Bac matematică M2 științe ale naturii 2013, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul 2(7+1)−28\displaystyle 2(\sqrt{7}+1)-\sqrt{28} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem numărul de sub radical: 28=4⋅7\displaystyle 28=4\cdot 7, iar 4\displaystyle 4 este pătrat perfect.
    28=4⋅7\displaystyle 28=4\cdot 7
  2. Scoatem factorul 4\displaystyle 4 de sub radical: 28=4⋅7=27\displaystyle \sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}.
    28=27\displaystyle \sqrt{28}=2\sqrt{7}
  3. Distribuim factorul 2\displaystyle 2 în paranteză: 2(7+1)=27+2\displaystyle 2(\sqrt{7}+1)=2\sqrt{7}+2.
    2(7+1)=27+2\displaystyle 2(\sqrt{7}+1)=2\sqrt{7}+2
  4. Înlocuim în expresie și reducem termenii asemenea: 27+2−27=2\displaystyle 2\sqrt{7}+2-2\sqrt{7}=2. Rezultatul 2\displaystyle 2 este număr natural, deci numărul dat este natural.
    27+2−27=2∈N\displaystyle 2\sqrt{7}+2-2\sqrt{7}=2\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(1)+f(2)+…+f(10)\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare termen al sumei folosind formula funcției, f(k)=2k−1\displaystyle f(k)=2k-1, pentru k\displaystyle k de la 1\displaystyle 1 la 10\displaystyle 10: f(1)+f(2)+…+f(10)=(2⋅1−1)+(2⋅2−1)+…+(2⋅10−1)\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10)=(2\cdot 1-1)+(2\cdot 2-1)+\ldots+(2\cdot 10-1).
    (2⋅1−1)+(2⋅2−1)+…+(2⋅10−1)\displaystyle (2\cdot 1-1)+(2\cdot 2-1)+\ldots+(2\cdot 10-1)
  2. Grupăm termenii: scoatem factorul 2\displaystyle 2 din partea cu k\displaystyle k și observăm că scădem 1\displaystyle 1 de zece ori, deci scădem 10\displaystyle 10.
    2(1+2+…+10)−10\displaystyle 2(1+2+\ldots+10)-10
  3. Calculăm suma primelor 10\displaystyle 10 numere naturale nenule cu formula n(n+1)2\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}, pentru n=10\displaystyle n=10.
    1+2+…+10=10⋅112=55\displaystyle 1+2+\ldots+10=\dfrac{10\cdot 11}{2}=55
  4. Înlocuim suma 55\displaystyle 55 în expresie și efectuăm calculul: 2⋅55−10=110−10\displaystyle 2\cdot 55-10=110-10.
    2⋅55−10=100\displaystyle 2\cdot 55-10=100
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x+1=16\displaystyle 4^{x+1}=16.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 16=4⋅4\displaystyle 16=4\cdot 4, deci 16=42\displaystyle 16=4^{2}.
    16=42\displaystyle 16=4^{2}
  2. Înlocuim 16\displaystyle 16 cu 42\displaystyle 4^{2} în ecuația 4x+1=16\displaystyle 4^{x+1}=16 și obținem ecuația cu aceeași bază în ambii membri.
    4x+1=42\displaystyle 4^{x+1}=4^{2}
  3. Funcția f(t)=4t\displaystyle f(t)=4^{t} este injectivă, deci din 4x+1=42\displaystyle 4^{x+1}=4^{2} rezultă egalitatea exponenților.
    x+1=2\displaystyle x+1=2
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: x=2−1\displaystyle x=2-1, deci soluția ecuației este x=1\displaystyle x=1.
    x+1=2⇒x=1\displaystyle x+1=2\Rightarrow x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea A={1,2,3,…,15}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,15\}, acesta să fie multiplu de 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Mai întâi aflăm multiplii lui 7\displaystyle 7 din mulțimea A\displaystyle A: sunt cei care se împart exact la 7\displaystyle 7, adică 7\displaystyle 7 și 14\displaystyle 14 (următorul, 21\displaystyle 21, depășește 15\displaystyle 15).
    7=7⋅1\displaystyle 7=7\cdot 1,14=7⋅2\displaystyle \quad 14=7\cdot 2
  2. Singurii multipli de 7\displaystyle 7 din A\displaystyle A sunt 7\displaystyle 7 și 14\displaystyle 14, deci avem 2\displaystyle 2 cazuri favorabile.
    7 și 14⇒2 cazuri favorabile\displaystyle 7\text{ și }14\Rightarrow 2\text{ cazuri favorabile}
  3. Mulțimea A\displaystyle A are elementele de la 1\displaystyle 1 la 15\displaystyle 15, deci sunt 15\displaystyle 15 cazuri posibile.
    15 cazuri posibile\displaystyle 15\text{ cazuri posibile}
  4. Aplicăm formula probabilității: raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile. Obținem răspunsul final.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=215\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C astfel încât AB→=2i⃗+j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=2\vec{i}+\vec{j} și BC→=i⃗−j⃗\displaystyle \overrightarrow{BC}=\vec{i}-\vec{j}. Calculați lungimea vectorului AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim regula triunghiului (relația lui Chasles): AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
    AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
  2. Înlocuim vectorii dați: AC→=(2i⃗+j⃗)+(i⃗−j⃗)\displaystyle \overrightarrow{AC}=(2\vec{i}+\vec{j})+(\vec{i}-\vec{j}). Adunăm separat coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} și ai lui j⃗\displaystyle \vec{j}: (2+1)i⃗+(1−1)j⃗\displaystyle (2+1)\vec{i}+(1-1)\vec{j}.
    AC→=(2+1)i⃗+(1−1)j⃗=3i⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=(2+1)\vec{i}+(1-1)\vec{j}=3\vec{i}
  3. Lungimea vectorului ai⃗+bj⃗\displaystyle a\vec{i}+b\vec{j} este a2+b2\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aici a=3\displaystyle a=3 și b=0\displaystyle b=0, deci AC=32+02=9\displaystyle AC=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}.
    AC=32+02=9=3\displaystyle AC=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) știind că 3sin⁡x−2cos⁡xcos⁡x=1\displaystyle \frac{3\sin x-2\cos x}{\cos x}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci expresia are sens și putem împărți fiecare termen al numărătorului la cos⁡x\displaystyle \cos x.
    cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0
  2. Scriem 3sin⁡x−2cos⁡xcos⁡x=3sin⁡xcos⁡x−2cos⁡xcos⁡x\displaystyle \dfrac{3\sin x-2\cos x}{\cos x}=\dfrac{3\sin x}{\cos x}-\dfrac{2\cos x}{\cos x} și simplificăm al doilea termen.
    3sin⁡xcos⁡x−2=1\displaystyle \dfrac{3\sin x}{\cos x}-2=1
  3. Mutăm −2\displaystyle -2 în membrul drept: 3sin⁡xcos⁡x=3\displaystyle \dfrac{3\sin x}{\cos x}=3.
    3sin⁡xcos⁡x=3\displaystyle \dfrac{3\sin x}{\cos x}=3
  4. Înmulțim ambii membri cu cos⁡x\displaystyle \cos x și obținem 3sin⁡x=3cos⁡x\displaystyle 3\sin x=3\cos x. Împărțim la 3\displaystyle 3.
    sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x
  5. Împărțind la cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0 obținem tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg}x=1. Pe intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) singura soluție este x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}.
    x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(1xxx1xxx1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}.

Calculați det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și scriem determinantul de ordin 3\displaystyle 3.
    det⁡(A(2))=∣122212221∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm suma produselor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅1⋅1+2⋅2⋅2+2⋅2⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+2\cdot 2\cdot 2.
    1⋅1⋅1+2⋅2⋅2+2⋅2⋅2=1+8+8=17\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+2\cdot 2\cdot 2=1+8+8=17
  3. Calculăm suma produselor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea, care se scade: 2⋅1⋅2+2⋅2⋅1+1⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2\cdot 1+1\cdot 2\cdot 2.
    2⋅1⋅2+2⋅2⋅1+1⋅2⋅2=4+4+4=12\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2\cdot 1+1\cdot 2\cdot 2=4+4+4=12
  4. Scădem cele două sume și obținem valoarea determinantului: 17−12\displaystyle 17-12.
    det⁡(A(2))=17−12=5\displaystyle \det(A(2))=17-12=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(1xxx1xxx1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}.

Arătați că A(1)⋅A(2)=5A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(2)=5A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Matricea A(1)\displaystyle A(1) are toate elementele egale cu 1\displaystyle 1, iar A(2)\displaystyle A(2) are 1\displaystyle 1 pe diagonală și 2\displaystyle 2 în rest.
    A(1)⋅A(2)=(111111111)⋅(122212221)\displaystyle A(1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}
  2. Toate liniile primei matrice sunt (1,1,1)\displaystyle (1,1,1), deci fiecare element al produsului este suma elementelor coloanei corespunzătoare din A(2)\displaystyle A(2). Fiecare coloană conține numerele 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, 2\displaystyle 2, deci suma este 1+2+2=5\displaystyle 1+2+2=5.
    1⋅1+1⋅2+1⋅2=5\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 2=5
  3. Toate cele nouă elemente ale produsului sunt egale cu 5\displaystyle 5, iar matricea cu toate elementele 1\displaystyle 1 este A(1)\displaystyle A(1). Deci produsul este 5A(1)\displaystyle 5A(1).
    A(1)⋅A(2)=(555555555)=5A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}5&5&5\\5&5&5\\5&5&5\end{pmatrix}=5A(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(1xxx1xxx1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}. Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x))=0\displaystyle \det(A(x))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) cu regula lui Sarrus: suma produselor de pe diagonala principală și paralelele ei, minus suma produselor de pe diagonala secundară și paralelele ei.
    det⁡(A(x))=∣1xxx1xxx1∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{vmatrix}
  2. Termenii pozitivi sunt 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și x⋅x⋅x\displaystyle x\cdot x\cdot x (acesta apare de două ori), adică 1+2x3\displaystyle 1+2x^{3}. Termenii negativi sunt x⋅1⋅x\displaystyle x\cdot 1\cdot x, 1⋅x⋅x\displaystyle 1\cdot x\cdot x și x⋅x⋅1\displaystyle x\cdot x\cdot 1, fiecare egal cu x2\displaystyle x^{2}, adică 3x2\displaystyle 3x^{2}.
    det⁡(A(x))=(1+2x3)−3x2\displaystyle \det(A(x))=\left(1+2x^{3}\right)-3x^{2}
  3. Reducem termenii asemenea și obținem expresia determinantului.
    det⁡(A(x))=2x3−3x2+1\displaystyle \det(A(x))=2x^{3}-3x^{2}+1
  4. Punem condiția det⁡(A(x))=0\displaystyle \det(A(x))=0. Căutăm o rădăcină întreagă: pentru x=1\displaystyle x=1 avem 2−3+1=0\displaystyle 2-3+1=0, deci x−1\displaystyle x-1 divide polinomul.
    2x3−3x2+1=0\displaystyle 2x^{3}-3x^{2}+1=0,x=1 este ra˘da˘cina˘\displaystyle \quad x=1\text{ este rădăcină}
  5. Împărțim polinomul la x−1\displaystyle x-1 (sau grupăm termenii): 2x3−3x2+1=2x3−2x2−x2+1=2x2(x−1)−(x−1)(x+1)=(x−1)(2x2−x−1)\displaystyle 2x^{3}-3x^{2}+1=2x^{3}-2x^{2}-x^{2}+1=2x^{2}(x-1)-(x-1)(x+1)=(x-1)(2x^{2}-x-1).
    2x3−3x2+1=(x−1)(2x2−x−1)\displaystyle 2x^{3}-3x^{2}+1=(x-1)(2x^{2}-x-1)
  6. Descompunem trinomul 2x2−x−1\displaystyle 2x^{2}-x-1: rădăcinile sunt x=1\displaystyle x=1 și x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}, deci 2x2−x−1=(x−1)(2x+1)\displaystyle 2x^{2}-x-1=(x-1)(2x+1). Rezultă forma factorizată.
    det⁡(A(x))=(2x+1)(x−1)2\displaystyle \det(A(x))=(2x+1)(x-1)^{2}
  7. Produsul este zero când un factor este zero: 2x+1=0\displaystyle 2x+1=0 sau (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0. Deci x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2} sau x=1\displaystyle x=1.
    (2x+1)(x−1)2=0⇔x=−12 sau x=1\displaystyle (2x+1)(x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=3\displaystyle m=3, calculați f(1)\displaystyle f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=3\displaystyle m=3 înlocuim m\displaystyle m în expresia polinomului f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+m și obținem polinomul concret.
    f=X3−2X2−2X+3\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+3
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în fiecare termen: 13=1\displaystyle 1^3=1, 2⋅12=2\displaystyle 2\cdot 1^2=2, 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, iar termenul liber rămâne 3\displaystyle 3.
    f(1)=13−2⋅12−2⋅1+3=1−2−2+3\displaystyle f(1)=1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1+3=1-2-2+3
  3. Efectuăm operațiile de la stânga la dreapta: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, apoi −1−2=−3\displaystyle -1-2=-3, iar −3+3=0\displaystyle -3+3=0. Deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0, adică 1\displaystyle 1 este rădăcină a polinomului.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m știind că restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la X−2\displaystyle X-2 este egal cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm teorema restului: restul împărțirii lui f\displaystyle f la X−2\displaystyle X-2 este f(2)\displaystyle f(2). Deci condiția din enunț devine f(2)=2\displaystyle f(2)=2.
    f(2)=2\displaystyle f(2)=2
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în f\displaystyle f: f(2)=23−2⋅22−2⋅2+m\displaystyle f(2)=2^3-2\cdot 2^2-2\cdot 2+m, iar egalitatea f(2)=2\displaystyle f(2)=2 devine o ecuație în m\displaystyle m.
    8−8−4+m=2\displaystyle 8-8-4+m=2
  3. Reducem termenii: 8−8=0\displaystyle 8-8=0, deci rămâne −4+m=2\displaystyle -4+m=2. Adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri și obținem m=2+4\displaystyle m=2+4.
    m=6\displaystyle m=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=4\displaystyle m=4, arătați că (x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=1\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=1, unde x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=4\displaystyle m=4 polinomul este f=X3−2X2−2X+4\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+4, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=−2\displaystyle c=-2, d=4\displaystyle d=4.
    f=X3−2X2−2X+4\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+4
  2. Scriem relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul trei: x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}, x1x2+x2x3+x3x1=ca\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a}, x1x2x3=−da\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}.
    x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}, x1x2+x2x3+x3x1=ca\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a}, x1x2x3=−da\displaystyle \ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}
  3. Înlocuim coeficienții: x1+x2+x3=−−21=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-2}{1}=2, x1x2+x2x3+x3x1=−21=−2\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{-2}{1}=-2, x1x2x3=−41=−4\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{4}{1}=-4.
    x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2, x1x2+x2x3+x3x1=−2\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-2, x1x2x3=−4\displaystyle \ x_1x_2x_3=-4
  4. Aducem fracțiile la același numitor x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3 (rădăcinile sunt nenule, deoarece produsul lor este −4\displaystyle -4): 1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}.
    1x1+1x2+1x3=x1x2+x2x3+x3x1x1x2x3\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}
  5. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète: 1x1+1x2+1x3=−2−4=12\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}.
    −2−4=12\displaystyle \frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}
  6. Înmulțim: (x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=2⋅−2−4=2⋅12=1\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}\right)=2\cdot\dfrac{-2}{-4}=2\cdot\dfrac{1}{2}=1, deci egalitatea este demonstrată.
    (x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=2⋅−2−4=1\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=2\cdot\frac{-2}{-4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este produsul dintre funcțiile u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=ln⁡x\displaystyle v(x)=\ln x, ambele derivabile pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Folosim regula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x)′⋅ln⁡x+x⋅(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(x)'\cdot\ln x+x\cdot(\ln x)'
  2. Calculăm derivatele celor două funcții: (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (x)′=1\displaystyle (x)'=1,(ln⁡x)′=1x\displaystyle \quad (\ln x)'=\frac{1}{x}
  3. Înlocuim derivatele în formula produsului: f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}. Simplificăm x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci f′(x)=ln⁡x+1\displaystyle f'(x)=\ln x+1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle f'(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x în limita cerută: lim⁡x→+∞f(x)x2=lim⁡x→+∞xln⁡xx2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x\ln x}{x^{2}}.
    lim⁡x→+∞xln⁡xx2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x\ln x}{x^{2}}
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 simplificăm fracția prin x\displaystyle x: xln⁡xx2=ln⁡xx\displaystyle \dfrac{x\ln x}{x^{2}}=\dfrac{\ln x}{x}.
    lim⁡x→+∞f(x)x2=lim⁡x→+∞ln⁡xx\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, atât ln⁡x→+∞\displaystyle \ln x\to+\infty, cât și x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deci avem nedeterminarea ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} și putem aplica regula lui l'Hospital.
    ∞∞\displaystyle \frac{\infty}{\infty}
  4. Derivăm numărătorul și numitorul: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (x)′=1\displaystyle (x)'=1, deci raportul derivatelor este 1x1=1x\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\dfrac{1}{x}.
    (ln⁡x)′(x)′=1x\displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x)'}=\frac{1}{x}
  5. Avem lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, deci, conform regulii lui l'Hospital, lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0. Prin urmare, limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)x2=lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima derivată a funcției f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x folosind regula de derivare a produsului: (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv', cu u=x\displaystyle u=x și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x, deci u′=1\displaystyle u'=1 și v′=1x\displaystyle v'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}
  2. Simplificăm: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci prima derivată se scrie mai simplu.
    f′(x)=ln⁡x+1\displaystyle f'(x)=\ln x+1, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  3. Derivăm încă o dată: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (1)′=0\displaystyle (1)'=0, deci obținem derivata a doua.
    f′′(x)=1x\displaystyle f''(x)=\dfrac{1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  4. Pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem x>0\displaystyle x>0, deci 1x>0\displaystyle \dfrac{1}{x}>0. Derivata a doua fiind strict pozitivă pe tot intervalul, funcția f\displaystyle f este convexă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)>0 pentru orice x∈(0,+∞)⇒f convexa˘ pe (0,+∞)\displaystyle f''(x)>0\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ convexă pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Arătați că ∫01xf(x) dx=12ln⁡2\displaystyle \int_0^1 xf(x)\,dx=\frac{1}{2}\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1} în integrală și obținem integrala funcției xx2+1\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}+1}.
    ∫01xf(x) dx=∫01xx2+1 dx\displaystyle \int_0^1 xf(x)\,dx=\int_0^1\frac{x}{x^{2}+1}\,dx
  2. Derivata numitorului este (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x. Scriem x=12⋅2x\displaystyle x=\dfrac{1}{2}\cdot 2x și scoatem factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fața integralei, astfel încât numărătorul să fie derivata numitorului.
    ∫01xf(x) dx=12∫01(x2+1)′x2+1 dx\displaystyle \int_0^1 xf(x)\,dx=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}\,dx
  3. Folosim ∫u′u dx=ln⁡∣u∣\displaystyle \displaystyle\int\frac{u'}{u}\,dx=\ln|u| cu u=x2+1>0\displaystyle u=x^{2}+1>0, deci o primitivă este ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln(x^{2}+1).
    12ln⁡(x2+1)∣01\displaystyle \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 12(ln⁡2−ln⁡1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\ln 2-\ln 1\right), iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci rezultatul este 12ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 2.
    12(ln⁡2−ln⁡1)=12ln⁡2\displaystyle \frac{1}{2}\left(\ln 2-\ln 1\right)=\frac{1}{2}\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Calculați ∫01xf′(x) dx\displaystyle \int_0^1 xf'(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Integrăm prin părți. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=f′(x) dx\displaystyle dv=f'(x)\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx și v=f(x)\displaystyle v=f(x).
    u=x\displaystyle u=x,v=f(x)\displaystyle \quad v=f(x)
  2. Aplicăm formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du și obținem o integrală mai simplă.
    ∫01xf′(x) dx=xf(x)∣01−∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 xf'(x)\,dx=xf(x)\Big|_0^1-\int_0^1 f(x)\,dx
  3. Calculăm termenul integrat: f(1)=112+1=12\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{1^2+1}=\dfrac{1}{2}, iar la 0 termenul este 0⋅f(0)=0\displaystyle 0\cdot f(0)=0.
    xf(x)∣01=1⋅12−0=12\displaystyle xf(x)\Big|_0^1=1\cdot\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}
  4. Calculăm integrala lui f\displaystyle f: derivata lui arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x este 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^2+1}, deci ∫011x2+1 dx=arctg⁡x∣01=arctg⁡1−arctg⁡0=π4−0\displaystyle \int_0^1\dfrac{1}{x^2+1}\,dx=\operatorname{arctg}x\Big|_0^1=\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0=\dfrac{\pi}{4}-0.
    ∫01f(x) dx=arctg⁡x∣01=π4\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\operatorname{arctg}x\Big|_0^1=\dfrac{\pi}{4}
  5. Înlocuim rezultatele în formula obținută prin părți: 12−π4\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4}.
    ∫01xf′(x) dx=12−π4\displaystyle \int_0^1 xf'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției h:[0,1]→R\displaystyle h:[0,1]\to\mathbb{R}, h(x)=1f(x)\displaystyle h(x)=\frac{1}{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm funcția h\displaystyle h. Deoarece f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}, inversul ei este h(x)=1f(x)=x2+1\displaystyle h(x)=\dfrac{1}{f(x)}=x^{2}+1.
    h(x)=x2+1\displaystyle h(x)=x^{2}+1
  2. Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox al graficului lui h\displaystyle h pe [0,1]\displaystyle [0,1] este V=π∫01h2(x) dx\displaystyle V=\pi\displaystyle\int_0^1 h^{2}(x)\,dx.
    V=π∫01h2(x) dx=π∫01(x2+1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 h^{2}(x)\,dx=\pi\int_0^1 (x^{2}+1)^{2}\,dx
  3. Dezvoltăm pătratul: (x2+1)2=x4+2x2+1\displaystyle (x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1, deci integrala devine una dintr-un polinom.
    V=π∫01(x4+2x2+1) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 (x^{4}+2x^{2}+1)\,dx
  4. Primitiva se află termen cu termen, folosind ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}: primitiva lui x4\displaystyle x^{4} este x55\displaystyle \dfrac{x^{5}}{5}, a lui 2x2\displaystyle 2x^{2} este 2x33\displaystyle \dfrac{2x^{3}}{3}, iar a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    V=π(x55+2x33+x)∣01\displaystyle V=\pi\left(\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x\right)\Big|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 1\displaystyle 1 minus valoarea în 0\displaystyle 0, care este 0\displaystyle 0. Obținem 15+23+1=315+1015+1515=2815\displaystyle \dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{3}{15}+\dfrac{10}{15}+\dfrac{15}{15}=\dfrac{28}{15}, deci volumul este 28π15\displaystyle \dfrac{28\pi}{15}.
    V=π(15+23+1)=28π15\displaystyle V=\pi\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right)=\frac{28\pi}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.