Bac matematică M2 științe ale naturii 2018, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=7\displaystyle a_1=7 și a3=15\displaystyle a_3=15.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (de la al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi. Deci a2\displaystyle a_2 este media aritmetică a lui a1\displaystyle a_1 și a3\displaystyle a_3: a2=a1+a32\displaystyle a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}.
    a2=a1+a32\displaystyle a_2=\frac{a_1+a_3}{2}
  2. Înlocuim a1=7\displaystyle a_1=7 și a3=15\displaystyle a_3=15 în formulă.
    a2=7+152\displaystyle a_2=\frac{7+15}{2}
  3. Calculăm suma de la numărător: 7+15=22\displaystyle 7+15=22, apoi împărțim la 2\displaystyle 2: 222=11\displaystyle \dfrac{22}{2}=11. Deci a2=11\displaystyle a_2=11.
    a2=11\displaystyle a_2=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+2\displaystyle f(x)=3x+2. Determinați numerele naturale n\displaystyle n, pentru care f(n)<8\displaystyle f(n)<8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția din enunț, înlocuind x\displaystyle x cu n\displaystyle n în formula funcției: f(n)=3n+2\displaystyle f(n)=3n+2, iar cerem ca f(n)<8\displaystyle f(n)<8.
    3n+2<8\displaystyle 3n+2<8
  2. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: 3n<6\displaystyle 3n<6. Apoi împărțim la 3\displaystyle 3, care este pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează. Obținem n<2\displaystyle n<2.
    3n+2<8⇔3n<6⇔n<2\displaystyle 3n+2<8\Leftrightarrow 3n<6\Leftrightarrow n<2
  3. Căutăm numerele naturale strict mai mici decât 2\displaystyle 2. Numerele naturale sunt 0,1,2,…\displaystyle 0,1,2,\dots, deci doar 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1 verifică n<2\displaystyle n<2. Verificare: f(0)=2<8\displaystyle f(0)=2<8 și f(1)=5<8\displaystyle f(1)=5<8, în timp ce f(2)=8\displaystyle f(2)=8 nu este mai mic decât 8\displaystyle 8.
    n=0 sau n=1\displaystyle n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−1=x+1\displaystyle \sqrt{x^2-1}=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul x2−1\displaystyle \sqrt{x^2-1} este nenegativ, deci trebuie ca x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, iar sub radical x2−1≥0\displaystyle x^2-1\ge 0. Aceste condiții le verificăm la final, după ridicarea la pătrat.
    x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0,x2−1≥0\displaystyle \quad x^2-1\ge 0
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației x2−1=x+1\displaystyle \sqrt{x^2-1}=x+1.
    x2−1=(x+1)2\displaystyle x^2-1=(x+1)^2
  3. Dezvoltăm (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1, deci x2−1=x2+2x+1\displaystyle x^2-1=x^2+2x+1. Reducem x2\displaystyle x^2 și mutăm termenii în stânga.
    x2−1=x2+2x+1⇒2x+2=0\displaystyle x^2-1=x^2+2x+1\Rightarrow 2x+2=0
  4. Din 2x+2=0\displaystyle 2x+2=0 obținem 2x=−2\displaystyle 2x=-2.
    x=−1\displaystyle x=-1
  5. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 avem x2−1=0\displaystyle x^2-1=0 și x+1=0\displaystyle x+1=0, deci 0=0\displaystyle \sqrt{0}=0, adevărat. Condițiile x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0 și x2−1≥0\displaystyle x^2-1\ge 0 sunt îndeplinite. Soluția convine.
    x=−1, care convine\displaystyle x=-1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii {0,1,2,3,4}\displaystyle \{0,1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea {0,1,2,3,4}\displaystyle \{0,1,2,3,4\} are 5\displaystyle 5 elemente. O submulțime cu trei elemente se alege fără a ține cont de ordine, deci numărul ei este numărul de combinări de 5\displaystyle 5 luate câte 3\displaystyle 3: C53\displaystyle C_5^3.
    C53\displaystyle C_5^3
  2. Scriem combinările cu formula Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. Pentru n=5\displaystyle n=5 și k=3\displaystyle k=3 obținem n−k=2\displaystyle n-k=2.
    C53=5!3!⋅2!\displaystyle C_5^3=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}
  3. Scriem 5!=5⋅4⋅3!\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3! și 2!=2\displaystyle 2!=2, apoi simplificăm cu 3!\displaystyle 3!: 5⋅4⋅3!3!⋅2=202\displaystyle \dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2}=\dfrac{20}{2}.
    5⋅4⋅3!3!⋅2=202=10\displaystyle \dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2}=\dfrac{20}{2}=10
  4. Mulțimea are 10\displaystyle 10 submulțimi cu trei elemente.
    10\displaystyle 10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreptele d1:y=x2+2\displaystyle d_1: y=\frac{x}{2}+2 și d2:y=(m−3)x+1\displaystyle d_2: y=(m-3)x+1, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, pentru care dreptele d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2 sunt perpendiculare.
Vezi rezolvarea
  1. Dreptele sunt date prin ecuații de forma y=ax+b\displaystyle y=ax+b, deci panta fiecărei drepte este coeficientul lui x\displaystyle x. Pentru d1\displaystyle d_1, panta este md1=12\displaystyle m_{d_1}=\dfrac{1}{2}.
    md1=12\displaystyle m_{d_1}=\dfrac{1}{2}
  2. Pentru d2\displaystyle d_2, panta este coeficientul lui x\displaystyle x, adică md2=m−3\displaystyle m_{d_2}=m-3.
    md1=12\displaystyle m_{d_1}=\dfrac{1}{2}, md2=m−3\displaystyle \ m_{d_2}=m-3
  3. Două drepte sunt perpendiculare când produsul pantelor lor este −1\displaystyle -1. Scriem această condiție: md1⋅md2=−1\displaystyle m_{d_1}\cdot m_{d_2}=-1, adică 12(m−3)=−1\displaystyle \dfrac{1}{2}(m-3)=-1.
    12(m−3)=−1\displaystyle \dfrac{1}{2}(m-3)=-1
  4. Înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2 și obținem m−3=−2\displaystyle m-3=-2. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri și obținem m=1\displaystyle m=1.
    m−3=−2⇔m=1\displaystyle m-3=-2\Leftrightarrow m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că, dacă sin⁡2x=12\displaystyle \sin 2x=\frac{1}{2}, atunci (sin⁡x+cos⁡x)2=32\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=sin⁡x\displaystyle a=\sin x și b=cos⁡x\displaystyle b=\cos x.
    (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x
  2. Grupăm termenii sin⁡2x\displaystyle \sin^2 x și cos⁡2x\displaystyle \cos^2 x și folosim identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1.
    sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=1+2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x
  3. Aplicăm formula sinusului unghiului dublu, sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x, și obținem expresia în funcție de sin⁡2x\displaystyle \sin 2x.
    (sin⁡x+cos⁡x)2=1+sin⁡2x\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x
  4. Înlocuim sin⁡2x\displaystyle \sin 2x cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, valoarea dată în ipoteză, și calculăm suma.
    1+12=32\displaystyle 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea X(a,b)=(ab9ba)\displaystyle X(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(X(3,1))=0\displaystyle \det(X(3,1))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=3\displaystyle a=3 și b=1\displaystyle b=1 în matricea X(a,b)\displaystyle X(a,b). Elementul b\displaystyle b devine 1\displaystyle 1, iar elementul 9b\displaystyle 9b devine 9\displaystyle 9.
    X(3,1)=(3193)\displaystyle X(3,1)=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc. Aici obținem:
    det⁡(X(3,1))=∣3193∣=3⋅3−9⋅1\displaystyle \det(X(3,1))=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{vmatrix}=3\cdot 3-9\cdot 1
  3. Efectuăm înmulțirile: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9 și 9⋅1=9\displaystyle 9\cdot 1=9. Apoi scădem, iar rezultatul este 0\displaystyle 0, deci relația cerută este adevărată.
    9−9=0\displaystyle 9-9=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea X(a,b)=(ab9ba)\displaystyle X(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Demonstrați că X(a,b)X(c,d)=X(ac+9bd,ad+bc)\displaystyle X(a,b)X(c,d)=X(ac+9bd,ad+bc), pentru orice numere reale a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c și d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele: X(a,b)=(ab9ba)\displaystyle X(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix} și X(c,d)=(cd9dc)\displaystyle X(c,d)=\begin{pmatrix} c & d \\ 9d & c \end{pmatrix}.
    X(a,b)X(c,d)=(ab9ba)(cd9dc)\displaystyle X(a,b)X(c,d)=\begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c & d \\ 9d & c \end{pmatrix}
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este a⋅c+b⋅9d=ac+9bd\displaystyle a\cdot c+b\cdot 9d=ac+9bd, iar cel de pe linia 1, coloana 2 este a⋅d+b⋅c=ad+bc\displaystyle a\cdot d+b\cdot c=ad+bc.
    (ac+9bd, ad+bc)\displaystyle \left(ac+9bd,\ ad+bc\right)
  3. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este 9b⋅c+a⋅9d=9bc+9ad\displaystyle 9b\cdot c+a\cdot 9d=9bc+9ad, iar cel de pe linia 2, coloana 2 este 9b⋅d+a⋅c=9bd+ac\displaystyle 9b\cdot d+a\cdot c=9bd+ac.
    (9bc+9ad, 9bd+ac)\displaystyle \left(9bc+9ad,\ 9bd+ac\right)
  4. Adunăm rezultatele într-o singură matrice.
    X(a,b)X(c,d)=(ac+9bdad+bc9bc+9ad9bd+ac)\displaystyle X(a,b)X(c,d)=\begin{pmatrix} ac+9bd & ad+bc \\ 9bc+9ad & 9bd+ac \end{pmatrix}
  5. Avem 9bc+9ad=9(ad+bc)\displaystyle 9bc+9ad=9(ad+bc) și 9bd+ac=ac+9bd\displaystyle 9bd+ac=ac+9bd. Astfel, pe diagonala principală apare ac+9bd\displaystyle ac+9bd, pe linia 1 coloana 2 apare ad+bc\displaystyle ad+bc, iar pe linia 2 coloana 1 apare de 9 ori acest element.
    (ac+9bdad+bc9(ad+bc)ac+9bd)\displaystyle \begin{pmatrix} ac+9bd & ad+bc \\ 9(ad+bc) & ac+9bd \end{pmatrix}
  6. Matricea are forma (xy9yx)\displaystyle \begin{pmatrix} x & y \\ 9y & x \end{pmatrix} cu x=ac+9bd\displaystyle x=ac+9bd și y=ad+bc\displaystyle y=ad+bc, deci este X(x,y)\displaystyle X(x,y), pentru orice a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d reale.
    (ac+9bdad+bc9(ad+bc)ac+9bd)=X(ac+9bd,ad+bc)\displaystyle \begin{pmatrix} ac+9bd & ad+bc \\ 9(ad+bc) & ac+9bd \end{pmatrix}=X(ac+9bd,ad+bc)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea X(a,b)=(ab9ba)\displaystyle X(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați perechile de numere întregi (m,n)\displaystyle (m,n) pentru care det⁡(X(m,n))=1\displaystyle \det(X(m,n))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea X(m,n)=(mn9nm)\displaystyle X(m,n)=\begin{pmatrix} m & n \\ 9n & m \end{pmatrix} și calculăm determinantul ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(X(m,n))=m⋅m−n⋅9n\displaystyle \det(X(m,n))=m\cdot m-n\cdot 9n.
    det⁡(X(m,n))=m2−9n2\displaystyle \det(X(m,n))=m^2-9n^2
  2. Punem condiția din enunț: det⁡(X(m,n))=1\displaystyle \det(X(m,n))=1, adică m2−9n2=1\displaystyle m^2-9n^2=1.
    m2−9n2=1\displaystyle m^2-9n^2=1
  3. Scriem membrul stâng ca diferență de pătrate, folosind a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b) cu a=m\displaystyle a=m și b=3n\displaystyle b=3n: m2−(3n)2=(m−3n)(m+3n)\displaystyle m^2-(3n)^2=(m-3n)(m+3n).
    (m−3n)(m+3n)=1\displaystyle (m-3n)(m+3n)=1
  4. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi, m−3n\displaystyle m-3n și m+3n\displaystyle m+3n sunt numere întregi cu produsul 1\displaystyle 1. Singurele descompuneri ale lui 1\displaystyle 1 în factori întregi sunt 1⋅1\displaystyle 1\cdot 1 și (−1)⋅(−1)\displaystyle (-1)\cdot(-1), deci ambii factori sunt egali cu 1\displaystyle 1 sau ambii sunt egali cu −1\displaystyle -1.
    m−3n=m+3n=1 sau m−3n=m+3n=−1\displaystyle m-3n=m+3n=1\text{ sau }m-3n=m+3n=-1
  5. Cum cei doi factori sunt egali, diferența lor este 0\displaystyle 0: (m+3n)−(m−3n)=6n=0\displaystyle (m+3n)-(m-3n)=6n=0, deci n=0\displaystyle n=0. Atunci m\displaystyle m este egal cu valoarea comună a factorilor, adică m=1\displaystyle m=1 sau m=−1\displaystyle m=-1. Perechile sunt (1,0)\displaystyle (1,0) și (−1,0)\displaystyle (-1,0), iar verificarea dă (±1)2−0=1\displaystyle (\pm 1)^2-0=1.
    (−1,0) sau (1,0)\displaystyle (-1,0)\text{ sau }(1,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3−4X2−7X+m\displaystyle f=2X^3-4X^2-7X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=9\displaystyle m=9, arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=9\displaystyle m=9, polinomul devine f=2X3−4X2−7X+9\displaystyle f=2X^3-4X^2-7X+9.
    f=2X3−4X2−7X+9\displaystyle f=2X^3-4X^2-7X+9
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului, ca să calculăm f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=2⋅13−4⋅12−7⋅1+9\displaystyle f(1)=2\cdot 1^3-4\cdot 1^2-7\cdot 1+9
  3. Puterile lui 1\displaystyle 1 sunt egale cu 1\displaystyle 1, deci efectuăm înmulțirile: 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, 4⋅1=4\displaystyle 4\cdot 1=4, 7⋅1=7\displaystyle 7\cdot 1=7.
    f(1)=2−4−7+9\displaystyle f(1)=2-4-7+9
  4. Calculăm suma: 2−4=−2\displaystyle 2-4=-2, apoi −2−7=−9\displaystyle -2-7=-9, apoi −9+9=0\displaystyle -9+9=0. Deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0, ceea ce trebuia arătat.
    2−4−7+9=0\displaystyle 2-4-7+9=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3−4X2−7X+m\displaystyle f=2X^3-4X^2-7X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X+2\displaystyle X+\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X+2\displaystyle X+\sqrt{2} exact când −2\displaystyle -\sqrt{2} este rădăcină a lui f\displaystyle f, deci condiția este f(−2)=0\displaystyle f(-\sqrt{2})=0.
    f(−2)=0\displaystyle f(-\sqrt{2})=0
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu −2\displaystyle -\sqrt{2} în f=2X3−4X2−7X+m\displaystyle f=2X^3-4X^2-7X+m și obținem relația de mai jos, deoarece (−2)3=−22\displaystyle (-\sqrt{2})^3=-2\sqrt{2} și (−2)2=2\displaystyle (-\sqrt{2})^2=2.
    2⋅(−22)−4⋅2−7⋅(−2)+m=0\displaystyle 2\cdot(-2\sqrt{2})-4\cdot 2-7\cdot(-\sqrt{2})+m=0
  3. Efectuăm calculele: −42−8+72+m=0\displaystyle -4\sqrt{2}-8+7\sqrt{2}+m=0, adică 32−8+m=0\displaystyle 3\sqrt{2}-8+m=0.
    32−8+m=0\displaystyle 3\sqrt{2}-8+m=0
  4. Din 32−8+m=0\displaystyle 3\sqrt{2}-8+m=0 rezultă valoarea lui m\displaystyle m.
    m=8−32\displaystyle m=8-3\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3−4X2−7X+m\displaystyle f=2X^3-4X^2-7X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că suma a două rădăcini ale polinomului f\displaystyle f este egală cu 1.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rădăcinile polinomului f\displaystyle f cu x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3. Din prima relație a lui Viète, suma rădăcinilor este −a2a3\displaystyle -\dfrac{a_2}{a_3}, unde a3=2\displaystyle a_3=2 și a2=−4\displaystyle a_2=-4.
    x1+x2+x3=−−42=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-4}{2}=2
  2. Presupunem că x1+x2=1\displaystyle x_1+x_2=1. Înlocuim în x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2 și obținem 1+x3=2\displaystyle 1+x_3=2, deci x3=1\displaystyle x_3=1.
    x1+x2=1 și x1+x2+x3=2⇒x3=1\displaystyle x_1+x_2=1\text{ și }x_1+x_2+x_3=2\Rightarrow x_3=1
  3. Deoarece 1\displaystyle 1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, avem f(1)=0\displaystyle f(1)=0. Calculăm f(1)=2⋅13−4⋅12−7⋅1+m\displaystyle f(1)=2\cdot 1^3-4\cdot 1^2-7\cdot 1+m.
    f(1)=2−4−7+m=m−9\displaystyle f(1)=2-4-7+m=m-9
  4. Din f(1)=0\displaystyle f(1)=0 rezultă m−9=0\displaystyle m-9=0, deci m=9\displaystyle m=9.
    f(1)=0⇒m=9\displaystyle f(1)=0\Rightarrow m=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex+1\displaystyle f(x)=(x-1)e^x+1.

Arătați că f′(x)=xex\displaystyle f'(x)=xe^x, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția are un termen care este produs, (x−1)ex\displaystyle (x-1)e^x, și o constantă 1\displaystyle 1. Derivata constantei este 0\displaystyle 0, deci derivăm produsul cu formula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', unde u=x−1\displaystyle u=x-1 și v=ex\displaystyle v=e^x.
    f′(x)=((x−1)ex)′+(1)′=((x−1)ex)′\displaystyle f'(x)=\left((x-1)e^x\right)'+(1)'=\left((x-1)e^x\right)'
  2. Aplicăm regula de derivare a produsului. Derivata lui x−1\displaystyle x-1 este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ex\displaystyle e^x este tot ex\displaystyle e^x.
    f′(x)=(x−1)′ex+(x−1)(ex)′\displaystyle f'(x)=(x-1)'e^x+(x-1)(e^x)'
  3. Înlocuim derivatele calculate: (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    f′(x)=1⋅ex+(x−1)ex=ex+(x−1)ex\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x=e^x+(x-1)e^x
  4. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem: 1+(x−1)=x\displaystyle 1+(x-1)=x. Obținem exact expresia cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    ex+(x−1)ex=ex(1+x−1)=xex\displaystyle e^x+(x-1)e^x=e^x\left(1+x-1\right)=xe^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex+1\displaystyle f(x)=(x-1)e^x+1.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre −∞\displaystyle -\infty este dreapta y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}f(x), dacă această limită este finită. Calculăm deci limita lui f(x)\displaystyle f(x) când x→−∞\displaystyle x\to-\infty.
    L=lim⁡x→−∞((x−1)ex+1)\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}\left((x-1)e^{x}+1\right)
  2. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty, produsul (x−1)ex\displaystyle (x-1)e^{x} este o nedeterminare de forma −∞⋅0\displaystyle -\infty\cdot 0. O eliminăm scriind ex=1e−x\displaystyle e^{x}=\dfrac{1}{e^{-x}}, deci produsul devine o fracție.
    (x−1)ex+1=x−1e−x+1\displaystyle (x-1)e^{x}+1=\frac{x-1}{e^{-x}}+1
  3. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty, numărătorul x−1→−∞\displaystyle x-1\to-\infty, iar numitorul e−x→+∞\displaystyle e^{-x}\to+\infty. Avem nedeterminarea −∞∞\displaystyle \dfrac{-\infty}{\infty}, pe care o rezolvăm cu regula lui l'Hôpital: derivăm separat numărătorul și numitorul, adică (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1 și (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}.
    lim⁡x→−∞x−1e−x=lim⁡x→−∞1−e−x\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x-1}{e^{-x}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}}
  4. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, e−x→+∞\displaystyle e^{-x}\to+\infty, deci 1−e−x→0\displaystyle \dfrac{1}{-e^{-x}}\to 0. Adunăm 1\displaystyle 1 și obținem limita funcției f\displaystyle f.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(x−1e−x+1)=0+1=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x-1}{e^{-x}}+1\right)=0+1=1
  5. Limita la −∞\displaystyle -\infty este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre −∞\displaystyle -\infty dreapta y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex+1\displaystyle f(x)=(x-1)e^x+1.

Demonstrați că en≤nn−1\displaystyle \sqrt[n]{e}\leq\frac{n}{n-1}, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm f(x)=(x−1)ex+1\displaystyle f(x)=(x-1)e^x+1 cu regula produsului: (x−1)′ex+(x−1)(ex)′\displaystyle (x-1)'e^x+(x-1)(e^x)'.
    f′(x)=ex+(x−1)ex=xex\displaystyle f'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x
  2. Pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) avem x≥0\displaystyle x\geq 0 și ex>0\displaystyle e^x>0, deci f′(x)=xex≥0\displaystyle f'(x)=xe^x\geq 0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f′(x)=xex≥0 pe [0,+∞)⇒f cresca˘toare\displaystyle f'(x)=xe^x\geq 0\text{ pe }[0,+\infty)\Rightarrow f\text{ crescătoare}
  3. Calculăm f(0)=(0−1)e0+1=−1+1=0\displaystyle f(0)=(0-1)e^0+1=-1+1=0. Cum f\displaystyle f este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), pentru x≥0\displaystyle x\geq 0 avem f(x)≥f(0)=0\displaystyle f(x)\geq f(0)=0.
    f(0)=0⇒f(x)≥0\displaystyle f(0)=0\Rightarrow f(x)\geq 0, ∀x≥0\displaystyle \ \forall x\geq 0
  4. Pentru n≥2\displaystyle n\geq 2 avem 1n>0\displaystyle \frac{1}{n}>0, deci putem lua x=1n\displaystyle x=\frac{1}{n} în inegalitatea f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq 0.
    f(1n)≥0⇒(1n−1)e1n+1≥0\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right)\geq 0\Rightarrow\left(\frac{1}{n}-1\right)e^{\frac{1}{n}}+1\geq 0
  5. Scriem 1n−1=1−nn=−n−1n\displaystyle \frac{1}{n}-1=\frac{1-n}{n}=-\frac{n-1}{n}, deci inegalitatea devine −n−1ne1n+1≥0\displaystyle -\frac{n-1}{n}e^{\frac{1}{n}}+1\geq 0, adică n−1ne1n≤1\displaystyle \frac{n-1}{n}e^{\frac{1}{n}}\leq 1.
    n−1n e1n≤1\displaystyle \frac{n-1}{n}\,e^{\frac{1}{n}}\leq 1
  6. Deoarece n−1>0\displaystyle n-1>0, înmulțim inegalitatea cu nn−1>0\displaystyle \frac{n}{n-1}>0 și obținem e1n≤nn−1\displaystyle e^{\frac{1}{n}}\leq\frac{n}{n-1}. Cum e1n=en\displaystyle e^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{e}, rezultă inegalitatea cerută.
    en≤nn−1\displaystyle \sqrt[n]{e}\leq\frac{n}{n-1}, ∀n∈N\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle \ n\geq 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:[2,+∞)→R\displaystyle f:[2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx−2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x-2}.

Arătați că ∫23f(x)x−2 dx=43\displaystyle \int_2^3 f(x)\sqrt{x-2}\,dx=\frac{4}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx−2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x-2} în integrală: ∫23f(x)x−2 dx=∫23xx−2⋅x−2 dx\displaystyle \int_2^3 f(x)\sqrt{x-2}\,dx=\int_2^3 x\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x-2}\,dx.
    ∫23xx−2⋅x−2 dx\displaystyle \int_2^3 x\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x-2}\,dx
  2. Pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3] avem x−2≥0\displaystyle x-2\ge 0, deci x−2⋅x−2=x−2\displaystyle \sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x-2}=x-2. Integrandul devine polinomul x(x−2)=x2−2x\displaystyle x(x-2)=x^2-2x.
    ∫23x(x−2) dx=∫23(x2−2x) dx\displaystyle \int_2^3 x(x-2)\,dx=\int_2^3 (x^2-2x)\,dx
  3. O primitivă a lui x2−2x\displaystyle x^2-2x este x33−x2\displaystyle \dfrac{x^3}{3}-x^2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫23x(x−2) dx=(x33−x2)∣23\displaystyle \int_2^3 x(x-2)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)\Big|_2^3
  4. Calculăm: în 3\displaystyle 3 obținem 273−9=9−9=0\displaystyle \dfrac{27}{3}-9=9-9=0, iar în 2\displaystyle 2 obținem 83−4\displaystyle \dfrac{8}{3}-4. Scădem cele două valori.
    9−9−83+4=43\displaystyle 9-9-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:[2,+∞)→R\displaystyle f:[2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx−2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x-2}.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x+2)x+2⋅ex\displaystyle g(x)=\frac{f(x+2)}{x+2}\cdot\sqrt{e^x} este egal cu π\displaystyle \pi.
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g\displaystyle g în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx.
    V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x+2\displaystyle x+2 în f(x)=xx−2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x-2}. Cum (x+2)−2=x\displaystyle (x+2)-2=x, obținem f(x+2)=(x+2)x\displaystyle f(x+2)=(x+2)\sqrt{x}.
    f(x+2)=(x+2)x\displaystyle f(x+2)=(x+2)\sqrt{x}
  3. Înlocuim în g\displaystyle g și simplificăm cu x+2≠0\displaystyle x+2\neq 0: g(x)=(x+2)xx+2⋅ex=x⋅ex\displaystyle g(x)=\dfrac{(x+2)\sqrt{x}}{x+2}\cdot\sqrt{e^x}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{e^x}. Produsul radicalilor este xex\displaystyle \sqrt{xe^x}.
    g(x)=xex\displaystyle g(x)=\sqrt{xe^x}
  4. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] avem xex≥0\displaystyle xe^x\ge 0, deci g2(x)=xex\displaystyle g^2(x)=xe^x. Atunci V=π∫01xex dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 xe^x\,dx.
    V=π∫01xex dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 xe^x\,dx
  5. Integrăm prin părți: u=x\displaystyle u=x, dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx, v=ex\displaystyle v=e^x. Rezultă ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x. Deci V=π(x−1)ex∣01\displaystyle V=\pi(x-1)e^x\Big|_0^1.
    V=π(x−1)ex∣01\displaystyle V=\pi(x-1)e^x\Big|_0^1
  6. Pentru x=1\displaystyle x=1: (1−1)e1=0\displaystyle (1-1)e^1=0. Pentru x=0\displaystyle x=0: (0−1)e0=−1\displaystyle (0-1)e^0=-1. Deci V=π(0−(−1))=π\displaystyle V=\pi\left(0-(-1)\right)=\pi.
    V=π(0−(−1)⋅e0)=π\displaystyle V=\pi\left(0-(-1)\cdot e^0\right)=\pi
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:[2,+∞)→R\displaystyle f:[2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx−2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x-2}.

Calculați lim⁡x→+∞∫3xf(t)⋅1t−2 dtx2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_3^x f(t)\cdot\frac{1}{\sqrt{t-2}}\,dt}{x^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(t)=tt−2\displaystyle f(t)=t\sqrt{t-2} în integrand: f(t)⋅1t−2=tt−2⋅1t−2\displaystyle f(t)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{t-2}}=t\sqrt{t-2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{t-2}}. Pentru t≥3\displaystyle t\geq 3 avem t−2>0\displaystyle \sqrt{t-2}>0, deci putem simplifica.
    f(t)⋅1t−2=t\displaystyle f(t)\cdot\frac{1}{\sqrt{t-2}}=t
  2. Integrala devine ∫3xt dt\displaystyle \int_3^x t\,dt. O primitivă a lui t\displaystyle t este t22\displaystyle \dfrac{t^2}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: x22−322\displaystyle \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{3^2}{2}.
    ∫3xt dt=t22∣3x=x2−92\displaystyle \int_3^x t\,dt=\frac{t^2}{2}\Big|_3^x=\frac{x^2-9}{2}
  3. Înlocuim rezultatul în limită: raportul este x2−92x2=x2−92x2\displaystyle \dfrac{\frac{x^2-9}{2}}{x^2}=\dfrac{x^2-9}{2x^2}.
    lim⁡x→+∞x2−92x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-9}{2x^2}
  4. Împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2: x2−92x2=1−9x22\displaystyle \dfrac{x^2-9}{2x^2}=\dfrac{1-\frac{9}{x^2}}{2}. Cum 9x2→0\displaystyle \dfrac{9}{x^2}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, limita este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    lim⁡x→+∞x2−92x2=12\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-9}{2x^2}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.