Bac matematică M3 tehnologic 2020, sesiunea specială varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 5(1+25)−5=10\displaystyle \sqrt{5}\left(1+2\sqrt{5}\right)-\sqrt{5}=10.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem paranteza, înmulțind 5\displaystyle \sqrt{5} cu fiecare termen din paranteză: cu 1\displaystyle 1 și cu 25\displaystyle 2\sqrt{5}.
    5⋅1+5⋅25−5\displaystyle \sqrt{5}\cdot 1+\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}-\sqrt{5}
  2. Scriem expresia după desfacerea parantezei, cu produsul radicalilor evidențiat: 5⋅1=5\displaystyle \sqrt{5}\cdot 1=\sqrt{5} și 5⋅25=25⋅5\displaystyle \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}.
    5+25⋅5−5\displaystyle \sqrt{5}+2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}-\sqrt{5}
  3. Reducem termenii opuși: 5−5=0\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{5}=0, deci rămâne doar produsul radicalilor.
    25⋅5\displaystyle 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}
  4. Folosim faptul că 5⋅5=5\displaystyle \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5, deci expresia devine 2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10, ceea ce trebuia arătat.
    2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1\displaystyle f(x)=x^2-3x+1. Arătați că f(1)=f(2)\displaystyle f(1)=f(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției f(x)=x2−3x+1\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+1.
    f(1)=12−3⋅1+1\displaystyle f(1)=1^{2}-3\cdot 1+1
  2. Calculăm: 12=1\displaystyle 1^{2}=1, iar 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3. Obținem 1−3+1\displaystyle 1-3+1, adică −1\displaystyle -1.
    f(1)=1−3+1=−1\displaystyle f(1)=1-3+1=-1
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției f(x)=x2−3x+1\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+1.
    f(2)=22−3⋅2+1\displaystyle f(2)=2^{2}-3\cdot 2+1
  4. Calculăm: 22=4\displaystyle 2^{2}=4, iar 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6. Obținem 4−6+1\displaystyle 4-6+1, adică −1\displaystyle -1.
    f(2)=4−6+1=−1\displaystyle f(2)=4-6+1=-1
  5. Am obținut f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1 și f(2)=−1\displaystyle f(2)=-1, deci cele două valori sunt egale.
    f(1)=f(2)=−1\displaystyle f(1)=f(2)=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2−21)=log⁡54\displaystyle \log_5\left(x^2-21\right)=\log_5 4.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x2−21>0\displaystyle x^{2}-21>0.
    x2−21>0\displaystyle x^{2}-21>0
  2. Logaritmii au aceeași bază, 5\displaystyle 5, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x2−21=4\displaystyle x^{2}-21=4.
    x2−21=4\displaystyle x^{2}-21=4
  3. Mutăm 4\displaystyle 4 în membrul stâng și obținem ecuația x2−25=0\displaystyle x^{2}-25=0.
    x2−21=4⇒x2−25=0\displaystyle x^{2}-21=4\Rightarrow x^{2}-25=0
  4. Rezolvăm ecuația: x2=25\displaystyle x^{2}=25, deci x=−5\displaystyle x=-5 sau x=5\displaystyle x=5.
    x=−5 sau x=5\displaystyle x=-5\text{ sau }x=5
  5. Verificăm condiția de existență: pentru x=±5\displaystyle x=\pm 5 avem x2−21=25−21=4>0\displaystyle x^{2}-21=25-21=4>0. Deci ambele soluții convin.
    x=−5 sau x=5, care convin\displaystyle x=-5\text{ sau }x=5\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\%, un obiect costă 220\displaystyle 220 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm prețul inițial cu x\displaystyle x. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că la prețul inițial se adaugă 10%\displaystyle 10\% din el.
    x = prețul inițial\displaystyle x\text{ = prețul inițial}
  2. Scriem ecuația: prețul inițial plus zece sutimi din el este egal cu prețul nou, adică x+10100⋅x=220\displaystyle x+\dfrac{10}{100}\cdot x=220.
    x+10100⋅x=220\displaystyle x+\frac{10}{100}\cdot x=220
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(1+110)=220\displaystyle x\left(1+\dfrac{1}{10}\right)=220, deci 1110⋅x=220\displaystyle \dfrac{11}{10}\cdot x=220.
    1110⋅x=220\displaystyle \frac{11}{10}\cdot x=220
  4. Înmulțim cu 1011\displaystyle \dfrac{10}{11}: x=220⋅1011=20⋅10\displaystyle x=220\cdot\dfrac{10}{11}=20\cdot 10. Prețul inițial este de 200 de lei.
    x=200 de lei\displaystyle x=200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
În triunghiul ABC\displaystyle ABC, m(∠B)=m(∠C)=60∘\displaystyle m(\angle B)=m(\angle C)=60^\circ. Calculați cosinusul unghiului A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci m(∠A)=180∘−m(∠B)−m(∠C)\displaystyle m(\angle A)=180^\circ-m(\angle B)-m(\angle C).
    m(∠A)=180∘−m(∠B)−m(∠C)\displaystyle m(\angle A)=180^\circ-m(\angle B)-m(\angle C)
  2. Înlocuim m(∠B)=m(∠C)=60∘\displaystyle m(\angle B)=m(\angle C)=60^\circ și obținem m(∠A)=180∘−60∘−60∘=60∘\displaystyle m(\angle A)=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ.
    m(∠A)=180∘−60∘−60∘=60∘\displaystyle m(\angle A)=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ
  3. Folosim valoarea cunoscută cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}. Deci cos⁡A=cos⁡60∘=12\displaystyle \cos A=\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡A=cos⁡60∘=12\displaystyle \cos A=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(16−1−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-1&-4\end{pmatrix}, B=(1224)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele ei: det⁡A=∣16−1−4∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&6\\-1&-4\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣16−1−4∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&6\\-1&-4\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula pentru determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b. Pentru A\displaystyle A obținem 1⋅(−4)−(−1)⋅6\displaystyle 1\cdot(-4)-(-1)\cdot 6.
    det⁡A=1⋅(−4)−(−1)⋅6\displaystyle \det A=1\cdot(-4)-(-1)\cdot 6
  3. Calculăm produsele: 1⋅(−4)=−4\displaystyle 1\cdot(-4)=-4 și (−1)⋅6=−6\displaystyle (-1)\cdot 6=-6. Scăderea lui −6\displaystyle -6 devine adunare cu 6\displaystyle 6, deci det⁡A=−4−(−6)=−4+6\displaystyle \det A=-4-(-6)=-4+6.
    det⁡A=−4+6\displaystyle \det A=-4+6
  4. Efectuăm adunarea: −4+6=2\displaystyle -4+6=2, deci det⁡A=2\displaystyle \det A=2, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=−4+6=2\displaystyle \det A=-4+6=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(16−1−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-1&-4\end{pmatrix}, B=(1224)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Arătați că B⋅A+B=O2\displaystyle B\cdot A+B=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, cu B\displaystyle B pe primul loc: fiecare element se obține înmulțind o linie din B\displaystyle B cu o coloană din A\displaystyle A.
    B⋅A=(1224)⋅(16−1−4)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&6\\-1&-4\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele de pe prima linie: 1⋅1+2⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot(-1)=-1 și 1⋅6+2⋅(−4)=−2\displaystyle 1\cdot 6+2\cdot(-4)=-2.
    (−1−2)\displaystyle \begin{pmatrix}-1&-2\end{pmatrix}
  3. Calculăm elementele de pe a doua linie: 2⋅1+4⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot 1+4\cdot(-1)=-2 și 2⋅6+4⋅(−4)=−4\displaystyle 2\cdot 6+4\cdot(-4)=-4. Rezultă produsul, care este opusul lui B\displaystyle B.
    B⋅A=(−1−2−2−4)=−(1224)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-4\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}
  4. Deoarece B⋅A=−B\displaystyle B\cdot A=-B, adunând B\displaystyle B obținem matricea nulă.
    B⋅A=−B, deci B⋅A+B=−B+B=O2\displaystyle B\cdot A=-B\text{, deci }B\cdot A+B=-B+B=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(16−1−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-1&-4\end{pmatrix}, B=(1224)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care det⁡(B+nA)=det⁡B+ndet⁡A\displaystyle \det(B+nA)=\det B+n\det A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea B+nA\displaystyle B+nA: înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu n\displaystyle n și adunăm element cu element la B\displaystyle B.
    B+nA=(1+n2+6n2−n4−4n)\displaystyle B+nA=\begin{pmatrix}1+n&2+6n\\2-n&4-4n\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui B+nA\displaystyle B+nA ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Avem (1+n)(4−4n)=4−4n2\displaystyle (1+n)(4-4n)=4-4n^2 și (2+6n)(2−n)=4+10n−6n2\displaystyle (2+6n)(2-n)=4+10n-6n^2. Dezvoltăm produsele și reducem termenii asemenea.
    det⁡(B+nA)=(4−4n2)−(4+10n−6n2)=2n2−10n\displaystyle \det(B+nA)=(4-4n^2)-(4+10n-6n^2)=2n^2-10n
  3. Calculăm determinanții lui A\displaystyle A și B\displaystyle B, care apar în membrul drept al egalității: det⁡A=1⋅(−4)−6⋅(−1)=2\displaystyle \det A=1\cdot(-4)-6\cdot(-1)=2 și det⁡B=1⋅4−2⋅2=0\displaystyle \det B=1\cdot 4-2\cdot 2=0.
    det⁡A=2\displaystyle \det A=2,det⁡B=0 ⇒ det⁡B+ndet⁡A=2n\displaystyle \quad \det B=0\ \Rightarrow\ \det B+n\det A=2n
  4. Egalăm cele două expresii: det⁡(B+nA)=det⁡B+ndet⁡A\displaystyle \det(B+nA)=\det B+n\det A devine 2n2−10n=2n\displaystyle 2n^2-10n=2n. Mutăm totul în membrul stâng.
    2n2−12n=0\displaystyle 2n^2-12n=0
  5. Dăm factor comun 2n\displaystyle 2n și obținem 2n(n−6)=0\displaystyle 2n(n-6)=0. Anulăm fiecare factor. Ambele soluții sunt numere naturale, deci convin.
    n=0 sau n=6, care convin\displaystyle n=0\text{ sau }n=6\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+2y+1\displaystyle x\circ y=x+2y+1.

Arătați că 1∘(−1)=0\displaystyle 1\circ(-1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=x+2y+1\displaystyle x\circ y=x+2y+1. Pentru 1∘(−1)\displaystyle 1\circ(-1) înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=−1\displaystyle y=-1.
    1∘(−1)=1+2⋅(−1)+1\displaystyle 1\circ(-1)=1+2\cdot(-1)+1
  2. Calculăm produsul: 2⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-1)=-2.
    1+2⋅(−1)+1=1−2+1\displaystyle 1+2\cdot(-1)+1=1-2+1
  3. Efectuăm operațiile: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, apoi −1+1=0\displaystyle -1+1=0. Am obținut egalitatea cerută.
    1∘(−1)=1−2+1=0\displaystyle 1\circ(-1)=1-2+1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+2y+1\displaystyle x\circ y=x+2y+1.

Demonstrați că x∘(−12)=x\displaystyle x\circ\left(-\frac{1}{2}\right)=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=x+2y+1\displaystyle x\circ y=x+2y+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=x+2y+1\displaystyle x\circ y=x+2y+1
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} în definiție, pentru un număr real oarecare x\displaystyle x.
    x∘(−12)=x+2⋅(−12)+1\displaystyle x\circ\left(-\frac{1}{2}\right)=x+2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1
  3. Calculăm produsul: 2⋅(−12)=−1\displaystyle 2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1.
    x+(−1)+1\displaystyle x+(-1)+1
  4. Reducem termenii: −1\displaystyle -1 și +1\displaystyle +1 se anulează, deci rămâne x\displaystyle x. Egalitatea este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x+(−1)+1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x+(-1)+1=x\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+2y+1\displaystyle x\circ y=x+2y+1.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” nu admite element neutru.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem prin reducere la absurd că legea „∘\displaystyle \circ” admite element neutru e∈R\displaystyle e\in\mathbb{R}. Atunci pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x.
    x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Alegem x=0\displaystyle x=0 în definiția elementului neutru și obținem că 0∘e=e∘0=0\displaystyle 0\circ e=e\circ 0=0.
    0∘e=e∘0=0\displaystyle 0\circ e=e\circ 0=0
  3. Scriem 0∘e\displaystyle 0\circ e după definiția legii: 0∘e=0+2e+1=2e+1\displaystyle 0\circ e=0+2e+1=2e+1. Din 0∘e=0\displaystyle 0\circ e=0 rezultă 2e+1=0\displaystyle 2e+1=0, deci e=−12\displaystyle e=-\dfrac{1}{2}.
    0∘e=0⇔2e+1=0⇔e=−12\displaystyle 0\circ e=0\Leftrightarrow 2e+1=0\Leftrightarrow e=-\frac{1}{2}
  4. Scriem e∘0\displaystyle e\circ 0 după definiția legii: e∘0=e+2⋅0+1=e+1\displaystyle e\circ 0=e+2\cdot 0+1=e+1. Din e∘0=0\displaystyle e\circ 0=0 rezultă e+1=0\displaystyle e+1=0, deci e=−1\displaystyle e=-1. Cele două valori obținute pentru e\displaystyle e sunt diferite, −12≠−1\displaystyle -\dfrac{1}{2}\neq -1, deci apare o contradicție. Prin urmare legea „∘\displaystyle \circ” nu admite element neutru.
    e∘0=0⇔e+1=0⇔e=−1, dar e=−12, contradicție\displaystyle e\circ 0=0\Leftrightarrow e+1=0\Leftrightarrow e=-1\text{, dar }e=-\frac{1}{2}\text{, contradicție}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=−2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{-2x}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul x2+1≥1\displaystyle x^{2}+1\geq 1 nu se anulează niciodată. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x2+2\displaystyle u=x^{2}+2 și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1.
    f′(x)=(x2+2)′(x2+1)−(x2+2)(x2+1)′(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{\left(x^2+2\right)'\left(x^2+1\right)-\left(x^2+2\right)\left(x^2+1\right)'}{\left(x^2+1\right)^2}
  2. Calculăm derivatele: (x2+2)′=2x\displaystyle \left(x^{2}+2\right)'=2x și (x2+1)′=2x\displaystyle \left(x^{2}+1\right)'=2x. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=2x(x2+1)−2x(x2+2)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x\left(x^2+1\right)-2x\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}
  3. Dăm factor comun 2x\displaystyle 2x la numărător.
    f′(x)=2x(x2+1−x2−2)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x\left(x^2+1-x^2-2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}
  4. Reducem termenii: x2−x2=0\displaystyle x^{2}-x^{2}=0, iar 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1. Astfel numărătorul devine 2x⋅(−1)=−2x\displaystyle 2x\cdot(-1)=-2x, ceea ce trebuia arătat.
    f′(x)=−2x(x2+1)2, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{-2x}{\left(x^2+1\right)^2}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) este un număr real. Calculăm limita: lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+2x2+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}+2}{x^{2}+1}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+2x2+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}
  2. Limita are forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Dăm factor comun x2\displaystyle x^{2} la numărător și la numitor: x2+2=x2(1+2x2)\displaystyle x^{2}+2=x^{2}\left(1+\dfrac{2}{x^{2}}\right) și x2+1=x2(1+1x2)\displaystyle x^{2}+1=x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right).
    x2(1+2x2)x2(1+1x2)\displaystyle \frac{x^{2}\left(1+\frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}
  3. Simplificăm cu x2\displaystyle x^{2}. Deoarece 2x2→0\displaystyle \dfrac{2}{x^{2}}\to 0 și 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, obținem limita 1+01+0=1\displaystyle \dfrac{1+0}{1+0}=1.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞1+2x21+1x2=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}=1
  4. Limita este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci dreapta y=1\displaystyle y=1 este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}.

Demonstrați că f(x)+ln⁡(x2+1)<52\displaystyle f(x)+\ln\left(x^2+1\right)<\frac{5}{2}, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
Vezi rezolvarea
  1. Definim g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)+ln⁡(x2+1)\displaystyle g(x)=f(x)+\ln\left(x^2+1\right). Trebuie arătat că g(x)<52\displaystyle g(x)<\dfrac{5}{2}. Scriem f(x)=x2+2x2+1=1+1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+2}{x^2+1}=1+\dfrac{1}{x^2+1}, ca să derivăm mai ușor.
    g(x)=1+1x2+1+ln⁡(x2+1)\displaystyle g(x)=1+\frac{1}{x^2+1}+\ln\left(x^2+1\right)
  2. Derivăm termen cu termen: (1x2+1)′=−2x(x2+1)2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)'=\dfrac{-2x}{\left(x^2+1\right)^2} și (ln⁡(x2+1))′=2xx2+1\displaystyle \left(\ln\left(x^2+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^2+1}.
    g′(x)=−2x(x2+1)2+2xx2+1\displaystyle g'(x)=\frac{-2x}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{2x}{x^2+1}
  3. Aducem la același numitor, amplificând a doua fracție cu x2+1\displaystyle x^2+1: g′(x)=−2x+2x(x2+1)(x2+1)2=−2x+2x3+2x(x2+1)2\displaystyle g'(x)=\dfrac{-2x+2x\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{-2x+2x^3+2x}{\left(x^2+1\right)^2}.
    g′(x)=2x3(x2+1)2\displaystyle g'(x)=\frac{2x^3}{\left(x^2+1\right)^2}
  4. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x≥0\displaystyle x\geq 0, deci 2x3≥0\displaystyle 2x^3\geq 0, iar (x2+1)2>0\displaystyle \left(x^2+1\right)^2>0. Rezultă g′(x)≥0\displaystyle g'(x)\geq 0, deci g\displaystyle g este crescătoare pe [0,1]\displaystyle [0,1], de unde g(x)≤g(1)\displaystyle g(x)\leq g(1).
    g′(x)≥0⇒g(x)≤g(1)\displaystyle g'(x)\geq 0\Rightarrow g(x)\leq g(1)
  5. Calculăm g(1)=f(1)+ln⁡2\displaystyle g(1)=f(1)+\ln 2, cu f(1)=1+21+1=32\displaystyle f(1)=\dfrac{1+2}{1+1}=\dfrac{3}{2}.
    g(1)=32+ln⁡2\displaystyle g(1)=\frac{3}{2}+\ln 2
  6. Cum 2<e\displaystyle 2<e, avem ln⁡2<1\displaystyle \ln 2<1, deci g(1)<32+1=52\displaystyle g(1)<\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}. Din g(x)≤g(1)\displaystyle g(x)\leq g(1) rezultă inegalitatea strictă cerută, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
    g(x)≤g(1)=32+ln⁡2<32+1=52, deci f(x)+ln⁡(x2+1)<52\displaystyle g(x)\leq g(1)=\frac{3}{2}+\ln 2<\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\text{, deci }f(x)+\ln\left(x^2+1\right)<\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+1\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+1}.

Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=e2−1\displaystyle \int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=e^2-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=exx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{x+1} în integrală: ∫02(x+1)f(x) dx=∫02(x+1)⋅exx+1 dx\displaystyle \int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=\int_0^2 (x+1)\cdot\dfrac{e^{x}}{x+1}\,dx.
    ∫02(x+1)⋅exx+1 dx\displaystyle \int_0^2 (x+1)\cdot\frac{e^{x}}{x+1}\,dx
  2. Pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2] avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci simplificăm factorul x+1\displaystyle x+1. Rămâne integrala funcției exponențiale: ∫02ex dx\displaystyle \int_0^2 e^{x}\,dx.
    ∫02ex dx\displaystyle \int_0^2 e^{x}\,dx
  3. O primitivă a lui ex\displaystyle e^{x} este ex\displaystyle e^{x}, deci după formula Leibniz-Newton obținem ∫02ex dx=ex∣02\displaystyle \int_0^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_0^2.
    ∫02(x+1)⋅exx+1 dx=∫02ex dx=ex∣02\displaystyle \int_0^2 (x+1)\cdot\frac{e^x}{x+1}\,dx=\int_0^2 e^x\,dx=e^x\Big|_0^2
  4. Calculăm diferența valorilor în capete: e2−e0\displaystyle e^{2}-e^{0}. Cum e0=1\displaystyle e^{0}=1, obținem e2−1\displaystyle e^{2}-1, adică exact ce trebuia arătat.
    e2−e0=e2−1\displaystyle e^2-e^0=e^2-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+1\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+1}.

Arătați că ∫01f′(x)f(x) dx=1−ln⁡2\displaystyle \int_0^1\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=1-\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(x)=exx+1>0\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{x+1}>0 pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), deoarece ex>0\displaystyle e^{x}>0 și x+1>0\displaystyle x+1>0. Deci f(x)\displaystyle f(x) nu se anulează, iar ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    f(x)=exx+1>0\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{x+1}>0
  2. Raportul f′(x)f(x)\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)} este derivata funcției ln⁡f(x)\displaystyle \ln f(x), adică (ln⁡f(x))′=f′(x)f(x)\displaystyle (\ln f(x))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}. Deci o primitivă a integrandului este ln⁡f(x)\displaystyle \ln f(x).
    ∫f′(x)f(x) dx=ln⁡f(x)+C\displaystyle \int\dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln f(x)+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe [0,1]\displaystyle [0,1] și înlocuim f(x)=exx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{x+1}.
    ∫01f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣∣01=ln⁡exx+1∣01\displaystyle \int_0^1\dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|\Big|_0^1=\ln\dfrac{e^{x}}{x+1}\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile în capete: f(1)=e2\displaystyle f(1)=\dfrac{e}{2} și f(0)=e00+1=1\displaystyle f(0)=\dfrac{e^{0}}{0+1}=1.
    ln⁡f(1)−ln⁡f(0)=ln⁡e2−ln⁡1=ln⁡e2\displaystyle \ln f(1)-\ln f(0)=\ln\dfrac{e}{2}-\ln 1=\ln\dfrac{e}{2}
  5. Folosim ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\displaystyle \ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b și ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci ln⁡e2=ln⁡e−ln⁡2=1−ln⁡2\displaystyle \ln\dfrac{e}{2}=\ln e-\ln 2=1-\ln 2.
    ln⁡e2=1−ln⁡2\displaystyle \ln\dfrac{e}{2}=1-\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+1\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+1}.

Arătați că ∫01f(x) dx+∫01exln⁡(x+1) dx=eln⁡2\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx+\int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx=e\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este derivata funcției ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Rescriem f(x)\displaystyle f(x) ca produs dintre ex\displaystyle e^x și această derivată.
    f(x)=ex(ln⁡(x+1))′\displaystyle f(x)=e^x\left(\ln(x+1)\right)'
  2. Înlocuim această scriere în prima integrală și scriem suma din enunț.
    ∫01exx+1 dx+∫01exln⁡(x+1) dx=∫01ex(ln⁡(x+1))′ dx+∫01exln⁡(x+1) dx\displaystyle \int_0^1\frac{e^x}{x+1}\,dx+\int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx=\int_0^1 e^x\left(\ln(x+1)\right)'\,dx+\int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx
  3. Aplicăm integrarea prin părți pe prima integrală, cu u=ex\displaystyle u=e^x și v=ln⁡(x+1)\displaystyle v=\ln(x+1), adică ∫01u v′ dx=u v∣01−∫01u′ v dx\displaystyle \int_0^1 u\,v'\,dx=u\,v\Big|_0^1-\int_0^1 u'\,v\,dx, unde u′=ex\displaystyle u'=e^x.
    ∫01ex(ln⁡(x+1))′ dx=exln⁡(x+1)∣01−∫01exln⁡(x+1) dx\displaystyle \int_0^1 e^x\left(\ln(x+1)\right)'\,dx=e^x\ln(x+1)\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx
  4. Înlocuim în suma inițială. Integrala ∫01exln⁡(x+1) dx\displaystyle \int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx apare o dată cu minus și o dată cu plus, deci se reduc.
    exln⁡(x+1)∣01−∫01exln⁡(x+1) dx+∫01exln⁡(x+1) dx=exln⁡(x+1)∣01\displaystyle e^x\ln(x+1)\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx+\int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx=e^x\ln(x+1)\Big|_0^1
  5. Calculăm valoarea între limite: pentru x=1\displaystyle x=1 obținem eln⁡2\displaystyle e\ln 2, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem e0ln⁡1=0\displaystyle e^0\ln 1=0. Diferența este eln⁡2\displaystyle e\ln 2, ceea ce trebuia arătat.
    exln⁡(x+1)∣01−∫01exln⁡(x+1) dx+∫01exln⁡(x+1) dx=eln⁡2−0=eln⁡2\displaystyle e^x\ln(x+1)\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx+\int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx=e\ln 2-0=e\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.