Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, sesiunea specială varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (\sqrt{5}+2)^2-4\sqrt{5}=9

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula pătratului sumei $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , cu $\displaystyle a=\sqrt{5}$ și $\displaystyle b=2$ .
$\displaystyle (\sqrt{5}+2)^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot 2+2^2$
Calculăm fiecare termen: $\displaystyle (\sqrt{5})^2=5$ , $\displaystyle 2\cdot\sqrt{5}\cdot 2=4\sqrt{5}$ , iar $\displaystyle 2^2=4$ . Adunăm $\displaystyle 5+4=9$ .
$\displaystyle (\sqrt{5}+2)^2=5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}$
Înlocuim rezultatul în expresia dată și reducem termenii cu radicali: $\displaystyle 4\sqrt{5}-4\sqrt{5}=0$ . Rămâne doar 9, deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle (\sqrt{5}+2)^2-4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că punctul

\displaystyle M(m,4)

aparține graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+2

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle M(m,4)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$ dacă și numai dacă ordonata lui este valoarea funcției în abscisă, adică $\displaystyle f(m)=4$ .
$\displaystyle f(m)=4$
Înlocuim $\displaystyle f(m)$ cu expresia funcției, $\displaystyle f(m)=m+2$ , și obținem ecuația $\displaystyle m+2=4$ .
$\displaystyle m+2=4$
Scădem $\displaystyle 2$ din ambii membri ai ecuației: $\displaystyle m=4-2$ , deci $\displaystyle m=2$ .
$\displaystyle m=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_4\left(x^2+9\right)=\log_4 25

.

Vezi rezolvarea

Stabilim condiția de existență a logaritmilor: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Expresia $\displaystyle x^{2}+9$ este pozitivă pentru orice număr real $\displaystyle x$ , deci ecuația are sens pe toată mulțimea numerelor reale.
$\displaystyle x^{2}+9>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Logaritmii au aceeași bază, $\displaystyle 4$ , iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: $\displaystyle x^{2}+9=25$ .
$\displaystyle x^{2}+9=25$
Mutăm numărul $\displaystyle 25$ în membrul stâng și reducem termenii: $\displaystyle 9-25=-16$ .
$\displaystyle x^{2}-16=0$
Descompunem diferența de pătrate: $\displaystyle x^{2}-16=(x-4)(x+4)$ . Un produs este nul când un factor este nul, deci $\displaystyle x-4=0$ sau $\displaystyle x+4=0$ .
$\displaystyle (x-4)(x+4)=0$
Rezultă soluțiile $\displaystyle x=-4$ sau $\displaystyle x=4$ . Condiția de existență este îndeplinită pentru orice $\displaystyle x$ real, deci ambele valori verifică ecuația: pentru $\displaystyle x=\pm 4$ avem $\displaystyle x^{2}+9=25$ .
$\displaystyle x=-4\text{ sau }x=4\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

, acesta să fie divizibil cu

\displaystyle 2

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Mulțimea $\displaystyle M$ are elementele de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 9$ , deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9$
Căutăm numerele pare din mulțime, adică cele divizibile cu $\displaystyle 2$ . Acestea sunt $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ și $\displaystyle 8$ .
$\displaystyle \{2,4,6,8\}$
Numărăm elementele găsite: sunt $\displaystyle 4$ cazuri favorabile.
$\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=4$
Înlocuim în formula probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{4}{9}$ . Fracția este deja ireductibilă, deci probabilitatea este $\displaystyle \dfrac{4}{9}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{9}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle a

, pentru care vectorii

\displaystyle \vec{u}=(a-1)\vec{i}-3\vec{j}

și

\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}-6\vec{j}

sunt coliniari.

Vezi rezolvarea

Scriem coordonatele vectorilor: $\displaystyle \vec{u}=(a-1,\,-3)$ și $\displaystyle \vec{v}=(2,\,-6)$ .
$\displaystyle \vec{u}=(a-1,\,-3)\text{ și }\vec{v}=(2,\,-6)$
Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Scriem egalitatea rapoartelor coordonatelor corespunzătoare: $\displaystyle \dfrac{a-1}{2}=\dfrac{-3}{-6}$ .
$\displaystyle \frac{a-1}{2}=\frac{-3}{-6}$
Simplificăm fracția din membrul drept: $\displaystyle \dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle \dfrac{a-1}{2}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \frac{a-1}{2}=\frac{1}{2}$
Înmulțim ambii membri cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle a-1=1$ , deci $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Dacă

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

și

\displaystyle \cos x=\frac{1}{2}

, arătați că

\displaystyle \sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}

.

Vezi rezolvarea

Scriem relația fundamentală $\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ și înlocuim $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
Calculăm: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ .
$\displaystyle \sin^{2}x=\frac{3}{4}$
Cum $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , avem $\displaystyle \sin x>0$ , deci luăm rădăcina pozitivă.
$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Aplicăm formula $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ și înlocuim valorile: $\displaystyle \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin 2x=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}$
Simplificăm factorul $\displaystyle 2$ cu numitorul $\displaystyle 2$ și rămâne $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , adică exact valoarea cerută.
$\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+3x & 2x\\ -6x & 1-4x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ în fiecare element al matricei $\displaystyle A(x)$ : $\displaystyle 1+3\cdot 0=1$ , $\displaystyle 2\cdot 0=0$ , $\displaystyle -6\cdot 0=0$ , $\displaystyle 1-4\cdot 0=1$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(0)$ , care este un determinant de ordin $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul de ordin $\displaystyle 2$ ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem $\displaystyle 1\cdot 1-0\cdot 0=1$ , deci $\displaystyle \det(A(0))=1$ .
$\displaystyle \det(A(0))=1\cdot1-0\cdot0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+3x & 2x\\ -6x & 1-4x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-xy)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle A(x)A(y)$ și aplicăm regula de înmulțire linie pe coloană. Fiecare element al produsului se obține din linia corespunzătoare a primei matrice și coloana corespunzătoare a celei de-a doua.
$\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1+3x & 2x\\ -6x & 1-4x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+3y & 2y\\ -6y & 1-4y\end{pmatrix}$
Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 1: $\displaystyle (1+3x)(1+3y)+2x\cdot(-6y)$ . Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 9xy-12xy=-3xy$ .
$\displaystyle (1+3x)(1+3y)+2x(-6y)=1+3y+3x+9xy-12xy=1+3x+3y-3xy$
Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 2: $\displaystyle (1+3x)\cdot 2y+2x(1-4y)$ . Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 6xy-8xy=-2xy$ .
$\displaystyle (1+3x)\cdot 2y+2x(1-4y)=2y+6xy+2x-8xy=2x+2y-2xy$
Calculăm elementul de pe linia 2, coloana 1: $\displaystyle -6x(1+3y)+(1-4x)(-6y)$ . Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle -18xy+24xy=6xy$ .
$\displaystyle -6x(1+3y)+(1-4x)(-6y)=-6x-18xy-6y+24xy=-6x-6y+6xy$
Calculăm elementul de pe linia 2, coloana 2: $\displaystyle -6x\cdot 2y+(1-4x)(1-4y)$ . Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle -12xy+16xy=4xy$ .
$\displaystyle -6x\cdot 2y+(1-4x)(1-4y)=-12xy+1-4x-4y+16xy=1-4x-4y+4xy$
Punem cele patru elemente calculate într-o singură matrice, care este produsul $\displaystyle A(x)A(y)$ .
$\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1+3x+3y-3xy & 2x+2y-2xy\\ -6x-6y+6xy & 1-4x-4y+4xy\end{pmatrix}$
Grupăm termenii în fiecare element, dând factor comun $\displaystyle x+y-xy$ : $\displaystyle 3x+3y-3xy=3(x+y-xy)$ , $\displaystyle 2x+2y-2xy=2(x+y-xy)$ , și la fel pentru celelalte două elemente. Obținem exact matricea $\displaystyle A(x+y-xy)$ , deci egalitatea este demonstrată pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1+3(x+y-xy) & 2(x+y-xy)\\ -6(x+y-xy) & 1-4(x+y-xy)\end{pmatrix}=A(x+y-xy)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+3x & 2x\\ -6x & 1-4x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

, știind că

\displaystyle A\left(2^x\right)A\left(2^x\right)=A(1)

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle A(x)=I_2+xB$ , unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&2\\-6&-4\end{pmatrix}$ . Într-adevăr, $\displaystyle 3x$ , $\displaystyle 2x$ , $\displaystyle -6x$ , $\displaystyle -4x$ sunt $\displaystyle x$ ori $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle -6$ , $\displaystyle -4$ .
$\displaystyle A(x)=I_2+xB$ , $\displaystyle \quad B=\begin{pmatrix}3&2\\-6&-4\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}9-12&6-8\\-18+24&-12+16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-2\\6&4\end{pmatrix}$ , deci $\displaystyle B^2=-B$ .
$\displaystyle B^2=-B$
Pentru $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle A(a)A(b)=(I_2+aB)(I_2+bB)=I_2+(a+b)B+abB^2$ . Cum $\displaystyle B^2=-B$ , obținem $\displaystyle A(a)A(b)=I_2+(a+b-ab)B$ .
$\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b-ab)$
Aplicăm relația pentru $\displaystyle a=b=2^x$ : $\displaystyle A\left(2^x\right)A\left(2^x\right)=A\left(2^x+2^x-2^x\cdot 2^x\right)$ . Ecuația devine $\displaystyle A\left(2^x+2^x-2^x\cdot 2^x\right)=A(1)$ . Cum $\displaystyle B\neq O_2$ , din $\displaystyle I_2+uB=I_2+B$ rezultă $\displaystyle u=1$ , deci $\displaystyle 2^x+2^x-2^x\cdot 2^x=1$ .
$\displaystyle A\left(2^x+2^x-2^x\cdot 2^x\right)=A(1)\Leftrightarrow 2^x+2^x-2^x\cdot 2^x=1$
Din $\displaystyle 2\cdot 2^x-\left(2^x\right)^2=1$ obținem, mutând termenii în același membru, $\displaystyle \left(2^x\right)^2-2\cdot 2^x+1=0$ , adică un pătrat perfect.
$\displaystyle \left(2^x\right)^2-2\cdot 2^x+1=0$
Ecuația se scrie $\displaystyle \left(2^x-1\right)^2=0$ , deci $\displaystyle 2^x=1$ . Cum $\displaystyle 2^0=1$ și funcția $\displaystyle 2^x$ este injectivă, rezultă $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle \left(2^x-1\right)^2=0\Leftrightarrow 2^x=1\Leftrightarrow x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-X^2+aX+2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle f(-1)+f(1)=2

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle -1$ în $\displaystyle f=X^3-X^2+aX+2$ și calculăm puterile: $\displaystyle (-1)^3=-1$ , iar $\displaystyle (-1)^2=1$ .
$\displaystyle f(-1)=(-1)^3-(-1)^2+a\cdot(-1)+2$
Efectuăm calculele: $\displaystyle -1-1-a+2$ . Termenii numerici se reduc, deci rămâne $\displaystyle -a$ .
$\displaystyle f(-1)=-1-1-a+2=-a$
Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 1$ în $\displaystyle f$ . Puterile lui $\displaystyle 1$ sunt egale cu $\displaystyle 1$ , deci obținem $\displaystyle 1-1+a+2$ .
$\displaystyle f(1)=1^3-1^2+a\cdot 1+2=a+2$
Adunăm cele două valori: termenii cu $\displaystyle a$ se anulează și rămâne $\displaystyle 2$ , pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f(-1)+f(1)=-a+a+2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-X^2+aX+2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

, pentru care polinomul

\displaystyle f

este divizibil cu polinomul

\displaystyle X^2-2X+2

.

Vezi rezolvarea

Împărțim $\displaystyle f$ la $\displaystyle X^2-2X+2$ . Primul termen al câtului este $\displaystyle X^3:X^2=X$ . Scădem din $\displaystyle f$ produsul $\displaystyle X\cdot(X^2-2X+2)=X^3-2X^2+2X$ .
$\displaystyle f-X(X^2-2X+2)=X^2+(a-2)X+2$
Următorul termen al câtului este $\displaystyle X^2:X^2=1$ . Scădem $\displaystyle 1\cdot(X^2-2X+2)$ din restul parțial $\displaystyle X^2+(a-2)X+2$ . Gradul restului este acum mai mic decât $\displaystyle 2$ , deci împărțirea se oprește.
$\displaystyle X^2+(a-2)X+2-(X^2-2X+2)=aX$
Am obținut câtul $\displaystyle X+1$ și restul $\displaystyle aX$ , deci $\displaystyle f=(X^2-2X+2)(X+1)+aX$ .
$\displaystyle q=X+1$ , $\displaystyle \quad r=aX$
Polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X^2-2X+2$ dacă și numai dacă restul este polinomul nul. Polinomul $\displaystyle aX$ este nul doar când coeficientul său $\displaystyle a$ este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle aX=0\;\Rightarrow\;a=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-X^2+aX+2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+3x_1x_2+3x_2x_3+3x_1x_3=-5

, pentru orice număr real

\displaystyle a

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle f=X^3-X^2+aX+2$ relațiile lui Viète dau: $\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-1}{1}=1$ și $\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=a$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=1$ , $\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=a$
Din $\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)$ obținem $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1^2-2a$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1-2a$
Fiindcă $\displaystyle f(x_i)=0$ , avem $\displaystyle x_i^3=x_i^2-ax_i-2$ , pentru $\displaystyle i=1,2,3$ .
$\displaystyle x_i^3=x_i^2-ax_i-2$ , $\displaystyle \ i=1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$
Adunând cele trei relații obținem $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-a\left(x_1+x_2+x_3\right)-6=1-2a-a-6$ .
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3a-5$
Avem $\displaystyle 3x_1x_2+3x_2x_3+3x_1x_3=3\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)=3a$ . Deci expresia este $\displaystyle -3a-5+3a=-5$ , pentru orice $\displaystyle a$ real.
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+3x_1x_2+3x_2x_3+3x_1x_3=-3a-5+3a=-5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(3,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-11}{x-3}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(x-5)}{(x-3)^2}

,

\displaystyle x\in(3,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât de două funcții derivabile pe $\displaystyle (3,+\infty)$ , iar numitorul $\displaystyle x-3$ este nenul. Folosim formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u(x)=x^{2}+2x-11$ și $\displaystyle v(x)=x-3$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle u'(x)=2x+2$ și $\displaystyle v'(x)=1$ .
$\displaystyle u'(x)=2x+2$ , $\displaystyle \quad v'(x)=1$
Înlocuim în formula de derivare a câtului.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x-3)-\left(x^{2}+2x-11\right)}{(x-3)^{2}}$
Efectuăm înmulțirea de la numărător: $\displaystyle (2x+2)(x-3)=2x^{2}-6x+2x-6=2x^{2}-4x-6$ .
$\displaystyle (2x+2)(x-3)=2x^{2}-4x-6$
Scădem $\displaystyle x^{2}+2x-11$ din rezultat și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2x^{2}-4x-6-x^{2}-2x+11=x^{2}-6x+5$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-6x+5}{(x-3)^{2}}$
Descompunem numărătorul: căutăm două numere cu suma $\displaystyle 6$ și produsul $\displaystyle 5$ , adică $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 5$ . Deci $\displaystyle x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5)$ . Astfel obținem forma cerută pentru orice $\displaystyle x\in(3,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-6x+5}{(x-3)^{2}}=\dfrac{(x-1)(x-5)}{(x-3)^{2}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(3,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-11}{x-3}

.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$ . Începem cu panta $\displaystyle m$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$
Înlocuim $\displaystyle f(x)$ cu expresia dată și împărțim la $\displaystyle x$ , adică numitorul devine $\displaystyle x(x-3)$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+2x-11}{x(x-3)}=\frac{x^2+2x-11}{x^2-3x}$
Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul $\displaystyle 2$ , deci limita la $\displaystyle +\infty$ este raportul coeficienților dominanți, $\displaystyle \dfrac{1}{1}$ . Deci panta este $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x-11}{x(x-3)}=1$
Calculăm acum termenul liber $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)$ . Aducem la același numitor.
$\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2+2x-11-x(x-3)}{x-3}$
Desfacem parantezele la numărător: $\displaystyle x^2$ se reduce, iar $\displaystyle 2x+3x=5x$ . Rămâne o fracție cu numărătorul $\displaystyle 5x-11$ .
$\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2+2x-11-x^2+3x}{x-3}=\frac{5x-11}{x-3}$
Numărătorul și numitorul au gradul $\displaystyle 1$ , deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\displaystyle \dfrac{5}{1}$ . Rezultă $\displaystyle n=5$ , iar asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ este $\displaystyle y=x+5$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{5x-11}{x-3}=5\text{, deci }y=x+5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(3,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-11}{x-3}

.

Demonstrați că

\displaystyle f(\pi)>13

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata lui $\displaystyle f$ cu formula de derivare a câtului: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}+2x-11)'(x-3)-(x^{2}+2x-11)(x-3)'}{(x-3)^{2}}$ . Avem $\displaystyle (x^{2}+2x-11)'=2x+2$ și $\displaystyle (x-3)'=1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x-3)-(x^{2}+2x-11)}{(x-3)^{2}}$
Desfacem parantezele la numărător și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2x^{2}-6x+2x-6-x^{2}-2x+11=x^{2}-6x+5$ . Descompunem trinomul: $\displaystyle x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-6x+5}{(x-3)^{2}}=\dfrac{(x-1)(x-5)}{(x-3)^{2}}$
Studiem semnul derivatei pe intervalul $\displaystyle (3,5)$ . Pentru $\displaystyle x\in(3,5)$ avem $\displaystyle x-1>0$ , $\displaystyle x-5<0$ și $\displaystyle (x-3)^{2}>0$ . Deci derivata este strict negativă pe $\displaystyle (3,5)$ și funcția $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (3,5)$ .
$\displaystyle f'(x)<0$ , $\displaystyle \ \forall x\in(3,5)\Rightarrow f\text{ strict descrescătoare pe }(3,5)$
Calculăm valoarea funcției în $\displaystyle x=4$ , punct care aparține intervalului $\displaystyle (3,5)$ : $\displaystyle f(4)=\dfrac{16+8-11}{4-3}=\dfrac{13}{1}=13$ .
$\displaystyle f(4)=13$
Știm că $\displaystyle 3<\pi<4$ (căci $\displaystyle \pi\approx 3{,}14$ ), deci $\displaystyle \pi$ și $\displaystyle 4$ sunt în intervalul $\displaystyle (3,5)$ , unde $\displaystyle f$ este strict descrescătoare. Din $\displaystyle \pi<4$ rezultă $\displaystyle f(\pi)>f(4)=13$ .
$\displaystyle 3<\pi<4\text{ și }f(4)=13\Rightarrow f(\pi)>13$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(3x+1)e^x

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e^x}f(x)\,dx=\frac{5}{2}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim expresia lui $\displaystyle f(x)$ în integrală, adică $\displaystyle f(x)=(3x+1)e^x$ .
$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e^x}(3x+1)e^x\,dx$
Simplificăm $\displaystyle \dfrac{1}{e^x}\cdot e^x=1$ , deoarece $\displaystyle e^x\neq 0$ . Rămâne o funcție polinomială.
$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{e^x}f(x)\,dx=\int_0^1(3x+1)\,dx$
Aflăm o primitivă, integrând fiecare termen: primitiva lui $\displaystyle 3x$ este $\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{2}$ , iar primitiva lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \int_0^1(3x+1)\,dx=\left(\frac{3x^{2}}{2}+x\right)\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în $\displaystyle 1$ este $\displaystyle \dfrac{3}{2}+1$ , iar în $\displaystyle 0$ este $\displaystyle 0$ . Rezultă că integrala este egală cu $\displaystyle \dfrac{5}{2}$ .
$\displaystyle \left(\frac{3\cdot 1^{2}}{2}+1\right)-0=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(3x+1)e^x

.

Determinați numărul real

\displaystyle m

, pentru care funcția

\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=(3x+m)e^x

este o primitivă a funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ dacă $\displaystyle F$ este derivabilă și $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Deci vom calcula derivata lui $\displaystyle F$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Aplicăm regula de derivare a produsului $\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv'$ , cu $\displaystyle u=3x+m$ și $\displaystyle v=e^x$ . Derivata lui $\displaystyle 3x+m$ este $\displaystyle 3$ , iar derivata lui $\displaystyle e^x$ este $\displaystyle e^x$ .
$\displaystyle F'(x)=(3x+m)'e^x+(3x+m)\left(e^x\right)'=3e^x+(3x+m)e^x$
Dăm factor comun $\displaystyle e^x$ și obținem expresia lui $\displaystyle F'(x)$ .
$\displaystyle F'(x)=(3x+m+3)e^x$
Egalăm $\displaystyle F'(x)=f(x)$ , adică $\displaystyle (3x+m+3)e^x=(3x+1)e^x$ . Simplificăm cu $\displaystyle e^x$ , care este nenul pentru orice $\displaystyle x$ real, și rămâne $\displaystyle 3x+m+3=3x+1$ .
$\displaystyle 3x+m+3=3x+1$
Din $\displaystyle 3x+m+3=3x+1$ rezultă $\displaystyle m+3=1$ , deci $\displaystyle m=-2$ .
$\displaystyle m=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(3x+1)e^x

.

Determinați numărul real nenul

\displaystyle a

, știind că

\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx=3a

.

Vezi rezolvarea

Căutăm o primitivă a funcției $\displaystyle f$ prin integrare prin părți. Alegem $\displaystyle u=3x+1$ și $\displaystyle dv=e^{x}dx$ , deci $\displaystyle du=3\,dx$ și $\displaystyle v=e^{x}$ .
$\displaystyle \int(3x+1)e^{x}dx=(3x+1)e^{x}-3\int e^{x}dx$
Calculăm integrala rămasă și grupăm termenii: $\displaystyle (3x+1)e^{x}-3e^{x}=(3x-2)e^{x}$ . Deci o primitivă a lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle (3x-2)e^{x}$ .
$\displaystyle \int(3x+1)e^{x}dx=(3x-2)e^{x}+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: evaluăm primitiva în $\displaystyle a$ și în $\displaystyle 0$ . În $\displaystyle 0$ valoarea este $\displaystyle (3\cdot 0-2)e^{0}=-2$ , deci scădem $\displaystyle -2$ și obținem $\displaystyle +2$ .
$\displaystyle \int_0^a(3x+1)e^xdx=(3x-2)e^x\Big|_0^a=(3a-2)e^a+2$
Punem condiția din enunț: integrala este egală cu $\displaystyle 3a$ . Mutăm $\displaystyle 3a$ în partea stângă și scriem $\displaystyle 2-3a=-(3a-2)$ .
$\displaystyle (3a-2)e^{a}+2-3a=0\Leftrightarrow(3a-2)e^{a}-(3a-2)=0$
Dăm factor comun pe $\displaystyle 3a-2$ și obținem un produs egal cu zero.
$\displaystyle (3a-2)\left(e^{a}-1\right)=0$
Un produs este zero când un factor este zero. Din $\displaystyle e^{a}-1=0$ rezultă $\displaystyle a=0$ , valoare care nu convine, deoarece $\displaystyle a$ este nenul. Din $\displaystyle 3a-2=0$ rezultă $\displaystyle a=\dfrac{2}{3}$ , care convine.
$\displaystyle (3a-2)\left(e^{a}-1\right)=0\text{, deci }a=\frac{2}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, sesiunea specială varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani