Bac matematică M3 tehnologic 2023, sesiunea specială varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați termenul a3\displaystyle a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=10\displaystyle a_1=10 și a2=20\displaystyle a_2=20.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală a progresiei aritmetice, în care fiecare termen se obține din precedentul prin adăugarea rației r\displaystyle r.
    an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r
  2. Se determină rația progresiei ca diferență între termenul al doilea și primul termen, folosind valorile date a1=10\displaystyle a_{1}=10 și a2=20\displaystyle a_{2}=20.
    r=a2−a1=20−10=10, unde r este rația progresiei \displaystyle r=a_2-a_1=20-10=10\text{, unde }r\text{ este rația progresiei }aritmetice\displaystyle \text{aritmetice}
  3. Se aplică formula progresiei pentru a scrie termenul a3\displaystyle a_{3} în funcție de a2\displaystyle a_{2} și rația r\displaystyle r.
    a3=a2+r\displaystyle a_3=a_2+r
  4. Se înlocuiesc valorile lui a2\displaystyle a_{2} și r\displaystyle r pentru a calcula termenul cerut a3\displaystyle a_{3}.
    a3=a2+r=20+10=30\displaystyle a_3=a_2+r=20+10=30
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+4\displaystyle f(x)=2x+4. Arătați că f(0)+f(1)=10\displaystyle f(0)+f(1)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției și se înlocuiește x=0\displaystyle x=0 pentru a calcula f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=2⋅0+4\displaystyle f(0)=2\cdot 0+4
  2. Se efectuează calculul pentru f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=4\displaystyle f(0)=4
  3. Se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției pentru a calcula f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=2⋅1+4\displaystyle f(1)=2\cdot 1+4
  4. Se efectuează calculul pentru f(1)\displaystyle f(1) și se adună cu f(0)\displaystyle f(0) pentru a obține rezultatul final.
    f(1)=6⇒f(0)+f(1)=4+6=10\displaystyle f(1)=6\Rightarrow f(0)+f(1)=4+6=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x−4)=log⁡24\displaystyle \log_2(x-4)=\log_2 4.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește domeniul de definiție al ecuației, impunând ca argumentul logaritmului să fie strict pozitiv.
    x−4>0⇒x>4\displaystyle x-4>0\Rightarrow x>4
  2. Deoarece cei doi logaritmi au aceeași bază (2\displaystyle 2), egalitatea lor implică egalitatea argumentelor.
    x−4=4\displaystyle x-4=4
  3. Se rezolvă ecuația liniară obținută, izolând necunoscuta x\displaystyle x.
    x=4+4\displaystyle x=4+4
  4. Se verifică soluția obținută în raport cu domeniul de definiție stabilit anterior (x>4\displaystyle x>4).
    x=8, care convine\displaystyle x=8\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un produs costă 80\displaystyle 80 de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu 20%\displaystyle 20\%.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică prețul inițial al produsului și procentul de ieftinire.
    p=80 lei\displaystyle p=80\text{ lei}, r=20%\displaystyle \ r=20\%
  2. Se calculează suma corespunzătoare reducerii de 20%\displaystyle 20\% din prețul inițial.
    20100⋅80=16 lei\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot 80=16\text{ lei}
  3. Se scade suma reducerii din prețul inițial pentru a obține noul preț.
    80−16=64 de lei\displaystyle 80-16=64\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(0,2)\displaystyle M(0,2) și N(3,6)\displaystyle N(3,6). Arătați că distanța dintre punctele M\displaystyle M și N\displaystyle N este egală cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, aplicată pentru punctele M\displaystyle M și N\displaystyle N.
    MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor M(0,2)\displaystyle M(0,2) și N(3,6)\displaystyle N(3,6) în formula distanței.
    MN=(3−0)2+(6−2)2\displaystyle MN=\sqrt{(3-0)^2+(6-2)^2}
  3. Se calculează diferențele coordonatelor și se ridică la pătrat.
    MN=32+42=9+16=\displaystyle MN=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=
  4. Se adună termenii de sub radical și se extrage rădăcina pătrată, obținând rezultatul final.
    =25=5\displaystyle =\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=4\displaystyle AB=4 și măsura unghiului C\displaystyle C egală cu 45∘\displaystyle 45^\circ. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică triunghiul dreptunghic în A\displaystyle A, cu unghiul C=45°\displaystyle C=45°. Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este 180°\displaystyle 180°, unghiul B\displaystyle B se calculează astfel.
    m(B^)=180∘−90∘−45∘=45∘\displaystyle m(\widehat{B})=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ
  2. Cum unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt ambele egale cu 45°\displaystyle 45°, triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel, cu AB=AC\displaystyle AB=AC (laturile opuse unghiurilor egale sunt egale).
    AB=AC (triunghi isoscel)\displaystyle AB=AC\text{ (triunghi isoscel)}
  3. Se folosește faptul că AB=4\displaystyle AB=4, deci se obține valoarea catetei AC\displaystyle AC.
    AC=4\displaystyle AC=4
  4. Se aplică formula ariei unui triunghi dreptunghic, jumătate din produsul catetelor AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC.
    A△ABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}
  5. Se înlocuiesc valorile catetelor AB=4\displaystyle AB=4 și AC=4\displaystyle AC=4 și se calculează aria triunghiului.
    A△ABC=4⋅42=8\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\dfrac{4\cdot 4}{2}=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(aa+3−12)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & a+3\\ -1 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=9\displaystyle \det(A(2))=9.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(22+3−12)=(25−12)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 2+3\\ -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 5\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2) folosind notația specifică matricelor de ordin doi.
    det⁡(A(2))=∣25−12∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}2 & 5\\ -1 & 2\end{vmatrix}
  3. Se aplică formula determinantului pentru o matrice de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2))=2⋅2−5⋅(−1)=\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 2-5\cdot(-1)=
  4. Se efectuează calculele: produsul de pe diagonala principală este 4\displaystyle 4, iar produsul de pe diagonala secundară, luat cu semn schimbat, este +5\displaystyle +5.
    det⁡(A(2))=4+5\displaystyle \det(A(2))=4+5
  5. Se adună cele două valori obținute pentru a determina valoarea finală a determinantului.
    det⁡(A(2))=4+5=9\displaystyle \det(A(2))=4+5=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(aa+3−12)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & a+3\\ -1 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)+A(−a)=2A(0)\displaystyle A(a)+A(-a)=2A(0), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(a)\displaystyle A(a) conform enunțului, înlocuind parametrul cu a\displaystyle a.
    A(a)=(aa+3−12)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & a+3\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  2. Se scrie matricea A(−a)\displaystyle A(-a), înlocuind a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în definiția matricei A\displaystyle A.
    A(−a)=(−a−a+3−12)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}-a & -a+3\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice element cu element: se adună elementele de pe linia 1\displaystyle 1 și cele de pe linia 2\displaystyle 2, coloană cu coloană.
    A(a)+A(−a)=(a+(−a)(a+3)+(−a+3)−1+(−1)2+2)\displaystyle A(a)+A(-a)=\begin{pmatrix}a+(-a) & (a+3)+(-a+3)\\ -1+(-1) & 2+2\end{pmatrix}
  4. Se efectuează calculele pe fiecare poziție: a−a=0\displaystyle a-a=0, (a+3)+(−a+3)=6\displaystyle (a+3)+(-a+3)=6, −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, obținându-se matricea sumă.
    A(a)+A(−a)=(06−24)\displaystyle A(a)+A(-a)=\begin{pmatrix}0 & 6\\ -2 & 4\end{pmatrix}
  5. Se scoate factorul comun 2\displaystyle 2 din matricea obținută, extrăgând 2\displaystyle 2 din fiecare element.
    (06−24)=2(03−12)\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 6\\ -2 & 4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}0 & 3\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  6. Se calculează matricea A(0)\displaystyle A(0), înlocuind a=0\displaystyle a=0 în definiția lui A(a)\displaystyle A(a), și se observă că este exact matricea din paranteză.
    A(0)=(03−12)⇒2(03−12)=2A(0)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0 & 3\\ -1 & 2\end{pmatrix}\Rightarrow 2\begin{pmatrix}0 & 3\\ -1 & 2\end{pmatrix}=2A(0)
  7. Se concluzionează egalitatea cerută, valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    A(a)+A(−a)=2(03−12)=2A(0), pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(a)+A(-a)=2\begin{pmatrix}0 & 3\\ -1 & 2\end{pmatrix}=2A(0)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(aa+3−12)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & a+3\\ -1 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a)⋅A(−1)−aI2)=0\displaystyle \det(A(a)\cdot A(-1)-aI_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu −1\displaystyle -1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(−1)\displaystyle A(-1).
    A(−1)=(−12−12)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(a)⋅A(−1)\displaystyle A(a)\cdot A(-1), element cu element, adică linie înmulțită cu coloană. Pe prima linie: a⋅(−1)+(a+3)⋅(−1)=−2a−3\displaystyle a\cdot(-1)+(a+3)\cdot(-1)=-2a-3 și a⋅2+(a+3)⋅2=4a+6\displaystyle a\cdot 2+(a+3)\cdot 2=4a+6. Pe a doua linie: (−1)⋅(−1)+2⋅(−1)=−1\displaystyle (-1)\cdot(-1)+2\cdot(-1)=-1 și (−1)⋅2+2⋅2=2\displaystyle (-1)\cdot 2+2\cdot 2=2.
    A(a)⋅A(−1)=(−2a−34a+6−12)\displaystyle A(a)\cdot A(-1)=\begin{pmatrix}-2a-3 & 4a+6\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  3. Scădem matricea aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a & 0\\ 0 & a\end{pmatrix}. Se modifică doar elementele de pe diagonală: −2a−3−a=−3a−3\displaystyle -2a-3-a=-3a-3 și 2−a\displaystyle 2-a.
    A(a)⋅A(−1)−aI2=(−3a−34a+6−12−a)\displaystyle A(a)\cdot A(-1)-aI_2=\begin{pmatrix}-3a-3 & 4a+6\\ -1 & 2-a\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală: (−3a−3)(2−a)−(4a+6)⋅(−1)\displaystyle (-3a-3)(2-a)-(4a+6)\cdot(-1). Desfacem parantezele: −6a+3a2−6+3a+4a+6\displaystyle -6a+3a^{2}-6+3a+4a+6, apoi reducem termenii asemenea.
    det⁡(A(a)⋅A(−1)−aI2)=3a2+a\displaystyle \det(A(a)\cdot A(-1)-aI_2)=3a^{2}+a
  5. Punem condiția ca determinantul să fie zero: 3a2+a=0\displaystyle 3a^{2}+a=0. Dăm factor comun a\displaystyle a: a(3a+1)=0\displaystyle a(3a+1)=0. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci a=0\displaystyle a=0 sau 3a+1=0\displaystyle 3a+1=0, adică a=−13\displaystyle a=-\dfrac{1}{3}.
    a=−13 sau a=0\displaystyle a=-\dfrac{1}{3}\text{ sau }a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+3X2+mX−4\displaystyle f=X^3+3X^2+mX-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(0)=−4\displaystyle f(0)=-4, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la polinomul dat și se identifică faptul că trebuie calculată valoarea polinomului în x=0\displaystyle x=0 (de exemplu pentru a determina restul împărțirii lui f\displaystyle f la X\displaystyle X, sau termenul liber al polinomului).
    f=X3+3X2+mX−4\displaystyle f=X^3+3X^2+mX-4
  2. Se înlocuiește variabila X\displaystyle X cu valoarea 0\displaystyle 0 în expresia polinomului, scriind explicit fiecare termen.
    f(0)=03+3⋅02+m⋅0−4=\displaystyle f(0)=0^3+3\cdot 0^2+m\cdot 0-4=
  3. Se calculează fiecare putere a lui 0\displaystyle 0: 03\displaystyle 0^{3} este 0\displaystyle 0, 02\displaystyle 0^{2} este 0\displaystyle 0, iar produsul dintre m\displaystyle m și 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, indiferent de valoarea reală a lui m\displaystyle m.
    03=0, 3⋅02=0, m⋅0=0\displaystyle 0^3=0\text{, }3\cdot 0^2=0\text{, }m\cdot 0=0
  4. Se adună termenii obținuți și se simplifică expresia, obținând valoarea finală, valabilă pentru orice număr real m\displaystyle m.
    =0+0+0−4=−4, pentru orice numa˘r real m\displaystyle =0+0+0-4=-4\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+3X2+mX−4\displaystyle f=X^3+3X^2+mX-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că −1\displaystyle -1 este rădăcină a polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică cerința: se determină numărul real m\displaystyle m astfel încât x=−1\displaystyle x=-1 să fie rădăcină a polinomului f\displaystyle f, ceea ce revine la a impune condiția f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0.
    f(−1)=0 trebuie determinat\displaystyle f(-1)=0\text{ trebuie determinat}
  2. Se calculează f(−1)\displaystyle f(-1) prin substituirea lui X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia polinomului.
    f(−1)=(−1)3+3⋅(−1)2+m⋅(−1)−4\displaystyle f(-1)=(-1)^3+3\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)-4
  3. Se efectuează calculele: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^{3}=-1, 3⋅(−1)2=3\displaystyle 3\cdot(-1)^{2}=3, iar m⋅(−1)=−m\displaystyle m\cdot(-1)=-m.
    f(−1)=−1+3−m−4\displaystyle f(-1)=-1+3-m-4
  4. Se adună termenii numerici (−1+3−4=−2)\displaystyle (-1+3-4=-2), obținându-se expresia lui f(−1)\displaystyle f(-1) în funcție de m\displaystyle m, valabilă pentru orice număr real m\displaystyle m.
    f(−1)=−m−2, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(-1)=-m-2\text{, pentru orice număr real }m
  5. Se pune condiția ca −1\displaystyle -1 să fie rădăcină a polinomului, adică f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, obținându-se ecuația în m.
    −m−2=0\displaystyle -m-2=0
  6. Se rezolvă ecuația obținută: se izolează m, obținându-se valoarea căutată.
    f(−1)=0, de unde obținem m=−2\displaystyle f(-1)=0\text{, de unde obținem }m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+3X2+mX−4\displaystyle f=X^3+3X^2+mX-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m pentru care x12+x22+x32>5\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2>5, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru un polinom general de gradul al treilea aX3+bX2+cX+d\displaystyle aX^3+bX^2+cX+d, cu rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3.
    x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}, x1x2+x2x3+x3x1=ca\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a}, x1x2x3=−da\displaystyle \ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}
  2. Identificăm coeficienții polinomului dat, a=1, b=3, c=m, d=−4\displaystyle a=1,\ b=3,\ c=m,\ d=-4, și aplicăm relațiile lui Viète pentru f\displaystyle f.
    x1+x2+x3=−3\displaystyle x_1+x_2+x_3=-3, x1x2+x2x3+x3x1=m\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m, x1x2x3=4\displaystyle \ x_1x_2x_3=4
  3. Folosim identitatea algebrică ce leagă suma pătratelor de suma rădăcinilor și de suma produselor lor două câte două.
    (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle \left(x_1+x_2+x_3\right)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)
  4. Înlocuim valorile obținute din relațiile lui Viète pentru a exprima suma pătratelor rădăcinilor în funcție de m\displaystyle m, relație valabilă pentru orice m\displaystyle m real, deci și pentru m\displaystyle m natural.
    x1+x2+x3=−3\displaystyle x_1+x_2+x_3=-3, x1x2+x2x3+x3x1=m\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m, x12+x22+x32=9−2m, pentru orice numa˘r \displaystyle \ x_1^2+x_2^2+x_3^2=9-2m\text{, pentru orice număr }natural m\displaystyle \text{natural }m
  5. Punem condiția din enunț ca suma pătratelor rădăcinilor să fie mai mare decât 5\displaystyle 5, obținând o inecuație în m\displaystyle m.
    9−2m>5\displaystyle 9-2m>5
  6. Rezolvăm inecuația și, ținând cont că m\displaystyle m este număr natural, determinăm valorile posibile ale lui m\displaystyle m.
    9−2m>5 și, cum m este numa˘r natural, \displaystyle 9-2m>5\text{ și, cum }m\text{ este număr natural, }obținem m=0 sau m=1\displaystyle \text{obținem }m=0\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+4+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-3x+4+\ln x.

Arătați că f′(x)=(2x−1)(x−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se derivează fiecare termen al funcției f(x)=x2−3x+4+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4+\ln x, folosind regulile de derivare cunoscute: (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}, derivata constantei este 0\displaystyle 0, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=2x−3+1x=\displaystyle f'(x)=2x-3+\dfrac{1}{x}=
  2. Se aduce expresia obținută la un numitor comun, x\displaystyle x, înmulțind termenii 2x\displaystyle 2x și −3\displaystyle -3 cu xx\displaystyle \dfrac{x}{x} pentru a putea aduna toate fracțiile.
    f′(x)=2x⋅xx−3⋅xx+1x=2x2−3x+1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\cdot x}{x}-\dfrac{3\cdot x}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-3x+1}{x}
  3. Se factorizează numărătorul 2x2−3x+1\displaystyle 2x^{2}-3x+1, calculând rădăcinile ecuației 2x2−3x+1=0\displaystyle 2x^{2}-3x+1=0 (Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, x1,2=3±14\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{3\pm 1}{4}, deci x=1\displaystyle x=1 și x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}), obținându-se forma factorizată a derivatei.
    =2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x, x∈(0,+∞)\displaystyle =\dfrac{2x^2-3x+1}{x}=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+4+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-3x+4+\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f, aplicând regulile de derivare pentru fiecare termen.
    f′(x)=2x−3+1x\displaystyle f'(x)=2x-3+\frac{1}{x}
  2. Se calculează valoarea funcției f în punctul x=1\displaystyle x=1, prin înlocuirea directă în expresia lui f.
    f(1)=12−3⋅1+4+ln⁡1=1−3+4+0=2\displaystyle f(1)=1^2-3\cdot 1+4+\ln 1=1-3+4+0=2
  3. Se calculează valoarea derivatei f' în punctul x=1\displaystyle x=1, prin înlocuirea directă în expresia lui f'.
    f′(1)=2⋅1−3+11=2−3+1=0\displaystyle f'(1)=2\cdot 1-3+\frac{1}{1}=2-3+1=0
  4. Se centralizează rezultatele obținute pentru f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1), necesare scrierii ecuației tangentei.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0
  5. Se scrie ecuația generală a tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, folosind formula y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), și se înlocuiesc valorile calculate.
    y−2=0⋅(x−1)\displaystyle y-2=0\cdot(x-1)
  6. Se simplifică ecuația obținută, ajungând la forma finală a ecuației tangentei.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=2\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+4+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-3x+4+\ln x.

Demonstrați că f(x)≤114−ln⁡2\displaystyle f(x)\leq \dfrac{11}{4}-\ln 2, pentru orice x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1].
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f pe domeniul de definiție (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=2x−3+1x=2x2−3x+1x\displaystyle f'(x)=2x-3+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-3x+1}{x}
  2. Se factorizează numărătorul derivatei pentru a determina rădăcinile ecuației f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0.
    2x2−3x+1=(2x−1)(x−1)⇒f′(x)=(2x−1)(x−1)x\displaystyle 2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x}
  3. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se determină punctele critice.
    f′(x)=0⇔x=12 sau x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\text{ sau }x=1
  4. Se studiază semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) pe intervalele determinate de punctele critice, ținând cont că x>0\displaystyle x>0. Pentru x∈(0,12)\displaystyle x \in (0,\dfrac{1}{2}), avem 2x−1<0\displaystyle 2x-1<0 și x−1<0\displaystyle x-1<0, deci produsul este pozitiv; pentru x∈(12,1)\displaystyle x \in (\dfrac{1}{2},1), avem 2x−1>0\displaystyle 2x-1>0 și x−1<0\displaystyle x-1<0, deci produsul este negativ. Se stabilesc astfel monotonia și punctul de maxim x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    f′(x)≥0, pentru orice x∈(0,12]⇒f este cresca˘toare pe (0,12] și f′(x)≤0, pentru orice x∈[12,1]⇒f este descresca˘toare pe [12,1]\displaystyle f'(x)\geq 0\text{, pentru orice }x\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right]\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }\left(0,\dfrac{1}{2}\right]\text{ și }f'(x)\leq 0\text{, pentru orice }x\in\left[\dfrac{1}{2},1\right]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }\left[\dfrac{1}{2},1\right]
  5. Din monotonia stabilită rezultă că x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} este punct de maxim pentru f pe (0,1]\displaystyle (0,1], deci f(x)≤f(12)\displaystyle f(x) \leq f(\dfrac{1}{2}) pentru orice x din (0,1]\displaystyle (0,1].
    f(x)≤f(12), pentru orice x∈(0,1]\displaystyle f(x)\leq f\left(\dfrac{1}{2}\right)\text{, pentru orice }x\in(0,1]
  6. Se calculează valoarea maximă f(12)\displaystyle f(\dfrac{1}{2}) prin înlocuire directă în expresia funcției.
    f(12)=(12)2−3⋅12+4+ln⁡12=14−32+4−ln⁡2=114−ln⁡2\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-3\cdot\dfrac{1}{2}+4+\ln\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}+4-\ln 2=\dfrac{11}{4}-\ln 2
  7. Se înlocuiește valoarea maximă în inegalitatea de la pasul anterior pentru a obține concluzia finală.
    f(x)≤f(12), pentru orice x∈(0,1] și, cum f(12)=114−ln⁡2, obținem f(x)≤114−ln⁡2, pentru orice x∈(0,1]\displaystyle f(x)\leq f\left(\dfrac{1}{2}\right)\text{, pentru orice }x\in(0,1]\text{ și, cum }f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}-\ln 2\text{, obținem }f(x)\leq \dfrac{11}{4}-\ln 2\text{, pentru orice }x\in(0,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−32,+∞)→R\displaystyle f:\left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+62x+3\displaystyle f(x)=e^x+\dfrac{6}{2x+3}.

Arătați că ∫13(f(x)−62x+3)dx=e(e2−1)\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{3}\left(f(x)-\dfrac{6}{2x+3}\right)dx=e(e^2-1).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date și se observă că termenul 62x+3\displaystyle \dfrac{6}{2x+3} apare atât în f(x)\displaystyle f(x), cât și în integrandul f(x)−62x+3\displaystyle f(x)-\dfrac{6}{2x+3}, astfel încât acesta se reduce.
    f(x)−62x+3=ex+62x+3−62x+3=ex\displaystyle f(x)-\dfrac{6}{2x+3}=e^x+\dfrac{6}{2x+3}-\dfrac{6}{2x+3}=e^x
  2. Se înlocuiește integrandul simplificat în integrala definită și se scrie integrala funcției exponențiale, pentru care se cunoaște o primitivă.
    ∫13(f(x)−62x+3)dx=∫13ex dx=ex∣13=\displaystyle \int_{1}^{3}\left(f(x)-\dfrac{6}{2x+3}\right)dx=\int_{1}^{3}e^x\,dx=e^x\Big|_{1}^{3}=
  3. Se aplică formula Leibniz-Newton, înlocuind limitele de integrare x=3\displaystyle x=3 și x=1\displaystyle x=1 în primitiva ex\displaystyle e^x.
    ex∣13=e3−e1\displaystyle e^x\Big|_{1}^{3}=e^3-e^1
  4. Se dă factor comun e\displaystyle e la numărător, obținând forma finală a rezultatului.
    e3−e=e(e2−1)\displaystyle e^3-e=e(e^2-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−32,+∞)→R\displaystyle f:\left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+62x+3\displaystyle f(x)=e^x+\dfrac{6}{2x+3}.

Arătați că ∫−10(f(x)−ex)dx=3ln⁡3\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{0}(f(x)-e^x)dx=3\ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala cerută, pornind de la funcția dată, și se observă că se cere calculul integralei diferenței f(x)−ex\displaystyle f(x)-e^{x} pe intervalul [−1,0]\displaystyle [-1,0].
    ∫−10(f(x)−ex)dx=∫−10(ex+62x+3−ex)dx\displaystyle \int_{-1}^{0}\left(f(x)-e^{x}\right)dx=\int_{-1}^{0}\left(e^{x}+\dfrac{6}{2x+3}-e^{x}\right)dx
  2. Se simplifică integrandul, eliminând termenul ex\displaystyle e^{x}, rămânând doar funcția rațională.
    ∫−10(f(x)−ex)dx=∫−1062x+3dx\displaystyle \int_{-1}^{0}\left(f(x)-e^{x}\right)dx=\int_{-1}^{0}\dfrac{6}{2x+3}dx
  3. Se scoate factorul constant 3\displaystyle 3 în fața integralei, scriind 6\displaystyle 6 ca 3\displaystyle 3 ori derivata expresiei de la numitor, pentru a recunoaște forma unei derivate logaritmice: (2x+3)′=2\displaystyle (2x+3)'=2.
    3∫−10(2x+3)′2x+3dx\displaystyle 3\int_{-1}^{0}\dfrac{(2x+3)'}{2x+3}dx
  4. Se aplică formula de integrare pentru derivata logaritmică: integrala din u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} dx este ln⁡∣u∣\displaystyle \ln|u|, obținându-se primitiva 3ln⁡(2x+3)\displaystyle 3\ln(2x+3), evaluată pe intervalul [−1,0]\displaystyle [-1,0].
    ∫−10(f(x)−ex)dx=∫−1062x+3dx=3∫−10(2x+3)′2x+3dx=3ln⁡(2x+3)∣−10=\displaystyle \int_{-1}^{0}(f(x)-e^{x})dx=\int_{-1}^{0}\dfrac{6}{2x+3}dx=3\int_{-1}^{0}\dfrac{(2x+3)'}{2x+3}dx=3\ln(2x+3)\Big|_{-1}^{0}=
  5. Se calculează valorile expresiei 2x+3\displaystyle 2x+3 la capetele intervalului: pentru x=0\displaystyle x=0 se obține 3\displaystyle 3, iar pentru x=−1\displaystyle x=-1 se obține 1\displaystyle 1.
    2⋅0+3=3 si 2⋅(−1)+3=1\displaystyle 2\cdot 0+3=3\text{ si }2\cdot(-1)+3=1
  6. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia primitivei și se folosește faptul că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținându-se rezultatul final al integralei.
    =3(ln⁡3−ln⁡1)=3ln⁡3\displaystyle =3(\ln 3-\ln 1)=3\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−32,+∞)→R\displaystyle f:\left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+62x+3\displaystyle f(x)=e^x+\dfrac{6}{2x+3}.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(−32,+∞)→R\displaystyle g:\left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)\to\mathbb{R}, g(x)=(2x2+3x)f(x)\displaystyle g(x)=(2x^2+3x)f(x), axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1 are aria egală cu 2(e+1)\displaystyle 2(e+1).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției g folosind definiția g(x)=x(2x+3)f(x)\displaystyle g(x)=x(2x+3)f(x) și se înlocuiește f(x)=ex+62x+3\displaystyle f(x)=e^x+\dfrac{6}{2x+3}, efectuând simplificarea.
    g(x)=x(2x+3)(ex+62x+3)=x(2x+3)ex+6x=(2x2+3x)ex+6x\displaystyle g(x)=x(2x+3)\left(e^x+\dfrac{6}{2x+3}\right)=x(2x+3)e^x+6x=(2x^2+3x)e^x+6x
  2. Se stabilește semnul lui g(x)\displaystyle g(x) pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1], pentru a putea elimina modulul din integrala ariei.
    pentru x∈[0,1]: 2x2+3x≥0\displaystyle \text{pentru }x\in[0,1]:\ 2x^2+3x\ge0, ex>0\displaystyle \ e^x>0, 6x≥0⇒g(x)≥0⇒∣g(x)∣=g(x)\displaystyle \ 6x\ge0\Rightarrow g(x)\ge0\Rightarrow |g(x)|=g(x)
  3. Se calculează primitiva funcției (2x2+3x)ex\displaystyle (2x^2+3x)e^x prin integrare prin părți repetată, folosind P(x)=2x2+3x\displaystyle P(x)=2x^2+3x, P′(x)=4x+3\displaystyle P'(x)=4x+3, P′′(x)=4\displaystyle P''(x)=4.
    ∫(2x2+3x)ex dx=(2x2+3x)ex−(4x+3)ex+4ex+C\displaystyle \int (2x^2+3x)e^x\,dx=(2x^2+3x)e^x-(4x+3)e^x+4e^x+C
  4. Se calculează integrala termenului liniar 6x\displaystyle 6x pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫016x dx=3x2∣01\displaystyle \int_{0}^{1}6x\,dx=3x^2\Big|_{0}^{1}
  5. Se scrie aria ca integrală a modulului lui g\displaystyle g pe [0,1]\displaystyle [0,1], se folosește faptul că ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x) pe acest interval și se înlocuiesc rezultatele integrărilor anterioare, obținând forma cerută de barem.
    g(x)=(2x2+3x)ex+6x, x∈(−32,+∞), deci A=∫01∣g(x)∣dx=∫01((2x2+3x)ex+6x)dx=(2x2+3x)ex∣01−(4x+3)ex∣01+4ex∣01+3x2∣01=\displaystyle g(x)=(2x^2+3x)e^x+6x\text{, }x\in\left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)\text{, deci }\mathcal{A}=\int_{0}^{1}|g(x)|dx=\int_{0}^{1}\left((2x^2+3x)e^x+6x\right)dx=\left(2x^2+3x\right)e^x\Big|_{0}^{1}-(4x+3)e^x\Big|_{0}^{1}+4e^x\Big|_{0}^{1}+3x^2\Big|_{0}^{1}=
  6. Se calculează fiecare termen la limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, se înlocuiesc valorile e0=1\displaystyle e^{0}=1 și se însumează, obținând valoarea finală a ariei.
    =5e−7e+3+4e−4+3=2e+2=2(e+1)\displaystyle =5e-7e+3+4e-4+3=2e+2=2(e+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.