Bac matematică M3 tehnologic 2022, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1,5−0,5)⋅3−2⋅0,5=2\displaystyle (1{,}5-0{,}5)\cdot 3-2\cdot 0{,}5=2.
Vezi rezolvarea
  1. Începem cu paranteza: 1,5−0,5=1\displaystyle 1{,}5-0{,}5=1.
    1,5−0,5=1\displaystyle 1{,}5-0{,}5=1
  2. Calculăm produsele: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3 și 2⋅0,5=1\displaystyle 2\cdot 0{,}5=1.
    1⋅3=3 și 2⋅0,5=1\displaystyle 1\cdot 3=3\text{ și }2\cdot 0{,}5=1
  3. Expresia devine (1,5−0,5)⋅3−2⋅0,5=1⋅3−1\displaystyle (1{,}5-0{,}5)\cdot 3-2\cdot 0{,}5=1\cdot 3-1.
    (1,5−0,5)⋅3−2⋅0,5=1⋅3−1\displaystyle (1{,}5-0{,}5)\cdot 3-2\cdot 0{,}5=1\cdot 3-1
  4. Scădem: 3−1=2\displaystyle 3-1=2, deci egalitatea cerută este adevărată.
    3−1=2\displaystyle 3-1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=9\displaystyle f(a)=9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3 și obținem expresia lui f(a)\displaystyle f(a).
    f(a)=2a−3\displaystyle f(a)=2a-3
  2. Condiția din enunț este f(a)=9\displaystyle f(a)=9, deci egalăm expresia obținută cu 9\displaystyle 9.
    2a−3=9\displaystyle 2a-3=9
  3. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri ai ecuației.
    2a=12\displaystyle 2a=12
  4. Împărțim ambii membri la 2\displaystyle 2 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    2a−3=9, de unde obținem a=6\displaystyle 2a-3=9\text{, de unde obținem }a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(3x−1)=log⁡45\displaystyle \log_4(3x-1)=\log_4 5.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 3x−1>0\displaystyle 3x-1>0, adică x>13\displaystyle x>\dfrac{1}{3}.
    x>13\displaystyle x>\dfrac{1}{3}
  2. Logaritmul în baza 4\displaystyle 4 este funcție injectivă, deci dacă două logaritmuri în aceeași bază sunt egale, argumentele lor sunt egale. Obținem 3x−1=5\displaystyle 3x-1=5.
    3x−1=5\displaystyle 3x-1=5
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: adunăm 1\displaystyle 1 la ambii membri și obținem 3x=6\displaystyle 3x=6, apoi împărțim la 3\displaystyle 3.
    3x=6⇒x=2\displaystyle 3x=6\Rightarrow x=2
  4. Verificăm condiția de existență: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 3⋅2−1=5>0\displaystyle 3\cdot 2-1=5>0, deci soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să verifice inegalitatea 5n≤22\displaystyle 5n\le 22.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul de cazuri posibile este numărul de elemente ale mulțimii A={0,1,2,…,9}\displaystyle A=\{0,1,2,\dots,9\}, adică 10\displaystyle 10.
    10 cazuri posibile\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}
  2. Rezolvăm inegalitatea 5n≤22\displaystyle 5n\le 22: împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem n≤225=4,4\displaystyle n\le \dfrac{22}{5}=4{,}4.
    n≤225=4,4\displaystyle n\le \dfrac{22}{5}=4{,}4
  3. Numerele din A\displaystyle A care sunt mai mici sau egale cu 4,4\displaystyle 4{,}4 sunt 0,1,2,3,4\displaystyle 0,1,2,3,4, deci avem 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    {0,1,2,3,4}⇒5 cazuri favorabile\displaystyle \{0,1,2,3,4\}\Rightarrow 5\text{ cazuri favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=510=12\displaystyle p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}.
    p=510=12\displaystyle p=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,1)\displaystyle A(-2,1) și B(6,3)\displaystyle B(6,3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(−2,1)\displaystyle A(-2,1) și B(6,3)\displaystyle B(6,3) în formule.
    xM=−2+62\displaystyle x_M=\dfrac{-2+6}{2}, yM=1+32\displaystyle \ y_M=\dfrac{1+3}{2}
  3. Calculăm sumele de la numărători și apoi împărțim la 2\displaystyle 2: xM=42=2\displaystyle x_M=\dfrac{4}{2}=2 și yM=42=2\displaystyle y_M=\dfrac{4}{2}=2.
    xM=2\displaystyle x_M=2, yM=2\displaystyle \ y_M=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=4\displaystyle AC=4 și BC=5\displaystyle BC=5. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 6\displaystyle 6.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Scriem teorema lui Pitagora: AB2+AC2=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.
    AB2+AC2=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}
  2. Înlocuim AC=4\displaystyle AC=4 și BC=5\displaystyle BC=5 și obținem AB2=52−42=25−16=9\displaystyle AB^{2}=5^{2}-4^{2}=25-16=9.
    AB2=25−16=9\displaystyle AB^{2}=25-16=9
  3. Cum AB\displaystyle AB este o lungime, deci pozitivă, rezultă AB=9=3\displaystyle AB=\sqrt{9}=3.
    AB=3\displaystyle AB=3
  4. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2=3⋅42=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6.
    AΔABC=AB⋅AC2=3⋅42=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2113)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} și B(x)=(2−xxx2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2-x&x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=5\displaystyle \det A=5.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu a=2\displaystyle a=2, b=1\displaystyle b=1, c=1\displaystyle c=1, d=3\displaystyle d=3: produsul de pe diagonala principală este 2⋅3\displaystyle 2\cdot 3, iar cel de pe diagonala secundară este 1⋅1\displaystyle 1\cdot 1.
    det⁡A=∣2113∣=2⋅3−1⋅1\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=2\cdot 3-1\cdot 1
  3. Efectuăm calculele: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar 6−1=5\displaystyle 6-1=5. Am obținut ceea ce trebuia arătat.
    6−1=5, deci det⁡A=5\displaystyle 6-1=5\text{, deci }\det A=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2113)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} și B(x)=(2−xxx2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2-x&x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că 2A−B(2)=2B(0)\displaystyle 2A-B(2)=2B(0).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 2A\displaystyle 2A înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2.
    2A=(4226)\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}4&2\\2&6\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în B(x)\displaystyle B(x): pe prima linie obținem 2−2=0\displaystyle 2-2=0 și 2\displaystyle 2, iar pe a doua linie 2\displaystyle 2 și 2\displaystyle 2.
    B(2)=(0222)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}0&2\\2&2\end{pmatrix}
  3. Scădem matricea B(2)\displaystyle B(2) din 2A\displaystyle 2A, element cu element.
    2A−B(2)=(4−02−22−26−2)=(4004)\displaystyle 2A-B(2)=\begin{pmatrix}4-0&2-2\\2-2&6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  4. Calculăm B(0)\displaystyle B(0): înlocuim x=0\displaystyle x=0 în B(x)\displaystyle B(x), deci obținem 2\displaystyle 2 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest. Apoi calculăm 2B(0)\displaystyle 2B(0) și observăm că rezultatul coincide cu 2A−B(2)\displaystyle 2A-B(2), deci egalitatea este adevărată.
    2B(0)=2(2002)=(4004)=2A−B(2)\displaystyle 2B(0)=2\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=2A-B(2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2113)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} și B(x)=(2−xxx2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2-x&x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(B(x)⋅B(1)−(x+1)A)=1\displaystyle \det\left(B(x)\cdot B(1)-(x+1)A\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în B(x)\displaystyle B(x) și obținem matricea B(1)\displaystyle B(1).
    B(1)=(1112)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Înmulțim liniile lui B(x)\displaystyle B(x) cu coloanele lui B(1)\displaystyle B(1). Primul element este (2−x)⋅1+x⋅1=2\displaystyle (2-x)\cdot 1+x\cdot 1=2, al doilea este (2−x)⋅1+x⋅2=x+2\displaystyle (2-x)\cdot 1+x\cdot 2=x+2, apoi x⋅1+2⋅1=x+2\displaystyle x\cdot 1+2\cdot 1=x+2 și x⋅1+2⋅2=x+4\displaystyle x\cdot 1+2\cdot 2=x+4.
    B(x)⋅B(1)=(2x+2x+2x+4)\displaystyle B(x)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}2&x+2\\x+2&x+4\end{pmatrix}
  3. Înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu x+1\displaystyle x+1.
    (x+1)A=(2x+2x+1x+13x+3)\displaystyle (x+1)A=\begin{pmatrix}2x+2&x+1\\x+1&3x+3\end{pmatrix}
  4. Scădem elementele corespunzătoare: 2−(2x+2)=−2x\displaystyle 2-(2x+2)=-2x, (x+2)−(x+1)=1\displaystyle (x+2)-(x+1)=1 și (x+4)−(3x+3)=1−2x\displaystyle (x+4)-(3x+3)=1-2x.
    B(x)⋅B(1)−(x+1)A=(−2x111−2x)\displaystyle B(x)\cdot B(1)-(x+1)A=\begin{pmatrix}-2x&1\\1&1-2x\end{pmatrix}
  5. Determinantul este (−2x)(1−2x)−1⋅1=−2x+4x2−1\displaystyle (-2x)(1-2x)-1\cdot 1=-2x+4x^{2}-1.
    det⁡(B(x)⋅B(1)−(x+1)A)=4x2−2x−1\displaystyle \det\left(B(x)\cdot B(1)-(x+1)A\right)=4x^{2}-2x-1
  6. Din 4x2−2x−1=1\displaystyle 4x^{2}-2x-1=1 obținem 4x2−2x−2=0\displaystyle 4x^{2}-2x-2=0, iar prin împărțire la 2\displaystyle 2 rezultă ecuația de gradul al doilea 2x2−x−1=0\displaystyle 2x^{2}-x-1=0.
    2x2−x−1=0\displaystyle 2x^{2}-x-1=0
  7. Discriminantul este Δ=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=9, deci x=1±34\displaystyle x=\dfrac{1\pm 3}{4}, adică x=44=1\displaystyle x=\dfrac{4}{4}=1 sau x=−24=−12\displaystyle x=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}.
    x=−12 sau x=1\displaystyle x=-\frac{1}{2}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−6xy\displaystyle x\circ y=x+y-6xy.

Arătați că 1∘1=−4\displaystyle 1\circ 1=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție x∘y=x+y−6xy\displaystyle x\circ y=x+y-6xy pentru x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1, adică înlocuim ambele variabile cu 1\displaystyle 1.
    1∘1=1+1−6⋅1⋅1\displaystyle 1\circ 1=1+1-6\cdot 1\cdot 1
  2. Calculăm produsul 6⋅1⋅1=6\displaystyle 6\cdot 1\cdot 1=6 și suma 1+1=2\displaystyle 1+1=2. Rămâne diferența 2−6\displaystyle 2-6.
    1∘1=2−6\displaystyle 1\circ 1=2-6
  3. Efectuăm scăderea: 2−6=−4\displaystyle 2-6=-4, deci 1∘1=−4\displaystyle 1\circ 1=-4, adică egalitatea cerută este adevărată.
    1∘1=2−6=−4\displaystyle 1\circ 1=2-6=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−6xy\displaystyle x\circ y=x+y-6xy.

Arătați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e\displaystyle e este element neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem e∘x=x\displaystyle e\circ x=x și x∘e=x\displaystyle x\circ e=x. Pentru e=0\displaystyle e=0 trebuie verificate ambele egalități.
    0∘x=x și x∘0=x\displaystyle 0\circ x=x\text{ și }x\circ 0=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Verificăm la stânga: în definiția x∘y=x+y−6xy\displaystyle x\circ y=x+y-6xy înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x. Termenul cu produs se anulează, deoarece conține factorul 0\displaystyle 0.
    0∘x=0+x−6⋅0⋅x=0+x−0=x\displaystyle 0\circ x=0+x-6\cdot 0\cdot x=0+x-0=x
  3. Verificăm la dreapta: înlocuim x\displaystyle x cu x\displaystyle x și y\displaystyle y cu 0\displaystyle 0. Din nou, termenul cu produs este zero. Cum ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real, 0\displaystyle 0 este element neutru.
    x∘0=x+0−6⋅x⋅0=x+0−0=x, deci e=0 este elementul neutru\displaystyle x\circ 0=x+0-6\cdot x\cdot 0=x+0-0=x\text{, deci }e=0\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−6xy\displaystyle x\circ y=x+y-6xy.

Determinați numerele întregi m\displaystyle m pentru care m∘(3−m)<3\displaystyle m\circ(3-m)<3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=x+y−6xy\displaystyle x\circ y=x+y-6xy cu x=m\displaystyle x=m și y=3−m\displaystyle y=3-m: m∘(3−m)=m+(3−m)−6m(3−m)\displaystyle m\circ(3-m)=m+(3-m)-6m(3-m).
    m∘(3−m)=m+(3−m)−6m(3−m)\displaystyle m\circ(3-m)=m+(3-m)-6m(3-m)
  2. Reducem termenii: m+(3−m)=3\displaystyle m+(3-m)=3, deci expresia devine 3−6m(3−m)\displaystyle 3-6m(3-m).
    m∘(3−m)=3−6m(3−m)\displaystyle m\circ(3-m)=3-6m(3-m)
  3. Inegalitatea m∘(3−m)<3\displaystyle m\circ(3-m)<3 devine 3−6m(3−m)<3\displaystyle 3-6m(3-m)<3.
    3−6m(3−m)<3\displaystyle 3-6m(3-m)<3
  4. Scădem 3 din ambii membri: −6m(3−m)<0\displaystyle -6m(3-m)<0. Împărțim cu −6\displaystyle -6, deci sensul se schimbă: m(3−m)>0\displaystyle m(3-m)>0, adică m(m−3)<0\displaystyle m(m-3)<0.
    m(m−3)<0\displaystyle m(m-3)<0
  5. Funcția m(m−3)\displaystyle m(m-3) are rădăcinile 0\displaystyle 0 și 3\displaystyle 3 și coeficientul dominant pozitiv, deci este negativă între rădăcini: m∈(0,3)\displaystyle m\in(0,3).
    m∈(0,3)\displaystyle m\in(0,3)
  6. Numerele întregi din intervalul (0,3)\displaystyle (0,3) sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    m=1 și m=2\displaystyle m=1\text{ și }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x4+2\displaystyle f(x)=2x^3-3x^4+2.

Arătați că f′(x)=6x2(1−2x)\displaystyle f'(x)=6x^2(1-2x), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este un polinom, deci este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Derivăm termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1} și faptul că derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(2x3)′−(3x4)′+(2)′\displaystyle f'(x)=(2x^3)'-(3x^4)'+(2)'
  2. Scoatem constantele în fața derivatei și aplicăm formula pentru fiecare putere: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2 și (x4)′=4x3\displaystyle (x^4)'=4x^3. Derivata lui 2\displaystyle 2 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=2⋅3x2−3⋅4x3\displaystyle f'(x)=2\cdot 3x^2-3\cdot 4x^3
  3. Efectuăm înmulțirile dintre coeficienți: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6 și 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12.
    f′(x)=6x2−12x3\displaystyle f'(x)=6x^2-12x^3
  4. Dăm factor comun 6x2\displaystyle 6x^2. Observăm că 12x3=6x2⋅2x\displaystyle 12x^3=6x^2\cdot 2x, deci în paranteză rămâne 1−2x\displaystyle 1-2x. Egalitatea cerută este demonstrată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    6x2−12x3=6x2(1−2x)\displaystyle 6x^2-12x^3=6x^2(1-2x), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x4+2\displaystyle f(x)=2x^3-3x^4+2.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)+3x4x3+4=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+3x^4}{x^3+4}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x3−3x4+2\displaystyle f(x)=2x^3-3x^4+2 în numărătorul fracției: f(x)+3x4=2x3−3x4+2+3x4\displaystyle f(x)+3x^4=2x^3-3x^4+2+3x^4.
    f(x)+3x4=2x3−3x4+2+3x4\displaystyle f(x)+3x^4=2x^3-3x^4+2+3x^4
  2. Reducem termenii asemenea: −3x4+3x4=0\displaystyle -3x^4+3x^4=0, deci numărătorul devine 2x3+2\displaystyle 2x^3+2. Limita devine o limită de raport de polinoame de același grad.
    lim⁡x→+∞f(x)+3x4x3+4=lim⁡x→+∞2x3+2x3+4\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+3x^4}{x^3+4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3+2}{x^3+4}
  3. Dăm factor comun cea mai mare putere a lui x\displaystyle x, adică x3\displaystyle x^3, la numărător și la numitor: 2x3+2=x3(2+2x3)\displaystyle 2x^3+2=x^3\left(2+\dfrac{2}{x^3}\right) și x3+4=x3(1+4x3)\displaystyle x^3+4=x^3\left(1+\dfrac{4}{x^3}\right).
    lim⁡x→+∞2x3+2x3+4=lim⁡x→+∞x3(2+2x3)x3(1+4x3)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3+2}{x^3+4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3\left(2+\frac{2}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac{4}{x^3}\right)}
  4. Simplificăm fracția cu x3\displaystyle x^3, care este nenul pentru x\displaystyle x suficient de mare.
    lim⁡x→+∞2+2x31+4x3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{2}{x^3}}{1+\frac{4}{x^3}}
  5. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem 2x3→0\displaystyle \dfrac{2}{x^3}\to 0 și 4x3→0\displaystyle \dfrac{4}{x^3}\to 0, deci limita este 2+01+0=2\displaystyle \dfrac{2+0}{1+0}=2.
    lim⁡x→+∞2+2x31+4x3=2+01+0=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{2}{x^3}}{1+\frac{4}{x^3}}=\frac{2+0}{1+0}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x4+2\displaystyle f(x)=2x^3-3x^4+2.

Demonstrați că −32≤2x3−3x4≤116\displaystyle -32\le 2x^3-3x^4\le \frac{1}{16}, pentru orice x∈[0,2]\displaystyle x\in[0,2].
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(x)=2x3−3x4+2\displaystyle f(x)=2x^3-3x^4+2, deci inegalitatea de demonstrat se obține adunând 2\displaystyle 2 în toți membrii: este echivalentă cu −30≤f(x)≤3316\displaystyle -30\le f(x)\le \dfrac{33}{16} pe [0,2]\displaystyle [0,2]. Vom determina valorile minimă și maximă ale lui f\displaystyle f pe [0,2]\displaystyle [0,2].
    −32≤2x3−3x4≤116  ⟺  −30≤f(x)≤3316\displaystyle -32\le 2x^3-3x^4\le \dfrac{1}{16}\iff -30\le f(x)\le \dfrac{33}{16}
  2. Calculăm derivata lui f\displaystyle f.
    f′(x)=6x2−12x3\displaystyle f'(x)=6x^2-12x^3
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, descompunând în factori: 6x2(1−2x)=0\displaystyle 6x^2(1-2x)=0, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}. Pe intervalul [0,12]\displaystyle \left[0,\dfrac{1}{2}\right] avem 1−2x≥0\displaystyle 1-2x\ge 0, deci f′≥0\displaystyle f'\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare. Pe [12,2]\displaystyle \left[\dfrac{1}{2},2\right] avem 1−2x≤0\displaystyle 1-2x\le 0, deci f′≤0\displaystyle f'\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare.
    f′(x)=0⇒x=0 sau x=12; f cresca˘toare pe [0,12] și descresca˘toare pe [12,2]\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=\dfrac{1}{2}\text{; }f\text{ crescătoare pe }\left[0,\dfrac{1}{2}\right]\text{ și descrescătoare pe }\left[\dfrac{1}{2},2\right]
  4. Calculăm valoarea lui f\displaystyle f în x=0\displaystyle x=0, în punctul de maxim x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} și la capătul x=2\displaystyle x=2. Avem f(0)=2\displaystyle f(0)=2. Apoi f(12)=2⋅18−3⋅116+2=14−316+2=116+2=3316\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{8}-3\cdot\dfrac{1}{16}+2=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{16}+2=\dfrac{1}{16}+2=\dfrac{33}{16}. În sfârșit, f(2)=2⋅8−3⋅16+2=16−48+2=−30\displaystyle f(2)=2\cdot 8-3\cdot 16+2=16-48+2=-30.
    f(0)=2\displaystyle f(0)=2, f(12)=3316\displaystyle \ f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{33}{16}, f(2)=−30\displaystyle \ f(2)=-30
  5. Deoarece f\displaystyle f crește de la f(0)=2\displaystyle f(0)=2 la 3316\displaystyle \dfrac{33}{16} și apoi scade până la f(2)=−30\displaystyle f(2)=-30, valoarea maximă pe [0,2]\displaystyle [0,2] este 3316\displaystyle \dfrac{33}{16}, iar cea minimă este −30\displaystyle -30. Deci −30≤f(x)≤3316\displaystyle -30\le f(x)\le \dfrac{33}{16}. Scăzând 2\displaystyle 2 din toți membrii, obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈[0,2]\displaystyle x\in[0,2].
    −30≤f(x)≤3316, de unde −32≤2x3−3x4≤116\displaystyle -30\le f(x)\le\dfrac{33}{16}\text{, de unde }-32\le 2x^3-3x^4\le\dfrac{1}{16}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3ex\displaystyle f(x)=2x+3e^x.

Arătați că ∫23(f(x)−3ex)dx=5\displaystyle \int_2^3\left(f(x)-3e^x\right)dx=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+3ex\displaystyle f(x)=2x+3e^x în integrandul f(x)−3ex\displaystyle f(x)-3e^x.
    f(x)−3ex=2x+3ex−3ex\displaystyle f(x)-3e^x=2x+3e^x-3e^x
  2. Termenii 3ex\displaystyle 3e^x se reduc, deci integrandul devine 2x\displaystyle 2x.
    f(x)−3ex=2x\displaystyle f(x)-3e^x=2x
  3. Integrala devine integrala lui 2x\displaystyle 2x, iar o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫23(f(x)−3ex)dx=∫232x dx=x2∣23\displaystyle \int_2^3\left(f(x)-3e^x\right)dx=\int_2^3 2x\,dx=x^2\Big|_2^3
  4. Calculăm 32−22=9−4\displaystyle 3^2-2^2=9-4.
    9−4=5\displaystyle 9-4=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3ex\displaystyle f(x)=2x+3e^x.

Arătați că ∫01x(f(x)−2x)dx=3\displaystyle \int_0^1 x\left(f(x)-2x\right)dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+3ex\displaystyle f(x)=2x+3e^x în expresia de sub integrală: f(x)−2x=2x+3ex−2x=3ex\displaystyle f(x)-2x=2x+3e^x-2x=3e^x.
    f(x)−2x=3ex\displaystyle f(x)-2x=3e^x
  2. Integrandul devine x⋅3ex=3xex\displaystyle x\cdot 3e^x=3xe^x, deci integrala se scrie ∫013xex dx\displaystyle \int_0^1 3xe^x\,dx.
    ∫01x(f(x)−2x)dx=∫013xex dx\displaystyle \int_0^1 x\left(f(x)-2x\right)dx=\int_0^1 3xe^x\,dx
  3. Integrăm prin părți: alegem u=3x\displaystyle u=3x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=3 dx\displaystyle du=3\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=3x\displaystyle u=3x,  dv=ex dx  ⇒  du=3 dx\displaystyle \; dv=e^x\,dx\;\Rightarrow\; du=3\,dx,  v=ex\displaystyle \; v=e^x
  4. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du și obținem ∫013xex dx=3xex∣01−∫013ex dx=3xex∣01−3ex∣01\displaystyle \int_0^1 3xe^x\,dx=3xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 3e^x\,dx=3xe^x\Big|_0^1-3e^x\Big|_0^1.
    ∫013xex dx=3xex∣01−3ex∣01\displaystyle \int_0^1 3xe^x\,dx=3xe^x\Big|_0^1-3e^x\Big|_0^1
  5. Calculăm la limite: 3xex∣01=3e−0=3e\displaystyle 3xe^x\Big|_0^1=3e-0=3e, iar 3ex∣01=3e−3\displaystyle 3e^x\Big|_0^1=3e-3. Rezultă 3e−(3e−3)=3e−3e+3=3\displaystyle 3e-(3e-3)=3e-3e+3=3.
    3e−0−3e+3=3\displaystyle 3e-0-3e+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3ex\displaystyle f(x)=2x+3e^x.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că ∫01f′(x)−x2f(x)−x2 dx=aln⁡(e+12)\displaystyle \int_0^1\frac{f'(x)-x}{2f(x)-x^2}\,dx=a\ln\left(e+\frac{1}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: derivata lui 2x\displaystyle 2x este 2\displaystyle 2, iar derivata lui 3ex\displaystyle 3e^x este 3ex\displaystyle 3e^x.
    f′(x)=2+3ex\displaystyle f'(x)=2+3e^x
  2. Scriem explicit numitorul 2f(x)−x2\displaystyle 2f(x)-x^2 și îl derivăm: 2f(x)−x2=4x+6ex−x2\displaystyle 2f(x)-x^2=4x+6e^x-x^2, deci derivata lui este 4+6ex−2x\displaystyle 4+6e^x-2x.
    (2f(x)−x2)′=4+6ex−2x\displaystyle \left(2f(x)-x^2\right)'=4+6e^x-2x
  3. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 în derivata numitorului și observăm că apare exact numărătorul f′(x)−x\displaystyle f'(x)-x. Deci numărătorul este jumătate din derivata numitorului.
    4+6ex−2x=2(2+3ex−x)=2(f′(x)−x) ⇒ f′(x)−x=12(2f(x)−x2)′\displaystyle 4+6e^x-2x=2\left(2+3e^x-x\right)=2\left(f'(x)-x\right)\ \Rightarrow\ f'(x)-x=\frac{1}{2}\left(2f(x)-x^2\right)'
  4. Înlocuim în integrală și scoatem constanta 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fața integralei. Rămâne integrala unei fracții de forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u}, adică un logaritm. Numitorul este pozitiv pe [0,1]\displaystyle [0,1], deoarece 4x−x2≥0\displaystyle 4x-x^2\ge 0 și 6ex>0\displaystyle 6e^x>0.
    12∫01(2f(x)−x2)′2f(x)−x2 dx=12ln⁡∣2f(x)−x2∣∣01\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1\frac{\left(2f(x)-x^2\right)'}{2f(x)-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left|2f(x)-x^2\right|\Big|_0^1
  5. Calculăm valorile numitorului în capetele intervalului: la x=1\displaystyle x=1 obținem 4+6e−1=6(e+12)\displaystyle 4+6e-1=6\left(e+\dfrac{1}{2}\right), iar la x=0\displaystyle x=0 obținem 6\displaystyle 6. Aplicăm formula Leibniz-Newton și folosim proprietatea diferenței de logaritmi.
    12(ln⁡(6(e+12))−ln⁡6)=12ln⁡6(e+12)6=12ln⁡(e+12)\displaystyle \frac{1}{2}\left(\ln\left(6\left(e+\frac{1}{2}\right)\right)-\ln 6\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{6\left(e+\frac{1}{2}\right)}{6}=\frac{1}{2}\ln\left(e+\frac{1}{2}\right)
  6. Egalăm valoarea obținută cu aln⁡(e+12)\displaystyle a\ln\left(e+\dfrac{1}{2}\right). Deoarece ln⁡(e+12)≠0\displaystyle \ln\left(e+\dfrac{1}{2}\right)\neq 0, putem simplifica și obținem a\displaystyle a.
    12ln⁡(e+12)=aln⁡(e+12), de unde obținem a=12\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left(e+\frac{1}{2}\right)=a\ln\left(e+\frac{1}{2}\right)\text{, de unde obținem }a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.