Bac matematică M3 tehnologic 2026, sesiunea specială varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\frac{8}{3}-2\cdot\left(1-\frac{1}{6}\right)=1

Vezi rezolvarea

Se calculează paranteza: se aduce $\displaystyle 1$ la forma de fracție cu numitorul $\displaystyle 6$ , apoi se scade $\displaystyle \dfrac{1}{6}$ .
$\displaystyle 1-\frac{1}{6}=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
Se înlocuiește paranteza calculată în expresia inițială.
$\displaystyle \frac{8}{3}-2\cdot\frac{5}{6}$
Se efectuează înmulțirea $\displaystyle 2$ cu $\displaystyle \dfrac{5}{6}$ , simplificând fracția rezultată.
$\displaystyle 2\cdot\frac{5}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$
Se scade fracția obținută din $\displaystyle \dfrac{8}{3}$ , ambele fracții având același numitor, și se simplifică rezultatul final.
$\displaystyle \frac{8}{3}-\frac{5}{3}=\frac{3}{3}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=7x+5

. Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle f(m)=26

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia funcției $\displaystyle f$ calculată în punctul $\displaystyle m$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle m$ în formula funcției.
$\displaystyle f(m)=7m+5\text{, pentru orice număr real }m$
Se pune condiția din enunț, $\displaystyle f(m)=26$ , și se scrie ecuația obținută prin egalarea expresiei lui $\displaystyle f(m)$ cu $\displaystyle 26$ .
$\displaystyle 7m+5=26$
Se trece termenul $\displaystyle 5$ în partea dreaptă a ecuației, schimbându-i semnul.
$\displaystyle 7m=26-5$
Se efectuează scăderea din partea dreaptă a egalității.
$\displaystyle 7m=21$
Se împarte ecuația prin coeficientul lui $\displaystyle m$ pentru a obține valoarea lui $\displaystyle m$ .
$\displaystyle m=\dfrac{21}{7}=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{2x-1}=3^{5-x}

.

Vezi rezolvarea

Se observă că cele două puteri au aceeași bază, $\displaystyle 3$ , deci egalitatea are loc dacă și numai dacă exponenții sunt egali.
$\displaystyle 3^{2x-1}=3^{5-x}\Rightarrow 2x-1=5-x$
Se scrie explicit ecuația obținută prin egalarea exponenților.
$\displaystyle 2x-1=5-x$
Se trec toți termenii cu $\displaystyle x$ în stânga și cei numerici în dreapta.
$\displaystyle 2x+x=5+1$
Se reduc termenii asemenea.
$\displaystyle 3x=6$
Se împarte ecuația prin coeficientul lui $\displaystyle x$ pentru a afla soluția.
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o ieftinire cu

\displaystyle 65\%

, un obiect costă

\displaystyle 70

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul obiectului înainte de ieftinire.
$\displaystyle x=\text{prețul inițial al }$ $\displaystyle \text{obiectului}$
O ieftinire cu $\displaystyle 65\%$ înseamnă că din prețul inițial $\displaystyle x$ se scade $\displaystyle 65\%$ din $\displaystyle x$ , iar ce rămâne este noul preț, $\displaystyle 70$ de lei. Scriem ecuația corespunzătoare.
$\displaystyle x-\frac{65}{100}\cdot x=70\text{, unde }x\text{ este prețul înainte de }$ $\displaystyle \text{ieftinire}$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ în membrul stâng, obținând procentul rămas din preț ( $\displaystyle 100\% - 65\% = 35\%$ ).
$\displaystyle x\left(1-\frac{65}{100}\right)=70\text{, adică }\frac{35}{100}\cdot x=70$
Rezolvăm ecuația: înmulțim ambii membri cu $\displaystyle 100$ și apoi împărțim la $\displaystyle 35$ pentru a afla $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 35x=7000\Rightarrow x=\frac{7000}{35}$
Calculăm valoarea lui $\displaystyle x$ , obținând prețul inițial al obiectului.
$\displaystyle x=200\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,3)

,

\displaystyle B(8,6)

și

\displaystyle C

, mijlocul segmentului

\displaystyle OB

. Determinați distanța dintre punctele

\displaystyle A

și

\displaystyle C

.

Vezi rezolvarea

Se identifică originea $\displaystyle O$ a reperului cartezian, având coordonatele $\displaystyle O(0,0)$ , necesară pentru calculul mijlocului segmentului $\displaystyle OB$ .
$\displaystyle O(0,0)$
Se aplică formula punctului de mijloc pentru segmentul $\displaystyle OB$ , folosind coordonatele lui $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle B(8,6)$ : coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor.
$\displaystyle C\left(\dfrac{0+8}{2},\dfrac{0+6}{2}\right)$
Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele exacte ale punctului $\displaystyle C$ , mijlocul segmentului $\displaystyle OB$ .
$\displaystyle C(4,3)$
Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, aplicată pentru punctele $\displaystyle A(1,3)$ și $\displaystyle C(4,3)$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{(4-1)^2+(3-3)^2}$
Se calculează diferențele de coordonate și se ridică la pătrat, apoi se simplifică suma sub radical.
$\displaystyle AC=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}$
Se extrage radicalul pentru a obține valoarea finală a distanței dintre punctele $\displaystyle A$ și $\displaystyle C$ .
$\displaystyle AC=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AC=6\cdot AB

și aria egală cu

\displaystyle 12

. Arătați că

\displaystyle AB=2

.

Vezi rezolvarea

Se notează lungimea catetei $\displaystyle AB$ cu $\displaystyle AB$ (necunoscuta), iar cealaltă catetă $\displaystyle AC$ se exprimă în funcție de $\displaystyle AB$ , conform datelor din enunț.
$\displaystyle AB=AB$ , $\displaystyle \quad AC=6\cdot AB$
Se scrie formula ariei unui triunghi dreptunghic în funcție de cele două catete, $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle A_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}$
Se înlocuiește $\displaystyle AC$ cu $\displaystyle 6\cdot AB$ și aria cu valoarea dată, $\displaystyle 12$ , obținându-se ecuația în funcție de $\displaystyle AB$ .
$\displaystyle \frac{6\cdot AB\cdot AB}{2}=12$
Se simplifică fracția, aducând ecuația la forma $\displaystyle AB^{2} = \text{valoare}$ , apoi se rezolvă pentru $\displaystyle AB$ , reținând soluția pozitivă (lungime).
$\displaystyle AB^{2}=\frac{2\cdot12}{6}=4\text{, de unde obținem }AB=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ 2x & x+4 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=1

.

Vezi rezolvarea

Se scrie matricea generală $\displaystyle A(x)$ și se identifică elementele care depind de $\displaystyle x$ .
$\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&2\\2x&x+4\end{pmatrix}$
Se înlocuiește $\displaystyle x=1$ în fiecare element al matricei.
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\2\cdot1&1+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$
Se scrie determinantul matricei $\displaystyle A(1)$ folosind formula $\displaystyle ad-bc$ pentru o matrice $\displaystyle 2\times 2$ .
$\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&2\\2&5\end{vmatrix}=1\cdot5-2\cdot2=$
Se efectuează înmulțirile din formula determinantului.
$\displaystyle 1\cdot5=5\text{ și }2\cdot2=4$
Se face scăderea și se obține valoarea finală a determinantului.
$\displaystyle =5-4=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ 2x & x+4 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle 3A(3)-A(1)=2A(4)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A(3)$ înlocuind $\displaystyle x=3$ în matrice: $\displaystyle x=3$ , $\displaystyle 2x=6$ , $\displaystyle x+4=7$ .
$\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3&2\\6&7\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(1)$ înlocuind $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle 2x=2$ , $\displaystyle x+4=5$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$
Înmulțim matricea $\displaystyle A(3)$ cu $\displaystyle 3$ , adică fiecare element cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle 3A(3)=\begin{pmatrix}9&6\\18&21\end{pmatrix}$
Scădem $\displaystyle A(1)$ din $\displaystyle 3A(3)$ , element cu element: $\displaystyle 9-1=8$ , $\displaystyle 6-2=4$ , $\displaystyle 18-2=16$ , $\displaystyle 21-5=16$ .
$\displaystyle 3A(3)-A(1)=\begin{pmatrix}8&4\\16&16\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(4)$ : $\displaystyle x=4$ , $\displaystyle 2x=8$ , $\displaystyle x+4=8$ . Apoi $\displaystyle 2A(4)$ are elementele $\displaystyle 8$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 16$ , $\displaystyle 16$ , adică exact matricea obținută pentru $\displaystyle 3A(3)-A(1)$ , deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle 3A(3)-A(1)=2\begin{pmatrix}4&2\\8&8\end{pmatrix}=2A(4)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ 2x & x+4 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)=4xA(0)

.

Vezi rezolvarea

Se calculează matricea $\displaystyle A(0)$ înlocuind $\displaystyle x=0$ în matricea $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}$
Se calculează produsul $\displaystyle A(0)\cdot A(x)$ , folosind regula de înmulțire a matricelor.
$\displaystyle A(0)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&2\\2x&x+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4x&2x+8\\8x&4x+16\end{pmatrix}$
Se înmulțește rezultatul obținut cu $\displaystyle A(0)$ la dreapta, pentru a obține $\displaystyle A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}4x&2x+8\\8x&4x+16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&16x+32\\0&32x+64\end{pmatrix}$
Se observă că matricea obținută este un multiplu scalar al lui $\displaystyle A(0)$ , factorul comun fiind $\displaystyle 8x+16$ , rezultat valabil pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)=(8x+16)A(0)\text{, pentru orice număr real }x$
Se pune condiția ca $\displaystyle A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)$ să fie egal cu $\displaystyle 4xA(0)$ , obținându-se o ecuație în $\displaystyle x$ , care se rezolvă.
$\displaystyle (8x+16)A(0)=4xA(0)\text{, de unde obținem }8x+16=4x\text{, deci }x=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^{3}-4X^{2}+aX-2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=5

, arătați că

\displaystyle f(1)=0

.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la polinomul dat și se înlocuiește valoarea particulară $\displaystyle a=5$ în expresia lui $\displaystyle f$ , pentru a obține forma concretă a polinomului.
$\displaystyle f=X^{3}-4X^{2}+5X-2$
Se calculează valoarea polinomului în $\displaystyle x=1$ , înlocuind $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 1$ în expresia obținută la pasul anterior.
$\displaystyle f(1)=1^{3}-4\cdot1^{2}+5\cdot1-2$
Se calculează fiecare termen: puterile lui $\displaystyle 1$ rămân $\displaystyle 1$ , iar produsele se efectuează conform ordinii operațiilor.
$\displaystyle f(1)=1-4+5-2$
Se adună și se scad termenii obținuți, pentru a determina valoarea finală a lui $\displaystyle f(1)$ .
$\displaystyle f(1)=1-4+5-2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^{3}-4X^{2}+aX-2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=3

, arătați că

\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}=8

, unde

\displaystyle x_{1}

,

\displaystyle x_{2}

și

\displaystyle x_{3}

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se identifică rădăcinile polinomului $\displaystyle f=X^{3}-4X^{2}+aX-2$ pentru valoarea $\displaystyle a=3$ , adică $\displaystyle f=X^{3}-4X^{2}+3X-2$ , și se scriu relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea de forma $\displaystyle X^{3}+pX^{2}+qX+r$ , cu rădăcinile $\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}$ : $\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-p$ , $\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=q$ , $\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-r$ .
$\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-p$ , $\displaystyle \ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=q$ , $\displaystyle \ x_{1}x_{2}x_{3}=-r$
Se identifică coeficienții polinomului $\displaystyle f=X^{3}-4X^{2}+3X-2$ : $\displaystyle p=-4$ , $\displaystyle q=3$ , $\displaystyle r=-2$ , și se aplică relațiile lui Viète pentru a obține sumele și produsul rădăcinilor.
$\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=4$ , $\displaystyle \ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=3$ , $\displaystyle \ x_{1}x_{2}x_{3}=2$
Se reține din calculul anterior valoarea sumei produselor perechi de rădăcini și a produsului celor trei rădăcini, conform relațiilor lui Viète.
$\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=3$ , $\displaystyle \ x_{1}x_{2}x_{3}=2$
Se scrie expresia cerută grupând termenii astfel încât să se poată folosi direct valorile obținute din relațiile lui Viète: se scoate factor comun $\displaystyle 2$ la termenii care conțin produse de câte două rădăcini.
$\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}+2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})$
Se înlocuiesc valorile $\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=2$ și $\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=3$ în expresia grupată și se efectuează calculele pentru a obține rezultatul final.
$\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}+2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})=2+2\cdot3=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^{3}-4X^{2}+aX-2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Se consideră polinoamele

\displaystyle g=X-3

și

\displaystyle h=X+2

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care restul împărțirii polinomului

\displaystyle f

la

\displaystyle g

este egal cu restul împărțirii polinomului

\displaystyle g

la

\displaystyle h

.

Vezi rezolvarea

Se identifică cerința problemei: se cere numărul real $\displaystyle a$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle g=X-3$ este egal cu restul împărțirii polinomului $\displaystyle g=X-3$ la $\displaystyle h=X+2$ .
$\displaystyle \text{Se determină }a\in\mathbb{R}\text{ astfel încât restul }$ $\displaystyle \text{împărțirii lui }f\text{ la }g=X-3\text{ să fie egal cu restul }$ $\displaystyle \text{împărțirii lui }g=X-3\text{ la }h=X+2$
Se aplică teorema restului: restul împărțirii unui polinom $\displaystyle h$ la $\displaystyle X-c$ este egal cu valoarea polinomului în $\displaystyle c$ , adică $\displaystyle h(c)$ .
$\displaystyle \text{restul împărțirii lui }h\text{ la }X-c\text{ este }h(c)$
Se aplică teorema restului pentru polinomul $\displaystyle g=X-3$ și divizorul $\displaystyle X+2=X-(-2)$ , deci restul este $\displaystyle g(-2)$ . Se calculează $\displaystyle g(-2)$ .
$\displaystyle g(-2)=-2-3=-5$
Se aplică teorema restului pentru polinomul $\displaystyle f$ și divizorul $\displaystyle X-3$ , deci restul este $\displaystyle f(3)$ . Se calculează $\displaystyle f(3)$ în funcție de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f(3)=3^{3}-4\cdot 3^{2}+a\cdot 3-2=27-36+3a-2=3a-11$
Se centralizează cele două resturi calculate: restul împărțirii lui $\displaystyle g$ la $\displaystyle X+2$ este $\displaystyle -5$ , iar restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la $\displaystyle X-3$ este $\displaystyle 3a-11$ , pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle g(-2)=-5$ , $\displaystyle \ f(3)=3a-11\text{, pentru orice număr real }a$
Se pune condiția din enunț ca cele două resturi să fie egale, se obține o ecuație în $\displaystyle a$ , care se rezolvă.
$\displaystyle 3a-11=-5\text{, de unde obținem }a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}+6}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+3)(2-x)}{(x^{2}+6)^{2}}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică funcțiile $\displaystyle u$ și $\displaystyle v$ din scrierea $\displaystyle f=\dfrac{u}{v}$ , precum și derivatele lor: $\displaystyle u(x)=2x+1$ , $\displaystyle v(x)=x^{2}+6$ , deci $\displaystyle u'(x)=2$ , $\displaystyle v'(x)=2x$ .
$\displaystyle u(x)=2x+1$ , $\displaystyle \text{ }v(x)=x^{2}+6$ , $\displaystyle \text{ }u'(x)=2$ , $\displaystyle \text{ }v'(x)=2x$
Se aplică formula de derivare a câtului, $\displaystyle f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , înlocuind expresiile lui $\displaystyle u$ , $\displaystyle v$ , $\displaystyle u'$ , $\displaystyle v'$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x^{2}+6)-(2x+1)\cdot2x}{(x^{2}+6)^{2}}=$
Se efectuează înmulțirile din numărător: $\displaystyle 2(x^{2}+6)=2x^{2}+12$ și $\displaystyle (2x+1)\cdot 2x=4x^{2}+2x$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}+12-(4x^{2}+2x)}{(x^{2}+6)^{2}}$
Se reduc termenii asemenea din numărător, obținând forma simplificată a numărătorului.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2x^{2}-2x+12}{(x^{2}+6)^{2}}$
Se dă factor comun $\displaystyle 2$ la numărător și se factorizează trinomul de gradul al doilea, obținând forma finală a derivatei, valabilă pentru orice $\displaystyle x$ real (numitorul fiind mereu strict pozitiv).
$\displaystyle =\dfrac{-2x^{2}-2x+12}{(x^{2}+6)^{2}}=\dfrac{2(x+3)(2-x)}{(x^{2}+6)^{2}}\text{, }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}+6}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(x\cdot f(x)\big)=2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia produsului $\displaystyle x\cdot f(x)$ , înlocuind $\displaystyle f(x)$ cu formula dată.
$\displaystyle x\cdot f(x)=x\cdot\dfrac{2x+1}{x^{2}+6}=\dfrac{x(2x+1)}{x^{2}+6}$
Se scrie limita la $\displaystyle +\infty$ a produsului $\displaystyle x\cdot f(x)$ , pornind de la expresia obținută anterior.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\big(x\cdot f(x)\big)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x(2x+1)}{x^{2}+6}$
Se dezvoltă numărătorul și se identifică termenul de grad maxim ( $\displaystyle x^2$ ) atât la numărător cât și la numitor, pentru a-l forța ca factor comun.
$\displaystyle x(2x+1)=2x^{2}+x=x^{2}\left(2+\dfrac{1}{x}\right)\text{, iar }x^{2}+6=x^{2}\left(1+\dfrac{6}{x^{2}}\right)$
Se rescrie limita folosind factorul comun $\displaystyle x^2$ forțat la numărător și numitor.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\big(x\cdot f(x)\big)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x(2x+1)}{x^{2}+6}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{6}{x^{2}}\right)}$
Se simplifică fracția prin $\displaystyle x^2$ , rămânând doar termenii dependenți de $\displaystyle x$ în paranteze.
$\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{6}{x^{2}}}$
Se folosește faptul că $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle \dfrac{6}{x^2}$ tind către $\displaystyle 0$ când $\displaystyle x$ tinde la infinit, iar limita rezultă prin înlocuire directă.
$\displaystyle =\dfrac{2+0}{1+0}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}+6}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care tangenta la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=a

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

, are panta egală cu

\displaystyle 0

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ folosind regula de derivare a câtului: $\displaystyle (\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ , unde $\displaystyle u(x)=2x+1$ și $\displaystyle v(x)=x^{2}+6$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x^{2}+6)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^{2}+6)^{2}}$
Se dezvoltă și se reduc termenii asemenea la numărător.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}+12-4x^{2}-2x}{(x^{2}+6)^{2}}=\dfrac{-2x^{2}-2x+12}{(x^{2}+6)^{2}}$
Se factorizează numărătorul: se dă factor comun $\displaystyle -2$ și se descompune trinomul de gradul al doilea.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2(x^{2}+x-6)}{(x^{2}+6)^{2}}=\dfrac{2(x+3)(2-x)}{(x^{2}+6)^{2}}$
Deoarece panta tangentei la graficul funcției într-un punct este dată de valoarea derivatei în acel punct, se pune condiția ca derivata funcției să fie nulă în punctul de abscisă $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f'(a)=0$
Se înlocuiește $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în expresia derivatei obținute anterior.
$\displaystyle \dfrac{2(a+3)(2-a)}{(a^{2}+6)^{2}}=0$
Se rezolvă ecuația: cum numitorul $\displaystyle (a^{2}+6)^{2}$ este întotdeauna strict pozitiv, ecuația este echivalentă cu anularea numărătorului, adică $\displaystyle (a+3)(2-a)=0$ , de unde se obțin soluțiile $\displaystyle a=-3$ sau $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle \dfrac{2(a+3)(2-a)}{(a^{2}+6)^{2}}=0\Leftrightarrow a=-3\text{ sau }a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{x+4}}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\cdot\sqrt{x+4}\,dx=8

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia produsului dintre funcția $\displaystyle f$ și $\displaystyle \sqrt{x+4}$ , pornind de la formula lui $\displaystyle f(x)$ .
$\displaystyle f(x)\cdot\sqrt{x+4}=\dfrac{4x}{\sqrt{x+4}}\cdot\sqrt{x+4}$
Se simplifică produsul, folosind faptul că $\displaystyle \sqrt{x+4}\cdot\sqrt{x+4}=x+4$ , deci fracția se reduce.
$\displaystyle f(x)\cdot\sqrt{x+4}=4x$
Se înlocuiește produsul simplificat în integrala definită de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 2$ și se calculează o primitivă a funcției $\displaystyle 4x$ .
$\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)\cdot\sqrt{x+4}\,dx=\int_{0}^{2}4x\,dx=2x^{2}\Big|_{0}^{2}=$
Se evaluează primitiva $\displaystyle 2x^{2}$ la capetele intervalului $\displaystyle [0,2]$ , obținând valoarea finală a integralei.
$\displaystyle =8-0=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{x+4}}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{5}^{12} \dfrac{1}{2x}\cdot f(x)\,dx=4

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{x+4}}$ în integrant și simplificăm cu $\displaystyle x$ , care este nenul pe $\displaystyle [5,12]$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{2x}\cdot\dfrac{4x}{\sqrt{x+4}}=\dfrac{4}{2\sqrt{x+4}}=\dfrac{2}{\sqrt{x+4}}$
Scriem integrala cu integrantul simplificat. Observăm că $\displaystyle (x+4)'=1$ , deci putem scrie integrantul sub forma $\displaystyle 4\cdot\dfrac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}}$ și scoatem constanta $\displaystyle 4$ în fața integralei.
$\displaystyle \int_{5}^{12}\dfrac{1}{2x}\cdot f(x)\,dx=4\int_{5}^{12}\dfrac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}}\,dx$
Recunoaștem derivata radicalului: $\displaystyle \left(\sqrt{x+4}\right)'=\dfrac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}}$ . Deci o primitivă a integrantului este $\displaystyle \sqrt{x+4}$ și, după formula Leibniz-Newton, integrala devine:
$\displaystyle 4\sqrt{x+4}\Big|_{5}^{12}$
Calculăm valorile la limite: pentru $\displaystyle x=12$ avem $\displaystyle \sqrt{16}=4$ , iar pentru $\displaystyle x=5$ avem $\displaystyle \sqrt{9}=3$ . Apoi facem diferența.
$\displaystyle 4\sqrt{16}-4\sqrt{9}=16-12=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{x+4}}

.

Se consideră

\displaystyle a\in(0,+\infty)

și funcția

\displaystyle g:[a,a+8]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)}{4\sqrt{x}}

. Determinați

\displaystyle a\in(0,+\infty)

pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției

\displaystyle g

în jurul axei

\displaystyle Ox

este egal cu

\displaystyle 4\pi(2-\ln2)

.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la funcția dată $\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{x+4}}$ și de la funcția $\displaystyle g$ asociată acesteia, $\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)}{4\sqrt{x}}$ , definită pentru $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)}{4\sqrt{x}}=\dfrac{1}{4\sqrt{x}}\cdot\dfrac{4x}{\sqrt{x+4}}$
Se simplifică expresia lui $\displaystyle g(x)$ , reducând factorul $\displaystyle 4$ și scriind $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$ .
$\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x+4}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}}$
Se consideră graficul lui $\displaystyle g$ pe intervalul $\displaystyle [a,a+8]$ , cu $\displaystyle a>0$ , și se scrie formula volumului corpului de rotație obținut prin rotirea graficului lui $\displaystyle g$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ .
$\displaystyle V=\pi\int_{a}^{a+8}\big(g(x)\big)^{2}dx$ , $\displaystyle \text{ }x\in[a,a+8]$
Se calculează pătratul funcției $\displaystyle g$ și se scrie sub forma unei diferențe convenabile pentru integrare.
$\displaystyle \big(g(x)\big)^{2}=\dfrac{x}{x+4}=1-\dfrac{4}{x+4}$
Se determină o primitivă a funcției $\displaystyle 1-\dfrac{4}{x+4}$ , folosind faptul că o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x+4}$ este $\displaystyle \ln(x+4)$ .
$\displaystyle \int\left(1-\dfrac{4}{x+4}\right)dx=x-4\ln(x+4)+C$
Se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [a,a+8]$ și se obține expresia volumului $\displaystyle V$ în funcție de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}}\text{, }x\in[a,a+8]\text{, deci }V=\pi\int_{a}^{a+8}\big(g(x)\big)^{2}dx=\pi\int_{a}^{a+8}\left(1-\dfrac{4}{x+4}\right)dx=\pi\Big(x-4\ln(x+4)\Big)\Big|_{a}^{a+8}=\pi\left(8-4\ln\dfrac{a+12}{a+4}\right)$
Se scoate factor comun $\displaystyle 4\pi$ din expresia volumului, pentru a o compara cu valoarea dată în enunț.
$\displaystyle V=4\pi\left(2-\ln\dfrac{a+12}{a+4}\right)$
Se pune condiția ca volumul să fie egal cu $\displaystyle 4\pi(2-\ln 2)$ , se simplifică ecuația obținută, se rezolvă în raport cu $\displaystyle a$ și se verifică soluția în domeniul cerut ( $\displaystyle a>0$ ).
$\displaystyle 4\pi\left(2-\ln\dfrac{a+12}{a+4}\right)=4\pi(2-\ln2)\text{, de unde obținem }a=4\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2026, sesiunea specială varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani