Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, sesiunea specială varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că log⁡27+log⁡26−log⁡221=1\displaystyle \log_2 7+\log_2 6-\log_2 21=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea logaritmului unui produs: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a (x\cdot y). Astfel, log⁡27+log⁡26=log⁡2(7⋅6)\displaystyle \log_2 7+\log_2 6=\log_2 (7\cdot 6).
    log⁡27+log⁡26=log⁡2(7⋅6)=log⁡242\displaystyle \log_2 7+\log_2 6=\log_2 (7\cdot 6)=\log_2 42
  2. Folosim proprietatea logaritmului unui cât: log⁡ax−log⁡ay=log⁡axy\displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a \dfrac{x}{y}. Scădem log⁡221\displaystyle \log_2 21 și obținem un singur logaritm: log⁡242−log⁡221=log⁡24221\displaystyle \log_2 42-\log_2 21=\log_2 \dfrac{42}{21}.
    log⁡27+log⁡26−log⁡221=log⁡27⋅621\displaystyle \log_2 7+\log_2 6-\log_2 21=\log_2 \dfrac{7\cdot 6}{21}
  3. Simplificăm fracția: 7⋅621=4221=2\displaystyle \dfrac{7\cdot 6}{21}=\dfrac{42}{21}=2.
    log⁡27⋅621=log⁡22\displaystyle \log_2 \dfrac{7\cdot 6}{21}=\log_2 2
  4. Logaritmul unui număr în baza egală cu acel număr este 1, deci log⁡22=1\displaystyle \log_2 2=1. Egalitatea este demonstrată.
    log⁡22=1\displaystyle \log_2 2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x−1\displaystyle g(x)=2x-1. Demonstrați că f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a compara cele două funcții, studiem semnul diferenței f(x)−g(x)\displaystyle f(x)-g(x). Inegalitatea f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x) este echivalentă cu f(x)−g(x)≥0\displaystyle f(x)-g(x)\ge 0.
    f(x)−g(x)≥0\displaystyle f(x)-g(x)\ge 0
  2. Înlocuim expresiile lui f(x)\displaystyle f(x) și g(x)\displaystyle g(x) și scădem, cu atenție la semnul minus din fața parantezei: x2−(2x−1)=x2−2x+1\displaystyle x^{2}-(2x-1)=x^{2}-2x+1.
    f(x)−g(x)=x2−(2x−1)=x2−2x+1\displaystyle f(x)-g(x)=x^{2}-(2x-1)=x^{2}-2x+1
  3. Recunoaștem în x2−2x+1\displaystyle x^{2}-2x+1 dezvoltarea pătratului diferenței: a2−2ab+b2=(a−b)2\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}, cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1. Deci diferența este (x−1)2\displaystyle (x-1)^{2}.
    f(x)−g(x)=x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle f(x)-g(x)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}
  4. Pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero, deci (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^{2}\ge 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Rezultă f(x)−g(x)≥0\displaystyle f(x)-g(x)\ge 0, adică f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x), pentru orice număr real x\displaystyle x (egalitate doar pentru x=1\displaystyle x=1).
    (x−1)2≥0, deci f(x)≥g(x)\displaystyle (x-1)^{2}\ge 0\text{, deci }f(x)\ge g(x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+12=2x\displaystyle \sqrt{x^2+12}=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul este mai mare sau egal cu zero, deci ecuația poate avea soluții doar dacă 2x≥0\displaystyle 2x\ge 0, adică x≥0\displaystyle x\ge 0. Reținem această condiție pentru verificare.
    x≥0\displaystyle x\ge 0
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Pătratul radicalului este x2+12\displaystyle x^{2}+12, iar pătratul lui 2x\displaystyle 2x este 4x2\displaystyle 4x^{2}.
    x2+12=4x2\displaystyle x^{2}+12=4x^{2}
  3. Mutăm x2\displaystyle x^{2} în partea dreaptă: 3x2=12\displaystyle 3x^{2}=12, apoi împărțim la 3\displaystyle 3.
    3x2=12⇔x2=4\displaystyle 3x^{2}=12\Leftrightarrow x^{2}=4
  4. Din x2=4\displaystyle x^{2}=4 obținem x=−2\displaystyle x=-2 sau x=2\displaystyle x=2. Verificăm cu condiția x≥0\displaystyle x\ge 0: x=−2\displaystyle x=-2 nu convine, pentru că 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, iar 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 16=4=2⋅2\displaystyle \sqrt{16}=4=2\cdot 2, deci convine. Soluția ecuației este x=2\displaystyle x=2.
    x=−2, care nu convine, x=2, care convine\displaystyle x=-2\text{, care nu convine, }x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr x\displaystyle x din mulțimea A={−2,−1,0,1,2}\displaystyle A=\{-2,-1,0,1,2\}, acesta să fie soluție a ecuației x2−3x+2=0\displaystyle x^2-3x+2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A={−2,−1,0,1,2}\displaystyle A=\{-2,-1,0,1,2\} are 5 elemente, deci numărul cazurilor posibile este 5.
    nr. cazuri posibile=5\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=5
  2. Rezolvăm ecuația x2−3x+2=0\displaystyle x^2-3x+2=0. Descompunem: x2−3x+2=(x−1)(x−2)\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2), deci x−1=0\displaystyle x-1=0 sau x−2=0\displaystyle x-2=0.
    x2−3x+2=(x−1)(x−2)=0⇔x=1 sau x=2\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=2
  3. Verificăm care soluții aparțin lui A\displaystyle A: 1∈A\displaystyle 1\in A și 2∈A\displaystyle 2\in A, deci avem 2 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=2\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=2
  4. Aplicăm formula p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=25\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{2}{5}.
    p=25\displaystyle p=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, pentru care u⃗=3v⃗\displaystyle \vec{u}=3\vec{v}, unde u⃗=ai⃗+6j⃗\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+6\vec{j} și v⃗=2i⃗+bj⃗\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în egalitatea u⃗=3v⃗\displaystyle \vec{u}=3\vec{v} expresiile celor doi vectori: ai⃗+6j⃗=3(2i⃗+bj⃗)\displaystyle a\vec{i}+6\vec{j}=3\left(2\vec{i}+b\vec{j}\right).
    ai⃗+6j⃗=3(2i⃗+bj⃗)\displaystyle a\vec{i}+6\vec{j}=3\left(2\vec{i}+b\vec{j}\right)
  2. Distribuim factorul 3\displaystyle 3 la fiecare component: 3(2i⃗+bj⃗)=6i⃗+3bj⃗\displaystyle 3\left(2\vec{i}+b\vec{j}\right)=6\vec{i}+3b\vec{j}. Egalitatea devine ai⃗+6j⃗=6i⃗+3bj⃗\displaystyle a\vec{i}+6\vec{j}=6\vec{i}+3b\vec{j}.
    ai⃗+6j⃗=6i⃗+3bj⃗\displaystyle a\vec{i}+6\vec{j}=6\vec{i}+3b\vec{j}
  3. Doi vectori sunt egali dacă au aceiași coeficienți la i⃗\displaystyle \vec{i} și la j⃗\displaystyle \vec{j}. Obținem a=6\displaystyle a=6 și 6=3b\displaystyle 6=3b.
    a=6 și 6=3b\displaystyle a=6\text{ și }6=3b
  4. Din 6=3b\displaystyle 6=3b rezultă b=63=2\displaystyle b=\dfrac{6}{3}=2. Deci a=6\displaystyle a=6 și b=2\displaystyle b=2.
    a=6, b=2\displaystyle a=6\text{, }b=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=sin⁡2x−cos⁡2x+2(sin⁡x+cos⁡x)−2\displaystyle E(x)=\sin^2 x-\cos^2 x+\sqrt{2}(\sin x+\cos x)-2, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π4)=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4} în expresia E(x)\displaystyle E(x).
    E(π4)=sin⁡2π4−cos⁡2π4+2(sin⁡π4+cos⁡π4)−2\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2\frac{\pi}{4}-\cos^2\frac{\pi}{4}+\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}\right)-2
  2. Folosim valorile cunoscute sin⁡π4=cos⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, deci sin⁡2π4=cos⁡2π4=12\displaystyle \sin^2\dfrac{\pi}{4}=\cos^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}.
    E(π4)=12−12+2(22+22)−2\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2
  3. Primii doi termeni se reduc, iar suma din paranteză este 22+22=222=2\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
    E(π4)=2⋅222−2=2⋅2−2\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{2}-2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-2
  4. Calculăm produsul: 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, deci rămâne 2−2=0\displaystyle 2-2=0.
    E(π4)=2−2=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+2x+3x−3x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & x+3 \\ x-3 & x-2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(x))=5\displaystyle \det(A(x))=5, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) și aplicăm regula pentru ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(x))=∣x+2x+3x−3x−2∣=(x+2)(x−2)−(x+3)(x−3)\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix} x+2 & x+3 \\ x-3 & x-2 \end{vmatrix}=(x+2)(x-2)-(x+3)(x-3)
  2. Calculăm fiecare produs cu formula diferenței de pătrate: (x+2)(x−2)=x2−4\displaystyle (x+2)(x-2)=x^{2}-4, iar (x+3)(x−3)=x2−9\displaystyle (x+3)(x-3)=x^{2}-9.
    det⁡(A(x))=x2−4−(x2−9)\displaystyle \det(A(x))=x^{2}-4-(x^{2}-9)
  3. Desfacem parantezele, schimbând semnele termenilor din a doua paranteză, apoi reducem termenii asemenea: x2\displaystyle x^{2} se reduce, iar −4+9=5\displaystyle -4+9=5.
    x2−4−x2+9=5, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x^{2}-4-x^{2}+9=5\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+2x+3x−3x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & x+3 \\ x-3 & x-2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n astfel încât A(−3)+A(−2)+A(−1)+A(1)+A(2)+A(3)=nA(0)\displaystyle A(-3)+A(-2)+A(-1)+A(1)+A(2)+A(3)=nA(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(23−3−2)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}
  2. Pentru t\displaystyle t real, A(−t)=(−t+2−t+3−t−3−t−2)\displaystyle A(-t)=\begin{pmatrix} -t+2 & -t+3 \\ -t-3 & -t-2 \end{pmatrix}, iar A(t)=(t+2t+3t−3t−2)\displaystyle A(t)=\begin{pmatrix} t+2 & t+3 \\ t-3 & t-2 \end{pmatrix}. Adunăm elementele de pe aceleași poziții, iar termenii în t\displaystyle t se reduc.
    A(−t)+A(t)=(46−6−4)\displaystyle A(-t)+A(t)=\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -6 & -4 \end{pmatrix}
  3. Rezultatul este dublul matricei A(0)\displaystyle A(0), deci A(−t)+A(t)=2A(0)\displaystyle A(-t)+A(t)=2A(0) pentru orice t\displaystyle t real.
    A(−t)+A(t)=2A(0)\displaystyle A(-t)+A(t)=2A(0)
  4. Grupăm termenii simetrici din sumă și aplicăm relația pentru t=3\displaystyle t=3, t=2\displaystyle t=2 și t=1\displaystyle t=1.
    A(−3)+A(3)=A(−2)+A(2)=A(−1)+A(1)=2A(0)\displaystyle A(-3)+A(3)=A(-2)+A(2)=A(-1)+A(1)=2A(0)
  5. Suma devine 2A(0)+2A(0)+2A(0)=6A(0)\displaystyle 2A(0)+2A(0)+2A(0)=6A(0). Egalitatea cu nA(0)\displaystyle nA(0) și faptul că A(0)≠O2\displaystyle A(0)\neq O_2 dau n=6\displaystyle n=6, număr natural.
    2A(0)+2A(0)+2A(0)=nA(0), de unde n=6\displaystyle 2A(0)+2A(0)+2A(0)=nA(0)\text{, de unde }n=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+2x+3x−3x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & x+3 \\ x-3 & x-2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(1)=(18−4−7)\displaystyle A(x)\cdot A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x): x+2=3\displaystyle x+2=3, x+3=4\displaystyle x+3=4, x−3=−2\displaystyle x-3=-2, x−2=−1\displaystyle x-2=-1.
    A(1)=(34−2−1)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}
  2. Pe prima linie: (x+2)⋅3+(x+3)⋅(−2)=3x+6−2x−6=x\displaystyle (x+2)\cdot 3+(x+3)\cdot(-2)=3x+6-2x-6=x și (x+2)⋅4+(x+3)⋅(−1)=4x+8−x−3=3x+5\displaystyle (x+2)\cdot 4+(x+3)\cdot(-1)=4x+8-x-3=3x+5.
    (x3x+5)\displaystyle \begin{pmatrix} x & 3x+5 \end{pmatrix}
  3. Pe a doua linie: (x−3)⋅3+(x−2)⋅(−2)=3x−9−2x+4=x−5\displaystyle (x-3)\cdot 3+(x-2)\cdot(-2)=3x-9-2x+4=x-5 și (x−3)⋅4+(x−2)⋅(−1)=4x−12−x+2=3x−10\displaystyle (x-3)\cdot 4+(x-2)\cdot(-1)=4x-12-x+2=3x-10. Deci produsul este matricea de mai jos.
    A(x)⋅A(1)=(x3x+5x−53x−10)\displaystyle A(x)\cdot A(1)=\begin{pmatrix} x & 3x+5 \\ x-5 & 3x-10 \end{pmatrix}
  4. Egalăm element cu element: x=1\displaystyle x=1, 3x+5=8\displaystyle 3x+5=8, x−5=−4\displaystyle x-5=-4, 3x−10=−7\displaystyle 3x-10=-7. Fiecare ecuație dă x=1\displaystyle x=1, deci valoarea convine pentru toate elementele.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+1x2+y2+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}.

Arătați că 0∗1=1\displaystyle 0*1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=x+y+1x2+y2+1\displaystyle x*y=\dfrac{x+y+1}{x^{2}+y^{2}+1} și înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1.
    0∗1=0+1+102+12+1\displaystyle 0*1=\dfrac{0+1+1}{0^{2}+1^{2}+1}
  2. La numărător avem 0+1+1=2\displaystyle 0+1+1=2.
    0+1+1=2\displaystyle 0+1+1=2
  3. La numitor avem 02+12+1=0+1+1=2\displaystyle 0^{2}+1^{2}+1=0+1+1=2.
    02+12+1=2\displaystyle 0^{2}+1^{2}+1=2
  4. Rezultă 0∗1=22=1\displaystyle 0*1=\dfrac{2}{2}=1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    0∗1=22=1\displaystyle 0*1=\dfrac{2}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+1x2+y2+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=1\displaystyle x*x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii y\displaystyle y cu x\displaystyle x: numărătorul devine x+x+1=2x+1\displaystyle x+x+1=2x+1, iar numitorul devine x2+x2+1=2x2+1\displaystyle x^{2}+x^{2}+1=2x^{2}+1.
    x∗x=2x+12x2+1\displaystyle x*x=\frac{2x+1}{2x^{2}+1}
  2. Numitorul 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci expresia este definită pe R\displaystyle \mathbb{R} și ecuația x∗x=1\displaystyle x*x=1 nu are restricții.
    2x+12x2+1=1\displaystyle \frac{2x+1}{2x^{2}+1}=1
  3. Înmulțim ambii membri cu 2x2+1≠0\displaystyle 2x^{2}+1\neq 0 și obținem 2x+1=2x2+1\displaystyle 2x+1=2x^{2}+1. Trecem totul în membrul stâng: 2x2−2x=0\displaystyle 2x^{2}-2x=0.
    2x2−2x=0⇔2x(x−1)=0\displaystyle 2x^{2}-2x=0\Leftrightarrow 2x(x-1)=0
  4. Un produs este zero când unul dintre factori este zero: 2x=0\displaystyle 2x=0 sau x−1=0\displaystyle x-1=0. Ambele valori sunt reale, deci convin.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+1x2+y2+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}.

Demonstrați că x∗(−x)≤1\displaystyle x*(-x)\le 1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=−x\displaystyle y=-x în definiția legii: x∗(−x)=x+(−x)+1x2+(−x)2+1\displaystyle x*(-x)=\dfrac{x+(-x)+1}{x^{2}+(-x)^{2}+1}.
    x∗(−x)=x+(−x)+1x2+(−x)2+1\displaystyle x*(-x)=\frac{x+(-x)+1}{x^{2}+(-x)^{2}+1}
  2. La numărător x+(−x)=0\displaystyle x+(-x)=0, deci rămâne 1\displaystyle 1. La numitor (−x)2=x2\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}, deci avem 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1, care este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗(−x)=12x2+1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*(-x)=\frac{1}{2x^{2}+1}\text{, pentru orice număr real }x
  3. Inegalitatea x∗(−x)≤1\displaystyle x*(-x)\le 1 devine 12x2+1≤1\displaystyle \dfrac{1}{2x^{2}+1}\le 1.
    12x2+1≤1\displaystyle \frac{1}{2x^{2}+1}\le 1
  4. Trecem 1\displaystyle 1 în partea stângă și aducem la același numitor: 12x2+1−1=1−(2x2+1)2x2+1=−2x22x2+1\displaystyle \dfrac{1}{2x^{2}+1}-1=\dfrac{1-(2x^{2}+1)}{2x^{2}+1}=\dfrac{-2x^{2}}{2x^{2}+1}, deci inegalitatea este echivalentă cu −2x22x2+1≤0\displaystyle \dfrac{-2x^{2}}{2x^{2}+1}\le 0.
    12x2+1≤1⇔−2x22x2+1≤0\displaystyle \frac{1}{2x^{2}+1}\le 1\Leftrightarrow \frac{-2x^{2}}{2x^{2}+1}\le 0
  5. Numărătorul −2x2≤0\displaystyle -2x^{2}\le 0, deoarece x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0, iar numitorul 2x2+1>0\displaystyle 2x^{2}+1>0. Fracția este deci negativă sau nulă, pentru orice x\displaystyle x real. Așadar inegalitatea echivalentă este adevărată, iar x∗(−x)≤1\displaystyle x*(-x)\le 1 pentru orice x\displaystyle x real, cu egalitate pentru x=0\displaystyle x=0.
    x∗(−x)≤1⇔12x2+1≤1⇔−2x22x2+1≤0, inegalitate adeva˘rata˘ \displaystyle x*(-x)\le 1\Leftrightarrow \frac{1}{2x^{2}+1}\le 1\Leftrightarrow \frac{-2x^{2}}{2x^{2}+1}\le 0\text{, inegalitate adevărată }pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+2x+2}.

Arătați că f′(x)=2x2+3x+2x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de două funcții: u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=x2+2x+2\displaystyle v(x)=\sqrt{x^2+2x+2}. Aplicăm formula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=x′⋅x2+2x+2+x⋅(x2+2x+2)′\displaystyle f'(x)=x'\cdot\sqrt{x^2+2x+2}+x\cdot\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)'
  2. Derivăm funcția radical cu formula (w)′=w′2w\displaystyle \left(\sqrt{w}\right)'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}, unde w=x2+2x+2\displaystyle w=x^2+2x+2, deci w′=2x+2\displaystyle w'=2x+2. Cum x′=1\displaystyle x'=1, obținem derivata funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=x2+2x+2+x⋅2x+22x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+2x+2}+x\cdot\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}
  3. Simplificăm cu 2\displaystyle 2 fracția din al doilea termen: 2x+22=x+1\displaystyle \dfrac{2x+2}{2}=x+1, deci al doilea termen devine x(x+1)x2+2x+2=x2+xx2+2x+2\displaystyle \dfrac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+2x+2}}=\dfrac{x^2+x}{\sqrt{x^2+2x+2}}.
    f′(x)=x2+2x+2+x2+xx2+2x+2\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+2x+2}+\frac{x^2+x}{\sqrt{x^2+2x+2}}
  4. Aducem la același numitor: amplificăm primul termen cu x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}, iar x2+2x+2⋅x2+2x+2=x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}\cdot\sqrt{x^2+2x+2}=x^2+2x+2. Adunăm numărătorii: x2+2x+2+x2+x=2x2+3x+2\displaystyle x^2+2x+2+x^2+x=2x^2+3x+2. Expresia x2+2x+2\displaystyle x^2+2x+2 este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R} (discriminantul este negativ), deci derivata există pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=x2+2x+2+x2+xx2+2x+2=2x2+3x+2x2+2x+2, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+2x+2+x^2+x}{\sqrt{x^2+2x+2}}=\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+2x+2}.

Calculați lim⁡x→+∞f′(x)f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=xx2+2x+2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+2x+2} ca produs. Derivata radicalului este 2x+22x2+2x+2=x+1x2+2x+2\displaystyle \dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}, deci f′(x)=x2+2x+2+x(x+1)x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+2x+2}}.
    f′(x)=x2+2x+2+x(x+1)x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+2x+2}+\frac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+2x+2}}
  2. Aducem la același numitor, x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}. Numărătorul devine x2+2x+2+x2+x=2x2+3x+2\displaystyle x^2+2x+2+x^2+x=2x^2+3x+2.
    f′(x)=2x2+3x+2x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}
  3. Formăm raportul f′(x)f(x)\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)}. Radicalul apare la numitor de două ori, iar x2+2x+2⋅x2+2x+2=x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}\cdot\sqrt{x^2+2x+2}=x^2+2x+2. Numitorul devine x(x2+2x+2)=x3+2x2+2x\displaystyle x(x^2+2x+2)=x^3+2x^2+2x.
    lim⁡x→+∞f′(x)f(x)=lim⁡x→+∞(2x2+3x+2x2+2x+2⋅1xx2+2x+2)=lim⁡x→+∞2x2+3x+2x3+2x2+2x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}\cdot\frac{1}{x\sqrt{x^2+2x+2}}\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x+2}{x^3+2x^2+2x}
  4. Împărțim numărătorul și numitorul la x3\displaystyle x^3, cea mai mare putere din numitor: 2x+3x2+2x31+2x+2x2\displaystyle \dfrac{\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}. Numărătorul tinde la 0\displaystyle 0, iar numitorul tinde la 1\displaystyle 1. Deci limita este 0\displaystyle 0, deoarece gradul numărătorului (2\displaystyle 2) este mai mic decât gradul numitorului (3\displaystyle 3).
    lim⁡x→+∞f′(x)f(x)=01=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{0}{1}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+2\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+2x+2}.

Demonstrați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are cel puțin o soluție.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2+2x+2=(x+1)2+1>0\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f\displaystyle f este bine definită pe R\displaystyle \mathbb{R}. Funcția f\displaystyle f este produsul dintre funcția x\displaystyle x și radicalul unei funcții polinomiale pozitive, deci f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+2x+2=(x+1)2+1>0, deci f este continua˘ pe R\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0\text{, deci }f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}
  2. Calculăm limita la −∞\displaystyle -\infty. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, avem x→−∞\displaystyle x\to-\infty, iar x2+2x+2→+∞\displaystyle \sqrt{x^{2}+2x+2}\to+\infty. Produsul lor tinde la −∞\displaystyle -\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞xx2+2x+2=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x\sqrt{x^{2}+2x+2}=-\infty
  3. Calculăm limita la +∞\displaystyle +\infty. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, atât x\displaystyle x, cât și x2+2x+2\displaystyle \sqrt{x^{2}+2x+2} tind la +∞\displaystyle +\infty, deci produsul tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞xx2+2x+2=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x\sqrt{x^{2}+2x+2}=+\infty
  4. Fie a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} oarecare. Din lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty există m\displaystyle m cu f(m)<a\displaystyle f(m)<a, iar din lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty există M>m\displaystyle M>m cu f(M)>a\displaystyle f(M)>a. Funcția f\displaystyle f este continuă pe [m,M]\displaystyle [m,M], deci, conform proprietății lui Darboux, există x0∈(m,M)\displaystyle x_{0}\in(m,M) cu f(x0)=a\displaystyle f(x_{0})=a. Așadar ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are cel puțin o soluție, pentru orice a\displaystyle a real.
    f(m)<a<f(M) și f continua˘⇒∃ x0∈(m,M) cu f(x0)=a, deci ecuația f(x)=a are cel puțin o soluție\displaystyle f(m)<a<f(M)\text{ și }f\text{ continuă}\Rightarrow\exists\,x_{0}\in(m,M)\text{ cu }f(x_{0})=a\text{, deci ecuația }f(x)=a\text{ are cel puțin o soluție}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex+x\displaystyle f(x)=xe^x+x.

Arătați că ∫01(f(x)−xex)dx=12\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-xe^x\right)dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xex+x\displaystyle f(x)=xe^x+x în integrandul f(x)−xex\displaystyle f(x)-xe^x.
    f(x)−xex=xex+x−xex\displaystyle f(x)-xe^x=xe^x+x-xe^x
  2. Termenii xex\displaystyle xe^x și −xex\displaystyle -xe^x se reduc, deci rămâne doar x\displaystyle x. Integrala devine ∫01x dx\displaystyle \int_0^1 x\,dx.
    ∫01(xex+x−xex)dx=∫01x dx\displaystyle \int_0^1\left(xe^x+x-xe^x\right)dx=\int_0^1 x\,dx
  3. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01x dx=x22∣01\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_0^1.
    ∫01x dx=x22∣01\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile primitivei în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0: 122−022=12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    x22∣01=12−0=12\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex+x\displaystyle f(x)=xe^x+x.

Arătați că ∫121x⋅f(x2)dx=e4−e+32\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)dx=\frac{e^4-e+3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x2)\displaystyle f\left(x^{2}\right) înlocuind pe x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în f(x)=xex+x\displaystyle f(x)=xe^x+x.
    f(x2)=x2ex2+x2\displaystyle f\left(x^{2}\right)=x^{2}e^{x^{2}}+x^{2}
  2. Înlocuim în integrală și simplificăm prin x\displaystyle x, apoi separăm integrala în două integrale simple.
    ∫12x2ex2+x2x dx=∫12xex2 dx+∫12x dx\displaystyle \int_1^2\frac{x^{2}e^{x^{2}}+x^{2}}{x}\,dx=\int_1^2 xe^{x^{2}}\,dx+\int_1^2 x\,dx
  3. Primitiva lui xex2\displaystyle xe^{x^{2}} este 12ex2\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{x^{2}}, deoarece (ex2)′=2xex2\displaystyle \left(e^{x^{2}}\right)'=2xe^{x^{2}}. Primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    12ex2∣12+x22∣12\displaystyle \frac{1}{2}e^{x^{2}}\Big|_1^2+\frac{x^{2}}{2}\Big|_1^2
  4. Înlocuim limitele: x=2\displaystyle x=2 dă x2=4\displaystyle x^{2}=4, iar x=1\displaystyle x=1 dă x2=1\displaystyle x^{2}=1.
    12e4−12e+42−12\displaystyle \frac{1}{2}e^{4}-\frac{1}{2}e+\frac{4}{2}-\frac{1}{2}
  5. Avem 42−12=32\displaystyle \dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}, deci aducem totul la numitorul 2\displaystyle 2 și obținem rezultatul cerut.
    e4−e+32\displaystyle \frac{e^{4}-e+3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex+x\displaystyle f(x)=xe^x+x.

Se consideră F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, primitiva funcției f\displaystyle f pentru care F(1)=0\displaystyle F(1)=0. Arătați că ∫01F(x)dx=5−3e3\displaystyle \int_0^1 F(x)dx=\frac{5-3e}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ∫01F(x) dx=∫01x′F(x) dx\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=\int_0^1 x'F(x)\,dx, pentru a aplica integrarea prin părți, cu u=F(x)\displaystyle u=F(x) și dv=x′ dx\displaystyle dv=x'\,dx.
    ∫01F(x) dx=∫01x′F(x) dx\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=\int_0^1 x'F(x)\,dx
  2. Aplicăm formula integrării prin părți. Deoarece F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, avem F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x). Atunci ∫01F(x) dx=xF(x)∣01−∫01xf(x) dx=1⋅F(1)−0⋅F(0)−∫01xf(x) dx\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=xF(x)\Big|_0^1-\int_0^1 xf(x)\,dx=1\cdot F(1)-0\cdot F(0)-\int_0^1 xf(x)\,dx. Din F(1)=0\displaystyle F(1)=0 rămâne doar integrala lui xf(x)\displaystyle xf(x), cu semnul minus.
    ∫01F(x) dx=F(1)−∫01xf(x) dx=−∫01xf(x) dx\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=F(1)-\int_0^1 xf(x)\,dx=-\int_0^1 xf(x)\,dx
  3. Înlocuim f(x)=xex+x\displaystyle f(x)=xe^x+x și obținem xf(x)=x2ex+x2\displaystyle xf(x)=x^2e^x+x^2.
    ∫01F(x) dx=F(1)−∫01(x2ex+x2)dx\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=F(1)-\int_0^1\left(x^2e^x+x^2\right)dx
  4. Calculăm ∫x2ex dx\displaystyle \int x^2e^x\,dx prin părți: ∫x2ex dx=x2ex−∫2xex dx\displaystyle \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int 2xe^x\,dx. Apoi ∫xex dx=xex−ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-e^x. Deci ∫x2ex dx=x2ex−2xex+2ex+C\displaystyle \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C. Primitiva lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}.
    ∫(x2ex+x2)dx=(x2−2x+2)ex+x33+C\displaystyle \int\left(x^2e^x+x^2\right)dx=\left(x^2-2x+2\right)e^x+\frac{x^3}{3}+C
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem (1−2+2)e+13=e+13\displaystyle (1-2+2)e+\dfrac{1}{3}=e+\dfrac{1}{3}, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 2\displaystyle 2. Deci integrala este e+13−2\displaystyle e+\dfrac{1}{3}-2.
    ∫01(x2ex+x2)dx=((x2−2x+2)ex+x33)∣01=e+13−2\displaystyle \int_0^1\left(x^2e^x+x^2\right)dx=\left(\left(x^2-2x+2\right)e^x+\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1=e+\frac{1}{3}-2
  6. Înlocuim: ∫01F(x) dx=−(e+13−2)=2−e−13\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=-\left(e+\dfrac{1}{3}-2\right)=2-e-\dfrac{1}{3}. Aducem la numitor comun 3\displaystyle 3 și obținem valoarea cerută.
    ∫01F(x) dx=−(e+13−2)=5−3e3\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=-\left(e+\frac{1}{3}-2\right)=\frac{5-3e}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.