Bac matematică M3 tehnologic 2014, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3⋅(23−13)=1\displaystyle 3\cdot\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Începem cu paranteza. Cele două fracții au același numitor, 3\displaystyle 3, deci scădem numărătorii și păstrăm numitorul: 23−13=2−13\displaystyle \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2-1}{3}.
    23−13=2−13\displaystyle \frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2-1}{3}
  2. Calculăm numărătorul: 2−1=1\displaystyle 2-1=1, deci paranteza este egală cu 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    23−13=13\displaystyle \frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}
  3. Înlocuim paranteza cu 13\displaystyle \dfrac{1}{3} și înmulțim cu 3\displaystyle 3: 3⋅13=33=1\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}=1. Egalitatea este demonstrată.
    3⋅13=33=1\displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m știind că f(m)=1\displaystyle f(m)=1, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−4\displaystyle f(x)=x-4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m în expresia funcției f(x)=x−4\displaystyle f(x)=x-4, deci f(m)=m−4\displaystyle f(m)=m-4.
    f(m)=m−4\displaystyle f(m)=m-4
  2. Din condiția f(m)=1\displaystyle f(m)=1 obținem ecuația de gradul I m−4=1\displaystyle m-4=1.
    m−4=1\displaystyle m-4=1
  3. Adunăm 4\displaystyle 4 la ambii membri ai ecuației: m=1+4\displaystyle m=1+4, deci m=5\displaystyle m=5.
    m=1+4=5\displaystyle m=1+4=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2+1=1\displaystyle \sqrt{2x^2+1}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că expresia 2x2+1\displaystyle 2x^2+1 de sub radical este mereu pozitivă, deci radicalul există pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Ridicăm ecuația la pătrat, ca să scăpăm de radical.
    (2x2+1)2=12\displaystyle \left(\sqrt{2x^2+1}\right)^2=1^2
  2. Prin ridicarea la pătrat se obține ecuația 2x2+1=1\displaystyle 2x^2+1=1.
    2x2+1=1\displaystyle 2x^2+1=1
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem 2x2=0\displaystyle 2x^2=0, apoi împărțim la 2\displaystyle 2: x2=0\displaystyle x^2=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    2x2=0⇒x2=0⇒x=0\displaystyle 2x^2=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0
  4. Verificăm soluția în ecuația inițială: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 2⋅02+1=1=1\displaystyle \sqrt{2\cdot 0^2+1}=\sqrt{1}=1, deci ecuația este verificată. Soluția este x=0\displaystyle x=0.
    x=0, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=0\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
În anul 2013, profitul anual al unei firme a fost de 100000\displaystyle 100000 de lei, ceea ce reprezintă 4%\displaystyle 4\% din valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați valoarea veniturilor anuale ale firmei în anul 2013.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x valoarea veniturilor anuale ale firmei, în lei. Profitul de 100000\displaystyle 100000 de lei reprezintă 4%\displaystyle 4\% din x\displaystyle x.
    x=venitul anual (ıˆn lei)\displaystyle x=\text{venitul anual (în lei)}
  2. Scriem ecuația: 100000=4%⋅x\displaystyle 100000=4\%\cdot x.
    100000=4%⋅x\displaystyle 100000=4\%\cdot x
  3. Transformăm procentul în fracție: 4%=4100\displaystyle 4\%=\dfrac{4}{100}. Ecuația devine 100000=4100⋅x\displaystyle 100000=\dfrac{4}{100}\cdot x.
    100000=4100⋅x\displaystyle 100000=\dfrac{4}{100}\cdot x
  4. Îl scoatem pe x\displaystyle x: înmulțim 100000\displaystyle 100000 cu 100\displaystyle 100 și împărțim la 4\displaystyle 4.
    x=100000⋅1004=100000004\displaystyle x=\dfrac{100000\cdot 100}{4}=\dfrac{10000000}{4}
  5. Efectuăm împărțirea. Veniturile anuale ale firmei în anul 2013 au fost de 2500000\displaystyle 2500000 de lei.
    x=2500000 de lei\displaystyle x=2500000\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(5,6)\displaystyle A(5,6), B(2,6)\displaystyle B(2,6) și C(5,2)\displaystyle C(5,2). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre punctele M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Pentru A(5,6)\displaystyle A(5,6) și B(2,6)\displaystyle B(2,6) avem AB=(2−5)2+(6−6)2=9+0\displaystyle AB=\sqrt{(2-5)^2+(6-6)^2}=\sqrt{9+0}.
    AB=9=3\displaystyle AB=\sqrt{9}=3
  3. Pentru A(5,6)\displaystyle A(5,6) și C(5,2)\displaystyle C(5,2) avem AC=(5−5)2+(2−6)2=0+16\displaystyle AC=\sqrt{(5-5)^2+(2-6)^2}=\sqrt{0+16}.
    AC=16=4\displaystyle AC=\sqrt{16}=4
  4. Pentru B(2,6)\displaystyle B(2,6) și C(5,2)\displaystyle C(5,2) avem BC=(5−2)2+(2−6)2=9+16=25\displaystyle BC=\sqrt{(5-2)^2+(2-6)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}.
    AB=3\displaystyle AB=3, AC=4 și BC=5\displaystyle \ AC=4\text{ și }BC=5
  5. Cea mai lungă latură este BC\displaystyle BC. Avem AB2+AC2=32+42=9+16=25\displaystyle AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25 și BC2=52=25\displaystyle BC^2=5^2=25. Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A.
    AB2+AC2=BC2, deci ΔABC este dreptunghic\displaystyle AB^2+AC^2=BC^2\text{, deci }\Delta ABC\text{ este dreptunghic}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că tg260∘+tg245∘=4\displaystyle \mathrm{tg}^2 60^\circ+\mathrm{tg}^2 45^\circ=4.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim valorile tangentei pentru unghiurile remarcabile: tg 60∘=3\displaystyle \mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt{3} și tg 45∘=1\displaystyle \mathrm{tg}\,45^\circ=1.
    tg 60∘=3 și tg 45∘=1\displaystyle \mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt{3}\text{ și }\mathrm{tg}\,45^\circ=1
  2. Ridicăm la pătrat fiecare valoare: tg260∘=(3)2=3\displaystyle \mathrm{tg}^2 60^\circ=(\sqrt{3})^2=3 și tg245∘=12=1\displaystyle \mathrm{tg}^2 45^\circ=1^2=1.
    tg260∘=3 și tg245∘=1\displaystyle \mathrm{tg}^2 60^\circ=3\text{ și }\mathrm{tg}^2 45^\circ=1
  3. Adunăm cele două valori: tg260∘+tg245∘=3+1=4\displaystyle \mathrm{tg}^2 60^\circ+\mathrm{tg}^2 45^\circ=3+1=4, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    tg260∘+tg245∘=3+1=4\displaystyle \mathrm{tg}^2 60^\circ+\mathrm{tg}^2 45^\circ=3+1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(31−5−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1\\-5&-2\end{pmatrix}, B=(21−5−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1\\-5&-3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele ei: det⁡A=∣31−5−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&1\\-5&-2\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣31−5−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&1\\-5&-2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula diagonalelor: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Pe diagonala principală sunt 3\displaystyle 3 și −2\displaystyle -2, iar pe cea secundară sunt 1\displaystyle 1 și −5\displaystyle -5.
    det⁡A=3⋅(−2)−1⋅(−5)\displaystyle \det A=3\cdot(-2)-1\cdot(-5)
  3. Calculăm produsele: 3⋅(−2)=−6\displaystyle 3\cdot(-2)=-6, iar 1⋅(−5)=−5\displaystyle 1\cdot(-5)=-5. Scăderea lui −5\displaystyle -5 înseamnă adunarea lui 5\displaystyle 5, deci obținem −6+5=−1\displaystyle -6+5=-1. Am arătat că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
    det⁡A=−6+5=−1\displaystyle \det A=-6+5=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(31−5−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1\\-5&-2\end{pmatrix}, B=(21−5−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1\\-5&-3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că 2A⋅B−B⋅A=I2\displaystyle 2A\cdot B-B\cdot A=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B element cu element, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B.
    A⋅B=(3⋅2+1⋅(−5)3⋅1+1⋅(−3)−5⋅2+(−2)⋅(−5)−5⋅1+(−2)⋅(−3))\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}3\cdot 2+1\cdot(-5)&3\cdot 1+1\cdot(-3)\\-5\cdot 2+(-2)\cdot(-5)&-5\cdot 1+(-2)\cdot(-3)\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele: 6−5=1\displaystyle 6-5=1, 3−3=0\displaystyle 3-3=0, −10+10=0\displaystyle -10+10=0, −5+6=1\displaystyle -5+6=1, deci A⋅B\displaystyle A\cdot B este matricea unitate de ordin 2.
    A⋅B=(1001)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A element cu element, înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A\displaystyle A.
    B⋅A=(2⋅3+1⋅(−5)2⋅1+1⋅(−2)−5⋅3+(−3)⋅(−5)−5⋅1+(−3)⋅(−2))\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}2\cdot 3+1\cdot(-5)&2\cdot 1+1\cdot(-2)\\-5\cdot 3+(-3)\cdot(-5)&-5\cdot 1+(-3)\cdot(-2)\end{pmatrix}
  4. Efectuăm calculele: 6−5=1\displaystyle 6-5=1, 2−2=0\displaystyle 2-2=0, −15+15=0\displaystyle -15+15=0, −5+6=1\displaystyle -5+6=1, deci și B⋅A\displaystyle B\cdot A este matricea unitate.
    B⋅A=(1001)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  5. Înlocuim cele două produse în 2A⋅B−B⋅A\displaystyle 2A\cdot B-B\cdot A și scădem matricele element cu element: obținem I2\displaystyle I_2, deci egalitatea este demonstrată.
    2A⋅B−B⋅A=(2002)−(1001)=(1001)=I2\displaystyle 2A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(31−5−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1\\-5&-2\end{pmatrix}, B=(21−5−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1\\-5&-3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x știind că A⋅A−xA=I2\displaystyle A\cdot A-xA=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Primul element: 3⋅3+1⋅(−5)=4\displaystyle 3\cdot 3+1\cdot(-5)=4. Al doilea element de pe prima linie: 3⋅1+1⋅(−2)=1\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot(-2)=1.
    (41) (prima linie a lui A⋅A)\displaystyle \begin{pmatrix}4&1\end{pmatrix}\text{ (prima linie a lui }A\cdot A\text{)}
  2. Calculăm linia a doua a lui A⋅A\displaystyle A\cdot A: (−5)⋅3+(−2)⋅(−5)=−5\displaystyle (-5)\cdot 3+(-2)\cdot(-5)=-5 și (−5)⋅1+(−2)⋅(−2)=−1\displaystyle (-5)\cdot 1+(-2)\cdot(-2)=-1. Obținem matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(41−5−1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}4&1\\-5&-1\end{pmatrix}
  3. Calculăm xA=(3xx−5x−2x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}3x&x\\-5x&-2x\end{pmatrix}, apoi scădem din A⋅A\displaystyle A\cdot A element cu element.
    A⋅A−xA=(4−3x1−x−5+5x−1+2x)\displaystyle A\cdot A-xA=\begin{pmatrix}4-3x&1-x\\-5+5x&-1+2x\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricea obținută cu I2\displaystyle I_2. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale: 4−3x=1\displaystyle 4-3x=1, 1−x=0\displaystyle 1-x=0, −5+5x=0\displaystyle -5+5x=0, −1+2x=1\displaystyle -1+2x=1.
    (4−3x1−x−5+5x−1+2x)=(1001)\displaystyle \begin{pmatrix}4-3x&1-x\\-5+5x&-1+2x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  5. Rezolvăm ecuațiile: din 1−x=0\displaystyle 1-x=0 rezultă x=1\displaystyle x=1. Verificăm: 4−3⋅1=1\displaystyle 4-3\cdot 1=1, −5+5⋅1=0\displaystyle -5+5\cdot 1=0, −1+2⋅1=1\displaystyle -1+2\cdot 1=1, deci toate patru egalitățile sunt adevărate pentru x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y−1)−xy\displaystyle x*y=2(x+y-1)-xy.

Arătați că 1∗2=2\displaystyle 1*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=2(x+y−1)−xy\displaystyle x*y=2(x+y-1)-xy și înlocuim x=1\displaystyle x=1, y=2\displaystyle y=2.
    1∗2=2(1+2−1)−1⋅2\displaystyle 1*2=2(1+2-1)-1\cdot 2
  2. Calculăm paranteza: 1+2−1=2\displaystyle 1+2-1=2, deci 2(1+2−1)=2⋅2=4\displaystyle 2(1+2-1)=2\cdot 2=4.
    2(1+2−1)=4\displaystyle 2(1+2-1)=4
  3. Produsul este 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2. Scădem: 4−2=2\displaystyle 4-2=2, deci 1∗2=2\displaystyle 1*2=2, ceea ce trebuia arătat.
    1∗2=4−2=2\displaystyle 1*2=4-2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y−1)−xy\displaystyle x*y=2(x+y-1)-xy.

Arătați că x∗2=2∗x=2\displaystyle x*2=2*x=2 pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii: x∗y=2(x+y−1)−xy\displaystyle x*y=2(x+y-1)-xy. Pentru x∗2\displaystyle x*2 înlocuim y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2.
    x∗2=2(x+2−1)−x⋅2\displaystyle x*2=2(x+2-1)-x\cdot 2
  2. Reducem termenii din paranteză: x+2−1=x+1\displaystyle x+2-1=x+1. Desfacem parantezele: 2(x+1)=2x+2\displaystyle 2(x+1)=2x+2. Scădem 2x\displaystyle 2x și obținem rezultatul.
    x∗2=2x+2−2x=2\displaystyle x*2=2x+2-2x=2
  3. Pentru 2∗x\displaystyle 2*x înlocuim în definiție x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    2∗x=2(2+x−1)−2x\displaystyle 2*x=2(2+x-1)-2x
  4. Reducem termenii din paranteză: 2+x−1=x+1\displaystyle 2+x-1=x+1. Desfacem parantezele: 2(x+1)=2x+2\displaystyle 2(x+1)=2x+2, apoi scădem 2x\displaystyle 2x și obținem 2\displaystyle 2. Acest rezultat este egal cu x∗2\displaystyle x*2, calculat la pasul anterior, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    2∗x=2x+2−2x=2=x∗2 pentru orice numa˘r real x\displaystyle 2*x=2x+2-2x=2=x*2\text{ pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y−1)−xy\displaystyle x*y=2(x+y-1)-xy.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x=x\displaystyle x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în definiția x∗y=2(x+y−1)−xy\displaystyle x*y=2(x+y-1)-xy și obținem x∗x=2(2x−1)−x2\displaystyle x*x=2(2x-1)-x^{2}.
    x∗x=2(2x−1)−x2\displaystyle x*x=2(2x-1)-x^{2}
  2. Desfacem parantezele: x∗x=4x−2−x2=−x2+4x−2\displaystyle x*x=4x-2-x^{2}=-x^{2}+4x-2.
    x∗x=−x2+4x−2\displaystyle x*x=-x^{2}+4x-2
  3. Ecuația x∗x=x\displaystyle x*x=x devine −x2+4x−2=x\displaystyle -x^{2}+4x-2=x. Trecem toți termenii în stânga: −x2+3x−2=0\displaystyle -x^{2}+3x-2=0. Înmulțim cu −1\displaystyle -1 și obținem x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0.
    −x2+4x−2=x⇔x2−3x+2=0\displaystyle -x^{2}+4x-2=x\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0
  4. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=2\displaystyle c=2 avem Δ=b2−4ac=9−8=1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=9-8=1.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  5. Rădăcinile sunt x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}, adică x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=2\displaystyle x_2=2. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x1=1 și x2=2\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Arătați că lim⁡x→0f(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia funcției: f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^{x}, deci avem de calculat limita lui f(x)\displaystyle f(x) când x\displaystyle x tinde la 0.
    lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0(x−1)ex\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}(x-1)e^{x}
  2. Funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind produsul dintre funcția polinomială x−1\displaystyle x-1 și funcția exponențială ex\displaystyle e^{x}, ambele continue. Deci limita în 0\displaystyle 0 este egală cu f(0)\displaystyle f(0), adică se obține înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0f(x)=f(0)=(0−1)e0\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=(0-1)e^{0}
  3. Calculăm: 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1, iar e0=1\displaystyle e^{0}=1. Rezultă că limita este −1\displaystyle -1.
    −1⋅e0=−1⋅1=−1\displaystyle -1\cdot e^{0}=-1\cdot 1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Arătați că f′(x)=ex+f(x)\displaystyle f'(x)=e^x+f(x) pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este un produs de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}: u(x)=x−1\displaystyle u(x)=x-1 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x. Folosim regula de derivare a produsului: (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(x−1)′⋅ex+(x−1)⋅(ex)′\displaystyle f'(x)=(x-1)'\cdot e^x+(x-1)\cdot (e^x)'
  2. Calculăm derivatele: (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1, iar (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=1⋅ex+(x−1)ex\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x
  3. Primul termen este 1⋅ex=ex\displaystyle 1\cdot e^x=e^x, iar al doilea termen, (x−1)ex\displaystyle (x-1)e^x, este exact f(x)\displaystyle f(x), conform definiției funcției. Deci f′(x)=ex+f(x)\displaystyle f'(x)=e^x+f(x) pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=ex+f(x) pentru orice numa˘r real x\displaystyle f'(x)=e^x+f(x)\text{ pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Arătați că lim⁡x→0f(x)+1x=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)+1}{x}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0): înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x și obținem f(0)=(0−1)e0=−1\displaystyle f(0)=(0-1)e^0=-1.
    f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1
  2. Deoarece f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1, avem f(x)+1=f(x)−f(0)\displaystyle f(x)+1=f(x)-f(0) și x=x−0\displaystyle x=x-0. Limita dată devine limita raportului de variație al lui f\displaystyle f în punctul 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0f(x)+1x=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)+1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
  3. Prin definiția derivatei, limita lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} este f′(0)\displaystyle f'(0). Funcția f\displaystyle f este produs de funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci este derivabilă în 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=f′(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)
  4. Calculăm derivata cu regula produsului: f′(x)=(x−1)′ex+(x−1)(ex)′=ex+(x−1)ex=xex\displaystyle f'(x)=(x-1)'e^x+(x-1)(e^x)'=e^x+(x-1)e^x=xe^x.
    f′(x)=xex\displaystyle f'(x)=xe^x
  5. Înlocuim x=0\displaystyle x=0: f′(0)=0⋅e0=0\displaystyle f'(0)=0\cdot e^0=0. Deci limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0f(x)+1x=f′(0)=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)+1}{x}=f'(0)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+2x\displaystyle f(x)=3x^2+2x.

Arătați că ∫123x2 dx=7\displaystyle \int_1^2 3x^2\,dx=7.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm o primitivă a funcției 3x2\displaystyle 3x^{2}. Știm că derivata lui x3\displaystyle x^{3} este 3x2\displaystyle 3x^{2}, deci F(x)=x3\displaystyle F(x)=x^{3} este o primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^{2}.
    F(x)=x3\displaystyle F(x)=x^{3}
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). Scriem integrala cu primitiva găsită.
    ∫123x2 dx=x3∣12\displaystyle \int_1^2 3x^{2}\,dx=x^{3}\Big|_1^2
  3. Înlocuim limitele: pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 23=8\displaystyle 2^{3}=8, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 13=1\displaystyle 1^{3}=1. Facem diferența: 8−1=7\displaystyle 8-1=7, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    23−13=8−1=7\displaystyle 2^{3}-1^{3}=8-1=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+2x\displaystyle f(x)=3x^2+2x.

Determinați primitiva F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a funcției f\displaystyle f pentru care F(1)=2014\displaystyle F(1)=2014.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele funcției f\displaystyle f se obțin integrând termen cu termen: o primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^{2} este x3\displaystyle x^{3}, iar o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}.
    ∫(3x2+2x) dx=x3+x2+c\displaystyle \int (3x^{2}+2x)\,dx = x^{3}+x^{2}+c
  2. Toate primitivele lui f\displaystyle f diferă printr-o constantă reală c\displaystyle c, deci forma generală a primitivelor este F(x)=x3+x2+c\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}+c.
    F(x)=x3+x2+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  3. Punem condiția F(1)=2014\displaystyle F(1)=2014: înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia lui F\displaystyle F și obținem F(1)=13+12+c=2+c\displaystyle F(1)=1^{3}+1^{2}+c=2+c.
    F(1)=2+c\displaystyle F(1)=2+c
  4. Din 2+c=2014\displaystyle 2+c=2014 rezultă c=2012\displaystyle c=2012, deci primitiva cerută este F(x)=x3+x2+2012\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}+2012.
    c=2012⇒F(x)=x3+x2+2012\displaystyle c=2012\Rightarrow F(x)=x^{3}+x^{2}+2012
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+2x\displaystyle f(x)=3x^2+2x. Determinați numărul natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2, știind că ∫1nf(x)x dx=132\displaystyle \int_1^n\frac{f(x)}{x}\,dx=\frac{13}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm fracția f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}, împărțind fiecare termen la x\displaystyle x, pentru x≠0\displaystyle x\neq 0 (pe intervalul de integrare x≥1\displaystyle x\geq 1).
    f(x)x=3x2+2xx=3x+2\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{3x^{2}+2x}{x}=3x+2
  2. Scriem integrala cu funcția simplificată și găsim o primitivă: primitiva lui 3x\displaystyle 3x este 3x22\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{2}, iar a lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x.
    ∫1n(3x+2) dx=(3x22+2x)∣1n\displaystyle \int_1^n (3x+2)\,dx=\left(\frac{3x^{2}}{2}+2x\right)\Big|_1^n
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în n\displaystyle n minus valoarea ei în 1\displaystyle 1, apoi aducem la același numitor.
    3n22+2n−32−2=3n2+4n−72\displaystyle \frac{3n^{2}}{2}+2n-\frac{3}{2}-2=\frac{3n^{2}+4n-7}{2}
  4. Egalăm rezultatul cu 132\displaystyle \dfrac{13}{2}, înmulțim cu 2\displaystyle 2 și mutăm totul într-o parte, obținând o ecuație de gradul II în n\displaystyle n.
    3n2+4n−72=132⇔3n2+4n−20=0\displaystyle \frac{3n^{2}+4n-7}{2}=\frac{13}{2}\Leftrightarrow 3n^{2}+4n-20=0
  5. Calculăm discriminantul și rădăcinile ecuației: Δ=42+4⋅3⋅20=256\displaystyle \Delta=4^{2}+4\cdot 3\cdot 20=256, deci Δ=16\displaystyle \sqrt{\Delta}=16.
    n∈{−103, 2}\displaystyle n\in\left\{-\frac{10}{3},\,2\right\}
  6. Cum n\displaystyle n trebuie să fie număr natural, n≥2\displaystyle n\geq 2, rădăcina −103\displaystyle -\dfrac{10}{3} nu convine, iar 2\displaystyle 2 convine.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.