a+1\displaystyle \det(aA+I_2)=9a^2+10a+1
  5. Punem condiția det⁡(aA+I2)=0\displaystyle \det(aA+I_2)=0, deci 9a2+10a+1=0\displaystyle 9a^{2}+10a+1=0. Discriminantul este Δ=100−36=64\displaystyle \Delta=100-36=64, deci Δ=8\displaystyle \sqrt{\Delta}=8.
    Δ=64\displaystyle \Delta=64, Δ=8\displaystyle \ \sqrt{\Delta}=8
  6. Aplicăm formula rădăcinilor: a=−10±818\displaystyle a=\dfrac{-10\pm 8}{18}, deci a=−1818=−1\displaystyle a=\dfrac{-18}{18}=-1 sau a=−218=−19\displaystyle a=\dfrac{-2}{18}=-\dfrac{1}{9}.
    a=−1 sau a=−19\displaystyle a=-1\text{ sau }a=-\frac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5445)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A⋅M=M⋅A\displaystyle A\cdot M=M\cdot A, unde M=(x1y2)\displaystyle M=\begin{pmatrix}x&1\\y&2\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅M\displaystyle A\cdot M, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui M\displaystyle M: de exemplu, elementul din colțul stânga sus este 5⋅x+4⋅y\displaystyle 5\cdot x+4\cdot y, iar cel din dreapta sus este 5⋅1+4⋅2=13\displaystyle 5\cdot 1+4\cdot 2=13.
    A⋅M=(5x+4y134x+5y14)\displaystyle A\cdot M=\begin{pmatrix}5x+4y&13\\4x+5y&14\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M⋅A\displaystyle M\cdot A, înmulțind liniile lui M\displaystyle M cu coloanele lui A\displaystyle A: de exemplu, elementul din colțul stânga sus este x⋅5+1⋅4=5x+4\displaystyle x\cdot 5+1\cdot 4=5x+4, iar cel din dreapta jos este y⋅4+2⋅5=4y+10\displaystyle y\cdot 4+2\cdot 5=4y+10.
    A⋅M=(5x+4y134x+5y14)\displaystyle A\cdot M=\begin{pmatrix}5x+4y&13\\4x+5y&14\end{pmatrix}, M⋅A=(5x+44x+55y+84y+10)\displaystyle \ M\cdot A=\begin{pmatrix}5x+4&4x+5\\5y+8&4y+10\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale matricelor A⋅M\displaystyle A\cdot M și M⋅A\displaystyle M\cdot A și obținem patru ecuații.
    {5x+4y=5x+413=4x+54x+5y=5y+814=4y+10\displaystyle \begin{cases}5x+4y=5x+4\\13=4x+5\\4x+5y=5y+8\\14=4y+10\end{cases}
  4. Din prima ecuație, 4y=4\displaystyle 4y=4, deci y=1\displaystyle y=1. Din a doua ecuație, 4x=8\displaystyle 4x=8, deci x=2\displaystyle x=2. Cea de-a treia ecuație dă 4x=8\displaystyle 4x=8, iar a patra dă 4y=4\displaystyle 4y=4, adică aceleași valori.
    y=1\displaystyle y=1, x=2\displaystyle \ x=2
  5. Verificăm: pentru x=2\displaystyle x=2 și y=1\displaystyle y=1 avem 5x+4y=14=5x+4\displaystyle 5x+4y=14=5x+4, 4x+5y=13=5y+8\displaystyle 4x+5y=13=5y+8, deci toate cele patru egalități sunt adevărate. Prin urmare, cele două matrice sunt egale.
    A⋅M=M⋅A=(14131314)\displaystyle A\cdot M=M\cdot A=\begin{pmatrix}14&13\\13&14\end{pmatrix}
  6. Numerele reale căutate sunt x=2\displaystyle x=2 și y=1\displaystyle y=1.
    x=2 și y=1\displaystyle x=2\text{ și }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5445)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Demonstrați că det⁡(A+xI2)+det⁡(A−xI2)≥18\displaystyle \det(A+xI_2)+\det(A-xI_2)\geq 18, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A+xI2\displaystyle A+xI_2, adunând x\displaystyle x pe diagonala principală a lui A\displaystyle A, deoarece xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}.
    A+xI2=(5+x445+x)\displaystyle A+xI_2=\begin{pmatrix}5+x&4\\4&5+x\end{pmatrix}
  2. Scriem matricea A−xI2\displaystyle A-xI_2, scăzând x\displaystyle x de pe diagonala principală a lui A\displaystyle A.
    A−xI2=(5−x445−x)\displaystyle A-xI_2=\begin{pmatrix}5-x&4\\4&5-x\end{pmatrix}
  3. Calculăm det⁡(A+xI2)\displaystyle \det(A+xI_2): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală.
    det⁡(A+xI2)=(5+x)2−4⋅4=(5+x)2−16\displaystyle \det(A+xI_2)=(5+x)^2-4\cdot 4=(5+x)^2-16
  4. Calculăm în același mod det⁡(A−xI2)\displaystyle \det(A-xI_2).
    det⁡(A−xI2)=(5−x)2−16\displaystyle \det(A-xI_2)=(5-x)^2-16
  5. Adunăm cei doi determinanți și dezvoltăm pătratele: (5+x)2=25+10x+x2\displaystyle (5+x)^2=25+10x+x^2, iar (5−x)2=25−10x+x2\displaystyle (5-x)^2=25-10x+x^2. Termenii cu x\displaystyle x se reduc, iar 50−32=18\displaystyle 50-32=18.
    det⁡(A+xI2)+det⁡(A−xI2)=(25+10x+x2−16)+(25−10x+x2−16)=2x2+18\displaystyle \det(A+xI_2)+\det(A-xI_2)=(25+10x+x^2-16)+(25-10x+x^2-16)=2x^2+18
  6. Pătratul oricărui număr real este nenegativ, deci 2x2≥0\displaystyle 2x^2\geq 0. Adunând 18, obținem că suma determinanților este cel puțin 18\displaystyle 18, pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A+xI2)+det⁡(A−xI2)=2x2+18≥18\displaystyle \det(A+xI_2)+\det(A-xI_2)=2x^2+18\geq 18, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.