Bac matematică M3 tehnologic 2025, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a3\displaystyle a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, în care a1=3\displaystyle a_1 = 3 și a2=9\displaystyle a_2 = 9.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală de definiție a progresiei aritmetice, care leagă doi termeni consecutivi prin rația r\displaystyle r.
    a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r
  2. Se izolează rația r\displaystyle r din relația de mai sus.
    r=a2−a1\displaystyle r=a_2-a_1
  3. Se înlocuiesc valorile date, a1=3\displaystyle a_1=3 și a2=9\displaystyle a_2=9, și se calculează rația progresiei.
    r=a2−a1=9−3=6\displaystyle r=a_2-a_1=9-3=6
  4. Se scrie relația de recurență pentru termenul al treilea, în funcție de al doilea termen și rație.
    a3=a2+r\displaystyle a_3=a_2+r
  5. Se înlocuiesc valorile a2=9\displaystyle a_2=9 și r=6\displaystyle r=6 pentru a obține termenul a3\displaystyle a_3.
    a3=a2+r=9+6=15\displaystyle a_3=a_2+r=9+6=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−5\displaystyle f(x)=3x-5. Arătați că f(3)+f(2)+f(0)=0\displaystyle f(3)+f(2)+f(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula funcției și se înlocuiește x=3\displaystyle x=3 pentru a calcula f(3)\displaystyle f(3).
    f(3)=3⋅3−5=9−5=4\displaystyle f(3)=3\cdot 3-5=9-5=4
  2. Se înlocuiește x=2\displaystyle x=2 în formula funcției pentru a calcula f(2)\displaystyle f(2).
    f(2)=3⋅2−5=6−5=1\displaystyle f(2)=3\cdot 2-5=6-5=1
  3. Se înlocuiește x=0\displaystyle x=0 în formula funcției pentru a calcula f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=3⋅0−5=0−5=−5\displaystyle f(0)=3\cdot 0-5=0-5=-5
  4. Se centralizează valorile obținute pentru cele trei calcule, conform pasului de control din barem.
    f(3)=4\displaystyle f(3)=4, f(2)=1\displaystyle \ f(2)=1, f(0)=−5\displaystyle \ f(0)=-5
  5. Se însumează cele trei valori calculate pentru a verifica egalitatea cerută.
    f(3)+f(2)+f(0)=4+1−5=0\displaystyle f(3)+f(2)+f(0)=4+1-5=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x−5=2\displaystyle \sqrt{9x-5}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.
    9x−5≥0\displaystyle 9x-5\geq 0
  2. Se ridică ambii membri ai ecuației la pătrat pentru a elimina radicalul, obținând o ecuație liniară.
    9x−5=4\displaystyle 9x-5=4
  3. Se adună 5\displaystyle 5 în ambii membri ai ecuației.
    9x=9\displaystyle 9x=9
  4. Se împarte ecuația prin 9\displaystyle 9 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=1\displaystyle x=1
  5. Se verifică soluția obținută în ecuația inițială: se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 și se confirmă că 9x−5=4≥0\displaystyle 9x-5=4\geq 0, iar 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, deci soluția este validă.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 30%\displaystyle 30\%, un obiect costă 56\displaystyle 56 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de ieftinire (în lei).
    x=prețul ıˆnainte de \displaystyle x=\text{prețul înainte de }ieftinire\displaystyle \text{ieftinire}
  2. Se scrie ecuația care exprimă faptul că prețul inițial scăzut cu 30%\displaystyle 30\% din el reprezintă prețul final de 56\displaystyle 56 de lei.
    x−30100⋅x=56, unde x este prețul ıˆnainte de \displaystyle x-\dfrac{30}{100}\cdot x=56\text{, unde } x \text{ este prețul înainte de }ieftinire\displaystyle \text{ieftinire}
  3. Se efectuează calculul din membrul stâng: x\displaystyle x reprezintă 100%\displaystyle 100\% din preț, iar prin scăderea a 30%\displaystyle 30\% rămâne 70%\displaystyle 70\% din x\displaystyle x.
    x(1−30100)=56⇒70100⋅x=56\displaystyle x\left(1-\dfrac{30}{100}\right)=56\Rightarrow \dfrac{70}{100}\cdot x=56
  4. Se rezolvă ecuația obținută, izolând necunoscuta x\displaystyle x.
    x=56⋅10070\displaystyle x=56\cdot\dfrac{100}{70}
  5. Se efectuează calculul numeric pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x.
    x=80 de lei\displaystyle x=80\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,1)\displaystyle A(0,1), B(5,6)\displaystyle B(5,6) și C(7,2)\displaystyle C(7,2). Arătați că AB=AC\displaystyle AB=AC.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, folosită pentru a calcula lungimea unui segment: dacă M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2), atunci MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Se identifică coordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B și se calculează diferențele dintre coordonate, pentru a le folosi în formula distanței.
    xB−xA=5−0=5, yB−yA=6−1=5\displaystyle x_B-x_A=5-0=5\text{, }y_B-y_A=6-1=5
  3. Se aplică formula distanței pentru segmentul AB\displaystyle AB, folosind diferențele calculate anterior, și se obține valoarea lui AB\displaystyle AB.
    AB=52+52=52\displaystyle AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}
  4. Se identifică coordonatele punctelor A\displaystyle A și C\displaystyle C și se calculează diferențele dintre coordonate, pentru a le folosi în formula distanței.
    xC−xA=7−0=7, yC−yA=2−1=1\displaystyle x_C-x_A=7-0=7\text{, }y_C-y_A=2-1=1
  5. Se aplică formula distanței pentru segmentul AC\displaystyle AC, folosind diferențele calculate anterior, se obține valoarea lui AC\displaystyle AC și se compară cu valoarea lui AB\displaystyle AB, observând că sunt egale.
    AC=72+12=52, deci AB=AC\displaystyle AC=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2}\text{, deci } AB=AC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡30∘+3cos⁡60∘)⋅(sin⁡45∘)2=1\displaystyle (\sin 30^\circ+3\cos 60^\circ)\cdot(\sin 45^\circ)^2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice care apar în expresie, folosind valorile cunoscute pentru unghiuri speciale.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. Se calculează suma din prima paranteză, înlocuind valorile lui sin⁡30°\displaystyle \sin 30° și cos⁡60°\displaystyle \cos 60°.
    sin⁡30∘+3cos⁡60∘=12+3⋅12=12+32=2\displaystyle \sin 30^\circ+3\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}+3\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=2
  3. Se calculează pătratul lui sin⁡45°\displaystyle \sin 45°.
    (sin⁡45∘)2=(22)2=24=12\displaystyle (\sin 45^\circ)^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
  4. Se înlocuiesc rezultatele obținute în expresia inițială și se efectuează înmulțirea finală, obținându-se egalitatea cerută.
    (sin⁡30∘+3cos⁡60∘)⋅(sin⁡45∘)2=(12+32)⋅(22)2=2⋅12=1\displaystyle (\sin 30^\circ+3\cos 60^\circ)\cdot(\sin 45^\circ)^2=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\cdot\dfrac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(12−21)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(2x−12x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ -1 & 2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=5\displaystyle \det A=5.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A\displaystyle A și se identifică elementele acesteia: a11=1\displaystyle a_{11}=1, a12=2\displaystyle a_{12}=2, a21=−2\displaystyle a_{21}=-2, a22=1\displaystyle a_{22}=1.
    A=(12−21)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}
  2. Se aplică formula determinantului de ordinul doi: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, determinantul este a⋅d−b⋅c\displaystyle a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=∣12−21∣=1⋅1−2⋅(−2)=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{vmatrix}=1\cdot 1-2\cdot(-2)=
  3. Se efectuează înmulțirile: 1\displaystyle 1 înmulțit cu 1\displaystyle 1 dă 1\displaystyle 1, iar 2\displaystyle 2 înmulțit cu −2\displaystyle -2 dă −4\displaystyle -4.
    det⁡A=1−(−4)\displaystyle \det A=1-(-4)
  4. Se elimină paranteza, transformând scăderea unui număr negativ într-o adunare, apoi se calculează suma finală.
    =1+4=5\displaystyle =1+4=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(12−21)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(2x−12x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ -1 & 2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A+3I2=2B(1)\displaystyle A+3I_2=2B(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea 3I2\displaystyle 3I_2, înmulțind fiecare element al matricei identitate cu 3\displaystyle 3.
    3I2=3(1001)=(3003)\displaystyle 3I_2=3\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea A\displaystyle A cu 3I2\displaystyle 3I_2, element cu element, pentru a obține A+3I2\displaystyle A+3I_2.
    A+3I2=(12−21)+(3003)=(42−24)\displaystyle A+3I_2=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2\\ -2 & 4\end{pmatrix}
  3. Determinăm matricea B(1)\displaystyle B(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia lui B(x)\displaystyle B(x).
    B(1)=(21−12)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  4. Înmulțim matricea B(1)\displaystyle B(1) cu scalarul 2\displaystyle 2, element cu element, pentru a obține 2B(1)\displaystyle 2B(1).
    2B(1)=2(21−12)=(42−24)\displaystyle 2B(1)=2\begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2\\ -2 & 4\end{pmatrix}
  5. Comparăm cele două matrice obținute și observăm că sunt identice, deci A+3I2\displaystyle A+3I_2 se poate scrie sub forma 2B(1)\displaystyle 2B(1).
    A+3I2=(42−24)=2(21−12)=2B(1)\displaystyle A+3I_2=\begin{pmatrix}4 & 2\\ -2 & 4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 2\end{pmatrix}=2B(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(12−21)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(2x−12x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ -1 & 2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(B(2x)−B(x)⋅A)=x2\displaystyle \det\big(B(2x)-B(x)\cdot A\big)=x^2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2x în matricea B(x)\displaystyle B(x): pe prima linie obținem 2\displaystyle 2 și 2x\displaystyle 2x, iar pe a doua linie −1\displaystyle -1 și 4x\displaystyle 4x.
    B(2x)=(22x−14x)\displaystyle B(2x)=\begin{pmatrix}2 & 2x\\ -1 & 4x\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, înmulțind liniile lui B(x)\displaystyle B(x) cu coloanele lui A\displaystyle A. Prima linie dă 2⋅1+x⋅(−2)=2−2x\displaystyle 2\cdot 1+x\cdot(-2)=2-2x și 2⋅2+x⋅1=4+x\displaystyle 2\cdot 2+x\cdot 1=4+x. A doua linie dă −1⋅1+2x⋅(−2)=−1−4x\displaystyle -1\cdot 1+2x\cdot(-2)=-1-4x și −1⋅2+2x⋅1=−2+2x\displaystyle -1\cdot 2+2x\cdot 1=-2+2x.
    B(x)⋅A=(2−2x4+x−1−4x−2+2x)\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}2-2x & 4+x\\ -1-4x & -2+2x\end{pmatrix}
  3. Scădem matricele element cu element. Pe prima linie: 2−(2−2x)=2x\displaystyle 2-(2-2x)=2x și 2x−(4+x)=x−4\displaystyle 2x-(4+x)=x-4. Pe a doua linie: −1−(−1−4x)=4x\displaystyle -1-(-1-4x)=4x și 4x−(−2+2x)=2x+2\displaystyle 4x-(-2+2x)=2x+2.
    B(2x)−B(x)⋅A=(2xx−44x2x+2)\displaystyle B(2x)-B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}2x & x-4\\ 4x & 2x+2\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: 2x(2x+2)−4x(x−4)=4x2+4x−4x2+16x\displaystyle 2x(2x+2)-4x(x-4)=4x^2+4x-4x^2+16x. Termenii în x2\displaystyle x^2 se reduc, iar rămâne 20x\displaystyle 20x, pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(B(2x)−B(x)⋅A)=20x\displaystyle \det\big(B(2x)-B(x)\cdot A\big)=20x
  5. Egalăm determinantul cu x2\displaystyle x^2: 20x=x2\displaystyle 20x=x^2. Mutăm totul în același membru și dăm x\displaystyle x factor comun.
    x2−20x=0  ⟺  x(x−20)=0\displaystyle x^2-20x=0\iff x(x-20)=0
  6. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−20=0\displaystyle x-20=0. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=0 sau x=20\displaystyle x=0\text{ sau }x=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−8x−8y+8\displaystyle x*y=xy-8x-8y+8.

Arătați că 0∗1=0\displaystyle 0*1=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1 care trebuie înlocuite.
    x∗y=xy−8x−8y+8\displaystyle x*y=xy-8x-8y+8, unde x=0\displaystyle \text{ unde }x=0, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Se înlocuiesc valorile x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1 în definiția legii de compoziție.
    0∗1=0⋅1−8⋅0−8⋅1+8=\displaystyle 0*1=0\cdot 1-8\cdot 0-8\cdot 1+8=
  3. Se efectuează înmulțirile din expresia obținută.
    0∗1=0−0−8+8\displaystyle 0*1=0-0-8+8
  4. Se adună și se scad termenii pentru a obține rezultatul final.
    =0−0−8+8=0\displaystyle =0-0-8+8=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−8x−8y+8\displaystyle x*y=xy-8x-8y+8.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗2=2x\displaystyle x*2=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia x∗2\displaystyle x\ast 2 folosind definiția legii de compoziție date, înlocuind y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2.
    x∗2=x⋅2−8x−8⋅2+8\displaystyle x*2=x\cdot 2-8x-8\cdot 2+8
  2. Se efectuează înmulțirile din expresia obținută.
    x∗2=2x−8x−16+8\displaystyle x*2=2x-8x-16+8
  3. Se reduc termenii asemenea pentru a obține forma finală a expresiei x∗2\displaystyle x\ast 2, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗2=−6x−8, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*2=-6x-8\text{, pentru orice număr real } x
  4. Se pune condiția ca x∗2\displaystyle x\ast 2 să fie egal cu 2x\displaystyle 2x, obținându-se ecuația în x\displaystyle x.
    −6x−8=2x\displaystyle -6x-8=2x
  5. Se rezolvă ecuația: se trec termenii cu x\displaystyle x într-o parte și cei liberi în cealaltă parte.
    −6x−2x=8\displaystyle -6x-2x=8
  6. Se reduc termenii asemenea și se obține valoarea lui x\displaystyle x, care este soluția ecuației.
    −8x=8, de unde obținem x=−1\displaystyle -8x=8\text{, de unde obținem } x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−8x−8y+8\displaystyle x*y=xy-8x-8y+8.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale, cu m<n\displaystyle m<n, pentru care (8+m)∗(8+n)=2\displaystyle (8+m)*(8+n)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia (8+m)∗(8+n)\displaystyle (8+m)\ast(8+n) folosind definiția legii de compoziție date: x∗y=xy−8x−8y+8\displaystyle x\ast y = xy - 8x - 8y + 8, înlocuind x=8+m\displaystyle x=8+m și y=8+n\displaystyle y=8+n.
    (8+m)∗(8+n)=(8+m)(8+n)−8(8+m)−8(8+n)+8\displaystyle (8+m)*(8+n)=(8+m)(8+n)-8(8+m)-8(8+n)+8
  2. Se dezvoltă produsul (8+m)(8+n)\displaystyle (8+m)(8+n), folosind regula de înmulțire a binoamelor.
    (8+m)(8+n)=64+8n+8m+mn\displaystyle (8+m)(8+n)=64+8n+8m+mn
  3. Se înlocuiește dezvoltarea produsului în expresia inițială și se desfac parantezele pentru termenii −8(8+m)\displaystyle -8(8+m) și −8(8+n)\displaystyle -8(8+n).
    (8+m)∗(8+n)=64+8n+8m+mn−64−8m−64−8n+8\displaystyle (8+m)*(8+n)=64+8n+8m+mn-64-8m-64-8n+8
  4. Se reduc termenii asemenea: 8n\displaystyle 8n cu −8n\displaystyle -8n, 8m\displaystyle 8m cu −8m\displaystyle -8m, iar constantele 64−64−64+8\displaystyle 64-64-64+8 se simplifică, obținându-se forma finală a expresiei, valabilă pentru orice numere naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    (8+m)∗(8+n)=mn−56, pentru orice numere \displaystyle (8+m)*(8+n)=mn-56\text{, pentru orice numere }naturale m și n\displaystyle \text{naturale } m \text{ și } n
  5. Se pune condiția din enunț ca (8+m)∗(8+n)\displaystyle (8+m)\ast(8+n) să fie egal cu 2\displaystyle 2 și se rezolvă ecuația obținută în raport cu produsul mn\displaystyle mn.
    (8+m)∗(8+n)=2⇔mn−56=2⇔mn=58\displaystyle (8+m)*(8+n)=2 \Leftrightarrow mn-56=2 \Leftrightarrow mn=58
  6. Se descompune 58\displaystyle 58 ca produs de două numere naturale, ținând cont de condiția m<n\displaystyle m<n, obținându-se perechile căutate (1,58)\displaystyle (1,58) și (2,29)\displaystyle (2,29).
    mn−56=2⇔mn=58 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m<n, obținem perechile (1,58) și (2,29)\displaystyle mn-56=2 \Leftrightarrow mn=58\text{ și, cum } m \text{ și } n \text{ sunt numere naturale, cu } m<n\text{, obținem perechile } (1,58)\text{ și } (2,29)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+7x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{4x+7}{x+4}.

Arătați că f′(x)=9(x+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{9}{(x+4)^2}, x∈(−4,+∞)\displaystyle x\in(-4,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcția ca un cât de două funcții derivabile: u(x)=4x+7\displaystyle u(x)=4x+7 și v(x)=x+4\displaystyle v(x)=x+4, cu v(x)≠0\displaystyle v(x)\neq 0 pentru x∈(−4,+∞)\displaystyle x\in(-4,+\infty).
    f(x)=u(x)v(x), unde u(x)=4x+7, v(x)=x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\text{, unde }u(x)=4x+7\text{, }v(x)=x+4
  2. Se scrie formula de derivare a unui cât de funcții.
    (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
  3. Se calculează derivatele funcțiilor u\displaystyle u și v\displaystyle v.
    u′(x)=4, v′(x)=1\displaystyle u'(x)=4\text{, }v'(x)=1
  4. Se înlocuiesc u\displaystyle u, u′\displaystyle u', v\displaystyle v, v′\displaystyle v' în formula derivatei câtului, obținând expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) înainte de simplificare.
    f′(x)=4(x+4)−(4x+7)(x+4)2=\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(x+4)-(4x+7)}{(x+4)^2}=
  5. Se desface paranteza de la numărător, efectuând înmulțirea 4(x+4)=4x+16\displaystyle 4(x+4)=4x+16.
    f′(x)=4x+16−(4x+7)(x+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x+16-(4x+7)}{(x+4)^2}
  6. Se reduc termenii asemenea de la numărător: 4x−4x=0\displaystyle 4x-4x=0 și 16−7=9\displaystyle 16-7=9, obținându-se forma finală simplificată a derivatei, valabilă pe domeniul de definiție.
    =4x+16−4x−7(x+4)2=9(x+4)2, x∈(−4,+∞)\displaystyle =\dfrac{4x+16-4x-7}{(x+4)^2}=\dfrac{9}{(x+4)^2}\text{, } x\in(-4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+7x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{4x+7}{x+4}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția și se identifică faptul că, pentru a determina asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, trebuie calculată limita funcției când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    f(x)=4x+7x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{4x+7}{x+4},lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞4x+7x+4\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+7}{x+4}
  2. Deoarece se obține un raport de tipul infinit supra infinit, se factorizează x\displaystyle x la numărător și la numitor pentru a putea trece la limită.
    lim⁡x→+∞4x+7x+4=lim⁡x→+∞x(4+7x)x(1+4x)=lim⁡x→+∞4+7x1+4x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+7}{x+4}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x\left(4+\dfrac{7}{x}\right)}{x\left(1+\dfrac{4}{x}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4+\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{4}{x}}
  3. Se calculează limitele termenilor care conțin x\displaystyle x la numitor (aceștia tind la 0\displaystyle 0 când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty) și se obține valoarea limitei.
    lim⁡x→+∞7x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{7}{x}=0,lim⁡x→+∞4x=0 ⇒ lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞4+7x1+4x=4\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0\ \Rightarrow\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4+\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{4}{x}}=4
  4. Deoarece limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 4\displaystyle 4, se conclude că graficul funcției admite asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=4\displaystyle y=4.
    Dreapta de ecuație y=4 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta de ecuație } y=4 \text{ este asimptota orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre } +\infty \text{ la graficul funcției } f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+7x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{4x+7}{x+4}.

Determinați a∈(−4,+∞)\displaystyle a\in(-4,+\infty), știind că panta tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(a,f(a))\displaystyle A(a,f(a)) este egală cu 1\displaystyle 1.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a câtului: (u/v)′=u′v−uv′v2\displaystyle (u/v)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, cu u=4x+7\displaystyle u=4x+7, v=x+4\displaystyle v=x+4.
    f′(x)=4(x+4)−(4x+7)⋅1(x+4)2=9(x+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(x+4)-(4x+7)\cdot1}{(x+4)^2}=\dfrac{9}{(x+4)^2}
  2. Se pune condiția ca panta tangentei în punctul de abscisă a\displaystyle a, adică derivata funcției calculată în a\displaystyle a, să fie egală cu panta dreptei date, care este 1\displaystyle 1.
    f′(a)=1\displaystyle f'(a)=1
  3. Se înlocuiește expresia derivatei calculate anterior în punctul a\displaystyle a, obținându-se ecuația în necunoscuta a\displaystyle a.
    9(a+4)2=1\displaystyle \dfrac{9}{(a+4)^2}=1
  4. Se rezolvă ecuația obținută: se aduce la forma (a+4)2=9\displaystyle (a+4)^2=9, se rezolvă și se ține cont de domeniul de definiție al funcției, a∈(−4,+∞)\displaystyle a\in(-4,+\infty), pentru a alege soluția valabilă.
    9(a+4)2=1, deci (a+4)2=9 și, cum a∈(−4,+∞), obținem a=−1\displaystyle \dfrac{9}{(a+4)^2}=1\text{, deci } (a+4)^2=9 \text{ și, cum } a\in(-4,+\infty)\text{, obținem } a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+x+3\displaystyle f(x)=2x+\sqrt{x+3}.

Arătați că ∫12(f(x)−x+3)dx=3\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\big(f(x)-\sqrt{x+3}\big)dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date și se identifică radicalul comun care trebuie eliminat din integrand.
    f(x)=2x+x+3\displaystyle f(x)=2x+\sqrt{x+3}
  2. Se scade radicalul din funcție, obținându-se o expresie simplificată, fără radical, pentru integrand.
    f(x)−x+3=2x\displaystyle f(x)-\sqrt{x+3}=2x
  3. Se scrie integrala cerută folosind simplificarea de mai sus, reducând-o la integrala funcției 2x\displaystyle 2x pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12(f(x)−x+3)dx=∫122x dx\displaystyle \int_{1}^{2}\big(f(x)-\sqrt{x+3}\big)dx=\int_{1}^{2}2x\,dx
  4. Se determină o primitivă a funcției 2x\displaystyle 2x, anume x2\displaystyle x^{2}, și se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫122x dx=x2∣12\displaystyle \int_{1}^{2}2x\,dx=x^2\Big|_1^2
  5. Se evaluează primitiva la capetele intervalului, înlocuind x=2\displaystyle x=2 și x=1\displaystyle x=1, apoi se efectuează scăderea pentru a obține rezultatul final.
    x2∣12=22−12=4−1=3\displaystyle x^2\Big|_1^2=2^2-1^2=4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+x+3\displaystyle f(x)=2x+\sqrt{x+3}.

Arătați că ∫161f(x)−2xdx=2\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{6}\dfrac{1}{f(x)-2x}dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia de sub integrală, scăzând 2x\displaystyle 2x din f(x)\displaystyle f(x): f(x)−2x=2x+x+3−2x=x+3\displaystyle f(x)-2x = 2x+\sqrt{x+3}-2x = \sqrt{x+3}.
    f(x)−2x=x+3\displaystyle f(x)-2x=\sqrt{x+3}
  2. Se scrie integrala cerută folosind expresia obținută mai sus, obținându-se o integrală cu radical la numitor.
    ∫161f(x)−2xdx=∫161x+3dx\displaystyle \int_{1}^{6}\dfrac{1}{f(x)-2x}dx=\int_{1}^{6}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}dx
  3. Se recunoaște forma de derivată a funcției radical: (x+3)′=12x+3\displaystyle (\sqrt{x+3})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}, deci se introduce factorul 2\displaystyle 2 pentru a obține exact derivata, apoi se aplică formula de integrare, găsind primitiva 2x+3\displaystyle 2\sqrt{x+3}, evaluată pe capetele intervalului.
    ∫161f(x)−2xdx=∫161x+3dx=2∫16(x+3)′2x+3dx=2x+3∣16=\displaystyle \int_{1}^{6}\dfrac{1}{f(x)-2x}dx=\int_{1}^{6}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}dx=2\int_{1}^{6}\dfrac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}dx=2\sqrt{x+3}\Big|_1^6=
  4. Se evaluează primitiva 2x+3\displaystyle 2\sqrt{x+3} la capetele x=6\displaystyle x=6 și x=1\displaystyle x=1, calculând valorile radicalilor: 6+3=9=3\displaystyle \sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3 și 1+3=4=2\displaystyle \sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
    29−24=2⋅3−2⋅2\displaystyle 2\sqrt{9}-2\sqrt{4}=2\cdot3-2\cdot2
  5. Se efectuează calculul final, obținând valoarea integralei.
    =6−4=2\displaystyle =6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+x+3\displaystyle f(x)=2x+\sqrt{x+3}.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[0,6]→R\displaystyle g:[0,6]\to\mathbb{R}, g(x)=xf(x)−2x\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{f(x)-2x}, în jurul axei Ox\displaystyle Ox este egal cu 9πln⁡3\displaystyle 9\pi\ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la definiția funcției g dată în enunț, g(x)=xf(x)−2x\displaystyle g(x) = \dfrac{x}{f(x)-2x}, și se observă că f(x)−2x\displaystyle f(x)-2x se reduce la termenul cu radical din expresia lui f.
    f(x)−2x=x+3\displaystyle f(x)-2x=\sqrt{x+3}
  2. Se înlocuiește în expresia lui g și se simplifică, obținându-se forma finală a funcției g pe intervalul [0,6]\displaystyle [0,6], apoi se scrie volumul corpului de rotație generat de graficul lui g, ca integrală din pătratul funcției.
    g(x)=xx+3\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}, x∈[0,6], deci V=π∫06(g(x))2dx=π∫06x2x+3dx=\displaystyle \ x\in[0,6]\text{, deci } V=\pi\int_{0}^{6}\big(g(x)\big)^2dx=\pi\int_{0}^{6}\dfrac{x^2}{x+3}dx=
  3. Se efectuează împărțirea polinomială a lui x2\displaystyle x^{2} la (x+3)\displaystyle (x+3) pentru a descompune fracția.
    x2=(x+3)(x−3)+9⇒x2x+3=x−3+9x+3\displaystyle x^2=(x+3)(x-3)+9\Rightarrow\dfrac{x^2}{x+3}=x-3+\dfrac{9}{x+3}
  4. Se scrie integrala descompusă pe intervalul [0,6]\displaystyle [0,6] și se determină o primitivă termen cu termen.
    π∫06(x−3+9x+3)dx=π(x22−3x+9ln⁡(x+3))∣06\displaystyle \pi\int_{0}^{6}\left(x-3+\dfrac{9}{x+3}\right)dx=\pi\left(\dfrac{x^2}{2}-3x+9\ln(x+3)\right)\Big|_{0}^{6}
  5. Se evaluează primitiva la capetele intervalului: la x=6\displaystyle x=6 se obține 18−18+9ln⁡9=9ln⁡9\displaystyle 18-18+9\ln 9=9\ln 9, iar la x=0\displaystyle x=0 se obține 0−0+9ln⁡3=9ln⁡3\displaystyle 0-0+9\ln 3=9\ln 3. Se calculează diferența și se simplifică logaritmul folosind proprietățile acestuia, obținând rezultatul final al volumului.
    =π∫06(x−3+9x+3)dx=π(x22∣06−3x∣06+9ln⁡(x+3)∣06)=9πln⁡3\displaystyle =\pi\int_{0}^{6}\left(x-3+\dfrac{9}{x+3}\right)dx=\pi\left(\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^6-3x\Big|_0^6+9\ln(x+3)\Big|_0^6\right)=9\pi\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.