Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 2 \cdot (1{,}1 + 0{,}3) - 1{,}8 = 1

.

Vezi rezolvarea

Se calculează mai întâi paranteza, adunând cele două numere zecimale.
$\displaystyle 1{,}1 + 0{,}3 = 1{,}4$
Se înlocuiește rezultatul parantezei în expresia inițială, obținând înmulțirea și scăderea de efectuat.
$\displaystyle 2 \cdot (1{,}1 + 0{,}3) - 1{,}8 = 2 \cdot 1{,}4 - 1{,}8 =$
Se efectuează înmulțirea dintre $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 1{,}4$ .
$\displaystyle 2 \cdot 1{,}4 = 2{,}8$
Se efectuează scăderea finală, obținând rezultatul cerut.
$\displaystyle = 2{,}8 - 1{,}8 = 1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = 2x + 4

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle f(a) = a \cdot f(0)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(0)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ în formula funcției: $\displaystyle f(0)=2\cdot 0+4$ .
$\displaystyle f(0)=4$
Calculăm $\displaystyle f(a)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în formula funcției.
$\displaystyle f(0)=4$ , $\displaystyle \ f(a)=2a+4$
Înlocuim $\displaystyle f(a)$ și $\displaystyle f(0)$ în relația $\displaystyle f(a)=a\cdot f(0)$ și obținem ecuația în $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 2a+4=4a$
Trecem termenii cu $\displaystyle a$ într-o parte: $\displaystyle 4=4a-2a$ , deci $\displaystyle 4=2a$ . Împărțim la $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2a+4=4a\Rightarrow 2a=4\Rightarrow a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{2-x} = \sqrt{x^2 + x - 1}

.

Vezi rezolvarea

Se stabilesc condițiile de existență (domeniul) pentru ca expresiile de sub radical să fie nenegative: $\displaystyle 2-x\geq 0$ și $\displaystyle x^{2}+x-1\geq 0$ .
$\displaystyle 2-x\geq 0\text{ și }x^2+x-1\geq 0$
Deoarece ambii membri ai ecuației sunt radicali (deci nenegativi), ecuația este echivalentă cu egalitatea expresiilor de sub radical, cu condiția ca acestea să fie nenegative. Se ridică la pătrat ambii membri.
$\displaystyle 2-x = x^2+x-1$
Se aduc toți termenii într-un membru și se obține ecuația de gradul al doilea echivalentă.
$\displaystyle 2-x=x^2+x-1$ , $\displaystyle \ x^2+2x-3=0$
Se rezolvă ecuația de gradul al doilea folosind formula soluțiilor sau descompunerea în factori.
$\displaystyle x^2+2x-3=(x-1)(x+3)=0$
Se obțin cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=-3$
Se verifică fiecare soluție în condițiile de existență inițiale: pentru $\displaystyle x=1$ , avem $\displaystyle 2-x=1\geq 0$ și $\displaystyle x^{2}+x-1=1\geq 0$ , deci soluția este valabilă.
$\displaystyle x=1:\ 2-1=1\geq 0$ , $\displaystyle \ 1^2+1-1=1\geq 0$
Se verifică soluția $\displaystyle x=-3$ în condițiile de existență: $\displaystyle 2-x=5\geq 0$ și $\displaystyle x^{2}+x-1=5\geq 0$ , deci și această soluție este valabilă.
$\displaystyle x=-3:\ 2-(-3)=5\geq 0$ , $\displaystyle \ (-3)^2+(-3)-1=5\geq 0$
Ambele soluții verifică atât ecuația inițială (prin egalitatea radicalilor: $\displaystyle \sqrt{1}=\sqrt{1}$ și $\displaystyle \sqrt{5}=\sqrt{5}$ ), cât și condițiile de existență, deci sunt soluții valide ale ecuației.
$\displaystyle x=-3\text{ sau }x=1\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle n

din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea

\displaystyle n^3 > 10

.

Vezi rezolvarea

Se identifică mulțimea numerelor naturale de o cifră, adică numerele de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
Se numără câte elemente are această mulțime, adică numărul de cazuri posibile.
$\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}$
Se verifică pentru fiecare număr $\displaystyle n$ din mulțime dacă îndeplinește inegalitatea $\displaystyle n^{3} > 10$ , calculând cuburile.
$\displaystyle 0^3=0$ , $\displaystyle \ 1^3=1$ , $\displaystyle \ 2^3=8$ , $\displaystyle \ 3^3=27$ , $\displaystyle \ 4^3=64$ , $\displaystyle \ 5^3=125$ , $\displaystyle \ 6^3=216$ , $\displaystyle \ 7^3=343$ , $\displaystyle \ 8^3=512$ , $\displaystyle \ 9^3=729$
Se compară fiecare cub cu $\displaystyle 10$ pentru a stabili care numere verifică inegalitatea $\displaystyle n^{3} > 10$ ; se observă că $\displaystyle 0,1,2$ nu verifică ( $\displaystyle 0,1,8 \leq 10$ ), iar $\displaystyle 3,4,5,6,7,8,9$ verifică.
$\displaystyle n\in\{3,4,5,6,7,8,9\}$
Se numără cazurile favorabile, adică numerele care verifică inegalitatea.
$\displaystyle 7\text{ cazuri favorabile}$
Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle p = \frac{7}{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,4)

,

\displaystyle B(2,0)

și

\displaystyle C(8,2)

. Determinați distanța dintre punctul

\displaystyle A

și mijlocul segmentului

\displaystyle BC

.

Vezi rezolvarea

Se scrie formula pentru coordonatele mijlocului unui segment, aplicată segmentului $\displaystyle BC$ , folosind coordonatele punctelor $\displaystyle B(2,0)$ și $\displaystyle C(8,2)$
$\displaystyle M\left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)=M\left(\dfrac{2+8}{2},\dfrac{0+2}{2}\right)$
Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele mijlocului $\displaystyle M$ al segmentului $\displaystyle BC$
$\displaystyle M(5,1)$
Se scrie formula distanței dintre punctul $\displaystyle A(1,4)$ și punctul $\displaystyle M(5,1)$
$\displaystyle AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}=\sqrt{(5-1)^2+(1-4)^2}$
Se calculează pătratele diferențelor de coordonate și se însumează sub radical
$\displaystyle AM=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}$
Se extrage radicalul și se obține valoarea finală a distanței $\displaystyle AM$
$\displaystyle AM=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle BC = 10

și

\displaystyle \sin B = \frac{2}{5}

. Arătați că

\displaystyle AC = 4

.

Vezi rezolvarea

Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în $\displaystyle A$ , deci $\displaystyle BC$ este ipotenuza, iar catetele sunt $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle \angle A = 90^\circ$ , $\displaystyle \ BC \text{ este ipotenuză}$
Se stabilește care este cateta opusă unghiului $\displaystyle B$ : în triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ , cateta opusă unghiului $\displaystyle B$ este $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle AC \text{ este cateta opusă }$ $\displaystyle \text{unghiului } B$
Se aplică definiția sinusului într-un triunghi dreptunghic (cateta opusă supra ipotenuză) și se înlocuiesc valorile cunoscute.
$\displaystyle \sin B = \frac{AC}{BC}$ , $\displaystyle \ \frac{2}{5} = \frac{AC}{10}$
Se rezolvă ecuația obținută prin înmulțire încrucișată pentru a afla valoarea lui $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle AC = \frac{2 \cdot 10}{5}$
Se efectuează calculul final și se obține valoarea cerută.
$\displaystyle AC = \frac{2 \cdot 10}{5} = 4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2+2x & x \\ -x & 2-2x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1)) = 1

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește $\displaystyle x = 1$ în matricea $\displaystyle A(x)$ , calculând fiecare element în parte: $\displaystyle 2+2x = 2+2=4$ , $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle -x=-1$ , $\displaystyle 2-2x=2-2=0$ .
$\displaystyle A(1) = \begin{pmatrix} 2+2\cdot 1 & 1 \\ -1 & 2-2\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Se scrie determinantul matricei $\displaystyle A(1)$ folosind formula determinantului de ordinul doi.
$\displaystyle \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 4 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) =$
Se efectuează calculele: produsul $\displaystyle 4\cdot 0$ este $\displaystyle 0$ , iar produsul $\displaystyle 1\cdot(-1)$ este $\displaystyle -1$ , deci scăderea devine $\displaystyle 0-(-1)=0+1$ .
$\displaystyle 0 - (-1) = 0 + 1$
Se obține valoarea finală a determinantului.
$\displaystyle \det(A(1)) = 1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2+2x & x \\ -x & 2-2x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A(2) \cdot A(1) + 3A(-2) = 16 I_2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle x=1$ în $\displaystyle A(x)$ . Pentru $\displaystyle x=2$ obținem elementele $\displaystyle 2+4=6$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle -2$ și $\displaystyle 2-4=-2$ . Pentru $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(1)=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle A(2)\cdot A(1)$ înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: $\displaystyle 6\cdot 4+2\cdot(-1)=22$ , $\displaystyle 6\cdot 1+2\cdot 0=6$ , $\displaystyle (-2)\cdot 4+(-2)\cdot(-1)=-6$ , $\displaystyle (-2)\cdot 1+(-2)\cdot 0=-2$ .
$\displaystyle A(2)\cdot A(1)=\begin{pmatrix} 22 & 6 \\ -6 & -2 \end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(-2)$ înlocuind $\displaystyle x=-2$ : $\displaystyle 2+2\cdot(-2)=-2$ , elementul din dreapta sus este $\displaystyle -2$ , elementul din stânga jos este $\displaystyle -(-2)=2$ , iar $\displaystyle 2-2\cdot(-2)=6$ .
$\displaystyle A(-2)=\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$
Înmulțim matricea $\displaystyle A(-2)$ cu $\displaystyle 3$ , element cu element.
$\displaystyle 3A(-2)=\begin{pmatrix} -6 & -6 \\ 6 & 18 \end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element: $\displaystyle 22+(-6)=16$ , $\displaystyle 6+(-6)=0$ , $\displaystyle -6+6=0$ , $\displaystyle -2+18=16$ . Rezultatul este $\displaystyle 16$ ori matricea unitate $\displaystyle I_2$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle A(2)\cdot A(1)+3A(-2)=\begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}=16I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2+2x & x \\ -x & 2-2x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul întreg nenul

\displaystyle m

pentru care matricea

\displaystyle B(m) = \frac{1}{m}A(-m)

este inversa matricei

\displaystyle A(m)

.

Vezi rezolvarea

Se scrie condiția ca matricea $\displaystyle B(m)$ să fie inversa matricei $\displaystyle A(m)$ : produsul lor (în oricare ordine) trebuie să fie matricea unitate $\displaystyle I_2$ .
$\displaystyle B(m)\text{ este inversa lui }A(m)\Leftrightarrow A(m)\cdot B(m)=B(m)\cdot A(m)=I_2$
Se calculează efectiv produsul $\displaystyle A(m)\cdot B(m)$ , folosind expresiile elementelor celor două matrice, și se grupează termenii.
$\displaystyle A(m)\cdot B(m)=\begin{pmatrix}\frac{4-3m^2}{m} & 0\\ 0 & \frac{4-3m^2}{m}\end{pmatrix}$
Se observă că matricea obținută este un multiplu scalar al matricei unitate, ceea ce permite scrierea condiției de inversabilitate sub forma unei ecuații scalare.
$\displaystyle \frac{4-3m^2}{m}I_2=I_2$
Din egalitatea a două matrice scalare de forma $\displaystyle kI_{2}=I_{2}$ , rezultă egalitatea scalarilor $\displaystyle k=1$ , deci se obține ecuația în $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \frac{4-3m^2}{m}=1$
Se aduce ecuația la forma unei ecuații polinomiale de gradul al doilea, eliminând numitorul ( $\displaystyle m\neq 0$ ).
$\displaystyle 4-3m^2=m\Leftrightarrow 3m^2+m-4=0$
Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea.
$\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot3\cdot(-4)=1+48=49$
Se determină rădăcinile ecuației folosind formula cu discriminant.
$\displaystyle m_{1,2}=\frac{-1\pm7}{6}\Rightarrow m_1=1$ , $\displaystyle \ m_2=-\frac{4}{3}$
Se verifică cele două soluții în raport cu condițiile problemei ( $\displaystyle m\neq 0$ și, eventual, alte restricții); se elimină valoarea care nu satisface condițiile și se păstrează soluția validă.
$\displaystyle m=-\frac{4}{3}$ , $\displaystyle \text{ care nu convine, sau } m=1$ , $\displaystyle \text{ care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f = X^3 - 3X^2 - 3X + a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a = 1

, arătați că

\displaystyle f(-1) = 0

.

Vezi rezolvarea

Se consideră cazul particular $\displaystyle a = 1$ , obținându-se polinomul $\displaystyle f = X^3 - 3X^2 - 3X + 1$ .
$\displaystyle f = X^3 - 3X^2 - 3X + 1$
Se calculează valoarea polinomului în $\displaystyle x = -1$ , înlocuind $\displaystyle X$ cu $\displaystyle -1$ în expresia lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 1 =$
Se calculează puterile lui $\displaystyle -1$ : $\displaystyle (-1)^3 = -1$ și $\displaystyle (-1)^2 = 1$ , apoi se înmulțesc cu coeficienții corespunzători.
$\displaystyle (-1)^3 = -1$ , $\displaystyle \ (-1)^2 = 1 \Rightarrow -3 \cdot (-1)^2 = -3$ , $\displaystyle \ -3 \cdot (-1) = 3$
Se adună toți termenii obținuți pentru a determina valoarea finală a lui $\displaystyle f(-1)$ .
$\displaystyle = -1 - 3 + 3 + 1 = 0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f = X^3 - 3X^2 - 3X + a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle 3x_1 + 3x_2 + 3x_3 - x_1 x_2 x_3 = 3

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Identificăm coeficienții polinomului $\displaystyle f = X^{3} - 3X^{2} - 3X + a$ (grad $\displaystyle 3$ , coeficient dominant $\displaystyle 1$ ) și scriem relațiile lui Viète pentru rădăcinile $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ : suma rădăcinilor, suma produselor două câte două și produsul rădăcinilor.
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=3$ , $\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3$ , $\displaystyle \ x_1x_2x_3=-a$
Conform cerinței problemei, rădăcinile trebuie să verifice relația $\displaystyle 3(x_{1}+x_{2}+x_{3}) - x_{1}x_{2}x_{3} = 3$ . Înlocuim valorile obținute din relațiile lui Viète (suma rădăcinilor $\displaystyle = 3$ și produsul rădăcinilor $\displaystyle = -a$ ) în expresia $\displaystyle 3x_{1}+3x_{2}+3x_{3} - x_{1}x_{2}x_{3}$ , obținând o expresie în funcție de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 3x_1+3x_2+3x_3-x_1x_2x_3=3\cdot 3-(-a)=9+a$
Punem expresia obținută egală cu valoarea cerută de enunț, adică $\displaystyle 3$ , și rezolvăm ecuația liniară în $\displaystyle a$ pentru a determina valoarea căutată.
$\displaystyle 9+a=3\Rightarrow a=3-9\Rightarrow a=-6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f = X^3 - 3X^2 - 3X + a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a = 9

, determinați rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește $\displaystyle a = 9$ în expresia polinomului $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f = X^3 - 3X^2 - 3X + 9$
Se caută o rădăcină rațională printre divizorii termenului liber ( $\displaystyle \pm 1, \pm 3, \pm 9$ ) și se verifică $\displaystyle x = 3$ .
$\displaystyle f(3) = 3^3 - 3\cdot 3^2 - 3\cdot 3 + 9 = 27 - 27 - 9 + 9 = 0$
Deoarece $\displaystyle f(3) = 0$ , $\displaystyle X - 3$ este factor al lui $\displaystyle f$ ; se împarte $\displaystyle f$ la $\displaystyle (X - 3)$ pentru a afla câtul.
$\displaystyle f = (X-3)(X^2 + bX + c)$
Se identifică coeficienții câtului prin efectuarea împărțirii (sau prin identificare de coeficienți), obținându-se câtul $\displaystyle X^2 - 3$ .
$\displaystyle X^3 - 3X^2 - 3X + 9 = (X-3)(X^2 - 3)$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle X - 3 = 0$ , care dă prima rădăcină.
$\displaystyle x_1 = 3$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle X^2 - 3 = 0$ , obținându-se celelalte două rădăcini reale.
$\displaystyle X^2 = 3 \Rightarrow X = \pm\sqrt{3}$
Se scriu toate cele trei rădăcini ale polinomului $\displaystyle f$ pentru $\displaystyle a = 9$ .
$\displaystyle x_1 = 3$ , $\displaystyle \ x_2 = -\sqrt{3}$ , $\displaystyle \ x_3 = \sqrt{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2 - 8}{e^x}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x) = \dfrac{(x+2)(4-x)}{e^x}

,

\displaystyle x \in \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică funcțiile din regula câtului: $\displaystyle u(x)=x^{2}-8$ , $\displaystyle v(x)=e^{x}$ , cu derivatele $\displaystyle u'(x)=2x$ și $\displaystyle v'(x)=e^{x}$ (deoarece $\displaystyle (e^{x})'=e^{x}$ ).
$\displaystyle u(x)=x^2-8$ , $\displaystyle \ u'(x)=2x$ , $\displaystyle \ v(x)=e^x$ , $\displaystyle \ v'(x)=e^x$
Se aplică formula derivatei câtului $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$ pentru funcția dată.
$\displaystyle f'(x) = \frac{2xe^x - (x^2-8)e^x}{(e^x)^2} =$
Se factorizează $\displaystyle e^x$ la numărător și se simplifică cu unul dintre factorii $\displaystyle e^x$ de la numitor, deoarece $\displaystyle (e^x)^2 = e^x \cdot e^x$ .
$\displaystyle f'(x) = \frac{e^x\left(2x - (x^2-8)\right)}{e^x \cdot e^x} = \frac{2x - (x^2-8)}{e^x}$
Se desface paranteza de la numărător și se reduc termenii asemenea.
$\displaystyle 2x - (x^2-8) = 2x - x^2 + 8 = -x^2+2x+8$
Se scrie forma obținută a derivatei și apoi se factorizează trinomul de gradul al doilea $\displaystyle -x^{2}+2x+8$ , folosind rădăcinile $\displaystyle x=-2$ și $\displaystyle x=4$ , obținând forma cerută.
$\displaystyle = \frac{-x^2 + 2x + 8}{e^x} = \frac{(x+2)(4-x)}{e^x}$ , $\displaystyle \ x \in \mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2 - 8}{e^x}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x = 0

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția sub formă de produs pentru a calcula mai ușor derivata: $\displaystyle f(x) = (x^{2}-8)\cdot e^{-x}$ .
$\displaystyle f(x) = (x^2-8)\cdot e^{-x}$
Se calculează $\displaystyle f(0)$ prin înlocuirea directă a lui $\displaystyle x=0$ în expresia funcției.
$\displaystyle f(0) = \dfrac{0^2-8}{e^0} = \dfrac{-8}{1} = -8$
Se derivează funcția folosind regula produsului: $\displaystyle (u\cdot v)' = u'v + uv'$ , unde $\displaystyle u = x^{2}-8$ , $\displaystyle v = e^{-x}$ .
$\displaystyle f'(x) = 2x\cdot e^{-x} + (x^2-8)\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}\left(2x - x^2 + 8\right)$
Se rescrie derivata sub forma unei fracții, apoi se calculează $\displaystyle f'(0)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle f'(x) = \dfrac{-x^2+2x+8}{e^x}\ \Rightarrow\ f'(0) = \dfrac{-0^2+2\cdot 0+8}{e^0} = \dfrac{8}{1} = 8$
Se centralizează valorile obținute pentru funcție și derivată în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle f(0) = -8$ , $\displaystyle \ f'(0) = 8$
Se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ , folosind formula $\displaystyle y - f(x_{0}) = f'(x_{0})(x-x_{0})$ , și se înlocuiesc valorile calculate anterior.
$\displaystyle y - f(0) = f'(0)(x-0)\ \Rightarrow\ y - (-8) = 8(x-0)$
Se simplifică relația obținută pentru a scrie ecuația finală a tangentei sub formă explicită.
$\displaystyle y - f(0) = f'(0)(x-0)$ , $\displaystyle \ y = 8x - 8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2 - 8}{e^x}

.

Demonstrați că

\displaystyle -4e^2 \le f(x) \le e^3

, pentru orice

\displaystyle x \in [-3,4]

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția sub forma $\displaystyle f(x) = (x^{2}-8)\cdot e^{-x}$ și se calculează derivata folosind regula produsului.
$\displaystyle f'(x) = 2x\cdot e^{-x} - (x^2-8)\cdot e^{-x} = e^{-x}\left(-x^2+2x+8\right)$
Se scrie derivata sub formă factorizată, ținând cont că $\displaystyle e^{-x} > 0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, apoi se rezolvă ecuația $\displaystyle f'(x) = 0$ .
$\displaystyle f'(x) = -e^{-x}(x-4)(x+2)$ , $\displaystyle \ e^{-x}>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ f'(x)=0 \Leftrightarrow (x-4)(x+2)=0 \Leftrightarrow x=-2\text{ sau }x=4$
Se studiază semnul lui $\displaystyle f'(x)$ pe intervalele determinate de rădăcinile $\displaystyle -2$ și $\displaystyle 4$ , restrânse la $\displaystyle [-3,4]$ , și se stabilește monotonia funcției.
$\displaystyle f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 \text{ sau } x = 4;\ f \text{ descrescătoare pe } [-3,-2]$ , $\displaystyle \ f \text{ crescătoare pe } [-2,4]$
Se calculează valorile funcției în capetele intervalului și în punctul critic $\displaystyle x = -2$ , care corespund extremelor locale.
$\displaystyle f(-3) = \frac{9-8}{e^{-3}} = e^3$ , $\displaystyle \quad f(-2) = \frac{4-8}{e^{-2}} = -4e^2$ , $\displaystyle \quad f(4) = \frac{16-8}{e^{4}} = \frac{8}{e^4}$
Deoarece $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle [-3,-2]$ și crescătoare pe $\displaystyle [-2,4]$ , valoarea minimă este $\displaystyle f(-2)$ , iar valoarea maximă este cea mai mare dintre valorile de la capete $\displaystyle f(-3)$ și $\displaystyle f(4)$ ; se compară aceste valori și se scrie încadrarea finală.
$\displaystyle f(-3) = e^3$ , $\displaystyle \ f(-2) = -4e^2$ , $\displaystyle \ f(4) = \frac{8}{e^4} < e^3 \Rightarrow -4e^2 \le f(x) \le e^3$ , $\displaystyle \ x \in [-3,4]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (0,+\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = 6x + \dfrac{2\ln x}{x}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{2}^{3} \left( f(x) - \frac{2\ln x}{x} \right) dx = 15

.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la expresia funcției date și se observă că, dacă din $\displaystyle f(x)$ se scade termenul $\displaystyle \dfrac{2\ln x}{x}$ , acesta se reduce complet, rămânând doar partea polinomială.
$\displaystyle f(x)-\frac{2\ln x}{x}=\left(6x+\frac{2\ln x}{x}\right)-\frac{2\ln x}{x}=6x$
Se scrie integrala cerută, se simplifică integrandul folosind observația de mai sus, obținându-se integrala funcției $\displaystyle 6x$ , apoi se determină o primitivă a acesteia.
$\displaystyle \int_{2}^{3} \left( f(x) - \frac{2\ln x}{x} \right) dx = \int_{2}^{3} 6x\, dx = 3x^2 \Big|_{2}^{3} =$
Se calculează valorile primitivei $\displaystyle 3x^2$ la capetele intervalului de integrare, înlocuind $\displaystyle x=3$ și $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle 3\cdot3^{2}=27\text{, }\quad 3\cdot2^{2}=12$
Se face diferența valorilor obținute pentru a finaliza calculul integralei definite.
$\displaystyle = 27 - 12 = 15$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (0,+\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = 6x + \dfrac{2\ln x}{x}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{e} (f(x) - 6x)\, dx = 1

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia care trebuie integrată, pornind de la funcția dată, eliminând termenul $\displaystyle 6x$ .
$\displaystyle f(x)-6x = 6x + \dfrac{2\ln x}{x} - 6x = \dfrac{2\ln x}{x}$
Se observă că derivata funcției $\displaystyle \ln x$ este $\displaystyle (\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , deci integrandul se poate scrie ca produsul dintre $\displaystyle 2\ln x$ și derivata sa.
$\displaystyle \dfrac{2\ln x}{x} = 2\ln x \cdot (\ln x)'$
Se recunoaște că expresia $\displaystyle 2\ln x \cdot (\ln x)'$ este derivata funcției $\displaystyle \ln^{2} x$ , conform regulii de derivare a funcției compuse $\displaystyle (\ln^{2} x)' = 2\ln x \cdot (\ln x)'$ , iar integrala se calculează direct folosind formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x) - 6x)\, dx = \int_{1}^{e} \frac{2\ln x}{x} dx = \int_{1}^{e} 2\ln x (\ln x)'\, dx = \ln^2 x \Big|_{1}^{e} =$
Se calculează valorile funcției $\displaystyle \ln^{2} x$ la capetele intervalului: $\displaystyle \ln e = 1$ și $\displaystyle \ln 1 = 0$ , apoi se face diferența.
$\displaystyle = \ln^2 e - \ln^2 1 = 1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (0,+\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = 6x + \dfrac{2\ln x}{x}

.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{e^2} \left( \frac{f(x)}{x} + f'(x)\ln x \right) dx = a\, f(e^2)

.

Vezi rezolvarea

Se identifică cerința problemei: trebuie determinat numărul real $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle \int_{1}^{e^2}\left(\dfrac{f(x)}{x}+f'(x)\ln x\right)dx = a\,f(e^2)$ .
$\displaystyle \int_{1}^{e^2}\left(\frac{f(x)}{x}+f'(x)\ln x\right)dx = a\,f(e^2)$
Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ , scriind $\displaystyle f(x)=6x+2\ln x\cdot x^{-1}$ și derivând al doilea termen ca produs/cât.
$\displaystyle f'(x) = 6 + \frac{2(1-\ln x)}{x^2} = 6 + \frac{2}{x^2} - \frac{2\ln x}{x^2}$
Se observă că expresia de sub integrală are exact forma derivatei unui produs: dacă notăm $\displaystyle g(x)=f(x)\ln x$ , atunci $\displaystyle g'(x) = f'(x)\ln x + f(x)\cdot(\ln x)' = f'(x)\ln x + \dfrac{f(x)}{x}$ , deci integrandul coincide cu $\displaystyle g'(x)$ .
$\displaystyle \left(f(x)\ln x\right)' = f'(x)\ln x + f(x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{f(x)}{x} + f'(x)\ln x$
Se aplică formula Leibniz-Newton pentru a calcula integrala, folosind primitiva $\displaystyle f(x)\ln x$ identificată la pasul anterior, apoi se evaluează în capetele intervalului, ținând cont că $\displaystyle \ln 1 = 0$ și $\displaystyle \ln(e^2)=2$ .
$\displaystyle \int_{1}^{e^2} \left( \frac{f(x)}{x} + f'(x)\ln x \right) dx = \int_{1}^{e^2} (f(x)\ln x)'\, dx = f(x)\ln x \Big|_{1}^{e^2} = f(e^2)\ln e^2 - f(1)\ln 1 = 2f(e^2)$
Se egalează rezultatul integralei cu membrul drept al ecuației cerute, obținându-se $\displaystyle 2f(e^2) = a f(e^2)$ . Deoarece $\displaystyle f(e^2) = 6e^2 + \dfrac{4}{e^2} \neq 0$ , se poate simplifica prin $\displaystyle f(e^2)$ , obținând valoarea lui $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 2f(e^2) = a f(e^2)\text{ și, cum } f(e^2) \neq 0$ , $\displaystyle \ a = 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani