Bac matematică M2 științe ale naturii 2017, sesiunea specială varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=3+2i\displaystyle z_1 = 3+2i și z2=3−2i\displaystyle z_2 = 3-2i. Arătați că numărul z1+z2\displaystyle z_1+z_2 este real.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma celor două numere complexe, înlocuind z1\displaystyle z_1 cu 3+2i\displaystyle 3+2i și z2\displaystyle z_2 cu 3−2i\displaystyle 3-2i.
    z1+z2=(3+2i)+(3−2i)\displaystyle z_1+z_2=(3+2i)+(3-2i)
  2. Grupăm separat părțile reale și părțile imaginare ale celor două numere.
    z1+z2=(3+3)+(2i−2i)\displaystyle z_1+z_2=(3+3)+(2i-2i)
  3. Părțile imaginare se reduc, pentru că 2i−2i=0\displaystyle 2i-2i=0, iar părțile reale dau 3+3=6\displaystyle 3+3=6. Suma este 6\displaystyle 6, un număr real, deci este adevărat ce trebuia arătat.
    z1+z2=6, care este numa˘r real\displaystyle z_1+z_2=6\text{, care este număr real}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul M(2,m)\displaystyle M(2,m) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3\displaystyle f(x)=x^2-3.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct (a,b)\displaystyle (a,b) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(a)=b\displaystyle f(a)=b. Pentru punctul M(2,m)\displaystyle M(2,m) condiția este f(2)=m\displaystyle f(2)=m.
    f(2)=m\displaystyle f(2)=m
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției: f(2)=22−3=4−3\displaystyle f(2)=2^{2}-3=4-3. Obținem egalitatea 4−3=m\displaystyle 4-3=m.
    f(2)=m⇔4−3=m\displaystyle f(2)=m \Leftrightarrow 4-3=m
  3. Calculăm diferența 4−3=1\displaystyle 4-3=1, deci m=1\displaystyle m=1.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x−5=3−2\displaystyle 3^{3x-5}=3^{-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ecuația 33x−5=3−2\displaystyle 3^{3x-5}=3^{-2} are aceeași bază, 3\displaystyle 3, în ambii membri. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci putem egala exponenții.
    33x−5=3−2⇔3x−5=−2\displaystyle 3^{3x-5}=3^{-2}\Leftrightarrow 3x-5=-2
  2. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri.
    3x=−2+5=3\displaystyle 3x=-2+5=3
  3. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem soluția ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,20}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,20\}, acesta să fie multiplu de 5.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A={1,2,3,…,20}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,20\} are 20 de elemente, deci putem alege oricare dintre cele 20 de numere.
    cazuri posibile=20\displaystyle \text{cazuri posibile}=20
  2. Aflăm multiplii lui 5 din mulțimea A\displaystyle A: sunt numerele de forma 5k\displaystyle 5k care nu depășesc 20\displaystyle 20, adică 5⋅1, 5⋅2, 5⋅3, 5⋅4\displaystyle 5\cdot 1,\ 5\cdot 2,\ 5\cdot 3,\ 5\cdot 4.
    5\displaystyle 5, 10\displaystyle \ 10, 15\displaystyle \ 15, 20\displaystyle \ 20
  3. Numărăm cazurile favorabile: sunt 4\displaystyle 4 numere multiple de 5\displaystyle 5 în mulțimea A\displaystyle A.
    cazuri favorabile=4\displaystyle \text{cazuri favorabile}=4
  4. Aplicăm formula p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}} și simplificăm fracția prin 4\displaystyle 4.
    p=420=15\displaystyle p=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,5)\displaystyle A(2,5), B(1,3)\displaystyle B(1,3) și C(m,1)\displaystyle C(m,1), unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul C\displaystyle C aparține dreptei AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dreptei AB\displaystyle AB prin două puncte: y−yAyB−yA=x−xAxB−xA\displaystyle \dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}=\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}.
    y−53−5=x−21−2\displaystyle \dfrac{y-5}{3-5}=\dfrac{x-2}{1-2}
  2. Simplificăm numitorii: y−5−2=x−2−1\displaystyle \dfrac{y-5}{-2}=\dfrac{x-2}{-1}.
    y−5−2=x−2−1\displaystyle \dfrac{y-5}{-2}=\dfrac{x-2}{-1}
  3. Înmulțim cu −2\displaystyle -2 și obținem y−5=2(x−2)\displaystyle y-5=2(x-2). Apoi desfacem parantezele: y=2x−4+5\displaystyle y=2x-4+5.
    y=2x+1\displaystyle y=2x+1
  4. Punctul C(m,1)\displaystyle C(m,1) aparține dreptei AB\displaystyle AB dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația dreptei. Înlocuim x=m\displaystyle x=m și y=1\displaystyle y=1 în y=2x+1\displaystyle y=2x+1.
    1=2m+1\displaystyle 1=2m+1
  5. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: 2m=0\displaystyle 2m=0, de unde m=0\displaystyle m=0.
    m=0\displaystyle m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=cos⁡x2+sin⁡x\displaystyle E(x)=\cos\frac{x}{2}+\sin x, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π3)=3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} în expresia lui E(x)\displaystyle E(x). Argumentul cosinusului devine π/32=π6\displaystyle \dfrac{\pi/3}{2}=\dfrac{\pi}{6}, iar argumentul sinusului rămâne π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}.
    E(π3)=cos⁡π6+sin⁡π3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3}
  2. Folosim valorile unghiurilor remarcabile: cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡π6=32\displaystyle \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},sin⁡π3=32\displaystyle \quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Adunăm cele două fracții cu același numitor: 32+32=232=3\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. Deci E(π3)=3\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.
    E(π3)=32+32=3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx+112x1301)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x+1 & 1 \\ 2 & x & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0), cu liniile (0, 1, 1)\displaystyle (0,\ 1,\ 1), (2, 0, 1)\displaystyle (2,\ 0,\ 1), (3, 0, 1)\displaystyle (3,\ 0,\ 1).
    A(0)=(011201301)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), pe care îl vom calcula cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(0))=∣011201301∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}
  3. Calculăm suma produselor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 0⋅0⋅1\displaystyle 0\cdot 0\cdot 1, 1⋅1⋅3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3 și 1⋅2⋅0\displaystyle 1\cdot 2\cdot 0.
    0⋅0⋅1+1⋅1⋅3+1⋅2⋅0=0+3+0=3\displaystyle 0\cdot 0\cdot 1+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 2\cdot 0=0+3+0=3
  4. Calculăm suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 1⋅0⋅3\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3, 0⋅1⋅0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 0 și 1⋅2⋅1\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1.
    1⋅0⋅3+0⋅1⋅0+1⋅2⋅1=0+0+2=2\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3+0\cdot 1\cdot 0+1\cdot 2\cdot 1=0+0+2=2
  5. Scădem a doua sumă din prima: 0+0+3−0−0−2=3−2=1\displaystyle 0+0+3-0-0-2=3-2=1. Deci det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
    det⁡(A(0))=0+0+3−0−0−2=1\displaystyle \det(A(0))=0+0+3-0-0-2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx+112x1301)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x+1 & 1 \\ 2 & x & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care A(x)+A(x+2)=2A(2)\displaystyle A(x)+A(x+2)=2A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(x+2)\displaystyle A(x+2), înlocuind x\displaystyle x cu x+2\displaystyle x+2 în elementele care depind de x\displaystyle x: x\displaystyle x devine x+2\displaystyle x+2, iar x+1\displaystyle x+1 devine x+3\displaystyle x+3.
    A(x+2)=(x+2x+312x+21301)\displaystyle A(x+2)=\begin{pmatrix} x+2 & x+3 & 1 \\ 2 & x+2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. Adunăm element cu element matricele A(x)\displaystyle A(x) și A(x+2)\displaystyle A(x+2).
    A(x)+A(x+2)=(2x+22x+4242x+22602)\displaystyle A(x)+A(x+2)=\begin{pmatrix} 2x+2 & 2x+4 & 2 \\ 4 & 2x+2 & 2 \\ 6 & 0 & 2 \end{pmatrix}
  3. Calculăm A(2)\displaystyle A(2), înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x).
    A(2)=(231221301)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  4. Înmulțim matricea A(2)\displaystyle A(2) cu 2\displaystyle 2, adică fiecare element cu 2\displaystyle 2.
    2A(2)=(462442602)\displaystyle 2A(2)=\begin{pmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 4 & 4 & 2 \\ 6 & 0 & 2 \end{pmatrix}
  5. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Din poziția (1,1)\displaystyle (1,1): 2x+2=4\displaystyle 2x+2=4, deci x=1\displaystyle x=1. Din poziția (1,2)\displaystyle (1,2): 2x+4=6\displaystyle 2x+4=6, deci x=1\displaystyle x=1. Din poziția (2,2)\displaystyle (2,2): 2x+2=4\displaystyle 2x+2=4, deci x=1\displaystyle x=1. Celelalte elemente coincid, deci x=1\displaystyle x=1 convine.
    2x+2=4 și 2x+4=6⇒x=1\displaystyle 2x+2=4\text{ și }2x+4=6\Rightarrow x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx+112x1301)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x+1 & 1 \\ 2 & x & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(n,n+1)\displaystyle M(n,n+1), N(2,n)\displaystyle N(2,n) și P(3,0)\displaystyle P(3,0). Determinați numărul natural n\displaystyle n, știind că punctele M\displaystyle M, N\displaystyle N și P\displaystyle P sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele M\displaystyle M, N\displaystyle N, P\displaystyle P sunt coliniare dacă determinantul format din coordonatele lor, completat cu o coloană de 1\displaystyle 1, este egal cu 0\displaystyle 0. Acest determinant coincide cu det⁡A(n)\displaystyle \det A(n), deci avem condiția det⁡A(n)=0\displaystyle \det A(n)=0.
    ∣nn+112n1301∣=0\displaystyle \begin{vmatrix} n & n+1 & 1 \\ 2 & n & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}=0
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: n⋅(n⋅1−1⋅0)−(n+1)⋅(2⋅1−1⋅3)+1⋅(2⋅0−n⋅3)\displaystyle n\cdot(n\cdot 1-1\cdot 0)-(n+1)\cdot(2\cdot 1-1\cdot 3)+1\cdot(2\cdot 0-n\cdot 3).
    n⋅n−(n+1)⋅(−1)+(−3n)\displaystyle n\cdot n-(n+1)\cdot(-1)+(-3n)
  3. Reducem termenii asemenea: n2+n+1−3n=n2−2n+1\displaystyle n^{2}+n+1-3n=n^{2}-2n+1.
    n2−2n+1=0\displaystyle n^{2}-2n+1=0
  4. Ecuația se scrie (n−1)2=0\displaystyle (n-1)^{2}=0, deci n=1\displaystyle n=1, care este număr natural.
    n2−2n+1=0, deci n=1\displaystyle n^{2}-2n+1=0\text{, deci }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+aX2+X−1\displaystyle f=X^3+aX^2+X-1, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că f(1)−f(−1)=4\displaystyle f(1)-f(-1)=4, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3+aX2+X−1\displaystyle f=X^3+aX^2+X-1.
    f(1)=13+a⋅12+1−1\displaystyle f(1)=1^3+a\cdot 1^2+1-1
  2. Calculăm: puterile lui 1\displaystyle 1 sunt egale cu 1\displaystyle 1, iar termenii +1\displaystyle +1 și −1\displaystyle -1 se reduc. Obținem f(1)=1+a+1−1\displaystyle f(1)=1+a+1-1.
    f(1)=a+1\displaystyle f(1)=a+1
  3. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia polinomului f\displaystyle f.
    f(−1)=(−1)3+a⋅(−1)2+(−1)−1\displaystyle f(-1)=(-1)^3+a\cdot(-1)^2+(-1)-1
  4. Folosim că (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1, iar (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1. Rămâne −1+a−1−1\displaystyle -1+a-1-1, adică a−3\displaystyle a-3.
    f(−1)=−1+a−1−1=a−3\displaystyle f(-1)=-1+a-1-1=a-3
  5. Calculăm diferența f(1)−f(−1)\displaystyle f(1)-f(-1). Scădem toată paranteza, deci schimbăm semnele, iar termenii cu a\displaystyle a se reduc.
    f(1)−f(−1)=(a+1)−(a−3)=a+1−a+3=4\displaystyle f(1)-f(-1)=(a+1)-(a-3)=a+1-a+3=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+aX2+X−1\displaystyle f=X^3+aX^2+X-1, unde a\displaystyle a este număr real. Pentru a=2\displaystyle a=2, calculați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X2+X+1\displaystyle X^2+X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=2\displaystyle a=2 polinomul devine f=X3+2X2+X−1\displaystyle f=X^3+2X^2+X-1, iar îl împărțim la g=X2+X+1\displaystyle g=X^2+X+1.
    f=X3+2X2+X−1\displaystyle f=X^3+2X^2+X-1
  2. Împărțim X3\displaystyle X^3 la X2\displaystyle X^2 și obținem X\displaystyle X, primul termen al câtului.
    X3:X2=X\displaystyle X^3:X^2=X
  3. Calculăm X⋅(X2+X+1)=X3+X2+X\displaystyle X\cdot(X^2+X+1)=X^3+X^2+X și scădem din f\displaystyle f.
    (X3+2X2+X−1)−(X3+X2+X)=X2−1\displaystyle (X^3+2X^2+X-1)-(X^3+X^2+X)=X^2-1
  4. Gradul lui X2−1\displaystyle X^2-1 este tot 2\displaystyle 2, deci continuăm: X2:X2=1\displaystyle X^2:X^2=1, al doilea termen al câtului. Câtul este X+1\displaystyle X+1.
    q=X+1\displaystyle q=X+1
  5. Calculăm 1⋅(X2+X+1)=X2+X+1\displaystyle 1\cdot(X^2+X+1)=X^2+X+1 și scădem din X2−1\displaystyle X^2-1. Restul are gradul 1<2\displaystyle 1<2, deci împărțirea se oprește.
    (X2−1)−(X2+X+1)=−X−2\displaystyle (X^2-1)-(X^2+X+1)=-X-2
  6. Verificăm: (X2+X+1)(X+1)+(−X−2)=X3+2X2+2X+1−X−2=X3+2X2+X−1=f\displaystyle (X^2+X+1)(X+1)+(-X-2)=X^3+2X^2+2X+1-X-2=X^3+2X^2+X-1=f. Deci câtul este X+1\displaystyle X+1, iar restul este −X−2\displaystyle -X-2.
    q=X+1, r=−X−2\displaystyle q=X+1\text{, }r=-X-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+aX2+X−1\displaystyle f=X^3+aX^2+X-1, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care x1+x2+x3+x1x2+x1x3+x2x3=x1x2x3−1\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=x_1x_2x_3-1, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții polinomului f=X3+aX2+X−1\displaystyle f=X^3+aX^2+X-1: 1\displaystyle 1, a\displaystyle a, 1\displaystyle 1 și termenul liber −1\displaystyle -1.
    f=1⋅X3+a⋅X2+1⋅X+(−1)\displaystyle f=1\cdot X^3+a\cdot X^2+1\cdot X+(-1)
  2. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este −a1\displaystyle -\dfrac{a}{1}.
    x1+x2+x3=−a\displaystyle x_1+x_2+x_3=-a
  3. Suma produselor rădăcinilor luate câte două este coeficientul lui X\displaystyle X, adică 1\displaystyle 1.
    x1x2+x1x3+x2x3=1\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1
  4. Produsul rădăcinilor este −(−1)\displaystyle -(-1), adică 1\displaystyle 1.
    x1x2x3=1\displaystyle x_1x_2x_3=1
  5. Înlocuim în egalitatea din enunț: (x1+x2+x3)+(x1x2+x1x3+x2x3)=x1x2x3−1\displaystyle (x_1+x_2+x_3)+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=x_1x_2x_3-1 devine o ecuație în a\displaystyle a.
    −a+1=1−1\displaystyle -a+1=1-1
  6. Simplificăm: −a+1=0\displaystyle -a+1=0, deci a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}.

Arătați că f′(x)=x(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile, cu numitorul nenul pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x2−x+1\displaystyle u=x^{2}-x+1 și v=x−1\displaystyle v=x-1.
    f′(x)=(x2−x+1)′(x−1)−(x2−x+1)(x−1)′(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}-x+1)'(x-1)-(x^{2}-x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}
  2. Calculăm u′=(x2−x+1)′=2x−1\displaystyle u'=(x^{2}-x+1)'=2x-1 și v′=(x−1)′=1\displaystyle v'=(x-1)'=1. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+1)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)-(x^{2}-x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  3. Desfacem parantezele de la numărător: (2x−1)(x−1)=2x2−2x−x+1=2x2−3x+1\displaystyle (2x-1)(x-1)=2x^{2}-2x-x+1=2x^{2}-3x+1.
    f′(x)=2x2−3x+1−x2+x−1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-3x+1-x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}}
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: 2x2−x2=x2\displaystyle 2x^{2}-x^{2}=x^{2}, −3x+x=−2x\displaystyle -3x+x=-2x, 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Apoi dăm factor comun pe x\displaystyle x: x2−2x=x(x−2)\displaystyle x^{2}-2x=x(x-2), pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2, x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2: y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2).
    y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2), înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției: f(2)=22−2+12−1=31\displaystyle f(2)=\dfrac{2^{2}-2+1}{2-1}=\dfrac{3}{1}.
    f(2)=3\displaystyle f(2)=3
  3. Derivăm funcția folosind formula derivatei unui raport (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x2−x+1\displaystyle u=x^{2}-x+1 și v=x−1\displaystyle v=x-1, deci u′=2x−1\displaystyle u'=2x-1 și v′=1\displaystyle v'=1.
    f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+1)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)-(x^{2}-x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  4. Simplificăm numărătorul: (2x−1)(x−1)−(x2−x+1)=2x2−3x+1−x2+x−1=x2−2x\displaystyle (2x-1)(x-1)-(x^{2}-x+1)=2x^{2}-3x+1-x^{2}+x-1=x^{2}-2x.
    f′(x)=x2−2x(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}
  5. Calculăm f′(2)=22−2⋅2(2−1)2=01\displaystyle f'(2)=\dfrac{2^{2}-2\cdot 2}{(2-1)^{2}}=\dfrac{0}{1}.
    f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0
  6. Înlocuim f(2)=3\displaystyle f(2)=3 și f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0 în formula tangentei: y−3=0⋅(x−2)\displaystyle y-3=0\cdot(x-2), deci y=3\displaystyle y=3.
    y−f(2)=f′(2)(x−2), adica˘ y=3\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)\text{, adică }y=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}.

Demonstrați că lim⁡x→+∞f(x)ex+1=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{e^x+1}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−x+1x−1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1} în limita cerută: f(x)ex+1=x2−x+1(x−1)(ex+1)\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^{x}+1}=\dfrac{x^{2}-x+1}{(x-1)(e^{x}+1)}.
    lim⁡x→+∞f(x)ex+1=lim⁡x→+∞x2−x+1(x−1)(ex+1)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{e^{x}+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-x+1}{(x-1)(e^{x}+1)}
  2. Scriem numitorul ca (x−1)(ex+1)=x(x−1)⋅ex+1x\displaystyle (x-1)(e^{x}+1)=x(x-1)\cdot\dfrac{e^{x}+1}{x} și separăm fracția într-un produs de două fracții: una cu x(x−1)\displaystyle x(x-1) și alta cu x\displaystyle x la numărător și ex+1\displaystyle e^{x}+1 la numitor.
    lim⁡x→+∞x2−x+1(x−1)(ex+1)=lim⁡x→+∞(x2−x+1x(x−1)⋅xex+1)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-x+1}{(x-1)(e^{x}+1)}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{2}-x+1}{x(x-1)}\cdot\frac{x}{e^{x}+1}\right)
  3. Avem x(x−1)=x2−x\displaystyle x(x-1)=x^{2}-x. Împărțind numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^{2} obținem 1−1x+1x21−1x\displaystyle \dfrac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}}, care tinde la 1\displaystyle 1 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    lim⁡x→+∞x2−x+1x(x−1)=lim⁡x→+∞1−1x+1x21−1x=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-x+1}{x(x-1)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}}=1
  4. La xex+1\displaystyle \dfrac{x}{e^{x}+1} avem cazul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Aplicăm regula lui l'Hospital: derivata numărătorului este 1\displaystyle 1, iar derivata numitorului este ex\displaystyle e^{x}, deci limita este lim⁡x→+∞1ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}}=0.
    lim⁡x→+∞xex+1=lim⁡x→+∞1ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x}}=0
  5. Deoarece ambele limite există și sunt finite, limita produsului este produsul limitelor: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0. Deci lim⁡x→+∞f(x)ex+1=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{e^{x}+1}=0.
    lim⁡x→+∞f(x)ex+1=1⋅0=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{e^{x}+1}=1\cdot 0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x.

Arătați că ∫01(f(x)−2x) dx=e−1\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x)\,dx=e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x în expresia de sub integrală: f(x)−2x=ex+2x−2x\displaystyle f(x)-2x=e^x+2x-2x.
    ∫01(f(x)−2x) dx=∫01(ex+2x−2x) dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x)\,dx=\int_0^1 (e^x+2x-2x)\,dx
  2. Termenii 2x\displaystyle 2x și −2x\displaystyle -2x se reduc, deci rămâne doar ex\displaystyle e^x sub integrală.
    ∫01(ex+2x−2x) dx=∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 (e^x+2x-2x)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx
  3. Deoarece (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, o primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01ex dx=ex∣01\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1
  4. Evaluăm în capete: e1−e0\displaystyle e^1-e^0, iar e0=1\displaystyle e^0=1. Obținem rezultatul cerut.
    e1−e0=e−1\displaystyle e^1-e^0=e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−ex\displaystyle g(x)=f(x)-e^x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x în g(x)=f(x)−ex\displaystyle g(x)=f(x)-e^x. Avem g(x)=ex+2x−ex\displaystyle g(x)=e^x+2x-e^x, deci g(x)=2x\displaystyle g(x)=2x.
    g(x)=2x\displaystyle g(x)=2x
  2. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R} în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx.
    V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx
  3. Înlocuim g(x)=2x\displaystyle g(x)=2x, iar g2(x)=(2x)2=4x2\displaystyle g^2(x)=(2x)^2=4x^2. Obținem V=π∫014x2 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 4x^2\,dx.
    V=π∫014x2 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 4x^2\,dx
  4. Scoatem constanta în fața integralei și folosim primitiva lui x2\displaystyle x^2, adică x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}. Obținem V=4π⋅x33∣01\displaystyle V=4\pi\cdot\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^1.
    V=4π⋅x33∣01\displaystyle V=4\pi\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: V=4π(133−033)=4π⋅13\displaystyle V=4\pi\left(\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}\right)=4\pi\cdot\dfrac{1}{3}. Deci volumul este 4π3\displaystyle \dfrac{4\pi}{3}.
    V=4π3\displaystyle V=\frac{4\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că ∫0axf(x) dx=1+2a33\displaystyle \int_0^a x f(x)\,dx=1+\frac{2a^3}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x în integrală și desfacem paranteza: ∫0axf(x) dx=∫0axex dx+2∫0ax2 dx\displaystyle \int_0^a x f(x)\,dx=\int_0^a xe^x\,dx+2\int_0^a x^2\,dx.
    ∫0axf(x) dx=∫0axex dx+2∫0ax2 dx\displaystyle \int_0^a x f(x)\,dx=\int_0^a xe^x\,dx+2\int_0^a x^{2}\,dx
  2. Calculăm ∫0axex dx\displaystyle \int_0^a xe^x\,dx prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Obținem ∫0axex dx=xex∣0a−∫0aex dx=xex∣0a−ex∣0a=(x−1)ex∣0a\displaystyle \int_0^a xe^x\,dx=xe^x\Big|_0^a-\int_0^a e^x\,dx=xe^x\Big|_0^a-e^x\Big|_0^a=(x-1)e^x\Big|_0^a.
    ∫0axex dx=(x−1)ex∣0a=(a−1)ea+1\displaystyle \int_0^a xe^x\,dx=(x-1)e^x\Big|_0^a=(a-1)e^a+1
  3. Pentru a doua integrală, o primitivă a lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, deci 2∫0ax2 dx=2⋅x33∣0a=2a33\displaystyle 2\int_0^a x^2\,dx=2\cdot\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^a=\dfrac{2a^3}{3}. Adunând cu rezultatul anterior obținem valoarea integralei.
    ∫0axf(x) dx=(a−1)ea+1+2a33\displaystyle \int_0^a x f(x)\,dx=(a-1)e^a+1+\frac{2a^3}{3}
  4. Egalăm cu valoarea din enunț: (a−1)ea+1+2a33=1+2a33\displaystyle (a-1)e^a+1+\dfrac{2a^3}{3}=1+\dfrac{2a^3}{3}. Reducem pe 1\displaystyle 1 și pe 2a33\displaystyle \dfrac{2a^3}{3} din ambii membri și obținem (a−1)ea=0\displaystyle (a-1)e^a=0.
    (a−1)ea=0\displaystyle (a-1)e^a=0
  5. Deoarece ea>0\displaystyle e^a>0 pentru orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}, produsul este nul doar dacă a−1=0\displaystyle a-1=0. Deci a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.