Bac matematică M3 tehnologic 2024, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2⋅(3+22)−32+3=7\displaystyle \sqrt{2}\cdot\left(3+2\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}+3=7.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la expresia din enunț și se desface paranteza folosind proprietatea de distributivitate, iar produsul 2⋅22\displaystyle \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2} se scrie ca 22⋅2\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}.
    2⋅(3+22)−32+3=32+22⋅2−32+3\displaystyle \sqrt{2}\cdot\left(3+2\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}+3=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}+3
  2. Se calculează produsul 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, deci 22⋅2=2⋅2=4\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot 2=4, iar termenii 32\displaystyle 3\sqrt{2} și −32\displaystyle -3\sqrt{2} se reduc.
    32+2⋅2−32+3=4+3\displaystyle 3\sqrt{2}+2\cdot 2-3\sqrt{2}+3=4+3
  3. Se adună termenii rămași pentru a obține rezultatul final.
    =4+3=7\displaystyle =4+3=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−6\displaystyle f(x)=3x-6. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(m)=3\displaystyle f(m)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la formula funcției și se înlocuiește x\displaystyle x cu m\displaystyle m, deoarece dorim să calculăm f(m)\displaystyle f(m).
    f(x)=3x−6⇒f(m)=3m−6\displaystyle f(x)=3x-6\Rightarrow f(m)=3m-6
  2. Se obține expresia lui f(m)\displaystyle f(m) în funcție de m\displaystyle m, valabilă pentru orice număr real m\displaystyle m.
    f(m)=3m−6, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(m)=3m-6\text{, pentru orice număr real }m
  3. Se pune condiția din enunț, f(m)=3\displaystyle f(m)=3, și se scrie ecuația corespunzătoare.
    3m−6=3\displaystyle 3m-6=3
  4. Se rezolvă ecuația de gradul întâi: se adună 6\displaystyle 6 în ambii membri.
    3m=9\displaystyle 3m=9
  5. Se împarte ecuația prin 3\displaystyle 3 pentru a afla valoarea lui m\displaystyle m, obținând soluția finală.
    3m=9⇒m=3\displaystyle 3m=9\Rightarrow m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 54x−2=52\displaystyle 5^{4x-2}=5^{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că ambele puteri au aceeași bază, 5\displaystyle 5, deci ecuația 54x−2=52\displaystyle 5^{4x-2}=5^{2} este de forma 5a=5b\displaystyle 5^{a}=5^{b}.
    54x−2=52\displaystyle 5^{4x-2}=5^{2}
  2. Deoarece bazele sunt egale (și pozitive, diferite de 1\displaystyle 1), funcția exponențială este injectivă, deci exponenții trebuie să fie egali.
    4x−2=2\displaystyle 4x-2=2
  3. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se trece −2\displaystyle -2 în membrul drept, schimbând semnul.
    4x−2=2, de unde obținem 4x=4\displaystyle 4x-2=2\text{, de unde obținem }4x=4
  4. Se împarte ecuația 4x=4\displaystyle 4x=4 prin 4\displaystyle 4 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=44\displaystyle x=\dfrac{4}{4}
  5. Se simplifică fracția și se obține soluția finală a ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 300\displaystyle 300 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 30%\displaystyle 30\%.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică prețul inițial al obiectului și procentul de reducere aplicat.
    P=300 de lei\displaystyle P=300\text{ de lei}, r=30%\displaystyle \ r=30\%
  2. Se calculează valoarea reducerii, adică 30%\displaystyle 30\% din prețul inițial de 300\displaystyle 300 de lei.
    30100⋅300=90 de lei\displaystyle \frac{30}{100}\cdot300=90\text{ de lei}
  3. Se scade valoarea reducerii din prețul inițial pentru a obține prețul final după ieftinire.
    300−90=210 de lei\displaystyle 300-90=210\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(5,m)\displaystyle B(5,m) și M(3,4)\displaystyle M(3,4). Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu formulele generale pentru coordonatele mijlocului unui segment AB\displaystyle AB, cu A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B)
    M(xA+xB2,yA+yB2)\displaystyle M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(5,m)\displaystyle B(5,m) și M(3,4)\displaystyle M(3,4) în formulele mijlocului
    3=1+52 și 4=m+12\displaystyle 3=\frac{1+5}{2}\text{ și }4=\frac{m+1}{2}
  3. Se verifică prima ecuație, care este identic adevărată
    3=62=3, adeva˘rat\displaystyle 3=\frac{6}{2}=3\text{, adevărat}
  4. Se rezolvă a doua ecuație pentru a afla valoarea lui m\displaystyle m: se înmulțește ambele părți cu 2\displaystyle 2
    8=m+1\displaystyle 8=m+1
  5. Se izolează m\displaystyle m, scăzând 1\displaystyle 1 din ambele părți ale ecuației
    m=8−1\displaystyle m=8-1
  6. Se obține valoarea finală a lui m\displaystyle m
    m=7\displaystyle m=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2(sin⁡45∘+sin⁡30∘)(sin⁡45∘−sin⁡30∘)=cos⁡60∘\displaystyle 2\left(\sin45^{\circ}+\sin30^{\circ}\right)\left(\sin45^{\circ}-\sin30^{\circ}\right)=\cos60^{\circ}.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintesc valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile 30°\displaystyle 30°, 45°\displaystyle 45° și 60°\displaystyle 60°.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin30^{\circ}=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
  2. Se înlocuiesc aceste valori în expresia din membrul stâng al egalității.
    2(sin⁡45∘+sin⁡30∘)(sin⁡45∘−sin⁡30∘)=2(22+12)(22−12)\displaystyle 2\left(\sin45^{\circ}+\sin30^{\circ}\right)\left(\sin45^{\circ}-\sin30^{\circ}\right)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)
  3. Se observă că expresia are forma (a+b)(a−b)\displaystyle (a+b)(a-b), unde a=22\displaystyle a=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și b=12\displaystyle b=\dfrac{1}{2}, și se aplică formula diferenței de pătrate.
    (22+12)(22−12)=(22)2−(12)2\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
  4. Se calculează pătratele și se efectuează scăderea, apoi se înmulțește cu 2\displaystyle 2, obținându-se rezultatul final egal cu cos⁡60°\displaystyle \cos 60°.
    2(sin⁡45∘+sin⁡30∘)(sin⁡45∘−sin⁡30∘)=2((22)2−(12)2)=12=cos⁡60∘\displaystyle 2\left(\sin45^{\circ}+\sin30^{\circ}\right)\left(\sin45^{\circ}-\sin30^{\circ}\right)=2\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right)=\frac{1}{2}=\cos60^{\circ}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1xx+10)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\x+1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=0\displaystyle \det\left(A(0)\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie forma generală a matricei A(x)\displaystyle A(x) și se înlocuiește x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în fiecare element al matricei.
    A(x)=(1xx+10)⇒A(0)=(100+10)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\x+1&0\end{pmatrix}\Rightarrow A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0+1&0\end{pmatrix}
  2. Se simplifică elementele matricei obținute, calculând 0+1=1\displaystyle 0+1=1, și se scrie determinantul asociat matricei A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(1010)⇒det⁡(A(0))=∣1010∣=1⋅0−0⋅1\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(0)\right)=\begin{vmatrix}1&0\\1&0\end{vmatrix}=1\cdot0-0\cdot1
  3. Se efectuează înmulțirile din formula determinantului: 1\displaystyle 1 (elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 1\displaystyle 1) înmulțit cu 0\displaystyle 0 (elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 2\displaystyle 2), respectiv 0\displaystyle 0 (elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 2\displaystyle 2) înmulțit cu 1\displaystyle 1 (elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 1\displaystyle 1).
    1⋅0−0⋅1=0−0\displaystyle 1\cdot0-0\cdot1=0-0
  4. Se calculează diferența obținută și se scrie rezultatul final al determinantului.
    =0−0=0\displaystyle =0-0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1xx+10)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\x+1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(3)+A(5)=2A(4)\displaystyle A(3)+A(5)=2A(4).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie forma generală a matricei A(x)\displaystyle A(x) și se înlocuiește x=3\displaystyle x=3 pentru a obține A(3)\displaystyle A(3).
    A(3)=(133+10)=(1340)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}1&3\\3+1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\4&0\end{pmatrix}
  2. Se înlocuiește x=5\displaystyle x=5 în A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține A(5)\displaystyle A(5).
    A(5)=(155+10)=(1560)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}1&5\\5+1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&5\\6&0\end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice A(3)\displaystyle A(3) și A(5)\displaystyle A(5), element cu element, obținând matricea sumă.
    A(3)+A(5)=(1340)+(1560)=(28100)=\displaystyle A(3)+A(5)=\begin{pmatrix}1&3\\4&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&5\\6&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&8\\10&0\end{pmatrix}=
  4. Se calculează separat matricea A(4)\displaystyle A(4), înlocuind x=4\displaystyle x=4 în forma generală a lui A(x)\displaystyle A(x).
    A(4)=(144+10)=(1450)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}1&4\\4+1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\5&0\end{pmatrix}
  5. Se scoate factor comun 2\displaystyle 2 din matricea obținută la suma A(3)+A(5)\displaystyle A(3)+A(5) și se compară cu 2A(4)\displaystyle 2A(4), confirmând egalitatea cerută.
    (28100)=2(1450)=2A(4)\displaystyle \begin{pmatrix}2&8\\10&0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&4\\5&0\end{pmatrix}=2A(4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1xx+10)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\x+1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care det⁡(A(n)+I2)≥0\displaystyle \det\left(A(n)+I_{2}\right)\geq0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(n)\displaystyle A(n) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu n\displaystyle n în A(x)\displaystyle A(x)
    A(n)=(1nn+10)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&n\\n+1&0\end{pmatrix}
  2. Se adună matricele A(n)\displaystyle A(n) și I2\displaystyle I_2, element cu element
    A(n)+I2=(1+1n+0n+1+00+1)=(2nn+11)\displaystyle A(n)+I_{2}=\begin{pmatrix}1+1&n+0\\n+1+0&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&n\\n+1&1\end{pmatrix}
  3. Se calculează determinantul matricei obținute, folosind formula ad−bc\displaystyle ad-bc pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2
    det⁡(A(n)+I2)=2⋅1−n⋅(n+1)=2−n(n+1)\displaystyle \det\left(A(n)+I_{2}\right)=2\cdot1-n\cdot(n+1)=2-n(n+1)
  4. Se pune condiția ca determinantul să fie mai mare sau egal cu zero, conform cerinței problemei
    2−n(n+1)≥0\displaystyle 2-n(n+1)\geq0
  5. Se rearanjează inegalitatea, trecând termenul n(n+1)\displaystyle n(n+1) în membrul drept
    n(n+1)≤2 și, cum n este numa˘r natural, \displaystyle n(n+1)\leq2\text{ și, cum }n\text{ este număr natural, }obținem n=0 și n=1\displaystyle \text{obținem }n=0\text{ și }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+mX−1\displaystyle f=X^{3}-3X^{2}+mX-1, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia polinomului f\displaystyle f pentru a putea calcula valoarea sa în X=0\displaystyle X=0.
    f(X)=X3−3X2+mX−1\displaystyle f(X)=X^{3}-3X^{2}+mX-1
  2. Se înlocuiește X\displaystyle X cu 0\displaystyle 0 în expresia polinomului.
    f(0)=03−3⋅02+m⋅0−1=\displaystyle f(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}+m\cdot0-1=
  3. Se calculează fiecare termen obținut după înlocuire: puterile lui 0\displaystyle 0 și produsul cu m\displaystyle m.
    03=0\displaystyle 0^{3}=0, 3⋅02=0\displaystyle \ 3\cdot0^{2}=0, m⋅0=0\displaystyle \ m\cdot0=0
  4. Se adună termenii obținuți, observând că toți termenii care conțin factorul 0\displaystyle 0 se anulează, indiferent de valoarea reală a lui m\displaystyle m.
    =0−0+0−1=−1, pentru orice numa˘r real m\displaystyle =0-0+0-1=-1\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+mX−1\displaystyle f=X^{3}-3X^{2}+mX-1, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că x1+x2+x3=3x1x2x3\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=3x_{1}x_{2}x_{3}, pentru orice număr real m\displaystyle m, unde x1\displaystyle x_{1}, x2\displaystyle x_{2} și x3\displaystyle x_{3} sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică coeficienții polinomului f=X3−3X2+mX−1\displaystyle f = X^3 - 3X^2 + mX - 1, comparând cu forma generală aX3+bX2+cX+d\displaystyle aX^3+bX^2+cX+d.
    a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle \ b=-3, c=m\displaystyle \ c=m, d=−1\displaystyle \ d=-1
  2. Se scrie relația lui Viète pentru suma rădăcinilor: x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}.
    x1+x2+x3=−ba=−−31\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}
  3. Se calculează suma rădăcinilor folosind valorile coeficienților identificați.
    x1+x2+x3=3\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=3
  4. Se scrie relația lui Viète pentru produsul rădăcinilor: x1x2x3=−da\displaystyle x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}.
    x1x2x3=−da=−−11\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-1}{1}
  5. Se calculează produsul rădăcinilor folosind valorile coeficienților identificați, obținând rezultatul care nu depinde de m\displaystyle m.
    x1x2x3=1\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=1
  6. Se compară cele două rezultate obținute: suma rădăcinilor și de trei ori produsul rădăcinilor, observând că egalitatea are loc pentru orice valoare reală a lui m\displaystyle m, deoarece m\displaystyle m nu apare în expresiile sumei și produsului rădăcinilor (coeficientul m\displaystyle m intervine doar în suma produselor două câte două, care nu este folosită aici).
    x1x2x3=1, de unde obținem x1+x2+x3=3x1x2x3, pentru orice numa˘r real m\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=1\text{, de unde obținem }x_{1}+x_{2}+x_{3}=3x_{1}x_{2}x_{3}\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+mX−1\displaystyle f=X^{3}-3X^{2}+mX-1, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul X−1\displaystyle X-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția de divizibilitate: polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X−1\displaystyle X-1 dacă și numai dacă valoarea lui f\displaystyle f în x=1\displaystyle x=1 este egală cu zero, adică f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f divizibil cu X−1  ⟺  f(1)=0\displaystyle f\text{ divizibil cu }X-1\iff f(1)=0
  2. Se calculează valoarea polinomului f\displaystyle f în x=1\displaystyle x=1, înlocuind X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia f=X3−3X2+mX−1\displaystyle f=X^3-3X^2+mX-1 și se reduc termenii asemenea.
    f(1)=13−3⋅12+m⋅1−1=1−3+m−1=m−3, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+m\cdot1-1=1-3+m-1=m-3\text{, pentru orice număr real }m
  3. Se pune condiția ca f(1)\displaystyle f(1) să fie egal cu zero (condiția de divizibilitate cu X−1\displaystyle X-1) și se rezolvă ecuația obținută în raport cu m\displaystyle m.
    f(1)=0  ⟺  m−3=0, de unde obținem m=3\displaystyle f(1)=0\iff m-3=0\text{, de unde obținem }m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.

Arătați că f′(x)=1−x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcția ca fiind un raport de două funcții derivabile: numărătorul u(x)=x\displaystyle u(x)=x și numitorul v(x)=x2+1\displaystyle v(x)=x^2+1, cu v(x)\displaystyle v(x) nenul pentru orice x\displaystyle x real (deci f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}).
    f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, u(x)=x\displaystyle \ u(x)=x, v(x)=x2+1\displaystyle \ v(x)=x^{2}+1, v(x)≠0\displaystyle \ v(x)\neq 0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Se aplică formula de derivare a unui cât de funcții: (u/v)′=u′v−uv′v2\displaystyle (u/v)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}.
    f′(x)=x′⋅(x2+1)−x⋅(x2+1)′(x2+1)2=\displaystyle f'(x)=\frac{x'\cdot\left(x^{2}+1\right)-x\cdot\left(x^{2}+1\right)'}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=
  3. Se calculează derivatele care apar în formulă: derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui x2+1\displaystyle x^2+1 este 2x\displaystyle 2x.
    x′=1\displaystyle x'=1, (x2+1)′=2x\displaystyle \ \left(x^{2}+1\right)'=2x
  4. Se înlocuiesc derivatele calculate în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x), obținându-se forma explicită înainte de simplificare.
    f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot\left(x^{2}+1\right)-x\cdot 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  5. Se efectuează calculele la numărător: se dezvoltă și se reduc termenii asemenea, obținând forma finală simplificată a derivatei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    =x2+1−2x2(x2+1)2=1−x2(x2+1)2\displaystyle =\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.

Arătați că lim⁡x→+∞x f(x)=1\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\,f(x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie produsul cerut, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată în enunț.
    x⋅f(x)=x⋅xx2+1=x2x2+1\displaystyle x\cdot f(x)=x\cdot\dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}
  2. Se scrie limita la +∞\displaystyle +\infty a expresiei obținute și se factorizează x2\displaystyle x^{2} la numitor, pentru a putea simplifica ulterior.
    lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞x2x2+1=lim⁡x→+∞x2x2(1+1x2)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}=
  3. Se simplifică fracția prin x2\displaystyle x^{2} (posibil deoarece x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deci x≠0\displaystyle x\neq 0), obținându-se o formă mai simplă a limitei.
    lim⁡x→+∞x2x2(1+1x2)=lim⁡x→+∞11+1x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}
  4. Se calculează limita: cum 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, numitorul tinde la 1\displaystyle 1, deci întreaga limită este 1\displaystyle 1.
    =lim⁡x→+∞11+1x2=1\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a câtului: (u/v)′=u′v−uv′v2\displaystyle (u/v)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, unde u=x\displaystyle u=x și v=x2+1\displaystyle v=x^2+1.
    f′(x)=(x)′(x2+1)−x(x2+1)′(x2+1)2=(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x)'(x^{2}+1)-x(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{(x^{2}+1)-x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}
  2. Se simplifică expresia obținută pentru derivată.
    f′(x)=x2+1−2x2(x2+1)2=1−x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
  3. Se observă că numitorul (x2+1)2\displaystyle (x^2+1)^2 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul numărătorului 1−x2\displaystyle 1-x^2.
    (x2+1)2>0\displaystyle (x^{2}+1)^{2}>0, pentru orice x∈R⇒sgn(f′(x))=sgn(1−x2)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\Rightarrow\text{sgn}(f'(x))=\text{sgn}(1-x^{2})
  4. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, adică 1−x2=0\displaystyle 1-x^2=0, obținând zerourile derivatei, apoi se studiază semnul derivatei pe intervalele (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1] și [−1,1]\displaystyle [-1,1], stabilind monotonia funcției pe aceste intervale.
    f′(x)=0⇔x=−1 și x=1; f′(x)≤0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ și }x=1;\ f'(x)\leq0, pentru orice x∈(−∞,−1]⇒f este descresca˘toare pe (−∞,−1]; f′(x)≥0\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(-\infty,-1]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,-1];\ f'(x)\geq0, pentru orice x∈[−1,1]⇒f este cresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle \text{ pentru orice }x\in[-1,1]\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[-1,1]
  5. Se studiază semnul derivatei pe ultimul interval, [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), unde 1−x2\displaystyle 1-x^2 devine negativ pentru x>1\displaystyle x>1, stabilind astfel monotonia funcției pe acest interval.
    f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq0, pentru orice x∈[1,+∞)⇒f este descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in[1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+1)ex\displaystyle f(x)=\left(x^{2}+1\right)e^{x}.

Arătați că ∫01f(x)ex dx=43\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{e^{x}}\,dx=\frac{4}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată în enunț.
    ∫01f(x)exdx=∫01(x2+1)exexdx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{e^{x}}dx=\int_{0}^{1}\frac{\left(x^{2}+1\right)e^{x}}{e^{x}}dx
  2. Se simplifică fracția prin ex\displaystyle e^x, obținându-se o funcție polinomială ușor de integrat.
    ∫01(x2+1)exexdx=∫01(x2+1)dx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\left(x^{2}+1\right)e^{x}}{e^{x}}dx=\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)dx
  3. Se determină o primitivă a funcției x2+1\displaystyle x^2+1, folosind formula ∫xndx=xn+1n+1+C\displaystyle \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
    ∫(x2+1)dx=x33+x+C\displaystyle \int\left(x^{2}+1\right)dx=\frac{x^{3}}{3}+x+C
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, scriind primitiva evaluată între limitele de integrare 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01(x2+1)dx=(x33+x)∣01=\displaystyle \int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)dx=\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\Big|_{0}^{1}=
  5. Se calculează valorile primitivei în x=1\displaystyle x=1 și x=0\displaystyle x=0, apoi se face diferența pentru a obține rezultatul final.
    =13+1−0−0=43\displaystyle =\frac{1}{3}+1-0-0=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+1)ex\displaystyle f(x)=\left(x^{2}+1\right)e^{x}.

Demonstrați că funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=(x2−2x+3)ex\displaystyle F(x)=\left(x^{2}-2x+3\right)e^{x} este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci derivăm F\displaystyle F. Funcția F\displaystyle F este produsul dintre polinomul x2−2x+3\displaystyle x^{2}-2x+3 și ex\displaystyle e^{x}, deci este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    F este derivabila˘ pe R\displaystyle F\text{ este derivabilă pe }\mathbb{R}
  2. Aplicăm regula de derivare a produsului, (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', cu u(x)=x2−2x+3\displaystyle u(x)=x^{2}-2x+3 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^{x}. Avem u′(x)=2x−2\displaystyle u'(x)=2x-2 și v′(x)=ex\displaystyle v'(x)=e^{x}.
    F′(x)=(2x−2)ex+(x2−2x+3)ex\displaystyle F'(x)=(2x-2)e^{x}+\left(x^{2}-2x+3\right)e^{x}
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} și reducem termenii asemenea din paranteză: 2x−2+x2−2x+3=x2+1\displaystyle 2x-2+x^{2}-2x+3=x^{2}+1.
    F′(x)=(2x−2+x2−2x+3)ex=(x2+1)ex\displaystyle F'(x)=\left(2x-2+x^{2}-2x+3\right)e^{x}=\left(x^{2}+1\right)e^{x}
  4. Am obținut că derivata lui F\displaystyle F coincide cu f\displaystyle f pentru orice x\displaystyle x real, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x), pentru orice numa˘r real x, deci F este o primitiva˘ a lui f\displaystyle F'(x)=f(x)\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }F\text{ este o primitivă a lui }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+1)ex\displaystyle f(x)=\left(x^{2}+1\right)e^{x}.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=2\displaystyle x=2 are aria egală cu 3(e2−1)\displaystyle 3\left(e^{2}-1\right).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină o primitivă F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f, folosind integrarea prin părți pentru termenul cu x2\displaystyle x^2.
    ∫x2exdx=x2ex−∫2xexdx=x2ex−2xex+2ex=ex(x2−2x+2)\displaystyle \int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-\int 2x e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}=e^{x}\left(x^{2}-2x+2\right)
  2. Se adaugă primitiva termenului constant 1\displaystyle 1, obținându-se primitiva completă F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f.
    F(x)=ex(x2−2x+2)+ex=ex(x2−2x+3)\displaystyle F(x)=e^{x}\left(x^{2}-2x+2\right)+e^{x}=e^{x}\left(x^{2}-2x+3\right)
  3. Se verifică faptul că f(x)=(x2+1)ex\displaystyle f(x)=(x^2+1)e^x este pozitivă pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2], deoarece x2+1>0\displaystyle x^2+1>0 și ex>0\displaystyle e^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, deci ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x) pe acest interval.
    f(x)=(x2+1)ex>0\displaystyle f(x)=\left(x^{2}+1\right)e^{x}>0, ∀x∈[0,2]⇒∣f(x)∣=f(x)\displaystyle \ \forall x\in[0,2]\Rightarrow |f(x)|=f(x)
  4. Se exprimă aria subgraficului ca integrală definită și se aplică formula Leibniz-Newton folosind primitiva F\displaystyle F determinată anterior.
    A=∫02∣f(x)∣dx=∫02(x2+1)exdx=F(x)∣02=F(2)−F(0)=\displaystyle \mathcal{A}=\int_{0}^{2}|f(x)|dx=\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right)e^{x}dx=F(x)\Big|_{0}^{2}=F(2)-F(0)=
  5. Se calculează valorile F(2)\displaystyle F(2) și F(0)\displaystyle F(0) folosind expresia primitivei F(x)=ex(x2−2x+3)\displaystyle F(x)=e^{x}(x^{2}-2x+3).
    F(2)=e2(4−4+3)=3e2\displaystyle F(2)=e^{2}\left(4-4+3\right)=3e^{2},F(0)=e0(0−0+3)=3\displaystyle \quad F(0)=e^{0}\left(0-0+3\right)=3
  6. Se efectuează scăderea și se simplifică rezultatul final pentru aria cerută.
    =3e2−3=3(e2−1)\displaystyle =3e^{2}-3=3\left(e^{2}-1\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.