Bac matematică M2 științe ale naturii 2024, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 6−25+5⋅(2−5)=1\displaystyle 6 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5}\cdot(2-\sqrt{5}) = 1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem expresia dată, pe care trebuie să o demonstrăm egală cu 1\displaystyle 1.
    6−25+5⋅(2−5)\displaystyle 6-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot(2-\sqrt{5})
  2. Desfacem paranteza, înmulțind 5\displaystyle \sqrt{5} cu fiecare termen din interior: 5⋅2=25\displaystyle \sqrt{5}\cdot 2 = 2\sqrt{5} și 5⋅(−5)=−5⋅5\displaystyle \sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5}) = -\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}.
    5⋅(2−5)=25−5⋅5\displaystyle \sqrt{5}\cdot(2-\sqrt{5})=2\sqrt{5}-\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}
  3. Înlocuim produsul desfăcut înapoi în expresia inițială, obținând toți termenii scriși explicit.
    6−25+25−5⋅5\displaystyle 6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}
  4. Calculăm produsul 5⋅5\displaystyle \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}, care este egal cu 5\displaystyle 5, deoarece (a)⋅(a)=a\displaystyle (\sqrt{a})\cdot(\sqrt{a}) = a pentru a≥0\displaystyle a \geq 0.
    5⋅5=5\displaystyle \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5
  5. Reducem termenii opuși −25\displaystyle -2\sqrt{5} și +25\displaystyle +2\sqrt{5}, care se anulează reciproc, rămânând doar termenii numerici.
    6−25+25−5=6−5\displaystyle 6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5=6-5
  6. Efectuăm scăderea finală și obținem rezultatul cerut, confirmând egalitatea din enunț.
    6−5=1\displaystyle 6-5=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)+f(1)=0\displaystyle f(a)+f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției, apoi calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    f(a)=2a−3\displaystyle f(a)=2a-3, f(1)=2⋅1−3=−1\displaystyle \ f(1)=2\cdot1-3=-1
  2. Scriem ecuația f(a)+f(1)=0\displaystyle f(a)+f(1)=0 folosind valorile obținute anterior.
    (2a−3)+(−1)=0\displaystyle (2a-3)+(-1)=0
  3. Simplificăm ecuația obținută și rezolvăm pentru a\displaystyle a.
    2a−3−1=0, de unde obținem a=2\displaystyle 2a-3-1=0\text{, de unde obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 10x−1=10−2x⋅102\displaystyle 10^{x-1}=10^{-2x}\cdot10^{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie ecuația dată, observând că toate bazele sunt egale cu 10\displaystyle 10.
    10x−1=10−2x⋅102\displaystyle 10^{x-1}=10^{-2x}\cdot10^{2}
  2. Se folosește regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază pentru a scrie membrul drept ca o singură putere a lui 10\displaystyle 10.
    10−2x⋅102=10−2x+2\displaystyle 10^{-2x}\cdot10^{2}=10^{-2x+2}
  3. Se rescrie ecuația cu ambii membri exprimați ca puteri ale lui 10\displaystyle 10 și, deoarece bazele sunt egale, se egalează exponenții.
    10x−1=10−2x+2, de unde obținem x−1=−2x+2\displaystyle 10^{x-1}=10^{-2x+2}\text{, de unde obținem }x-1=-2x+2
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută, trecând termenii cu x\displaystyle x într-un membru și termenii liberi în celălalt.
    x+2x=2+1⇒3x=3\displaystyle x+2x=2+1\Rightarrow3x=3
  5. Se împarte ecuația la 3\displaystyle 3 pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x, care este soluția ecuației inițiale.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A={1,2,3,4,5,6}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6\}, au ambele cifre pare.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică cifrele pare din mulțimea A={1,2,3,4,5,6}\displaystyle A = \{1,2,3,4,5,6\}. Cifrele pare sunt 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4 și 6\displaystyle 6, deci există 3\displaystyle 3 cifre pare disponibile.
    {2,4,6}⇒3 cifre pare\displaystyle \{2,4,6\}\Rightarrow 3\text{ cifre pare}
  2. Se alege cifra zecilor dintre cele 3\displaystyle 3 cifre pare disponibile (2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4 sau 6\displaystyle 6). Numărul de posibilități pentru cifra zecilor este 3\displaystyle 3.
    3 posibilita˘ți pentru cifra \displaystyle 3\text{ posibilități pentru cifra }zecilor\displaystyle \text{zecilor}
  3. Cifra unităților trebuie să fie de asemenea pară, dar distinctă de cifra zecilor deja aleasă. Cum din cele 3\displaystyle 3 cifre pare una a fost deja folosită pentru zeci, rămân 2\displaystyle 2 cifre pare posibile pentru unități.
    3−1=2 posibilita˘ți pentru cifra \displaystyle 3-1=2\text{ posibilități pentru cifra }unita˘ților\displaystyle \text{unităților}
  4. Se aplică principiul multiplicării: numărul total de numere de două cifre distincte, ambele pare, este produsul dintre numărul de alegeri pentru cifra zecilor și numărul de alegeri pentru cifra unităților.
    3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,6)\displaystyle A(4,6) și B(6,0)\displaystyle B(6,0). Determinați distanța dintre punctele B\displaystyle B și M\displaystyle M, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului OA\displaystyle OA.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică punctul O\displaystyle O ca fiind originea reperului cartezian, O(0,0)\displaystyle O(0,0), și se reamintește formula coordonatelor mijlocului unui segment.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), xM=xO+xA2\displaystyle \ x_M=\dfrac{x_O+x_A}{2}, yM=yO+yA2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_O+y_A}{2}
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor O\displaystyle O și A\displaystyle A în formula mijlocului segmentului OA\displaystyle OA.
    xM=0+42=2\displaystyle x_M=\dfrac{0+4}{2}=2,yM=0+62=3\displaystyle \quad y_M=\dfrac{0+6}{2}=3
  3. Se scriu coordonatele punctului M\displaystyle M, mijlocul segmentului OA\displaystyle OA.
    M(2,3)\displaystyle M(2,3)
  4. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, aplicată punctelor B\displaystyle B și M\displaystyle M.
    BM=(xB−xM)2+(yB−yM)2\displaystyle BM=\sqrt{(x_B-x_M)^2+(y_B-y_M)^2}
  5. Se înlocuiesc coordonatele punctelor B(6,0)\displaystyle B(6,0) și M(2,3)\displaystyle M(2,3) în formula distanței.
    BM=(6−2)2+(0−3)2=42+(−3)2\displaystyle BM=\sqrt{(6-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}
  6. Se calculează sumele pătratelor și se simplifică sub radical.
    BM=16+9=25\displaystyle BM=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}
  7. Se extrage rădăcina pătrată și se obține valoarea finală a distanței BM\displaystyle BM.
    BM=5\displaystyle BM=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=6\displaystyle AC=6 și aria egală cu 24\displaystyle 24. Arătați că AB=8\displaystyle AB=8.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului: fiind dreptunghic în A, catetele sunt AB și AC, iar AC=6\displaystyle AC=6 este cunoscută, AB este cateta necunoscută pe care trebuie să o aflăm.
    AC=6\displaystyle AC=6, AB=necunoscut\displaystyle \text{ }AB=\text{necunoscut}
  2. Se scrie formula ariei unui triunghi dreptunghic în funcție de cele două catete (produsul catetelor împărțit la doi) și se înlocuiesc valorile cunoscute: aria este 24, iar AC=6\displaystyle AC=6.
    AABC=AB⋅AC2, deci 24=AB⋅62\displaystyle \mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\text{, deci }24=\dfrac{AB\cdot6}{2}
  3. Se simplifică ecuația obținută, aducând-o la o formă mai simplă pentru a izola AB.
    24=3⋅AB\displaystyle 24=3\cdot AB
  4. Se rezolvă ecuația pentru AB, obținând valoarea căutată, care confirmă cerința problemei.
    AB=24⋅26=8\displaystyle AB=\dfrac{24\cdot2}{6}=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1112)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} și B(x)=(x+1x+42x4x−3)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1&x+4\\2x&4x-3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A = 1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A\displaystyle A și se identifică elementele acesteia pentru calculul determinantului de ordinul doi: a11=1\displaystyle a_{11}=1, a12=1\displaystyle a_{12}=1, a21=1\displaystyle a_{21}=1, a22=2\displaystyle a_{22}=2.
    A=(1112)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Se aplică formula determinantului unei matrice de ordinul doi: dacă M=(abcd)\displaystyle M=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, atunci det⁡M=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det M = a\cdot d - b\cdot c.
    det⁡A=∣1112∣=1⋅2−1⋅1\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\cdot2-1\cdot1
  3. Se efectuează înmulțirile din expresia determinantului.
    1⋅2=2 și 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot2=2\text{ și }1\cdot1=1
  4. Se face scăderea și se obține valoarea finală a determinantului.
    =2−1=1\displaystyle =2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1112)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} și B(x)=(x+1x+42x4x−3)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1&x+4\\2x&4x-3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care det⁡(B(x)−xA)=x\displaystyle \det(B(x)-xA)=x.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare element al matricei A\displaystyle A cu x\displaystyle x: xA=x(1112)\displaystyle xA=x\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.
    xA=(xxx2x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}x&x\\x&2x\end{pmatrix}
  2. Scădem element cu element: B(x)−xA=(x+1−xx+4−x2x−x4x−3−2x)\displaystyle B(x)-xA=\begin{pmatrix}x+1-x&x+4-x\\2x-x&4x-3-2x\end{pmatrix}.
    B(x)−xA=(14x2x−3)\displaystyle B(x)-xA=\begin{pmatrix}1&4\\x&2x-3\end{pmatrix}
  3. Determinantul este 1⋅(2x−3)−4⋅x=2x−3−4x\displaystyle 1\cdot(2x-3)-4\cdot x=2x-3-4x.
    det⁡(B(x)−xA)=−2x−3\displaystyle \det(B(x)-xA)=-2x-3
  4. Ecuația det⁡(B(x)−xA)=x\displaystyle \det(B(x)-xA)=x devine −2x−3=x\displaystyle -2x-3=x, deci −3=3x\displaystyle -3=3x.
    −2x−3=x⇒3x=−3⇒x=−1\displaystyle -2x-3=x\Rightarrow 3x=-3\Rightarrow x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1112)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} și B(x)=(x+1x+42x4x−3)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1&x+4\\2x&4x-3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B(x)+B(x+2)=2⋅A⋅A⋅A\displaystyle B(x)+B(x+2)=2\cdot A\cdot A\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: (1112)⋅(1112)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}, cu elementele 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot1+1\cdot1=2, 1⋅1+1⋅2=3\displaystyle 1\cdot1+1\cdot2=3, 1⋅1+2⋅1=3\displaystyle 1\cdot1+2\cdot1=3, 1⋅1+2⋅2=5\displaystyle 1\cdot1+2\cdot2=5.
    A⋅A=(2335)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}
  2. Calculăm A⋅A⋅A=(A⋅A)⋅A=(2335)⋅(1112)=(58813)\displaystyle A\cdot A\cdot A=(A\cdot A)\cdot A=\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8\\8&13\end{pmatrix}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 fiecare element.
    2⋅A⋅A⋅A=(10161626)\displaystyle 2\cdot A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}10&16\\16&26\end{pmatrix}
  3. Scriem B(x+2)\displaystyle B(x+2), înlocuind x\displaystyle x cu x+2\displaystyle x+2: x+3\displaystyle x+3, x+6\displaystyle x+6, 2(x+2)=2x+4\displaystyle 2(x+2)=2x+4, 4(x+2)−3=4x+5\displaystyle 4(x+2)-3=4x+5.
    B(x+2)=(x+3x+62x+44x+5)\displaystyle B(x+2)=\begin{pmatrix}x+3&x+6\\2x+4&4x+5\end{pmatrix}
  4. Adunăm B(x)+B(x+2)\displaystyle B(x)+B(x+2) element cu element: (x+1)+(x+3)=2x+4\displaystyle (x+1)+(x+3)=2x+4, (x+4)+(x+6)=2x+10\displaystyle (x+4)+(x+6)=2x+10, 2x+(2x+4)=4x+4\displaystyle 2x+(2x+4)=4x+4, (4x−3)+(4x+5)=8x+2\displaystyle (4x-3)+(4x+5)=8x+2.
    B(x)+B(x+2)=(2x+42x+104x+48x+2)\displaystyle B(x)+B(x+2)=\begin{pmatrix}2x+4&2x+10\\4x+4&8x+2\end{pmatrix}
  5. Egalăm matricele element cu element. Din primul element: 2x+4=10\displaystyle 2x+4=10, deci x=3\displaystyle x=3. Verificăm: 2⋅3+10=16\displaystyle 2\cdot3+10=16, 4⋅3+4=16\displaystyle 4\cdot3+4=16, 8⋅3+2=26\displaystyle 8\cdot3+2=26, deci toate egalitățile sunt adevărate.
    (2x+42x+104x+48x+2)=(10161626), deci x=3\displaystyle \begin{pmatrix}2x+4&2x+10\\4x+4&8x+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&16\\16&26\end{pmatrix}\text{, deci }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2−2X−4\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}-2X-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=6\displaystyle m=6, arătați că f(1)=1\displaystyle f(1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică valoarea dată pentru m (m=6\displaystyle m=6) și se înlocuiește în expresia polinomului f.
    f=X3+mX2−2X−4\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}-2X-4, unde m=6\displaystyle \text{ unde }m=6
  2. Se scrie polinomul obținut după înlocuirea lui m cu 6.
    f=X3+6X2−2X−4\displaystyle f=X^{3}+6X^{2}-2X-4
  3. Se evaluează polinomul în x=1\displaystyle x=1, înlocuind X cu 1 în expresia lui f.
    f(1)=13+6⋅12−2⋅1−4\displaystyle f(1)=1^{3}+6\cdot1^{2}-2\cdot1-4
  4. Se calculează fiecare termen: puterile lui 1 și produsele cu coeficienții.
    1\displaystyle 1, 6\displaystyle \ 6, 2\displaystyle \ 2
  5. Se adună și se scad termenii obținuți pentru a determina valoarea finală a lui f(1)\displaystyle f(1).
    =1+6−2−4=1\displaystyle =1+6-2-4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2−2X−4\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}-2X-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care (x1x2x3)2=x1+x2+x3+x1x2x3\displaystyle (x_{1}x_{2}x_{3})^{2}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}, unde x1\displaystyle x_{1}, x2\displaystyle x_{2} și x3\displaystyle x_{3} sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică coeficienții polinomului f=X3+mX2−2X−4\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}-2X-4: coeficientul lui X3\displaystyle X^{3} este a=1\displaystyle a=1, coeficientul lui X2\displaystyle X^{2} este b=m\displaystyle b=m, coeficientul lui X\displaystyle X este c=−2\displaystyle c=-2, iar termenul liber este d=−4\displaystyle d=-4.
    a=1\displaystyle a=1, b=m\displaystyle \ b=m, c=−2\displaystyle \ c=-2, d=−4\displaystyle \ d=-4
  2. Se aplică relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea: suma rădăcinilor este −b/a\displaystyle -b/a, iar produsul rădăcinilor este −d/a\displaystyle -d/a.
    x1+x2+x3=−ba=−m\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}=-m, x1x2x3=−da=−−41=4\displaystyle \ x_{1}x_{2}x_{3}=-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-4}{1}=4
  3. Se scrie condiția din enunț legată de rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3} ale polinomului f\displaystyle f, și anume că suma rădăcinilor adunată cu produsul lor este egală cu 16\displaystyle 16.
    x1+x2+x3+x1x2x3=16\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}=16
  4. Se înlocuiesc expresiile obținute prin relațiile lui Viète (x1+x2+x3=−m\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-m și x1x2x3=4\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=4) în condiția de mai sus, obținându-se o ecuație în m\displaystyle m.
    −m+4=16\displaystyle -m+4=16
  5. Se rezolvă ecuația obținută pentru a determina valoarea lui m\displaystyle m.
    16=−m+4, de unde obținem m=−12\displaystyle 16=-m+4\text{, de unde obținem }m=-12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2−2X−4\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}-2X-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f, știind că restul împărțirii lui f\displaystyle f la polinomul X−2\displaystyle X-2 este egal cu 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică teorema restului: restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la X−2\displaystyle X-2 este egal cu valoarea polinomului în x=2\displaystyle x=2, adică f(2)\displaystyle f(2).
    Restul ıˆmpa˘rțirii lui f la X−2 este f(2)\displaystyle \text{Restul împărțirii lui }f\text{ la }X-2\text{ este }f(2)
  2. Se calculează f(2)\displaystyle f(2) înlocuind X=2\displaystyle X=2 în expresia polinomului.
    f(2)=23+m⋅22−2⋅2−4=8+4m−4−4=4m\displaystyle f(2)=2^{3}+m\cdot2^{2}-2\cdot2-4=8+4m-4-4=4m
  3. Se pune condiția ca restul să fie egal cu 8 (conform enunțului) și se determină m\displaystyle m.
    f(2)=8⇒4m=8, de unde obținem m=2\displaystyle f(2)=8\Rightarrow4m=8\text{, de unde obținem }m=2
  4. Se înlocuiește valoarea găsită m=2\displaystyle m=2 în expresia polinomului f\displaystyle f.
    f=X3+2X2−2X−4\displaystyle f=X^{3}+2X^{2}-2X-4
  5. Se grupează termenii polinomului pentru a scoate factor comun: primii doi termeni au factor comun X2\displaystyle X^2, iar ultimii doi au factor comun −2\displaystyle -2.
    f=X2(X+2)−2(X+2)\displaystyle f=X^{2}(X+2)-2(X+2)
  6. Se scoate factorul comun (X+2)\displaystyle (X+2), obținând produsul dintre (X+2)\displaystyle (X+2) și (X2−2)\displaystyle (X^2-2).
    f=(X+2)(X2−2)\displaystyle f=(X+2)(X^{2}-2)
  7. Se descompune X2−2\displaystyle X^2-2 folosind formula diferenței de pătrate, scriind 2 ca (2)2\displaystyle (\sqrt{2})^2, pentru a obține factorizarea completă și rădăcinile polinomului.
    f=X3+2X2−2X−4=(X+2)(X−2)(X+2), deci ra˘da˘cinile \displaystyle f=X^{3}+2X^{2}-2X-4=(X+2)(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})\text{, deci rădăcinile }polinomului f sunt −2\displaystyle \text{polinomului }f\text{ sunt }-2, −2 și 2\displaystyle \ -\sqrt{2}\text{ și }\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3−xx2+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{3-x}{x^{2}}+\ln x.

Arătați că f′(x)=x2+x−6x3\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x^{3}}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se derivează funcția termen cu termen: pentru fracția 3−xx2\displaystyle \dfrac{3-x}{x^2} se aplică regula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=3−x\displaystyle u=3-x, u′=−1\displaystyle u'=-1, v=x2\displaystyle v=x^2, v′=2x\displaystyle v'=2x; pentru ln⁡x\displaystyle \ln x derivata este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=(−1)⋅x2−(3−x)⋅2xx4+1x=−x2−2x(3−x)x4+1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(-1)\cdot x^{2}-(3-x)\cdot 2x}{x^{4}}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-x^{2}-2x(3-x)}{x^{4}}+\dfrac{1}{x}
  2. Se desface paranteza de la numărător și se reduc termenii asemenea.
    −x2−2x(3−x)=−x2−6x+2x2=x2−6x\displaystyle -x^{2}-2x(3-x)=-x^{2}-6x+2x^{2}=x^{2}-6x
  3. Se factorizează numărătorul obținut și se simplifică fracția prin x\displaystyle x, obținând forma intermediară a derivatei.
    x2−6xx4=x(x−6)x4=x−6x3 ⇒ f′(x)=x−6x3+1x\displaystyle \dfrac{x^{2}-6x}{x^{4}}=\dfrac{x(x-6)}{x^{4}}=\dfrac{x-6}{x^{3}}\ \Rightarrow\ f'(x)=\dfrac{x-6}{x^{3}}+\dfrac{1}{x}
  4. Se aduc cele două fracții la același numitor comun x3\displaystyle x^3, scriind 1x=x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2}{x^3}, apoi se adună numărătorii pentru a obține forma finală a derivatei, valabilă pe domeniul de definiție.
    x−6x3+1x=x−6x3+x2x3=x2+x−6x3\displaystyle \dfrac{x-6}{x^{3}}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-6}{x^{3}}+\dfrac{x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{x^{2}+x-6}{x^{3}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3−xx2+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{3-x}{x^{2}}+\ln x.

Arătați că lim⁡x→+∞(f(x)−ln⁡x)=0\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-\ln x\big)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența f(x)−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x, observând că termenul ln⁡x\displaystyle \ln x se reduce, rămânând doar fracția.
    f(x)−ln⁡x=3−xx2+ln⁡x−ln⁡x=3−xx2\displaystyle f(x)-\ln x=\dfrac{3-x}{x^{2}}+\ln x-\ln x=\dfrac{3-x}{x^{2}}
  2. Trecem la limită pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty a expresiei obținute și descompunem fracția 3−xx2\displaystyle \dfrac{3-x}{x^{2}} ca diferență a două fracții.
    lim⁡x→+∞(f(x)−ln⁡x)=lim⁡x→+∞3−xx2=lim⁡x→+∞(3x2−xx2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-\ln x\big)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3-x}{x^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{x}{x^{2}}\right)
  3. Simplificăm fracția xx2\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}} prin x\displaystyle x, obținând 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    lim⁡x→+∞(3x2−xx2)=lim⁡x→+∞(3x2−1x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{x}{x^{2}}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}\right)
  4. Calculăm limitele fiecărui termen separat: 3x2→0\displaystyle \dfrac{3}{x^{2}}\to 0 și 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deci limita diferenței este 0\displaystyle 0.
    =lim⁡x→+∞(3x2−1x)=0\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}\right)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3−xx2+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{3-x}{x^{2}}+\ln x.

Arătați că 4f(x)−1≥ln⁡16\displaystyle 4f(x)-1\ge\ln 16, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția sub formă convenabilă pentru derivare: se împarte fracția și se separă termenii.
    f(x)=3x2−1x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+\ln x,x∈(0,+∞)\displaystyle \quad x\in(0,+\infty)
  2. Se calculează derivata funcției, derivând termen cu termen.
    f′(x)=−6x3+1x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  3. Se aduce derivata la același numitor pentru a putea studia semnul acesteia.
    f′(x)=−6+x+x2x3=x2+x−6x3\displaystyle f'(x)=\dfrac{-6+x+x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{x^{2}+x-6}{x^{3}}
  4. Se factorizează numărătorul, care este un trinom de gradul al doilea, folosind rădăcinile acestuia.
    x2+x−6=(x−2)(x+3)⇒f′(x)=(x−2)(x+3)x3\displaystyle x^{2}+x-6=(x-2)(x+3)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+3)}{x^{3}}
  5. Se observă că, pentru x>0\displaystyle x>0, atât x3\displaystyle x^{3} cât și x+3\displaystyle x+3 sunt strict pozitive, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat exclusiv de semnul lui (x−2)\displaystyle (x-2). Se determină astfel punctul critic și monotonia funcției pe cele două intervale.
    f′(x)=0⇒x=2; pentru orice x∈(0,2]\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=2\text{; pentru orice }x\in(0,2], f′(x)≤0\displaystyle \ f'(x)\le0, deci f este descresca˘toare pe (0,2] și, pentru orice x∈[2,+∞)\displaystyle \text{ deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,2]\text{ și, pentru orice }x\in[2,+\infty), f′(x)≥0\displaystyle \ f'(x)\ge0, deci f este cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \text{ deci }f\text{ este crescătoare pe }[2,+\infty)
  6. Deoarece f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,2]\displaystyle (0,2] și crescătoare pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty), rezultă că x=2\displaystyle x=2 este punct de minim global pentru f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci f(x)≥f(2)\displaystyle f(x) \geq f(2) pentru orice x\displaystyle x din domeniu.
    f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
  7. Se calculează valoarea minimă f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x=2\displaystyle x=2 în expresia funcției.
    f(2)=3−222+ln⁡2=14+ln⁡2\displaystyle f(2)=\dfrac{3-2}{2^{2}}+\ln 2=\dfrac{1}{4}+\ln 2
  8. Se înlocuiește valoarea minimă în inegalitatea f(x)≥f(2)\displaystyle f(x) \geq f(2), apoi se înmulțește cu 4\displaystyle 4 și se folosește proprietatea logaritmului (4ln⁡2=ln⁡24=ln⁡16\displaystyle 4\ln 2 = \ln 2^{4} = \ln 16) pentru a obține forma cerută.
    f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2), pentru orice x∈(0,+∞) și, cum f(2)=14+ln⁡2\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{ și, cum }f(2)=\dfrac{1}{4}+\ln 2, obținem 4f(x)−1≥ln⁡16\displaystyle \text{ obținem }4f(x)-1\ge\ln 16, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x+1x+3\displaystyle f(x)=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}.

Arătați că ∫24(f(x)−1x+3)dx=18\displaystyle \displaystyle\int_{2}^{4}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=18.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia de integrat, folosind definiția funcției f, și se observă că termenul 1x+3\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+3}} se reduce cu cel identic din f(x).
    f(x)−1x+3=3x+1x+3−1x+3=3x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}=3x
  2. Se înlocuiește în integrală expresia simplificată și se obține o integrală de funcție polinomială.
    ∫24(f(x)−1x+3)dx=∫243x dx\displaystyle \int_{2}^{4}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=\int_{2}^{4}3x\,dx
  3. Se determină o primitivă a funcției 3x\displaystyle 3x, folosind formula ∫xn dx=xn+1n+1+C\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C pentru n=1\displaystyle n=1.
    ∫3x dx=3x22+C\displaystyle \int 3x\,dx=\dfrac{3x^{2}}{2}+C
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva între limitele 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4.
    ∫243x dx=3x22∣24\displaystyle \int_{2}^{4}3x\,dx=\left.\dfrac{3x^{2}}{2}\right|_{2}^{4}
  5. Se calculează valorile primitivei în capetele intervalului: 3⋅422=482\displaystyle \dfrac{3\cdot4^{2}}{2}=\dfrac{48}{2} și 3⋅222=122\displaystyle \dfrac{3\cdot2^{2}}{2}=\dfrac{12}{2}.
    3⋅422−3⋅222=482−122\displaystyle \dfrac{3\cdot4^{2}}{2}-\dfrac{3\cdot2^{2}}{2}=\dfrac{48}{2}-\dfrac{12}{2}
  6. Se efectuează scăderea finală pentru a obține valoarea integralei.
    482−122=18\displaystyle \dfrac{48}{2}-\dfrac{12}{2}=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x+1x+3\displaystyle f(x)=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}.

Arătați că ∫16(f(x)−3x)dx=2\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{6}\big(f(x)-3x\big)dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția f(x)\displaystyle f(x) și se identifică expresia f(x)−3x\displaystyle f(x)-3x, care apare în integrala de calculat.
    f(x)−3x=3x+1x+3−3x=1x+3\displaystyle f(x)-3x=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}-3x=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}
  2. Se scrie integrala cerută, înlocuind f(x)−3x\displaystyle f(x)-3x cu forma simplificată obținută anterior.
    ∫16(f(x)−3x)dx=∫161x+3dx\displaystyle \int_{1}^{6}\big(f(x)-3x\big)dx=\int_{1}^{6}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}dx
  3. Se observă că derivata funcției x+3\displaystyle x+3 este 1\displaystyle 1, deci se poate scrie integrandul ca derivată a unei funcții compuse, înmulțind și împărțind cu 2\displaystyle 2 pentru a obține forma (x+3)′2x+3\displaystyle \dfrac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}.
    ∫161x+3dx=2∫16(x+3)′2x+3dx\displaystyle \int_{1}^{6}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}dx=2\int_{1}^{6}\dfrac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}dx
  4. Se recunoaște că (x+3)′2x+3\displaystyle \dfrac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}} este derivata funcției x+3\displaystyle \sqrt{x+3}, deci primitiva integrandului este 2x+3\displaystyle 2\sqrt{x+3}. Se scrie integrala definită folosind această primitivă evaluată între limitele date.
    ∫16(f(x)−3x)dx=2∫16(x+3)′2x+3dx=2x+3∣16\displaystyle \int_{1}^{6}\big(f(x)-3x\big)dx=2\int_{1}^{6}\dfrac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}dx=\left.2\sqrt{x+3}\right|_{1}^{6}
  5. Se calculează valorile primitivei în capetele intervalului: pentru x=6\displaystyle x=6 se obține 29=2⋅3=6\displaystyle 2\sqrt{9}=2\cdot3=6, iar pentru x=1\displaystyle x=1 se obține 24=2⋅2=4\displaystyle 2\sqrt{4}=2\cdot2=4.
    26+3=29=6, 21+3=24=4\displaystyle 2\sqrt{6+3}=2\sqrt{9}=6\text{, }2\sqrt{1+3}=2\sqrt{4}=4
  6. Se scade valoarea primitivei în capătul inferior din valoarea în capătul superior pentru a obține rezultatul final al integralei.
    =6−4=2\displaystyle =6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x+1x+3\displaystyle f(x)=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫−211x+3(f(x)−1x+3)dx=9(a−2ln⁡2)\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1}\frac{1}{x+3}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=9(a-2\ln 2).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit diferența f(x)−1x+3\displaystyle f(x) - \dfrac{1}{\sqrt{x+3}}, folosind expresia funcției date.
    f(x)−1x+3=3x+1x+3−1x+3=3x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}=3x
  2. Se înlocuiește în integrandul dat, obținându-se o expresie mai simplă, raportul 3xx+3\displaystyle \dfrac{3x}{x+3}.
    1x+3(f(x)−1x+3)=3xx+3\displaystyle \dfrac{1}{x+3}\left(f(x)-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\right)=\dfrac{3x}{x+3}
  3. Se descompune fracția 3xx+3\displaystyle \dfrac{3x}{x+3} separând partea întreagă de partea fracționară, pentru a obține o formă ușor integrabilă.
    3xx+3=3(x+3)−9x+3=3−9x+3\displaystyle \dfrac{3x}{x+3}=\dfrac{3(x+3)-9}{x+3}=3-\dfrac{9}{x+3}
  4. Se calculează integrala definită folosind primitivele 3x\displaystyle 3x și −9ln⁡(x+3)\displaystyle -9\ln(x+3), apoi se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul [−2,1]\displaystyle [-2,1], obținând rezultatul din barem.
    ∫−211x+3(f(x)−1x+3)dx=∫−21(3−9x+3)dx=3x∣−21−9ln⁡(x+3)∣−21=9(1−ln⁡4)\displaystyle \int_{-2}^{1}\dfrac{1}{x+3}\left(f(x)-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=\int_{-2}^{1}\left(3-\dfrac{9}{x+3}\right)dx=\left.3x\right|_{-2}^{1}-\left.9\ln(x+3)\right|_{-2}^{1}=9(1-\ln 4)
  5. Se rescrie ln⁡4\displaystyle \ln 4 ca 2ln⁡2\displaystyle 2\ln 2, pentru a aduce rezultatul la forma cerută de enunț, 9(a−2ln⁡2)\displaystyle 9(a-2\ln 2).
    9(1−ln⁡4)=9(1−2ln⁡2)\displaystyle 9(1-\ln 4)=9(1-2\ln 2)
  6. Se identifică valoarea lui a\displaystyle a prin egalarea rezultatului obținut cu expresia 9(a−2ln⁡2)\displaystyle 9(a-2\ln 2), rezultând a=1\displaystyle a=1.
    9(1−2ln⁡2)=9(a−2ln⁡2), de unde obținem a=1\displaystyle 9(1-2\ln 2)=9(a-2\ln 2)\text{, de unde obținem }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.