Bac matematică M2 științe ale naturii 2026, sesiunea specială varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 22(3+2)+3(1−22)=7\displaystyle 2\sqrt{2}(3+\sqrt{2})+3(1-2\sqrt{2})=7.
Vezi rezolvarea
  1. Se desface prima paranteză, înmulțind 22\displaystyle 2\sqrt{2} cu fiecare termen din (3+2)\displaystyle (3+\sqrt{2}), și a doua paranteză, înmulțind 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din (1−22)\displaystyle (1-2\sqrt{2}).
    22(3+2)+3(1−22)=62+22⋅2+3−62=\displaystyle 2\sqrt{2}(3+\sqrt{2})+3(1-2\sqrt{2})=6\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+3-6\sqrt{2}=
  2. Se calculează produsul 22⋅2=2⋅(2)2=2⋅2=4\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot(\sqrt{2})^{2}=2\cdot 2=4, folosind faptul că (2)2=2\displaystyle (\sqrt{2})^{2}=2.
    62+4+3−62\displaystyle 6\sqrt{2}+4+3-6\sqrt{2}
  3. Se reduc termenii asemenea care conțin 2\displaystyle \sqrt{2}, adică 62−62=0\displaystyle 6\sqrt{2}-6\sqrt{2}=0, rămânând doar termenii numerici.
    0+4+3=4+3\displaystyle 0+4+3=4+3
  4. Se adună termenii numerici rămași pentru a obține rezultatul final.
    =4+3=7\displaystyle =4+3=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−10\displaystyle f(x)=3x-10. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(2a)=f(a)−3\displaystyle f(2a)=f(a)-3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f și se calculează f(2a)\displaystyle f(2a) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 2a\displaystyle 2a.
    f(2a)=3⋅(2a)−10=6a−10\displaystyle f(2a)=3\cdot(2a)-10=6a-10
  2. Se calculează f(a)\displaystyle f(a) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției.
    f(a)=3a−10\displaystyle f(a)=3a-10
  3. Se centralizează cele două calcule, valabile pentru orice număr real a\displaystyle a.
    f(2a)=6a−10\displaystyle f(2a)=6a-10, f(a)=3a−10\displaystyle \ f(a)=3a-10, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{ pentru orice număr real }a
  4. Se scrie ecuația dată în enunț, înlocuind f(2a)\displaystyle f(2a) și f(a)\displaystyle f(a) cu expresiile calculate anterior.
    6a−10=(3a−10)−3\displaystyle 6a-10=(3a-10)-3
  5. Se desface paranteza din membrul drept al ecuației.
    6a−10=3a−10−3\displaystyle 6a-10=3a-10-3
  6. Se grupează termenii cu a\displaystyle a în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept, apoi se rezolvă ecuația liniară obținută.
    6a−3a=−13+10⇒3a=−3⇒a=−1\displaystyle 6a-3a=-13+10\Rightarrow 3a=-3\Rightarrow a=-1
  7. Se scrie ecuația rezultată din înlocuire și soluția finală a problemei.
    6a−10=3a−10−3\displaystyle 6a-10=3a-10-3, de unde obținem a=−1\displaystyle \text{ de unde obținem }a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x2−6x+5=x3\displaystyle \sqrt{4x^2-6x+5}=x\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență: deoarece membrul stâng (radicalul) este întotdeauna nenegativ, trebuie ca și membrul drept să fie nenegativ, adică x3≥0\displaystyle x\sqrt{3} \geq 0, deci x≥0\displaystyle x \geq 0. De asemenea, expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă, dar 4x2−6x+5\displaystyle 4x^{2}-6x+5 are discriminantul negativ (36−80<0\displaystyle 36-80<0) și coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} pozitiv, deci este întotdeauna pozitivă, condiție automat îndeplinită.
    x≥0 (condiție necesara˘, \displaystyle x\ge 0\text{ (condiție necesară, }deoarece membrul drept \displaystyle \text{deoarece membrul drept }trebuie sa˘ fie nenegativ)\displaystyle \text{trebuie să fie nenegativ)}
  2. Se ridică la pătrat ambii membri ai ecuației, ținând cont de condiția stabilită anterior.
    (4x2−6x+5)2=(x3)2\displaystyle \left(\sqrt{4x^2-6x+5}\right)^2=(x\sqrt3)^2
  3. Se efectuează calculele: pătratul radicalului dă expresia de sub radical, iar (x3)2=3x2\displaystyle (x\sqrt{3})^{2} = 3x^{2}.
    4x2−6x+5=3x2\displaystyle 4x^2-6x+5=3x^2
  4. Se trece 3x2\displaystyle 3x^{2} în membrul stâng și se reduc termenii asemenea, obținându-se o ecuație de gradul al doilea.
    4x2−6x+5=3x2\displaystyle 4x^2-6x+5=3x^2, de unde obținem x2−6x+5=0\displaystyle \text{ de unde obținem }x^2-6x+5=0
  5. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea obținute.
    Δ=(−6)2−4⋅1⋅5=36−20=16\displaystyle \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16
  6. Se calculează rădăcinile ecuației folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
    x=6±162=6±42\displaystyle x=\dfrac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{6\pm4}{2}
  7. Se obțin cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea.
    x1=6+42=5\displaystyle x_1=\dfrac{6+4}{2}=5, x2=6−42=1\displaystyle \ x_2=\dfrac{6-4}{2}=1
  8. Se verifică dacă soluțiile obținute satisfac condiția de existență x≥0\displaystyle x\geq 0: ambele valori, 1\displaystyle 1 și 5\displaystyle 5, sunt nenegative, deci sunt acceptate din acest punct de vedere.
    x1=5≥0 și x2=1≥0, ambele satisfac \displaystyle x_1=5\ge0\text{ și }x_2=1\ge0\text{, ambele satisfac }condiția\displaystyle \text{condiția}
  9. Se verifică soluțiile în ecuația inițială: pentru x=1\displaystyle x=1, 4−6+5=3=1⋅3\displaystyle \sqrt{4-6+5}=\sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3}, adevărat; pentru x=5\displaystyle x=5, 100−30+5=75=53=53\displaystyle \sqrt{100-30+5}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}=5\sqrt{3}, adevărat. Ambele soluții verifică ecuația inițială, deci sunt valide.
    x=1 sau x=5\displaystyle x=1\text{ sau }x=5, care convin\displaystyle \text{ care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre, care reprezintă cazurile posibile: acestea sunt numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99.
    {10,11,12,…,99}\displaystyle \{10,11,12,\ldots,99\}
  2. Se numără câte numere naturale de două cifre există în total (cazuri posibile).
    99−10+1=90 de cazuri posibile\displaystyle 99-10+1=90\text{ de cazuri posibile}
  3. Se scrie un număr de două cifre sub forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a\displaystyle a cifra zecilor (a∈{1,…,9}\displaystyle a\in\{1,\ldots,9\}) și b\displaystyle b cifra unităților (b∈{0,…,9}\displaystyle b\in\{0,\ldots,9\}), și se pune condiția ca suma cifrelor să fie cel mult 3\displaystyle 3.
    a+b≤3\displaystyle a+b\leq 3, a∈{1,…,9}\displaystyle \ a\in\{1,\ldots,9\}, b∈{0,…,9}\displaystyle \ b\in\{0,\ldots,9\}
  4. Se identifică toate numerele de două cifre care satisfac condiția a+b≤3\displaystyle a+b\leq 3, listându-le explicit.
    10\displaystyle 10,11\displaystyle 11,12\displaystyle 12,20\displaystyle 20,21\displaystyle 21,30\displaystyle 30
  5. Se numără câte numere satisfac condiția (cazuri favorabile).
    6 cazuri favorabile\displaystyle 6\text{ cazuri favorabile}
  6. Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi se simplifică fracția.
    p=690=115\displaystyle p=\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3), B(1,5)\displaystyle B(1,5) și C(6,0)\displaystyle C(6,0). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, verificăm că dreptele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt perpendiculare. Folosim pantele: două drepte neverticale sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este −1\displaystyle -1. Panta dreptei care trece prin P(x1,y1)\displaystyle P(x_1,y_1) și Q(x2,y2)\displaystyle Q(x_2,y_2) este m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
    mPQ=y2−y1x2−x1\displaystyle m_{PQ}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(1,5)\displaystyle B(1,5): mAB=5−31−0=21\displaystyle m_{AB}=\dfrac{5-3}{1-0}=\dfrac{2}{1}.
    mAB=2\displaystyle m_{AB}=2
  3. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC cu A(0,3)\displaystyle A(0,3) și C(6,0)\displaystyle C(6,0): mAC=0−36−0=−36\displaystyle m_{AC}=\dfrac{0-3}{6-0}=\dfrac{-3}{6}.
    mAC=−12\displaystyle m_{AC}=-\dfrac{1}{2}
  4. Calculăm produsul pantelor: mAB⋅mAC=2⋅(−12)=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m_{AC}=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1. Deci AB⊥AC\displaystyle AB\perp AC, adică triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A.
    mAB⋅mAC=−1⇒AB⊥AC, deci triunghiul ABC este dreptunghic ıˆn A\displaystyle m_{AB}\cdot m_{AC}=-1\Rightarrow AB\perp AC\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic în }A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=cos⁡x⋅sin⁡3x−sin⁡2x\displaystyle E(x)=\cos x\cdot\sin 3x-\sin 2x, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π6)=0\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia E(x)\displaystyle E(x) pentru x=π6\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}, folosind faptul că 3x=3⋅π6=π2\displaystyle 3x=3\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2} și 2x=2⋅π6=π3\displaystyle 2x=2\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}.
    E(π6)=cos⁡π6⋅sin⁡π2−sin⁡π3\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{6}\cdot\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin\dfrac{\pi}{3}
  2. Se determină valorile trigonometrice ale unghiurilor implicate: π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6}, π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} și π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}.
    cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π2=1\displaystyle \ \sin\dfrac{\pi}{2}=1, sin⁡π3=32\displaystyle \ \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Se calculează produsul cos⁡(π6)⋅sin⁡(π2)\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right), folosind valorile determinate anterior.
    cos⁡π6⋅sin⁡π2=32⋅1=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}\cdot\sin\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. Se înlocuiesc toate valorile în expresia E(π6)\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{6}\right) și se efectuează scăderea, obținându-se rezultatul final.
    E(π6)=32⋅1−32=0\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(2x+104xx+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=6\displaystyle \det(A(1))=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie forma generală a matricei A(x)\displaystyle A(x) și se identifică elementele acesteia pentru x\displaystyle x real oarecare.
    A(x)=(2x+104xx+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}
  2. Se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 în fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x): 2x+1\displaystyle 2x+1, 0\displaystyle 0, 4x\displaystyle 4x, x+1\displaystyle x+1.
    2⋅1+1=3\displaystyle 2\cdot1+1=3,0=0\displaystyle \quad 0=0,4⋅1=4\displaystyle \quad 4\cdot1=4,1+1=2\displaystyle \quad 1+1=2
  3. Se scrie matricea A(1)\displaystyle A(1) obținută prin înlocuirea valorilor calculate și se aplică formula determinantului de ordinul 2.
    A(1)=(3042)⇒det⁡(A(1))=∣3042∣=3⋅2−0⋅4=\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(1))=\begin{vmatrix}3&0\\4&2\end{vmatrix}=3\cdot2-0\cdot4=
  4. Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =6−0=6\displaystyle =6-0=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(2x+104xx+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(−2)⋅A(1)−4I2=A(x)\displaystyle A(-2)\cdot A(1)-4I_2=A(x).
Vezi rezolvarea
  1. Determinăm matricea A(−2)\displaystyle A(-2) înlocuind x=−2\displaystyle x=-2 în forma generală a lui A(x)\displaystyle A(x).
    A(−2)=(2⋅(−2)+104⋅(−2)−2+1)=(−30−8−1)\displaystyle A(-2)=\begin{pmatrix}2\cdot(-2)+1&0\\4\cdot(-2)&-2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&0\\-8&-1\end{pmatrix}
  2. Determinăm matricea A(1)\displaystyle A(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în forma generală a lui A(x)\displaystyle A(x).
    A(1)=(2⋅1+104⋅11+1)=(3042)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2\cdot 1+1&0\\4\cdot 1&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul dintre A(−2)\displaystyle A(-2) și A(1)\displaystyle A(1), înmulțind matricele obținute anterior.
    A(−2)⋅A(1)=(−30−8−1)⋅(3042)=((−3)⋅3+0⋅4(−3)⋅0+0⋅2(−8)⋅3+(−1)⋅4(−8)⋅0+(−1)⋅2)=(−90−28−2)\displaystyle A(-2)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}-3&0\\-8&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-3)\cdot 3+0\cdot 4&(-3)\cdot 0+0\cdot 2\\(-8)\cdot 3+(-1)\cdot 4&(-8)\cdot 0+(-1)\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}
  4. Scriem expresia cerută, A(−2)⋅A(1)−4I2\displaystyle A(-2)\cdot A(1) - 4I_2, folosind rezultatele calculate anterior, și introducem matricea 4I2\displaystyle 4I_2.
    A(−2)⋅A(1)−4I2=(−90−28−2)−(4004)=\displaystyle A(-2)\cdot A(1)-4I_2=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=
  5. Efectuăm scăderea matricelor, obținem matricea rezultat, o comparăm cu forma generală A(x)\displaystyle A(x) și identificăm valoarea lui x\displaystyle x.
    =(−130−28−6)=(2⋅(−7)+104⋅(−7)−7+1)=A(−7)\displaystyle =\begin{pmatrix}-13&0\\-28&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot(-7)+1&0\\4\cdot(-7)&-7+1\end{pmatrix}=A(-7), deci A(x)=A(−7)\displaystyle \text{ deci }A(x)=A(-7), de unde obținem x=−7\displaystyle \text{ de unde obținem }x=-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(2x+104xx+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(x)+A(1x)−2I2)≥8\displaystyle \det\left(A(x)+A\left(\dfrac{1}{x}\right)-2I_2\right)\geq 8, pentru orice număr real nenul x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea A(1x)\displaystyle A\left(\dfrac{1}{x}\right) înlocuind x\displaystyle x cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} în expresia lui A(x)\displaystyle A(x).
    A(1x)=(2x+104x1x+1)\displaystyle A\left(\dfrac{1}{x}\right)=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{x}+1&0\\\dfrac{4}{x}&\dfrac{1}{x}+1\end{pmatrix}
  2. Se adună A(x)\displaystyle A(x) cu A(1x)\displaystyle A\left(\dfrac{1}{x}\right), se scade 2I2\displaystyle 2I_2 (adică se scade 2\displaystyle 2 din fiecare element de pe diagonala principală) și se calculează determinantul matricei obținute, folosind faptul că matricea este inferior triunghiulară (elementul de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este 0\displaystyle 0), deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală.
    A(x)+A(1x)−2I2=(2x+2x04x+4xx+1x)\displaystyle A(x)+A\left(\dfrac{1}{x}\right)-2I_2=\begin{pmatrix}2x+\dfrac{2}{x}&0\\4x+\dfrac{4}{x}&x+\dfrac{1}{x}\end{pmatrix}, det⁡(A(x)+A(1x)−2I2)=(2x+2x)(x+1x)=\displaystyle \ \det\left(A(x)+A\left(\dfrac{1}{x}\right)-2I_2\right)=\left(2x+\dfrac{2}{x}\right)\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=
  3. Se efectuează produsul (2x+2x)(x+1x)\displaystyle \left(2x+\dfrac{2}{x}\right)\left(x+\dfrac{1}{x}\right) prin distributivitate, obținând o sumă de termeni.
    (2x+2x)(x+1x)=2x2+2+2+2x2=2x2+4+2x2\displaystyle \left(2x+\dfrac{2}{x}\right)\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=2x^2+2+2+\dfrac{2}{x^2}=2x^2+4+\dfrac{2}{x^2}
  4. Se factorizează expresia obținută, se scrie sub forma unui pătrat perfect adunat cu o constantă și se arată că expresia este mai mare sau egală cu 8\displaystyle 8, deoarece pătratul este întotdeauna nenegativ, pentru orice x\displaystyle x real nenul.
    =2(x2+1x2+2)=2((x−1x)2+4)≥8\displaystyle =2\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+2\right)=2\left(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+4\right)\geq 8, pentru orice numa˘r real \displaystyle \text{ pentru orice număr real }nenul x\displaystyle \text{nenul }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy−x+2y+1\displaystyle x\circ y=x^2-xy-x+2y+1.

Arătați că 1∘1=2\displaystyle 1\circ 1=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1 care trebuie substituite.
    x∘y=x2−xy−x+2y+1\displaystyle x\circ y=x^2-xy-x+2y+1,x=1\displaystyle \quad x=1, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1 în definiția legii de compoziție.
    1∘1=12−1⋅1−1+2⋅1+1=\displaystyle 1\circ 1=1^2-1\cdot1-1+2\cdot1+1=
  3. Se calculează fiecare termen în parte: 12=1\displaystyle 1^{2}=1, 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2.
    1∘1=1−1−1+2+1\displaystyle 1\circ 1=1-1-1+2+1
  4. Se efectuează adunările și scăderile de la stânga la dreapta pentru a obține rezultatul final.
    =1−1−1+2+1=2\displaystyle =1-1-1+2+1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy−x+2y+1\displaystyle x\circ y=x^2-xy-x+2y+1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘(2x)=1\displaystyle x\circ(2x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție și se înlocuiește y\displaystyle y cu 2x\displaystyle 2x.
    x∘(2x)=x2−x⋅(2x)−x+2⋅(2x)+1\displaystyle x\circ(2x)=x^2-x\cdot(2x)-x+2\cdot(2x)+1
  2. Se efectuează calculele: se calculează produsul x⋅(2x)\displaystyle x\cdot(2x) și produsul 2⋅(2x)\displaystyle 2\cdot(2x).
    x∘(2x)=x2−2x2−x+4x+1\displaystyle x\circ(2x)=x^2-2x^2-x+4x+1
  3. Se reduc termenii asemenea (x2−2x2=−x2\displaystyle x^{2}-2x^{2}=-x^{2} și −x+4x=3x\displaystyle -x+4x=3x), obținând forma finală a expresiei x∘(2x)\displaystyle x\circ(2x).
    x∘(2x)=−x2+3x+1\displaystyle x\circ(2x)=-x^2+3x+1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția ca x∘(2x)\displaystyle x\circ(2x) să fie egal cu 1\displaystyle 1, obținând ecuația de rezolvat.
    −x2+3x+1=1\displaystyle -x^2+3x+1=1
  5. Se scade 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației, obținându-se o ecuație de gradul al doilea fără termen liber.
    −x2+3x=0\displaystyle -x^2+3x=0
  6. Se dă factor comun x\displaystyle x și se rezolvă ecuația obținută, determinând soluțiile x=0\displaystyle x=0 și x=3\displaystyle x=3.
    x(3−x)=0\displaystyle x(3-x)=0, de unde obținem x=0 sau x=3\displaystyle \text{ de unde obținem }x=0\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy−x+2y+1\displaystyle x\circ y=x^2-xy-x+2y+1.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m∘n=m\displaystyle m\circ n=m.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție pentru perechea (m,n)\displaystyle (m,n), aplicând definiția: se înlocuiește x\displaystyle x cu m\displaystyle m și y\displaystyle y cu n\displaystyle n în expresia x∘y=x2−xy−x+2y+1\displaystyle x\circ y=x^{2}-xy-x+2y+1.
    m∘n=m2−mn−m+2n+1\displaystyle m\circ n=m^2-mn-m+2n+1
  2. Se pune condiția din enunț, m∘n=m\displaystyle m\circ n=m, și se înlocuiește expresia obținută mai sus.
    m2−mn−m+2n+1=m\displaystyle m^2-mn-m+2n+1=m
  3. Se trece m\displaystyle m din dreapta în stânga și se reduc termenii asemenea, obținându-se ecuația echivalentă cerută de barem.
    m∘n=m2−mn−m+2n+1\displaystyle m\circ n=m^2-mn-m+2n+1, deci m2−mn−2m+2n=−1\displaystyle \text{ deci }m^2-mn-2m+2n=-1
  4. Se grupează termenii astfel încât să apară factorul comun (m−2)\displaystyle (m-2): m2−2m\displaystyle m^{2}-2m se grupează separat de −mn+2n\displaystyle -mn+2n.
    m(m−2)−n(m−2)=−1\displaystyle m(m-2)-n(m-2)=-1
  5. Se scoate factorul comun (m−2)\displaystyle (m-2), obținându-se forma factorizată a ecuației.
    (m−2)(m−n)=−1\displaystyle (m-2)(m-n)=-1
  6. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale, iar produsul (m−2)(m−n)\displaystyle (m-2)(m-n) trebuie să fie egal cu −1\displaystyle -1 (număr întreg negativ), factorii m−2\displaystyle m-2 și m−n\displaystyle m-n trebuie să fie numere întregi de forma (1,−1)\displaystyle (1,-1) sau (−1,1)\displaystyle (-1,1), fiind singurele descompuneri ale lui −1\displaystyle -1 ca produs de două numere întregi.
    {m−2=1m−n=−1 sau {m−2=−1m−n=1\displaystyle \begin{cases}m-2=1\\ m-n=-1\end{cases}\text{ sau }\begin{cases}m-2=-1\\ m-n=1\end{cases}
  7. Se rezolvă primul sistem: din m−2=1\displaystyle m-2=1 rezultă m=3\displaystyle m=3, iar din m−n=−1\displaystyle m-n=-1 rezultă n=m+1=4\displaystyle n=m+1=4.
    m=3\displaystyle m=3, n=4\displaystyle \ n=4
  8. Se rezolvă al doilea sistem: din m−2=−1\displaystyle m-2=-1 rezultă m=1\displaystyle m=1, iar din m−n=1\displaystyle m-n=1 rezultă n=m−1=0\displaystyle n=m-1=0.
    m=1\displaystyle m=1, n=0\displaystyle \ n=0
  9. Ambele perechi obținute au componente numere naturale, deci sunt soluții valide ale ecuației, conform cerinței problemei.
    (m−2)(m−n)=−1 și, cum m și n sunt numere naturale, \displaystyle (m-2)(m-n)=-1\text{ și, cum }m\text{ și }n\text{ sunt numere naturale, }obținem perechile (1,0) și (3,4)\displaystyle \text{obținem perechile }(1,0)\text{ și }(3,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)x+2x\displaystyle f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}.

Arătați că f′(x)=3x2−x−22xx\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția folosind puteri raționale ale lui x\displaystyle x, pentru a aplica mai ușor regulile de derivare: x=x1/2\displaystyle \sqrt{x} = x^{1/2}, iar 2x=2x−1/2\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2}.
    f(x)=(x−1)⋅x1/2+2x−1/2\displaystyle f(x)=(x-1)\cdot x^{1/2}+2x^{-1/2}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Se derivează primul termen (x−1)x\displaystyle (x-1)\sqrt{x} folosind regula produsului: (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', cu u=x−1\displaystyle u=x-1, v=x\displaystyle v=\sqrt{x}, u′=1\displaystyle u'=1, v′=12x\displaystyle v'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Pentru al doilea termen, 2x\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}}, se aplică regula câtului: (u/v)′=u′v−uv′v2\displaystyle (u/v)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=2\displaystyle u=2, v=x\displaystyle v=\sqrt{x}, u′=0\displaystyle u'=0, v′=12x\displaystyle v'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, v2=x\displaystyle v^2=x.
    f′(x)=1⋅x+(x−1)⋅12x⏟[(x−1)x]′+0⋅x−2⋅12xx⏟[2x]′\displaystyle f'(x)=\underbrace{1\cdot\sqrt{x}+(x-1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}_{\left[(x-1)\sqrt{x}\right]'}+\underbrace{\dfrac{0\cdot\sqrt{x}-2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}}_{\left[\frac{2}{\sqrt{x}}\right]'}
  3. Se simplifică formal expresia obținută, păstrând fiecare termen așa cum rezultă din derivare (fără a combina încă fracțiile).
    f′(x)=x+(x−1)⋅12x+−2⋅12xx=\displaystyle f'(x)=\sqrt{x}+(x-1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{-2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=
  4. Se aduce fiecare termen la numitorul comun 2xx\displaystyle 2x\sqrt{x}, înmulțind numărătorul și numitorul corespunzător cu factorii necesari: x\displaystyle \sqrt{x} devine 2x22xx\displaystyle \dfrac{2x^{2}}{2x\sqrt{x}}, x−12x\displaystyle \dfrac{x-1}{2\sqrt{x}} devine x2−x2xx\displaystyle \dfrac{x^{2}-x}{2x\sqrt{x}}, iar −1xx\displaystyle -\dfrac{1}{x\sqrt{x}} devine −22xx\displaystyle -\dfrac{2}{2x\sqrt{x}}.
    f′(x)=2x22xx+x2−x2xx−22xx\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}}{2x\sqrt{x}}+\dfrac{x^{2}-x}{2x\sqrt{x}}-\dfrac{2}{2x\sqrt{x}}
  5. Se adună fracțiile cu același numitor și se simplifică numărătorul obținut, ajungând la forma finală a derivatei.
    =2x2+x2−x−22xx=3x2−x−22xx\displaystyle =\dfrac{2x^2+x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)x+2x\displaystyle f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}.

Arătați că lim⁡x→1x⋅f′(x)5x−5=12\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\dfrac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, scriind mai întâi f(x)\displaystyle f(x) sub formă de puteri: f(x)=(x−1)x1/2+2x−1/2\displaystyle f(x)=(x-1)x^{1/2}+2x^{-1/2}, apoi se derivează fiecare termen.
    f′(x)=x+x−12x−1xx\displaystyle f'(x)=\sqrt{x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}
  2. Se aduce expresia derivatei la același numitor (2xx)\displaystyle (2x\sqrt{x}) pentru a obține o formă mai ușor de manevrat.
    f′(x)=2x2+x(x−1)−22xx=3x2−x−22xx\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^2+x(x-1)-2}{2x\sqrt{x}}=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}
  3. Se înmulțește derivata cu x\displaystyle \sqrt{x}, ceea ce simplifică un factor x\displaystyle \sqrt{x} de la numitor.
    x⋅f′(x)=x⋅3x2−x−22xx=3x2−x−22x\displaystyle \sqrt{x}\cdot f'(x)=\sqrt{x}\cdot\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}=\dfrac{3x^2-x-2}{2x}
  4. Se scrie limita cerută, se înlocuiește expresia obținută pentru x⋅f′(x)\displaystyle \sqrt{x}\cdot f'(x), apoi se factorizează numărătorul (3x2−x−2=(3x+2)(x−1))\displaystyle (3x^{2}-x-2=(3x+2)(x-1)) și numitorul (5x−5=5(x−1))\displaystyle (5x-5=5(x-1)), pentru a elimina nedeterminarea de tip 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→1x⋅f′(x)5x−5=lim⁡x→13x2−x−22x(5x−5)=lim⁡x→1(3x+2)(x−1)10x(x−1)=\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\lim_{x\to1}\dfrac{3x^2-x-2}{2x(5x-5)}=\lim_{x\to1}\dfrac{(3x+2)(x-1)}{10x(x-1)}=
  5. Se simplifică factorul comun (x−1)\displaystyle (x-1) de la numărător și numitor, apoi se calculează limita prin substituție directă x=1\displaystyle x=1.
    =lim⁡x→13x+210x=12\displaystyle =\lim_{x\to1}\dfrac{3x+2}{10x}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)x+2x\displaystyle f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}.

Determinați imaginea funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se rescrie funcția într-o formă convenabilă pentru derivare, folosind puteri raționale ale lui x\displaystyle x.
    f(x)=(x−1)x+2x=x3/2−x1/2+2x−1/2\displaystyle f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}=x^{3/2}-x^{1/2}+2x^{-1/2}
  2. Se calculează derivata funcției, derivând fiecare termen.
    f′(x)=32x1/2−12x−1/2−x−3/2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3}{2}x^{1/2}-\dfrac{1}{2}x^{-1/2}-x^{-3/2}
  3. Se aduce derivata la un numitor comun, pentru a putea studia semnul mai ușor.
    f′(x)=3x2−x−22xx\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}
  4. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea de la numărător pentru a factoriza expresia.
    3x2−x−2=0⇒Δ=25⇒x1=1\displaystyle 3x^2-x-2=0\Rightarrow\Delta=25\Rightarrow x_1=1, x2=−23⇒3x2−x−2=(x−1)(3x+2)\displaystyle \ x_2=-\dfrac{2}{3}\Rightarrow 3x^2-x-2=(x-1)(3x+2)
  5. Se scrie derivata în formă factorizată, observând că numitorul și factorul (3x+2)\displaystyle (3x+2) sunt pozitivi pentru x>0\displaystyle x>0, deci semnul derivatei este dat de semnul lui (x−1)\displaystyle (x-1).
    f′(x)=(x−1)(3x+2)2xx\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)(3x+2)}{2x\sqrt{x}}, cu 2xx>0 și 3x+2>0 pentru x∈(0,+∞)\displaystyle \text{ cu }2x\sqrt{x}>0\text{ și }3x+2>0\text{ pentru }x\in(0,+\infty)
  6. Se determină punctul critic și se stabilește monotonia funcției pe cele două intervale, analizând semnul lui x−1\displaystyle x-1.
    f′(x)=0⇔x=1; pentru orice x∈(0,1]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1;\text{ pentru orice }x\in(0,1], f′(x)≤0\displaystyle \ f'(x)\leq 0, deci f este descresca˘toare pe (0,1] și, pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle \text{ deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]\text{ și, pentru orice }x\in[1,+\infty), f′(x)≥0\displaystyle \ f'(x)\geq 0, deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \text{ deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  7. Deoarece f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1] și crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), punctul x=1\displaystyle x=1 este punct de minim global; se calculează valoarea minimă f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=(1−1)1+21=0+2=2\displaystyle f(1)=(1-1)\sqrt{1}+\dfrac{2}{\sqrt{1}}=0+2=2
  8. Se calculează limita funcției la +∞\displaystyle +\infty, observând că termenul (x−1)x\displaystyle (x-1)\sqrt{x} domină, iar 2x\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}} tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞[(x−1)x+2x]=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left[(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right]=+\infty
  9. Folosind continuitatea funcției pe (0,1]\displaystyle (0,1] și pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), monotonia strictă pe fiecare interval, valoarea minimă f(1)=2\displaystyle f(1)=2 și limita +∞\displaystyle +\infty la capătul din dreapta, se aplică proprietatea lui Darboux (teorema valorilor intermediare) pentru a determina imaginea funcției.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, f(1)=2 și f este continua˘, de unde \displaystyle \ f(1)=2\text{ și }f\text{ este continuă, de unde }obținem ca˘ imaginea \displaystyle \text{obținem că imaginea }funcției f este [2,+∞)\displaystyle \text{funcției }f\text{ este }[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+x)ex\displaystyle f(x)=(x^2+x)e^x.

Arătați că ∫01f(x)ex dx=56\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=\dfrac{5}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date și raportul f(x)ex\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^{x}}, simplificând factorul exponențial comun.
    f(x)=(x2+x)ex⇒f(x)ex=(x2+x)exex=x2+x\displaystyle f(x)=(x^2+x)e^x\Rightarrow\dfrac{f(x)}{e^x}=\dfrac{(x^2+x)e^x}{e^x}=x^2+x
  2. Se scrie integrala cerută și se înlocuiește raportul simplificat, obținând o integrală dintr-un polinom.
    ∫01f(x)exdx=∫01(x2+x)dx\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{f(x)}{e^x}dx=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx
  3. Se integrează termen cu termen, folosind formula de integrare a funcției putere, obținându-se o primitivă a polinomului.
    ∫01(x2+x)dx=x33∣01+x22∣01=\displaystyle \int_{0}^{1}(x^2+x)dx=\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^1+\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^1=
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva la capetele intervalului [0,1]\displaystyle [0,1].
    133−033+122−022=13+12\displaystyle \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}+\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}
  5. Se aduc fracțiile la același numitor și se calculează suma, obținând rezultatul final al integralei.
    =13+12=56\displaystyle =\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+x)ex\displaystyle f(x)=(x^2+x)e^x.

Arătați că ∫12f(x)x dx=e(2e−1)\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{f(x)}{x}\,dx=e(2e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit expresia funcției și se simplifică raportul f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}, împărțind fiecare termen la x\displaystyle x (posibil deoarece pe [1,2]\displaystyle [1,2], x≠0\displaystyle x\neq 0).
    f(x)x=(x2+x)exx=(x+1)ex\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{(x^2+x)e^x}{x}=(x+1)e^x
  2. Se recunoaște produsul (x+1)ex\displaystyle (x+1)e^x ca fiind derivata funcției xex\displaystyle xe^x, folosind regula de derivare a produsului: (xex)′=ex+xex=(x+1)ex\displaystyle (xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x. Alternativ, se poate obține aceeași concluzie integrând prin părți: cu u=x+1\displaystyle u=x+1, dv=exdx\displaystyle dv=e^x dx, rezultă du=dx\displaystyle du=dx, v=ex\displaystyle v=e^x, deci ∫(x+1)exdx=(x+1)ex−∫exdx=(x+1)ex−ex=xex\displaystyle \int(x+1)e^x dx=(x+1)e^x-\int e^x dx=(x+1)e^x-e^x=xe^x.
    (x+1)ex=(xex)′\displaystyle (x+1)e^x=(xe^x)'
  3. Se înlocuiește integrandul cu derivata recunoscută și se aplică formula Leibniz-Newton, scriind integrala definită ca diferență de valori ale primitivei în capetele intervalului.
    ∫12f(x)xdx=∫12(x+1)(ex)′dx=xex∣12=\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{f(x)}{x}dx=\int_{1}^{2}(x+1)(e^x)'dx=xe^x\Big|_1^2=
  4. Se calculează valorile primitivei xex\displaystyle xe^{x} la capetele intervalului [1,2]\displaystyle [1,2] și se face diferența pentru a obține rezultatul final.
    =2e2−1⋅e1=2e2−e=e(2e−1)\displaystyle =2e^2-1\cdot e^1=2e^2-e=e(2e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+x)ex\displaystyle f(x)=(x^2+x)e^x.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫24xf(x)f(x−1) dx=ae(5+ln⁡3)\displaystyle \displaystyle\int_{2}^{4}\dfrac{xf(x)}{f(x-1)}\,dx=ae(5+\ln 3).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x−1)\displaystyle f(x-1) înlocuind x\displaystyle x cu x−1\displaystyle x-1 în expresia funcției. Obținem f(x−1)=((x−1)2+(x−1))ex−1=(x2−x)ex−1=x(x−1)ex−1\displaystyle f(x-1)=\left((x-1)^{2}+(x-1)\right)e^{x-1}=(x^{2}-x)e^{x-1}=x(x-1)e^{x-1}.
    f(x−1)=x(x−1)ex−1\displaystyle f(x-1)=x(x-1)e^{x-1}
  2. Simplificăm raportul f(x)f(x−1)\displaystyle \dfrac{f(x)}{f(x-1)}. Se simplifică x\displaystyle x și ex−1\displaystyle e^{x-1}, iar exex−1=e\displaystyle \dfrac{e^{x}}{e^{x-1}}=e. Rezultă f(x)f(x−1)=x(x+1)exx(x−1)ex−1=e(x+1)x−1\displaystyle \dfrac{f(x)}{f(x-1)}=\dfrac{x(x+1)e^{x}}{x(x-1)e^{x-1}}=\dfrac{e(x+1)}{x-1}.
    f(x)f(x−1)=e(x+1)x−1\displaystyle \dfrac{f(x)}{f(x-1)}=\dfrac{e(x+1)}{x-1}
  3. Scriem funcția de integrat: xf(x)f(x−1)=e(x2+x)x−1\displaystyle \dfrac{xf(x)}{f(x-1)}=\dfrac{e(x^{2}+x)}{x-1}. Constanta e\displaystyle e iese în fața integralei, deci integrala devine e∫24x2+xx−1 dx\displaystyle e\displaystyle\int_{2}^{4}\dfrac{x^{2}+x}{x-1}\,dx.
    e∫24x2+xx−1 dx\displaystyle e\int_{2}^{4}\dfrac{x^{2}+x}{x-1}\,dx
  4. Împărțim numărătorul la x−1\displaystyle x-1. Avem x2+x=(x−1)(x+2)+2\displaystyle x^{2}+x=(x-1)(x+2)+2, deoarece (x−1)(x+2)=x2+x−2\displaystyle (x-1)(x+2)=x^{2}+x-2. Deci x2+xx−1=x+2+2x−1\displaystyle \dfrac{x^{2}+x}{x-1}=x+2+\dfrac{2}{x-1}.
    x2+xx−1=x+2+2x−1\displaystyle \dfrac{x^{2}+x}{x-1}=x+2+\dfrac{2}{x-1}
  5. Integrăm termen cu termen. O primitivă este x22+2x+2ln⁡(x−1)\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+2x+2\ln(x-1), pentru că x−1>0\displaystyle x-1>0 pe [2,4]\displaystyle [2,4]. Aplicăm formula Leibniz-Newton. La x=4\displaystyle x=4 valoarea este 8+8+2ln⁡3=16+2ln⁡3\displaystyle 8+8+2\ln 3=16+2\ln 3. La x=2\displaystyle x=2 valoarea este 2+4+2ln⁡1=6\displaystyle 2+4+2\ln 1=6. Diferența este 10+2ln⁡3=2(5+ln⁡3)\displaystyle 10+2\ln 3=2(5+\ln 3). Integrala este 2e(5+ln⁡3)\displaystyle 2e(5+\ln 3).
    e(x22+2x+2ln⁡(x−1))∣24=2e(5+ln⁡3)\displaystyle e\left(\dfrac{x^{2}}{2}+2x+2\ln(x-1)\right)\Big|_{2}^{4}=2e(5+\ln 3)
  6. Egalăm valoarea găsită cu membrul drept din enunț: ae(5+ln⁡3)=2e(5+ln⁡3)\displaystyle ae(5+\ln 3)=2e(5+\ln 3). Împărțim cu e(5+ln⁡3)\displaystyle e(5+\ln 3), care este nenul, și obținem a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.