Bac matematică M3 tehnologic 2015, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2−12):310=5\displaystyle \left(2-\frac{1}{2}\right):\frac{3}{10}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem numerele din paranteză la același numitor: 2=42\displaystyle 2=\dfrac{4}{2}.
    2=42\displaystyle 2=\dfrac{4}{2}
  2. Calculăm paranteza: 2−12=42−12=32\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    2−12=32\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}
  3. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversul ei. Inversul lui 310\displaystyle \dfrac{3}{10} este 103\displaystyle \dfrac{10}{3}, deci 32:310=32⋅103\displaystyle \dfrac{3}{2}:\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{10}{3}.
    32:310=32⋅103\displaystyle \dfrac{3}{2}:\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{10}{3}
  4. Simplificăm cu 3\displaystyle 3 și cu 2\displaystyle 2: 32⋅103=102=5\displaystyle \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{10}{3}=\dfrac{10}{2}=5. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    32⋅103=102=5\displaystyle \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{10}{3}=\dfrac{10}{2}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(−2)+f(2)\displaystyle f(-2)+f(2), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 în f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4: f(−2)=(−2)2−4=4−4\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}-4=4-4.
    f(−2)=(−2)2−4=0\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}-4=0
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4: f(2)=22−4=4−4\displaystyle f(2)=2^{2}-4=4-4. Deci f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0 și f(2)=0\displaystyle f(2)=0.
    f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0, f(2)=0\displaystyle \ f(2)=0
  3. Adunăm valorile: f(−2)+f(2)=0+0=0\displaystyle f(-2)+f(2)=0+0=0.
    f(−2)+f(2)=0\displaystyle f(-2)+f(2)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1=3\displaystyle \sqrt{2x-1}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există dacă 2x−1≥0\displaystyle 2x-1\ge 0, adică x≥12\displaystyle x\ge \dfrac{1}{2}.
    x≥12\displaystyle x\ge \dfrac{1}{2}
  2. Ridicăm ambii membri la pătrat: (2x−1)2=32\displaystyle \left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=3^{2}, deci 2x−1=9\displaystyle 2x-1=9.
    2x−1=9\displaystyle 2x-1=9
  3. Adunăm 1 la ambii membri: 2x=10\displaystyle 2x=10. Împărțim la 2: x=5\displaystyle x=5.
    2x=10⇒x=5\displaystyle 2x=10\Rightarrow x=5
  4. Verificăm: 5≥12\displaystyle 5\ge\dfrac{1}{2} și 2⋅5−1=9=3\displaystyle \sqrt{2\cdot 5-1}=\sqrt{9}=3, deci soluția convine. Soluția ecuației este x=5\displaystyle x=5.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, acesta să fie multiplu de 5.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A\displaystyle A are 10 elemente, deci putem alege oricare dintre cele 10 numere.
    cazuri posibile=10\displaystyle \text{cazuri posibile}=10
  2. Identificăm multiplii de 5 din mulțime: sunt numerele 5\displaystyle 5 și 10\displaystyle 10 (următorul multiplu, 15\displaystyle 15, nu aparține mulțimii).
    {5,10}\displaystyle \{5,10\}
  3. Numărăm cazurile favorabile: sunt 2\displaystyle 2 numere multiplu de 5\displaystyle 5.
    cazuri favorabile=2\displaystyle \text{cazuri favorabile}=2
  4. Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=210=15\displaystyle p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0), M(0,4)\displaystyle M(0,4) și N(4,0)\displaystyle N(4,0). Arătați că triunghiul MON\displaystyle MON este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Un triunghi este isoscel dacă are două laturi egale. Calculăm lungimile MO\displaystyle MO și ON\displaystyle ON cu formula distanței: AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}
  2. Calculăm MO\displaystyle MO pentru M(0,4)\displaystyle M(0,4) și O(0,0)\displaystyle O(0,0): MO=(0−0)2+(0−4)2=16=4\displaystyle MO=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{16}=4.
    MO=02+(−4)2=16=4\displaystyle MO=\sqrt{0^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4
  3. Calculăm ON\displaystyle ON pentru O(0,0)\displaystyle O(0,0) și N(4,0)\displaystyle N(4,0): ON=(4−0)2+(0−0)2=16=4\displaystyle ON=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{16}=4.
    ON=42+02=16=4\displaystyle ON=\sqrt{4^{2}+0^{2}}=\sqrt{16}=4
  4. Deoarece MO=ON=4\displaystyle MO=ON=4, triunghiul MON\displaystyle MON are două laturi egale, deci este isoscel, cu vârful în O\displaystyle O.
    ON=4⇒ΔMON este isoscel\displaystyle ON=4\Rightarrow \Delta MON\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AB=10\displaystyle AB=10 și AC=12\displaystyle AC=12.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Una dintre catete poate fi considerată bază, iar cealaltă înălțime, pentru că sunt perpendiculare.
    AB⊥AC\displaystyle AB\perp AC
  2. Aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul catetelor. Înlocuim AB=10\displaystyle AB=10 și AC=12\displaystyle AC=12.
    AΔABC=AB⋅AC2=10⋅122\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{10\cdot 12}{2}
  3. Calculăm produsul de la numărător, 10⋅12=120\displaystyle 10\cdot 12=120, apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    1202=60\displaystyle \frac{120}{2}=60
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−25−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formula determinantului de ordin 2: pentru (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡(abcd)=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=3\displaystyle a=3, b=−2\displaystyle b=-2, c=5\displaystyle c=5, d=−3\displaystyle d=-3. Le înlocuim în formulă.
    det⁡A=3⋅(−3)−(−2)⋅5\displaystyle \det A=3\cdot(-3)-(-2)\cdot 5
  3. Calculăm produsele: 3⋅(−3)=−9\displaystyle 3\cdot(-3)=-9 și (−2)⋅5=−10\displaystyle (-2)\cdot 5=-10. Scăderea lui −10\displaystyle -10 înseamnă adunarea lui 10\displaystyle 10.
    det⁡A=−9−(−10)=−9+10\displaystyle \det A=-9-(-10)=-9+10
  4. Efectuăm adunarea și obținem rezultatul cerut: −9+10=1\displaystyle -9+10=1, deci det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
    det⁡A=1\displaystyle \det A=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−25−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A+I2=O2\displaystyle A\cdot A+I_2=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși, linie cu coloană.
    A⋅A=(3−25−3)⋅(3−25−3)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului: prima linie cu prima coloană, prima linie cu a doua coloană, a doua linie cu prima coloană, a doua linie cu a doua coloană.
    (3⋅3+(−2)⋅53⋅(−2)+(−2)⋅(−3)5⋅3+(−3)⋅55⋅(−2)+(−3)⋅(−3))=(9−10−6+615−15−10+9)\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot3+(-2)\cdot5&3\cdot(-2)+(-2)\cdot(-3)\\5\cdot3+(-3)\cdot5&5\cdot(-2)+(-3)\cdot(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-10&-6+6\\15-15&-10+9\end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele și obținem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(−100−1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}
  4. Adunăm matricea unitate I2\displaystyle I_2, element cu element.
    A⋅A+I2=(−100−1)+(1001)=(−1+100−1+1)\displaystyle A\cdot A+I_2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+1&0\\0&-1+1\end{pmatrix}
  5. Toate elementele sunt nule, deci suma este matricea nulă O2\displaystyle O_2, adică egalitatea cerută este adevărată.
    A⋅A+I2=(0000)=O2\displaystyle A\cdot A+I_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−25−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că det⁡(A−aI2)≥1\displaystyle \det(A-aI_2)\ge 1, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea aI2\displaystyle aI_2: se înmulțește fiecare element al lui I2\displaystyle I_2 cu a\displaystyle a, deci obținem matricea cu a\displaystyle a pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}
  2. Scădem matricele element cu element și obținem matricea A−aI2\displaystyle A-aI_2.
    A−aI2=(3−a−25−3−a)\displaystyle A-aI_2=\begin{pmatrix}3-a&-2\\5&-3-a\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A−aI2)=(3−a)(−3−a)−(−2)⋅5\displaystyle \det(A-aI_2)=(3-a)(-3-a)-(-2)\cdot 5.
    det⁡(A−aI2)=(3−a)(−3−a)+10\displaystyle \det(A-aI_2)=(3-a)(-3-a)+10
  4. Dezvoltăm produsul: (3−a)(−3−a)=−(3−a)(3+a)=−(9−a2)=a2−9\displaystyle (3-a)(-3-a)=-(3-a)(3+a)=-(9-a^{2})=a^{2}-9. Adunăm 10\displaystyle 10 și obținem determinantul în funcție de a\displaystyle a.
    det⁡(A−aI2)=−9+a2+10=a2+1\displaystyle \det(A-aI_2)=-9+a^{2}+10=a^{2}+1
  5. Pentru orice număr real a\displaystyle a avem a2≥0\displaystyle a^{2}\ge 0. Adunând 1\displaystyle 1 la ambii membri, obținem a2+1≥1\displaystyle a^{2}+1\ge 1, deci det⁡(A−aI2)≥1\displaystyle \det(A-aI_2)\ge 1 pentru orice număr real a\displaystyle a.
    a2+1≥1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle a^{2}+1\ge 1\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+5X2+X+5\displaystyle f=X^3+5X^2+X+5.

Arătați că f(−5)=0\displaystyle f(-5)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe X\displaystyle X cu −5\displaystyle -5 în expresia polinomului f=X3+5X2+X+5\displaystyle f=X^3+5X^2+X+5.
    f(−5)=(−5)3+5⋅(−5)2+(−5)+5\displaystyle f(-5)=(-5)^3+5\cdot(-5)^2+(-5)+5
  2. Calculăm puterile: (−5)3=−125\displaystyle (-5)^3=-125 și (−5)2=25\displaystyle (-5)^2=25, deci 5⋅(−5)2=5⋅25=125\displaystyle 5\cdot(-5)^2=5\cdot 25=125.
    (−5)3=−125\displaystyle (-5)^3=-125,5⋅(−5)2=125\displaystyle \quad 5\cdot(-5)^2=125
  3. Înlocuim valorile calculate și observăm că termenii se reduc doi câte doi: −125+125=0\displaystyle -125+125=0 și −5+5=0\displaystyle -5+5=0. Deci f(−5)=0\displaystyle f(-5)=0.
    f(−5)=−125+125−5+5=0\displaystyle f(-5)=-125+125-5+5=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+5X2+X+5\displaystyle f=X^3+5X^2+X+5. Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X2+6X+5\displaystyle X^2+6X+5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem împărțirea lui f=X3+5X2+X+5\displaystyle f=X^3+5X^2+X+5 la X2+6X+5\displaystyle X^2+6X+5. Primul termen al câtului se obține din X3:X2\displaystyle X^3:X^2.
    X3:X2=X\displaystyle X^3:X^2=X
  2. Calculăm X⋅(X2+6X+5)=X3+6X2+5X\displaystyle X\cdot(X^2+6X+5)=X^3+6X^2+5X și scădem din f\displaystyle f: (X3+5X2+X+5)−(X3+6X2+5X)\displaystyle (X^3+5X^2+X+5)-(X^3+6X^2+5X).
    −X2−4X+5\displaystyle -X^2-4X+5
  3. Continuăm cu −X2:X2=−1\displaystyle -X^2:X^2=-1. Înmulțim −1⋅(X2+6X+5)=−X2−6X−5\displaystyle -1\cdot(X^2+6X+5)=-X^2-6X-5 și scădem din −X2−4X+5\displaystyle -X^2-4X+5.
    (−X2−4X+5)−(−X2−6X−5)=2X+10\displaystyle (-X^2-4X+5)-(-X^2-6X-5)=2X+10
  4. Câtul este suma termenilor obținuți, X\displaystyle X și −1\displaystyle -1.
    q=X−1\displaystyle q=X-1
  5. Restul 2X+10\displaystyle 2X+10 are gradul 1<2\displaystyle 1<2, deci împărțirea se oprește. Verificare: (X2+6X+5)(X−1)+2X+10=X3+5X2−X−5+2X+10=X3+5X2+X+5\displaystyle (X^2+6X+5)(X-1)+2X+10=X^3+5X^2-X-5+2X+10=X^3+5X^2+X+5. Răspuns: câtul este X−1\displaystyle X-1, restul este 2X+10\displaystyle 2X+10.
    q=X−1\displaystyle q=X-1, r=2X+10\displaystyle \ r=2X+10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+5X2+X+5\displaystyle f=X^3+5X^2+X+5.

Demonstrați că x3x1x2+x2x1x3+x1x2x3=−235\displaystyle \frac{x_3}{x_1x_2}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_1}{x_2x_3}=-\frac{23}{5}, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3+5X2+X+5\displaystyle f=X^3+5X^2+X+5: suma rădăcinilor este −5\displaystyle -5, suma produselor câte două este 1\displaystyle 1, iar produsul rădăcinilor este −5\displaystyle -5.
    x1+x2+x3=−5\displaystyle x_1+x_2+x_3=-5, x1x2+x1x3+x2x3=1\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1, x1x2x3=−5\displaystyle \ x_1x_2x_3=-5
  2. Aducem fracțiile la numitorul comun x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3. Prima fracție se amplifică cu x3\displaystyle x_3, a doua cu x2\displaystyle x_2, a treia cu x1\displaystyle x_1.
    x3x1x2+x2x1x3+x1x2x3=x32+x22+x12x1x2x3\displaystyle \frac{x_3}{x_1x_2}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_1}{x_2x_3}=\frac{x_3^2+x_2^2+x_1^2}{x_1x_2x_3}
  3. Folosim identitatea (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3), de unde obținem suma pătratelor.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  4. Înlocuim valorile din Viète: numărătorul este (−5)2−2⋅1=23\displaystyle (-5)^2-2\cdot 1=23, iar numitorul este x1x2x3=−5\displaystyle x_1x_2x_3=-5. Obținem valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.
    (x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)x1x2x3=(−5)2−2⋅1−5=−235\displaystyle \frac{(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)}{x_1x_2x_3}=\frac{(-5)^2-2\cdot 1}{-5}=-\frac{23}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2x2+1\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+1.

Arătați că f′(x)=4x(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=x4−2x2+1\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+1 termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(x4)′−2(x2)′+(1)′\displaystyle f'(x)=(x^4)'-2(x^2)'+(1)'
  2. Calculăm: (x4)′=4x3\displaystyle (x^4)'=4x^3, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x și (1)′=0\displaystyle (1)'=0. Obținem derivata funcției.
    f′(x)=4x3−2⋅2x+0=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^3-2\cdot 2x+0=4x^3-4x
  3. Dăm factor comun 4x\displaystyle 4x în expresia 4x3−4x\displaystyle 4x^3-4x, deoarece 4x3=4x⋅x2\displaystyle 4x^3=4x\cdot x^2 și 4x=4x⋅1\displaystyle 4x=4x\cdot 1.
    4x3−4x=4x(x2−1)\displaystyle 4x^3-4x=4x(x^2-1)
  4. Descompunem paranteza cu formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b), aici cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1, deci x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1). Obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=4x(x2−1)=4x(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2x2+1\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+1.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)=14−2⋅12+1=1−2+1\displaystyle f(1)=1^4-2\cdot 1^2+1=1-2+1.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
  3. Derivăm funcția: f′(x)=(x4−2x2+1)′=4x3−4x\displaystyle f'(x)=\left(x^4-2x^2+1\right)'=4x^3-4x.
    f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-4x
  4. Calculăm f′(1)=4⋅13−4⋅1=4−4\displaystyle f'(1)=4\cdot 1^3-4\cdot 1=4-4. Deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0
  5. Înlocuim în formulă: y−0=0⋅(x−1)\displaystyle y-0=0\cdot(x-1), deci y=0\displaystyle y=0. Tangenta este dreapta orizontală de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y−f(1)=f′(1)(x−1)⇒y=0\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\Rightarrow y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2x2+1\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+1.

Demonstrați că 0≤f(x)≤1\displaystyle 0\le f(x)\le 1, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=x4−2x2+1\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+1 pe R\displaystyle \mathbb{R}, folosind derivata lui xn\displaystyle x^n.
    f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-4x
  2. Dăm factor comun pe 4x\displaystyle 4x și folosim diferența de pătrate: f′(x)=4x(x2−1)\displaystyle f'(x)=4x(x^2-1). Rădăcinile derivatei sunt −1\displaystyle -1, 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    f′(x)=4x(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1),f′(−1)=f′(0)=f′(1)=0\displaystyle \quad f'(-1)=f'(0)=f'(1)=0
  3. Pentru x∈[−1,0]\displaystyle x\in[-1,0] avem x≤0\displaystyle x\le 0, x−1<0\displaystyle x-1<0 și x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, deci produsul x(x−1)(x+1)\displaystyle x(x-1)(x+1) este pozitiv sau nul, adică f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x≥0\displaystyle x\ge 0, x−1≤0\displaystyle x-1\le 0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0.
    f′(x)≥0, pentru x∈[−1,0] și f′(x)≤0, pentru x∈[0,1]\displaystyle f'(x)\ge 0\text{, pentru }x\in[-1,0]\text{ și }f'(x)\le 0\text{, pentru }x\in[0,1]
  4. Din semnul derivatei, f\displaystyle f este crescătoare pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] și descrescătoare pe [0,1]\displaystyle [0,1], deci f\displaystyle f are maximul în x=0\displaystyle x=0 pe intervalul [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    f cresca˘toare pe [−1,0]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }[-1,0],f descresca˘toare pe [0,1]\displaystyle \quad f\text{ descrescătoare pe }[0,1]
  5. Calculăm f(−1)=1−2+1=0\displaystyle f(-1)=1-2+1=0, f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f(1)=1−2+1=0\displaystyle f(1)=1-2+1=0.
    f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0,f(0)=1\displaystyle \quad f(0)=1,f(1)=0\displaystyle \quad f(1)=0
  6. Pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] funcția crește de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1, iar pe [0,1]\displaystyle [0,1] scade de la 1\displaystyle 1 la 0\displaystyle 0. Deci minimul pe [−1,1]\displaystyle [-1,1] este 0\displaystyle 0, iar maximul este 1\displaystyle 1.
    f(−1)=f(1)=0 și f(0)=1⇒0≤f(x)≤1, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle f(-1)=f(1)=0\text{ și }f(0)=1\Rightarrow 0\le f(x)\le 1\text{, pentru orice }x\in[-1,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x\displaystyle f(x)=x^2+\sqrt{x}.

Arătați că ∫13(f(x)−x)dx=263\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\sqrt{x}\right)dx=\frac{26}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în expresia de sub integrală: f(x)−x=x2+x−x=x2\displaystyle f(x)-\sqrt{x}=x^{2}+\sqrt{x}-\sqrt{x}=x^{2}.
    f(x)−x=x2\displaystyle f(x)-\sqrt{x}=x^{2}
  2. Integrala devine ∫13x2 dx\displaystyle \int_1^3 x^{2}\,dx. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫13x2 dx=x33∣13\displaystyle \int_1^3 x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_1^3
  3. Calculăm valorile primitivei în limitele de integrare: în 3\displaystyle 3 minus în 1\displaystyle 1. Obținem 273−13=263\displaystyle \dfrac{27}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{3}.
    333−133=273−13=263\displaystyle \frac{3^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x\displaystyle f(x)=x^2+\sqrt{x}.

Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x33+2xx3+2015\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+2015 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, trebuie să verificăm că F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Calculăm derivata, termen cu termen.
    F′(x)=(x33)′+(2xx3)′+(2015)′\displaystyle F'(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}\right)'+\left(\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right)'+(2015)'
  2. Derivăm primul termen cu formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}, iar constanta 2015\displaystyle 2015 are derivata 0\displaystyle 0.
    (x33)′=3x23=x2\displaystyle \left(\frac{x^{3}}{3}\right)'=\frac{3x^{2}}{3}=x^{2},(2015)′=0\displaystyle \qquad (2015)'=0
  3. Pentru al doilea termen scoatem factorul constant 23\displaystyle \dfrac{2}{3} și derivăm produsul xx\displaystyle x\sqrt{x} cu regula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', folosind (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    (2xx3)′=23(x+x⋅12x)\displaystyle \left(\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right)'=\frac{2}{3}\left(\sqrt{x}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)
  4. Adunăm rezultatele și obținem expresia derivatei lui F\displaystyle F.
    F′(x)=3x23+23(x+x⋅12x)\displaystyle F'(x)=\frac{3x^{2}}{3}+\frac{2}{3}\left(\sqrt{x}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)
  5. Simplificăm paranteza: pentru x>0\displaystyle x>0 avem x2x=x2\displaystyle \dfrac{x}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{2}, deoarece x=x⋅x\displaystyle x=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}.
    x+x2x=x+x2=3x2\displaystyle \sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3\sqrt{x}}{2}
  6. Înlocuim în derivată: 23⋅3x2=x\displaystyle \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}}{2}=\sqrt{x}. Deci F′(x)=x2+x\displaystyle F'(x)=x^{2}+\sqrt{x}, adică F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Prin urmare F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=x2+x=f(x), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle F'(x)=x^{2}+\sqrt{x}=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x\displaystyle f(x)=x^2+\sqrt{x}.

Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=(f(x)−x)ex\displaystyle g(x)=\left(f(x)-\sqrt{x}\right)e^x, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2, are aria egală cu e(2e−1)\displaystyle e(2e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm funcția g\displaystyle g: f(x)−x=x2\displaystyle f(x)-\sqrt{x}=x^{2}, deci g(x)=x2ex\displaystyle g(x)=x^{2}e^{x}.
    g(x)=x2ex\displaystyle g(x)=x^{2}e^{x}
  2. Funcția g\displaystyle g este pozitivă pe [1,2]\displaystyle [1,2], deoarece x2>0\displaystyle x^{2}>0 și ex>0\displaystyle e^{x}>0. Deci aria este integrala lui g\displaystyle g de la 1\displaystyle 1 la 2\displaystyle 2.
    A=∫12x2ex dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{1}^{2}x^{2}e^{x}\,dx
  3. Integrăm prin părți, cu u=x2\displaystyle u=x^{2} și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx, deci du=2x dx\displaystyle du=2x\,dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫12x2exdx=x2ex∣12−∫122xexdx\displaystyle \int_{1}^{2}x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}\Big|_{1}^{2}-\int_{1}^{2}2xe^{x}dx
  4. Calculăm termenul tras în afara integralei: x2ex∣12=4e2−e\displaystyle x^{2}e^{x}\Big|_{1}^{2}=4e^{2}-e. Apoi scoatem constanta 2\displaystyle 2 din integrala rămasă și integrăm prin părți încă o dată, cu u=x\displaystyle u=x și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx.
    A=4e2−e−2(xex∣12−∫12exdx)\displaystyle \mathcal{A}=4e^{2}-e-2\left(xe^{x}\Big|_{1}^{2}-\int_{1}^{2}e^{x}dx\right)
  5. Calculăm termenii din paranteză: xex∣12=2e2−e\displaystyle xe^{x}\Big|_{1}^{2}=2e^{2}-e și ∫12exdx=ex∣12=e2−e\displaystyle \int_{1}^{2}e^{x}dx=e^{x}\Big|_{1}^{2}=e^{2}-e.
    xex∣12=2e2−e\displaystyle xe^{x}\Big|_{1}^{2}=2e^{2}-e,∫12exdx=e2−e\displaystyle \quad \int_{1}^{2}e^{x}dx=e^{2}-e
  6. Înlocuim și reducem termenii asemenea: 4e2−e−2(2e2−e)+2(e2−e)=4e2−e−4e2+2e+2e2−2e=2e2−e\displaystyle 4e^{2}-e-2\left(2e^{2}-e\right)+2\left(e^{2}-e\right)=4e^{2}-e-4e^{2}+2e+2e^{2}-2e=2e^{2}-e. Factorizăm și obținem aria cerută.
    A=2e2−e=e(2e−1)\displaystyle \mathcal{A}=2e^{2}-e=e(2e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.