Bac matematică M2 științe ale naturii 2014, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=2+3i\displaystyle z=2+3i. Calculați z2\displaystyle z^2.
Vezi rezolvarea
  1. Avem z2=(2+3i)2\displaystyle z^2=(2+3i)^2. Aplicăm formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 cu a=2\displaystyle a=2 și b=3i\displaystyle b=3i.
    z2=22+2⋅2⋅3i+(3i)2\displaystyle z^2=2^2+2\cdot 2\cdot 3i+(3i)^2
  2. Calculăm termenii: 22=4\displaystyle 2^2=4, 2⋅2⋅3i=12i\displaystyle 2\cdot 2\cdot 3i=12i, iar (3i)2=9i2=9⋅(−1)=−9\displaystyle (3i)^2=9i^2=9\cdot(-1)=-9, deoarece i2=−1\displaystyle i^2=-1.
    z2=4+12i−9\displaystyle z^2=4+12i-9
  3. Adunăm părțile reale: 4−9=−5\displaystyle 4-9=-5. Rezultatul este z2=−5+12i\displaystyle z^2=-5+12i.
    z2=−5+12i\displaystyle z^2=-5+12i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−6x+9\displaystyle f(x)=x^2-6x+9.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox are ordonata zero, deci punem condiția f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    x2−6x+9=0\displaystyle x^{2}-6x+9=0
  2. Recunoaștem pătratul perfect: x2−6x+9=x2−2⋅x⋅3+32=(x−3)2\displaystyle x^{2}-6x+9=x^{2}-2\cdot x\cdot 3+3^{2}=(x-3)^{2}.
    (x−3)2=0\displaystyle (x-3)^{2}=0
  3. Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci x−3=0\displaystyle x-3=0, adică x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
  4. Punctul se află pe axa Ox\displaystyle Ox, deci ordonata este y=0\displaystyle y=0. Graficul taie axa Ox\displaystyle Ox într-un singur punct, de coordonate (3,0)\displaystyle (3,0).
    x=3 și y=0\displaystyle x=3\text{ și }y=0,punctul (3,0)\displaystyle \quad \text{punctul }(3,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡9(x2+5)=1\displaystyle \log_9\left(x^2+5\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Expresia x2+5≥5>0\displaystyle x^{2}+5\geq 5>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci ecuația are sens pe toată mulțimea numerelor reale.
    x2+5>0\displaystyle x^{2}+5>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡9A=1\displaystyle \log_9 A=1 este echivalent cu A=91=9\displaystyle A=9^{1}=9. Obținem x2+5=9\displaystyle x^{2}+5=9.
    x2+5=9\displaystyle x^{2}+5=9
  3. Scădem 9 din ambii membri și obținem ecuația x2+5−9=0\displaystyle x^{2}+5-9=0, adică x2−4=0\displaystyle x^{2}-4=0.
    x2−4=0\displaystyle x^{2}-4=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: (x−2)(x+2)=0\displaystyle (x-2)(x+2)=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci x−2=0\displaystyle x-2=0 sau x+2=0\displaystyle x+2=0.
    (x−2)(x+2)=0\displaystyle (x-2)(x+2)=0
  5. Soluțiile sunt x1=−2\displaystyle x_1=-2 și x2=2\displaystyle x_2=2. Ambele verifică ecuația, deoarece ecuația are sens pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar pentru x=±2\displaystyle x=\pm 2 avem log⁡99=1\displaystyle \log_9 9=1.
    x1=−2 și x2=2, care verifica˘ ecuația\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=2\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13\displaystyle 13.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Ele sunt în număr de 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90, deci avem 90\displaystyle 90 de cazuri posibile.
    90 cazuri posibile\displaystyle 90\text{ cazuri posibile}
  3. Cel mai mic multiplu de 13\displaystyle 13 cu două cifre este 13⋅1=13\displaystyle 13\cdot 1=13, iar cel mai mare este 13⋅7=91\displaystyle 13\cdot 7=91, pentru că 13⋅8=104\displaystyle 13\cdot 8=104 are trei cifre. Numerele sunt 13,26,39,52,65,78,91\displaystyle 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.
    {13,26,39,52,65,78,91}\displaystyle \{13,26,39,52,65,78,91\}
  4. Numărăm multiplii de 13\displaystyle 13 găsiți: sunt 7\displaystyle 7, deci avem 7\displaystyle 7 cazuri favorabile.
    7 cazuri favorabile\displaystyle 7\text{ cazuri favorabile}
  5. Înlocuim în formulă: p=790\displaystyle p=\dfrac{7}{90}. Fracția nu se simplifică, deoarece 7\displaystyle 7 este prim și nu divide 90\displaystyle 90.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=790\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{7}{90}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,0)\displaystyle A(-2,0), B(2,0)\displaystyle B(2,0) și C(0,3)\displaystyle C(0,3). Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele A(−2,0)\displaystyle A(-2,0) și B(2,0)\displaystyle B(2,0) se află pe axa Ox\displaystyle Ox, deci latura AB\displaystyle AB este orizontală. Lungimea ei este diferența absciselor: AB=∣2−(−2)∣\displaystyle AB=|2-(-2)|.
    AB=∣2−(−2)∣=4\displaystyle AB=|2-(-2)|=4
  2. Punctul C(0,3)\displaystyle C(0,3) se află pe axa Oy\displaystyle Oy, iar O(0,0)\displaystyle O(0,0) aparține segmentului AB\displaystyle AB, fiind mijlocul lui. Cum Oy⊥Ox\displaystyle Oy\perp Ox, rezultă CO⊥AB\displaystyle CO\perp AB, deci CO\displaystyle CO este înălțime în triunghiul ABC\displaystyle ABC. Lungimea ei este CO=∣3−0∣\displaystyle CO=|3-0|.
    AB=4\displaystyle AB=4, CO=3 și CO este ıˆna˘lțime\displaystyle \ CO=3\text{ și }CO\text{ este înălțime}
  3. Aplicăm formula ariei A=AB⋅CO2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot CO}{2} și înlocuim AB=4\displaystyle AB=4, CO=3\displaystyle CO=3: AΔABC=4⋅32=122\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{4\cdot 3}{2}=\dfrac{12}{2}.
    AΔABC=4⋅32=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{4\cdot 3}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=cos⁡x+sin⁡x2\displaystyle E(x)=\cos x+\sin\frac{x}{2}, unde x\displaystyle x este număr real. Calculați E(π2)\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} în expresia lui E(x)\displaystyle E(x). Argumentul sinusului devine π2:2=π4\displaystyle \dfrac{\pi}{2}:2=\dfrac{\pi}{4}.
    E(π2)=cos⁡π2+sin⁡π4\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{4}
  2. Folosim valorile cunoscute: cos⁡π2=0\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0 și sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡π2=0\displaystyle \cos\frac{\pi}{2}=0,sin⁡π4=22\displaystyle \quad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Adunăm cele două valori și obținem răspunsul final: 0+22=22\displaystyle 0+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    E(π2)=0+22=22\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a+111−a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+1 & 1\\ 1-a & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Calculați det⁡(A(1))\displaystyle \det(A(1)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): elementul 2a+1\displaystyle 2a+1 devine 2⋅1+1=3\displaystyle 2\cdot 1+1=3, iar elementul 1−a\displaystyle 1-a devine 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    A(1)=(3102)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul și aplicăm formula ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p & q\\ r & s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r.
    det⁡(A(1))=∣3102∣=3⋅2−1⋅0\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix}=3\cdot 2-1\cdot 0
  3. Calculăm produsele: 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6 și 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, deci diferența este 6−0=6\displaystyle 6-0=6.
    det⁡(A(1))=6\displaystyle \det(A(1))=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a+111−a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+1 & 1\\ 1-a & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a știind că det⁡(A(a))=1\displaystyle \det(A(a))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula determinantului de ordin 2: ∣pqrs∣=ps−qr\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=ps-qr, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(a))=(2a+1)⋅2−1⋅(1−a)\displaystyle \det(A(a))=(2a+1)\cdot 2-1\cdot(1-a)
  2. Efectuăm înmulțirile și desfacem parantezele: (2a+1)⋅2−(1−a)=4a+2−1+a\displaystyle (2a+1)\cdot 2-(1-a)=4a+2-1+a. Reducem termenii asemenea și obținem determinantul în funcție de a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=4a+2−1+a=5a+1\displaystyle \det(A(a))=4a+2-1+a=5a+1
  3. Punem condiția din enunț: det⁡(A(a))=1\displaystyle \det(A(a))=1, deci obținem o ecuație liniară în a\displaystyle a.
    5a+1=1\displaystyle 5a+1=1
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: 5a=0\displaystyle 5a=0. Apoi împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a+111−a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+1 & 1\\ 1-a & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a): 2a+1=1\displaystyle 2a+1=1 și 1−a=1\displaystyle 1-a=1, deci obținem matricea de mai jos.
    A(0)=(1112)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(A(0))=1⋅2−1⋅1=1\displaystyle \det(A(0))=1\cdot 2-1\cdot 1=1. Cum det⁡(A(0))≠0\displaystyle \det(A(0))\neq 0, matricea este inversabilă.
    det⁡(A(0))=1⋅2−1⋅1=1\displaystyle \det(A(0))=1\cdot 2-1\cdot 1=1
  3. Pentru o matrice (pqrs)\displaystyle \begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}, matricea adjunctă este (s−q−rp)\displaystyle \begin{pmatrix}s&-q\\-r&p\end{pmatrix}. Aici avem p=1\displaystyle p=1, q=1\displaystyle q=1, r=1\displaystyle r=1, s=2\displaystyle s=2.
    (A(0))∗=(2−1−11)\displaystyle (A(0))^{*}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}
  4. Inversa este (A(0))−1=1det⁡(A(0))⋅(A(0))∗=11⋅(2−1−11)\displaystyle (A(0))^{-1}=\dfrac{1}{\det(A(0))}\cdot (A(0))^{*}=\dfrac{1}{1}\cdot\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}.
    (A(0))−1=(2−1−11)\displaystyle (A(0))^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x\circ y=2xy-3x-3y+6.

Calculați 1∘2\displaystyle 1\circ 2.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x\circ y=2xy-3x-3y+6. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∘2=2⋅1⋅2−3⋅1−3⋅2+6\displaystyle 1\circ 2=2\cdot 1\cdot 2-3\cdot 1-3\cdot 2+6
  2. Calculăm produsele: 2⋅1⋅2=4\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2=4, 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6.
    1∘2=4−3−6+6\displaystyle 1\circ 2=4-3-6+6
  3. Efectuăm operațiile de la stânga la dreapta: 4−3=1\displaystyle 4-3=1, apoi 1−6=−5\displaystyle 1-6=-5, apoi −5+6=1\displaystyle -5+6=1. Deci 1∘2=1\displaystyle 1\circ 2=1.
    1∘2=1\displaystyle 1\circ 2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x\circ y=2xy-3x-3y+6.

Arătați că x∘y=2(x−32)(y−32)+32\displaystyle x\circ y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2} pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem factor comun 2\displaystyle 2 din expresia care definește legea: x∘y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x\circ y=2xy-3x-3y+6.
    x∘y=2(xy−32x−32y+3)\displaystyle x\circ y=2\left(xy-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y+3\right)
  2. Scriem 3=94+34\displaystyle 3=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}, deoarece 94=(32)2\displaystyle \dfrac{9}{4}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} este termenul de care avem nevoie pentru a forma produsul.
    x∘y=2(xy−32x−32y+94+34)\displaystyle x\circ y=2\left(xy-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}\right)
  3. Scoatem 34\displaystyle \dfrac{3}{4} în afara parantezei; înmulțit cu 2\displaystyle 2 dă 32\displaystyle \dfrac{3}{2}.
    x∘y=2(xy−32x−32y+94)+32\displaystyle x\circ y=2\left(xy-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}\right)+\frac{3}{2}
  4. Grupăm termenii: xy−32x=x(y−32)\displaystyle xy-\dfrac{3}{2}x=x\left(y-\dfrac{3}{2}\right) și −32y+94=−32(y−32)\displaystyle -\dfrac{3}{2}y+\dfrac{9}{4}=-\dfrac{3}{2}\left(y-\dfrac{3}{2}\right).
    x∘y=2(x(y−32)−32(y−32))+32\displaystyle x\circ y=2\left(x\left(y-\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)\right)+\frac{3}{2}
  5. Dăm factor comun y−32\displaystyle y-\dfrac{3}{2} și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=2(x−32)(y−32)+32 pentru orice numere reale x și y\displaystyle x\circ y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x\circ y=2xy-3x-3y+6.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=2\displaystyle x\circ x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∘x=2x⋅x−3x−3x+6\displaystyle x\circ x=2x\cdot x-3x-3x+6.
    x∘x=2x2−6x+6\displaystyle x\circ x=2x^{2}-6x+6
  2. Ecuația x∘x=2\displaystyle x\circ x=2 devine 2x2−6x+6=2\displaystyle 2x^{2}-6x+6=2.
    2x2−6x+6=2\displaystyle 2x^{2}-6x+6=2
  3. Aducem expresia din stânga la forma canonică, dând factor comun 2\displaystyle 2 din primii doi termeni și completând pătratul: 2x2−6x+6=2(x2−3x)+6=2(x−32)2−92+6\displaystyle 2x^{2}-6x+6=2\left(x^{2}-3x\right)+6=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{2}+6.
    2(x−32)2+32\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{2}
  4. Egalăm forma canonică cu 2\displaystyle 2: 2(x−32)2+32=2\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{2}=2. Trecem 32\displaystyle \dfrac{3}{2} în membrul drept și împărțim la 2\displaystyle 2: (x−32)2=12⋅12\displaystyle \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}.
    (x−32)2=14\displaystyle \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}
  5. Extragem rădăcina pătrată din ambii membri: x−32=12\displaystyle x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2} sau x−32=−12\displaystyle x-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}.
    x−32=±12\displaystyle x-\dfrac{3}{2}=\pm\dfrac{1}{2}
  6. Din prima relație obținem x=32+12=2\displaystyle x=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2, iar din a doua x=32−12=1\displaystyle x=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1. Ambele valori sunt numere reale, deci sunt soluții ale ecuației.
    x1=1 și x2=2\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−∞,2)→R\displaystyle f:(-\infty,2)\to\mathbb{R}, f(x)=e−xx−2\displaystyle f(x)=\frac{e^{-x}}{x-2}.

Calculați lim⁡x→1f(x)\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că funcția este definită și continuă în x=1\displaystyle x=1: numitorul x−2\displaystyle x-2 este diferit de zero pentru x=1\displaystyle x=1, iar 1∈(−∞,2)\displaystyle 1\in(-\infty,2). Deci limita se obține prin înlocuire directă.
    1−2=−1≠0\displaystyle 1-2=-1\neq 0
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia lui f(x)\displaystyle f(x): la numărător apare e−1\displaystyle e^{-1}, iar la numitor 1−2\displaystyle 1-2.
    lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1e−xx−2=e−11−2\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{e^{-x}}{x-2}=\frac{e^{-1}}{1-2}
  3. Calculăm numitorul, 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, și scriem e−1=1e\displaystyle e^{-1}=\dfrac{1}{e}. Rezultă limita cerută.
    e−1−1=−1e\displaystyle \frac{e^{-1}}{-1}=-\frac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−∞,2)→R\displaystyle f:(-\infty,2)\to\mathbb{R}, f(x)=e−xx−2\displaystyle f(x)=\frac{e^{-x}}{x-2}.

Arătați că f′(x)=(1−x)e−x(x−2)2\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)e^{-x}}{(x-2)^2}, x∈(−∞,2)\displaystyle x\in(-\infty,2).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este un cât de două funcții derivabile, iar x−2≠0\displaystyle x-2\neq 0 pe (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2). Aplicăm regula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=e−x\displaystyle u=e^{-x} și v=x−2\displaystyle v=x-2.
    f′(x)=(e−x)′⋅(x−2)−e−x⋅(x−2)′(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(e^{-x}\right)'\cdot(x-2)-e^{-x}\cdot(x-2)'}{(x-2)^{2}}
  2. Calculăm (e−x)′=e−x⋅(−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=e^{-x}\cdot(-x)'=-e^{-x} și (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=−e−x⋅(x−2)−e−x(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-e^{-x}\cdot(x-2)-e^{-x}}{(x-2)^{2}}
  3. La numărător dăm factor comun −e−x\displaystyle -e^{-x}: −e−x(x−2)−e−x=−e−x[(x−2)+1]=−e−x(x−1)\displaystyle -e^{-x}(x-2)-e^{-x}=-e^{-x}\left[(x-2)+1\right]=-e^{-x}(x-1).
    f′(x)=−e−x⋅(x−1)(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-e^{-x}\cdot(x-1)}{(x-2)^{2}}
  4. Folosim −(x−1)=1−x\displaystyle -(x-1)=1-x și obținem forma cerută, pentru x∈(−∞,2)\displaystyle x\in(-\infty,2).
    f′(x)=(1−x)e−x(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(1-x)e^{-x}}{(x-2)^{2}}, x∈(−∞,2)\displaystyle \ x\in(-\infty,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−∞,2)→R\displaystyle f:(-\infty,2)\to\mathbb{R}, f(x)=e−xx−2\displaystyle f(x)=\frac{e^{-x}}{x-2}.

Arătați că f(x)≤−1e\displaystyle f(x)\le -\frac{1}{e} pentru orice x∈(−∞,2)\displaystyle x\in(-\infty,2).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția ca pe un raport, cu formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=e−x\displaystyle u=e^{-x} și v=x−2\displaystyle v=x-2. Avem u′=−e−x\displaystyle u'=-e^{-x} și v′=1\displaystyle v'=1.
    f′(x)=−e−x(x−2)−e−x⋅1(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-e^{-x}(x-2)-e^{-x}\cdot 1}{(x-2)^{2}}
  2. Dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x} la numărător și reducem termenii: −(x−2)−1=−x+1=1−x\displaystyle -(x-2)-1=-x+1=1-x.
    f′(x)=e−x(1−x)(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{-x}(1-x)}{(x-2)^{2}}
  3. Studiem semnul derivatei pe (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2). Pentru orice x\displaystyle x din acest interval, e−x>0\displaystyle e^{-x}>0 și (x−2)2>0\displaystyle (x-2)^{2}>0, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui 1−x\displaystyle 1-x. Rezultă f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0, f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x<1\displaystyle x<1 și f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru x∈(1,2)\displaystyle x\in(1,2).
    f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0, f′(x)>0 pentru x∈(−∞,1)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pentru }x\in(-\infty,1), f′(x)<0 pentru x∈(1,2)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pentru }x\in(1,2)
  4. Din semnul derivatei, f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1] și descrescătoare pe [1,2)\displaystyle [1,2), deci f\displaystyle f are maxim în x=1\displaystyle x=1. Calculăm valoarea maximă: f(1)=e−11−2=−1e\displaystyle f(1)=\dfrac{e^{-1}}{1-2}=-\dfrac{1}{e}.
    f(1)=e−11−2=−1e\displaystyle f(1)=\dfrac{e^{-1}}{1-2}=-\dfrac{1}{e}
  5. Deoarece maximul funcției pe (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2) este f(1)\displaystyle f(1), avem f(x)≤f(1)\displaystyle f(x)\le f(1) pentru orice x∈(−∞,2)\displaystyle x\in(-\infty,2), adică f(x)≤−1e\displaystyle f(x)\le -\dfrac{1}{e}.
    f(x)≤f(1)⇒f(x)≤−1e pentru orice x∈(−∞,2)\displaystyle f(x)\le f(1)\Rightarrow f(x)\le -\dfrac{1}{e}\text{ pentru orice }x\in(-\infty,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx+1\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x+1}.

Arătați că ∫12(x+1)f(x) dx=2ln⁡2−1\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)\,dx=2\ln 2-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim f(x)=ln⁡xx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1} cu x+1\displaystyle x+1. Factorul x+1\displaystyle x+1 se simplifică cu numitorul, deci rămâne ln⁡x\displaystyle \ln x.
    (x+1)f(x)=ln⁡x\displaystyle (x+1)f(x)=\ln x
  2. Integrala cerută devine ∫12(x+1)f(x) dx=∫12ln⁡x dx\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)\,dx=\int_1^2 \ln x\,dx.
    ∫12(x+1)f(x) dx=∫12ln⁡x dx\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)\,dx=\int_1^2 \ln x\,dx
  3. Integrăm prin părți. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=dx\displaystyle dv=dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x\displaystyle v=x.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, dv=dx⇒du=1x dx\displaystyle \ dv=dx\Rightarrow du=\dfrac{1}{x}\,dx, v=x\displaystyle \ v=x
  4. Aplicăm formula integrării prin părți. Produsul xln⁡x\displaystyle x\ln x se evaluează între 1 și 2, iar în a doua integrală x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1.
    ∫12ln⁡x dx=xln⁡x∣12−∫121 dx\displaystyle \int_1^2 \ln x\,dx=x\ln x\Big|_1^2-\int_1^2 1\,dx
  5. Calculăm primul termen: xln⁡x∣12=2ln⁡2−1⋅ln⁡1=2ln⁡2\displaystyle x\ln x\Big|_1^2=2\ln 2-1\cdot\ln 1=2\ln 2, deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Apoi ∫121 dx=x∣12=2−1=1\displaystyle \int_1^2 1\,dx=x\Big|_1^2=2-1=1.
    xln⁡x∣12=2ln⁡2\displaystyle x\ln x\Big|_1^2=2\ln 2,∫121 dx=1\displaystyle \quad \int_1^2 1\,dx=1
  6. Scădem cele două rezultate: 2ln⁡2−x∣12=2ln⁡2−1\displaystyle 2\ln 2-x\Big|_1^2=2\ln 2-1, ceea ce trebuia arătat.
    ∫12(x+1)f(x) dx=2ln⁡2−1\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)\,dx=2\ln 2-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx+1\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x+1}.

Arătați că ∫1e(f(x)+(x+1)f′(x))dx=1\displaystyle \int_1^e \left(f(x)+(x+1)f'(x)\right)dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(x)+(x+1)f′(x)\displaystyle f(x)+(x+1)f'(x) este derivata produsului (x+1)⋅f(x)\displaystyle (x+1)\cdot f(x), după regula de derivare a produsului: (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, deci ((x+1)f(x))′=1⋅f(x)+(x+1)f′(x)\displaystyle \left((x+1)f(x)\right)'=1\cdot f(x)+(x+1)f'(x).
    f(x)+(x+1)f′(x)=((x+1)⋅f(x))′\displaystyle f(x)+(x+1)f'(x)=\left((x+1)\cdot f(x)\right)'
  2. Înlocuim integrandul cu derivata produsului în integrala dată: ∫1e(f(x)+(x+1)f′(x))dx=∫1e((x+1)f(x))′dx\displaystyle \int_1^e\left(f(x)+(x+1)f'(x)\right)dx=\int_1^e\left((x+1)f(x)\right)'dx.
    ∫1e((x+1)⋅f(x))′dx\displaystyle \int_1^e\left((x+1)\cdot f(x)\right)'dx
  3. Simplificăm produsul: (x+1)f(x)=(x+1)⋅ln⁡xx+1=ln⁡x\displaystyle (x+1)f(x)=(x+1)\cdot\dfrac{\ln x}{x+1}=\ln x.
    (x+1)f(x)=ln⁡x\displaystyle (x+1)f(x)=\ln x
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: integrala derivatei este diferența valorilor funcției în capete. Avem (x+1)f(x)∣1e=ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\displaystyle (x+1)f(x)\Big|_1^e=\ln e-\ln 1=1-0=1, deci integrala este egală cu 1\displaystyle 1.
    (x+1)f(x)∣1e=ln⁡e−ln⁡1=1\displaystyle (x+1)f(x)\Big|_1^e=\ln e-\ln 1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx+1\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x+1}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[2,3]→R\displaystyle g:[2,3]\to\mathbb{R}, g(x)=ln⁡xf(x)\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm expresia lui g(x)\displaystyle g(x): înlocuim f(x)=ln⁡xx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}. Pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3] avem ln⁡x≠0\displaystyle \ln x\neq 0, deci putem simplifica.
    g(x)=ln⁡xln⁡xx+1=x+1\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{\frac{\ln x}{x+1}}=x+1
  2. Scriem formula volumului corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox: V=π∫23g2(x) dx\displaystyle V=\pi\displaystyle\int_2^3 g^2(x)\,dx. Înlocuim g(x)=x+1\displaystyle g(x)=x+1.
    V=π∫23g2(x) dx=π∫23(x+1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_2^3 g^2(x)\,dx=\pi\int_2^3 (x+1)^2\,dx
  3. Aflăm o primitivă a funcției (x+1)2\displaystyle (x+1)^2: este (x+1)33\displaystyle \dfrac{(x+1)^3}{3}, deoarece derivata lui x+1\displaystyle x+1 este 1\displaystyle 1.
    ∫(x+1)2 dx=(x+1)33+C\displaystyle \int (x+1)^2\,dx=\frac{(x+1)^3}{3}+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 3\displaystyle 3 și în 2\displaystyle 2 și facem diferența. Obținem π⋅43−333\displaystyle \pi\cdot\dfrac{4^3-3^3}{3}, deci volumul este:
    V=π⋅(x+1)33∣23=π⋅64−273=37π3\displaystyle V=\pi\cdot\frac{(x+1)^3}{3}\Big|_2^3=\pi\cdot\frac{64-27}{3}=\frac{37\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.