Bac matematică M3 tehnologic 2013, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(2+2)−32=6\displaystyle 3\left(2+\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}=6.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la membrul stâng 3(2+2)−32\displaystyle 3\left(2+\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2} și observăm că trebuie să desfacem paranteza: factorul 3\displaystyle 3 din fața parantezei se înmulțește cu fiecare termen din interior.
    3(2+2)−32=3⋅2+3⋅2−32\displaystyle 3\left(2+\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}=3\cdot 2+3\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}
  2. Calculăm produsul 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6 și obținem forma desfăcută a parantezei.
    3(2+2)=6+32\displaystyle 3\left(2+\sqrt{2}\right)=6+3\sqrt{2}
  3. Înlocuim în expresia inițială. Termenii 32\displaystyle 3\sqrt{2} și −32\displaystyle -3\sqrt{2} sunt opuși, deci se reduc, iar rămâne doar 6\displaystyle 6. Așadar egalitatea este adevărată.
    6+32−32=6\displaystyle 6+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(−2)⋅f(0)\displaystyle f(-2)\cdot f(0) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 în formula funcției f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1: f(−2)=−2+1\displaystyle f(-2)=-2+1.
    f(−2)=−2+1\displaystyle f(-2)=-2+1
  2. Calculăm suma: −2+1=−1\displaystyle -2+1=-1, deci valoarea funcției în −2\displaystyle -2 este −1\displaystyle -1.
    f(−2)=−1\displaystyle f(-2)=-1
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1: f(0)=0+1=1\displaystyle f(0)=0+1=1.
    f(0)=0+1=1\displaystyle f(0)=0+1=1
  4. Înmulțim cele două valori: f(−2)⋅f(0)=(−1)⋅1\displaystyle f(-2)\cdot f(0)=(-1)\cdot 1.
    f(−2)⋅f(0)=(−1)⋅1\displaystyle f(-2)\cdot f(0)=(-1)\cdot 1
  5. Produsul este −1\displaystyle -1, deci răspunsul final este f(−2)⋅f(0)=−1\displaystyle f(-2)\cdot f(0)=-1.
    f(−2)⋅f(0)=−1\displaystyle f(-2)\cdot f(0)=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2+1)=log⁡31\displaystyle \log_3\left(x^2+1\right)=\log_3 1.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm condiția de existență a logaritmilor: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Expresia x2+1≥1>0\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0 pentru orice x\displaystyle x real, iar log⁡31\displaystyle \log_3 1 există. Ecuația are sens pe toată mulțimea numerelor reale.
    x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Funcția log⁡3\displaystyle \log_3 este injectivă, deci dacă logaritmii sunt egali, argumentele sunt egale. Egalăm argumentele: x2+1=1\displaystyle x^{2}+1=1.
    x2+1=1\displaystyle x^{2}+1=1
  3. Scădem 1 din ambii membri și obținem x2=0\displaystyle x^{2}=0, deci x=0\displaystyle x=0. Această valoare verifică condiția de existență, deci este soluția ecuației.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 1000\displaystyle 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Ieftinirea înseamnă o reducere de 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial. Scriem procentul ca fracție: 10%=10100\displaystyle 10\%=\dfrac{10}{100}.
    10%=10100\displaystyle 10\%=\dfrac{10}{100}
  2. Calculăm valoarea reducerii: 10%⋅1000=10100⋅1000=100\displaystyle 10\%\cdot 1000=\dfrac{10}{100}\cdot 1000=100 lei.
    10%⋅1000=10100⋅1000=100\displaystyle 10\%\cdot 1000=\dfrac{10}{100}\cdot 1000=100
  3. Scădem reducerea din prețul inițial: 1000−100=900\displaystyle 1000-100=900. Prețul obiectului după ieftinire este 900\displaystyle 900 de lei.
    1000−100=900 de lei\displaystyle 1000-100=900\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele P(2,1)\displaystyle P(2,1) și R(2,3)\displaystyle R(2,3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului PR\displaystyle PR.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului PR\displaystyle PR. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: abscisa lui M\displaystyle M este jumătate din suma absciselor lui P\displaystyle P și R\displaystyle R, iar ordonata lui M\displaystyle M este jumătate din suma ordonatelor lui P\displaystyle P și R\displaystyle R.
    xM=xP+xR2 și yM=yP+yR2\displaystyle x_M=\frac{x_P+x_R}{2}\text{ și }y_M=\frac{y_P+y_R}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor: xP=2\displaystyle x_P=2, xR=2\displaystyle x_R=2, yP=1\displaystyle y_P=1, yR=3\displaystyle y_R=3.
    xM=2+22 și yM=1+32\displaystyle x_M=\frac{2+2}{2}\text{ și }y_M=\frac{1+3}{2}
  3. Calculăm abscisa mijlocului: 2+22=42=2\displaystyle \dfrac{2+2}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
    xM=2\displaystyle x_M=2
  4. Calculăm ordonata mijlocului: 1+32=42=2\displaystyle \dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2. Deci mijlocul segmentului PR\displaystyle PR este punctul M(2,2)\displaystyle M(2,2).
    yM=2\displaystyle y_M=2,M(2,2)\displaystyle \quad M(2,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡B\displaystyle \cos B, știind că sin⁡B=513\displaystyle \sin B=\frac{5}{13} și unghiul B\displaystyle B este ascuțit.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim relația fundamentală a trigonometriei: sin⁡2B+cos⁡2B=1\displaystyle \sin^{2} B+\cos^{2} B=1.
    sin⁡2B+cos⁡2B=1\displaystyle \sin^{2} B+\cos^{2} B=1
  2. Exprimăm cos⁡B\displaystyle \cos B. Unghiul B\displaystyle B este ascuțit, deci cos⁡B>0\displaystyle \cos B>0 și alegem rădăcina pozitivă: cos⁡B=1−sin⁡2B\displaystyle \cos B=\sqrt{1-\sin^{2} B}.
    cos⁡B=1−sin⁡2B\displaystyle \cos B=\sqrt{1-\sin^{2} B}
  3. Înlocuim sin⁡B=513\displaystyle \sin B=\dfrac{5}{13} și calculăm pătratul: sin⁡2B=25169\displaystyle \sin^{2} B=\dfrac{25}{169}, deci cos⁡B=1−25169\displaystyle \cos B=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}.
    cos⁡B=1−25169\displaystyle \cos B=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}
  4. Aducem la același numitor: 1−25169=144169\displaystyle 1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}. Atunci cos⁡B=144169=1213\displaystyle \cos B=\sqrt{\dfrac{144}{169}}=\dfrac{12}{13}.
    cos⁡B=1213\displaystyle \cos B=\dfrac{12}{13}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A și amintim formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣1110∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula: pe diagonala principală avem 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0, iar pe cea secundară 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, deci det⁡A=1⋅0−1⋅1\displaystyle \det A=1\cdot 0-1\cdot 1.
    det⁡A=1⋅0−1⋅1=0−1\displaystyle \det A=1\cdot 0-1\cdot 1=0-1
  3. Efectuăm scăderea 0−1\displaystyle 0-1 și obținem valoarea determinantului.
    det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅A−xI2=A\displaystyle A\cdot A-xI_2=A, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind liniile cu coloanele: (1110)⋅(1110)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}, cu elementele 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot1+1\cdot1=2, 1⋅1+1⋅0=1\displaystyle 1\cdot1+1\cdot0=1, 1⋅1+0⋅1=1\displaystyle 1\cdot1+0\cdot1=1, 1⋅1+0⋅0=1\displaystyle 1\cdot1+0\cdot0=1.
    A⋅A=(2111)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
  2. Avem xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}. Scădem element cu element din A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A−xI2=(2−x111−x)\displaystyle A\cdot A-xI_2=\begin{pmatrix}2-x&1\\1&1-x\end{pmatrix}
  3. Egalăm matricea obținută cu A\displaystyle A: (2−x111−x)=(1110)\displaystyle \begin{pmatrix}2-x&1\\1&1-x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}. Din poziția (1,1)\displaystyle (1,1) rezultă 2−x=1\displaystyle 2-x=1, iar din poziția (2,2)\displaystyle (2,2) rezultă 1−x=0\displaystyle 1-x=0. Elementele din afara diagonalei sunt egale.
    2−x=1 și 1−x=0\displaystyle 2-x=1\text{ și }1-x=0
  4. Din 2−x=1\displaystyle 2-x=1 obținem x=1\displaystyle x=1, iar din 1−x=0\displaystyle 1-x=0 obținem tot x=1\displaystyle x=1. Deci valoarea căutată este x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.

Determinați matricele M=(mmm1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}m&m\\m&1\end{pmatrix}, știind că det⁡(M+A)=0\displaystyle \det(M+A)=0, unde m\displaystyle m este număr real.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma matricelor M\displaystyle M și A\displaystyle A, adunând elementele de pe aceleași poziții: M+A=(m+1m+1m+11+0)\displaystyle M+A=\begin{pmatrix}m+1&m+1\\m+1&1+0\end{pmatrix}.
    M+A=(m+1m+1m+11)\displaystyle M+A=\begin{pmatrix}m+1&m+1\\m+1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(M+A)=(m+1)⋅1−(m+1)(m+1)\displaystyle \det(M+A)=(m+1)\cdot 1-(m+1)(m+1). Dăm factor comun m+1\displaystyle m+1 și obținem (m+1)(1−m−1)=(m+1)(−m)\displaystyle (m+1)(1-m-1)=(m+1)(-m), adică −m2−m\displaystyle -m^{2}-m.
    det⁡(M+A)=(m+1)−(m+1)2=−m2−m\displaystyle \det(M+A)=(m+1)-(m+1)^{2}=-m^{2}-m
  3. Din condiția det⁡(M+A)=0\displaystyle \det(M+A)=0 obținem −m(m+1)=0\displaystyle -m(m+1)=0, deci m=0\displaystyle m=0 sau m+1=0\displaystyle m+1=0.
    −m(m+1)=0⇒m=0 sau m=−1\displaystyle -m(m+1)=0\Rightarrow m=0\text{ sau }m=-1
  4. Pentru m=0\displaystyle m=0 obținem M=(0001)\displaystyle M=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}, iar pentru m=−1\displaystyle m=-1 obținem M=(−1−1−11)\displaystyle M=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}.
    M=(0001) sau M=(−1−1−11)\displaystyle M=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\text{ sau }M=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Calculați 5∗(−5)\displaystyle 5*(-5).
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2. Pentru a calcula 5∗(−5)\displaystyle 5*(-5), înlocuim x\displaystyle x cu 5\displaystyle 5 și y\displaystyle y cu −5\displaystyle -5 în formulă.
    5∗(−5)=5+(−5)−2\displaystyle 5*(-5)=5+(-5)-2
  2. Calculăm suma 5+(−5)=0\displaystyle 5+(-5)=0, apoi scădem 2\displaystyle 2: 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2.
    5+(−5)−2=0−2=−2\displaystyle 5+(-5)-2=0-2=-2
  3. Rezultatul final este −2\displaystyle -2.
    5∗(−5)=−2\displaystyle 5*(-5)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Arătați că legea de compoziție ∗\displaystyle * este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea ∗\displaystyle * este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Fixăm două numere reale oarecare x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x\displaystyle x,y∈R oarecare; de ara˘tat: x∗y=y∗x\displaystyle y\in\mathbb{R}\text{ oarecare; de arătat: }x*y=y*x
  2. Din definiția legii avem x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.
    x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2
  3. Aplicând aceeași definiție, cu y\displaystyle y în primul loc și x\displaystyle x în al doilea, obținem y∗x=y+x−2\displaystyle y*x=y+x-2.
    x∗y=x+y−2 și y∗x=y+x−2\displaystyle x*y=x+y-2\text{ și }y*x=y+x-2
  4. Adunarea numerelor reale este comutativă, deci x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Scăzând 2\displaystyle 2 din ambele părți, obținem x+y−2=y+x−2\displaystyle x+y-2=y+x-2.
    x+y−2=y+x−2\displaystyle x+y-2=y+x-2
  5. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, adică legea ∗\displaystyle * este comutativă.
    x∗y=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Calculați (−3)∗(−2)∗(−1)∗0∗1∗2∗3\displaystyle (-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă și comutativă, pentru că x+y−2\displaystyle x+y-2 este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Putem grupa termenii simetrici față de 0: −3\displaystyle -3 cu 3\displaystyle 3, −2\displaystyle -2 cu 2\displaystyle 2, −1\displaystyle -1 cu 1\displaystyle 1, iar 0\displaystyle 0 rămâne la sfârșit.
    ((−3)∗3)∗((−2)∗2)∗((−1)∗1)∗0\displaystyle ((-3)*3)*((-2)*2)*((-1)*1)*0
  2. Calculăm fiecare pereche cu formula x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2: suma celor două numere este 0\displaystyle 0, deci rezultatul este 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2 în fiecare caz.
    −2\displaystyle -2
  3. Expresia devine (−2)∗(−2)∗(−2)∗0\displaystyle (-2)*(-2)*(-2)*0. Calculăm primele două numere: (−2)+(−2)−2=−6\displaystyle (-2)+(-2)-2=-6.
    −6\displaystyle -6
  4. Continuăm cu al treilea −2\displaystyle -2: (−6)+(−2)−2=−10\displaystyle (-6)+(-2)-2=-10.
    −10\displaystyle -10
  5. În final compunem cu 0\displaystyle 0: (−10)+0−2=−12\displaystyle (-10)+0-2=-12. Deci valoarea expresiei este −12\displaystyle -12.
    −12\displaystyle -12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Arătați că f′(x)=(x+1)ex\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este produsul funcțiilor u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x, derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}. Folosim formula (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(x⋅ex)′=x′ex+x(ex)′\displaystyle f'(x)=(x\cdot e^x)'=x'e^x+x\left(e^x\right)'
  2. Cum x′=1\displaystyle x'=1 și (ex)′=ex\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x, înlocuim în formulă și obținem derivata funcției.
    f′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex+xex\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x+xe^x
  3. Dăm factor comun pe ex\displaystyle e^x în cei doi termeni: ex+xex=ex(1+x)\displaystyle e^x+xe^x=e^x(1+x). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=(x+1)ex, pentru orice x∈R\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Verificați dacă f′′(x)+f(x)=2f′(x)\displaystyle f''(x)+f(x)=2f'(x), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima derivată a funcției f\displaystyle f folosind regula de derivare a produsului: (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv', cu u=x\displaystyle u=x și v=ex\displaystyle v=e^x. Avem (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    f′(x)=1⋅ex+x⋅ex=(x+1)ex\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(x+1)e^x
  2. Derivăm încă o dată, tot cu regula produsului, pentru f′(x)=(x+1)ex\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x. Avem (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, deci f′′(x)=1⋅ex+(x+1)ex\displaystyle f''(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x.
    f′′(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex, pentru orice x∈R\displaystyle f''(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Calculăm suma f′′(x)+f(x)=(x+2)ex+xex\displaystyle f''(x)+f(x)=(x+2)e^x+xe^x și dăm factor comun ex\displaystyle e^x: parantezei îi rămâne x+2+x=2x+2\displaystyle x+2+x=2x+2.
    f′′(x)+f(x)=(x+2)ex+xex=(2x+2)ex=2(x+1)ex\displaystyle f''(x)+f(x)=(x+2)e^x+xe^x=(2x+2)e^x=2(x+1)e^x
  4. Comparăm cu 2f′(x)=2(x+1)ex\displaystyle 2f'(x)=2(x+1)e^x, calculat la primul pas. Cele două expresii coincid, deci egalitatea f′′(x)+f(x)=2f′(x)\displaystyle f''(x)+f(x)=2f'(x) este adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′′(x)+f(x)=2(x+1)ex=2f′(x), pentru orice x∈R\displaystyle f''(x)+f(x)=2(x+1)e^x=2f'(x)\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Arătați că funcția f\displaystyle f are un punct de extrem.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm produsul x⋅ex\displaystyle x\cdot e^x cu formula (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', unde u=x\displaystyle u=x și v=ex\displaystyle v=e^x: f′(x)=1⋅ex+x⋅ex\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x.
    f′(x)=ex+xex=(x+1)ex\displaystyle f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, adică (x+1)ex=0\displaystyle (x+1)e^x=0. Cum ex>0\displaystyle e^x>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, rămâne x+1=0\displaystyle x+1=0.
    f′(x)=0⇒x=−1\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=-1
  3. Studiem semnul lui f′(x)=(x+1)ex\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x. Cum ex>0\displaystyle e^x>0, semnul derivatei este semnul lui x+1\displaystyle x+1. Pentru x<−1\displaystyle x<-1 avem x+1<0\displaystyle x+1<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, iar pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(x)<0 pentru x∈(−∞,−1) și f′(x)>0 pentru x∈(−1,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{ pentru }x\in(-\infty,-1)\text{ și }f'(x)>0\text{ pentru }x\in(-1,+\infty)
  4. Derivata se anulează în x=−1\displaystyle x=-1 și își schimbă semnul din minus în plus, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1) și crescătoare pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Rezultă că x=−1\displaystyle x=-1 este punct de extrem (de minim) al funcției f\displaystyle f.
    f′(−1)=0\displaystyle f'(-1)=0, f′(x)<0 pe (−∞,−1)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pe }(-\infty,-1), f′(x)>0 pe (−1,+∞)⇒x=−1 este punct de extrem\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }(-1,+\infty)\Rightarrow x=-1\text{ este punct de extrem}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}.

Calculați ∫45xf(x) dx\displaystyle \int_4^5 xf(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Din enunț avem f(x)=1x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}, deci funcția de sub integrală este xf(x)=x⋅1x\displaystyle x f(x)=x\cdot\dfrac{1}{x}.
    xf(x)=x⋅1x\displaystyle x f(x)=x\cdot\dfrac{1}{x}
  2. Pe intervalul [4,5]\displaystyle [4,5] avem x>0\displaystyle x>0, deci putem simplifica: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1. Integrala devine o integrală din constanta 1.
    ∫45xf(x) dx=∫451⋅dx\displaystyle \int_4^5 xf(x)\,dx=\int_4^5 1\cdot dx
  3. O primitivă a funcției 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫451 dx=x∣45=5−4\displaystyle \int_4^5 1\,dx=x\Big|_4^5=5-4.
    x∣45=5−4\displaystyle x\Big|_4^5=5-4
  4. Calculăm diferența: 5−4=1\displaystyle 5-4=1. Deci valoarea integralei este 1\displaystyle 1.
    ∫45xf(x) dx=x∣45=1\displaystyle \int_4^5 xf(x)\,dx=x\Big|_4^5=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}.

Arătați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=4+ln⁡x\displaystyle F(x)=4+\ln x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem definiția: F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) dacă F\displaystyle F este derivabilă pe acest interval și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci trebuie să calculăm F′\displaystyle F'.
    F′(x)=f(x), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle F'(x)=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm F(x)=4+ln⁡x\displaystyle F(x)=4+\ln x termen cu termen: derivata constantei 4\displaystyle 4 este 0\displaystyle 0, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} pentru x>0\displaystyle x>0.
    F′(x)=(4+ln⁡x)′=0+1x=1x, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle F'(x)=(4+\ln x)'=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  3. Comparăm: F′(x)=1x=f(x)\displaystyle F'(x)=\dfrac{1}{x}=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x), pentru orice x∈(0,+∞)⇒F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>5\displaystyle a>5, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuație x=5\displaystyle x=5 și x=a\displaystyle x=a, este egală cu ln⁡3\displaystyle \ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul [5,a]\displaystyle [5,a] avem x>0\displaystyle x>0, deci f(x)=1x>0\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}>0 și ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x). Aria este integrala lui f\displaystyle f pe [5,a]\displaystyle [5,a].
    A=∫5a∣f(x)∣ dx=∫5a1x dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_5^a |f(x)|\,dx=\int_5^a \frac{1}{x}\,dx
  2. O primitivă a funcției 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este ln⁡x\displaystyle \ln x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫5a1x dx=ln⁡x∣5a=ln⁡a−ln⁡5\displaystyle \int_5^a \frac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_5^a=\ln a-\ln 5
  3. Punem condiția A=ln⁡3\displaystyle \mathcal{A}=\ln 3 și folosim ln⁡a−ln⁡5=ln⁡a5\displaystyle \ln a-\ln 5=\ln\dfrac{a}{5}.
    ln⁡a5=ln⁡3\displaystyle \ln\frac{a}{5}=\ln 3
  4. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, deci a5=3\displaystyle \dfrac{a}{5}=3, de unde a=15\displaystyle a=15. Se verifică a>5\displaystyle a>5.
    ln⁡a−ln⁡5=ln⁡3⇒a=15\displaystyle \ln a-\ln 5=\ln 3\Rightarrow a=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.