Bac matematică M3 tehnologic 2017, sesiunea specială varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2+13):76=2\displaystyle \left(2+\frac{1}{3}\right):\frac{7}{6}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem numărul 2\displaystyle 2 la numitorul 3\displaystyle 3 ca să putem aduna cu o treime: 2=63\displaystyle 2=\dfrac{6}{3}.
    2=63\displaystyle 2=\frac{6}{3}
  2. Calculăm suma din paranteză: 2+13=63+13=73\displaystyle 2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}.
    2+13=73\displaystyle 2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}
  3. Înlocuim paranteza cu 73\displaystyle \dfrac{7}{3}. Împărțirea la o fracție se transformă în înmulțire cu inversul ei, adică 67\displaystyle \dfrac{6}{7}: 73:76=73⋅67\displaystyle \dfrac{7}{3}:\dfrac{7}{6}=\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{6}{7}.
    73:76=73⋅67\displaystyle \frac{7}{3}:\frac{7}{6}=\frac{7}{3}\cdot\frac{6}{7}
  4. Simplificăm 7\displaystyle 7 cu 7\displaystyle 7 și 6\displaystyle 6 cu 3\displaystyle 3: 73⋅67=63=2\displaystyle \dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{6}{3}=2, ceea ce trebuia arătat.
    73⋅67=63=2\displaystyle \frac{7}{3}\cdot\frac{6}{7}=\frac{6}{3}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Arătați că (x1+x2)2−6x1x2=1\displaystyle (x_1+x_2)^2-6x_1x_2=1, unde x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 sunt soluțiile ecuației x2−5x+4=0\displaystyle x^2-5x+4=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−5x+4=0\displaystyle x^2-5x+4=0 are forma ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0 cu a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=4\displaystyle c=4.
    a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle \ b=-5, c=4\displaystyle \ c=4
  2. Din relațiile lui Viète, x1+x2=−ba=−−51\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{1} și x1x2=ca=41\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{1}.
    x1+x2=5\displaystyle x_1+x_2=5, x1x2=4\displaystyle \ x_1x_2=4
  3. Înlocuim în expresie: (x1+x2)2−6x1x2=52−6⋅4\displaystyle (x_1+x_2)^2-6x_1x_2=5^2-6\cdot 4.
    52−6⋅4\displaystyle 5^2-6\cdot 4
  4. Calculăm: 52=25\displaystyle 5^2=25 și 6⋅4=24\displaystyle 6\cdot 4=24, deci 25−24=1\displaystyle 25-24=1. Egalitatea este demonstrată.
    (x1+x2)2−6x1x2=25−24=1\displaystyle (x_1+x_2)^2-6x_1x_2=25-24=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−5=2\displaystyle \sqrt{3x-5}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există dacă 3x−5≥0\displaystyle 3x-5\ge 0, adică x≥53\displaystyle x\ge \dfrac{5}{3}.
    x≥53\displaystyle x\ge \dfrac{5}{3}
  2. Ridicăm ambii membri la pătrat: (3x−5)2=22\displaystyle \left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}=2^{2}, deci 3x−5=4\displaystyle 3x-5=4.
    3x−5=4\displaystyle 3x-5=4
  3. Adunăm 5 în ambii membri: 3x=9\displaystyle 3x=9, apoi împărțim la 3: x=3\displaystyle x=3.
    3x=9⇒x=3\displaystyle 3x=9\Rightarrow x=3
  4. Verificăm: pentru x=3\displaystyle x=3 avem 3⋅3−5=4=2\displaystyle \sqrt{3\cdot 3-5}=\sqrt{4}=2, deci egalitatea este adevărată. De asemenea 3≥53\displaystyle 3\ge \dfrac{5}{3}, deci soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 25%\displaystyle 25\%, prețul unui televizor este 600\displaystyle 600 de lei. Determinați prețul televizorului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul televizorului înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu 25%\displaystyle 25\% înseamnă că se scade din p\displaystyle p valoarea 25%⋅p\displaystyle 25\%\cdot p.
    p−25%⋅p=600\displaystyle p-25\%\cdot p=600
  2. Scriem procentul ca fracție: 25%=25100=14\displaystyle 25\%=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}. Apoi ecuația devine p−p4=600\displaystyle p-\dfrac{p}{4}=600, adică 3p4=600\displaystyle \dfrac{3p}{4}=600.
    3p4=600\displaystyle \dfrac{3p}{4}=600
  3. Înmulțim ambii membri cu 4\displaystyle 4: 3p=2400\displaystyle 3p=2400. Apoi împărțim la 3\displaystyle 3: p=24003=800\displaystyle p=\dfrac{2400}{3}=800. Prețul televizorului înainte de ieftinire a fost de 800 de lei.
    p=800 de lei\displaystyle p=800\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(8,6)\displaystyle M(8,6). Calculați distanța dintre punctele O\displaystyle O și M\displaystyle M.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre punctele A(x1,y1)\displaystyle A(x_1,y_1) și B(x2,y2)\displaystyle B(x_2,y_2): AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(8,6)\displaystyle M(8,6) în formulă și obținem OM=(8−0)2+(6−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(8-0)^2+(6-0)^2}.
    OM=(8−0)2+(6−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(8-0)^2+(6-0)^2}
  3. Calculăm diferențele și pătratele lor: 82=64\displaystyle 8^2=64 și 62=36\displaystyle 6^2=36, deci OM=64+36=100\displaystyle OM=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}.
    OM=64+36=100\displaystyle OM=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}
  4. Deoarece 102=100\displaystyle 10^2=100, avem 100=10\displaystyle \sqrt{100}=10. Distanța dintre O\displaystyle O și M\displaystyle M este 10\displaystyle 10.
    OM=10\displaystyle OM=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡2135∘+sin⁡245∘=1\displaystyle \sin^2 135^\circ+\sin^2 45^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de reducere la primul cadran: sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x. Cum 135∘=180∘−45∘\displaystyle 135^\circ=180^\circ-45^\circ, obținem sin⁡135∘=sin⁡45∘\displaystyle \sin 135^\circ=\sin 45^\circ.
    sin⁡135∘=sin⁡(180∘−45∘)=sin⁡45∘\displaystyle \sin 135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)=\sin 45^\circ
  2. Valoarea cunoscută este sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Deci ambele sinusuri sunt egale cu 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡135∘=22\displaystyle \sin 135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Înlocuim valorile în sumă și ridicăm la pătrat: (22)2=24=12\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Deci fiecare termen este egal cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    (22)2+(22)2=24+24=12+12\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
  4. Adunăm cele două fracții: 12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1, ceea ce trebuia arătat.
    sin⁡2135∘+sin⁡245∘=12+12=1\displaystyle \sin^2 135^\circ+\sin^2 45^\circ=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1202)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix} și B=(−1−220)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&-2\\2&0\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele ei: prima linie 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, a doua linie 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    det⁡A=∣1202∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\0&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=0\displaystyle c=0, d=2\displaystyle d=2.
    det⁡A=1⋅2−0⋅2\displaystyle \det A=1\cdot 2-0\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, iar 0⋅2=0\displaystyle 0\cdot 2=0. Apoi scădem și obținem 2−0=2\displaystyle 2-0=2, deci determinantul este 2\displaystyle 2, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=2−0=2\displaystyle \det A=2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1202)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix} și B=(−1−220)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&-2\\2&0\end{pmatrix}.

Arătați că (A+B)(B−A)=(000−12)\displaystyle (A+B)(B-A)=\begin{pmatrix}0&0\\0&-12\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B adunând elementele de pe aceleași poziții: 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, 2+(−2)=0\displaystyle 2+(-2)=0, 0+2=2\displaystyle 0+2=2, 2+0=2\displaystyle 2+0=2.
    A+B=(0022)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}0&0\\2&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm diferența B−A\displaystyle B-A scăzând elementele matricei A\displaystyle A din cele ale lui B\displaystyle B: −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2, −2−2=−4\displaystyle -2-2=-4, 2−0=2\displaystyle 2-0=2, 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2.
    B−A=(−2−42−2)\displaystyle B-A=\begin{pmatrix}-2&-4\\2&-2\end{pmatrix}
  3. Înmulțim matricele: fiecare element al produsului se obține înmulțind linia din prima matrice cu coloana din a doua. Prima linie a lui A+B\displaystyle A+B este nulă, deci prima linie a produsului este (0, 0)\displaystyle (0,\ 0). Pe linia a doua: 2⋅(−2)+2⋅2=0\displaystyle 2\cdot(-2)+2\cdot 2=0 și 2⋅(−4)+2⋅(−2)=−8−4=−12\displaystyle 2\cdot(-4)+2\cdot(-2)=-8-4=-12.
    (A+B)(B−A)=(002⋅(−2)+2⋅22⋅(−4)+2⋅(−2))=(000−8−4)=(000−12)\displaystyle (A+B)(B-A)=\begin{pmatrix}0&0\\2\cdot(-2)+2\cdot 2&2\cdot(-4)+2\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&-8-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&-12\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1202)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix} și B=(−1−220)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&-2\\2&0\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), știind că A⋅X=B\displaystyle A\cdot X=B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=1⋅2−2⋅0\displaystyle \det A=1\cdot 2-2\cdot 0. Deoarece det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0, matricea A\displaystyle A este inversabilă și putem înmulți ecuația A⋅X=B\displaystyle A\cdot X=B la stânga cu A−1\displaystyle A^{-1}.
    det⁡A=2≠0\displaystyle \det A=2\neq 0
  2. Transpusa lui A\displaystyle A se obține schimbând liniile cu coloanele.
    At=(1022)\displaystyle A^{t}=\begin{pmatrix}1&0\\2&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm adjuncta A∗\displaystyle A^{*}, formată din complemenții algebrici ai elementelor lui At\displaystyle A^{t}:   2, −2, 0, 1\displaystyle \;2,\ -2,\ 0,\ 1.
    A∗=(2−201)\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}2&-2\\0&1\end{pmatrix}
  4. Folosim formula A−1=1det⁡A⋅A∗\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot A^{*} cu det⁡A=2\displaystyle \det A=2 și obținem inversa lui A\displaystyle A.
    A−1=12(2−201)=(1−1012)\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&-2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}
  5. Din A⋅X=B\displaystyle A\cdot X=B, înmulțind la stânga cu A−1\displaystyle A^{-1}, obținem A−1⋅A⋅X=A−1⋅B\displaystyle A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B, adică X=A−1⋅B\displaystyle X=A^{-1}\cdot B.
    X=A−1⋅B=(1−1012)⋅(−1−220)\displaystyle X=A^{-1}\cdot B=\begin{pmatrix}1&-1\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&-2\\2&0\end{pmatrix}
  6. Efectuăm produsul: prima linie dă 1⋅(−1)+(−1)⋅2=−3\displaystyle 1\cdot(-1)+(-1)\cdot 2=-3 și 1⋅(−2)+(−1)⋅0=−2\displaystyle 1\cdot(-2)+(-1)\cdot 0=-2, iar a doua linie dă 0⋅(−1)+12⋅2=1\displaystyle 0\cdot(-1)+\dfrac{1}{2}\cdot 2=1 și 0⋅(−2)+12⋅0=0\displaystyle 0\cdot(-2)+\dfrac{1}{2}\cdot 0=0.
    X=(−3−210)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-3&-2\\1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Arătați că 1∗2=0\displaystyle 1*2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.
    x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în definiția legii.
    1∗2=1+2−3\displaystyle 1*2=1+2-3
  3. Calculăm: 1+2=3\displaystyle 1+2=3, iar 3−3=0\displaystyle 3-3=0. Deci 1∗2=0\displaystyle 1*2=0, ceea ce trebuia arătat.
    1∗2=3−3=0\displaystyle 1*2=3-3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x2)∗x=−1\displaystyle \left(x^2\right)*x=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3 pentru x2\displaystyle x^2 și x\displaystyle x: (x2)∗x=x2+x−3\displaystyle \left(x^2\right)*x=x^2+x-3.
    (x2)∗x=x2+x−3\displaystyle \left(x^{2}\right)*x=x^{2}+x-3
  2. Egalăm cu −1\displaystyle -1: x2+x−3=−1\displaystyle x^2+x-3=-1. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem ecuația de gradul al doilea x2+x−2=0\displaystyle x^2+x-2=0.
    x2+x−3=−1⇔x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-3=-1\Leftrightarrow x^{2}+x-2=0
  3. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−2\displaystyle c=-2 avem Δ=b2−4ac=1+8=9\displaystyle \Delta=b^2-4ac=1+8=9.
    Δ=12−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9
  4. Din formula rădăcinilor, x=−1±32\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 3}{2}, deci x=−2\displaystyle x=-2 sau x=1\displaystyle x=1. Verificare: pentru x=1\displaystyle x=1 avem 1+1−3=−1\displaystyle 1+1-3=-1, iar pentru x=−2\displaystyle x=-2 avem 4−2−3=−1\displaystyle 4-2-3=-1.
    x=−2 sau x=1\displaystyle x=-2\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care n∗n∗n∗n<3\displaystyle n*n*n*n<3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă, deci putem calcula produsul pe rând. Calculăm n∗n=n+n−3\displaystyle n*n=n+n-3.
    n∗n=2n−3\displaystyle n*n=2n-3
  2. Compunem rezultatul cu al treilea n\displaystyle n: (2n−3)∗n=(2n−3)+n−3\displaystyle (2n-3)*n=(2n-3)+n-3.
    n∗n∗n=3n−6\displaystyle n*n*n=3n-6
  3. Compunem cu al patrulea n\displaystyle n: (3n−6)∗n=(3n−6)+n−3\displaystyle (3n-6)*n=(3n-6)+n-3. Obținem expresia din barem.
    n∗n∗n∗n=4n−9\displaystyle n*n*n*n=4n-9
  4. Scriem inegalitatea cerută: 4n−9<3\displaystyle 4n-9<3.
    4n−9<3\displaystyle 4n-9<3
  5. Adunăm 9\displaystyle 9 în ambii membri: 4n<12\displaystyle 4n<12, apoi împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem n<3\displaystyle n<3.
    n<3\displaystyle n<3
  6. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul și n<3\displaystyle n<3, rămân doar valorile 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    n=1 sau n=2\displaystyle n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+2x2+x\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+x.

Arătați că f′(x)=(x+1)(3x+1)\displaystyle f'(x)=(x+1)(3x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x3+2x2+x\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+x este o sumă de trei termeni, deci o derivăm termen cu termen: derivata sumei este suma derivatelor.
    f′(x)=(x3)′+(2x2)′+(x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^3\right)'+\left(2x^2\right)'+(x)'
  2. Calculăm fiecare derivată cu formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle \left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}, iar constanta 2\displaystyle 2 iese în fața derivatei: (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^3\right)'=3x^2, (2x2)′=2⋅2x=4x\displaystyle \left(2x^2\right)'=2\cdot 2x=4x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^3\right)'=3x^2, (2x2)′=4x\displaystyle \ \left(2x^2\right)'=4x, (x)′=1\displaystyle \ (x)'=1
  3. Adunăm cele trei derivate și obținem expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) sub formă de trinom de gradul al doilea.
    f′(x)=3x2+4x+1\displaystyle f'(x)=3x^2+4x+1
  4. Factorizăm trinomul. Căutăm rădăcinile ecuației 3x2+4x+1=0\displaystyle 3x^2+4x+1=0: discriminantul este Δ=16−12=4\displaystyle \Delta=16-12=4, deci rădăcinile sunt x1=−4−26=−1\displaystyle x_1=\dfrac{-4-2}{6}=-1 și x2=−4+26=−13\displaystyle x_2=\dfrac{-4+2}{6}=-\dfrac{1}{3}.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1, x2=−13\displaystyle \ x_2=-\dfrac{1}{3}
  5. Scriem trinomul sub forma a(x−x1)(x−x2)\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2), cu a=3\displaystyle a=3, apoi introducem factorul 3\displaystyle 3 în a doua paranteză: 3(x+1)(x+13)=(x+1)(3x+1)\displaystyle 3(x+1)\left(x+\dfrac{1}{3}\right)=(x+1)(3x+1). Obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3x2+4x+1=(x+1)(3x+1)\displaystyle f'(x)=3x^2+4x+1=(x+1)(3x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+2x2+x\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+x.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)xf′(x)=13\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{xf'(x)}=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției: f′(x)=3x2+4x+1\displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+1.
    f′(x)=3x2+4x+1\displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+1
  2. Descompunem în factori trinomul de la derivată. Rădăcinile lui 3x2+4x+1\displaystyle 3x^{2}+4x+1 sunt −1\displaystyle -1 și −13\displaystyle -\dfrac{1}{3}, deci f′(x)=(x+1)(3x+1)\displaystyle f'(x)=(x+1)(3x+1).
    f′(x)=(x+1)(3x+1)\displaystyle f'(x)=(x+1)(3x+1)
  3. Descompunem și numărătorul: x3+2x2+x=x(x+1)2\displaystyle x^{3}+2x^{2}+x=x(x+1)^{2}. Înlocuim în raport expresiile lui f(x)\displaystyle f(x) și f′(x)\displaystyle f'(x) și scriem limita cerută.
    lim⁡x→+∞f(x)xf′(x)=lim⁡x→+∞x3+2x2+xx(x+1)(3x+1)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{xf'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}+x}{x(x+1)(3x+1)}
  4. Împărțim numărătorul și numitorul la x3\displaystyle x^{3}, cea mai mare putere a lui x\displaystyle x. La numărător obținem 1+2x+1x2\displaystyle 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}. La numitor, x(x+1)(3x+1)\displaystyle x(x+1)(3x+1) împărțit la x3\displaystyle x^{3} este produsul (1+1x)(3+1x)\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(3+\dfrac{1}{x}\right).
    lim⁡x→+∞1+2x+1x2(1+1x)(3+1x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(3+\frac{1}{x}\right)}
  5. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0. Numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, iar numitorul tinde la 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3. Limita este 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    1+0+0(1+0)(3+0)=13\displaystyle \frac{1+0+0}{(1+0)(3+0)}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+2x2+x\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+x. Demonstrați că f(x)≥−427\displaystyle f(x)\ge -\frac{4}{27}, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=x3+2x2+x\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+x și obținem derivata.
    f′(x)=3x2+4x+1\displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+1
  2. Rezolvăm ecuația 3x2+4x+1=0\displaystyle 3x^{2}+4x+1=0. Discriminantul este Δ=16−12=4\displaystyle \Delta=16-12=4, deci x=−4±26\displaystyle x=\dfrac{-4\pm 2}{6}.
    f′(x)=0⇔x=−1 sau x=−13\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=-\frac{1}{3}
  3. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 pentru x∈[−1,−13]\displaystyle x\in\left[-1,-\dfrac{1}{3}\right] și f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 pentru x∈[−13,+∞)\displaystyle x\in\left[-\dfrac{1}{3},+\infty\right).
    f′(x)≤0 pe [−1,−13] și f′(x)≥0 pe [−13,+∞)\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pe }\left[-1,-\tfrac{1}{3}\right]\text{ și }f'(x)\ge 0\text{ pe }\left[-\tfrac{1}{3},+\infty\right)
  4. Din semnul lui f′\displaystyle f' rezultă monotonia funcției f\displaystyle f pe cele două intervale.
    f descresca˘toare pe [−1,−13] și cresca˘toare pe [−13,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }\left[-1,-\frac{1}{3}\right]\text{ și crescătoare pe }\left[-\frac{1}{3},+\infty\right)
  5. Calculăm f(−13)=−127+29−13=−1+6−927\displaystyle f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{27}+\dfrac{2}{9}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{-1+6-9}{27}.
    f(−13)=−427\displaystyle f\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{27}
  6. Deoarece f\displaystyle f descrește până în −13\displaystyle -\dfrac{1}{3} și crește după, minimul pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) este f(−13)\displaystyle f\left(-\dfrac{1}{3}\right). Deci f(x)≥−427\displaystyle f(x)\ge -\dfrac{4}{27} pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
    f(x)≥f(−13)=−427\displaystyle f(x)\ge f\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{27}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=x^2+x+1.

Arătați că ∫01(f(x)−x2−1)dx=12\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x^2-1\right)dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu x2+x+1\displaystyle x^2+x+1 în integrand: ∫01(f(x)−x2−1)dx=∫01(x2+x+1−x2−1)dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x^2-1\right)dx=\int_0^1\left(x^2+x+1-x^2-1\right)dx.
    ∫01(x2+x+1−x2−1)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^2+x+1-x^2-1\right)dx
  2. Reducem termenii asemenea: x2−x2=0\displaystyle x^2-x^2=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Rămâne doar x\displaystyle x, deci integrala devine ∫01x dx\displaystyle \int_0^1 x\,dx.
    ∫01x dx\displaystyle \int_0^1 x\,dx
  3. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01x dx=x22∣01\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^1.
    x22∣01\displaystyle \frac{x^2}{2}\Big|_0^1
  4. Calculăm diferența valorilor primitivei în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0: 122−022=12−0=12\displaystyle \dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    x22∣01=12−0=12\displaystyle \frac{x^2}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=x^2+x+1.

Demonstrați că funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=13x3+12x2+x+2017\displaystyle F(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+2017 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Funcția F\displaystyle F este polinomială, deci derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, așa că rămâne de calculat F′\displaystyle F' și de comparat cu f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R (de verificat)\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{ (de verificat)}
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: (13x3)′=13⋅3x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}x^{3}\right)'=\dfrac{1}{3}\cdot 3x^{2}, (12x2)′=12⋅2x\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}x^{2}\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (2017)′=0\displaystyle (2017)'=0.
    F′(x)=13⋅3x2+12⋅2x+1\displaystyle F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}+\frac{1}{2}\cdot 2x+1
  3. Simplificăm: 13⋅3=1\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 3=1 și 12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2=1. Obținem F′(x)=x2+x+1=f(x)\displaystyle F'(x)=x^{2}+x+1=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci F′=f\displaystyle F'=f pe R\displaystyle \mathbb{R}, adică F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=x2+x+1=f(x)\displaystyle F'(x)=x^{2}+x+1=f(x), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=x^2+x+1.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=2\displaystyle x=2 are aria egală cu n2−73\displaystyle n^2-\frac{7}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=x^2+x+1 este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece discriminantul este Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv. Deci graficul se află deasupra axei Ox\displaystyle Ox, iar modulul din formula ariei poate fi eliminat.
    f(x)>0\displaystyle f(x)>0, ∀x∈R ⇒ ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ |f(x)|=f(x)
  2. Scriem aria ca integrală definită a lui f\displaystyle f pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2].
    A=∫02∣f(x)∣ dx=∫02(x2+x+1)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^2|f(x)|\,dx=\int_0^2\left(x^2+x+1\right)dx
  3. Determinăm o primitivă a lui f\displaystyle f, integrând termen cu termen, și aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 2\displaystyle 2 și în 0\displaystyle 0 și scădem. În 0\displaystyle 0 valoarea este 0\displaystyle 0, iar în 2\displaystyle 2 obținem 83+2+2\displaystyle \dfrac{8}{3}+2+2.
    A=(x33+x22+x)∣02=83+2+2=203\displaystyle \mathcal{A}=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^2=\frac{8}{3}+2+2=\frac{20}{3}
  4. Egalăm aria calculată cu expresia dată în enunț, n2−73\displaystyle n^2-\dfrac{7}{3}.
    n2−73=203\displaystyle n^2-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}
  5. Mutăm 73\displaystyle \dfrac{7}{3} în membrul drept: n2=203+73=273=9\displaystyle n^2=\dfrac{20}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{27}{3}=9. Cum n\displaystyle n este număr natural, alegem soluția pozitivă (n=−3\displaystyle n=-3 nu convine).
    n2=9 ⇒ n=3\displaystyle n^2=9\ \Rightarrow\ n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.