Bac matematică M4 pedagogic 2022, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (3+1)2−(3−1)2=48\displaystyle (\sqrt{3}+1)^2-(\sqrt{3}-1)^2=\sqrt{48}.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, unde a=3\displaystyle a=\sqrt{3} și b=1\displaystyle b=1.
    (3+1)2=(3)2+2⋅3⋅1+12=3+23+1\displaystyle (\sqrt{3}+1)^2=(\sqrt{3})^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot 1+1^2=3+2\sqrt{3}+1
  2. Adunăm termenii fără radical: 3+1=4\displaystyle 3+1=4.
    (3+1)2=4+23\displaystyle (\sqrt{3}+1)^2=4+2\sqrt{3}
  3. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu aceleași valori a=3\displaystyle a=\sqrt{3} și b=1\displaystyle b=1, apoi adunăm 3+1=4\displaystyle 3+1=4.
    (3−1)2=3−23+1=4−23\displaystyle (\sqrt{3}-1)^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}
  4. Scădem cele două rezultate. Atenție la semnul minus din fața parantezei, care schimbă semnele termenilor din a doua paranteză.
    (4+23)−(4−23)=4+23−4+23\displaystyle (4+2\sqrt{3})-(4-2\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}
  5. Reducem termenii: 4−4=0\displaystyle 4-4=0, iar 23+23=43\displaystyle 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}. Apoi introducem factorul 4 sub radical: 43=16⋅3=48\displaystyle 4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}, deci egalitatea este demonstrată.
    (4+23)−(4−23)=43=16⋅3=48\displaystyle (4+2\sqrt{3})-(4-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=−2x+5\displaystyle g(x)=-2x+5.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție a graficelor are abscisa x\displaystyle x pentru care f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Egalăm cele două expresii.
    2x+1=−2x+5\displaystyle 2x+1=-2x+5
  2. Trecem termenii cu x\displaystyle x în partea stângă și numerele în partea dreaptă: 2x+2x=5−1\displaystyle 2x+2x=5-1, deci 4x=4\displaystyle 4x=4.
    4x=4\displaystyle 4x=4
  3. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=1\displaystyle x=1
  4. Calculăm ordonata înlocuind x=1\displaystyle x=1 în f\displaystyle f: f(1)=2⋅1+1=3\displaystyle f(1)=2\cdot 1+1=3. Se obține același rezultat și cu g\displaystyle g: g(1)=−2+5=3\displaystyle g(1)=-2+5=3.
    f(1)=2⋅1+1=3\displaystyle f(1)=2\cdot 1+1=3
  5. Punctul de intersecție are abscisa 1\displaystyle 1 și ordonata 3\displaystyle 3.
    (1,3)\displaystyle (1,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−2=(13)−2x\displaystyle 3^{x-2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza din membrul drept ca putere a lui 3: 13=3−1\displaystyle \dfrac{1}{3}=3^{-1}.
    13=3−1\displaystyle \dfrac{1}{3}=3^{-1}
  2. Aplicăm regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}: (13)−2x=(3−1)−2x=3(−1)⋅(−2x)=32x\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2x}=\left(3^{-1}\right)^{-2x}=3^{(-1)\cdot(-2x)}=3^{2x}. Ecuația devine 3x−2=32x\displaystyle 3^{x-2}=3^{2x}.
    3x−2=32x\displaystyle 3^{x-2}=3^{2x}
  3. Funcția t↦3t\displaystyle t\mapsto 3^{t} este injectivă, deci din egalitatea puterilor cu aceeași bază rezultă egalitatea exponenților.
    x−2=2x\displaystyle x-2=2x
  4. Din x−2=2x\displaystyle x-2=2x obținem −2=2x−x\displaystyle -2=2x-x, deci x=−2\displaystyle x=-2. Soluția este un număr real, deci convine.
    x=−2\displaystyle x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1,2,3,4,5,6,7\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 și 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu cifra zecilor a\displaystyle a și cifra unităților b\displaystyle b, ambele alese dintre cifrele 1,2,3,4,5,6,7,8\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8. Numărul este impar dacă și numai dacă ultima cifră, cifra unităților b\displaystyle b, este impară, adică b∈{1,3,5,7}\displaystyle b\in\{1,3,5,7\}.
    b∈{1,3,5,7}\displaystyle b\in\{1,3,5,7\}
  2. Dintre cifrele date, cele impare sunt 1,3,5\displaystyle 1, 3, 5 și 7\displaystyle 7, deci cifra unităților se poate alege în 4\displaystyle 4 moduri.
    4\displaystyle 4
  3. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 8\displaystyle 8 cifre date (nu se cere ca cifrele să fie distincte, iar 0\displaystyle 0 nu apare printre ele), deci se alege în 8\displaystyle 8 moduri.
    8\displaystyle 8
  4. Aplicăm regula produsului: numărul de numere este produsul dintre numărul de alegeri pentru unități și numărul de alegeri pentru zeci. Se pot forma 32\displaystyle 32 de numere.
    4⋅8=32\displaystyle 4\cdot 8=32
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,2)\displaystyle A(0,2), B(5,2)\displaystyle B(5,2) și C(6,6)\displaystyle C(6,6). Determinați distanța de la punctul B\displaystyle B la mijlocul segmentului AC\displaystyle AC.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AC\displaystyle AC. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2} și yM=yA+yC2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}.
    xM=xA+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2},yM=yA+yC2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(0,2)\displaystyle A(0,2) și C(6,6)\displaystyle C(6,6): xM=0+62=3\displaystyle x_M=\dfrac{0+6}{2}=3, yM=2+62=4\displaystyle y_M=\dfrac{2+6}{2}=4. Deci M(3,4)\displaystyle M(3,4).
    xM=3\displaystyle x_M=3,yM=4\displaystyle \quad y_M=4
  3. Aplicăm formula distanței pentru B(5,2)\displaystyle B(5,2) și M(3,4)\displaystyle M(3,4): BM=(xM−xB)2+(yM−yB)2\displaystyle BM=\sqrt{(x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2}, adică BM=(3−5)2+(4−2)2\displaystyle BM=\sqrt{(3-5)^2+(4-2)^2}.
    BM=(3−5)2+(4−2)2\displaystyle BM=\sqrt{(3-5)^2+(4-2)^2}
  4. Calculăm: (−2)2+22=4+4=8\displaystyle (-2)^2+2^2=4+4=8, deci BM=8=22\displaystyle BM=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
    BM=8=22\displaystyle BM=\sqrt{8}=2\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=9\displaystyle AB=9, AC=12\displaystyle AC=12 și BC=15\displaystyle BC=15. Arătați că sin⁡B+sin⁡C=75\displaystyle \sin B+\sin C=\frac{7}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm AB2=92=81\displaystyle AB^{2}=9^{2}=81 și AC2=122=144\displaystyle AC^{2}=12^{2}=144, apoi suma lor.
    AB2+AC2=81+144=225\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=81+144=225
  2. Calculăm BC2=152=225\displaystyle BC^{2}=15^{2}=225. Cum AB2+AC2=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}, din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, cu ipotenuza BC\displaystyle BC.
    AB2+AC2=BC2⇒∠A=90∘\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Rightarrow \angle A=90^{\circ}
  3. În triunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Pentru unghiul B\displaystyle B, cateta opusă este AC\displaystyle AC, iar ipotenuza este BC\displaystyle BC.
    sin⁡B=ACBC=1215=45\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}
  4. Pentru unghiul C\displaystyle C, cateta opusă este AB\displaystyle AB, iar ipotenuza este BC\displaystyle BC.
    sin⁡C=ABBC=915=35\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}
  5. Adunăm cele două valori: sin⁡B+sin⁡C=45+35\displaystyle \sin B+\sin C=\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}, deci obținem rezultatul cerut.
    sin⁡B+sin⁡C=45+35=75\displaystyle \sin B+\sin C=\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{7}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}.

Arătați că 4∗2=0\displaystyle 4*2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\dfrac{1}{3}xy+\dfrac{1}{3}(x+y)+\dfrac{2}{3}. Pentru x=4\displaystyle x=4 și y=2\displaystyle y=2 înlocuim direct în formulă.
    4∗2=−13⋅4⋅2+13(4+2)+23\displaystyle 4*2=-\dfrac{1}{3}\cdot 4\cdot 2+\dfrac{1}{3}(4+2)+\dfrac{2}{3}
  2. Calculăm separat fiecare termen: −13⋅4⋅2=−83\displaystyle -\dfrac{1}{3}\cdot 4\cdot 2=-\dfrac{8}{3}, apoi 13(4+2)=63\displaystyle \dfrac{1}{3}(4+2)=\dfrac{6}{3}, iar ultimul termen rămâne 23\displaystyle \dfrac{2}{3}.
    −83+63+23\displaystyle -\dfrac{8}{3}+\dfrac{6}{3}+\dfrac{2}{3}
  3. Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: −8+6+23=03=0\displaystyle \dfrac{-8+6+2}{3}=\dfrac{0}{3}=0. Astfel 4∗2=0\displaystyle 4*2=0, ceea ce trebuia arătat.
    −83+63+23=0\displaystyle -\dfrac{8}{3}+\dfrac{6}{3}+\dfrac{2}{3}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}.

Demonstrați că x∗y=−13(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\dfrac{1}{3}xy+\dfrac{1}{3}(x+y)+\dfrac{2}{3}.
    x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}
  2. Desfacem paranteza: 13(x+y)=13x+13y\displaystyle \dfrac{1}{3}(x+y)=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}y. Grupăm termenii cu x\displaystyle x: −13xy+13x=−13x(y−1)\displaystyle -\dfrac{1}{3}xy+\dfrac{1}{3}x=-\dfrac{1}{3}x(y-1). Pentru termenul cu y\displaystyle y scriem 13y=13(y−1)+13\displaystyle \dfrac{1}{3}y=\dfrac{1}{3}(y-1)+\dfrac{1}{3}.
    x∗y=−13x(y−1)+13(y−1)+13+23\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}x(y-1)+\frac{1}{3}(y-1)+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}
  3. Adunăm termenii liberi: 13+23=1\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1.
    x∗y=−13x(y−1)+13(y−1)+1\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}x(y-1)+\frac{1}{3}(y-1)+1
  4. Dăm factor comun (y−1)\displaystyle (y-1) între primii doi termeni: (y−1)(−13x+13)=−13(x−1)(y−1)\displaystyle (y-1)\left(-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}(x-1)(y-1). Deci x∗y=−13(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=-\dfrac{1}{3}(x-1)(y-1)+1, pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    x∗y=−13(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 4∗x=x\displaystyle 4*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Observăm că −13xy+13(x+y)+23\displaystyle -\dfrac{1}{3}xy+\dfrac{1}{3}(x+y)+\dfrac{2}{3} se poate scrie ca −13(x−1)(y−1)+1\displaystyle -\dfrac{1}{3}(x-1)(y-1)+1.
    x∗y=−13(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=-\dfrac{1}{3}(x-1)(y-1)+1
  2. Verificăm factorizarea: −13(xy−x−y+1)+1=−13xy+13(x+y)−13+1\displaystyle -\dfrac{1}{3}(xy-x-y+1)+1=-\dfrac{1}{3}xy+\dfrac{1}{3}(x+y)-\dfrac{1}{3}+1, iar −13+1=23\displaystyle -\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}, deci se obține legea dată.
    −13(x−1)(y−1)+1=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle -\dfrac{1}{3}(x-1)(y-1)+1=-\dfrac{1}{3}xy+\dfrac{1}{3}(x+y)+\dfrac{2}{3}
  3. Înlocuim primul număr cu 4\displaystyle 4 în forma factorizată: 4∗x=−13(4−1)(x−1)+1\displaystyle 4*x=-\dfrac{1}{3}(4-1)(x-1)+1. Cum 4−1=3\displaystyle 4-1=3, iar −13⋅3=−1\displaystyle -\dfrac{1}{3}\cdot 3=-1, obținem 4∗x=−(x−1)+1=−x+2\displaystyle 4*x=-(x-1)+1=-x+2.
    4∗x=−13(4−1)(x−1)+1=−x+2\displaystyle 4*x=-\dfrac{1}{3}(4-1)(x-1)+1=-x+2
  4. Punem condiția 4∗x=x\displaystyle 4*x=x, adică −x+2=x\displaystyle -x+2=x. De aici 2x=2\displaystyle 2x=2.
    −x+2=x⇒2x=2\displaystyle -x+2=x \Rightarrow 2x=2
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem soluția x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}.

Arătați că e=−2\displaystyle e=-2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție într-o formă mai comodă. Desfacem produsul (x−1)(y−1)=xy−x−y+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1 și observăm că −13(x−1)(y−1)+1=−13xy+13(x+y)−13+1\displaystyle -\dfrac{1}{3}(x-1)(y-1)+1=-\dfrac{1}{3}xy+\dfrac{1}{3}(x+y)-\dfrac{1}{3}+1, iar −13+1=23\displaystyle -\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}, deci obținem exact expresia din enunț.
    x∗y=−13(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}(x-1)(y-1)+1
  2. Verificăm elementul neutru la stânga: calculăm (−2)∗x\displaystyle (-2)*x folosind forma de mai sus. Avem −2−1=−3\displaystyle -2-1=-3, iar −13⋅(−3)=1\displaystyle -\dfrac{1}{3}\cdot(-3)=1, deci rămâne (x−1)+1\displaystyle (x-1)+1.
    (−2)∗x=−13(−2−1)(x−1)+1=x−1+1=x\displaystyle (-2)*x=-\frac{1}{3}(-2-1)(x-1)+1=x-1+1=x
  3. Verificăm elementul neutru la dreapta: calculăm x∗(−2)\displaystyle x*(-2) folosind forma de mai sus. Din nou −2−1=−3\displaystyle -2-1=-3, iar −13⋅(−3)=1\displaystyle -\dfrac{1}{3}\cdot(-3)=1, deci obținem x−1+1=x\displaystyle x-1+1=x. Cum ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real, e=−2\displaystyle e=-2 este element neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    x∗(−2)=−13(x−1)(−2−1)+1=x−1+1=x\displaystyle x*(-2)=-\frac{1}{3}(x-1)(-2-1)+1=x-1+1=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}. Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=−2\displaystyle x*x=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru x∗x\displaystyle x*x, adică punem y=x\displaystyle y=x în definiția dată.
    x∗x=−13x2+13⋅2x+23\displaystyle x*x=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{3}\cdot 2x+\frac{2}{3}
  2. Scoatem factor comun −13\displaystyle -\frac{1}{3} din cei trei termeni. Apoi recunoaștem pătratul perfect (x−1)2=x2−2x+1\displaystyle (x-1)^2=x^2-2x+1, adăugând și scăzând 1\displaystyle 1 în paranteză.
    x∗x=−13(x2−2x−2)=−13[(x−1)2−3]=−13(x−1)2+1\displaystyle x*x=-\frac{1}{3}\left(x^{2}-2x-2\right)=-\frac{1}{3}\left[(x-1)^{2}-3\right]=-\frac{1}{3}(x-1)^{2}+1
  3. Punem condiția x∗x=−2\displaystyle x*x=-2 folosind forma factorizată.
    −13(x−1)2+1=−2\displaystyle -\frac{1}{3}(x-1)^{2}+1=-2
  4. Mutăm 1\displaystyle 1 în membrul drept: −13(x−1)2=−3\displaystyle -\frac{1}{3}(x-1)^{2}=-3. Apoi înmulțim ecuația cu −3\displaystyle -3 pentru a obține (x−1)2\displaystyle (x-1)^2.
    (x−1)2=9\displaystyle (x-1)^{2}=9
  5. Extragem radical din ambii membri: x−1=3\displaystyle x-1=3 sau x−1=−3\displaystyle x-1=-3. De aici obținem cele două soluții reale.
    x=−2 sau x=4\displaystyle x=-2\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−13xy+13(x+y)+23\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}.

Arătați că 1x∗1x≤1\displaystyle \frac{1}{x}*\frac{1}{x}\le 1, pentru orice număr real nenul x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x∗y\displaystyle x*y ambele variabile cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și obținem o expresie în 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    1x∗1x=−13⋅1x2+13⋅2x+23\displaystyle \frac{1}{x}*\frac{1}{x}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{x}+\frac{2}{3}
  2. Scriem expresia sub forma unui pătrat perfect: −13(1x−1)2=−13x2+23x−13\displaystyle -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)^{2}=-\dfrac{1}{3x^{2}}+\dfrac{2}{3x}-\dfrac{1}{3}, iar dacă adunăm 1\displaystyle 1, constanta devine −13+1=23\displaystyle -\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}.
    1x∗1x=−13(1x−1)2+1\displaystyle \frac{1}{x}*\frac{1}{x}=-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}-1\right)^{2}+1
  3. Inegalitatea cerută devine −13(1x−1)2+1≤1\displaystyle -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)^{2}+1\le 1. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem inegalitatea echivalentă de mai jos.
    −13(1x−1)2+1≤1⇔−13(1x−1)2≤0\displaystyle -\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}-1\right)^{2}+1\le 1\Leftrightarrow -\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}-1\right)^{2}\le 0
  4. Înmulțim cu −3\displaystyle -3, deci sensul inegalității se schimbă, și ajungem la o inegalitate adevărată, pentru că un pătrat perfect este mereu pozitiv sau nul. Deci 1x∗1x≤1\displaystyle \dfrac{1}{x}*\dfrac{1}{x}\le 1 pentru orice x\displaystyle x real nenul.
    (1x−1)2≥0, adeva˘rat pentru orice x∈R∗\displaystyle \left(\frac{1}{x}-1\right)^{2}\ge 0\text{, adevărat pentru orice }x\in\mathbb{R}^{*}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A(x,y)=(xy12)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix}, B=(12−10)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡B=2\displaystyle \det B=2.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin doi: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc
  2. La matricea B\displaystyle B avem a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=−1\displaystyle c=-1, d=0\displaystyle d=0. Înlocuim în formulă: det⁡B=1⋅0−2⋅(−1)\displaystyle \det B=1\cdot 0-2\cdot(-1).
    det⁡B=1⋅0−2⋅(−1)\displaystyle \det B=1\cdot 0-2\cdot(-1)
  3. Calculăm produsele: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, iar −2⋅(−1)=2\displaystyle -2\cdot(-1)=2. Deci det⁡B=0+2=2\displaystyle \det B=0+2=2.
    det⁡B=0+2=2\displaystyle \det B=0+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A(x,y)=(xy12)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix}, B=(12−10)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(2n,2n+1))\displaystyle \det(A(2n,2n+1)) este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2n\displaystyle x=2n și y=2n+1\displaystyle y=2n+1 în matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) și obținem matricea de mai jos.
    A(2n,2n+1)=(2n2n+112)\displaystyle A(2n,2n+1)=\begin{pmatrix}2n & 2n+1\\ 1 & 2\end{pmatrix}
  2. Determinantul unei matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} este ad−bc\displaystyle ad-bc, deci aici avem un produs pe diagonala principală minus un produs pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2n,2n+1))=2n⋅2−(2n+1)⋅1\displaystyle \det(A(2n,2n+1))=2n\cdot 2-(2n+1)\cdot 1
  3. Efectuăm calculele: 4n−2n−1=2n−1\displaystyle 4n-2n-1=2n-1.
    det⁡(A(2n,2n+1))=4n−2n−1=2n−1\displaystyle \det(A(2n,2n+1))=4n-2n-1=2n-1
  4. Pentru n≥1\displaystyle n\geq 1 avem 2n−1≥1\displaystyle 2n-1\geq 1, deci 2n−1\displaystyle 2n-1 este număr natural. Numărul 2n\displaystyle 2n este par, deci 2n−1=2(n−1)+1\displaystyle 2n-1=2(n-1)+1 este impar. Așadar determinantul este număr natural impar pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    2n−1=2(n−1)+1 este numa˘r natural impar\displaystyle 2n-1=2(n-1)+1\text{ este număr natural impar}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A(x,y)=(xy12)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix}, B=(12−10)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că A(2x,0)+A(0,2x)=2A(x,x)\displaystyle A(2x,0)+A(0,2x)=2A(x,x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în A(x,y)=(xy12)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix} valorile x→2x\displaystyle x\to 2x și y→0\displaystyle y\to 0 și obținem matricea A(2x,0)\displaystyle A(2x,0).
    A(2x,0)=(2x012)\displaystyle A(2x,0)=\begin{pmatrix}2x & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix}
  2. Înlocuim în A(x,y)\displaystyle A(x,y) valorile x→0\displaystyle x\to 0 și y→2x\displaystyle y\to 2x și obținem matricea A(0,2x)\displaystyle A(0,2x).
    A(0,2x)=(02x12)\displaystyle A(0,2x)=\begin{pmatrix}0 & 2x\\ 1 & 2\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: 2x+0=2x\displaystyle 2x+0=2x, 0+2x=2x\displaystyle 0+2x=2x, 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și 2+2=4\displaystyle 2+2=4.
    (2x012)+(02x12)=(2x2x24)\displaystyle \begin{pmatrix}2x & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2x\\ 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x & 2x\\ 2 & 4\end{pmatrix}
  4. Calculăm 2A(x,x)\displaystyle 2A(x,x), înmulțind fiecare element al matricei A(x,x)=(xx12)\displaystyle A(x,x)=\begin{pmatrix}x & x\\ 1 & 2\end{pmatrix} cu 2\displaystyle 2. Se obține aceeași matrice ca la suma de mai sus, deci egalitatea este adevărată pentru orice x\displaystyle x real.
    2⋅(xx12)=(2x2x24)=A(2x,0)+A(0,2x), deci A(2x,0)+A(0,2x)=2A(x,x)\displaystyle 2\cdot\begin{pmatrix}x & x\\ 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x & 2x\\ 2 & 4\end{pmatrix}=A(2x,0)+A(0,2x)\text{, deci }A(2x,0)+A(0,2x)=2A(x,x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A(x,y)=(xy12)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix}, B=(12−10)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, astfel încât A(x,y)⋅B=B⋅A(x,y)\displaystyle A(x,y)\cdot B=B\cdot A(x,y).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x,y)⋅B\displaystyle A(x,y)\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B: (xy12)(12−10)\displaystyle \begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
    A(x,y)⋅B=(x⋅1+y⋅(−1)x⋅2+y⋅01⋅1+2⋅(−1)1⋅2+2⋅0)=(x−y2x−12)\displaystyle A(x,y)\cdot B=\begin{pmatrix}x\cdot 1+y\cdot(-1) & x\cdot 2+y\cdot 0\\ 1\cdot 1+2\cdot(-1) & 1\cdot 2+2\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-y & 2x\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A(x,y)\displaystyle B\cdot A(x,y), înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A\displaystyle A: (12−10)(xy12)\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
    B⋅A(x,y)=(1⋅x+2⋅11⋅y+2⋅2−1⋅x+0⋅1−1⋅y+0⋅2)=(x+2y+4−x−y)\displaystyle B\cdot A(x,y)=\begin{pmatrix}1\cdot x+2\cdot 1 & 1\cdot y+2\cdot 2\\ -1\cdot x+0\cdot 1 & -1\cdot y+0\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2 & y+4\\ -x & -y\end{pmatrix}
  3. Punem condiția A(x,y)⋅B=B⋅A(x,y)\displaystyle A(x,y)\cdot B=B\cdot A(x,y), adică cele două matrice calculate trebuie să fie egale.
    (x−y2x−12)=(x+2y+4−x−y)\displaystyle \begin{pmatrix}x-y & 2x\\ -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2 & y+4\\ -x & -y\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale, deci obținem patru ecuații, câte una pentru fiecare poziție din matrice.
    {x−y=x+22x=y+4−1=−x2=−y\displaystyle \begin{cases}x-y=x+2\\ 2x=y+4\\ -1=-x\\ 2=-y\end{cases}
  5. Din prima ecuație, x\displaystyle x se reduce și rămâne y=−2\displaystyle y=-2, la fel ca în ultima ecuație. Din a treia ecuație obținem x=1\displaystyle x=1. Verificăm a doua ecuație: 2⋅1=−2+4\displaystyle 2\cdot 1=-2+4, adevărat.
    y=−2\displaystyle y=-2, x=1\displaystyle \ x=1
  6. Toate cele patru ecuații sunt verificate de aceleași valori, deci numerele căutate sunt x=1\displaystyle x=1 și y=−2\displaystyle y=-2.
    x=1\displaystyle x=1, y=−2\displaystyle \ y=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A(x,y)=(xy12)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix}, B=(12−10)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numărul real strict pozitiv x\displaystyle x, știind că suma elementelor matricei A(log⁡3x,1)\displaystyle A(\log_3 x,1) este egală cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în A(x,y)\displaystyle A(x,y) pe x\displaystyle x cu log⁡3x\displaystyle \log_3 x și pe y\displaystyle y cu 1\displaystyle 1. Obținem matricea A(log⁡3x,1)=(log⁡3x112)\displaystyle A(\log_3 x,1)=\begin{pmatrix}\log_3 x & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
    A(log⁡3x,1)=(log⁡3x112)\displaystyle A(\log_3 x,1)=\begin{pmatrix}\log_3 x & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}
  2. Suma elementelor este log⁡3x+1+1+2\displaystyle \log_3 x+1+1+2, adică 4+log⁡3x\displaystyle 4+\log_3 x.
    log⁡3x+1+1+2=4+log⁡3x\displaystyle \log_3 x+1+1+2=4+\log_3 x
  3. Condiția din enunț este 4+log⁡3x=5\displaystyle 4+\log_3 x=5, deci log⁡3x=1\displaystyle \log_3 x=1. Din definiția logaritmului rezultă x=31=3\displaystyle x=3^{1}=3.
    4+log⁡3x=5⇔log⁡3x=1⇒x=3\displaystyle 4+\log_3 x=5\Leftrightarrow \log_3 x=1\Rightarrow x=3
  4. Logaritmul există doar pentru x>0\displaystyle x>0, iar 3>0\displaystyle 3>0, deci soluția convine. Răspuns final: x=3\displaystyle x=3.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A(x,y)=(xy12)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\\ 1 & 2\end{pmatrix}, B=(12−10)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale. Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, știind că A(x,y)⋅A(x,y)=2I2\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,y)=2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul matricei A(x,y)\displaystyle A(x,y) înmulțind linie cu coloană. Pe prima linie: x⋅x+y⋅1=x2+y\displaystyle x\cdot x+y\cdot 1=x^{2}+y și x⋅y+y⋅2=xy+2y\displaystyle x\cdot y+y\cdot 2=xy+2y. Pe a doua linie: 1⋅x+2⋅1=x+2\displaystyle 1\cdot x+2\cdot 1=x+2 și 1⋅y+2⋅2=y+4\displaystyle 1\cdot y+2\cdot 2=y+4. Scriem și matricea 2I2\displaystyle 2I_2.
    A(x,y)⋅A(x,y)=(x2+yxy+2yx+2y+4)\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,y)=\begin{pmatrix}x^2+y & xy+2y\\ x+2 & y+4\end{pmatrix}
  2. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Egalăm element cu element matricea A(x,y)⋅A(x,y)\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,y) cu 2I2\displaystyle 2I_2 și obținem un sistem de patru ecuații.
    {x2+y=2xy+2y=0x+2=0y+4=2\displaystyle \begin{cases}x^2+y=2\\ xy+2y=0\\ x+2=0\\ y+4=2\end{cases}
  3. Din ecuația x+2=0\displaystyle x+2=0 aflăm x\displaystyle x, iar din ecuația y+4=2\displaystyle y+4=2 aflăm y\displaystyle y.
    x=−2 și y=−2\displaystyle x=-2\text{ și }y=-2
  4. Verificăm valorile în celelalte două ecuații. Avem x2+y=4−2=2\displaystyle x^{2}+y=4-2=2 și xy+2y=4−4=0\displaystyle xy+2y=4-4=0, deci ambele se verifică.
    (−2)2−2=2 și (−2)(−2)+2(−2)=0\displaystyle (-2)^2-2=2\text{ și }(-2)(-2)+2(-2)=0
  5. Toate cele patru ecuații sunt satisfăcute, deci numerele căutate sunt x=−2\displaystyle x=-2 și y=−2\displaystyle y=-2.
    x=−2 și y=−2\displaystyle x=-2\text{ și }y=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.