Bac matematică M4 pedagogic 2024, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3⋅(2−3)−23+4=1\displaystyle \sqrt{3}\cdot(2-\sqrt{3})-2\sqrt{3}+4=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se efectuează înmulțirea numărului 3\displaystyle \sqrt{3} cu paranteza (2−3)\displaystyle (2-\sqrt{3}), aplicând proprietatea de distributivitate.
    3⋅(2−3)−23+4=23−3⋅3−23+4\displaystyle \sqrt{3}\cdot(2-\sqrt{3})-2\sqrt{3}+4=2\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4
  2. Se folosește faptul că produsul unui radical cu el însuși este egal cu numărul de sub radical, adică 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.
    23−3−23+4\displaystyle 2\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}+4
  3. Se reduc termenii asemenea: 23−23\displaystyle 2\sqrt{3}-2\sqrt{3} se anulează, iar −3+4\displaystyle -3+4 se calculează direct.
    =−3+4=1\displaystyle =-3+4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−4\displaystyle f(x)=5x-4. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=a\displaystyle f(a)=a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției f(x)=5x−4\displaystyle f(x)=5x-4.
    f(a)=5a−4\displaystyle f(a)=5a-4
  2. Punem condiția din enunț, f(a)=a\displaystyle f(a)=a, folosind expresia obținută pentru f(a)\displaystyle f(a).
    5a−4=a\displaystyle 5a-4=a
  3. Trecem termenul a\displaystyle a în stânga egalității, pentru a grupa termenii care conțin necunoscuta a\displaystyle a.
    5a−a−4=0\displaystyle 5a-a-4=0
  4. Reducem termenii asemenea 5a−a=4a\displaystyle 5a-a=4a și trecem constanta în partea dreaptă.
    4a=4\displaystyle 4a=4
  5. Împărțim ambii membri ai ecuației prin 4\displaystyle 4 pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a, obținând soluția ecuației de gradul întâi.
    5a−4=a⇒a=1\displaystyle 5a-4=a\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+4x+5=1\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă pentru ca ecuația să aibă sens. Verificăm: x2+4x+5=(x+2)2+1\displaystyle x^{2}+4x+5 = (x+2)^{2}+1, deci este întotdeauna strict pozitivă, condiția fiind automat satisfăcută pentru orice x\displaystyle x real.
    x2+4x+5=(x+2)2+1>0\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Se ridică la pătrat ambii membri ai ecuației, pentru a elimina radicalul, și se aduce ecuația la forma generală de gradul al doilea.
    x2+4x+5=1⇒x2+4x+4=0\displaystyle x^2+4x+5=1\Rightarrow x^2+4x+4=0
  3. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, observând că membrul stâng este un pătrat perfect.
    (x+2)2=0⇒x+2=0⇒x=−2\displaystyle (x+2)^2=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2
  4. Se verifică soluția obținută în ecuația inițială, înlocuind x=−2\displaystyle x=-2 sub radical, pentru a confirma că este validă.
    (−2)2+4⋅(−2)+5=4−8+5=1=1⇒x=−2, care convine\displaystyle \sqrt{(-2)^2+4\cdot(-2)+5}=\sqrt{4-8+5}=\sqrt{1}=1\Rightarrow x=-2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, numărul n2\displaystyle n^2 să aparțină mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie mulțimea A\displaystyle A și se numără elementele ei, care reprezintă numărul de cazuri posibile.
    A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, deci 10 cazuri posibile\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{, deci }10\text{ cazuri posibile}
  2. Se calculează pătratul fiecărui element din A\displaystyle A, pentru a vedea pentru care valori n2\displaystyle n^{2} rămâne tot în mulțimea A\displaystyle A (adică n2\displaystyle n^{2} este cel mult 9\displaystyle 9).
    02=0\displaystyle 0^2=0, 12=1\displaystyle \ 1^2=1, 22=4\displaystyle \ 2^2=4, 32=9\displaystyle \ 3^2=9, 42=16\displaystyle \ 4^2=16, 52=25\displaystyle \ 5^2=25, 62=36\displaystyle \ 6^2=36, 72=49\displaystyle \ 7^2=49, 82=64\displaystyle \ 8^2=64, 92=81\displaystyle \ 9^2=81
  3. Se selectează valorile lui n\displaystyle n pentru care n2\displaystyle n^{2} aparține mulțimii A\displaystyle A, adică n2\displaystyle n^{2} este între 0\displaystyle 0 și 9\displaystyle 9.
    n∈{0,1,2,3}, deoarece n2∈{0,1,4,9}⊂A\displaystyle n\in\{0,1,2,3\}\text{, deoarece }n^2\in\{0,1,4,9\}\subset A
  4. Se numără cazurile favorabile identificate mai sus.
    4 cazuri favorabile\displaystyle 4\text{ cazuri favorabile}
  5. Se aplică formula probabilității clasice, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, și se simplifică fracția.
    p=410=25\displaystyle p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4) și B(7,−4)\displaystyle B(7,-4). Arătați că OA=OM\displaystyle OA=OM, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu formulele de calcul pentru coordonatele mijlocului unui segment, folosind coordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\frac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A(3,4)\displaystyle A(3,4) și B(7,−4)\displaystyle B(7,-4) în formulele mijlocului.
    xM=3+72=5\displaystyle x_M=\frac{3+7}{2}=5, yM=4+(−4)2=0\displaystyle \ y_M=\frac{4+(-4)}{2}=0
  3. Se obțin coordonatele punctului M\displaystyle M și se calculează distanța OM\displaystyle OM folosind formula distanței de la origine la un punct.
    M(5,0)⇒OM=52+02=5\displaystyle M(5,0)\Rightarrow OM=\sqrt{5^2+0^2}=5
  4. Se calculează distanța OA\displaystyle OA folosind formula distanței de la origine la punctul A\displaystyle A, cu coordonatele A(3,4)\displaystyle A(3,4).
    OA=32+42=9+16=25=5\displaystyle OA=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
  5. Se compară cele două distanțe obținute, OA\displaystyle OA și OM\displaystyle OM, și se conclude egalitatea cerută.
    OA=32+42=5, deci OA=OM\displaystyle OA=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{, deci }OA=OM
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=8\displaystyle AB=8, AC=3\displaystyle AC=3 și punctul M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Arătați că perimetrul triunghiului AMC\displaystyle AMC este egal cu 12\displaystyle 12.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că M\displaystyle M este un punct pe segmentul AB\displaystyle AB, deci unghiul MAC\displaystyle MAC coincide cu unghiul BAC\displaystyle BAC, care este drept. Astfel triunghiul AMC\displaystyle AMC este dreptunghic în A\displaystyle A.
    ∠MAC=∠BAC=90∘\displaystyle \angle MAC=\angle BAC=90^\circ
  2. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, lungimea AM\displaystyle AM este jumătate din AB\displaystyle AB.
    AM=AB2=82=4\displaystyle AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}=4
  3. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AMC\displaystyle AMC pentru a afla lungimea ipotenuzei MC\displaystyle MC.
    MC=AM2+AC2=42+32=16+9=25=5\displaystyle MC=\sqrt{AM^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
  4. Se calculează perimetrul triunghiului AMC\displaystyle AMC însumând lungimile celor trei laturi.
    P△AMC=AM+AC+MC=4+3+5=12\displaystyle P_{\triangle AMC}=AM+AC+MC=4+3+5=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−5(x+y)+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15.

Arătați că 2∘2=3\displaystyle 2\circ 2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică faptul că trebuie calculată valoarea pentru x=y=2\displaystyle x=y=2, adică 2∘2\displaystyle 2\circ 2.
    x∘y=2xy−5(x+y)+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15
  2. Se înlocuiește x=2\displaystyle x=2 și y=2\displaystyle y=2 în expresia legii de compoziție.
    2∘2=2⋅2⋅2−5(2+2)+15\displaystyle 2\circ 2=2\cdot 2\cdot 2-5(2+2)+15
  3. Se efectuează înmulțirile: 2⋅2⋅2=8\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8, iar suma din paranteză 2+2=4\displaystyle 2+2=4, apoi se înmulțește cu 5\displaystyle 5.
    2∘2=8−5⋅4+15\displaystyle 2\circ 2=8-5\cdot 4+15
  4. Se calculează 5⋅4=20\displaystyle 5\cdot 4=20, obținându-se expresia finală de adunat/scăzut.
    2∘2=8−20+15\displaystyle 2\circ 2=8-20+15
  5. Se efectuează calculul final: 8−20+15=3\displaystyle 8-20+15=3.
    2∘2=8−20+15=3\displaystyle 2\circ 2=8-20+15=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−5(x+y)+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15.

Arătați că e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește definiția elementului neutru: un element e∈R\displaystyle e\in\mathbb{R} este element neutru pentru legea "∘\displaystyle \circ" dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Se presupune, conform indicației, că elementul neutru căutat este e=3\displaystyle e=3 și se verifică relația.
    Se verifica˘ daca˘ x∘3=3∘x=x\displaystyle \text{Se verifică dacă } x\circ 3=3\circ x=x, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Se calculează x∘3\displaystyle x\circ 3 folosind legea de compoziție dată, înlocuind y=3\displaystyle y=3.
    x∘3=2⋅x⋅3−5(x+3)+15\displaystyle x\circ 3=2\cdot x\cdot 3-5(x+3)+15
  3. Se efectuează calculele: se desface paranteza și se reduc termenii asemenea.
    x∘3=6x−5x−15+15=x\displaystyle x\circ 3=6x-5x-15+15=x
  4. Se calculează 3∘x\displaystyle 3\circ x folosind legea de compoziție dată, înlocuind x1=3\displaystyle x_1=3 și y=x\displaystyle y=x.
    3∘x=2⋅3⋅x−5(3+x)+15\displaystyle 3\circ x=2\cdot 3\cdot x-5(3+x)+15
  5. Se efectuează calculele: se desface paranteza și se reduc termenii asemenea, obținându-se același rezultat x\displaystyle x.
    3∘x=6x−15−5x+15=x\displaystyle 3\circ x=6x-15-5x+15=x
  6. Deoarece x∘3=3∘x=x\displaystyle x\circ 3=3\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, rezultă că elementul neutru al legii de compoziție este e=3\displaystyle e=3.
    3∘x=2⋅3⋅x−5(3+x)+15=6x−15−5x+15=x, deci e=3\displaystyle 3\circ x=2\cdot 3\cdot x-5(3+x)+15=6x-15-5x+15=x\text{, deci }e=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−5(x+y)+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15.

Determinați mulțimea numerelor reale x\displaystyle x pentru care x∘4≤1\displaystyle x\circ 4\le 1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție pentru x∘4\displaystyle x\circ 4, înlocuind y\displaystyle y cu 4\displaystyle 4 în formula dată.
    x∘4=2x⋅4−5(x+4)+15\displaystyle x\circ 4=2x\cdot 4-5(x+4)+15
  2. Se efectuează calculele: se desface paranteza și se reduc termenii asemenea.
    x∘4=8x−5x−20+15\displaystyle x\circ 4=8x-5x-20+15
  3. Se simplifică expresia obținută, ajungând la forma finală a lui x∘4\displaystyle x\circ 4.
    x∘4=3x−5\displaystyle x\circ 4=3x-5
  4. Se pune condiția din enunț, x∘4≤1\displaystyle x\circ 4\leq 1, și se înlocuiește expresia calculată anterior.
    3x−5≤1\displaystyle 3x-5\le 1
  5. Se rezolvă inecuația de gradul întâi: se adună 5\displaystyle 5 în ambii membri, apoi se împarte la 3\displaystyle 3.
    3x≤6⇒x≤2\displaystyle 3x\le 6\Rightarrow x\le 2
  6. Se exprimă mulțimea soluțiilor sub formă de interval.
    3x−5≤1⇒x≤2, deci x∈(−∞,2]\displaystyle 3x-5\le 1\Rightarrow x\le 2\text{, deci }x\in(-\infty,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−5(x+y)+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15.

Arătați că x∘y=2(x−52)(y−52)+52\displaystyle x\circ y=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la definiția legii de compoziție și se desface paranteza cu semnul minus.
    x∘y=2xy−5(x+y)+15=2xy−5x−5y+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15=2xy-5x-5y+15
  2. Se scrie constanta 15\displaystyle 15 ca sumă convenabilă 252+52\displaystyle \dfrac{25}{2}+\dfrac{5}{2}, astfel încât termenii 2xy−5x\displaystyle 2xy-5x să poată fi grupați cu 252\displaystyle \dfrac{25}{2} pentru a forma un factor comun (y−52)\displaystyle \left(y-\dfrac{5}{2}\right), iar termenii −5y+252\displaystyle -5y+\dfrac{25}{2} să conducă la același factor.
    x∘y=2xy−5x−5y+252+52=2x(y−52)−5(y−52)+52\displaystyle x\circ y=2xy-5x-5y+\frac{25}{2}+\frac{5}{2}=2x\left(y-\frac{5}{2}\right)-5\left(y-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}
  3. Se observă factorul comun (y−52)\displaystyle \left(y-\dfrac{5}{2}\right) în primii doi termeni și se dă factor comun, obținând forma factorizată finală a legii de compoziție.
    x∘y=(y−52)(2x−5)+52=2(x−52)(y−52)+52\displaystyle x\circ y=\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(2x-5\right)+\frac{5}{2}=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−5(x+y)+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii și desfacem parantezele: x∘x=2x2−5(x+x)+15\displaystyle x\circ x=2x^{2}-5(x+x)+15, adică x∘x=2x2−10x+15\displaystyle x\circ x=2x^{2}-10x+15.
    x∘x=2x2−10x+15\displaystyle x\circ x=2x^{2}-10x+15
  2. Scriem expresia în formă canonică, prin completare la pătrat: 2(x−52)2=2x2−10x+252\displaystyle 2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}=2x^{2}-10x+\dfrac{25}{2}, deci mai trebuie adunat 15−252=52\displaystyle 15-\dfrac{25}{2}=\dfrac{5}{2}.
    x∘x=2(x−52)2+52\displaystyle x\circ x=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{5}{2}
  3. Scriem ecuația x∘x=x\displaystyle x\circ x=x folosind forma canonică: 2(x−52)2+52=x\displaystyle 2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{2}=x. Notăm t=x−52\displaystyle t=x-\dfrac{5}{2}, deci x=t+52\displaystyle x=t+\dfrac{5}{2}.
    2t2+52=t+52\displaystyle 2t^{2}+\frac{5}{2}=t+\frac{5}{2}
  4. Reducem termenul 52\displaystyle \dfrac{5}{2} din ambii membri și mutăm totul în stânga: 2t2−t=0\displaystyle 2t^{2}-t=0, adică 2(x−52)2−(x−52)=0\displaystyle 2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)=0.
    2(x−52)2−(x−52)=0\displaystyle 2\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\left(x-\frac{5}{2}\right)=0
  5. Dăm t\displaystyle t factor comun: t(2t−1)=0\displaystyle t(2t-1)=0, deci t=0\displaystyle t=0 sau t=12\displaystyle t=\dfrac{1}{2}. Revenim la x=t+52\displaystyle x=t+\dfrac{5}{2}: obținem x=52\displaystyle x=\dfrac{5}{2} sau x=3\displaystyle x=3.
    x=52 sau x=3\displaystyle x=\frac{5}{2}\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−5(x+y)+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care n∘1n\displaystyle n\circ\dfrac{1}{n} este număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție pentru perechea (n,1n)\displaystyle (n, \dfrac{1}{n}), înlocuind x=n\displaystyle x=n și y=1n\displaystyle y=\dfrac{1}{n} în definiția x∘y=2xy−5(x+y)+15\displaystyle x\circ y=2xy-5(x+y)+15.
    n∘1n=2⋅n⋅1n−5(n+1n)+15\displaystyle n\circ\frac{1}{n}=2\cdot n\cdot\frac{1}{n}-5\left(n+\frac{1}{n}\right)+15
  2. Se efectuează calculele: 2⋅n⋅1n=2\displaystyle 2\cdot n\cdot \dfrac{1}{n}=2, iar apoi se desface paranteza cu −5\displaystyle -5.
    n∘1n=2−5n−5n+15\displaystyle n\circ\frac{1}{n}=2-5n-\frac{5}{n}+15
  3. Se adună termenii constanți 2+15=17\displaystyle 2+15=17, obținându-se forma finală a expresiei.
    n∘1n=17−5n−5n\displaystyle n\circ\frac{1}{n}=17-5n-\frac{5}{n}
  4. Se pune condiția ca n∘1n\displaystyle n\circ \dfrac{1}{n} să fie număr natural. Cum n\displaystyle n este natural nenul, termenul 17−5n\displaystyle 17-5n este întotdeauna număr întreg, deci pentru ca suma totală să fie număr natural este necesar ca 5n\displaystyle \dfrac{5}{n} să fie număr întreg, adică n\displaystyle n divide 5\displaystyle 5.
    n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*}, n∣5\displaystyle \ n\mid 5
  5. Divizorii naturali ai lui 5\displaystyle 5 sunt 1\displaystyle 1 și 5\displaystyle 5, deci acestea sunt singurele valori posibile pentru n\displaystyle n care trebuie testate.
    n∈{1,5}\displaystyle n\in\{1,5\}
  6. Se testează n=1\displaystyle n=1: se înlocuiește în expresia obținută și se verifică dacă rezultatul este număr natural.
    n=1 ⁣: 17−5⋅1−51=17−5−5=7∈N\displaystyle n=1\colon\ 17-5\cdot1-\frac{5}{1}=17-5-5=7\in\mathbb{N}
  7. Se testează n=5\displaystyle n=5: se înlocuiește în expresia obținută și se verifică dacă rezultatul este număr natural.
    n=5 ⁣: 17−5⋅5−55=17−25−1=−9∉N\displaystyle n=5\colon\ 17-5\cdot5-\frac{5}{5}=17-25-1=-9\notin\mathbb{N}
  8. Se compară rezultatele obținute: pentru n=1\displaystyle n=1 valoarea este 7\displaystyle 7, număr natural, deci convine; pentru n=5\displaystyle n=5 valoarea este −9\displaystyle -9, care nu este număr natural, deci nu convine.
    n=1, care convine și n=5, care nu convine\displaystyle n=1\text{, care convine și }n=5\text{, care nu convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=2\displaystyle \det(A(2))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=2\displaystyle a=2 în expresia matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(12−102)=(1102)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 2-1\\ 0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2) folosind formula de calcul pentru o matrice de ordinul doi, det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc.
    det⁡(A(2))=∣1102∣=1⋅2−0⋅1\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 0 & 2\end{vmatrix}=1\cdot 2-0\cdot 1
  3. Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea determinantului.
    =2−0=2\displaystyle =2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că 2A(3)−A(5)=I2\displaystyle 2A(3)-A(5)=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea A(3)\displaystyle A(3) prin înlocuirea lui a\displaystyle a cu 3\displaystyle 3 în A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}
    A(3)=(1203)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Se determină matricea A(5)\displaystyle A(5) prin înlocuirea lui a\displaystyle a cu 5\displaystyle 5 în A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}
    A(5)=(1405)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}1 & 4\\ 0 & 5\end{pmatrix}
  3. Se calculează 2A(3)\displaystyle 2A(3), înmulțind fiecare element al matricei A(3)\displaystyle A(3) cu 2\displaystyle 2
    2A(3)=(2406)\displaystyle 2A(3)=\begin{pmatrix}2 & 4\\ 0 & 6\end{pmatrix}
  4. Se scrie diferența 2A(3)−A(5)\displaystyle 2A(3)-A(5) folosind matricele calculate anterior
    2A(3)−A(5)=(2406)−(1405)\displaystyle 2A(3)-A(5)=\begin{pmatrix}2 & 4\\ 0 & 6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 4\\ 0 & 5\end{pmatrix}
  5. Se efectuează scăderea element cu element și se obține matricea unitate I2\displaystyle I_2
    =(1001)=I2\displaystyle =\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a+1))=2a2\displaystyle \det(A(a+1))=2a^2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(a)\displaystyle A(a) cu a\displaystyle a înlocuit prin a+1\displaystyle a+1, folosind forma generală A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}.
    A(a+1)=(1(a+1)−10a+1)=(1a0a+1)\displaystyle A(a+1)=\begin{pmatrix}1 & (a+1)-1\\ 0 & a+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a\\ 0 & a+1\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei A(a+1)\displaystyle A(a+1) folosind formula det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2.
    det⁡(A(a+1))=1⋅(a+1)−a⋅0\displaystyle \det(A(a+1))=1\cdot(a+1)-a\cdot 0
  3. Se simplifică expresia obținută pentru determinant.
    det⁡(A(a+1))=a+1\displaystyle \det(A(a+1))=a+1
  4. Se pune condiția ca determinantul să fie egal cu expresia dată în enunț, 2a2\displaystyle 2a^{2}, obținându-se o ecuație de gradul al doilea în a\displaystyle a.
    a+1=2a2⇔2a2−a−1=0\displaystyle a+1=2a^2\Leftrightarrow 2a^2-a-1=0
  5. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea 2a2−a−1=0\displaystyle 2a^{2}-a-1=0.
    Δ=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=1+8=9\displaystyle \Delta=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9
  6. Se calculează rădăcinile ecuației folosind formula a=−b±Δ2⋅2\displaystyle a=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot 2} și se obțin cele două soluții.
    a=1±34⇒a=−12 sau a=1\displaystyle a=\dfrac{1\pm 3}{4}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)⋅A(b)=A(ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem explicit matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b) conform definiției date în enunț, pentru a pregăti înmulțirea lor.
    A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix},A(b)=(1b−10b)\displaystyle \quad A(b)=\begin{pmatrix}1 & b-1\\ 0 & b\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 1 al produsului A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b), înmulțind linia 1 din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana 1 din A(b)\displaystyle A(b).
    (1,1):  1⋅1+(a−1)⋅0=1\displaystyle (1,1):\; 1\cdot 1+(a-1)\cdot 0=1
  3. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 2 al produsului, înmulțind linia 1 din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana 2 din A(b)\displaystyle A(b).
    (1,2):  1⋅(b−1)+(a−1)⋅b=b−1+(a−1)b\displaystyle (1,2):\; 1\cdot(b-1)+(a-1)\cdot b=b-1+(a-1)b
  4. Calculăm elementul de pe linia 2, coloana 1 al produsului, înmulțind linia 2 din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana 1 din A(b)\displaystyle A(b).
    (2,1):  0⋅1+a⋅0=0\displaystyle (2,1):\; 0\cdot 1+a\cdot 0=0
  5. Calculăm elementul de pe linia 2, coloana 2 al produsului, înmulțind linia 2 din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana 2 din A(b)\displaystyle A(b).
    (2,2):  0⋅(b−1)+a⋅b=ab\displaystyle (2,2):\; 0\cdot(b-1)+a\cdot b=ab
  6. Asamblăm toate elementele calculate mai sus într-o singură matrice, obținând produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b).
    A(a)⋅A(b)=(1a−10a)(1b−10b)=(1b−1+(a−1)b0ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & b-1\\ 0 & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & b-1+(a-1)b\\ 0 & ab\end{pmatrix}
  7. Simplificăm expresia de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2), desfăcând paranteza și reducând termenii asemenea, pentru a aduce matricea la forma A(ab)\displaystyle A(ab).
    b−1+(a−1)b=b−1+ab−b=ab−1\displaystyle b-1+(a-1)b=b-1+ab-b=ab-1
  8. Înlocuim rezultatul simplificat în matrice și observăm că aceasta are exact forma A(ab)\displaystyle A(ab), ceea ce demonstrează egalitatea cerută.
    A(a)⋅A(b)=(1ab−10ab)=A(ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1 & ab-1\\ 0 & ab\end{pmatrix}=A(ab)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați inversa matricei B=A(2)⋅A(3)\displaystyle B=A(2)\cdot A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem explicit matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(3)\displaystyle A(3) folosind formula dată pentru A(a)\displaystyle A(a).
    A(2)=(1102)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}, A(3)=(1203)\displaystyle \ A(3)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(2)⋅A(3)\displaystyle A(2)\cdot A(3) prin înmulțirea directă a celor două matrice, linie cu coloană.
    A(2)⋅A(3)=(1⋅1+1⋅01⋅2+1⋅30⋅1+2⋅00⋅2+2⋅3)=(1506)\displaystyle A(2)\cdot A(3)=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot2+1\cdot3\\ 0\cdot1+2\cdot0 & 0\cdot2+2\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5\\ 0 & 6\end{pmatrix}
  3. Observăm că rezultatul obținut coincide cu A(6)\displaystyle A(6), conform definiției matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru a=6\displaystyle a=6, deci B=A(2)⋅A(3)=A(6)\displaystyle B=A(2)\cdot A(3)=A(6).
    B=A(2)⋅A(3)=A(6)=(1506)\displaystyle B=A(2)\cdot A(3)=A(6)=\begin{pmatrix}1 & 5\\ 0 & 6\end{pmatrix}
  4. Demonstrăm proprietatea generală A(a)⋅A(b)=A(ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(ab), calculând produsul a două matrice arbitrare de forma dată, pentru a o putea folosi la calculul inversei.
    A(a)⋅A(b)=(1a−10a)(1b−10b)=(1ab−10ab)=A(ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & b-1\\ 0 & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & ab-1\\ 0 & ab\end{pmatrix}=A(ab)
  5. Observăm că A(1)=I2\displaystyle A(1)=I_{2} (se verifică direct din definiție, pentru a=1\displaystyle a=1), deci inversa lui A(a)\displaystyle A(a) este acea matrice A(x)\displaystyle A(x) pentru care A(a)⋅A(x)=A(1)=I2\displaystyle A(a)\cdot A(x)=A(1)=I_{2}.
    A(1)=(1001)=I2\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2
  6. Folosim proprietatea A(a)⋅A(b)=A(ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(ab) pentru B=A(6)\displaystyle B=A(6): căutăm x\displaystyle x astfel încât A(6)⋅A(x)=A(6x)=A(1)\displaystyle A(6)\cdot A(x)=A(6x)=A(1), deci 6x=1\displaystyle 6x=1, adică x=16\displaystyle x=\dfrac{1}{6}.
    A(6)⋅A(16)=A(6⋅16)=A(1)=I2 ⇒ B−1=A(16)\displaystyle A(6)\cdot A\left(\frac{1}{6}\right)=A\left(6\cdot\frac{1}{6}\right)=A(1)=I_2\ \Rightarrow\ B^{-1}=A\left(\frac{1}{6}\right)
  7. Scriem explicit inversa, înlocuind a=16\displaystyle a=\dfrac{1}{6} în formula matricei A(a)\displaystyle A(a): elementul (1,2)\displaystyle (1,2) este a−1=16−1=−56\displaystyle a-1=\dfrac{1}{6}-1=-\dfrac{5}{6}, iar elementul (2,2)\displaystyle (2,2) este a=16\displaystyle a=\dfrac{1}{6}.
    B−1=A(16)=(1−56016)\displaystyle B^{-1}=A\left(\frac{1}{6}\right)=\begin{pmatrix}1 & -\frac{5}{6}\\ 0 & \frac{1}{6}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1a−10a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 0 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere naturale pentru care det⁡(bA(a))=4\displaystyle \det(bA(a))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea bA(a)\displaystyle bA(a), obținută prin înmulțirea fiecărui element al matricei A(a)\displaystyle A(a) cu scalarul b\displaystyle b.
    bA(a)=(bb(a−1)0ab)\displaystyle bA(a)=\begin{pmatrix}b & b(a-1)\\ 0 & ab\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei bA(a)\displaystyle bA(a), folosind formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2 superior triunghiulară (produsul elementelor de pe diagonala principală, minus produsul celorlalte două elemente, care aici este 0\displaystyle 0).
    det⁡(bA(a))=b⋅(ab)−0⋅b(a−1)=ab2\displaystyle \det(bA(a))=b\cdot(ab)-0\cdot b(a-1)=ab^2
  3. Se pune condiția din enunț, ca determinantul să fie egal cu 4\displaystyle 4, obținând ecuația în a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    ab2=4\displaystyle ab^2=4,a\displaystyle \quad a,b∈N∗\displaystyle b\in\mathbb{N}^{*}
  4. Deoarece a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere naturale nenule, iar produsul ab2\displaystyle ab^{2} trebuie să fie 4\displaystyle 4, se analizează valorile posibile ale lui b\displaystyle b, pentru care b2\displaystyle b^{2} divide 4\displaystyle 4: b=1\displaystyle b=1 sau b=2\displaystyle b=2 (pentru b≥3\displaystyle b\geq 3, b2>4\displaystyle b^{2}>4, imposibil).
    b=1⇒a=4;b=2⇒a=1\displaystyle b=1\Rightarrow a=4;\quad b=2\Rightarrow a=1
  5. Se scriu perechile (a,b)\displaystyle (a,b) obținute, care verifică ecuația ab2=4\displaystyle ab^{2}=4.
    ab2=4⇒(a,b)∈{(1,2),(4,1)}\displaystyle ab^2=4\Rightarrow(a,b)\in\{(1,2),(4,1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.