Bac matematică M3 tehnologic 2019, sesiunea specială varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1−13+14):(1−112)=1\displaystyle \left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right):\left(1-\frac{1}{12}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem la numitorul comun 12\displaystyle 12 fracțiile din prima paranteză: 1=1212\displaystyle 1=\dfrac{12}{12}, 13=412\displaystyle \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}, 14=312\displaystyle \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}.
    1−13+14=12−4+312\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{12-4+3}{12}
  2. Calculăm numărătorul primei paranteze: 12−4+3=11\displaystyle 12-4+3=11. Apoi scriem a doua paranteză cu numitorul 12\displaystyle 12: 1−112=12−112=1112\displaystyle 1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{12-1}{12}=\dfrac{11}{12}. Astfel, expresia devine 1112:1112\displaystyle \dfrac{11}{12}:\dfrac{11}{12}.
    12−4+312:1112=1112:1112\displaystyle \frac{12-4+3}{12}:\frac{11}{12}=\frac{11}{12}:\frac{11}{12}
  3. Împărțirea la o fracție se transformă în înmulțire cu inversa ei: înmulțim 1112\displaystyle \dfrac{11}{12} cu 1211\displaystyle \dfrac{12}{11}. Simplificăm 11\displaystyle 11 cu 11\displaystyle 11 și 12\displaystyle 12 cu 12\displaystyle 12 și obținem 1\displaystyle 1, deci egalitatea este adevărată.
    1112⋅1211=1\displaystyle \frac{11}{12}\cdot\frac{12}{11}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4\displaystyle f(x)=x^2+4. Arătați că f(−2)+f(2)=4f(0)\displaystyle f(-2)+f(2)=4f(0).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−2)\displaystyle f(-2) înlocuind x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 în formula funcției: (−2)2=4\displaystyle (-2)^{2}=4, deci f(−2)=4+4\displaystyle f(-2)=4+4.
    f(−2)=(−2)2+4=8\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+4=8
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2: 22=4\displaystyle 2^{2}=4, deci f(2)=4+4=8\displaystyle f(2)=4+4=8. Adunăm cele două valori și obținem suma 8+8\displaystyle 8+8.
    f(−2)+f(2)=8+8\displaystyle f(-2)+f(2)=8+8
  3. Calculăm suma: 8+8=16\displaystyle 8+8=16.
    f(−2)+f(2)=16\displaystyle f(-2)+f(2)=16
  4. Calculăm f(0)=02+4=4\displaystyle f(0)=0^{2}+4=4. Atunci 4f(0)=4⋅4=16\displaystyle 4f(0)=4\cdot 4=16, la fel ca suma f(−2)+f(2)\displaystyle f(-2)+f(2). Deci egalitatea este adevărată.
    16=4⋅4=4f(0), deci f(−2)+f(2)=4f(0)\displaystyle 16=4\cdot 4=4f(0)\text{, deci }f(-2)+f(2)=4f(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡8(x2−27)=log⁡8(x−3)2\displaystyle \log_8\left(x^2-27\right)=\log_8\left(x-3\right)^2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive, adică x2−27>0\displaystyle x^{2}-27>0 și (x−3)2>0\displaystyle (x-3)^{2}>0, deci x≠3\displaystyle x\neq 3.
    x2−27>0 și x≠3\displaystyle x^{2}-27>0\text{ și }x\neq 3
  2. Deoarece funcția logaritmică de bază 8\displaystyle 8 este injectivă, egalăm argumentele: x2−27=(x−3)2\displaystyle x^{2}-27=(x-3)^{2}.
    x2−27=(x−3)2\displaystyle x^{2}-27=(x-3)^{2}
  3. Dezvoltăm (x−3)2=x2−6x+9\displaystyle (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9, deci x2−27=x2−6x+9\displaystyle x^{2}-27=x^{2}-6x+9. Reducem x2\displaystyle x^{2} și mutăm termenii în membrul stâng: 6x−36=0\displaystyle 6x-36=0.
    6x−36=0\displaystyle 6x-36=0
  4. Din 6x=36\displaystyle 6x=36 obținem x=6\displaystyle x=6.
    x=6\displaystyle x=6
  5. Verificăm pentru x=6\displaystyle x=6: 62−27=9>0\displaystyle 6^{2}-27=9>0 și (6−3)2=9>0\displaystyle (6-3)^{2}=9>0. Deci soluția convine, iar ecuația are soluția unică x=6\displaystyle x=6.
    x=6, care convine\displaystyle x=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}\displaystyle M=\{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\}, acesta să fie număr par.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea M\displaystyle M are zece elemente, de la 10\displaystyle 10 la 19\displaystyle 19, deci putem alege oricare dintre cele zece numere. Numărul cazurilor posibile este 19−10+1=10\displaystyle 19-10+1=10.
    10\displaystyle 10
  2. Identificăm numerele pare din mulțime: 10,12,14,16,18\displaystyle 10, 12, 14, 16, 18. Acestea sunt cazurile favorabile, deci sunt 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    5\displaystyle 5
  3. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=510\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{5}{10}. Simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5 și obținem 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    p=510=12\displaystyle p=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,3)\displaystyle A(4,3) și B(8,3)\displaystyle B(8,3). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C, știind că punctul B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C). Deoarece B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC, avem xB=xA+xC2\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2} și yB=yA+yC2\displaystyle y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}.
    xB=xA+xC2\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2},yB=yA+yC2\displaystyle \quad y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}
  2. Înlocuim xB=8\displaystyle x_B=8 și xA=4\displaystyle x_A=4 în prima formulă și obținem ecuația 8=4+xC2\displaystyle 8=\dfrac{4+x_C}{2}.
    8=4+xC2\displaystyle 8=\dfrac{4+x_C}{2}
  3. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 16=4+xC\displaystyle 16=4+x_C, deci xC=16−4=12\displaystyle x_C=16-4=12.
    xC=12\displaystyle x_C=12
  4. Înlocuim yB=3\displaystyle y_B=3 și yA=3\displaystyle y_A=3 în a doua formulă și obținem ecuația 3=3+yC2\displaystyle 3=\dfrac{3+y_C}{2}.
    3=3+yC2\displaystyle 3=\dfrac{3+y_C}{2}
  5. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 6=3+yC\displaystyle 6=3+y_C, deci yC=3\displaystyle y_C=3. Așadar punctul C\displaystyle C are coordonatele (12,3)\displaystyle (12,3).
    yC=3, deci C(12,3)\displaystyle y_C=3\text{, deci }C(12,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că cos⁡230∘+sin⁡260∘−2cos⁡30∘⋅sin⁡60∘=0\displaystyle \cos^2 30^\circ+\sin^2 60^\circ-2\cos 30^\circ\cdot\sin 60^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valorile unghiurilor remarcabile: cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡60∘=32\displaystyle \ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. Expresia are forma a2+b2−2ab=(a−b)2\displaystyle a^2+b^2-2ab=(a-b)^2, cu a=cos⁡30∘\displaystyle a=\cos 30^\circ și b=sin⁡60∘\displaystyle b=\sin 60^\circ.
    cos⁡230∘+sin⁡260∘−2cos⁡30∘⋅sin⁡60∘=(cos⁡30∘−sin⁡60∘)2\displaystyle \cos^2 30^\circ+\sin^2 60^\circ-2\cos 30^\circ\cdot\sin 60^\circ=\left(\cos 30^\circ-\sin 60^\circ\right)^2
  3. Înlocuim valorile de la primul pas: diferența din paranteză este 32−32=0\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0, deci expresia este 02=0\displaystyle 0^2=0, ceea ce trebuia arătat.
    (32−32)2=02=0\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=0^2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele M=(2112)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a132)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\3&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡M=3\displaystyle \det M=3.
Vezi rezolvarea
  1. Avem M=(2112)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}. Pentru o matrice de ordin 2 se folosește formula det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
  2. Pe diagonala principală avem 2\displaystyle 2 și 2\displaystyle 2, iar pe diagonala secundară avem 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1. Atunci det⁡M=2⋅2−1⋅1\displaystyle \det M=2\cdot 2-1\cdot 1.
    det⁡M=2⋅2−1⋅1\displaystyle \det M=2\cdot 2-1\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4 și 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1. Rezultă det⁡M=4−1=3\displaystyle \det M=4-1=3, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡M=4−1=3\displaystyle \det M=4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele M=(2112)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a132)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\3&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(a)⋅A(a)=4A(a)−I2\displaystyle A(a)\cdot A(a)=4A(a)-I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a) înmulțind linie cu coloană: pe linia 1, coloana 1 avem a⋅a+1⋅3\displaystyle a\cdot a+1\cdot 3, pe linia 1, coloana 2 avem a⋅1+1⋅2\displaystyle a\cdot 1+1\cdot 2, pe linia 2, coloana 1 avem 3⋅a+2⋅3\displaystyle 3\cdot a+2\cdot 3, iar pe linia 2, coloana 2 avem 3⋅1+2⋅2\displaystyle 3\cdot 1+2\cdot 2.
    A(a)⋅A(a)=(a2+3a+23a+67)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}a^2+3&a+2\\3a+6&7\end{pmatrix}
  2. Calculăm membrul drept: înmulțim fiecare element al lui A(a)\displaystyle A(a) cu 4\displaystyle 4, apoi scădem matricea unitate I2\displaystyle I_2, element cu element.
    4A(a)−I2=(4a4128)−(1001)=(4a−14127)\displaystyle 4A(a)-I_2=\begin{pmatrix}4a&4\\12&8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4a-1&4\\12&7\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Egalăm elementele de pe linia 1, coloana 2 și apoi cele de pe linia 2, coloana 1.
    a+2=4 și 3a+6=12\displaystyle a+2=4\text{ și }3a+6=12
  4. Din prima ecuație rezultă a=2\displaystyle a=2, iar a doua dă 3a=6\displaystyle 3a=6, deci tot a=2\displaystyle a=2. Verificăm elementul de pe linia 1, coloana 1: pentru a=2\displaystyle a=2 obținem a2+3=7\displaystyle a^2+3=7 și 4a−1=7\displaystyle 4a-1=7, deci egalitatea se verifică. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este 7\displaystyle 7 în ambele matrice. Deci a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele M=(2112)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a132)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\3&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(aA(a)+M)=0\displaystyle \det\left(aA(a)+M\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea aA(a)\displaystyle aA(a), înmulțind fiecare element al lui A(a)\displaystyle A(a) cu a\displaystyle a.
    aA(a)=(a2a3a2a)\displaystyle aA(a)=\begin{pmatrix}a^{2}&a\\3a&2a\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea M\displaystyle M element cu element și obținem matricea aA(a)+M\displaystyle aA(a)+M.
    aA(a)+M=(a2+2a+13a+12a+2)\displaystyle aA(a)+M=\begin{pmatrix}a^{2}+2&a+1\\3a+1&2a+2\end{pmatrix}
  3. Scriem determinantul ca diferență între produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(aA(a)+M)=(a2+2)(2a+2)−(a+1)(3a+1)\displaystyle \det\left(aA(a)+M\right)=(a^{2}+2)(2a+2)-(a+1)(3a+1)
  4. Dăm factor comun a+1\displaystyle a+1, deoarece 2a+2=2(a+1)\displaystyle 2a+2=2(a+1).
    det⁡(aA(a)+M)=(a+1)[2(a2+2)−(3a+1)]\displaystyle \det\left(aA(a)+M\right)=(a+1)\left[2(a^{2}+2)-(3a+1)\right]
  5. Reducem termenii din paranteza dreaptă: 2a2+4−3a−1=2a2−3a+3\displaystyle 2a^{2}+4-3a-1=2a^{2}-3a+3.
    det⁡(aA(a)+M)=(a+1)(2a2−3a+3)\displaystyle \det\left(aA(a)+M\right)=(a+1)\left(2a^{2}-3a+3\right)
  6. Egalăm cu zero: un produs este nul dacă un factor este nul. Pentru 2a2−3a+3\displaystyle 2a^{2}-3a+3 discriminantul este Δ=9−24=−15<0\displaystyle \Delta=9-24=-15<0, deci acest factor nu se anulează pentru a\displaystyle a real. Rămâne a+1=0\displaystyle a+1=0.
    Δ=−15<0⇒2a2−3a+3≠0, deci a+1=0⇒a=−1\displaystyle \Delta=-15<0\Rightarrow 2a^{2}-3a+3\neq 0\text{, deci }a+1=0\Rightarrow a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+2\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(2)=2m−6\displaystyle f(2)=2m-6, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în expresia polinomului f=X3−4X2+mX+2\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2.
    f(2)=23−4⋅22+m⋅2+2\displaystyle f(2)=2^3-4\cdot 2^2+m\cdot 2+2
  2. Calculăm puterile: 23=8\displaystyle 2^3=8 și 22=4\displaystyle 2^2=4, deci 4⋅22=16\displaystyle 4\cdot 2^2=16.
    f(2)=8−16+2m+2\displaystyle f(2)=8-16+2m+2
  3. Reducem termenii constanți: 8−16+2=−6\displaystyle 8-16+2=-6. Rămâne 2m−6\displaystyle 2m-6, pentru orice număr real m\displaystyle m.
    f(2)=2m−6\displaystyle f(2)=2m-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+2\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real m\displaystyle m, numărul E=x12x2x3+x1x22x3+x1x2x32\displaystyle E=x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2 este întreg, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3−4X2+mX+2\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2 are gradul 3, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=m\displaystyle c=m, d=2\displaystyle d=2. Scriem relațiile lui Viète pentru rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3: suma rădăcinilor este −ba\displaystyle -\dfrac{b}{a}, iar produsul lor este −da\displaystyle -\dfrac{d}{a}.
    x1+x2+x3=−−41=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-4}{1}=4
  2. Calculăm produsul rădăcinilor: x1x2x3=−21\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{2}{1}. Observăm că aceste valori nu depind de m\displaystyle m.
    x1+x2+x3=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=4, x1x2x3=−2\displaystyle \ x_1x_2x_3=-2
  3. În expresia E\displaystyle E, fiecare termen conține produsul x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3. Îl dăm factor comun: x12x2x3=x1x2x3⋅x1\displaystyle x_1^2x_2x_3=x_1x_2x_3\cdot x_1, x1x22x3=x1x2x3⋅x2\displaystyle x_1x_2^2x_3=x_1x_2x_3\cdot x_2, x1x2x32=x1x2x3⋅x3\displaystyle x_1x_2x_3^2=x_1x_2x_3\cdot x_3.
    E=x1x2x3(x1+x2+x3)\displaystyle E=x_1x_2x_3\left(x_1+x_2+x_3\right)
  4. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète: E=(−2)⋅4=−8\displaystyle E=(-2)\cdot 4=-8. Rezultatul nu depinde de m\displaystyle m, deci pentru orice m\displaystyle m real numărul E\displaystyle E este întreg.
    E=x1x2x3(x1+x2+x3)=−8, care este numa˘r ıˆntreg\displaystyle E=x_1x_2x_3\left(x_1+x_2+x_3\right)=-8\text{, care este număr întreg}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+2\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=3\displaystyle m=3, determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=3\displaystyle m=3 polinomul devine f=X3−4X2+3X+2\displaystyle f=X^3-4X^2+3X+2.
    f=X3−4X2+3X+2\displaystyle f=X^3-4X^2+3X+2
  2. Căutăm o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber: ±1, ±2\displaystyle \pm 1,\ \pm 2. Verificăm pentru 2\displaystyle 2: f(2)=8−16+6+2=0\displaystyle f(2)=8-16+6+2=0, deci 2\displaystyle 2 este rădăcină.
    f(2)=23−4⋅22+3⋅2+2=0\displaystyle f(2)=2^3-4\cdot 2^2+3\cdot 2+2=0
  3. Deoarece 2\displaystyle 2 este rădăcină, f\displaystyle f se împarte exact la X−2\displaystyle X-2. Prin schema lui Horner, coeficienții câtului sunt 1, −2, −1\displaystyle 1,\ -2,\ -1, iar restul este 0\displaystyle 0. Deci f=(X−2)(X2−2X−1)\displaystyle f=(X-2)(X^2-2X-1).
    f=(X−2)(X2−2X−1)\displaystyle f=(X-2)\left(X^2-2X-1\right)
  4. Rezolvăm ecuația x2−2x−1=0\displaystyle x^2-2x-1=0. Discriminantul este Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−1)=8\displaystyle \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8.
    Δ=4+4=8\displaystyle \Delta=4+4=8
  5. Rădăcinile ecuației sunt x=2±82=2±222=1±2\displaystyle x=\dfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}. Împreună cu rădăcina 2\displaystyle 2, obținem cele trei rădăcini ale lui f\displaystyle f.
    x1=1−2\displaystyle x_1=1-\sqrt{2}, x2=2\displaystyle \ x_2=2, x3=1+2\displaystyle \ x_3=1+\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=7x3−5x2+x+1\displaystyle f(x)=7x^3-5x^2+x+1.

Arătați că f′(x)=(3x−1)(7x−1)\displaystyle f'(x)=(3x-1)(7x-1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim regulile de derivare pentru o funcție polinomială: (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}, derivata unei constante este 0\displaystyle 0, iar constanta iese în fața derivatei. Derivăm fiecare termen al lui f(x)=7x3−5x2+x+1\displaystyle f(x)=7x^3-5x^2+x+1.
    (7x3)′=7⋅3x2\displaystyle (7x^3)'=7\cdot 3x^2, (5x2)′=5⋅2x\displaystyle \ (5x^2)'=5\cdot 2x, (x)′=1\displaystyle \ (x)'=1, (1)′=0\displaystyle \ (1)'=0
  2. Adunăm derivatele termenilor și obținem expresia derivatei lui f\displaystyle f.
    f′(x)=7⋅3x2−5⋅2x+1\displaystyle f'(x)=7\cdot 3x^2-5\cdot 2x+1
  3. Efectuăm înmulțirile din expresia derivatei și obținem o funcție de gradul al doilea.
    f′(x)=21x2−10x+1\displaystyle f'(x)=21x^2-10x+1
  4. Descompunem în factori trinomul de gradul al doilea. Căutăm doi factori de gradul întâi al căror produs dă 21x2−10x+1\displaystyle 21x^2-10x+1. Încercăm 3x−1\displaystyle 3x-1 și 7x−1\displaystyle 7x-1: înmulțim și verificăm că se obține exact trinomul.
    (3x−1)(7x−1)=21x2−3x−7x+1=21x2−10x+1\displaystyle (3x-1)(7x-1)=21x^2-3x-7x+1=21x^2-10x+1
  5. Concluzie: derivata lui f\displaystyle f este egală cu produsul celor doi factori, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=21x2−10x+1=(3x−1)(7x−1)\displaystyle f'(x)=21x^2-10x+1=(3x-1)(7x-1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=7x3−5x2+x+1\displaystyle f(x)=7x^3-5x^2+x+1.

Calculați lim⁡x→+∞xf′(x)f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{xf'(x)}{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=7x3−5x2+x+1\displaystyle f(x)=7x^3-5x^2+x+1 și obținem f′(x)=21x2−10x+1\displaystyle f'(x)=21x^2-10x+1.
    f′(x)=21x2−10x+1\displaystyle f'(x)=21x^{2}-10x+1
  2. Trinomul 21x2−10x+1\displaystyle 21x^2-10x+1 are discriminantul 100−84=16\displaystyle 100-84=16, deci rădăcinile x=10±442\displaystyle x=\dfrac{10\pm 4}{42}, adică 13\displaystyle \dfrac{1}{3} și 17\displaystyle \dfrac{1}{7}. Rezultă f′(x)=(3x−1)(7x−1)\displaystyle f'(x)=(3x-1)(7x-1).
    f′(x)=(3x−1)(7x−1)\displaystyle f'(x)=(3x-1)(7x-1)
  3. Înlocuim în expresie: xf′(x)f(x)=x(3x−1)(7x−1)7x3−5x2+x+1\displaystyle \dfrac{xf'(x)}{f(x)}=\dfrac{x(3x-1)(7x-1)}{7x^3-5x^2+x+1}. La numărător scoatem x\displaystyle x din fiecare paranteză, deci x(3x−1)(7x−1)=x3(3−1x)(7−1x)\displaystyle x(3x-1)(7x-1)=x^3\left(3-\dfrac{1}{x}\right)\left(7-\dfrac{1}{x}\right). La numitor scoatem factor comun x3\displaystyle x^3.
    lim⁡x→+∞x(3x−1)(7x−1)7x3−5x2+x+1=lim⁡x→+∞x3(3−1x)(7−1x)x3(7−5x+1x2+1x3)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x(3x-1)(7x-1)}{7x^3-5x^2+x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3\left(3-\frac{1}{x}\right)\left(7-\frac{1}{x}\right)}{x^3\left(7-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}
  4. Simplificăm prin x3\displaystyle x^3. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to 0, 1x3→0\displaystyle \dfrac{1}{x^3}\to 0, deci numărătorul tinde la 3⋅7=21\displaystyle 3\cdot 7=21, iar numitorul la 7\displaystyle 7. Limita este 217=3\displaystyle \dfrac{21}{7}=3.
    lim⁡x→+∞(3−1x)(7−1x)7−5x+1x2+1x3=3⋅77=3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\left(3-\frac{1}{x}\right)\left(7-\frac{1}{x}\right)}{7-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\frac{3\cdot 7}{7}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=7x3−5x2+x+1\displaystyle f(x)=7x^3-5x^2+x+1.

Demonstrați că f(x)≤5249\displaystyle f(x)\le\frac{52}{49}, pentru orice x∈(−∞,13]\displaystyle x\in\left(-\infty,\frac{1}{3}\right].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: f′(x)=21x2−10x+1\displaystyle f'(x)=21x^{2}-10x+1.
    f′(x)=21x2−10x+1\displaystyle f'(x)=21x^{2}-10x+1
  2. Rezolvăm ecuația 21x2−10x+1=0\displaystyle 21x^{2}-10x+1=0. Discriminantul este Δ=100−84=16\displaystyle \Delta=100-84=16, deci x=10±442\displaystyle x=\dfrac{10\pm 4}{42}, adică x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3} sau x=17\displaystyle x=\dfrac{1}{7}. Atunci f′(x)=(3x−1)(7x−1)\displaystyle f'(x)=(3x-1)(7x-1).
    f′(x)=(3x−1)(7x−1)\displaystyle f'(x)=(3x-1)(7x-1),f′(x)=0⇔x=17 sau x=13\displaystyle \quad f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{7}\text{ sau }x=\dfrac{1}{3}
  3. Studiem semnul lui f′\displaystyle f' pe (−∞,13]\displaystyle \left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right]. Pentru x<17\displaystyle x<\dfrac{1}{7} avem 3x−1<0\displaystyle 3x-1<0 și 7x−1<0\displaystyle 7x-1<0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Pentru x∈(17,13)\displaystyle x\in\left(\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{3}\right) avem 7x−1>0\displaystyle 7x-1>0 și 3x−1<0\displaystyle 3x-1<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,17]\displaystyle \left(-\infty,\dfrac{1}{7}\right] și descrescătoare pe [17,13]\displaystyle \left[\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{3}\right].
    f cresca˘toare pe (−∞,17] și descresca˘toare pe [17,13]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }\left(-\infty,\dfrac{1}{7}\right]\text{ și descrescătoare pe }\left[\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{3}\right]
  4. Calculăm f(17)=7⋅1343−5⋅149+17+1=149−549+749+4949=5249\displaystyle f\left(\dfrac{1}{7}\right)=7\cdot\dfrac{1}{343}-5\cdot\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{7}+1=\dfrac{1}{49}-\dfrac{5}{49}+\dfrac{7}{49}+\dfrac{49}{49}=\dfrac{52}{49}.
    f(17)=149−549+749+4949=5249\displaystyle f\left(\dfrac{1}{7}\right)=\dfrac{1}{49}-\dfrac{5}{49}+\dfrac{7}{49}+\dfrac{49}{49}=\dfrac{52}{49}
  5. Funcția crește până în 17\displaystyle \dfrac{1}{7} și apoi descrește până în 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, deci f(17)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{7}\right) este valoarea maximă pe (−∞,13]\displaystyle \left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right]. Prin urmare, pentru orice x∈(−∞,13]\displaystyle x\in\left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right] avem f(x)≤f(17)=5249\displaystyle f(x)\le f\left(\dfrac{1}{7}\right)=\dfrac{52}{49}.
    f(x)≤f(17)=5249\displaystyle f(x)\le f\left(\dfrac{1}{7}\right)=\dfrac{52}{49}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2+8x−2,x∈(−∞,0]x−2,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+8x-2,&x\in(-\infty,0]\\x-2,&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Arătați că ∫12f(x) dx=−12\displaystyle \int_1^2 f(x)\,dx=-\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x>0\displaystyle x>0, deci folosim a doua ramură a funcției: f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2. Integrala devine ∫12(x−2) dx\displaystyle \int_1^2 (x-2)\,dx.
    ∫12f(x) dx=∫12(x−2) dx\displaystyle \int_1^2 f(x)\,dx=\int_1^2 (x-2)\,dx
  2. Aflăm o primitivă a lui x−2\displaystyle x-2: primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar primitiva constantei 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12(x−2) dx=(x22−2x)∣12\displaystyle \int_1^2 (x-2)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|_1^2
  3. Înlocuim limita superioară x=2\displaystyle x=2 și limita inferioară x=1\displaystyle x=1 și scădem valorile: pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 42−4=2−4\displaystyle \dfrac{4}{2}-4=2-4, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 12−2\displaystyle \dfrac{1}{2}-2.
    (2−4)−(12−2)\displaystyle (2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)
  4. Calculăm: 2−4=−2\displaystyle 2-4=-2, iar 12−2=−32\displaystyle \dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}. Diferența este −2+32=−12\displaystyle -2+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    −2+32=−12\displaystyle -2+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2+8x−2,x∈(−∞,0]x−2,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+8x-2,&x\in(-\infty,0]\\x-2,&x\in(0,+\infty)\end{cases}. Demonstrați că funcția f\displaystyle f admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că pe intervalele (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) și (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) funcția f\displaystyle f este dată de funcții polinomiale, deci continue. Singurul punct în care trebuie verificată continuitatea este x=0\displaystyle x=0, unde se schimbă formula.
    de verificat: \displaystyle \text{de verificat: }continuitatea ıˆn x=0\displaystyle \text{continuitatea în } x=0
  2. Calculăm limita la stânga în 0\displaystyle 0, folosind formula f(x)=x2+8x−2\displaystyle f(x)=x^2+8x-2, valabilă pentru x<0\displaystyle x<0.
    lim⁡x→0, x<0f(x)=lim⁡x→0(x2+8x−2)=0+0−2=−2\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=\lim_{x\to 0}\left(x^2+8x-2\right)=0+0-2=-2
  3. Calculăm limita la dreapta în 0\displaystyle 0, folosind formula f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2, valabilă pentru x>0\displaystyle x>0.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=lim⁡x→0(x−2)=−2\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=\lim_{x\to 0}(x-2)=-2
  4. Calculăm valoarea funcției în 0\displaystyle 0, folosind prima formulă, deoarece 0∈(−∞,0]\displaystyle 0\in(-\infty,0]. Cele două limite laterale sunt egale cu −2\displaystyle -2, deci f\displaystyle f are limită în 0\displaystyle 0 și aceasta este egală cu f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=02+8⋅0−2=−2\displaystyle f(0)=0^2+8\cdot 0-2=-2
  5. Deci f\displaystyle f este continuă în 0\displaystyle 0. Fiind continuă și pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) și pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval, deci f\displaystyle f admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f continua˘ pe R⇒f admite primitive pe R\displaystyle f\text{ continuă pe }\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ admite primitive pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2+8x−2,x∈(−∞,0]x−2,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+8x-2,&x\in(-\infty,0]\\x-2,&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=−1\displaystyle x=-1 și x=0\displaystyle x=0 are aria egală cu 173\displaystyle \frac{17}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul [−1,0]\displaystyle [-1,0] funcția are expresia f(x)=x2+8x−2\displaystyle f(x)=x^2+8x-2, deoarece x≤0\displaystyle x\le 0. Aria este integrala modulului funcției pe acest interval: A=∫−10∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-1}^{0}|f(x)|\,dx.
    A=∫−10∣x2+8x−2∣dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-1}^{0}\left|x^{2}+8x-2\right|dx
  2. Stabilim semnul expresiei pe [−1,0]\displaystyle [-1,0]. Pentru x∈[−1,0]\displaystyle x\in[-1,0] avem x2≤1\displaystyle x^2\le 1 și 8x≤0\displaystyle 8x\le 0, deci x2+8x−2≤1+0−2=−1<0\displaystyle x^2+8x-2\le 1+0-2=-1<0. Prin urmare ∣x2+8x−2∣=−x2−8x+2\displaystyle |x^2+8x-2|=-x^2-8x+2.
    ∣x2+8x−2∣=−x2−8x+2 pe [−1,0]\displaystyle \left|x^{2}+8x-2\right|=-x^{2}-8x+2\text{ pe }[-1,0]
  3. Înlocuim modulul cu opusul expresiei și obținem integrala de calculat.
    A=∫−10(−x2−8x+2)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-1}^{0}\left(-x^{2}-8x+2\right)dx
  4. Aflăm o primitivă a fiecărui termen: pentru −x2\displaystyle -x^2 este −x33\displaystyle -\dfrac{x^3}{3}, pentru −8x\displaystyle -8x este −8x22\displaystyle -\dfrac{8x^2}{2}, iar pentru 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x.
    F(x)=−x33−8x22+2x=−x33−4x2+2x\displaystyle F(x)=-\frac{x^{3}}{3}-\frac{8x^{2}}{2}+2x=-\frac{x^{3}}{3}-4x^{2}+2x
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: A=F(0)−F(−1)\displaystyle \mathcal{A}=F(0)-F(-1). Avem F(0)=0\displaystyle F(0)=0 și F(−1)=13−4−2=−173\displaystyle F(-1)=\dfrac{1}{3}-4-2=-\dfrac{17}{3}. Deci A=0−(−173)=173\displaystyle \mathcal{A}=0-\left(-\dfrac{17}{3}\right)=\dfrac{17}{3}, ceea ce trebuia demonstrat.
    (−x33−8x22+2x)∣−10=0−(−173)=173\displaystyle \left.\left(-\frac{x^{3}}{3}-\frac{8x^{2}}{2}+2x\right)\right|_{-1}^{0}=0-\left(-\frac{17}{3}\right)=\frac{17}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.