Bac matematică M3 tehnologic 2016, sesiunea specială varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 1−14:0,25=0\displaystyle 1-\frac{1}{4}:0,25=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ordinea operațiilor: mai întâi se face împărțirea, apoi scăderea. Deci calculăm întâi câtul 14:0,25\displaystyle \dfrac{1}{4}:0,25.
    14:0\displaystyle \dfrac{1}{4}:0,25\displaystyle 25
  2. Transformăm numărul zecimal în fracție ordinară: 0,25=25100=14\displaystyle 0,25=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}.
    0\displaystyle 0,25=14\displaystyle 25=\dfrac{1}{4}
  3. Împărțim o pătrime la o pătrime: 14:14=14⋅4=1\displaystyle \dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\cdot 4=1.
    14:0\displaystyle \dfrac{1}{4}:0,25=1\displaystyle 25=1
  4. Înlocuim câtul în expresie și efectuăm scăderea: 1−14:0,25=1−1=0\displaystyle 1-\dfrac{1}{4}:0,25=1-1=0, deci egalitatea este demonstrată.
    1−14:0\displaystyle 1-\dfrac{1}{4}:0,25=1−1=0\displaystyle 25=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(−1)⋅f(1)\displaystyle f(-1)\cdot f(1), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în formula funcției: f(−1)=−1+1\displaystyle f(-1)=-1+1, deci f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0.
    f(−1)=−1+1=0\displaystyle f(-1)=-1+1=0
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=1+1\displaystyle f(1)=1+1, deci f(1)=2\displaystyle f(1)=2.
    f(1)=1+1=2\displaystyle f(1)=1+1=2
  3. Înmulțim cele două valori: f(−1)⋅f(1)=0⋅2=0\displaystyle f(-1)\cdot f(1)=0\cdot 2=0, deoarece un produs cu un factor egal cu 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0.
    f(−1)⋅f(1)=0⋅2=0\displaystyle f(-1)\cdot f(1)=0\cdot 2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−3=5\displaystyle \sqrt{2x-3}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, adică 2x−3≥0\displaystyle 2x-3\ge 0, deci x≥32\displaystyle x\ge \dfrac{3}{2}.
    x≥32\displaystyle x\ge \dfrac{3}{2}
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației 2x−3=5\displaystyle \sqrt{2x-3}=5. Radicalul din stânga dispare, iar 52=25\displaystyle 5^{2}=25.
    2x−3=25\displaystyle 2x-3=25
  3. Rezolvăm ecuația liniară: adunăm 3 la ambii membri și obținem 2x=28\displaystyle 2x=28, apoi împărțim la 2.
    x=14\displaystyle x=14
  4. Verificăm soluția. Pentru x=14\displaystyle x=14 avem 14≥32\displaystyle 14\ge \dfrac{3}{2}, deci condiția de existență este îndeplinită. Înlocuim în ecuația inițială: 2⋅14−3=25=5\displaystyle \sqrt{2\cdot 14-3}=\sqrt{25}=5, deci egalitatea este adevărată. Soluția convine.
    x=14, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=14\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un obiect costă 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că prețul crește cu 20%\displaystyle 20\% din prețul inițial. Calculăm cât reprezintă 20%\displaystyle 20\% din 100\displaystyle 100 de lei, adică înmulțim fracția 20100\displaystyle \dfrac{20}{100} cu 100\displaystyle 100.
    20100⋅100=20\displaystyle \frac{20}{100}\cdot 100=20
  2. Adăugăm creșterea de 20\displaystyle 20 de lei la prețul inițial de 100\displaystyle 100 de lei și obținem prețul după scumpire.
    100+20=120 de lei\displaystyle 100+20=120\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,4)\displaystyle A(2,4) și B(5,4)\displaystyle B(5,4). Calculați distanța de la punctul A\displaystyle A la punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte din plan: pentru A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B) avem AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(2,4)\displaystyle A(2,4) și B(5,4)\displaystyle B(5,4) în formulă.
    AB=(5−2)2+(4−4)2\displaystyle AB=\sqrt{(5-2)^2+(4-4)^2}
  3. Calculăm diferențele: 5−2=3\displaystyle 5-2=3, iar 4−4=0\displaystyle 4-4=0. Apoi ridicăm la pătrat și adunăm: 32+02=9\displaystyle 3^2+0^2=9, iar 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3. Punctele au aceeași ordonată, deci segmentul este orizontal și lungimea lui este diferența absciselor.
    AB=9+0=9=3\displaystyle AB=\sqrt{9+0}=\sqrt{9}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AC=6\displaystyle AC=6 și B=π4\displaystyle B=\frac{\pi}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci B+C=π2\displaystyle B+C=\dfrac{\pi}{2}. Cum B=π4\displaystyle B=\dfrac{\pi}{4}, rezultă C=π2−π4\displaystyle C=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}, adică C=π4\displaystyle C=\dfrac{\pi}{4}.
    C=π4\displaystyle C=\dfrac{\pi}{4}
  2. Unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt egale, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel, cu laturile opuse acestor unghiuri egale. Latura opusă lui C\displaystyle C este AB\displaystyle AB, iar latura opusă lui B\displaystyle B este AC\displaystyle AC, deci AB=AC\displaystyle AB=AC.
    △ABC este isoscel⇒AB=AC\displaystyle \triangle ABC\text{ este isoscel}\Rightarrow AB=AC
  3. Cum AC=6\displaystyle AC=6, obținem AB=6\displaystyle AB=6.
    AB=6\displaystyle AB=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(121−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&-2\end{pmatrix} și B=(x1y−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&1\\y&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡A=−4\displaystyle \det A=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, care are elementele 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 pe prima linie și 1\displaystyle 1, −2\displaystyle -2 pe a doua linie: det⁡A=∣121−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\1&-2\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣121−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\1&-2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡A=1⋅(−2)−1⋅2\displaystyle \det A=1\cdot(-2)-1\cdot 2.
    det⁡A=1⋅(−2)−1⋅2\displaystyle \det A=1\cdot(-2)-1\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 1⋅(−2)=−2\displaystyle 1\cdot(-2)=-2 și 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2. Atunci det⁡A=−2−2=−4\displaystyle \det A=-2-2=-4, deci det⁡A=−4\displaystyle \det A=-4.
    det⁡A=−2−2=−4\displaystyle \det A=-2-2=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(121−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&-2\end{pmatrix} și B=(x1y−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&1\\y&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A−2B)=0\displaystyle \det(A-2B)=0, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea 2B\displaystyle 2B înmulțind fiecare element al lui B\displaystyle B cu 2\displaystyle 2.
    2B=(2x22y−2)\displaystyle 2B=\begin{pmatrix}2x&2\\2y&-2\end{pmatrix}
  2. Scădem 2B\displaystyle 2B din A\displaystyle A, element cu element. Elementele din a doua coloană devin 2−2=0\displaystyle 2-2=0 și −2−(−2)=0\displaystyle -2-(-2)=0.
    A−2B=(121−2)−(2x22y−2)=(1−2x01−2y0)\displaystyle A-2B=\begin{pmatrix}1&2\\1&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2x&2\\2y&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2x&0\\1-2y&0\end{pmatrix}
  3. Determinantul matricei A−2B\displaystyle A-2B are o coloană formată doar din zerouri, deci este (1−2x)⋅0−0⋅(1−2y)=0\displaystyle (1-2x)\cdot 0-0\cdot(1-2y)=0. Rezultatul nu depinde de x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    det⁡(A−2B)=∣1−2x01−2y0∣=0, pentru orice numere \displaystyle \det(A-2B)=\begin{vmatrix}1-2x&0\\1-2y&0\end{vmatrix}=0\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(121−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&-2\end{pmatrix} și B=(x1y−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&1\\y&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, pentru care A⋅B=B⋅A\displaystyle A\cdot B=B\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B. Pe prima linie: 1⋅x+2⋅y\displaystyle 1\cdot x+2\cdot y și 1⋅1+2⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot(-1). Pe a doua linie: 1⋅x+(−2)⋅y\displaystyle 1\cdot x+(-2)\cdot y și 1⋅1+(−2)⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 1+(-2)\cdot(-1).
    A⋅B=(x+2y−1x−2y3)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}x+2y&-1\\x-2y&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A în același mod. Pe prima linie: x⋅1+1⋅1\displaystyle x\cdot 1+1\cdot 1 și x⋅2+1⋅(−2)\displaystyle x\cdot 2+1\cdot(-2). Pe a doua linie: y⋅1+(−1)⋅1\displaystyle y\cdot 1+(-1)\cdot 1 și y⋅2+(−1)⋅(−2)\displaystyle y\cdot 2+(-1)\cdot(-2). Obținem ambele produse din barem.
    A⋅B=(x+2y−1x−2y3)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}x+2y&-1\\x-2y&3\end{pmatrix}, B⋅A=(x+12x−2y−12y+2)\displaystyle \ B\cdot A=\begin{pmatrix}x+1&2x-2\\y-1&2y+2\end{pmatrix}
  3. Egalăm cele două matrice element cu element. Se obține un sistem de patru ecuații.
    {x+2y=x+1−1=2x−2x−2y=y−13=2y+2\displaystyle \begin{cases}x+2y=x+1\\-1=2x-2\\x-2y=y-1\\3=2y+2\end{cases}
  4. Din prima ecuație, x\displaystyle x se reduce și rămâne 2y=1\displaystyle 2y=1. Din a doua ecuație, 2x=1\displaystyle 2x=1.
    y=12\displaystyle y=\frac{1}{2}, x=12\displaystyle \ x=\frac{1}{2}
  5. Verificăm cu celelalte două ecuații. A treia: x−2y=12−1=−12\displaystyle x-2y=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2} și y−1=−12\displaystyle y-1=-\dfrac{1}{2}, deci este adevărată. A patra: 2y+2=3\displaystyle 2y+2=3, deci este adevărată. Sistemul este compatibil.
    −12=−12\displaystyle -\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}, 3=3\displaystyle \ 3=3
  6. Singura pereche de numere reale pentru care A⋅B=B⋅A\displaystyle A\cdot B=B\cdot A este x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} și y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}.
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}, y=12\displaystyle \ y=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Arătați că 1∘(−2)=−2\displaystyle 1\circ(-2)=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.
    x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 și y\displaystyle y cu −2\displaystyle -2 în definiție, punând −2\displaystyle -2 între paranteze ca să nu greșim semnele.
    1∘(−2)=1⋅(−2)+2⋅1+2⋅(−2)+2\displaystyle 1\circ(-2)=1\cdot(-2)+2\cdot 1+2\cdot(-2)+2
  3. Calculăm fiecare produs: 1⋅(−2)=−2\displaystyle 1\cdot(-2)=-2, 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4.
    1⋅(−2)=−2\displaystyle 1\cdot(-2)=-2,2⋅1=2\displaystyle \quad 2\cdot 1=2,2⋅(−2)=−4\displaystyle \quad 2\cdot(-2)=-4
  4. Adunăm termenii: −2+2−4+2=−2\displaystyle -2+2-4+2=-2, deci 1∘(−2)=−2\displaystyle 1\circ(-2)=-2, ceea ce trebuia arătat.
    −2+2−4+2=−2\displaystyle -2+2-4+2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Demonstrați că x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2
  2. Scriem termenul liber 2\displaystyle 2 ca 4−2\displaystyle 4-2, pentru a putea forma un produs de două paranteze.
    x∘y=xy+2x+2y+4−2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+4-2
  3. Grupăm primii doi termeni și următorii doi termeni: din xy+2x\displaystyle xy+2x dăm factor comun pe x\displaystyle x, iar din 2y+4\displaystyle 2y+4 dăm factor comun pe 2\displaystyle 2. În ambele cazuri rămâne factorul y+2\displaystyle y+2.
    x∘y=x(y+2)+2(y+2)−2\displaystyle x\circ y=x(y+2)+2(y+2)-2
  4. Dăm factor comun pe y+2\displaystyle y+2 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Determinați numerele reale nenule x\displaystyle x, pentru care x∘1x=x\displaystyle x\circ\frac{1}{x}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: x∘y=xy+2x+2y+2=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2=(x+2)(y+2)-2, deoarece (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
  2. Înlocuim y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x} în forma factorizată și punem condiția din enunț, x∘1x=x\displaystyle x\circ\dfrac{1}{x}=x.
    (x+2)(1x+2)−2=x\displaystyle (x+2)\left(\frac{1}{x}+2\right)-2=x
  3. Mutăm termenul −2\displaystyle -2 în membrul drept și obținem (x+2)(1x+2)=x+2\displaystyle (x+2)\left(\dfrac{1}{x}+2\right)=x+2.
    (x+2)(1x+2)=x+2\displaystyle (x+2)\left(\frac{1}{x}+2\right)=x+2
  4. Trecem totul în același membru și dăm factor comun pe x+2\displaystyle x+2: (x+2)(1x+2)−(x+2)=(x+2)(1x+2−1)=(x+2)(1x+1)\displaystyle (x+2)\left(\dfrac{1}{x}+2\right)-(x+2)=(x+2)\left(\dfrac{1}{x}+2-1\right)=(x+2)\left(\dfrac{1}{x}+1\right).
    (x+2)(1x+1)=0\displaystyle (x+2)\left(\frac{1}{x}+1\right)=0
  5. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero. Din x+2=0\displaystyle x+2=0 obținem x=−2\displaystyle x=-2, iar din 1x+1=0\displaystyle \dfrac{1}{x}+1=0 obținem 1x=−1\displaystyle \dfrac{1}{x}=-1, deci x=−1\displaystyle x=-1. Ambele valori sunt nenule, deci convin.
    x=−2 sau x=−1\displaystyle x=-2\text{ sau }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2−x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2-x+1.

Arătați că f′(x)=3x2+2x−1\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x3+x2−x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2-x+1 este o sumă de termeni, deci o derivăm termen cu termen, folosind regula de derivare a unei sume (și a diferenței).
    f′(x)=(x3)′+(x2)′−(x)′+(1)′\displaystyle f'(x)=(x^3)'+(x^2)'-(x)'+(1)'
  2. Folosim formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}. Obținem (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x și (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2,(x2)′=2x\displaystyle \quad (x^2)'=2x,(x)′=1\displaystyle \quad (x)'=1
  3. Derivata unei constante este zero, deci (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    (1)′=0\displaystyle (1)'=0
  4. Înlocuim derivatele găsite în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) și obținem rezultatul cerut, valabil pentru orice număr real x\displaystyle x.
    f′(x)=3x2+2x−1+0=3x2+2x−1\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1+0=3x^2+2x-1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2−x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2-x+1.

Arătați că lim⁡x→+∞xf′(x)f(x)=3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=x3+x2−x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2-x+1.
    f′(x)=3x2+2x−1\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1
  2. Înmulțim derivata cu x\displaystyle x: x⋅f′(x)=x(3x2+2x−1)\displaystyle x\cdot f'(x)=x\left(3x^2+2x-1\right).
    xf′(x)=3x3+2x2−x\displaystyle x f'(x)=3x^3+2x^2-x
  3. Înlocuim în limită expresiile lui xf′(x)\displaystyle x f'(x) și f(x)\displaystyle f(x).
    lim⁡x→+∞xf′(x)f(x)=lim⁡x→+∞3x3+2x2−xx3+x2−x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^3+2x^2-x}{x^3+x^2-x+1}
  4. Cea mai mare putere a lui x\displaystyle x este x3\displaystyle x^3, deci împărțim și numărătorul, și numitorul la x3\displaystyle x^3 (pentru x≠0\displaystyle x\neq 0).
    lim⁡x→+∞3+2x−1x21+1x−1x2+1x3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}
  5. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, termenii 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2}, 1x3\displaystyle \dfrac{1}{x^3} tind la 0\displaystyle 0, deci limita este 31\displaystyle \dfrac{3}{1}.
    3+0−01+0−0+0=3\displaystyle \frac{3+0-0}{1+0-0+0}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2−x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2-x+1.

Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu dreapta y=4x+1\displaystyle y=4x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic într-un punct de abscisă x\displaystyle x are panta f′(x)\displaystyle f'(x). Dreapta y=4x+1\displaystyle y=4x+1 are panta 4\displaystyle 4. Două drepte sunt paralele când au aceeași pantă, deci trebuie ca f′(x)=4\displaystyle f'(x)=4.
    f′(x)=4\displaystyle f'(x)=4
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, (−x)′=−1\displaystyle (-x)'=-1, (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    f′(x)=3x2+2x−1\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1
  3. Înlocuim derivata în condiția f′(x)=4\displaystyle f'(x)=4 și aducem toți termenii în membrul stâng, obținând o ecuație de gradul al doilea.
    3x2+2x−1=4⇔3x2+2x−5=0\displaystyle 3x^2+2x-1=4\Leftrightarrow 3x^2+2x-5=0
  4. Calculăm discriminantul ecuației: Δ=22−4⋅3⋅(−5)=4+60=64\displaystyle \Delta=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=4+60=64, deci Δ=8\displaystyle \sqrt{\Delta}=8.
    Δ=64\displaystyle \Delta=64, Δ=8\displaystyle \ \sqrt{\Delta}=8
  5. Aplicăm formula rădăcinilor: x=−2±86\displaystyle x=\dfrac{-2\pm 8}{6}. Obținem x=66=1\displaystyle x=\dfrac{6}{6}=1 și x=−106=−53\displaystyle x=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac{5}{3}. Acestea sunt abscisele căutate.
    x=−53 sau x=1\displaystyle x=-\frac{5}{3}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x3+2x\displaystyle f(x)=x^5+x^3+2x.

Arătați că ∫−11(f(x)−x3−2x)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^3-2x\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată, f(x)=x5+x3+2x\displaystyle f(x)=x^5+x^3+2x, în integrand.
    ∫−11(x5+x3+2x−x3−2x)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^5+x^3+2x-x^3-2x\right)dx
  2. Reducem termenii asemenea: x3\displaystyle x^3 și 2x\displaystyle 2x se anulează, deci rămâne doar x5\displaystyle x^5.
    ∫−11(f(x)−x3−2x)dx=∫−11x5 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^3-2x\right)dx=\int_{-1}^{1}x^5\,dx
  3. Primitiva lui x5\displaystyle x^5 este x66\displaystyle \dfrac{x^6}{6}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−11x5 dx=x66∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x^5\,dx=\frac{x^6}{6}\Big|_{-1}^{1}
  4. Înlocuim limitele: 16=1\displaystyle 1^6=1 și (−1)6=1\displaystyle (-1)^6=1, deci cele două fracții sunt egale și diferența lor este 0\displaystyle 0.
    16−16=0\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x3+2x\displaystyle f(x)=x^5+x^3+2x.

Arătați că ∫02ex(f(x)−x5−x3+1)dx=3e2+1\displaystyle \int_{0}^{2}e^x\left(f(x)-x^5-x^3+1\right)dx=3e^2+1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu x5+x3+2x\displaystyle x^5+x^3+2x în paranteză: f(x)−x5−x3+1=x5+x3+2x−x5−x3+1\displaystyle f(x)-x^5-x^3+1=x^5+x^3+2x-x^5-x^3+1. Reducem termenii asemenea și obținem 2x+1\displaystyle 2x+1.
    f(x)−x5−x3+1=2x+1\displaystyle f(x)-x^5-x^3+1=2x+1
  2. Integrala devine ∫02ex(2x+1) dx\displaystyle \int_{0}^{2}e^x(2x+1)\,dx. O calculăm prin părți, alegând u=2x+1\displaystyle u=2x+1 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=2 dx\displaystyle du=2\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫02ex(2x+1) dx=∫02(2x+1)(ex)′dx\displaystyle \int_{0}^{2}e^x(2x+1)\,dx=\int_{0}^{2}(2x+1)\left(e^x\right)'dx
  3. Aplicăm formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du și obținem:
    ∫02ex(2x+1) dx=ex(2x+1)∣02−∫022ex dx\displaystyle \int_{0}^{2}e^x(2x+1)\,dx=e^x(2x+1)\Big|_{0}^{2}-\int_{0}^{2}2e^x\,dx
  4. Calculăm primul termen: la x=2\displaystyle x=2 avem e2⋅5\displaystyle e^2\cdot 5, iar la x=0\displaystyle x=0 avem e0⋅1=1\displaystyle e^0\cdot 1=1.
    ex(2x+1)∣02=5e2−1\displaystyle e^x(2x+1)\Big|_{0}^{2}=5e^2-1
  5. Calculăm a doua integrală: o primitivă a lui 2ex\displaystyle 2e^x este 2ex\displaystyle 2e^x, deci ∫022ex dx=2ex∣02\displaystyle \int_{0}^{2}2e^x\,dx=2e^x\Big|_{0}^{2}.
    ∫022ex dx=2(e2−1)\displaystyle \int_{0}^{2}2e^x\,dx=2\left(e^2-1\right)
  6. Scădem cele două rezultate: 5e2−1−2(e2−1)=5e2−1−2e2+2=3e2+1\displaystyle 5e^2-1-2\left(e^2-1\right)=5e^2-1-2e^2+2=3e^2+1. Egalitatea cerută este demonstrată.
    5e2−1−2(e2−1)=3e2+1\displaystyle 5e^2-1-2\left(e^2-1\right)=3e^2+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x3+2x\displaystyle f(x)=x^5+x^3+2x.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Din definiția primitivei, derivata lui F\displaystyle F este f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Deoarece f\displaystyle f este funcție polinomială, ea este derivabilă, deci F\displaystyle F este de două ori derivabilă, iar derivata a doua a lui F\displaystyle F este derivata lui f\displaystyle f.
    F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x)
  3. Calculăm derivata lui f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (x5)′=5x4\displaystyle (x^5)'=5x^4, (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2.
    f′(x)=5x4+3x2+2\displaystyle f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+2
  4. Puterile pare x4\displaystyle x^4 și x2\displaystyle x^2 sunt mereu mai mari sau egale cu 0\displaystyle 0 pentru orice x\displaystyle x real, iar 2>0\displaystyle 2>0, deci suma este mai mare sau egală cu 2\displaystyle 2, în particular pozitivă.
    F′′(x)=5x4+3x2+2≥2>0\displaystyle F''(x)=5x^{4}+3x^{2}+2\geq 2>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  5. Cum F′′(x)≥0\displaystyle F''(x)\geq 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, funcția F\displaystyle F este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Primitiva F\displaystyle F fiind aleasă arbitrar, orice primitivă a lui f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    F′′(x)=f′(x)=5x4+3x2+2≥0, pentru orice numa˘r real x, deci F este convexa˘ pe R\displaystyle F''(x)=f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+2\geq 0\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }F\text{ este convexă pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.