Bac matematică M4 pedagogic 2025, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 6(6−2)−16+26=2\displaystyle \sqrt{6}\left(\sqrt{6}-2\right)-\sqrt{16}+2\sqrt{6}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică distributivitatea înmulțirii față de scădere pentru termenul 6(6−2)\displaystyle \sqrt{6}(\sqrt{6}-2)
    6⋅6−6⋅2=6−26\displaystyle \sqrt{6}\cdot\sqrt{6}-\sqrt{6}\cdot 2=6-2\sqrt{6}
  2. Se calculează radicalul din 16\displaystyle 16
    16=4\displaystyle \sqrt{16}=4
  3. Se înlocuiesc rezultatele obținute în expresia inițială
    6(6−2)−16+26=6−26−4+26\displaystyle \sqrt{6}\left(\sqrt{6}-2\right)-\sqrt{16}+2\sqrt{6}=6-2\sqrt{6}-4+2\sqrt{6}
  4. Se reduc termenii asemenea: −26\displaystyle -2\sqrt{6} și +26\displaystyle +2\sqrt{6} se anulează, iar 6−4\displaystyle 6-4 rămâne
    =6−4=2\displaystyle =6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−1\displaystyle f(x)=3x-1. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=4f(1)\displaystyle f(a)=4f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valoarea funcției în punctul x=1\displaystyle x=1, înlocuind în expresia f(x)=3x−1\displaystyle f(x)=3x-1.
    f(1)=3⋅1−1=2\displaystyle f(1)=3\cdot 1-1=2
  2. Scriem expresia generală a lui f(a)\displaystyle f(a), înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției; astfel obținem atât f(1)\displaystyle f(1), cât și f(a)\displaystyle f(a).
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2, f(a)=3a−1\displaystyle \ f(a)=3a-1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{ pentru orice număr real }a
  3. Punem condiția din enunț, f(a)=4f(1)\displaystyle f(a)=4f(1), și înlocuim valorile calculate anterior.
    3a−1=4⋅2\displaystyle 3a-1=4\cdot 2
  4. Rezolvăm ecuația liniară obținută pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a.
    3a−1=8⇒3a=9⇒a=3\displaystyle 3a-1=8\Rightarrow 3a=9\Rightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 34+x=32−x\displaystyle 3^{4+x}=3^{2-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ambii membri ai ecuației sunt puteri ale aceleiași baze, 3\displaystyle 3, deci putem aplica proprietatea de injectivitate a funcției exponențiale: dacă 3a=3b\displaystyle 3^a=3^b, atunci a=b\displaystyle a=b.
    34+x=32−x⇒4+x=2−x\displaystyle 3^{4+x}=3^{2-x}\Rightarrow 4+x=2-x
  2. Scriem egalitatea exponenților rezultată din injectivitatea funcției exponențiale.
    4+x=2−x\displaystyle 4+x=2-x
  3. Grupăm termenii care conțin x\displaystyle x în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept, trecând x\displaystyle x din dreapta în stânga și 4\displaystyle 4 din stânga în dreapta.
    x+x=2−4\displaystyle x+x=2-4
  4. Efectuăm calculele: adunăm termenii asemenea din fiecare membru.
    2x=−2\displaystyle 2x=-2
  5. Împărțim ambii membri ai ecuației prin 2\displaystyle 2 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x, obținând soluția finală a ecuației.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={1,2,3,…,15}\displaystyle A=\{1,2,3,\dots,15\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A\displaystyle A, acesta să fie divizor al lui 15\displaystyle 15.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie mulțimea A\displaystyle A și se numără elementele sale, care reprezintă cazurile posibile.
    A={1,2,3,…,15}\displaystyle A=\{1,2,3,\dots,15\}, ∣A∣=15 cazuri posibile\displaystyle \ |A|=15\text{ cazuri posibile}
  2. Se determină divizorii naturali ai lui 15\displaystyle 15, adică numerele din A\displaystyle A care împart exact 15\displaystyle 15.
    15=1⋅15=3⋅5 ⇒ divizorii lui 15 sunt 1\displaystyle 15=1\cdot 15=3\cdot 5\ \Rightarrow\ \text{divizorii lui }15\text{ sunt }1,3\displaystyle 3,5\displaystyle 5,15\displaystyle 15
  3. Se verifică faptul că toți acești divizori aparțin mulțimii A\displaystyle A, deci reprezintă cazurile favorabile.
    1\displaystyle 1,3\displaystyle 3,5\displaystyle 5,15∈A ⇒ 4 cazuri favorabile\displaystyle 15\in A\ \Rightarrow\ 4\text{ cazuri favorabile}
  4. Se aplică formula probabilității clasice, raportând numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile.
    4 cazuri favorabile\displaystyle 4\text{ cazuri favorabile}, p=415\displaystyle \ p=\dfrac{4}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,8)\displaystyle A(4,8), B(5,0)\displaystyle B(5,0) și C\displaystyle C, mijlocul segmentului OA\displaystyle OA. Determinați distanța dintre punctele B\displaystyle B și C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula coordonatelor mijlocului unui segment, aplicată segmentului OA\displaystyle OA, unde O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(4,8)\displaystyle A(4,8).
    C(0+42,0+82)\displaystyle C\left(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{0+8}{2}\right)
  2. Se efectuează calculele pentru coordonatele lui C\displaystyle C.
    C(2,4)\displaystyle C(2,4)
  3. Se scrie formula distanței dintre două puncte, aplicată pentru B(5,0)\displaystyle B(5,0) și C(2,4)\displaystyle C(2,4).
    BC=(5−2)2+(0−4)2\displaystyle BC=\sqrt{(5-2)^{2}+(0-4)^{2}}
  4. Se calculează diferențele de coordonate și se ridică la pătrat, obținând valoarea finală a distanței.
    BC=32+42=5\displaystyle BC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2sin⁡30∘−(cos⁡45∘)2−cos⁡60∘=0\displaystyle 2\sin30^{\circ}-\left(\cos45^{\circ}\right)^{2}-\cos60^{\circ}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată și se identifică valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile 30°\displaystyle 30°, 45°\displaystyle 45° și 60°\displaystyle 60° din tabelul valorilor cunoscute.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos60^{\circ}=\dfrac{1}{2}
  2. Se înlocuiesc aceste valori în expresia din enunț.
    2sin⁡30∘−(cos⁡45∘)2−cos⁡60∘=2⋅12−(22)2−12\displaystyle 2\sin30^{\circ}-\left(\cos45^{\circ}\right)^{2}-\cos60^{\circ}=2\cdot\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}
  3. Se calculează fiecare termen: dublul lui 12\displaystyle \dfrac{1}{2} este 1\displaystyle 1, iar pătratul lui 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2} este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, (22)2=24=12\displaystyle \ \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
  4. Se înlocuiesc rezultatele obținute și se efectuează scăderile pentru a obține rezultatul final.
    1−12−12=0\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10.

Arătați că 2∗5=27\displaystyle 2*5=27.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile care trebuie înlocuite: x=2\displaystyle x=2 și y=5\displaystyle y=5.
    x∗y=xy+x+y+10, unde x=2, y=5\displaystyle x*y=xy+x+y+10\text{, unde }x=2\text{, }y=5
  2. Se înlocuiesc x=2\displaystyle x=2 și y=5\displaystyle y=5 în formula legii de compoziție.
    2∗5=2⋅5+2+5+10=\displaystyle 2*5=2\cdot 5+2+5+10=
  3. Se calculează produsul 2⋅5\displaystyle 2\cdot 5.
    2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10
  4. Se înlocuiește produsul calculat și se adună toate numerele pentru a obține rezultatul final.
    =10+2+5+10=27\displaystyle =10+2+5+10=27
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10.

Arătați că x∗y=(x+1)(y+1)+9\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)+9, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată în enunț.
    x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10
  2. Se descompune numărul 10\displaystyle 10 ca sumă 1+9\displaystyle 1+9, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=xy+x+y+1+9=\displaystyle x*y=xy+x+y+1+9=
  3. Se grupează termenii astfel încât să apară factori comuni: xy\displaystyle xy cu y\displaystyle y, respectiv x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    =(xy+y)+(x+1)+9\displaystyle =(xy+y)+(x+1)+9
  4. Se scoate y\displaystyle y factor comun din primii doi termeni ai grupării.
    =y(x+1)+(x+1)+9\displaystyle =y(x+1)+(x+1)+9
  5. Se rescrie expresia sub forma echivalentă x(y+1)+(y+1)+9\displaystyle x(y+1)+(y+1)+9, obținută printr-o grupare alternativă a acelorași termeni, pentru a evidenția factorul (y+1)\displaystyle (y+1).
    =x(y+1)+(y+1)+9\displaystyle =x(y+1)+(y+1)+9
  6. Se scoate factorul comun (y+1)\displaystyle (y+1) și se obține produsul (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1), la care se adaugă 9\displaystyle 9; relația este valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    =(x+1)(y+1)+9\displaystyle =(x+1)(y+1)+9, pentru orice numere reale x și y\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (−10)∗x=10+x\displaystyle (-10)*x=10+x.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică definiția legii de compoziție x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10, înlocuind x\displaystyle x cu −10\displaystyle -10 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x, pentru a calcula (−10)∗x\displaystyle (-10)*x.
    (−10)∗x=(−10)⋅x+(−10)+x+10\displaystyle (-10)*x=(-10)\cdot x+(-10)+x+10
  2. Se efectuează calculele algebrice: se reduc termenii asemenea −10x\displaystyle -10x și x\displaystyle x, precum și −10\displaystyle -10 și 10\displaystyle 10, obținându-se forma simplificată a expresiei (−10)∗x\displaystyle (-10)*x, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (−10)∗x=−9x\displaystyle (-10)*x=-9x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  3. Conform cerinței problemei, se pune condiția (−10)∗x=10+x\displaystyle (-10)*x=10+x. Înlocuind rezultatul obținut anterior, se ajunge la ecuația liniară −9x=10+x\displaystyle -9x=10+x, care se rezolvă prin trecerea termenilor cu x\displaystyle x într-o parte: −9x−x=10\displaystyle -9x-x=10, adică −10x=10\displaystyle -10x=10, de unde se obține soluția x=−1\displaystyle x=-1.
    −9x=10+x\displaystyle -9x=10+x, de unde obținem x=−1\displaystyle \text{ de unde obținem }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(−x)=1\displaystyle x*(-x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se înlocuiește y\displaystyle y cu −x\displaystyle -x, conform cerinței problemei.
    x∗(−x)=x⋅(−x)+x+(−x)+10\displaystyle x*(-x)=x\cdot(-x)+x+(-x)+10
  2. Se efectuează calculele: produsul x⋅(−x)\displaystyle x\cdot(-x) devine −x2\displaystyle -x^{2}, iar termenii x\displaystyle x și −x\displaystyle -x se anulează.
    x∗(−x)=−x2+10\displaystyle x*(-x)=-x^{2}+10, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  3. Se pune condiția ca rezultatul obținut să fie egal cu 1\displaystyle 1, conform enunțului problemei.
    −x2+10=1\displaystyle -x^{2}+10=1
  4. Se trece 1\displaystyle 1 în stânga egalității și se obține o ecuație de gradul al doilea de forma −x2+9=0\displaystyle -x^{2}+9=0.
    −x2+9=0\displaystyle -x^{2}+9=0
  5. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea: se înmulțește cu −1\displaystyle -1 pentru a obține x2−9=0\displaystyle x^{2}-9=0, adică x2=9\displaystyle x^{2}=9, de unde se extrag cele două soluții.
    −x2+9=0\displaystyle -x^{2}+9=0, de unde obținem x=−3 sau x=3\displaystyle \text{ de unde obținem }x=-3\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10.

Determinați x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty) pentru care (x−9)∗(9−x)=9\displaystyle (x-9)*(9-\sqrt{x})=9.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim legea de compoziție dată și scriem ecuația ce trebuie rezolvată pe domeniul indicat: se cere rezolvarea ecuației (x−9)∗(9−x)=9\displaystyle (x-9)*(9-\sqrt{x})=9, pentru x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty), unde x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10.
    (x−9)∗(9−x)=9\displaystyle (x-9)*(9-\sqrt{x})=9, pentru x∈[0,+∞)\displaystyle \text{ pentru }x\in[0,+\infty)
  2. Aplicăm definiția legii de compoziție, înlocuind în x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10 pe x\displaystyle x cu (x−9)\displaystyle (x-9) și pe y\displaystyle y cu (9−x)\displaystyle (9-\sqrt{x}).
    (x−9)∗(9−x)=(x−9)(9−x)+(x−9)+(9−x)+10\displaystyle (x-9)*(9-\sqrt{x})=(x-9)(9-\sqrt{x})+(x-9)+(9-\sqrt{x})+10
  3. Desfacem parantezele: calculăm produsul (x−9)(9−x)\displaystyle (x-9)(9-\sqrt{x}) și adunăm termenii rămași.
    (x−9)(9−x)=9x−xx−81+9x\displaystyle (x-9)(9-\sqrt{x})=9x-x\sqrt{x}-81+9\sqrt{x}
  4. Adunăm toți termenii obținuți: produsul dezvoltat, (x−9)\displaystyle (x-9), (9−x)\displaystyle (9-\sqrt{x}) și 10\displaystyle 10, apoi reducem termenii asemenea.
    (x−9)∗(9−x)=9x−xx−81+9x+x−9+9−x+10=10x−xx+8x−71\displaystyle (x-9)*(9-\sqrt{x})=9x-x\sqrt{x}-81+9\sqrt{x}+x-9+9-\sqrt{x}+10=10x-x\sqrt{x}+8\sqrt{x}-71
  5. Dezvoltăm și membrul drept (x−8)(10−x)+9\displaystyle (x-8)(10-\sqrt{x})+9, pentru a compara cu rezultatul obținut la pasul anterior.
    (x−8)(10−x)+9=10x−xx−80+8x+9=10x−xx+8x−71\displaystyle (x-8)(10-\sqrt{x})+9=10x-x\sqrt{x}-80+8\sqrt{x}+9=10x-x\sqrt{x}+8\sqrt{x}-71
  6. Comparând expresiile obținute la pașii 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5, observăm că sunt identice, deci am demonstrat egalitatea cerută pentru orice x\displaystyle x din domeniu, aplicând definiția legii de compoziție.
    (x−9)∗(9−x)=(x−8)(10−x)+9\displaystyle (x-9)*(9-\sqrt{x})=(x-8)(10-\sqrt{x})+9, pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in[0,+\infty)
  7. Folosind egalitatea demonstrată, înlocuim în ecuația inițială (x−9)∗(9−x)=9\displaystyle (x-9)*(9-\sqrt{x})=9, obținând (x−8)(10−x)+9=9\displaystyle (x-8)(10-\sqrt{x})+9=9. Aducem ecuația la forma unui produs nul, apoi rezolvăm cele două cazuri: x−8=0\displaystyle x-8=0 sau 10−x=0\displaystyle 10-\sqrt{x}=0, verificând soluțiile în domeniul [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    (x−8)(10−x)+9=9\displaystyle (x-8)(10-\sqrt{x})+9=9, deci (x−8)(10−x)=0\displaystyle \text{ deci }(x-8)(10-\sqrt{x})=0, de unde obținem x=8 sau x=100\displaystyle \text{ de unde obținem }x=8\text{ sau }x=100, care convin\displaystyle \text{ care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+10\displaystyle x*y=xy+x+y+10.

Arătați că, pentru orice număr natural n\displaystyle n, divizibil cu 3\displaystyle 3, numărul natural (n+1)∗(n+2)\displaystyle (n+1)*(n+2) este divizibil cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică definiția legii de compoziție pentru x=n+1\displaystyle x=n+1 și y=n+2\displaystyle y=n+2, obținându-se expresia (n+1)∗(n+2)\displaystyle (n+1)*(n+2).
    (n+1)∗(n+2)=(n+1)(n+2)+(n+1)+(n+2)+10\displaystyle (n+1)*(n+2)=(n+1)(n+2)+(n+1)+(n+2)+10
  2. Se dezvoltă produsul (n+1)(n+2)\displaystyle (n+1)(n+2) și se adună termenii, obținându-se o formă polinomială în n\displaystyle n.
    (n+1)∗(n+2)=n2+3n+2+n+1+n+2+10=n2+5n+15\displaystyle (n+1)*(n+2)=n^{2}+3n+2+n+1+n+2+10=n^{2}+5n+15
  3. Se rescrie expresia n2+5n+15\displaystyle n^2+5n+15 sub forma (n+2)(n+3)+9\displaystyle (n+2)(n+3)+9, verificând identitatea prin dezvoltare, pentru orice n\displaystyle n natural.
    (n+1)∗(n+2)=(n+2)(n+3)+9\displaystyle (n+1)*(n+2)=(n+2)(n+3)+9, pentru orice numa˘r \displaystyle \text{ pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  4. Se scrie n\displaystyle n sub forma 3m\displaystyle 3m, unde m\displaystyle m este număr natural, și se înlocuiesc n+2\displaystyle n+2 și n+3\displaystyle n+3 în expresia obținută.
    n=3m\displaystyle n=3m, deci n+2=3m+2\displaystyle \text{ deci } n+2=3m+2, n+3=3m+3=3(m+1)\displaystyle \ n+3=3m+3=3(m+1)
  5. Se înlocuiește n+3=3(m+1)\displaystyle n+3=3(m+1) în produsul (n+2)(n+3)\displaystyle (n+2)(n+3) și se scoate factor comun 3\displaystyle 3 pentru întreaga expresie.
    (n+2)(n+3)+9=(3m+2)⋅3(m+1)+9=3((3m+2)(m+1)+3)\displaystyle (n+2)(n+3)+9=(3m+2)\cdot 3(m+1)+9=3\left((3m+2)(m+1)+3\right)
  6. Se concluzionează că (n+1)⋅(n+2)\displaystyle (n+1)\cdot(n+2) se scrie ca produsul dintre 3\displaystyle 3 și un număr natural, deci este divizibil cu 3\displaystyle 3.
    n=3m\displaystyle n=3m, unde m este numa˘r natural, deci (n+1)∗(n+2)=3((3m+2)(m+1)+3)\displaystyle \text{ unde }m\text{ este număr natural, deci }(n+1)*(n+2)=3\left((3m+2)(m+1)+3\right), de unde rezulta˘ ca˘ \displaystyle \text{ de unde rezultă că }numa˘rul natural (n+1)∗(n+2) este divizibil cu 3\displaystyle \text{numărul natural }(n+1)*(n+2)\text{ este divizibil cu }3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−131)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix} și B(a,b)=(aaba)\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(B(1,−1))=2\displaystyle \det\left(B(1,-1)\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea generală B(a,b)\displaystyle B(a,b) și se înlocuiesc valorile a=1\displaystyle a=1 și b=−1\displaystyle b=-1 pentru a obține matricea numerică.
    B(a,b)=(aaba)⇒B(1,−1)=(11−11)\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}\Rightarrow B(1,-1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei B(1,−1)\displaystyle B(1,-1) folosind formula pentru determinantul unei matrice de ordinul doi.
    det⁡(B(1,−1))=∣11−11∣=1⋅1−1⋅(−1)\displaystyle \det\left(B(1,-1)\right)=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot(-1)
  3. Se efectuează calculele: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    =1+1\displaystyle =1+1
  4. Se adună termenii pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =1+1=2\displaystyle =1+1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−131)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix} și B(a,b)=(aaba)\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că A⋅B(1,−3)=4I2\displaystyle A\cdot B(1,-3)=4I_{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 și b=−3\displaystyle b=-3 în matricea B(a,b)\displaystyle B(a,b) pentru a obține matricea B(1,−3)\displaystyle B(1,-3).
    B(1,−3)=(11−31)\displaystyle B(1,-3)=\begin{pmatrix}1&1\\-3&1\end{pmatrix}
  2. Se efectuează înmulțirea matriceală A⋅B(1,−3)\displaystyle A\cdot B(1,-3), calculând fiecare element al matricei produs conform regulii de înmulțire a matricelor.
    A⋅B(1,−3)=(1−131)(11−31)=(1⋅1+(−1)⋅(−3)1⋅1+(−1)⋅13⋅1+1⋅(−3)3⋅1+1⋅1)\displaystyle A\cdot B(1,-3)=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+(-1)\cdot(-3)&1\cdot1+(-1)\cdot1\\3\cdot1+1\cdot(-3)&3\cdot1+1\cdot1\end{pmatrix}
  3. Se calculează efectiv fiecare element rezultat: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, 1−1=0\displaystyle 1-1=0, 3−3=0\displaystyle 3-3=0, 3+1=4\displaystyle 3+1=4, obținându-se matricea produs.
    A⋅B(1,−3)=(4004)=\displaystyle A\cdot B(1,-3)=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=
  4. Se scoate factorul comun 4\displaystyle 4 din matricea obținută, evidențiind matricea unitate I2\displaystyle I_2, pentru a scrie rezultatul final sub forma cerută.
    =4(1001)=4I2\displaystyle =4\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=4I_{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−131)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix} și B(a,b)=(aaba)\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care A−2I2=B(a,b)\displaystyle A-2I_{2}=B(a,b).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea 2I2\displaystyle 2I_2, înmulțind fiecare element al matricei unitate cu 2\displaystyle 2.
    2I2=(2002)\displaystyle 2I_{2}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  2. Se calculează A−2I2\displaystyle A-2I_2 scăzând element cu element din matricea A\displaystyle A matricea 2I2\displaystyle 2I_2.
    A−2I2=(1−2−1−03−01−2)\displaystyle A-2I_{2}=\begin{pmatrix}1-2&-1-0\\3-0&1-2\end{pmatrix}
  3. Se efectuează scăderile și se obține forma finală a matricei A−2I2\displaystyle A-2I_2.
    A−2I2=(−1−13−1)\displaystyle A-2I_{2}=\begin{pmatrix}-1&-1\\3&-1\end{pmatrix}
  4. Se pune condiția ca matricea A−2I2\displaystyle A-2I_2 să fie egală cu matricea B(a,b)\displaystyle B(a,b), scriind egalitatea celor două matrice.
    (−1−13−1)=(aaba)\displaystyle \begin{pmatrix}-1&-1\\3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}
  5. Se identifică elementele corespunzătoare ale celor două matrice, obținând un sistem de ecuații: a=−1\displaystyle a=-1 (din poziția (1,1)\displaystyle (1,1)), a=−1\displaystyle a=-1 (din poziția (1,2)\displaystyle (1,2), verifică), b=3\displaystyle b=3 (din poziția (2,1)\displaystyle (2,1)), a=−1\displaystyle a=-1 (din poziția (2,2)\displaystyle (2,2), verifică).
    a=−1 și b=3\displaystyle a=-1\text{ și }b=3
  6. Se scrie concluzia finală, egalând matricele și obținând valorile lui a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    (−1−13−1)=(aaba)\displaystyle \begin{pmatrix}-1&-1\\3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}, de unde obținem a=−1 și b=3\displaystyle \text{ de unde obținem }a=-1\text{ și }b=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−131)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix} și B(a,b)=(aaba)\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in M_{2}(\mathbb{R}) pentru care X⋅B(1,−1)=A\displaystyle X\cdot B(1,-1)=A.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea B(1,−1)\displaystyle B(1,-1) înlocuind a=1\displaystyle a=1 și b=−1\displaystyle b=-1 în forma generală B(a,b)\displaystyle B(a,b).
    B(1,−1)=(11−11)\displaystyle B(1,-1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei B(1,−1)\displaystyle B(1,-1), necesar pentru determinarea inversei.
    det⁡(B(1,−1))=1⋅1−1⋅(−1)=1+1=2\displaystyle \det\left(B(1,-1)\right)=1\cdot 1-1\cdot(-1)=1+1=2
  3. Se scrie matricea adjunctă (transpusa complementilor algebrici) a matricei B(1,−1)\displaystyle B(1,-1).
    adj(B(1,−1))=(1−111)\displaystyle \text{adj}\left(B(1,-1)\right)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}
  4. Se aplică formula inversei unei matrice 2x2, B−1=1det⁡(B)⋅adj(B)\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{\det(B)}\cdot \text{adj}(B), pentru a obține inversa matricei B(1,−1)\displaystyle B(1,-1).
    (B(1,−1))−1=12(1−111)=(12−121212)\displaystyle \left(B(1,-1)\right)^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}
  5. Din relația X⋅B(1,−1)=A\displaystyle X\cdot B(1,-1)=A, se determină X\displaystyle X înmulțind la dreapta ambii membri cu (B(1,−1))−1\displaystyle \left(B(1,-1)\right)^{-1}, obținând X=A⋅(B(1,−1))−1\displaystyle X=A\cdot\left(B(1,-1)\right)^{-1}.
    X=A⋅(B(1,−1))−1=(1−131)⋅(12−121212)\displaystyle X=A\cdot\left(B(1,-1)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}
  6. Se efectuează înmulțirea celor două matrice, element cu element, pentru a obține matricea X.
    X=(1⋅12+(−1)⋅121⋅(−12)+(−1)⋅123⋅12+1⋅123⋅(−12)+1⋅12)=(0−12−1)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1\cdot\frac{1}{2}+(-1)\cdot\frac{1}{2}&1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+(-1)\cdot\frac{1}{2}\\3\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{2}&3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1\cdot\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\2&-1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−131)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix} și B(a,b)=(aaba)\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Știind că a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale, a≠0\displaystyle a\neq 0, astfel încât det⁡(aA−B(a,b))=0\displaystyle \det\left(aA-B(a,b)\right)=0, arătați că 3a=b\displaystyle 3a=b.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea aA\displaystyle aA, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu scalarul a\displaystyle a.
    aA=(a−a3aa)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}a&-a\\3a&a\end{pmatrix}
  2. Se scrie explicit matricea B(a,b)\displaystyle B(a,b), conform enunțului.
    B(a,b)=(aaba)\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}
  3. Se calculează diferența aA−B(a,b)\displaystyle aA-B(a,b), scăzând elementele corespunzătoare.
    aA−B(a,b)=(a−a−a−a3a−ba−a)=(0−2a3a−b0)\displaystyle aA-B(a,b)=\begin{pmatrix}a-a&-a-a\\3a-b&a-a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2a\\3a-b&0\end{pmatrix}
  4. Se calculează determinantul matricei obținute, folosind formula det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2, și se obține forma factorizată cerută de barem, valabilă pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    det⁡(aA−B(a,b))=0⋅0−(−2a)(3a−b)=2a(3a−b)\displaystyle \det\left(aA-B(a,b)\right)=0\cdot 0-(-2a)(3a-b)=2a(3a-b), pentru orice numere reale a și b\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b
  5. Se impune condiția ca determinantul să fie egal cu zero (matricea aA−B(a,b)\displaystyle aA-B(a,b) să nu fie inversabilă) și se scrie ecuația rezultată.
    2a(3a−b)=0\displaystyle 2a(3a-b)=0
  6. Cum a≠0\displaystyle a\neq 0, factorul 2a\displaystyle 2a este nenul, deci pentru ca produsul să fie zero trebuie ca celălalt factor să fie nul; se împarte ecuația prin 2a\displaystyle 2a și se obține egalitatea cerută.
    2a(3a−b)=0 și, cum a≠0\displaystyle 2a(3a-b)=0\text{ și, cum }a\neq 0, rezulta˘ ca˘ 3a=b\displaystyle \text{ rezultă că }3a=b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−131)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix} și B(a,b)=(aaba)\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere reale, cu a<b\displaystyle a<b, pentru care (a+b)B(a,b)+bB(a+b,−b)=B(25,6)\displaystyle (a+b)B(a,b)+bB(a+b,-b)=B(25,6).
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu explicit matricele (a+b)B(a,b)\displaystyle (a+b)B(a,b) și bB(a+b,−b)\displaystyle bB(a+b,-b), folosind definiția matricei B.
    (a+b)B(a,b)=((a+b)a(a+b)a(a+b)b(a+b)a)\displaystyle (a+b)B(a,b)=\begin{pmatrix}(a+b)a&(a+b)a\\(a+b)b&(a+b)a\end{pmatrix}, bB(a+b,−b)=(b(a+b)b(a+b)−b2b(a+b))\displaystyle \text{ }bB(a+b,-b)=\begin{pmatrix}b(a+b)&b(a+b)\\-b^{2}&b(a+b)\end{pmatrix}
  2. Se adună cele două matrice element cu element, grupând termenii pentru fiecare poziție din matrice.
    (a+b)B(a,b)+bB(a+b,−b)=((a+b)a+b(a+b)(a+b)a+b(a+b)(a+b)b−b2(a+b)a+b(a+b))\displaystyle (a+b)B(a,b)+bB(a+b,-b)=\begin{pmatrix}(a+b)a+b(a+b)&(a+b)a+b(a+b)\\(a+b)b-b^{2}&(a+b)a+b(a+b)\end{pmatrix}
  3. Se simplifică fiecare element: pe diagonala principală și în colțul din dreapta sus apare factorul comun (a+b)\displaystyle (a+b), obținându-se (a+b)2\displaystyle (a+b)^2, iar pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1) termenii în b2\displaystyle b^2 se reduc, rămânând ab\displaystyle ab.
    (a+b)a+b(a+b)=(a+b)(a+b)=(a+b)2\displaystyle (a+b)a+b(a+b)=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}, iar (a+b)b−b2=ab+b2−b2=ab\displaystyle \text{ iar }(a+b)b-b^{2}=ab+b^{2}-b^{2}=ab
  4. Se scrie forma finală a matricei rezultate, valabilă pentru orice numere reale a și b, conform primului pas de control din barem.
    (a+b)B(a,b)+bB(a+b,−b)=((a+b)2(a+b)2ab(a+b)2)\displaystyle (a+b)B(a,b)+bB(a+b,-b)=\begin{pmatrix}(a+b)^{2}&(a+b)^{2}\\ab&(a+b)^{2}\end{pmatrix}, pentru orice numere reale a și b\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b
  5. Se pune condiția ca matricea obținută să fie egală cu B(25,6)\displaystyle B(25,6), adică se identifică elementele corespunzătoare, obținând un sistem în (a+b)2\displaystyle (a+b)^2 și ab\displaystyle ab.
    ((a+b)2(a+b)2ab(a+b)2)=(2525625)⇒(a+b)2=25 și ab=6\displaystyle \begin{pmatrix}(a+b)^{2}&(a+b)^{2}\\ab&(a+b)^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25&25\\6&25\end{pmatrix}\Rightarrow (a+b)^{2}=25\text{ și }ab=6
  6. Se rezolvă ecuația (a+b)2=25\displaystyle (a+b)^2=25, obținându-se cele două cazuri posibile pentru suma a+b\displaystyle a+b.
    a+b=5 sau a+b=−5\displaystyle a+b=5\text{ sau }a+b=-5
  7. Pentru cazul a+b=5\displaystyle a+b=5 și ab=6\displaystyle ab=6, a și b sunt rădăcinile ecuației de gradul al doilea t2−5t+6=0\displaystyle t^2-5t+6=0, care se rezolvă cu formula radicalilor sau prin descompunere.
    t2−5t+6=0⇒t1=2\displaystyle t^{2}-5t+6=0\Rightarrow t_{1}=2, t2=3⇒{a,b}={2,3}\displaystyle \text{ }t_{2}=3\Rightarrow \{a,b\}=\{2,3\}
  8. Pentru cazul a+b=−5\displaystyle a+b=-5 și ab=6\displaystyle ab=6, a și b sunt rădăcinile ecuației t2+5t+6=0\displaystyle t^2+5t+6=0.
    t2+5t+6=0⇒t1=−2\displaystyle t^{2}+5t+6=0\Rightarrow t_{1}=-2, t2=−3⇒{a,b}={−2,−3}\displaystyle \text{ }t_{2}=-3\Rightarrow \{a,b\}=\{-2,-3\}
  9. Se aplică restricția a<b\displaystyle a<b pentru fiecare pereche găsită și se scriu soluțiile finale ale problemei, conform pasului final din barem.
    a+b=5 și ab=6 sau a+b=−5 și ab=6 și, cum a<b\displaystyle a+b=5\text{ și }ab=6\text{ sau }a+b=-5\text{ și }ab=6\text{ și, cum }a<b, perechile sunt (2,3) și (−3,−2)\displaystyle \text{ perechile sunt }(2,3)\text{ și }(-3,-2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.