Bac matematică M2 științe ale naturii 2022, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(2−1)(2+2)=2\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2+\sqrt{2}\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim primii doi factori: 2(2−1)=2⋅2−2⋅1\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot 1, adică 2−2\displaystyle 2-\sqrt{2}.
    2(2−1)=2−2\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)=2-\sqrt{2}
  2. Înlocuim în expresia inițială: 2(2−1)(2+2)=(2−2)(2+2)\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2+\sqrt{2}\right)=\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right).
    (2−2)(2+2)\displaystyle \left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)
  3. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}, cu a=2\displaystyle a=2 și b=2\displaystyle b=\sqrt{2}: obținem 22−(2)2\displaystyle 2^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}.
    22−(2)2\displaystyle 2^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}
  4. Calculăm: 22=4\displaystyle 2^{2}=4, iar (2)2=2\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{2}=2. Rezultă 4−2=2\displaystyle 4-2=2, deci egalitatea este demonstrată.
    4−2=2\displaystyle 4-2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−4x\displaystyle f(x)=2x^2-4x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox au ordonata zero, deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(x)=0\displaystyle f(x)=0
  2. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) și obținem ecuația de gradul al doilea incompletă: 2x2−4x=0\displaystyle 2x^{2}-4x=0.
    2x2−4x=0\displaystyle 2x^{2}-4x=0
  3. Dăm factor comun pe 2x\displaystyle 2x în membrul stâng: 2x(x−2)=0\displaystyle 2x(x-2)=0.
    2x(x−2)=0\displaystyle 2x(x-2)=0
  4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero, deci 2x=0\displaystyle 2x=0 sau x−2=0\displaystyle x-2=0.
    2x=0 sau x−2=0\displaystyle 2x=0\text{ sau }x-2=0
  5. Rezolvăm cele două ecuații: abscisele punctelor de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox sunt 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−3=122x\displaystyle 2^{x-3}=\dfrac{1}{2^{2x}}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 2\displaystyle 2: 122x=2−2x\displaystyle \dfrac{1}{2^{2x}}=2^{-2x}.
    122x=2−2x\displaystyle \dfrac{1}{2^{2x}}=2^{-2x}
  2. Ecuația devine 2x−3=2−2x\displaystyle 2^{x-3}=2^{-2x}. Funcția f(t)=2t\displaystyle f(t)=2^{t} este injectivă, deci egalăm exponenții: x−3=−2x\displaystyle x-3=-2x.
    2x−3=2−2x⇔x−3=−2x\displaystyle 2^{x-3}=2^{-2x}\Leftrightarrow x-3=-2x
  3. Adunăm 2x\displaystyle 2x în ambii membri: 3x=3\displaystyle 3x=3, apoi împărțim la 3\displaystyle 3: x=1\displaystyle x=1. Soluția este un număr real, deci convine.
    3x=3⇒x=1\displaystyle 3x=3\Rightarrow x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 11\displaystyle 11.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \dots, 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Multiplii de 11\displaystyle 11 cu două cifre sunt 11⋅k\displaystyle 11\cdot k, cu k∈{1,2,…,9}\displaystyle k\in\{1,2,\dots,9\}, adică 11,22,33,44,55,66,77,88,99\displaystyle 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Deoarece 11⋅9=99\displaystyle 11\cdot 9=99, iar 11⋅10=110\displaystyle 11\cdot 10=110 are trei cifre, sunt 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    9\displaystyle 9
  3. Folosim formula p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}. Obținem p=990\displaystyle p=\dfrac{9}{90}, iar prin simplificare cu 9\displaystyle 9 rezultă p=110\displaystyle p=\dfrac{1}{10}.
    p=990=110\displaystyle p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,0)\displaystyle A(-1,0), B(0,3)\displaystyle B(0,3) și C(4,0)\displaystyle C(4,0). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}. Calculăm lungimile laturilor și căutăm două egale.
    MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}
  2. Punctele A\displaystyle A și C\displaystyle C au aceeași ordonată, 0\displaystyle 0, deci AC=(4−(−1))2+(0−0)2=52=5\displaystyle AC=\sqrt{(4-(-1))^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{5^{2}}=5.
    AC=(4+1)2+02=5\displaystyle AC=\sqrt{(4+1)^{2}+0^{2}}=5
  3. Calculăm AB=(0+1)2+(3−0)2=10\displaystyle AB=\sqrt{(0+1)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{10}. Această lungime diferă de 5\displaystyle 5, deci trecem la latura BC\displaystyle BC.
    AB=1+9=10\displaystyle AB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}
  4. Calculăm BC=(4−0)2+(0−3)2=16+9=25=5\displaystyle BC=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
    BC=42+32=5\displaystyle BC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5
  5. Deoarece AC=BC=5\displaystyle AC=BC=5, triunghiul ABC\displaystyle ABC are două laturi congruente, deci este isoscel, cu baza AB\displaystyle AB.
    AC=BC=5, deci triunghiul ABC este isoscel\displaystyle AC=BC=5\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=tg⁡x+sin⁡3x2−2cos⁡x2\displaystyle E(x)=\operatorname{tg}x+\sin\dfrac{3x}{2}-2\cos\dfrac{x}{2}, unde x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π3)=1\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} în expresia lui E(x)\displaystyle E(x). Argumentele devin π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}, 3x2=32⋅π3=π2\displaystyle \dfrac{3x}{2}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2} și x2=π6\displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{6}.
    E(π3)=tg⁡π3+sin⁡π2−2cos⁡π6\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}+\sin\dfrac{\pi}{2}-2\cos\dfrac{\pi}{6}
  2. Folosim valorile cunoscute: tg⁡π3=3\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}, sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1 și cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    tg⁡π3=3\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}, sin⁡π2=1\displaystyle \ \sin\dfrac{\pi}{2}=1, cos⁡π6=32\displaystyle \ \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Înlocuim valorile în expresie și simplificăm: 2⋅32=3\displaystyle 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}, iar 3−3=0\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{3}=0, deci rămâne 1\displaystyle 1.
    E(π3)=3+1−2⋅32=3+1−3=1\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}+1-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele M(x)=(x+1−x−2x2x+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+1 & -x\\ -2x & 2x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(1))=4\displaystyle \det(M(1))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în fiecare element al matricei: x+1=2\displaystyle x+1=2, −x=−1\displaystyle -x=-1, −2x=−2\displaystyle -2x=-2, iar 2x+1=3\displaystyle 2x+1=3.
    M(1)=(2−1−23)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2 & -1\\ -2 & 3\end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(M(1))=2⋅3−(−1)⋅(−2)\displaystyle \det(M(1))=2\cdot 3-(-1)\cdot(-2).
    det⁡(M(1))=2⋅3−(−1)⋅(−2)\displaystyle \det(M(1))=2\cdot 3-(-1)\cdot(-2)
  3. Calculăm produsele: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, iar (−1)⋅(−2)=2\displaystyle (-1)\cdot(-2)=2. Apoi scădem și obținem rezultatul cerut.
    6−2=4\displaystyle 6-2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele M(x)=(x+1−x−2x2x+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+1 & -x\\ -2x & 2x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că M(x)⋅M(1)=M(4x+1)\displaystyle M(x)\cdot M(1)=M(4x+1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm M(1)\displaystyle M(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în M(x)\displaystyle M(x): x+1=2\displaystyle x+1=2, −x=−1\displaystyle -x=-1, −2x=−2\displaystyle -2x=-2, 2x+1=3\displaystyle 2x+1=3.
    M(1)=(2−1−23)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2 & -1\\ -2 & 3\end{pmatrix}
  2. Prima linie a produsului M(x)⋅M(1)\displaystyle M(x)\cdot M(1): elementul de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) este (x+1)⋅2+(−x)⋅(−2)=2x+2+2x\displaystyle (x+1)\cdot 2+(-x)\cdot(-2)=2x+2+2x, iar cel de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este (x+1)⋅(−1)+(−x)⋅3=−x−1−3x\displaystyle (x+1)\cdot(-1)+(-x)\cdot 3=-x-1-3x.
    linia 1: (4x+2, −4x−1)\displaystyle \text{linia 1: }\left(4x+2,\ -4x-1\right)
  3. A doua linie: elementul de pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1) este (−2x)⋅2+(2x+1)⋅(−2)=−4x−4x−2\displaystyle (-2x)\cdot 2+(2x+1)\cdot(-2)=-4x-4x-2, iar cel de pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2) este (−2x)⋅(−1)+(2x+1)⋅3=2x+6x+3\displaystyle (-2x)\cdot(-1)+(2x+1)\cdot 3=2x+6x+3.
    linia 2: (−8x−2, 8x+3)\displaystyle \text{linia 2: }\left(-8x-2,\ 8x+3\right)
  4. Adunăm cele două linii și obținem matricea produs M(x)⋅M(1)\displaystyle M(x)\cdot M(1).
    M(x)⋅M(1)=(4x+2−4x−1−8x−28x+3)\displaystyle M(x)\cdot M(1)=\begin{pmatrix}4x+2 & -4x-1\\ -8x-2 & 8x+3\end{pmatrix}
  5. Notăm t=4x+1\displaystyle t=4x+1 și scriem elementele astfel: 4x+2=(4x+1)+1\displaystyle 4x+2=(4x+1)+1, −4x−1=−(4x+1)\displaystyle -4x-1=-(4x+1), −8x−2=−2(4x+1)\displaystyle -8x-2=-2(4x+1), 8x+3=2(4x+1)+1\displaystyle 8x+3=2(4x+1)+1. Aceste forme coincid cu t+1\displaystyle t+1, −t\displaystyle -t, −2t\displaystyle -2t, 2t+1\displaystyle 2t+1 din M(t)\displaystyle M(t).
    ((4x+1)+1−(4x+1)−2(4x+1)2(4x+1)+1)=M(4x+1)\displaystyle \begin{pmatrix}(4x+1)+1 & -(4x+1)\\ -2(4x+1) & 2(4x+1)+1\end{pmatrix}=M(4x+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele M(x)=(x+1−x−2x2x+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+1 & -x\\ -2x & 2x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care M(x)⋅M(1)⋅M(1)=M(x+2)\displaystyle M(x)\cdot M(1)\cdot M(1)=M(x+2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(x)\displaystyle M(x) ca M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde A=(1−1−22)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -2 & 2\end{pmatrix}.
    M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA,A=(1−1−22)\displaystyle \quad A=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -2 & 2\end{pmatrix}
  2. Calculăm A2=(1+2−1−2−2−42+4)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1+2 & -1-2\\ -2-4 & 2+4\end{pmatrix} și observăm că A2=3A\displaystyle A^2=3A.
    A2=(3−3−66)=3A\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}3 & -3\\ -6 & 6\end{pmatrix}=3A
  3. Avem M(x)M(y)=(I2+xA)(I2+yA)=I2+(x+y)A+xyA2=I2+(x+y+3xy)A\displaystyle M(x)M(y)=(I_2+xA)(I_2+yA)=I_2+(x+y)A+xyA^2=I_2+(x+y+3xy)A, deci M(x)M(y)=M(x+y+3xy)\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y+3xy).
    M(x)⋅M(y)=M(x+y+3xy)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=M(x+y+3xy)
  4. Pentru y=1\displaystyle y=1 obținem M(x)⋅M(1)=M(x+1+3x)\displaystyle M(x)\cdot M(1)=M(x+1+3x).
    M(x)⋅M(1)=M(4x+1)\displaystyle M(x)\cdot M(1)=M(4x+1)
  5. Aplicăm din nou relația: M(4x+1)⋅M(1)=M((4x+1)+1+3(4x+1))=M(4x+2+12x+3)\displaystyle M(4x+1)\cdot M(1)=M\big((4x+1)+1+3(4x+1)\big)=M(4x+2+12x+3).
    M(x)⋅M(1)⋅M(1)=M(4x+1)⋅M(1)=M(16x+5)\displaystyle M(x)\cdot M(1)\cdot M(1)=M(4x+1)\cdot M(1)=M(16x+5)
  6. Ecuația devine M(16x+5)=M(x+2)\displaystyle M(16x+5)=M(x+2). Elementul de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este −a\displaystyle -a în M(a)\displaystyle M(a), deci egalitatea matricelor impune egalitatea argumentelor: 16x+5=x+2\displaystyle 16x+5=x+2.
    16x+5=x+2\displaystyle 16x+5=x+2
  7. Rezolvăm: 15x=−3\displaystyle 15x=-3, deci x=−15\displaystyle x=-\dfrac{1}{5}.
    x=−15\displaystyle x=-\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=5xy+10x+10y+18\displaystyle x\circ y=5xy+10x+10y+18.

Arătați că (−1)∘0=8\displaystyle (-1)\circ 0=8.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=5xy+10x+10y+18\displaystyle x\circ y=5xy+10x+10y+18. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=0\displaystyle y=0.
    (−1)∘0=5⋅(−1)⋅0+10⋅(−1)+10⋅0+18\displaystyle (-1)\circ 0=5\cdot(-1)\cdot 0+10\cdot(-1)+10\cdot 0+18
  2. Primul termen 5⋅(−1)⋅0\displaystyle 5\cdot(-1)\cdot 0 și al treilea termen 10⋅0\displaystyle 10\cdot 0 sunt egali cu 0\displaystyle 0, iar 10⋅(−1)=−10\displaystyle 10\cdot(-1)=-10.
    0−10+0+18\displaystyle 0-10+0+18
  3. Adunăm: −10+18=8\displaystyle -10+18=8, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (−1)∘0=−10+18=8\displaystyle (-1)\circ 0=-10+18=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=5xy+10x+10y+18\displaystyle x\circ y=5xy+10x+10y+18.

Demonstrați că x∘y=5(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=5(x+2)(y+2)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=5xy+10x+10y+18\displaystyle x\circ y=5xy+10x+10y+18 și scriem 18=20−2\displaystyle 18=20-2, pentru a obține termenul 20\displaystyle 20 care se potrivește cu grupările următoare.
    x∘y=5xy+10x+10y+20−2\displaystyle x\circ y=5xy+10x+10y+20-2
  2. Grupăm 5xy+10x\displaystyle 5xy+10x, care are factor comun 5x\displaystyle 5x, și 10y+20\displaystyle 10y+20, care are factor comun 10\displaystyle 10. Obținem 5xy+10x=5x(y+2)\displaystyle 5xy+10x=5x(y+2) și 10y+20=10(y+2)\displaystyle 10y+20=10(y+2).
    x∘y=5x(y+2)+10(y+2)−2\displaystyle x\circ y=5x(y+2)+10(y+2)-2
  3. Acum ambii termeni conțin factorul y+2\displaystyle y+2, deci îl dăm factor comun: 5x(y+2)+10(y+2)=(5x+10)(y+2)\displaystyle 5x(y+2)+10(y+2)=(5x+10)(y+2).
    x∘y=(5x+10)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(5x+10)(y+2)-2
  4. Dăm factor comun 5\displaystyle 5 în prima paranteză: 5x+10=5(x+2)\displaystyle 5x+10=5(x+2). Obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=5(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=5(x+2)(y+2)-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=5xy+10x+10y+18\displaystyle x\circ y=5xy+10x+10y+18. Determinați numărul întreg m\displaystyle m pentru care m∘m=m\displaystyle m\circ m=m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=y=m\displaystyle x=y=m în definiția legii: m∘m=5m2+10m+10m+18=5m2+20m+18\displaystyle m\circ m=5m^{2}+10m+10m+18=5m^{2}+20m+18.
    m∘m=5m2+20m+18\displaystyle m\circ m=5m^{2}+20m+18
  2. Scriem expresia sub forma 5(m+2)2−2\displaystyle 5(m+2)^{2}-2, prin completarea pătratului: 5(m+2)2=5m2+20m+20\displaystyle 5(m+2)^{2}=5m^{2}+20m+20, deci 5m2+20m+18=5(m+2)2−2\displaystyle 5m^{2}+20m+18=5(m+2)^{2}-2.
    m∘m=5(m+2)2−2\displaystyle m\circ m=5(m+2)^{2}-2
  3. Din condiția m∘m=m\displaystyle m\circ m=m rezultă 5(m+2)2−2=m\displaystyle 5(m+2)^{2}-2=m, adică 5m2+20m+18−m=0\displaystyle 5m^{2}+20m+18-m=0, deci 5m2+19m+18=0\displaystyle 5m^{2}+19m+18=0.
    5m2+19m+18=0\displaystyle 5m^{2}+19m+18=0
  4. Descompunem: (m+2)(5m+9)=5m2+9m+10m+18=5m2+19m+18\displaystyle (m+2)(5m+9)=5m^{2}+9m+10m+18=5m^{2}+19m+18, deci ecuația devine (m+2)(5m+9)=0\displaystyle (m+2)(5m+9)=0.
    (m+2)(5m+9)=0\displaystyle (m+2)(5m+9)=0
  5. Soluțiile ecuației sunt m=−2\displaystyle m=-2 și m=−95\displaystyle m=-\dfrac{9}{5}. Cum m\displaystyle m este număr întreg, reținem doar m=−2\displaystyle m=-2.
    m=−2\displaystyle m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x−1+ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1).

Arătați că f′(x)=x2−x−2(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2-x-2}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2+1x−1+ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-1}+\ln(x-1) are doi termeni, deci derivata sumei este suma derivatelor: f′(x)=(x2+1x−1)′+(ln⁡(x−1))′\displaystyle f'(x)=\left(\dfrac{x^{2}+1}{x-1}\right)'+\left(\ln(x-1)\right)'.
    f′(x)=(x2+1x−1)′+(ln⁡(x−1))′\displaystyle f'(x)=\left(\dfrac{x^{2}+1}{x-1}\right)'+\left(\ln(x-1)\right)'
  2. Aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} cu u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1 și v=x−1\displaystyle v=x-1. Avem u′=2x\displaystyle u'=2x și v′=1\displaystyle v'=1, deci (x2+1x−1)′=2x(x−1)−(x2+1)⋅1(x−1)2\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}+1}{x-1}\right)'=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}.
    (x2+1x−1)′=2x(x−1)−(x2+1)(x−1)2\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}+1}{x-1}\right)'=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+1)}{(x-1)^{2}}
  3. Folosim (ln⁡u)′=u′u\displaystyle \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u} cu u=x−1\displaystyle u=x-1 și u′=1\displaystyle u'=1, deci (ln⁡(x−1))′=1x−1\displaystyle \left(\ln(x-1)\right)'=\dfrac{1}{x-1}. Adunând cele două derivate obținem expresia de mai jos.
    f′(x)=2x(x−1)−(x2+1)(x−1)2+1x−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+1)}{(x-1)^{2}}+\dfrac{1}{x-1}
  4. La numărătorul primei fracții: 2x(x−1)−(x2+1)=2x2−2x−x2−1=x2−2x−1\displaystyle 2x(x-1)-(x^{2}+1)=2x^{2}-2x-x^{2}-1=x^{2}-2x-1.
    2x(x−1)−(x2+1)=x2−2x−1\displaystyle 2x(x-1)-(x^{2}+1)=x^{2}-2x-1
  5. Amplificăm a doua fracție cu x−1\displaystyle x-1: 1x−1=x−1(x−1)2\displaystyle \dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{(x-1)^{2}}. Atunci f′(x)=x2−2x−1+x−1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x-1+x-1}{(x-1)^{2}}.
    f′(x)=x2−2x−1+x−1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x-1+x-1}{(x-1)^{2}}
  6. Reducem termenii asemenea: −2x+x=−x\displaystyle -2x+x=-x și −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2. Rezultă f′(x)=x2−x−2(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{(x-1)^{2}} pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty), adică exact egalitatea cerută.
    f′(x)=x2−x−2(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{(x-1)^{2}}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x−1+ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1).

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Formula tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă 2\displaystyle 2 este y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2). Avem nevoie de f(2)\displaystyle f(2) și de f′(2)\displaystyle f'(2).
    y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2), înlocuind x=2\displaystyle x=2: f(2)=22+12−1+ln⁡(2−1)=5+ln⁡1=5+0\displaystyle f(2)=\dfrac{2^{2}+1}{2-1}+\ln(2-1)=5+\ln 1=5+0.
    f(2)=4+11+ln⁡1=5\displaystyle f(2)=\dfrac{4+1}{1}+\ln 1=5
  3. Derivăm f\displaystyle f. Pentru fracție folosim formula derivatei câtului, iar (ln⁡(x−1))′=1x−1\displaystyle (\ln(x-1))'=\dfrac{1}{x-1}. Obținem f′(x)=2x(x−1)−(x2+1)(x−1)2+1x−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+1)}{(x-1)^{2}}+\dfrac{1}{x-1}, adică f′(x)=x2−2x−1(x−1)2+1x−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}+\dfrac{1}{x-1}.
    f′(x)=x2−2x−1(x−1)2+1x−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}+\dfrac{1}{x-1}
  4. Calculăm f′(2)\displaystyle f'(2): f′(2)=4−4−11+11=−1+1=0\displaystyle f'(2)=\dfrac{4-4-1}{1}+\dfrac{1}{1}=-1+1=0. Deci f(2)=5\displaystyle f(2)=5 și f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0.
    f(2)=5\displaystyle f(2)=5, f′(2)=0\displaystyle \ f'(2)=0
  5. Înlocuim în formulă: y−5=0⋅(x−2)\displaystyle y-5=0\cdot(x-2), de unde y=5\displaystyle y=5. Tangenta este o dreaptă orizontală, deoarece panta ei este 0\displaystyle 0.
    y−f(2)=f′(2)(x−2), adica˘ y=5\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)\text{, adică }y=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x−1+ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1).

Demonstrați că x2+1x−1+ln⁡(x−1)≥5\displaystyle \dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\geq 5, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata fracției cu formula de derivare a câtului: (x2+1x−1)′=2x(x−1)−(x2+1)⋅1(x−1)2\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}+1}{x-1}\right)'=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}.
    (x2+1x−1)′=x2−2x−1(x−1)2\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}+1}{x-1}\right)'=\dfrac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}
  2. Derivata lui ln⁡(x−1)\displaystyle \ln(x-1) este 1x−1=x−1(x−1)2\displaystyle \dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{(x-1)^{2}}. Adunăm: f′(x)=x2−2x−1+x−1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x-1+x-1}{(x-1)^{2}}.
    f′(x)=x2−x−2(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{(x-1)^{2}}
  3. Descompunem numărătorul: x2−x−2=(x−2)(x+1)\displaystyle x^{2}-x-2=(x-2)(x+1), deoarece rădăcinile sunt −1\displaystyle -1 și 2\displaystyle 2.
    f′(x)=(x−2)(x+1)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)^{2}}
  4. Pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) avem x+1>0\displaystyle x+1>0 și (x−1)2>0\displaystyle (x-1)^{2}>0, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul lui x−2\displaystyle x-2. Derivata se anulează doar în x=2\displaystyle x=2, este negativă pe (1,2)\displaystyle (1,2) și pozitivă pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty). Deci f\displaystyle f descrește pe (1,2]\displaystyle (1,2] și crește pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty).
    f′(x)=0⇒x=2; f′(x)≤0 pe (1,2], f′(x)≥0 pe [2,+∞)\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=2;\ f'(x)\leq 0\text{ pe }(1,2]\text{, }f'(x)\geq 0\text{ pe }[2,+\infty)
  5. Deoarece f\displaystyle f descrește până în 2\displaystyle 2 și crește după 2\displaystyle 2, x=2\displaystyle x=2 este punct de minim. Calculăm f(2)=22+12−1+ln⁡1=5+0\displaystyle f(2)=\dfrac{2^{2}+1}{2-1}+\ln 1=5+0.
    f(2)=5\displaystyle f(2)=5
  6. Valoarea minimă a funcției este f(2)=5\displaystyle f(2)=5, deci f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\geq f(2) pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty), adică inegalitatea cerută.
    f(x)≥f(2), deci x2+1x−1+ln⁡(x−1)≥5\displaystyle f(x)\geq f(2)\text{, deci }\dfrac{x^{2}+1}{x-1}+\ln(x-1)\geq 5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+46x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{6x^2+1}.

Arătați că ∫02f(x)(6x2+1)dx=10\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f(x)\left(6x^2+1\right)dx=10.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în produsul din integrală: f(x)(6x2+1)=x+46x2+1⋅(6x2+1)\displaystyle f(x)\left(6x^2+1\right)=\dfrac{x+4}{6x^2+1}\cdot\left(6x^2+1\right). Expresia 6x2+1\displaystyle 6x^2+1 este nenulă pentru orice x\displaystyle x real, deoarece 6x2+1≥1\displaystyle 6x^2+1\geq 1, deci se simplifică.
    f(x)(6x2+1)=x+4\displaystyle f(x)\left(6x^2+1\right)=x+4
  2. Integrala devine ∫02(x+4) dx\displaystyle \displaystyle\int_0^2 (x+4)\,dx. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, iar a lui 4\displaystyle 4 este 4x\displaystyle 4x, deci integrala se scrie cu formula Leibniz-Newton.
    ∫02(x+4) dx=(x22+4x)∣02\displaystyle \int_0^2 (x+4)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+4x\right)\Big|_0^2
  3. Calculăm în limitele de integrare: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 222+4⋅2=2+8\displaystyle \dfrac{2^2}{2}+4\cdot 2=2+8, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0. Diferența este 10\displaystyle 10, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (222+4⋅2)−0=2+8=10\displaystyle \left(\frac{2^2}{2}+4\cdot 2\right)-0=2+8=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+46x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{6x^2+1}.

Arătați că ∫02(f(x)−46x2+1)dx=ln⁡56\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(f(x)-\dfrac{4}{6x^2+1}\right)dx=\dfrac{\ln 5}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+46x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{6x^2+1} sub integrală și reducem termenii care au același numitor.
    f(x)−46x2+1=x+4−46x2+1=x6x2+1\displaystyle f(x)-\dfrac{4}{6x^{2}+1}=\dfrac{x+4-4}{6x^{2}+1}=\dfrac{x}{6x^{2}+1}
  2. Integrala devine ∫02x6x2+1dx\displaystyle \displaystyle\int_0^2\dfrac{x}{6x^2+1}dx. Derivata numitorului este (6x2+1)′=12x\displaystyle \left(6x^2+1\right)'=12x, deci scriem x=112⋅12x\displaystyle x=\dfrac{1}{12}\cdot 12x și scoatem 112\displaystyle \dfrac{1}{12} în fața integralei.
    ∫02x6x2+1dx=112∫02(6x2+1)′6x2+1dx\displaystyle \int_0^2\dfrac{x}{6x^{2}+1}dx=\dfrac{1}{12}\int_0^2\dfrac{\left(6x^{2}+1\right)'}{6x^{2}+1}dx
  3. Cum ∫u′udx=ln⁡u\displaystyle \displaystyle\int\dfrac{u'}{u}dx=\ln u, iar 6x2+1>0\displaystyle 6x^2+1>0, obținem primitiva ln⁡(6x2+1)\displaystyle \ln\left(6x^2+1\right), evaluată între 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    112ln⁡(6x2+1)∣02\displaystyle \dfrac{1}{12}\ln\left(6x^{2}+1\right)\Big|_0^2
  4. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 6⋅4+1=25\displaystyle 6\cdot 4+1=25, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem 6⋅0+1=1\displaystyle 6\cdot 0+1=1, deci ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    112(ln⁡25−ln⁡1)=112ln⁡25\displaystyle \dfrac{1}{12}\left(\ln 25-\ln 1\right)=\dfrac{1}{12}\ln 25
  5. Folosim ln⁡25=ln⁡52=2ln⁡5\displaystyle \ln 25=\ln 5^{2}=2\ln 5 și simplificăm fracția.
    112ln⁡25=2ln⁡512=ln⁡56\displaystyle \dfrac{1}{12}\ln 25=\dfrac{2\ln 5}{12}=\dfrac{\ln 5}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+46x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{6x^2+1}.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care ∫01x+4f(x)⋅e2xdx=m(e2−1)\displaystyle \displaystyle\int_0^1\dfrac{x+4}{f(x)}\cdot e^{2x}dx=m\left(e^2-1\right).
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)=x+46x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{6x^{2}+1}, deci x+4f(x)=6x2+1\displaystyle \dfrac{x+4}{f(x)}=6x^{2}+1. Integrala devine I=∫01(6x2+1)e2xdx\displaystyle I=\displaystyle\int_0^1\left(6x^{2}+1\right)e^{2x}dx.
    I=∫01(6x2+1)e2xdx\displaystyle I=\int_0^1\left(6x^{2}+1\right)e^{2x}dx
  2. Integrăm prin părți, cu u=6x2+1\displaystyle u=6x^{2}+1 și dv=e2xdx\displaystyle dv=e^{2x}dx, deci du=12x dx\displaystyle du=12x\,dx și v=e2x2\displaystyle v=\dfrac{e^{2x}}{2}. Obținem I=(6x2+1)e2x2∣01−∫016xe2xdx\displaystyle I=\left(6x^{2}+1\right)\dfrac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1-\displaystyle\int_0^1 6xe^{2x}dx.
    I=(6x2+1)e2x2∣01−∫016xe2xdx\displaystyle I=\left(6x^{2}+1\right)\frac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1-\int_0^1 6xe^{2x}dx
  3. Calculăm termenul tăiat: în x=1\displaystyle x=1 obținem 7⋅e22\displaystyle 7\cdot\dfrac{e^{2}}{2}, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    (6x2+1)e2x2∣01=7e22−12\displaystyle \left(6x^{2}+1\right)\frac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1=\frac{7e^{2}}{2}-\frac{1}{2}
  4. Pentru integrala rămasă integrăm din nou prin părți: u=6x\displaystyle u=6x, dv=e2xdx\displaystyle dv=e^{2x}dx, deci du=6 dx\displaystyle du=6\,dx și v=e2x2\displaystyle v=\dfrac{e^{2x}}{2}. Rezultă ∫016xe2xdx=3xe2x∣01−∫013e2xdx=3e2−32(e2−1)\displaystyle \displaystyle\int_0^1 6xe^{2x}dx=3xe^{2x}\Big|_0^1-\int_0^1 3e^{2x}dx=3e^{2}-\dfrac{3}{2}\left(e^{2}-1\right).
    ∫016xe2xdx=3e2−32(e2−1)=3e22+32\displaystyle \int_0^1 6xe^{2x}dx=3e^{2}-\frac{3}{2}\left(e^{2}-1\right)=\frac{3e^{2}}{2}+\frac{3}{2}
  5. Înlocuim cele două rezultate în I\displaystyle I și reducem termenii: I=7e22−12−3e22−32\displaystyle I=\dfrac{7e^{2}}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3e^{2}}{2}-\dfrac{3}{2}.
    I=7e22−12−3e22−32=2e2−2\displaystyle I=\frac{7e^{2}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{3e^{2}}{2}-\frac{3}{2}=2e^{2}-2
  6. Egalăm cu m(e2−1)\displaystyle m\left(e^{2}-1\right): 2e2−2=m(e2−1)\displaystyle 2e^{2}-2=m\left(e^{2}-1\right). Cum 2e2−2=2(e2−1)\displaystyle 2e^{2}-2=2\left(e^{2}-1\right) și e2−1≠0\displaystyle e^{2}-1\neq 0, rezultă m=2\displaystyle m=2.
    2e2−2=m(e2−1), deci m=2\displaystyle 2e^{2}-2=m\left(e^{2}-1\right)\text{, deci }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.