Bac matematică M3 tehnologic 2018, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(2−2)+2(3−6)=0\displaystyle \sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem prima paranteză, înmulțind 3\displaystyle \sqrt{3} cu fiecare termen: 3⋅2=23\displaystyle \sqrt{3}\cdot 2=2\sqrt{3}, iar 3⋅2=6\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}.
    3(2−2)=23−6\displaystyle \sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{3}-\sqrt{6}
  2. Desfacem a doua paranteză: 2⋅3=6\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}, iar 2⋅6=12\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{12}.
    2(3−6)=6−12\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)=\sqrt{6}-\sqrt{12}
  3. Adunăm cele două rezultate și scriem expresia completă, fără paranteze.
    23−6+6−12\displaystyle 2\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{12}
  4. Reducem termenii opuși −6\displaystyle -\sqrt{6} și +6\displaystyle +\sqrt{6}. Calculăm 12=4⋅3=23\displaystyle \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}.
    23−12=23−23\displaystyle 2\sqrt{3}-\sqrt{12}=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}
  5. Diferența a doi termeni egali este 0\displaystyle 0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    23−23=0\displaystyle 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2\displaystyle f(x)=x^2-2. Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că f(a)=a\displaystyle f(a)=a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției f(x)=x2−2\displaystyle f(x)=x^{2}-2 și obținem f(a)=a2−2\displaystyle f(a)=a^{2}-2.
    f(a)=a2−2\displaystyle f(a)=a^{2}-2
  2. Impunem condiția f(a)=a\displaystyle f(a)=a și obținem ecuația a2−2=a\displaystyle a^{2}-2=a.
    a2−2=a\displaystyle a^{2}-2=a
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea a2−a−2=0\displaystyle a^{2}-a-2=0.
    a2−a−2=0\displaystyle a^{2}-a-2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=1+8=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  5. Rădăcinile sunt a1=1−32=−1\displaystyle a_{1}=\dfrac{1-3}{2}=-1 și a2=1+32=2\displaystyle a_{2}=\dfrac{1+3}{2}=2. Verificare: f(−1)=1−2=−1\displaystyle f(-1)=1-2=-1 și f(2)=4−2=2\displaystyle f(2)=4-2=2.
    a=−1 sau a=2\displaystyle a=-1\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27x−5=4x\displaystyle 2^{7x-5}=4^x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci putem scrie membrul drept cu baza 2.
    4=22\displaystyle 4=2^{2}
  2. Folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}: 4x=(22)x=22x\displaystyle 4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=2^{2x}.
    4x=22x\displaystyle 4^{x}=2^{2x}
  3. Ecuația devine 27x−5=22x\displaystyle 2^{7x-5}=2^{2x}. Cum funcția t↦2t\displaystyle t\mapsto 2^{t} este injectivă, egalăm exponenții.
    27x−5=22x⇔7x−5=2x\displaystyle 2^{7x-5}=2^{2x}\Leftrightarrow 7x-5=2x
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 7x−2x=5\displaystyle 7x-2x=5, deci 5x=5\displaystyle 5x=5.
    5x=5\displaystyle 5x=5
  5. Împărțind la 5, obținem x=1\displaystyle x=1. Verificare: 27⋅1−5=22=4\displaystyle 2^{7\cdot 1-5}=2^{2}=4 și 41=4\displaystyle 4^{1}=4.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={1,2,3,4,5}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}, acesta să verifice relația 2n≤16\displaystyle 2^n\le 16.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A\displaystyle A are 5 elemente, deci alegerea lui n\displaystyle n se poate face în 5 moduri.
    5\displaystyle 5
  2. Calculăm 2n\displaystyle 2^n pentru fiecare element al mulțimii A\displaystyle A: 21=2\displaystyle 2^1=2, 22=4\displaystyle 2^2=4, 23=8\displaystyle 2^3=8, 24=16\displaystyle 2^4=16, 25=32\displaystyle 2^5=32.
    2\displaystyle 2, 4\displaystyle \ 4, 8\displaystyle \ 8, 16\displaystyle \ 16, 32\displaystyle \ 32
  3. Comparăm cu 16: relația 2n≤16\displaystyle 2^n\le 16 este adevărată pentru n∈{1,2,3,4}\displaystyle n\in\{1,2,3,4\}, iar pentru n=5\displaystyle n=5 nu este adevărată, deoarece 32>16\displaystyle 32>16. Deci sunt 4 cazuri favorabile.
    n∈{1,2,3,4}, adica˘ 4 cazuri \displaystyle n\in\{1,2,3,4\}\text{, adică 4 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=45\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{4}{5}.
    p=45\displaystyle p=\frac{4}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(1,2)\displaystyle M(1,2), N(4,3)\displaystyle N(4,3) și P(6,1)\displaystyle P(6,1). Determinați lungimea segmentului MQ\displaystyle MQ, unde Q\displaystyle Q este mijlocul segmentului NP\displaystyle NP.
Vezi rezolvarea
  1. Q\displaystyle Q este mijlocul segmentului NP\displaystyle NP, deci coordonatele lui Q\displaystyle Q sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor N(4,3)\displaystyle N(4,3) și P(6,1)\displaystyle P(6,1). Formulele sunt xQ=xN+xP2\displaystyle x_Q=\dfrac{x_N+x_P}{2} și yQ=yN+yP2\displaystyle y_Q=\dfrac{y_N+y_P}{2}.
    xQ=4+62\displaystyle x_Q=\dfrac{4+6}{2},yQ=3+12\displaystyle \quad y_Q=\dfrac{3+1}{2}
  2. Calculăm coordonatele: xQ=102=5\displaystyle x_Q=\dfrac{10}{2}=5 și yQ=42=2\displaystyle y_Q=\dfrac{4}{2}=2. Deci Q\displaystyle Q are coordonatele (5,2)\displaystyle (5,2).
    Q(5,2)\displaystyle Q(5,2)
  3. Aplicăm formula distanței dintre două puncte pentru M(1,2)\displaystyle M(1,2) și Q(5,2)\displaystyle Q(5,2): MQ=(xQ−xM)2+(yQ−yM)2\displaystyle MQ=\sqrt{(x_Q-x_M)^{2}+(y_Q-y_M)^{2}}.
    MQ=(5−1)2+(2−2)2\displaystyle MQ=\sqrt{(5-1)^{2}+(2-2)^{2}}
  4. Calculăm: (5−1)2=16\displaystyle (5-1)^{2}=16 și (2−2)2=0\displaystyle (2-2)^{2}=0, deci MQ=16=4\displaystyle MQ=\sqrt{16}=4. Punctele M\displaystyle M și Q\displaystyle Q au aceeași ordonată, deci segmentul este orizontal, iar lungimea lui este diferența absciselor, 5−1=4\displaystyle 5-1=4.
    MQ=16+0=4\displaystyle MQ=\sqrt{16+0}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡30∘+sin⁡45∘−cos⁡60∘−cos⁡45∘=0\displaystyle \sin 30^\circ+\sin 45^\circ-\cos 60^\circ-\cos 45^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că unghiurile 30∘\displaystyle 30^\circ și 60∘\displaystyle 60^\circ sunt complementare (suma lor este 90∘\displaystyle 90^\circ), deci sinusul unuia este egal cu cosinusul celuilalt: sin⁡30∘=cos⁡(90∘−30∘)=cos⁡60∘\displaystyle \sin 30^\circ=\cos(90^\circ-30^\circ)=\cos 60^\circ. Valorile sunt sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Unghiul 45∘\displaystyle 45^\circ este complementar cu el însuși, deoarece 45∘+45∘=90∘\displaystyle 45^\circ+45^\circ=90^\circ. Deci sin⁡45∘=cos⁡45∘\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ, ambele fiind egale cu 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. Înlocuim în expresie cos⁡60∘\displaystyle \cos 60^\circ cu sin⁡30∘\displaystyle \sin 30^\circ și cos⁡45∘\displaystyle \cos 45^\circ cu sin⁡45∘\displaystyle \sin 45^\circ.
    sin⁡30∘+sin⁡45∘−sin⁡30∘−sin⁡45∘\displaystyle \sin 30^\circ+\sin 45^\circ-\sin 30^\circ-\sin 45^\circ
  4. Termenii se reduc doi câte doi: sin⁡30∘−sin⁡30∘=0\displaystyle \sin 30^\circ-\sin 30^\circ=0 și sin⁡45∘−sin⁡45∘=0\displaystyle \sin 45^\circ-\sin 45^\circ=0. Deci expresia este egală cu 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    sin⁡30∘+sin⁡45∘−sin⁡30∘−sin⁡45∘=0\displaystyle \sin 30^\circ+\sin 45^\circ-\sin 30^\circ-\sin 45^\circ=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−12)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-1&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=5\displaystyle \det(A(2))=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(21−12)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul și aplicăm formula ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2))=∣21−12∣=2⋅2−(−1)⋅1\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-(-1)\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1, deci 4−(−1)=4+1\displaystyle 4-(-1)=4+1. Rezultă det⁡(A(2))=5\displaystyle \det(A(2))=5.
    4+1=5\displaystyle 4+1=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−12)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-1&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A(x)⋅A(y)=3I2\displaystyle A(x)\cdot A(y)=3I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(x)⋅A(y)=(x1−12)(y1−12)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}x&1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y&1\\-1&2\end{pmatrix}.
    A(x)⋅A(y)=(x1−12)(y1−12)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}x&1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y&1\\-1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: pe prima linie xy+1⋅(−1)\displaystyle xy+1\cdot(-1) și x⋅1+1⋅2\displaystyle x\cdot 1+1\cdot 2, pe a doua linie (−1)⋅y+2⋅(−1)\displaystyle (-1)\cdot y+2\cdot(-1) și (−1)⋅1+2⋅2\displaystyle (-1)\cdot 1+2\cdot 2.
    A(x)⋅A(y)=(xy−1x+2−y−23)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}xy-1&x+2\\-y-2&3\end{pmatrix}
  3. Cum 3I2=(3003)\displaystyle 3I_2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}, egalitatea din enunț devine o egalitate de matrice.
    (xy−1x+2−y−23)=(3003)\displaystyle \begin{pmatrix}xy-1&x+2\\-y-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale, deci obținem sistemul de mai jos. Egalitatea 3=3\displaystyle 3=3 este mereu adevărată.
    {xy−1=3x+2=0−y−2=0\displaystyle \begin{cases}xy-1=3\\x+2=0\\-y-2=0\end{cases}
  5. Din x+2=0\displaystyle x+2=0 obținem x=−2\displaystyle x=-2, iar din −y−2=0\displaystyle -y-2=0 obținem y=−2\displaystyle y=-2.
    x=−2\displaystyle x=-2, y=−2\displaystyle \ y=-2
  6. Verificăm prima ecuație: xy−1=(−2)⋅(−2)−1=3\displaystyle xy-1=(-2)\cdot(-2)-1=3, deci este satisfăcută. Prin urmare, singurele valori sunt cele de mai jos.
    x=−2\displaystyle x=-2, y=−2\displaystyle \ y=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−12)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-1&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul întreg p\displaystyle p pentru care det⁡(A(p)⋅A(p)+I2)=5\displaystyle \det(A(p)\cdot A(p)+I_2)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(p)⋅A(p)\displaystyle A(p)\cdot A(p), înmulțind matricea cu ea însăși: prima linie este (p⋅p+1⋅(−1), p⋅1+1⋅2)\displaystyle (p\cdot p+1\cdot(-1),\ p\cdot 1+1\cdot 2), a doua linie este ((−1)⋅p+2⋅(−1), (−1)⋅1+2⋅2)\displaystyle ((-1)\cdot p+2\cdot(-1),\ (-1)\cdot 1+2\cdot 2).
    A(p)⋅A(p)=(p2−1p+2−p−23)\displaystyle A(p)\cdot A(p)=\begin{pmatrix}p^{2}-1&p+2\\-p-2&3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea unitate I2\displaystyle I_2, adică adăugăm 1\displaystyle 1 pe diagonala principală.
    A(p)⋅A(p)+I2=(p2p+2−p−24)\displaystyle A(p)\cdot A(p)+I_2=\begin{pmatrix}p^{2}&p+2\\-p-2&4\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem 4p2+(p+2)2\displaystyle 4p^{2}+(p+2)^{2}, apoi desfacem parantezele.
    det⁡(A(p)⋅A(p)+I2)=4p2+(p+2)2=5p2+4p+4\displaystyle \det(A(p)\cdot A(p)+I_2)=4p^{2}+(p+2)^{2}=5p^{2}+4p+4
  4. Punem condiția ca determinantul să fie egal cu 5\displaystyle 5 și aducem ecuația la forma generală.
    5p2+4p+4=5⇔5p2+4p−1=0\displaystyle 5p^{2}+4p+4=5\Leftrightarrow 5p^{2}+4p-1=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: discriminantul este Δ=16+20=36\displaystyle \Delta=16+20=36, deci soluțiile sunt p=−4±610\displaystyle p=\dfrac{-4\pm 6}{10}, adică 15\displaystyle \dfrac{1}{5} și −1\displaystyle -1. Reținem doar soluția întreagă.
    p=15 sau p=−1, deci p=−1\displaystyle p=\dfrac{1}{5}\text{ sau }p=-1\text{, deci }p=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2.

Arătați că 2∗2=2\displaystyle 2*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2 pentru x=2\displaystyle x=2 și y=2\displaystyle y=2, adică înlocuim ambele variabile cu 2\displaystyle 2.
    2∗2=2⋅2−(2+2)+2\displaystyle 2*2=2\cdot 2-(2+2)+2
  2. Calculăm produsul 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4 și suma din paranteză 2+2=4\displaystyle 2+2=4.
    2⋅2−(2+2)+2=4−4+2\displaystyle 2\cdot 2-(2+2)+2=4-4+2
  3. Efectuăm operațiile: 4−4=0\displaystyle 4-4=0, apoi 0+2=2\displaystyle 0+2=2. Am obținut egalitatea cerută.
    4−4+2=2, deci 2∗2=2\displaystyle 4-4+2=2\text{, deci }2*2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2.

Demonstrați că x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2 și desfacem paranteza, schimbând semnele termenilor din paranteză.
    x∗y=xy−x−y+2\displaystyle x*y=xy-x-y+2
  2. Scriem 2=1+1\displaystyle 2=1+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=xy−x−y+1+1\displaystyle x*y=xy-x-y+1+1
  3. Grupăm termenii xy−x−y+1\displaystyle xy-x-y+1 astfel: (xy−x)−(y−1)\displaystyle (xy-x)-(y-1), apoi scoatem factor comun x\displaystyle x din primii doi termeni, obținând x(y−1)−(y−1)\displaystyle x(y-1)-(y-1).
    xy−x−y+1=x(y−1)−(y−1)\displaystyle xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)
  4. Scoatem factor comun pe y−1\displaystyle y-1 și păstrăm termenul +1\displaystyle +1 rămas: x∗y=x(y−1)−(y−1)+1=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=x(y-1)-(y-1)+1=(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=x(y−1)−(y−1)+1=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=x(y-1)-(y-1)+1=(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2.

Calculați 1∗2∗3∗…∗2018\displaystyle 1*2*3*\ldots*2018.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub o formă factorizată: x∗y=xy−x−y+2=(xy−x−y+1)+1\displaystyle x*y=xy-x-y+2=(xy-x-y+1)+1, deci x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1.
    x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1
  2. Calculăm 1∗x\displaystyle 1*x cu forma factorizată: 1∗x=(1−1)(x−1)+1=0⋅(x−1)+1=1\displaystyle 1*x=(1-1)(x-1)+1=0\cdot(x-1)+1=1. Egalitatea este valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    1∗x=1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 1*x=1\text{, pentru orice număr real }x
  3. Legea este asociativă, deci putem grupa 1∗2∗3∗…∗2018=1∗(2∗3∗…∗2018)\displaystyle 1*2*3*\ldots*2018=1*(2*3*\ldots*2018). Expresia din paranteză este un număr real, de exemplu a=2∗3∗…∗2018\displaystyle a=2*3*\ldots*2018.
    1∗2∗3∗…∗2018=1∗a, unde a=2∗3∗…∗2018∈R\displaystyle 1*2*3*\ldots*2018=1*a\text{, unde }a=2*3*\ldots*2018\in\mathbb{R}
  4. Aplicăm rezultatul 1∗x=1\displaystyle 1*x=1 cu x=a\displaystyle x=a: 1∗a=1\displaystyle 1*a=1. Deci 1∗2∗3∗…∗2018=1\displaystyle 1*2*3*\ldots*2018=1.
    1∗2∗3∗…∗2018=1∗(2∗3∗…∗2018)=1\displaystyle 1*2*3*\ldots*2018=1*(2*3*\ldots*2018)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x2+2x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}.

Arătați că f′(x)=x(x+2)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două polinoame, deci folosim formula derivatei câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aici u(x)=x2+x+1\displaystyle u(x)=x^2+x+1 și v(x)=x2+2x+2\displaystyle v(x)=x^2+2x+2.
    f′(x)=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)v(x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=2x+1\displaystyle u'(x)=2x+1 și v′(x)=2x+2\displaystyle v'(x)=2x+2.
    u′(x)=2x+1\displaystyle u'(x)=2x+1,v′(x)=2x+2\displaystyle \quad v'(x)=2x+2
  3. Înlocuim u\displaystyle u, v\displaystyle v, u′\displaystyle u' și v′\displaystyle v' în formula derivatei câtului.
    f′(x)=(2x+1)(x2+2x+2)−(x2+x+1)(2x+2)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x^2+2x+2)-(x^2+x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}
  4. Efectuăm primul produs din numărător: (2x+1)(x2+2x+2)=2x3+4x2+4x+x2+2x+2=2x3+5x2+6x+2\displaystyle (2x+1)(x^2+2x+2)=2x^3+4x^2+4x+x^2+2x+2=2x^3+5x^2+6x+2.
    (2x+1)(x2+2x+2)=2x3+5x2+6x+2\displaystyle (2x+1)(x^2+2x+2)=2x^3+5x^2+6x+2
  5. Efectuăm al doilea produs: (x2+x+1)(2x+2)=2x3+2x2+2x2+2x+2x+2=2x3+4x2+4x+2\displaystyle (x^2+x+1)(2x+2)=2x^3+2x^2+2x^2+2x+2x+2=2x^3+4x^2+4x+2.
    (x2+x+1)(2x+2)=2x3+4x2+4x+2\displaystyle (x^2+x+1)(2x+2)=2x^3+4x^2+4x+2
  6. Scădem cele două produse: (2x3+5x2+6x+2)−(2x3+4x2+4x+2)=x2+2x=x(x+2)\displaystyle (2x^3+5x^2+6x+2)-(2x^3+4x^2+4x+2)=x^2+2x=x(x+2). Numitorul nu se anulează, deoarece x2+2x+2=(x+1)2+1>0\displaystyle x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0. Deci derivata este cea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x2+2x(x2+2x+2)2=x(x+2)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x^2+2x+2)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x2+2x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=−1\displaystyle x=-1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm ordonata punctului de tangență, adică f(−1)\displaystyle f(-1): la numărător (−1)2+(−1)+1=1\displaystyle (-1)^2+(-1)+1=1, iar la numitor (−1)2+2⋅(−1)+2=1\displaystyle (-1)^2+2\cdot(-1)+2=1.
    f(−1)=11=1\displaystyle f(-1)=\dfrac{1}{1}=1
  2. Derivăm funcția cu formula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x2+x+1\displaystyle u=x^2+x+1 și v=x2+2x+2\displaystyle v=x^2+2x+2, deci u′=2x+1\displaystyle u'=2x+1 și v′=2x+2\displaystyle v'=2x+2.
    f′(x)=(2x+1)(x2+2x+2)−(x2+x+1)(2x+2)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x^2+2x+2)-(x^2+x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}
  3. Efectuăm produsele de la numărător: (2x+1)(x2+2x+2)=2x3+5x2+6x+2\displaystyle (2x+1)(x^2+2x+2)=2x^3+5x^2+6x+2 și (x2+x+1)(2x+2)=2x3+4x2+4x+2\displaystyle (x^2+x+1)(2x+2)=2x^3+4x^2+4x+2. Diferența lor este x2+2x\displaystyle x^2+2x.
    f′(x)=x2+2x(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x^2+2x+2)^2}
  4. Calculăm panta tangentei, adică f′(−1)\displaystyle f'(-1): numărătorul este (−1)2+2⋅(−1)=−1\displaystyle (-1)^2+2\cdot(-1)=-1, iar numitorul este ((−1)2+2⋅(−1)+2)2=1\displaystyle \left((-1)^2+2\cdot(-1)+2\right)^2=1. Astfel avem f(−1)=1\displaystyle f(-1)=1 și f′(−1)=−1\displaystyle f'(-1)=-1.
    f(−1)=1\displaystyle f(-1)=1, f′(−1)=−11=−1\displaystyle \ f'(-1)=\dfrac{-1}{1}=-1
  5. Scriem ecuația tangentei în punctul de abscisă −1\displaystyle -1: y−f(−1)=f′(−1)(x+1)\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1). Înlocuim valorile: y−1=−(x+1)\displaystyle y-1=-(x+1), deci y=−x−1+1=−x\displaystyle y=-x-1+1=-x.
    y−1=−(x+1), adica˘ y=−x\displaystyle y-1=-(x+1)\text{, adică }y=-x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x2+2x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}.

Demonstrați că 1≤f(x)+f(y)≤3\displaystyle 1\le f(x)+f(y)\le 3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției cu formula derivatei unui raport: f′(x)=(2x+1)(x2+2x+2)−(x2+x+1)(2x+2)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x^2+2x+2)-(x^2+x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}. Numitorul x2+2x+2\displaystyle x^2+2x+2 are discriminantul negativ, deci este strict pozitiv pe R\displaystyle \mathbb{R}. În numărător, termenii de gradul 3 se reduc: (2x3+5x2+6x+2)−(2x3+4x2+4x+2)=x2+2x\displaystyle (2x^3+5x^2+6x+2)-(2x^3+4x^2+4x+2)=x^2+2x.
    f′(x)=x(x+2)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}
  2. Semnul derivatei este dat de semnul produsului x(x+2)\displaystyle x(x+2), deoarece numitorul este pozitiv. Avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x<−2\displaystyle x<-2, f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru x∈(−2,0)\displaystyle x\in(-2,0) și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x>0\displaystyle x>0. Rezultă monotonia funcției f\displaystyle f.
    f cresca˘toare pe (−∞,−2], descresca˘toare pe [−2,0], cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-2]\text{, descrescătoare pe }[-2,0]\text{, crescătoare pe }[0,+\infty)
  3. Calculăm valorile în punctele de schimbare a monotoniei: f(−2)=4−2+14−4+2=32\displaystyle f(-2)=\dfrac{4-2+1}{4-4+2}=\dfrac{3}{2} și f(0)=12\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{2}. La infinit, numărătorul și numitorul au același termen dominant x2\displaystyle x^2, deci lim⁡x→±∞f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.
    lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=1, f(−2)=32\displaystyle \ f(-2)=\frac{3}{2}, f(0)=12\displaystyle \ f(0)=\frac{1}{2}, lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1
  4. Folosim monotonia pe fiecare interval. Pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2] funcția crește de la 1\displaystyle 1 la 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, deci f(x)∈(1,32]\displaystyle f(x)\in\left(1,\dfrac{3}{2}\right]. Pe [−2,0]\displaystyle [-2,0] scade de la 32\displaystyle \dfrac{3}{2} la 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, deci f(x)∈[12,32]\displaystyle f(x)\in\left[\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right]. Pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) crește de la 12\displaystyle \dfrac{1}{2} la 1\displaystyle 1, deci f(x)∈[12,1)\displaystyle f(x)\in\left[\dfrac{1}{2},1\right). Maximul este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, iar minimul este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    12≤f(x)≤32\displaystyle \frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{3}{2}, pentru orice x∈R\displaystyle \ \text{pentru orice }x\in\mathbb{R}
  5. Inegalitatea de la pasul anterior este valabilă și pentru y\displaystyle y: 12≤f(y)≤32\displaystyle \dfrac{1}{2}\le f(y)\le\dfrac{3}{2}. Adunând cele două inegalități, obținem 12+12≤f(x)+f(y)≤32+32\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\le f(x)+f(y)\le\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}, adică 1≤f(x)+f(y)≤3\displaystyle 1\le f(x)+f(y)\le 3, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    12≤f(x)≤32 și 1≤f(x)+f(y)≤3\displaystyle \frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{3}{2}\text{ și }1\le f(x)+f(y)\le 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+12x+5\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+5.

Arătați că ∫01(f(x)−x3)dx=9\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-x^3\right)dx=9.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la integrala cerută și înlocuim f(x)=x3−6x2+12x+5\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+5 în integrand.
    ∫01(x3−6x2+12x+5−x3)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^3-6x^2+12x+5-x^3\right)dx
  2. Reducem termenii asemenea: x3−x3=0\displaystyle x^3-x^3=0, deci integrandul devine un polinom de gradul al doilea.
    ∫01(−6x2+12x+5)dx\displaystyle \int_0^1\left(-6x^2+12x+5\right)dx
  3. Integrăm termen cu termen, folosind ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}: primitiva lui −6x2\displaystyle -6x^2 este −2x3\displaystyle -2x^3, a lui 12x\displaystyle 12x este 6x2\displaystyle 6x^2, iar a lui 5\displaystyle 5 este 5x\displaystyle 5x.
    ∫01(−6x2+12x+5)dx=(−2x3+6x2+5x)∣01\displaystyle \int_0^1\left(-6x^2+12x+5\right)dx=\left(-2x^3+6x^2+5x\right)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în x=1\displaystyle x=1 obținem −2+6+5\displaystyle -2+6+5, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0.
    (−2⋅13+6⋅12+5⋅1)−0=−2+6+5−0\displaystyle \left(-2\cdot1^3+6\cdot1^2+5\cdot1\right)-0=-2+6+5-0
  5. Efectuăm calculul: −2+6+5=9\displaystyle -2+6+5=9, deci egalitatea cerută este adevărată.
    −2+6+5−0=9\displaystyle -2+6+5-0=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+12x+5\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+5.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este o funcție convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Atunci F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=x3−6x2+12x+5\displaystyle F'(x)=f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x+5
  2. Derivăm încă o dată: F′′\displaystyle F'' este derivata lui f\displaystyle f. Derivăm termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (6x2)′=12x\displaystyle (6x^{2})'=12x, (12x)′=12\displaystyle (12x)'=12, iar constanta 5\displaystyle 5 are derivata 0\displaystyle 0.
    F′′(x)=f′(x)=3x2−12x+12\displaystyle F''(x)=f'(x)=3x^{2}-12x+12
  3. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 și recunoaștem în paranteză pătratul unei diferențe: x2−4x+4=(x−2)2\displaystyle x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
    F′′(x)=3(x2−4x+4)=3(x−2)2\displaystyle F''(x)=3\left(x^{2}-4x+4\right)=3(x-2)^{2}
  4. Un pătrat este mereu pozitiv sau nul, deci F′′(x)≥0\displaystyle F''(x)\ge 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Cum F\displaystyle F este de două ori derivabilă, rezultă că F\displaystyle F este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Cum F\displaystyle F a fost aleasă oarecare, orice primitivă a lui f\displaystyle f este convexă.
    F′′(x)=3(x−2)2≥0\displaystyle F''(x)=3(x-2)^{2}\ge 0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+12x+5\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+5.

Arătați că ∫243f′(x)+12dx=π8\displaystyle \displaystyle\int_2^4\frac{3}{f'(x)+12}dx=\frac{\pi}{8}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=x3−6x2+12x+5\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+5 și obținem f′(x)=3x2−12x+12\displaystyle f'(x)=3x^2-12x+12.
    f′(x)=3x2−12x+12\displaystyle f'(x)=3x^2-12x+12
  2. Scoatem factor comun 3: f′(x)=3(x2−4x+4)\displaystyle f'(x)=3(x^2-4x+4), iar paranteza este pătrat perfect: f′(x)=3(x−2)2\displaystyle f'(x)=3(x-2)^2.
    f′(x)=3(x−2)2\displaystyle f'(x)=3(x-2)^2
  3. Numitorul devine f′(x)+12=3(x−2)2+12=3((x−2)2+4)\displaystyle f'(x)+12=3(x-2)^2+12=3\left((x-2)^2+4\right). Simplificăm cu 3 și obținem integrala ∫2433((x−2)2+4)dx=∫241(x−2)2+4dx\displaystyle \displaystyle\int_2^4\frac{3}{3\left((x-2)^2+4\right)}dx=\int_2^4\frac{1}{(x-2)^2+4}dx.
    ∫241(x−2)2+4dx\displaystyle \int_2^4\frac{1}{(x-2)^2+4}dx
  4. Folosim formula ∫1u2+a2du=1a arctgua\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{u^2+a^2}du=\frac{1}{a}\,\mathrm{arctg}\frac{u}{a}, cu u=x−2\displaystyle u=x-2 și a=2\displaystyle a=2. Rezultă ∫241(x−2)2+4dx=12 arctgx−22∣24\displaystyle \displaystyle\int_2^4\frac{1}{(x-2)^2+4}dx=\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\frac{x-2}{2}\Big|_2^4.
    12 arctgx−22∣24\displaystyle \frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\frac{x-2}{2}\Big|_2^4
  5. Pentru x=4\displaystyle x=4 avem 4−22=1\displaystyle \dfrac{4-2}{2}=1, iar pentru x=2\displaystyle x=2 avem 2−22=0\displaystyle \dfrac{2-2}{2}=0. Deci integrala este 12(arctg 1−arctg 0)\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\mathrm{arctg}\,1-\mathrm{arctg}\,0\right).
    12(arctg 1−arctg 0)\displaystyle \frac{1}{2}\left(\mathrm{arctg}\,1-\mathrm{arctg}\,0\right)
  6. Cum arctg 1=π4\displaystyle \mathrm{arctg}\,1=\dfrac{\pi}{4} și arctg 0=0\displaystyle \mathrm{arctg}\,0=0, obținem 12⋅π4=π8\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8}, ceea ce trebuia demonstrat.
    12(π4−0)=π8\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.