Bac matematică M2 științe ale naturii 2019, sesiunea specială varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1+i)2−2i=0\displaystyle (1+i)^2-2i=0, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, unde a=1\displaystyle a=1 și b=i\displaystyle b=i, apoi scriem expresia din enunț: (1+i)2−2i=1+2i+i2−2i\displaystyle (1+i)^2-2i=1+2i+i^2-2i.
    (1+i)2−2i=1+2i+i2−2i\displaystyle (1+i)^2-2i=1+2i+i^2-2i
  2. Reducem termenii 2i\displaystyle 2i și −2i\displaystyle -2i, care se anulează, iar expresia devine 1+i2\displaystyle 1+i^2.
    1+i2\displaystyle 1+i^2
  3. Înlocuim i2\displaystyle i^2 cu −1\displaystyle -1, conform enunțului, și obținem 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0. Deci egalitatea este adevărată.
    1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real nenul m\displaystyle m, știind că abscisa vârfului parabolei asociate funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=mx2+8x−7\displaystyle f(x)=mx^2+8x-7 este egală cu 12\displaystyle 12.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției f(x)=mx2+8x−7\displaystyle f(x)=mx^2+8x-7: a=m\displaystyle a=m, b=8\displaystyle b=8, c=−7\displaystyle c=-7. Condiția m≠0\displaystyle m\neq 0 asigură că funcția este de gradul al doilea.
    a=m\displaystyle a=m, b=8\displaystyle \ b=8, c=−7\displaystyle \ c=-7
  2. Abscisa vârfului parabolei este xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Înlocuim coeficienții și egalăm cu 12\displaystyle 12.
    −82m=12\displaystyle -\dfrac{8}{2m}=12
  3. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem −4m=12\displaystyle -\dfrac{4}{m}=12.
    −4m=12\displaystyle -\dfrac{4}{m}=12
  4. Înmulțim cu m\displaystyle m (nenul): −4=12m\displaystyle -4=12m, de unde m=−412=−13\displaystyle m=-\dfrac{4}{12}=-\dfrac{1}{3}. Valoarea este nenulă, deci convine.
    m=−13\displaystyle m=-\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2−10x+40)=2\displaystyle \log_4\left(x^2-10x+40\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a logaritmului: x2−10x+40>0\displaystyle x^{2}-10x+40>0. Discriminantul este Δ=100−160=−60<0\displaystyle \Delta=100-160=-60<0, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci expresia este pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}
  2. Aplicăm definiția logaritmului: log⁡4A=2\displaystyle \log_4 A=2 înseamnă A=42\displaystyle A=4^{2}, deci x2−10x+40=42=16\displaystyle x^{2}-10x+40=4^{2}=16.
    x2−10x+40=16\displaystyle x^{2}-10x+40=16
  3. Aducem ecuația la forma generală, scăzând 16\displaystyle 16 din ambii membri.
    x2−10x+24=0\displaystyle x^{2}-10x+24=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=100−96=4\displaystyle \Delta=100-96=4, deci Δ=2\displaystyle \sqrt{\Delta}=2. Rădăcinile sunt x1=10−22=4\displaystyle x_1=\dfrac{10-2}{2}=4 și x2=10+22=6\displaystyle x_2=\dfrac{10+2}{2}=6.
    x1=4\displaystyle x_1=4, x2=6\displaystyle \ x_2=6
  5. Condiția de existență este îndeplinită pentru orice x\displaystyle x real, deci ambele soluții convin. Răspuns final: x=4\displaystyle x=4 sau x=6\displaystyle x=6.
    x=4 sau x=6, care convin\displaystyle x=4\text{ sau }x=6\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,…,100}\displaystyle M=\{1,2,3,\ldots,100\}, acesta să fie număr impar.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate numerele din M={1,2,3,…,100}\displaystyle M=\{1,2,3,\ldots,100\}, deci mulțimea are 100\displaystyle 100 de elemente.
    nr. cazuri posibile=100\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=100
  3. Numerele impare din M\displaystyle M sunt 1,3,5,…,99\displaystyle 1,3,5,\ldots,99. Numerele impare alternează cu cele pare, deci jumătate din cele 100\displaystyle 100 de numere sunt impare: 100:2=50\displaystyle 100:2=50.
    nr. cazuri favorabile=50\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=50
  4. Înlocuim în formulă și simplificăm fracția prin 50\displaystyle 50: p=50100=12\displaystyle p=\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}.
    p=50100=12\displaystyle p=\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,−1)\displaystyle A(2,-1), B(−2,0)\displaystyle B(-2,0) și C(0,3)\displaystyle C(0,3). Determinați lungimea vectorului BD→\displaystyle \overrightarrow{BD}, știind că ABCD\displaystyle ABCD este paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. În paralelogramul ABCD\displaystyle ABCD vârfurile B\displaystyle B și D\displaystyle D sunt opuse, deci diagonala BD\displaystyle BD este suma vectorilor care pornesc din B\displaystyle B: BD→=BA→+BC→\displaystyle \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.
    BD→=BA→+BC→\displaystyle \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}
  2. Calculăm BA→\displaystyle \overrightarrow{BA} scăzând coordonatele lui B\displaystyle B din cele ale lui A\displaystyle A: xA−xB=2−(−2)=4\displaystyle x_A-x_B=2-(-2)=4 și yA−yB=−1−0=−1\displaystyle y_A-y_B=-1-0=-1.
    BA→=4i⃗−j⃗\displaystyle \overrightarrow{BA}=4\vec{i}-\vec{j}
  3. Calculăm BC→\displaystyle \overrightarrow{BC}: xC−xB=0−(−2)=2\displaystyle x_C-x_B=0-(-2)=2 și yC−yB=3−0=3\displaystyle y_C-y_B=3-0=3.
    BC→=2i⃗+3j⃗\displaystyle \overrightarrow{BC}=2\vec{i}+3\vec{j}
  4. Adunăm vectorii pe componente: 4+2=6\displaystyle 4+2=6 și −1+3=2\displaystyle -1+3=2.
    BD→=BA→+BC→=6i⃗+2j⃗\displaystyle \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=6\vec{i}+2\vec{j}
  5. Lungimea vectorului este BD=62+22=36+4=40\displaystyle BD=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}, iar 40=4⋅10=210\displaystyle \sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}.
    BD=62+22=40=210\displaystyle BD=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡3x+sin⁡2x+sin⁡x=3\displaystyle \sin 3x+\sin 2x+\sin x=\sqrt{3}, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și sin⁡x=32\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm x\displaystyle x din condiția sin⁡x=32\displaystyle \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, cu x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right). Pe acest interval sinusul este strict crescător, deci ecuația are o singură soluție: x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}.
    x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}
  2. Înlocuim x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3} în expresie: 3x=π\displaystyle 3x=\pi, 2x=2π3\displaystyle 2x=\dfrac{2\pi}{3}.
    sin⁡3x+sin⁡2x+sin⁡x=sin⁡π+sin⁡2π3+sin⁡π3\displaystyle \sin 3x+\sin 2x+\sin x=\sin\pi+\sin\dfrac{2\pi}{3}+\sin\dfrac{\pi}{3}
  3. Calculăm fiecare valoare: sin⁡π=0\displaystyle \sin\pi=0; sin⁡2π3=sin⁡(π−π3)=sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}; sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡π=0\displaystyle \sin\pi=0, sin⁡2π3=32\displaystyle \ \sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π3=32\displaystyle \ \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. Adunăm cele trei valori: 0+32+32=3\displaystyle 0+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}, deci egalitatea este demonstrată.
    sin⁡π+sin⁡2π3+sin⁡π3=0+32+32=3\displaystyle \sin\pi+\sin\dfrac{2\pi}{3}+\sin\dfrac{\pi}{3}=0+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1133)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(M(1))=5\displaystyle \det(M(1))=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, deci M(1)=I2+A\displaystyle M(1)=I_2+A.
    M(1)=(1001)+(1133)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 0+1=1\displaystyle 0+1=1, 0+3=3\displaystyle 0+3=3, 1+3=4\displaystyle 1+3=4. Determinantul de ordin doi este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    M(1)=(2134)⇒det⁡(M(1))=∣2134∣=2⋅4−3⋅1\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}\Rightarrow\det(M(1))=\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}=2\cdot4-3\cdot1
  3. Efectuăm calculele: 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot4=8 și 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot1=3, deci 8−3=5\displaystyle 8-3=5. Am obținut det⁡(M(1))=5\displaystyle \det(M(1))=5, ceea ce trebuia arătat.
    8−3=5\displaystyle 8-3=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1133)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că M(a)M(b)=M(a+b+4ab)\displaystyle M(a)M(b)=M(a+b+4ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul M(a)M(b)\displaystyle M(a)M(b) folosind definiția M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA și îl dezvoltăm, ținând cont că I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțire.
    M(a)M(b)=(I2+aA)(I2+bA)=I2+aA+bA+abA⋅A\displaystyle M(a)M(b)=(I_2+aA)(I_2+bA)=I_2+aA+bA+abA\cdot A
  2. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: de exemplu, elementul de pe prima linie și prima coloană este 1⋅1+1⋅3=4\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 3=4.
    A⋅A=(1133)(1133)=(441212)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&4\\12&12\end{pmatrix}
  3. Observăm că (441212)=4(1133)\displaystyle \begin{pmatrix}4&4\\12&12\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix}, deci A2=4A\displaystyle A^2=4A.
    A⋅A=4A\displaystyle A\cdot A=4A
  4. Înlocuim A⋅A=4A\displaystyle A\cdot A=4A în dezvoltare și grupăm termenii care conțin A\displaystyle A. Rezultatul este chiar M(a+b+4ab)\displaystyle M(a+b+4ab), deci egalitatea este demonstrată.
    M(a)M(b)=I2+(a+b+4ab)A=M(a+b+4ab)\displaystyle M(a)M(b)=I_2+(a+b+4ab)A=M(a+b+4ab)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1133)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care M(a)M(a)=M(2)\displaystyle M(a)M(a)=M(2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2\displaystyle A^{2}. Înmulțim matricea A\displaystyle A cu ea însăși: A2=(1133)(1133)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix}.
    A2=(441212)=4A\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}4&4\\12&12\end{pmatrix}=4A
  2. Dezvoltăm M(a)M(a)=(I2+aA)(I2+aA)=I2+2aA+a2A2\displaystyle M(a)M(a)=(I_2+aA)(I_2+aA)=I_2+2aA+a^{2}A^{2}. Cum A2=4A\displaystyle A^{2}=4A, obținem I2+(2a+4a2)A\displaystyle I_2+(2a+4a^{2})A.
    M(a)M(a)=I2+(2a+4a2)A=M(a+a+4a2)\displaystyle M(a)M(a)=I_2+(2a+4a^{2})A=M(a+a+4a^{2})
  3. Egalitatea M(a)M(a)=M(2)\displaystyle M(a)M(a)=M(2) devine I2+(2a+4a2)A=I2+2A\displaystyle I_2+(2a+4a^{2})A=I_2+2A. Cum A≠O2\displaystyle A\neq O_2, coeficienții lui A\displaystyle A trebuie să fie egali: 2a+4a2=2\displaystyle 2a+4a^{2}=2, adică 4a2+2a−2=0\displaystyle 4a^{2}+2a-2=0.
    M(a+a+4a2)=M(2)⇔4a2+2a−2=0\displaystyle M(a+a+4a^{2})=M(2)\Leftrightarrow 4a^{2}+2a-2=0
  4. Împărțim ecuația la 2\displaystyle 2 și obținem 2a2+a−1=0\displaystyle 2a^{2}+a-1=0. Discriminantul este Δ=12−4⋅2⋅(−1)=9\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=9.
    2a2+a−1=0\displaystyle 2a^{2}+a-1=0,Δ=9\displaystyle \quad \Delta=9
  5. Rădăcinile sunt a=−1±34\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 3}{4}, deci a=−44=−1\displaystyle a=\dfrac{-4}{4}=-1 și a=24=12\displaystyle a=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
    a=−1 sau a=12\displaystyle a=-1\text{ sau }a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5x+5y−xy−20\displaystyle x*y=5x+5y-xy-20.

Arătați că x∗y=−(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-(x-5)(y-5)+5, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=5x+5y−xy−20\displaystyle x*y=5x+5y-xy-20 și ordonăm termenii, începând cu termenul care îl conține pe xy\displaystyle xy.
    x∗y=−xy+5x+5y−20\displaystyle x*y=-xy+5x+5y-20
  2. Scriem −20=−25+5\displaystyle -20=-25+5, pentru a obține termenul −25\displaystyle -25, necesar la dezvoltarea produsului (x−5)(y−5)\displaystyle (x-5)(y-5).
    x∗y=−xy+5x+5y−25+5\displaystyle x*y=-xy+5x+5y-25+5
  3. Grupăm termenii care îl conțin pe x\displaystyle x: −xy+5x=−x(y−5)\displaystyle -xy+5x=-x(y-5). Apoi grupăm 5y−25=5(y−5)\displaystyle 5y-25=5(y-5).
    x∗y=−x(y−5)+5(y−5)+5\displaystyle x*y=-x(y-5)+5(y-5)+5
  4. Dăm factor comun pe y−5\displaystyle y-5: −x(y−5)+5(y−5)=−(x−5)(y−5)\displaystyle -x(y-5)+5(y-5)=-(x-5)(y-5). Obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=−(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-(x-5)(y-5)+5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5x+5y−xy−20\displaystyle x*y=5x+5y-xy-20.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗x≥x\displaystyle x*x\ge x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∗x=5x+5x−x⋅x−20\displaystyle x*x=5x+5x-x\cdot x-20.
    x∗x=−x2+10x−20\displaystyle x*x=-x^{2}+10x-20
  2. Scriem expresia sub formă de pătrat perfect: −x2+10x−20=−(x2−10x+25)+5=−(x−5)2+5\displaystyle -x^{2}+10x-20=-(x^{2}-10x+25)+5=-(x-5)^{2}+5.
    x∗x=−(x−5)2+5\displaystyle x*x=-(x-5)^{2}+5
  3. Scriem inegalitatea x∗x≥x\displaystyle x*x\ge x folosind această formă: −(x−5)2+5≥x\displaystyle -(x-5)^{2}+5\ge x.
    −(x−5)2+5≥x\displaystyle -(x-5)^{2}+5\ge x
  4. Mutăm totul în partea stângă și înmulțim cu −1\displaystyle -1 (se schimbă sensul inegalității): (x−5)2−5+x≤0\displaystyle (x-5)^{2}-5+x\le 0, adică x2−10x+25−5+x≤0\displaystyle x^{2}-10x+25-5+x\le 0, deci x2−9x+20≤0\displaystyle x^{2}-9x+20\le 0.
    x2−9x+20≤0\displaystyle x^{2}-9x+20\le 0
  5. Descompunem trinomul în factori: rădăcinile sunt 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5 (suma 9\displaystyle 9, produsul 20\displaystyle 20), deci x2−9x+20=(x−5)(x−4)\displaystyle x^{2}-9x+20=(x-5)(x-4).
    (x−5)(x−4)≤0\displaystyle (x-5)(x-4)\le 0
  6. Parabola y=(x−5)(x−4)\displaystyle y=(x-5)(x-4) are ramurile în sus, deci produsul este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0 între rădăcini, inclusiv rădăcinile. Deci x∈[4,5]\displaystyle x\in[4,5].
    x∈[4,5]\displaystyle x\in[4,5]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5x+5y−xy−20\displaystyle x*y=5x+5y-xy-20.

Calculați 1∗(−2)∗3∗(−4)∗…∗(−2018)∗2019\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*\ldots*(-2018)*2019.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie factorizat. Dezvoltăm: −(x−5)(y−5)+5=−xy+5x+5y−25+5=5x+5y−xy−20\displaystyle -(x-5)(y-5)+5=-xy+5x+5y-25+5=5x+5y-xy-20, deci x∗y=−(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-(x-5)(y-5)+5.
    x∗y=−(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-(x-5)(y-5)+5
  2. Calculăm x∗5=−(x−5)(5−5)+5=−(x−5)⋅0+5=5\displaystyle x*5=-(x-5)(5-5)+5=-(x-5)\cdot 0+5=5. Expresia este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă și 5∗x=5\displaystyle 5*x=5, pentru orice x\displaystyle x real. Așadar 5 este element absorbant.
    x∗5=5 și 5∗x=5, pentru orice x∈R\displaystyle x*5=5\text{ și }5*x=5\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. În expresia 1∗(−2)∗3∗(−4)∗…∗(−2018)∗2019\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*\ldots*(-2018)*2019 factorii sunt numerele 1,2,3,…,2019\displaystyle 1,2,3,\ldots,2019 cu semne alternate, cele impare având semnul plus. Cum 5 este impar, factorul 5\displaystyle 5 apare în expresie, după −4\displaystyle -4.
    1∗(−2)∗3∗(−4)∗5∗(−6)∗…∗(−2018)∗2019\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*5*(-6)*\ldots*(-2018)*2019
  4. Folosim asociativitatea și grupăm primii cinci factori: (1∗(−2)∗3∗(−4))∗5=a∗5=5\displaystyle (1*(-2)*3*(-4))*5=a*5=5, unde a=1∗(−2)∗3∗(−4)\displaystyle a=1*(-2)*3*(-4) este un număr real. Apoi 5∗((−6)∗…∗(−2018)∗2019)=5\displaystyle 5*((-6)*\ldots*(-2018)*2019)=5, deoarece 5∗x=5\displaystyle 5*x=5 pentru orice x\displaystyle x real.
    1∗(−2)∗3∗(−4)∗5∗…∗(−2018)∗2019=((1∗(−2)∗3∗(−4))∗5)∗(−6)∗…∗2019=5∗((−6)∗…∗(−2018)∗2019)=5\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*5*\ldots*(-2018)*2019=((1*(-2)*3*(-4))*5)*(-6)*\ldots*2019=5*((-6)*\ldots*(-2018)*2019)=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6x+9ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+6x+9}{e^x}.

Arătați că f′(x)=−(x+1)(x+3)ex\displaystyle f'(x)=\frac{-(x+1)(x+3)}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x2+6x+9\displaystyle u=x^{2}+6x+9 și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    f′(x)=(x2+6x+9)′ ex−(x2+6x+9) (ex)′(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}+6x+9)'\,e^{x}-(x^{2}+6x+9)\,(e^{x})'}{(e^{x})^{2}}
  2. Avem u′=2x+6\displaystyle u'=2x+6 și v′=(ex)′=ex\displaystyle v'=(e^{x})'=e^{x}. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=(2x+6)ex−(x2+6x+9)ex(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+6)e^{x}-(x^{2}+6x+9)e^{x}}{(e^{x})^{2}}
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător și simplificăm cu un factor ex\displaystyle e^{x} de la numitorul (ex)2=ex⋅ex\displaystyle (e^{x})^{2}=e^{x}\cdot e^{x}.
    f′(x)=ex[(2x+6)−(x2+6x+9)]ex⋅ex=2x+6−x2−6x−9ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left[(2x+6)-(x^{2}+6x+9)\right]}{e^{x}\cdot e^{x}}=\dfrac{2x+6-x^{2}-6x-9}{e^{x}}
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: 2x−6x=−4x\displaystyle 2x-6x=-4x și 6−9=−3\displaystyle 6-9=-3.
    f′(x)=−x2−4x−3ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}-4x-3}{e^{x}}
  5. Scoatem semnul minus în factor: −x2−4x−3=−(x2+4x+3)\displaystyle -x^{2}-4x-3=-(x^{2}+4x+3). Trinomul x2+4x+3\displaystyle x^{2}+4x+3 are rădăcinile −1\displaystyle -1 și −3\displaystyle -3 (suma −4\displaystyle -4, produsul 3\displaystyle 3), deci x2+4x+3=(x+1)(x+3)\displaystyle x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3). Rezultă relația cerută.
    f′(x)=−(x+1)(x+3)ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-(x+1)(x+3)}{e^{x}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6x+9ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+6x+9}{e^x}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă limita este finită. Calculăm această limită: lim⁡x→+∞x2+6x+9ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}+6x+9}{e^{x}}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+6x+9ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+6x+9}{e^{x}}
  2. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem x2+6x+9→+∞\displaystyle x^{2}+6x+9\to+\infty și ex→+∞\displaystyle e^{x}\to+\infty, deci apare nedeterminarea ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Aplicăm regula lui l'Hospital: (x2+6x+9)′=2x+6\displaystyle (x^{2}+6x+9)'=2x+6 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.
    lim⁡x→+∞x2+6x+9ex=lim⁡x→+∞2x+6ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+6x+9}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+6}{e^{x}}
  3. Limita obținută este tot de forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci aplicăm încă o dată regula lui l'Hospital: (2x+6)′=2\displaystyle (2x+6)'=2 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.
    lim⁡x→+∞2x+6ex=lim⁡x→+∞2ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+6}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}
  4. Deoarece ex→+∞\displaystyle e^{x}\to+\infty, iar numărătorul este constantul 2\displaystyle 2, fracția tinde la 0\displaystyle 0. Deci limita lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}=0
  5. Limita este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6x+9ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+6x+9}{e^x}.

Demonstrați că 0≤(x+3)(y+3)≤4ex+y+22\displaystyle 0\le (x+3)(y+3)\le 4e^{\frac{x+y+2}{2}}, pentru orice x,y∈[−3,+∞)\displaystyle x,y\in[-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția sub forma f(x)=(x+3)2e−x\displaystyle f(x)=(x+3)^{2}e^{-x}, deoarece x2+6x+9=(x+3)2\displaystyle x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}. Calculăm derivata cu regula produsului: f′(x)=2(x+3)e−x−(x+3)2e−x\displaystyle f'(x)=2(x+3)e^{-x}-(x+3)^{2}e^{-x}.
    f′(x)=(x+3)(2−x−3)e−x=−(x+3)(x+1)e−x\displaystyle f'(x)=(x+3)\left(2-x-3\right)e^{-x}=-(x+3)(x+1)e^{-x}
  2. Studiem semnul derivatei pe [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty). Avem e−x>0\displaystyle e^{-x}>0 și x+3≥0\displaystyle x+3\ge 0, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui −(x+1)\displaystyle -(x+1). Pe [−3,−1]\displaystyle [-3,-1] avem f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0, iar pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) avem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Deci f\displaystyle f crește pe [−3,−1]\displaystyle [-3,-1] și scade pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty), iar x=−1\displaystyle x=-1 este punct de maxim.
    f cresca˘toare pe [−3,−1], descresca˘toare pe [−1,+∞)\displaystyle f\text{ crescătoare pe }[-3,-1]\text{, descrescătoare pe }[-1,+\infty)
  3. Calculăm valoarea maximă: f(−1)=(−1+3)2e1=4e\displaystyle f(-1)=(-1+3)^{2}e^{1}=4e. Cum x=−1\displaystyle x=-1 este punct de maxim, obținem f(x)≤4e\displaystyle f(x)\le 4e pentru orice x∈[−3,+∞)\displaystyle x\in[-3,+\infty).
    f(−1)=4e⇒f(x)≤4e, pentru orice x∈[−3,+∞)\displaystyle f(-1)=4e\Rightarrow f(x)\le 4e\text{, pentru orice }x\in[-3,+\infty)
  4. Scriem inegalitatea f(x)≤4e\displaystyle f(x)\le 4e explicit și înmulțim cu ex>0\displaystyle e^{x}>0: (x+3)2≤4e⋅ex=4ex+1\displaystyle (x+3)^{2}\le 4e\cdot e^{x}=4e^{x+1}. Ambii membri sunt pozitivi sau zero, iar x+3≥0\displaystyle x+3\ge 0 pe [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty), deci putem extrage rădăcina pătrată: x+3≤2ex+12\displaystyle x+3\le 2e^{\frac{x+1}{2}}. Același lucru este valabil pentru y\displaystyle y.
    0≤x+3≤2ex+12\displaystyle 0\le x+3\le 2e^{\frac{x+1}{2}},0≤y+3≤2ey+12\displaystyle \quad 0\le y+3\le 2e^{\frac{y+1}{2}}
  5. Înmulțim cele două inegalități între numere pozitive sau zero, membru cu membru. La exponent se adună x+12\displaystyle \frac{x+1}{2} și y+12\displaystyle \frac{y+1}{2}, adică x+y+22\displaystyle \frac{x+y+2}{2}. Obținem inegalitatea cerută.
    0≤(x+3)(y+3)≤2ex+12⋅2ey+12=4ex+y+22\displaystyle 0\le (x+3)(y+3)\le 2e^{\frac{x+1}{2}}\cdot 2e^{\frac{y+1}{2}}=4e^{\frac{x+y+2}{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x+1}.

Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=4\displaystyle \int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{3}}{x+1} în produsul (x+1)f(x)\displaystyle (x+1)f(x).
    (x+1)f(x)=(x+1)⋅x3x+1\displaystyle (x+1)f(x)=(x+1)\cdot\dfrac{x^{3}}{x+1}
  2. Pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty) avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci putem simplifica prin x+1\displaystyle x+1. Produsul devine x3\displaystyle x^{3}, iar integrala se reduce la integrala lui x3\displaystyle x^{3} pe [0,2]\displaystyle [0,2].
    ∫02(x+1)f(x) dx=∫02x3 dx\displaystyle \int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=\int_0^2 x^{3}\,dx
  3. Aplicăm formula de integrare pentru puteri: o primitivă a lui x3\displaystyle x^{3} este x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}. Scriem integrala definită cu această primitivă.
    ∫02x3 dx=x44∣02\displaystyle \int_0^2 x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}\Big|_0^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 2\displaystyle 2 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența. Obținem 244−044\displaystyle \dfrac{2^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4}, adică 4\displaystyle 4.
    164−0=4\displaystyle \dfrac{16}{4}-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x+1}.

Arătați că funcția F:(−1,+∞)→R\displaystyle F:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x33−x22+x−ln⁡(x+1)\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln(x+1) este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca F\displaystyle F să fie primitivă a lui f\displaystyle f pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), trebuie ca F\displaystyle F să fie derivabilă și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty). Calculăm derivata lui F\displaystyle F, termen cu termen.
    F′(x)=(x33)′−(x22)′+(x)′−(ln⁡(x+1))′\displaystyle F'(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}\right)'-\left(\frac{x^{2}}{2}\right)'+(x)'-\left(\ln(x+1)\right)'
  2. Derivăm fiecare termen: (x33)′=3x23\displaystyle \left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)'=\dfrac{3x^{2}}{3}, (x22)′=2x2\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=\dfrac{2x}{2}, (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{1}{x+1}.
    F′(x)=3x23−2x2+1−1x+1\displaystyle F'(x)=\frac{3x^{2}}{3}-\frac{2x}{2}+1-\frac{1}{x+1}
  3. Simplificăm fracțiile din primii doi termeni.
    F′(x)=x2−x+1−1x+1\displaystyle F'(x)=x^{2}-x+1-\frac{1}{x+1}
  4. Aducem toți termenii la numitorul comun x+1\displaystyle x+1, care este nenul pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    F′(x)=(x2−x+1)(x+1)−1x+1\displaystyle F'(x)=\frac{(x^{2}-x+1)(x+1)-1}{x+1}
  5. Efectuăm înmulțirea de la numărător: (x2−x+1)(x+1)=x3+x2−x2−x+x+1\displaystyle (x^{2}-x+1)(x+1)=x^{3}+x^{2}-x^{2}-x+x+1.
    F′(x)=x3+x2−x2−x+x+1−1x+1\displaystyle F'(x)=\frac{x^{3}+x^{2}-x^{2}-x+x+1-1}{x+1}
  6. Reducem termenii asemenea la numărător: x2\displaystyle x^{2} cu −x2\displaystyle -x^{2}, −x\displaystyle -x cu x\displaystyle x, iar 1\displaystyle 1 cu −1\displaystyle -1. Rămâne x3\displaystyle x^{3} la numărător, deci F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty), adică F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=x3x+1=f(x)\displaystyle F'(x)=\frac{x^{3}}{x+1}=f(x), x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x+1}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=1x3f(x)\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^3}f(x), axa Ox\displaystyle Ox, dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=a2\displaystyle x=a^2 are aria egală cu ln⁡5\displaystyle \ln 5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{3}}{x+1} în g(x)=1x3f(x)\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x^{3}}f(x) și simplificăm cu x3\displaystyle x^{3}, deoarece x>0\displaystyle x>0.
    g(x)=1x3⋅x3x+1=1x+1\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x^{3}}\cdot\dfrac{x^{3}}{x+1}=\dfrac{1}{x+1}
  2. Pentru x≥1\displaystyle x\geq 1 avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci g(x)>0\displaystyle g(x)>0 și ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x). Aria este integrala lui g\displaystyle g pe [1,a2]\displaystyle [1,a^{2}], iar a2>1\displaystyle a^{2}>1 pentru că a>1\displaystyle a>1.
    A=∫1a2∣g(x)∣ dx=∫1a21x+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{1}^{a^{2}}|g(x)|\,dx=\int_{1}^{a^{2}}\dfrac{1}{x+1}\,dx
  3. O primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1). Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    A=ln⁡(x+1)∣1a2=ln⁡(a2+1)−ln⁡2\displaystyle \mathcal{A}=\ln(x+1)\Big|_{1}^{a^{2}}=\ln(a^{2}+1)-\ln 2
  4. Din A=ln⁡5\displaystyle \mathcal{A}=\ln 5 obținem ln⁡(a2+1)=ln⁡5+ln⁡2\displaystyle \ln(a^{2}+1)=\ln 5+\ln 2, adică ln⁡(a2+1)=ln⁡10\displaystyle \ln(a^{2}+1)=\ln 10.
    ln⁡(a2+1)=ln⁡5+ln⁡2=ln⁡10\displaystyle \ln(a^{2}+1)=\ln 5+\ln 2=\ln 10
  5. Logaritmul este injectiv, deci a2+1=10\displaystyle a^{2}+1=10, adică a2−9=0\displaystyle a^{2}-9=0. Cum a>1\displaystyle a>1, convine doar soluția pozitivă.
    a2−9=0⇒a=3\displaystyle a^{2}-9=0\Rightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.