Bac matematică M2 științe ale naturii 2012, sesiunea specială varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Într-o progresie aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} se cunosc a4=7\displaystyle a_4=7 și a9=22\displaystyle a_9=22. Calculați a14\displaystyle a_{14}.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, termenul de rang mai mare se obține din cel de rang mai mic adăugând rația de atâtea ori cât este diferența dintre ranguri. Între rangul 4\displaystyle 4 și rangul 9\displaystyle 9 sunt 5\displaystyle 5 pași, deci a9=a4+5r\displaystyle a_9=a_4+5r.
    a9=a4+5r\displaystyle a_9=a_4+5r
  2. Înlocuim valorile date, a4=7\displaystyle a_4=7 și a9=22\displaystyle a_9=22, și obținem 22=7+5r\displaystyle 22=7+5r. Rezultă 5r=15\displaystyle 5r=15, deci r=3\displaystyle r=3.
    22=7+5r⇒5r=15⇒r=3\displaystyle 22=7+5r\Rightarrow 5r=15\Rightarrow r=3
  3. Între rangul 9\displaystyle 9 și rangul 14\displaystyle 14 sunt tot 5\displaystyle 5 pași, deci a14=a9+5r\displaystyle a_{14}=a_9+5r.
    a14=a9+5r\displaystyle a_{14}=a_9+5r
  4. Înlocuim a9=22\displaystyle a_9=22 și r=3\displaystyle r=3: a14=22+5⋅3=22+15=37\displaystyle a_{14}=22+5\cdot 3=22+15=37.
    a14=22+5⋅3=37\displaystyle a_{14}=22+5\cdot 3=37
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=5−x\displaystyle g(x)=5-x.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție se află pe ambele grafice, deci abscisa lui verifică egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Obținem ecuația x−3=5−x\displaystyle x-3=5-x.
    x−3=5−x\displaystyle x-3=5-x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: x+x=5+3\displaystyle x+x=5+3, adică 2x=8\displaystyle 2x=8.
    2x=8\displaystyle 2x=8
  3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem abscisa punctului de intersecție: xA=4\displaystyle x_A=4.
    xA=4\displaystyle x_A=4
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=4\displaystyle x=4 în f\displaystyle f: yA=f(4)=4−3=1\displaystyle y_A=f(4)=4-3=1. Verificare cu g\displaystyle g: g(4)=5−4=1\displaystyle g(4)=5-4=1.
    yA=f(4)=4−3=1\displaystyle y_A=f(4)=4-3=1
  5. Punctul de intersecție al graficelor este A(4,1)\displaystyle A(4,1).
    A(4,1)\displaystyle A(4,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 23−x=14\displaystyle 2^{3-x}=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 2\displaystyle 2: 14=122=2−2\displaystyle \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^{2}}=2^{-2}.
    14=2−2\displaystyle \frac{1}{4}=2^{-2}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem ambii membri cu aceeași bază: 23−x=2−2\displaystyle 2^{3-x}=2^{-2}.
    23−x=2−2\displaystyle 2^{3-x}=2^{-2}
  3. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci egalăm exponenții: 3−x=−2\displaystyle 3-x=-2.
    3−x=−2\displaystyle 3-x=-2
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: x=3+2=5\displaystyle x=3+2=5. Soluția ecuației este x=5\displaystyle x=5.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii M={0,1,2,3}\displaystyle M=\{0,1,2,3\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm mai întâi toate șirurile de 3 cifre distincte alese din mulțimea M\displaystyle M, inclusiv cele care încep cu 0\displaystyle 0. Ordinea cifrelor contează, deci avem aranjamente de 4\displaystyle 4 elemente luate câte 3\displaystyle 3. Prima cifră se alege în 4\displaystyle 4 moduri, a doua în 3\displaystyle 3 moduri, a treia în 2\displaystyle 2 moduri.
    A43=4⋅3⋅2=24\displaystyle A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24
  2. Un număr de 3\displaystyle 3 cifre nu poate începe cu 0\displaystyle 0, deci trebuie să scădem șirurile care încep cu 0\displaystyle 0. Dacă prima cifră este 0\displaystyle 0, celelalte două cifre se aleg distincte din mulțimea {1,2,3}\displaystyle \{1,2,3\}, în ordine: aranjamente de 3\displaystyle 3 elemente luate câte 2\displaystyle 2.
    A32=3⋅2=6\displaystyle A_3^2=3\cdot 2=6
  3. Scădem din toate șirurile pe cele care încep cu 0\displaystyle 0 și obținem numărul de numere naturale de 3\displaystyle 3 cifre distincte.
    A43−A32=24−6=18 numere\displaystyle A_4^3-A_3^2=24-6=18\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii BC\displaystyle BC a triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=6\displaystyle AB=6, AC=5\displaystyle AC=5 și m(∠BAC)=60∘\displaystyle m(\angle BAC)=60^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Cunoaștem două laturi și unghiul dintre ele, deci aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru latura BC\displaystyle BC.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A
  2. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6, AC=5\displaystyle AC=5 și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    BC2=62+52−2⋅6⋅5⋅12\displaystyle BC^{2}=6^{2}+5^{2}-2\cdot 6\cdot 5\cdot\dfrac{1}{2}
  3. Calculăm: 36+25−30=31\displaystyle 36+25-30=31.
    BC2=36+25−30=31\displaystyle BC^{2}=36+25-30=31
  4. Cum BC\displaystyle BC este o lungime, deci pozitivă, extragem radicalul și obținem răspunsul final.
    BC=31\displaystyle BC=\sqrt{31}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {x+y−2z=0x−y+z=1x+y+az=2\begin{cases} x+y-2z=0 \\ x-y+z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases} unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Calculați determinantul matricei asociate sistemului.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea asociată sistemului are pe linii coeficienții lui x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z din fiecare ecuație. Scriem determinantul ei: Δ=∣11−21−1111a∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&1&-2\\1&-1&1\\1&1&a\end{vmatrix}.
    Δ=∣11−21−1111a∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&1&-2\\1&-1&1\\1&1&a\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm după prima linie, cu semnele +,−,+\displaystyle +,-,+: Δ=1⋅∣−111a∣−1⋅∣111a∣+(−2)⋅∣1−111∣\displaystyle \Delta=1\cdot\begin{vmatrix}-1&1\\1&a\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}+(-2)\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}.
    Δ=∣−111a∣−∣111a∣−2∣1−111∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}-1&1\\1&a\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinanții de ordin 2: ∣−111a∣=−a−1\displaystyle \begin{vmatrix}-1&1\\1&a\end{vmatrix}=-a-1, ∣111a∣=a−1\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}=a-1, ∣1−111∣=1+1=2\displaystyle \begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=1+1=2.
    −a−1 și a−1 și 2\displaystyle -a-1\text{ și }a-1\text{ și }2
  4. Înlocuim: Δ=(−a−1)−(a−1)−2⋅2=−a−1−a+1−4\displaystyle \Delta=(-a-1)-(a-1)-2\cdot 2=-a-1-a+1-4. Reducem termenii asemenea: Δ=−2a−4\displaystyle \Delta=-2a-4.
    −2a−4\displaystyle -2a-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {x+y−2z=0x−y+z=1x+y+az=2\begin{cases} x+y-2z=0 \\ x-y+z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases} unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea asociată sistemului este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea asociată sistemului, formată din coeficienții necunoscutelor x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z, în ordinea ecuațiilor.
    A=(11−21−1111a)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-1&1\\1&1&a\end{pmatrix}
  2. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este diferit de zero, deci calculăm det⁡A\displaystyle \det A.
    det⁡A=∣11−21−1111a∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1&-2\\1&-1&1\\1&1&a\end{vmatrix}
  3. Dezvoltăm determinantul după prima linie. Minorul primului element este (−1)⋅a−1⋅1\displaystyle (-1)\cdot a-1\cdot 1, minorul celui de-al doilea element este 1⋅a−1⋅1\displaystyle 1\cdot a-1\cdot 1, iar minorul lui −2\displaystyle -2 este 1⋅1−(−1)⋅1=2\displaystyle 1\cdot 1-(-1)\cdot 1=2.
    det⁡A=(−a−1)−(a−1)+(−2)⋅2\displaystyle \det A=(-a-1)-(a-1)+(-2)\cdot 2
  4. Reducem termenii asemenea: −a−1−a+1−4=−2a−4\displaystyle -a-1-a+1-4=-2a-4.
    det⁡A=−2a−4=−2(a+2)\displaystyle \det A=-2a-4=-2(a+2)
  5. Matricea este inversabilă când determinantul este nenul, adică −2(a+2)≠0\displaystyle -2(a+2)\neq 0.
    Δ=−2(a+2)≠0⇔a+2≠0\displaystyle \Delta=-2(a+2)\neq 0\Leftrightarrow a+2\neq 0
  6. Determinantul se anulează doar pentru a=−2\displaystyle a=-2, deci matricea este inversabilă pentru orice alt număr real a\displaystyle a.
    a∈R∖{−2}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {x+y−2z=0x−y+z=1x+y+az=2\begin{cases} x+y-2z=0 \\ x-y+z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases} unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Pentru a=0\displaystyle a=0, rezolvați sistemul de ecuații.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în sistem. În a treia ecuație dispare termenul az\displaystyle az, deci obținem x+y=2\displaystyle x+y=2.
    {x+y−2z=0x−y+z=1x+y=2\displaystyle \begin{cases} x+y-2z=0 \\ x-y+z=1 \\ x+y=2 \end{cases}
  2. Din prima ecuație avem x+y=2z\displaystyle x+y=2z. Dar din a treia ecuație x+y=2\displaystyle x+y=2, deci 2z=2\displaystyle 2z=2.
    2z=2\displaystyle 2z=2
  3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem z=1\displaystyle z=1.
    z=1\displaystyle z=1
  4. Înlocuim z=1\displaystyle z=1 în a doua ecuație: x−y+1=1\displaystyle x-y+1=1, deci x−y=0\displaystyle x-y=0, adică x=y\displaystyle x=y.
    x=y\displaystyle x=y
  5. Înlocuim x=y\displaystyle x=y în x+y=2\displaystyle x+y=2: 2x=2\displaystyle 2x=2, deci x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1. Soluția este cea de mai jos.
    x=1\displaystyle x=1, y=1\displaystyle \ y=1, z=1\displaystyle \ z=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.

Arătați că x∗1=x\displaystyle x*1=x, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție pentru două numere reale oarecare x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.
    x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu 1\displaystyle 1 în definiția legii, pentru un x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} fixat: x∗1=x+1−1\displaystyle x*1=x+1-1.
    x∗1=x+1−1\displaystyle x*1=x+1-1
  3. Reducem termenii opuși, +1\displaystyle +1 și −1\displaystyle -1, deci rămâne x\displaystyle x. Cum x\displaystyle x a fost ales oarecare, egalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗1=x, pentru orice x∈R\displaystyle x*1=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x∗x=4\displaystyle x*x*x=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x folosind definiția x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1, în care înlocuim ambele variabile cu x\displaystyle x: x∗x=x+x−1\displaystyle x*x=x+x-1.
    x∗x=2x−1\displaystyle x*x=2x-1
  2. Legea este asociativă, deci x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Înlocuim x∗x=2x−1\displaystyle x*x=2x-1 și aplicăm din nou definiția: (2x−1)∗x=(2x−1)+x−1\displaystyle (2x-1)*x=(2x-1)+x-1.
    (x∗x)∗x=(2x−1)+x−1\displaystyle (x*x)*x=(2x-1)+x-1
  3. Reducem termenii asemenea: 2x+x=3x\displaystyle 2x+x=3x și −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2, deci x∗x∗x=3x−2\displaystyle x*x*x=3x-2.
    x∗x∗x=3x−2\displaystyle x*x*x=3x-2
  4. Ecuația x∗x∗x=4\displaystyle x*x*x=4 devine 3x−2=4\displaystyle 3x-2=4, de unde 3x=6\displaystyle 3x=6.
    3x−2=4⇒3x=6\displaystyle 3x-2=4\Rightarrow 3x=6
  5. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem x=2\displaystyle x=2, care este număr real, deci soluția ecuației.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2, pentru care Cn1∗Cn2=14\displaystyle C_n^1*C_n^2=14.
Vezi rezolvarea
  1. Exprimăm combinările: Cn1=n\displaystyle C_n^1=n, iar Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}, deoarece n≥2\displaystyle n\ge 2.
    Cn1=n\displaystyle C_n^1=n, Cn2=n(n−1)2\displaystyle \ C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}
  2. Aplicăm legea x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 pentru x=n\displaystyle x=n și y=n(n−1)2\displaystyle y=\dfrac{n(n-1)}{2} și egalăm cu 14\displaystyle 14: n+n(n−1)2−1=14\displaystyle n+\dfrac{n(n-1)}{2}-1=14.
    n+n(n−1)2−1=14\displaystyle n+\frac{n(n-1)}{2}-1=14
  3. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 2n+n(n−1)−2=28\displaystyle 2n+n(n-1)-2=28, adică n2+n−30=0\displaystyle n^2+n-30=0.
    n2+n−30=0\displaystyle n^2+n-30=0
  4. Discriminantul este Δ=1+120=121\displaystyle \Delta=1+120=121, deci n=−1±112\displaystyle n=\dfrac{-1\pm 11}{2}, adică n=5\displaystyle n=5 sau n=−6\displaystyle n=-6. Cum n\displaystyle n este număr natural, n≥2\displaystyle n\ge 2, convine doar n=5\displaystyle n=5.
    n=5\displaystyle n=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Arătați că f′(x)f(x)=−xx+1\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=-\frac{x}{x+1} pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de derivare a unui cât (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u(x)=x+1\displaystyle u(x)=x+1 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^{x}.
    f′(x)=(x+1)′⋅ex−(x+1)⋅(ex)′e2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)'\cdot e^{x}-(x+1)\cdot(e^{x})'}{e^{2x}}
  2. Calculăm derivatele: (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=ex−(x+1)exe2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}-(x+1)e^{x}}{e^{2x}}
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător: ex(1−x−1)=−x ex\displaystyle e^{x}\left(1-x-1\right)=-x\,e^{x}. Simplificăm fracția cu ex\displaystyle e^{x}.
    f′(x)=−x exe2x=−xex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x\,e^{x}}{e^{2x}}=-\dfrac{x}{e^{x}}, ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  4. Scriem raportul f′(x)f(x)\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)}, cu f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^{x}}, adică împărțim −xex\displaystyle -\dfrac{x}{e^{x}} la x+1ex\displaystyle \dfrac{x+1}{e^{x}}.
    f′(x)f(x)=−xexx+1ex\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{-\dfrac{x}{e^{x}}}{\dfrac{x+1}{e^{x}}}
  5. Simplificăm cu ex≠0\displaystyle e^{x}\neq 0 și obținem rezultatul cerut, valabil pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), unde x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0.
    f′(x)f(x)=−xx+1\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)}=-\dfrac{x}{x+1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția sub forma unui produs cu exponențiala negativă, ca să derivăm mai ușor: f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}.
    f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}
  2. Derivăm funcția cu regula de derivare a produsului: (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, iar (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}. Rezultă f′(x)=1⋅e−x+(x+1)⋅(−e−x)\displaystyle f'(x)=1\cdot e^{-x}+(x+1)\cdot\left(-e^{-x}\right).
    f′(x)=e−x−(x+1)e−x\displaystyle f'(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}
  3. Dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x} și reducem termenii: 1−(x+1)=−x\displaystyle 1-(x+1)=-x. Astfel f′(x)=−x e−x=−xex\displaystyle f'(x)=-x\,e^{-x}=-\dfrac{x}{e^{x}}.
    f′(x)=−xex\displaystyle f'(x)=-\frac{x}{e^x}
  4. Stabilim semnul derivatei: pentru x>0\displaystyle x>0 avem x>0\displaystyle x>0 și ex>0\displaystyle e^{x}>0, deci xex>0\displaystyle \dfrac{x}{e^{x}}>0, iar cu minus în față derivata este strict negativă pe tot intervalul.
    f′(x)=−xex<0, oricare ar fi x>0\displaystyle f'(x)=-\frac{x}{e^x}<0\text{, oricare ar fi }x>0
  5. Deoarece derivata este strict negativă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe acest interval.
    f este descresca˘toare pe (0,+∞)\displaystyle f\text{ este descrescătoare pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=e2x⋅f2(x)x\displaystyle g(x)=\frac{e^{2x}\cdot f^2(x)}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^x} în g(x)\displaystyle g(x). Avem f2(x)=(x+1)2e2x\displaystyle f^2(x)=\dfrac{(x+1)^2}{e^{2x}}, deci e2x⋅f2(x)=(x+1)2\displaystyle e^{2x}\cdot f^2(x)=(x+1)^2 și exponențialele se simplifică.
    g(x)=(x+1)2x\displaystyle g(x)=\frac{(x+1)^2}{x}
  2. Desfacem pătratul: (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1.
    g(x)=x2+2x+1x\displaystyle g(x)=\frac{x^2+2x+1}{x}
  3. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞g(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{g(x)}{x}. Avem g(x)x=x2+2x+1x2=1+2x+1x2\displaystyle \dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2}=1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}.
    g(x)x=1+2x+1x2\displaystyle \frac{g(x)}{x}=1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}
  4. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2} tind la 0\displaystyle 0, deci panta este m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞g(x)x=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=1
  5. Calculăm g(x)−mx=x2+2x+1x−x=x2+2x+1−x2x=2x+1x=2+1x\displaystyle g(x)-mx=\dfrac{x^2+2x+1}{x}-x=\dfrac{x^2+2x+1-x^2}{x}=\dfrac{2x+1}{x}=2+\dfrac{1}{x}.
    g(x)−x=2x+1x=2+1x\displaystyle g(x)-x=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}
  6. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, deci termenul liber este n=2\displaystyle n=2.
    n=lim⁡x→+∞(g(x)−x)=2\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(g(x)-x)=2
  7. Cu m=1\displaystyle m=1 și n=2\displaystyle n=2, ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty este y=mx+n\displaystyle y=mx+n, adică:
    y=x+2\displaystyle y=x+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2012+x2011+x2+x\displaystyle f(x)=x^{2012}+x^{2011}+x^2+x.

Determinați primitiva F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a funcției f\displaystyle f, care verifică relația F(0)=1\displaystyle F(0)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele lui f\displaystyle f se află integrând fiecare termen separat, cu formula ∫xndx=xn+1n+1+C\displaystyle \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C.
    ∫f(x) dx=∫x2012dx+∫x2011dx+∫x2dx+∫x dx\displaystyle \int f(x)\,dx=\int x^{2012}dx+\int x^{2011}dx+\int x^{2}dx+\int x\,dx
  2. Aplicăm formula pentru fiecare termen: exponenții cresc cu 1\displaystyle 1 și apar la numitor, iar la final adăugăm constanta C\displaystyle C.
    ∫f(x) dx=x20132013+x20122012+x33+x22+C\displaystyle \int f(x)\,dx=\frac{x^{2013}}{2013}+\frac{x^{2012}}{2012}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C
  3. Orice primitivă are forma de mai sus. Impunem condiția F(0)=1\displaystyle F(0)=1, înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0: toți termenii cu x\displaystyle x se anulează și rămâne doar constanta.
    F(0)=020132013+020122012+033+022+C=C\displaystyle F(0)=\frac{0^{2013}}{2013}+\frac{0^{2012}}{2012}+\frac{0^{3}}{3}+\frac{0^{2}}{2}+C=C
  4. Din F(0)=1\displaystyle F(0)=1 obținem C=1\displaystyle C=1.
    C=1\displaystyle C=1
  5. Înlocuim constanta în expresia primitivei și obținem răspunsul final.
    F(x)=x20132013+x20122012+x33+x22+1\displaystyle F(x)=\frac{x^{2013}}{2013}+\frac{x^{2012}}{2012}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2012+x2011+x2+x\displaystyle f(x)=x^{2012}+x^{2011}+x^2+x.

Calculați ∫01f(x)x+1dx\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx.
Vezi rezolvarea
  1. Grupăm termenii funcției f\displaystyle f astfel încât să dăm factor comun x+1\displaystyle x+1. Scriem f(x)=x2011(x+1)+x(x+1)\displaystyle f(x)=x^{2011}(x+1)+x(x+1).
    f(x)=x2011(x+1)+x(x+1)\displaystyle f(x)=x^{2011}(x+1)+x(x+1)
  2. Dăm factor comun x+1\displaystyle x+1 și obținem f(x)=(x+1)(x2011+x)\displaystyle f(x)=(x+1)(x^{2011}+x).
    f(x)=(x+1)(x2011+x)\displaystyle f(x)=(x+1)\left(x^{2011}+x\right)
  3. Simplificăm fracția cu x+1\displaystyle x+1, care este nenul pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Rezultă f(x)x+1=x2011+x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x+1}=x^{2011}+x, deci integrala devine ∫01(x2011+x)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^{2011}+x\right)dx.
    ∫01f(x)x+1dx=∫01(x2011+x)dx\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx=\int_0^1\left(x^{2011}+x\right)dx
  4. Folosim ∫xndx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. O primitivă a lui x2011+x\displaystyle x^{2011}+x este x20122012+x22\displaystyle \dfrac{x^{2012}}{2012}+\dfrac{x^{2}}{2}.
    ∫(x2011+x)dx=x20122012+x22\displaystyle \int\left(x^{2011}+x\right)dx=\frac{x^{2012}}{2012}+\frac{x^2}{2}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (x20122012+x22)∣01=12012+12−0\displaystyle \left(\dfrac{x^{2012}}{2012}+\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1=\dfrac{1}{2012}+\dfrac{1}{2}-0.
    (x20122012+x22)∣01=12012+12\displaystyle \left(\frac{x^{2012}}{2012}+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1=\frac{1}{2012}+\frac{1}{2}
  6. Aducem la numitorul comun 2012\displaystyle 2012: 12=10062012\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{1006}{2012}, deci suma este 1+10062012\displaystyle \dfrac{1+1006}{2012}. Răspunsul final este 10072012\displaystyle \dfrac{1007}{2012}.
    12012+12=10072012\displaystyle \frac{1}{2012}+\frac{1}{2}=\frac{1007}{2012}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2012+x2011+x2+x\displaystyle f(x)=x^{2012}+x^{2011}+x^2+x.

Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei Ox\displaystyle Ox, a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−x2012−x2011\displaystyle g(x)=f(x)-x^{2012}-x^{2011}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2012+x2011+x2+x\displaystyle f(x)=x^{2012}+x^{2011}+x^2+x în g(x)=f(x)−x2012−x2011\displaystyle g(x)=f(x)-x^{2012}-x^{2011}. Termenii x2012\displaystyle x^{2012} și x2011\displaystyle x^{2011} se reduc, deci rămâne o funcție polinomială de gradul al doilea.
    g(x)=x2+x\displaystyle g(x)=x^2+x
  2. Volumul corpului de rotație este V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_1^2 g^2(x)\,dx. Calculăm pătratul: g2(x)=(x2+x)2=x4+2x3+x2\displaystyle g^2(x)=(x^2+x)^2=x^4+2x^3+x^2.
    V=π∫12(x4+2x3+x2) dx\displaystyle V=\pi\int_1^2 (x^4+2x^3+x^2)\,dx
  3. Folosim ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} pentru fiecare termen și obținem o primitivă a lui x4+2x3+x2\displaystyle x^4+2x^3+x^2.
    V=π(x55+2⋅x44+x33)∣12\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{x^5}{5}+2\cdot\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_1^2
  4. Pentru x=2\displaystyle x=2: 325+162+83=96+120+4015=25615=51230\displaystyle \dfrac{32}{5}+\dfrac{16}{2}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{96+120+40}{15}=\dfrac{256}{15}=\dfrac{512}{30}. Pentru x=1\displaystyle x=1: 15+12+13=6+15+1030=3130\displaystyle \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{6+15+10}{30}=\dfrac{31}{30}.
    F(2)=51230\displaystyle F(2)=\dfrac{512}{30},F(1)=3130\displaystyle \quad F(1)=\dfrac{31}{30}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: V=π(F(2)−F(1))=π(51230−3130)\displaystyle V=\pi\left(F(2)-F(1)\right)=\pi\left(\dfrac{512}{30}-\dfrac{31}{30}\right).
    V=481π30\displaystyle V=\dfrac{481\pi}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.