Bac matematică M2 științe ale naturii 2023, sesiunea specială varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (6−2)(6+2)=2\displaystyle \left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică expresia ca fiind de forma (a−b)(a+b)\displaystyle (a-b)(a+b), cu a=6\displaystyle a=\sqrt{6} și b=2\displaystyle b=2, care se poate scrie folosind formula de calcul prescurtat.
    (6−2)(6+2)=a2−b2\displaystyle \left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)=a^2-b^2, unde a=6\displaystyle \text{ unde }a=\sqrt{6}, b=2\displaystyle \ b=2
  2. Se aplică formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} pentru expresia dată, obținând diferența pătratelor lui 6\displaystyle \sqrt{6} și 2\displaystyle 2.
    (6−2)(6+2)=(6)2−22=\displaystyle \left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)=\left(\sqrt{6}\right)^2-2^2=
  3. Se calculează pătratul lui 6\displaystyle \sqrt{6}, folosind proprietatea (a)2=a\displaystyle (\sqrt{a})^{2}=a pentru a≥0\displaystyle a\geq 0.
    (6)2=6\displaystyle \left(\sqrt{6}\right)^2=6
  4. Se calculează pătratul lui 2\displaystyle 2.
    22=4\displaystyle 2^2=4
  5. Se înlocuiesc valorile obținute și se efectuează scăderea, ajungând la rezultatul final.
    =6−4=2\displaystyle =6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care f(a)=1−a\displaystyle f(a)=1-a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(a)\displaystyle f(a) înlocuind pe x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției: f(a)=a2+1\displaystyle f(a)=a^{2}+1.
    f(a)=a2+1\displaystyle f(a)=a^{2}+1
  2. Scriem ecuația f(a)=1−a\displaystyle f(a)=1-a, adică a2+1=1−a\displaystyle a^{2}+1=1-a. Mutăm toți termenii în partea stângă și reducem termenii asemenea (1−1=0\displaystyle 1-1=0), obținând a2+a=0\displaystyle a^{2}+a=0.
    a2+1=1−a, deci a2+a=0\displaystyle a^{2}+1=1-a\text{, deci }a^{2}+a=0
  3. Dăm factor comun pe a\displaystyle a în partea stângă: a(a+1)=0\displaystyle a(a+1)=0.
    a(a+1)=0\displaystyle a(a+1)=0
  4. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul: a=0\displaystyle a=0 sau a+1=0\displaystyle a+1=0, adică a=−1\displaystyle a=-1. Cele două valori sunt soluțiile ecuației.
    a=−1 sau a=0\displaystyle a=-1\text{ sau }a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+4)=log⁡4(6x−4)\displaystyle \log_4\left(x^2+4\right)=\log_4\left(6x-4\right).
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență pentru logaritmi: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    x2+4>0 (adeva˘rat pentru orice x) și 6x−4>0⇒x>23\displaystyle x^2+4>0\text{ (adevărat pentru orice }x\text{)}\text{ și }6x-4>0\Rightarrow x>\frac{2}{3}
  2. Deoarece cei doi logaritmi au aceeași bază (4)\displaystyle (4), egalitatea are loc dacă și numai dacă argumentele sunt egale. Se egalează argumentele și se aduce ecuația la forma generală de gradul al doilea.
    x2+4=6x−4, deci x2−6x+8=0\displaystyle x^2+4=6x-4\text{, deci }x^2-6x+8=0
  3. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea obținute.
    Δ=(−6)2−4⋅1⋅8=36−32=4\displaystyle \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4
  4. Se determină rădăcinile ecuației folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
    x1,2=6±42=6±22⇒x1=4\displaystyle x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{6\pm2}{2}\Rightarrow x_1=4, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  5. Se verifică dacă soluțiile găsite satisfac condiția de existență x>23\displaystyle x>\dfrac{2}{3}, stabilită la primul pas.
    x=2>23 și x=4>23, deci ambele valori sunt \displaystyle x=2>\frac{2}{3}\text{ și }x=4>\frac{2}{3}\text{, deci ambele valori sunt }acceptate\displaystyle \text{acceptate}
  6. Se formulează concluzia finală, indicând soluțiile reale ale ecuației care respectă condițiile de existență.
    x=2 sau x=4, care convin\displaystyle x=2\text{ sau }x=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Se analizează enunțul: trebuie formate numere naturale de două cifre folosind elementele mulțimii {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}, cu condiția ca cifra zecilor să fie un număr impar.
    ab‾\displaystyle \overline{ab}, a\displaystyle \ a,b∈{1,2,3,4,5}\displaystyle b\in\{1,2,3,4,5\}
  2. Se identifică valorile posibile pentru cifra zecilor (a)\displaystyle (a), care trebuie să fie impară, alegând dintre elementele mulțimii date.
    a∈{1,3,5}, deci 3 moduri\displaystyle a\in\{1,3,5\}\text{, deci }3\text{ moduri}
  3. Se identifică valorile posibile pentru cifra unităților (b)\displaystyle (b), care poate fi orice element al mulțimii, fără nicio restricție suplimentară.
    b∈{1,2,3,4,5}, deci 5 moduri\displaystyle b\in\{1,2,3,4,5\}\text{, deci }5\text{ moduri}
  4. Se aplică regula produsului: numărul total de numere de două cifre este produsul dintre numărul de moduri de alegere a cifrei zecilor și numărul de moduri de alegere a cifrei unităților.
    3⋅5=15 numere\displaystyle 3\cdot 5=15\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,−5)\displaystyle A(1,-5) și B(5,5)\displaystyle B(5,5). Determinați distanța de la punctul O\displaystyle O la mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula pentru coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului AB\displaystyle AB, în funcție de coordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B.
    xM=xA+xB2 și yM=yA+yB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\text{ și }y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A(1,−5)\displaystyle A(1,-5) și B(5,5)\displaystyle B(5,5) în formula mijlocului.
    xM=1+52 și yM=−5+52\displaystyle x_M=\dfrac{1+5}{2}\text{ și }y_M=\dfrac{-5+5}{2}
  3. Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele mijlocului M\displaystyle M.
    xM=3 și yM=0\displaystyle x_M=3\text{ și }y_M=0
  4. Se scrie formula distanței de la originea O(0,0)\displaystyle O(0,0) la punctul M(xM,yM)\displaystyle M(x_M, y_M).
    OM=xM2+yM2\displaystyle OM=\sqrt{x_M^2+y_M^2}
  5. Se înlocuiesc coordonatele lui M\displaystyle M în formula distanței și se calculează.
    OM=32+02=9\displaystyle OM=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}
  6. Se obține valoarea finală a distanței de la O\displaystyle O la mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
    OM=3\displaystyle OM=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=6\displaystyle AC=6 și tg⁡C=3\displaystyle \operatorname{tg}C=\sqrt{3}. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 183\displaystyle 18\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se schițează triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A și se identifică laturile: AC\displaystyle AC este cateta alăturată unghiului C\displaystyle C, iar AB\displaystyle AB este cateta opusă unghiului C\displaystyle C.
    △ABC\displaystyle \triangle ABC, A^=90∘\displaystyle \ \hat{A}=90^\circ, AC=6\displaystyle \ AC=6, tg⁡C=3\displaystyle \ \operatorname{tg}C=\sqrt{3}
  2. Se scrie definiția tangentei unghiului C\displaystyle C în triunghiul dreptunghic, ca raport între cateta opusă (AB\displaystyle AB) și cateta alăturată (AC\displaystyle AC).
    tg⁡C=ABAC\displaystyle \operatorname{tg}C=\frac{AB}{AC}
  3. Se înlocuiesc valorile cunoscute și se rezolvă ecuația pentru a afla lungimea catetei AB\displaystyle AB.
    3=AB6⇒AB=63\displaystyle \sqrt{3}=\frac{AB}{6}\Rightarrow AB=6\sqrt{3}
  4. Se aplică formula ariei triunghiului dreptunghic ca semiprodusul catetelor AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC.
    A△ABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}
  5. Se înlocuiesc valorile catetelor AB=63\displaystyle AB=6\sqrt{3} și AC=6\displaystyle AC=6 și se calculează aria triunghiului.
    A△ABC=6⋅632=183\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1−aa−3a3a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-a & a\\ -3a & 3a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=5\displaystyle \det\left(A(2)\right)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=2\displaystyle a=2 în fiecare element al matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține matricea A(2)\displaystyle A(2).
    1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, 2\displaystyle \ 2, −3⋅2=−6\displaystyle \ -3\cdot 2=-6, 3⋅2+1=7\displaystyle \ 3\cdot 2+1=7
  2. Se scrie matricea A(2)\displaystyle A(2) folosind valorile calculate anterior.
    A(2)=(−12−67)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ -6 & 7\end{pmatrix}
  3. Se scrie determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2) și se aplică formula de calcul pentru determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2))=∣−12−67∣=(−1)⋅7−2⋅(−6)=\displaystyle \det\left(A(2)\right)=\begin{vmatrix}-1 & 2\\ -6 & 7\end{vmatrix}=(-1)\cdot 7-2\cdot(-6)=
  4. Se efectuează înmulțirile: (−1)⋅7=−7\displaystyle (-1)\cdot 7=-7 și 2⋅(−6)=−12\displaystyle 2\cdot(-6)=-12, deci scăderea devine −7−(−12)\displaystyle -7-(-12).
    −7−(−12)=−7+12\displaystyle -7-(-12)=-7+12
  5. Se efectuează adunarea finală pentru a obține valoarea determinantului.
    =−7+12=5\displaystyle =-7+12=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1−aa−3a3a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-a & a\\ -3a & 3a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)−I2=a(A(1)−I2)\displaystyle A(a)-I_2=a\left(A(1)-I_2\right), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(a)\displaystyle A(a) și I2\displaystyle I_{2}, apoi se calculează diferența A(a)−I2\displaystyle A(a) − I_{2} scăzând element cu element.
    A(a)−I2=(1−aa−3a3a+1)−(1001)=((1−a)−1a−0−3a−0(3a+1)−1)\displaystyle A(a)-I_2=\begin{pmatrix}1-a & a\\ -3a & 3a+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(1-a)-1 & a-0\\ -3a-0 & (3a+1)-1\end{pmatrix}
  2. Se simplifică fiecare element al matricei obținute mai sus.
    A(a)−I2=(−aa−3a3a)\displaystyle A(a)-I_2=\begin{pmatrix}-a & a\\ -3a & 3a\end{pmatrix}
  3. Se scoate factorul comun a\displaystyle a în fața matricei, obținând forma cerută pentru orice a\displaystyle a real.
    A(a)−I2=(−aa−3a3a)=a(−11−33), pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(a)-I_2=\begin{pmatrix}-a & a\\ -3a & 3a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -3 & 3\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a
  4. Se determină matricea A(1)\displaystyle A(1), înlocuind a=1\displaystyle a=1 în expresia lui A(a)\displaystyle A(a).
    A(1)=(1−11−3⋅13⋅1+1)=(01−34)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1-1 & 1\\ -3\cdot1 & 3\cdot1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -3 & 4\end{pmatrix}
  5. Se calculează A(1)−I2\displaystyle A(1) − I_{2}, scăzând element cu element.
    A(1)−I2=(0−11−0−3−04−1)=(−11−33)\displaystyle A(1)-I_2=\begin{pmatrix}0-1 & 1-0\\ -3-0 & 4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -3 & 3\end{pmatrix}
  6. Se înmulțește A(1)−I2\displaystyle A(1) − I_{2} cu scalarul a\displaystyle a și se compară cu rezultatul obținut pentru A(a)−I2\displaystyle A(a) − I_{2}, constatând că cele două expresii coincid pentru orice a\displaystyle a real, ceea ce demonstrează egalitatea cerută.
    a(A(1)−I2)=a(−11−33)=(−aa−3a3a)=A(a)−I2, deci A(a)−I2=a(A(1)−I2), pentru orice numa˘r real a\displaystyle a\left(A(1)-I_2\right)=a\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -3 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a & a\\ -3a & 3a\end{pmatrix}=A(a)-I_2\text{, deci }A(a)-I_2=a\left(A(1)-I_2\right)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(1−aa−3a3a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-a & a\\ -3a & 3a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul întreg m\displaystyle m pentru care A(m)⋅A(2m)=A(1)\displaystyle A(m)\cdot A(2m)=A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu explicit matricele A(m)\displaystyle A(m) și A(2m)\displaystyle A(2m), înlocuind a\displaystyle a cu m\displaystyle m, respectiv cu 2m\displaystyle 2m în forma generală a matricei A(a)\displaystyle A(a).
    A(m)=(1−mm−3m3m+1), A(2m)=(1−2m2m−6m6m+1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1-m & m\\ -3m & 3m+1\end{pmatrix}\text{, }A(2m)=\begin{pmatrix}1-2m & 2m\\ -6m & 6m+1\end{pmatrix}
  2. Se calculează fiecare element al produsului A(m)⋅A(2m)\displaystyle A(m)\cdot A(2m), folosind regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană).
    (1,1):(1−m)(1−2m)+m(−6m)=1−3m−4m2(1,2):(1−m)(2m)+m(6m+1)=3m+4m2(2,1):−3m(1−2m)+(3m+1)(−6m)=−9m−12m2(2,2):−3m(2m)+(3m+1)(6m+1)=12m2+9m+1\displaystyle \begin{aligned}(1,1)&:(1-m)(1-2m)+m(-6m)=1-3m-4m^2\\ (1,2)&:(1-m)(2m)+m(6m+1)=3m+4m^2\\ (2,1)&:-3m(1-2m)+(3m+1)(-6m)=-9m-12m^2\\ (2,2)&:-3m(2m)+(3m+1)(6m+1)=12m^2+9m+1\end{aligned}
  3. Se scrie matricea produs obținută, adunând rezultatele calculate anterior pentru fiecare element.
    A(m)⋅A(2m)=(1−3m−4m23m+4m2−9m−12m212m2+9m+1)\displaystyle A(m)\cdot A(2m)=\begin{pmatrix}1-3m-4m^2 & 3m+4m^2\\ -9m-12m^2 & 12m^2+9m+1\end{pmatrix}
  4. Se observă că notând k=4m2+3m\displaystyle k=4m^{2}+3m, matricea produs are exact forma matricei A(k)\displaystyle A(k), deoarece 1−k\displaystyle 1-k, k\displaystyle k, −3k\displaystyle -3k și 3k+1\displaystyle 3k+1 corespund elementelor calculate.
    A(m)⋅A(2m)=(1−(4m2+3m)4m2+3m−3(4m2+3m)3(4m2+3m)+1)=A(4m2+3m), pentru orice numa˘r \displaystyle A(m)\cdot A(2m)=\begin{pmatrix}1-\left(4m^2+3m\right) & 4m^2+3m\\ -3\left(4m^2+3m\right) & 3\left(4m^2+3m\right)+1\end{pmatrix}=A\left(4m^2+3m\right)\text{, pentru orice număr }ıˆntreg m\displaystyle \text{întreg }m
  5. Se pune condiția ca A(4m2+3m)\displaystyle A(4m^{2}+3m) să fie egală cu A(1)\displaystyle A(1), ceea ce revine la egalitatea exponenților (parametrilor) celor două matrice, deoarece matricea A(a)\displaystyle A(a) determină unic valoarea lui a\displaystyle a.
    A(4m2+3m)=A(1)  ⟺  4m2+3m=1\displaystyle A\left(4m^2+3m\right)=A(1)\iff 4m^2+3m=1
  6. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, folosind formula soluțiilor.
    4m2+3m−1=0⇒Δ=9+16=25⇒m=−3±58⇒m1=14, m2=−1\displaystyle 4m^2+3m-1=0\Rightarrow \Delta=9+16=25\Rightarrow m=\dfrac{-3\pm 5}{8}\Rightarrow m_1=\dfrac{1}{4}\text{, }m_2=-1
  7. Cum se cere ca m\displaystyle m să fie număr întreg, se reține doar soluția întreagă dintre cele două obținute.
    A(4m2+3m)=A(1) și, cum m este numa˘r ıˆntreg, \displaystyle A\left(4m^2+3m\right)=A(1)\text{ și, cum }m\text{ este număr întreg, }obținem m=−1\displaystyle \text{obținem }m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+4\displaystyle x\circ y=xy-x-y+4.

Arătați că 0∘3=1\displaystyle 0\circ 3=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile care trebuie înlocuite: x=0\displaystyle x=0 și y=3\displaystyle y=3.
    x∘y=xy−x−y+4\displaystyle x\circ y=xy-x-y+4, unde x=0\displaystyle \text{ unde }x=0, y=3\displaystyle \ y=3
  2. Se înlocuiesc x=0\displaystyle x=0 și y=3\displaystyle y=3 în definiția legii de compoziție.
    0∘3=0⋅3−0−3+4=\displaystyle 0\circ 3=0\cdot 3-0-3+4=
  3. Se efectuează înmulțirea 0⋅3\displaystyle 0\cdot 3, care este 0\displaystyle 0.
    0∘3=0−0−3+4\displaystyle 0\circ 3=0-0-3+4
  4. Se efectuează scăderile și adunarea rămase pentru a obține rezultatul final.
    =0−3+4=1\displaystyle =0-3+4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+4\displaystyle x\circ y=xy-x-y+4.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=3x\displaystyle x\circ x=3x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție și se înlocuiește y\displaystyle y cu x\displaystyle x, pentru a calcula x∘x\displaystyle x\circ x.
    x∘x=x⋅x−x−x+4\displaystyle x\circ x=x\cdot x-x-x+4
  2. Se efectuează calculele și se reduc termenii asemenea, obținând forma finală a lui x∘x\displaystyle x\circ x.
    x∘x=x2−2x+4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ x=x^2-2x+4\text{, pentru orice număr real }x
  3. Se pune condiția din enunț, egalând x∘x\displaystyle x\circ x cu 3x\displaystyle 3x.
    x2−2x+4=3x\displaystyle x^2-2x+4=3x
  4. Se trec toți termenii într-o singură parte a ecuației, obținând o ecuație de gradul al doilea.
    x2−2x+4−3x=0⇔x2−5x+4=0\displaystyle x^2-2x+4-3x=0\Leftrightarrow x^2-5x+4=0
  5. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea.
    Δ=(−5)2−4⋅1⋅4=25−16=9\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9
  6. Se rezolvă ecuația folosind formula soluțiilor și se obțin cele două valori ale lui x\displaystyle x.
    x2−5x+4=0⇔x=1 sau x=4\displaystyle x^2-5x+4=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+4\displaystyle x\circ y=xy-x-y+4.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că x∘a=x+a\displaystyle x\circ a=x+a, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție aplicată pentru perechea (x,a)\displaystyle (x,a), folosind definiția x∘y=xy−x−y+4\displaystyle x\circ y = xy - x - y + 4.
    x∘a=xa−x−a+4\displaystyle x\circ a=xa-x-a+4
  2. Se scrie ecuația care exprimă condiția cerută (x∘a=x+a\displaystyle x\circ a = x+a), înlocuind x∘a\displaystyle x\circ a cu expresia obținută mai sus.
    xa−x−a+4=x+a\displaystyle xa-x-a+4=x+a
  3. Se trec toți termenii într-un singur membru, mutând x\displaystyle x și a\displaystyle a din membrul drept în stânga, și se reduc termenii asemenea, obținând o egalitate ce trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x real.
    xa−x−a+4=x+a⇔xa−2x−2a+4=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle xa-x-a+4=x+a\Leftrightarrow xa-2x-2a+4=0\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se grupează termenii care conțin x\displaystyle x, scoțând factor comun pe x\displaystyle x din xa−2x\displaystyle xa-2x.
    x(a−2)−2a+4=0\displaystyle x(a-2)-2a+4=0
  5. Deoarece egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice număr real x\displaystyle x, coeficientul lui x\displaystyle x trebuie să fie nul, adică a−2=0\displaystyle a-2=0, ceea ce conduce la a=2\displaystyle a=2. Se verifică apoi și termenul liber: pentru a=2\displaystyle a=2, −2a+4=−4+4=0\displaystyle -2a+4=-4+4=0, deci egalitatea este satisfăcută identic.
    x(a−2)−2a+4=0 și, cum egalitatea are \displaystyle x(a-2)-2a+4=0\text{ și, cum egalitatea are }loc pentru orice numa˘r \displaystyle \text{loc pentru orice număr }real x, obținem a=2\displaystyle \text{real }x\text{, obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2+2x−2)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right).

Arătați că f′(x)=ex(x2+4x)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2+4x\right), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Recunoaștem funcția ca produs de două funcții derivabile: u(x)=ex\displaystyle u(x)=e^{x} și v(x)=x2+2x−2\displaystyle v(x)=x^{2}+2x-2. Calculăm derivatele acestora: u′(x)=ex\displaystyle u'(x)=e^{x}, iar v′(x)=2x+2\displaystyle v'(x)=2x+2.
    u(x)=ex\displaystyle u(x)=e^x, v(x)=x2+2x−2\displaystyle \ v(x)=x^2+2x-2, u′(x)=ex\displaystyle \ u'(x)=e^x, v′(x)=2x+2\displaystyle \ v'(x)=2x+2
  2. Aplicăm regula de derivare a produsului, f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)\displaystyle f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), înlocuind expresiile găsite mai sus.
    f′(x)=ex(x2+2x−2)+ex(2x+2)=\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right)+e^x(2x+2)=
  3. Scoatem factorul comun ex\displaystyle e^{x} și adunăm termenii asemenea din paranteză pentru a simplifica expresia derivatei.
    =ex(x2+2x−2+2x+2)=ex(x2+4x), x∈R\displaystyle =e^x\left(x^2+2x-2+2x+2\right)=e^x\left(x^2+4x\right)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2+2x−2)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right).

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)f′(x)=1\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{f'(x)}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a produsului: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (x2+2x−2)′=2x+2\displaystyle (x^{2}+2x-2)'=2x+2.
    f′(x)=ex(x2+2x−2)+ex(2x+2)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right)+e^x\left(2x+2\right)
  2. Se dă factor comun ex\displaystyle e^x și se aduc termenii asemenea în paranteză.
    f′(x)=ex(x2+2x−2+2x+2)=ex(x2+4x)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2+2x-2+2x+2\right)=e^x\left(x^2+4x\right)
  3. Se scrie raportul f(x)f′(x)\displaystyle \dfrac{f(x)}{f'(x)} folosind expresiile obținute pentru f\displaystyle f și f′\displaystyle f', apoi se simplifică factorul comun ex\displaystyle e^x (nenul pentru orice x\displaystyle x real).
    lim⁡x→+∞f(x)f′(x)=lim⁡x→+∞ex(x2+2x−2)ex(x2+4x)=lim⁡x→+∞x2+2x−2x2+4x=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x\left(x^2+2x-2\right)}{e^x\left(x^2+4x\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x-2}{x^2+4x}=
  4. Deoarece se obține un caz de nedeterminare de tipul infinit supra infinit, se dă factor comun forțat x2\displaystyle x^{2} atât la numărător, cât și la numitor.
    x2+2x−2x2+4x=x2(1+2x−2x2)x2(1+4x)\displaystyle \frac{x^2+2x-2}{x^2+4x}=\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x}\right)}
  5. Se simplifică factorul x2\displaystyle x^{2} și se calculează limita, știind că termenii de forma 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} tind către 0\displaystyle 0 când x\displaystyle x tinde la infinit.
    =lim⁡x→+∞x2(1+2x−2x2)x2(1+4x)=lim⁡x→+∞1+2x−2x21+4x=1\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x}}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2+2x−2)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right).

Demonstrați că ex+4(x2+2x−2)≤6\displaystyle e^{x+4}\left(x^2+2x-2\right)\le 6, pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle x\in(-\infty,0].
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a produsului: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (x2+2x−2)′=2x+2\displaystyle (x^{2}+2x-2)'=2x+2.
    f′(x)=ex(x2+2x−2)+ex(2x+2)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right)+e^x\left(2x+2\right)
  2. Se grupează termenii din interiorul parantezei pentru a obține o formă factorizată a derivatei.
    f′(x)=ex(x2+2x−2+2x+2)=ex(x2+4x)=ex⋅x⋅(x+4)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2+2x-2+2x+2\right)=e^x\left(x^2+4x\right)=e^x\cdot x\cdot\left(x+4\right)
  3. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, ținând cont că ex>0\displaystyle e^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, deci se anulează doar factorii x\displaystyle x și (x+4)\displaystyle (x+4).
    f′(x)=0⇔x(x+4)=0⇔x=−4 sau x=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x\left(x+4\right)=0\Leftrightarrow x=-4\text{ sau }x=0
  4. Se studiază semnul lui f′(x)=ex⋅x⋅(x+4)\displaystyle f'(x)=e^x\cdot x\cdot(x+4) pe intervalele determinate de rădăcini, folosind faptul că ex>0\displaystyle e^x>0. Pentru x<−4\displaystyle x<-4, ambii factori x\displaystyle x și x+4\displaystyle x+4 sunt negativi, deci produsul e pozitiv; pentru −4<x<0\displaystyle -4<x<0, x\displaystyle x este negativ și x+4\displaystyle x+4 este pozitiv, deci produsul e negativ; pentru x>0\displaystyle x>0, ambii factori sunt pozitivi.
    f′(x)>0 pe (−∞,−4), f′(x)<0 pe (−4,0), f′(x)>0 pe (0,+∞)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }\left(-\infty,-4\right)\text{, }f'(x)<0\text{ pe }\left(-4,0\right)\text{, }f'(x)>0\text{ pe }\left(0,+\infty\right)
  5. Se deduce monotonia funcției f\displaystyle f pe cele două intervale relevante pentru problemă, în baza semnului derivatei.
    f′(x)=0⇔x=−4 sau x=0; f cresca˘toare pe (−∞,−4] și descresca˘toare pe [−4,0]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-4\text{ sau }x=0\text{; }f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-4]\text{ și descrescătoare pe }[-4,0]
  6. Deoarece f este crescătoare pe (−∞,−4]\displaystyle (-\infty,-4] și descrescătoare pe [−4,0]\displaystyle [-4,0], punctul x=−4\displaystyle x=-4 este punct de maxim local pentru f, iar pe intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] valoarea maximă a funcției este f(−4)\displaystyle f(-4).
    ∀x∈(−∞,0], f(x)≤f(−4)\displaystyle \forall x\in\left(-\infty,0\right]\text{, }f(x)\le f(-4)
  7. Se calculează valoarea f(−4)\displaystyle f(-4), înlocuind x=−4\displaystyle x=-4 în expresia funcției.
    f(−4)=e−4((−4)2+2(−4)−2)=e−4(16−8−2)=e−4⋅6=6e4\displaystyle f(-4)=e^{-4}\left(\left(-4\right)^2+2\left(-4\right)-2\right)=e^{-4}\left(16-8-2\right)=e^{-4}\cdot 6=\frac{6}{e^4}
  8. Se combină inegalitatea f(x)≤f(−4)\displaystyle f(x)\leq f(-4) cu valoarea calculată a lui f(−4)\displaystyle f(-4), apoi se înmulțește ambele părți cu e4>0\displaystyle e^{4}>0 pentru a obține forma cerută a inegalității.
    f(x)≤f(−4) și f(−4)=6e4, deci ex+4(x2+2x−2)≤6, pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle f(x)\le f(-4)\text{ și }f(-4)=\frac{6}{e^4}\text{, deci }e^{x+4}\left(x^2+2x-2\right)\le 6\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x\displaystyle f(x)=x^3+\dfrac{3}{x}.

Arătați că ∫12(f(x)−3x)dx=154\displaystyle \displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\frac{3}{x}\right)dx=\frac{15}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la expresia funcției date și se scrie diferența f(x)−3x\displaystyle f(x) - \dfrac{3}{x}, observând că termenul 3x\displaystyle \dfrac{3}{x} se simplifică.
    f(x)−3x=x3+3x−3x=x3\displaystyle f(x)-\frac{3}{x}=x^3+\frac{3}{x}-\frac{3}{x}=x^3
  2. Se scrie integrala definită corespunzătoare, transformată în integrala din x3\displaystyle x^{3}, conform simplificării de mai sus.
    ∫12(f(x)−3x)dx=∫12x3 dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\frac{3}{x}\right)dx=\int_1^2 x^3\,dx
  3. Se determină o primitivă a funcției x3\displaystyle x^{3}, folosind formula de derivare inversă: primitiva lui xn\displaystyle x^{n} este xn+1n+1\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
    ∫x3 dx=x44+C\displaystyle \int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, scriind integrala definită ca diferența valorilor primitivei la capetele intervalului [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12(f(x)−3x)dx=∫12x3 dx=x44∣12=\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\frac{3}{x}\right)dx=\int_1^2 x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_1^2=
  5. Se calculează valorile primitivei la x=2\displaystyle x=2 și x=1\displaystyle x=1, apoi se face diferența pentru a obține rezultatul final.
    =244−144=164−14=154\displaystyle =\frac{2^4}{4}-\frac{1^4}{4}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x\displaystyle f(x)=x^3+\dfrac{3}{x}.

Demonstrați că orice primitivă G:(0,+∞)→R\displaystyle G:(0,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=1xf(x)\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}f(x) este crescătoare.
Vezi rezolvarea
  1. Se definește funcția g\displaystyle g pornind de la f\displaystyle f, ca fiind g(x)=f(x)x\displaystyle g(x) = \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}}, iar G\displaystyle G este o primitivă a lui g\displaystyle g pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    g(x)=f(x)x=1x(x3+3x), x∈(0,+∞)\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^3+\frac{3}{x}\right)\text{, }x\in(0,+\infty)
  2. Deoarece G\displaystyle G este o primitivă a funcției g\displaystyle g, derivata lui G\displaystyle G este chiar g\displaystyle g, adică G′=g\displaystyle G'=g. Se scrie explicit expresia lui G′(x)\displaystyle G'(x).
    G′(x)=g(x)=1x(x3+3x), x∈(0,+∞)\displaystyle G'(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^3+\frac{3}{x}\right)\text{, }x\in(0,+\infty)
  3. Se analizează semnul fiecărui factor din expresia lui G′(x)\displaystyle G'(x) pentru x\displaystyle x în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): x3>0\displaystyle x^3>0, deci și 3x>0\displaystyle \dfrac{3}{x}>0, prin urmare suma x3+3x>0\displaystyle x^3+\dfrac{3}{x}>0; de asemenea 1x>0\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}>0 pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    x3>0, 3x>0⇒x3+3x>0 și 1x>0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x^3>0\text{, }\frac{3}{x}>0\Rightarrow x^3+\frac{3}{x}>0\text{ și }\frac{1}{\sqrt{x}}>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  4. Fiind produsul a doi factori strict pozitivi, rezultă că G′(x)>0\displaystyle G'(x)>0 pe tot intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci funcția G\displaystyle G este strict crescătoare pe acest interval.
    1x(x3+3x)>0, pentru orice x∈(0,+∞), deci funcția G este cresca˘toare\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^3+\frac{3}{x}\right)>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci funcția }G\text{ este crescătoare}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x\displaystyle f(x)=x^3+\dfrac{3}{x}.

Arătați că ∫131f(x)dx=π123\displaystyle \displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{f(x)}dx=\frac{\pi}{12\sqrt{3}}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția f(x)\displaystyle f(x) sub formă de fracție unică, aducând termenii la același numitor.
    f(x)=x3+3x=x4+3x\displaystyle f(x)=x^3+\frac{3}{x}=\frac{x^4+3}{x}
  2. Se determină expresia lui 1f(x)\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}, inversând fracția obținută mai sus.
    1f(x)=xx4+3\displaystyle \frac{1}{f(x)}=\frac{x}{x^4+3}
  3. Se scrie integrala cerută folosind expresia simplificată a lui 1f(x)\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}.
    ∫131f(x)dx=∫13xx4+3dx\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{f(x)}dx=\int_1^{\sqrt{3}}\frac{x}{x^4+3}dx
  4. Se observă că x\displaystyle x este, până la un factor constant, derivata lui x2\displaystyle x^{2}, deci se scrie numărătorul ca (x2)′\displaystyle (x^{2})' pentru a pregăti substituția t=x2\displaystyle t=x^{2}.
    x=12(x2)′\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(x^2\right)'
  5. Se rescrie integrala punând în evidență factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și derivata (x2)′\displaystyle (x^{2})' la numărător, pregătind aplicarea formulei de tip arctangentă.
    ∫13xx4+3dx=12∫13(x2)′(x2)2+3dx\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}\frac{x}{x^4+3}dx=\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt{3}}\frac{\left(x^2\right)'}{\left(x^2\right)^2+3}dx
  6. Se aplică formula primitivei de tip arctangentă, ∫u′u2+a2 dx=1aarctg⁡ua+C\displaystyle \displaystyle\int\dfrac{u'}{u^{2}+a^{2}}\,dx=\dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{u}{a}+C, cu u=x2\displaystyle u=x^{2} și a=3\displaystyle a=\sqrt{3}, obținând astfel primitiva evaluată între limitele de integrare. Aceasta corespunde întregului lanț de egalități din barem, până la evaluarea numerică.
    ∫131f(x)dx=∫13xx4+3dx=12∫13(x2)′(x2)2+3dx=123arctg⁡x23∣13=\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{f(x)}dx=\int_1^{\sqrt{3}}\frac{x}{x^4+3}dx=\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt{3}}\frac{\left(x^2\right)'}{\left(x^2\right)^2+3}dx=\frac{1}{2\sqrt{3}}\left.\operatorname{arctg}\frac{x^2}{\sqrt{3}}\right|_1^{\sqrt{3}}=
  7. Se calculează valorile expresiei arctg⁡x23\displaystyle \operatorname{arctg}\dfrac{x^2}{\sqrt{3}} la capetele intervalului: pentru x=3\displaystyle x=\sqrt{3} se obține arctg⁡3=π3\displaystyle \operatorname{arctg}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}, iar pentru x=1\displaystyle x=1 se obține arctg⁡13=π6\displaystyle \operatorname{arctg}\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6}.
    arctg⁡(3)23=arctg⁡3=π3, arctg⁡123=arctg⁡13=π6\displaystyle \operatorname{arctg}\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{3}}=\operatorname{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}\text{, }\operatorname{arctg}\frac{1^2}{\sqrt{3}}=\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}
  8. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia primitivei evaluate la capete și se efectuează calculele finale pentru a obține rezultatul integralei.
    =123(π3−π6)=π123\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{12\sqrt{3}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.