Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați rația progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a3=6\displaystyle a_3=6 și a4=8\displaystyle a_4=8.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, fiecare termen se obține din cel precedent adunând rația r\displaystyle r. Deci a4=a3+r\displaystyle a_4=a_3+r, de unde rația este diferența dintre doi termeni consecutivi: r=a4−a3\displaystyle r=a_4-a_3.
    r=a4−a3\displaystyle r=a_4-a_3
  2. Înlocuim valorile date: a4=8\displaystyle a_4=8 și a3=6\displaystyle a_3=6.
    r=8−6\displaystyle r=8-6
  3. Efectuăm scăderea și obținem rația progresiei: r=2\displaystyle r=2.
    r=2\displaystyle r=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valoarea minimă a funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−9\displaystyle f(x)=x^2-9.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției de gradul al doilea f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c: a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0, c=−9\displaystyle c=-9. Deoarece a>0\displaystyle a>0, parabola are ramurile în sus, deci funcția are o valoare minimă.
    (a,b,c)=(1,0,−9)\displaystyle (a,b,c)=(1,0,-9)
  2. Valoarea minimă a funcției este −Δ4a\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}, unde Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac.
    fmin⁡=−Δ4a\displaystyle f_{\min}=-\dfrac{\Delta}{4a}
  3. Calculăm discriminantul: Δ=02−4⋅1⋅(−9)=36\displaystyle \Delta=0^{2}-4\cdot 1\cdot(-9)=36.
    Δ=36\displaystyle \Delta=36
  4. Înlocuim în formulă: −364⋅1=−9\displaystyle -\dfrac{36}{4\cdot 1}=-9. Valoarea minimă a funcției este −9\displaystyle -9, atinsă pentru x=0\displaystyle x=0.
    −364=−9\displaystyle -\dfrac{36}{4}=-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+3=x+1\displaystyle \sqrt{x^2+3}=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2+3≥0\displaystyle \sqrt{x^2+3}\ge 0, deci trebuie ca x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0. Vom verifica această condiție la final. Ridicăm ecuația la pătrat: x2+3=(x+1)2\displaystyle x^2+3=(x+1)^2.
    x2+3=(x+1)2\displaystyle x^2+3=(x+1)^2
  2. Dezvoltăm pătratul din membrul drept: (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1, deci ecuația devine x2+3=x2+2x+1\displaystyle x^2+3=x^2+2x+1.
    x2+3=x2+2x+1\displaystyle x^2+3=x^2+2x+1
  3. Reducem termenii x2\displaystyle x^2 din ambii membri și obținem ecuația liniară 3=2x+1\displaystyle 3=2x+1.
    3=2x+1\displaystyle 3=2x+1
  4. Rezolvăm ecuația liniară: 2x=3−1=2\displaystyle 2x=3-1=2, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  5. Verificăm soluția în ecuația inițială: 12+3=4=2\displaystyle \sqrt{1^2+3}=\sqrt{4}=2 și 1+1=2\displaystyle 1+1=2. Condiția x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0 este îndeplinită. Deci x=1\displaystyle x=1 este soluția ecuației.
    x=1, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=1\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5,6,7}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7\}.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime cu două elemente se alege fără a conta ordinea elementelor, deci numărul ei este numărul de combinări de 7\displaystyle 7 luate câte 2\displaystyle 2: C72\displaystyle C_{7}^{2}.
    C72\displaystyle C_{7}^{2}
  2. Scriem formula combinărilor: Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. Pentru n=7\displaystyle n=7 și k=2\displaystyle k=2 obținem C72=7!2!⋅5!\displaystyle C_{7}^{2}=\dfrac{7!}{2!\cdot 5!}.
    C72=7!2!⋅5!\displaystyle C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}
  3. Dezvoltăm 7!=7⋅6⋅5!\displaystyle 7!=7\cdot 6\cdot 5! și simplificăm cu 5!\displaystyle 5! de la numitor. Rămâne 7⋅62!=422\displaystyle \dfrac{7\cdot 6}{2!}=\dfrac{42}{2}.
    7⋅6⋅5!2⋅5!=422\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5!}{2\cdot 5!}=\frac{42}{2}
  4. Efectuăm împărțirea: 422=21\displaystyle \dfrac{42}{2}=21. Deci mulțimea are 21\displaystyle 21 de submulțimi cu două elemente.
    21\displaystyle 21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,1)\displaystyle A(2,1) și B(0,3)\displaystyle B(0,3). Determinați ecuația dreptei AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dreptei determinate de punctele A(2,1)\displaystyle A(2,1) și B(0,3)\displaystyle B(0,3): y−yAyB−yA=x−xAxB−xA\displaystyle \dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}=\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}.
    y−13−1=x−20−2\displaystyle \dfrac{y-1}{3-1}=\dfrac{x-2}{0-2}
  2. Efectuăm scăderile de la numitori: 3−1=2\displaystyle 3-1=2 și 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2.
    y−12=x−2−2\displaystyle \dfrac{y-1}{2}=\dfrac{x-2}{-2}
  3. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și obținem y−1=−(x−2)\displaystyle y-1=-(x-2).
    y−1=−x+2\displaystyle y-1=-x+2
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem ecuația dreptei AB\displaystyle AB.
    y=−x+3\displaystyle y=-x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC în care AB=8\displaystyle AB=8 și C=π6\displaystyle C=\frac{\pi}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC, unde R\displaystyle R este raza cercului circumscris.
    ABsin⁡C=2R\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R
  2. Exprimăm raza: R=AB2sin⁡C\displaystyle R=\dfrac{AB}{2\sin C}. Înlocuim AB=8\displaystyle AB=8 și sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}.
    R=82⋅12\displaystyle R=\frac{8}{2\cdot\frac{1}{2}}
  3. Numitorul este 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, deci R=81\displaystyle R=\dfrac{8}{1}. Raza cercului circumscris este 8.
    R=8\displaystyle R=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} și B(x)=(x236)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x&2\\3&6\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele din enunțul comun: prima linie 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, a doua linie 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4.
    det⁡A=∣1234∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}
  2. Un determinant de ordinul 2\displaystyle 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Diagonala principală are elementele 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4, iar cea secundară are elementele 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
    det⁡A=∣1234∣=1⋅4−2⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 4=4, iar 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6. Apoi efectuăm scăderea și obținem valoarea cerută.
    4−6=−2, deci det⁡A=−2\displaystyle 4-6=-2\text{, deci }\det A=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} și B(x)=(x236)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x&2\\3&6\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det⁡(B(x)+I2)=8\displaystyle \det(B(x)+I_2)=8, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricea unitate I2\displaystyle I_2 la B(x)\displaystyle B(x): se adaugă 1\displaystyle 1 pe diagonala principală, deci elementele x\displaystyle x și 6\displaystyle 6 devin x+1\displaystyle x+1 și 7\displaystyle 7.
    B(x)+I2=(x+1237)\displaystyle B(x)+I_2=\begin{pmatrix}x+1&2\\3&7\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei de ordinul 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (x+1)⋅7−2⋅3\displaystyle (x+1)\cdot 7-2\cdot 3.
    det⁡(B(x)+I2)=7(x+1)−6=7x+1\displaystyle \det(B(x)+I_2)=7(x+1)-6=7x+1
  3. Înlocuim determinantul în ecuația dată: 7x+1=8\displaystyle 7x+1=8. Obținem o ecuație liniară.
    7x+1=8⇔7x=7\displaystyle 7x+1=8\Leftrightarrow 7x=7
  4. Împărțim la 7\displaystyle 7 și obținem soluția ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} și B(x)=(x236)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x&2\\3&6\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x), înmulțind fiecare linie din A\displaystyle A cu fiecare coloană din B(x)\displaystyle B(x). Primul element este 1⋅x+2⋅3\displaystyle 1\cdot x+2\cdot 3, al doilea este 1⋅2+2⋅6\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 6, al treilea este 3⋅x+4⋅3\displaystyle 3\cdot x+4\cdot 3, iar al patrulea este 3⋅2+4⋅6\displaystyle 3\cdot 2+4\cdot 6.
    A⋅B(x)=(x+6143x+1230)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}x+6&14\\3x+12&30\end{pmatrix}
  2. Calculăm acum produsul B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, cu liniile lui B(x)\displaystyle B(x) și coloanele lui A\displaystyle A. Primul element este x⋅1+2⋅3\displaystyle x\cdot 1+2\cdot 3, al doilea este x⋅2+2⋅4\displaystyle x\cdot 2+2\cdot 4, al treilea este 3⋅1+6⋅3\displaystyle 3\cdot 1+6\cdot 3, iar al patrulea este 3⋅2+6⋅4\displaystyle 3\cdot 2+6\cdot 4.
    B(x)⋅A=(x+62x+82130)\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}x+6&2x+8\\21&30\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două produse. Pe pozițiile (1,1)\displaystyle (1,1) și (2,2)\displaystyle (2,2) avem egalități adevărate pentru orice x\displaystyle x, deci rămân condițiile de pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1).
    14=2x+8 și 3x+12=21\displaystyle 14=2x+8\text{ și }3x+12=21
  4. Rezolvăm prima ecuație: 2x=14−8=6\displaystyle 2x=14-8=6, deci x=3\displaystyle x=3. Rezolvăm a doua ecuație: 3x=21−12=9\displaystyle 3x=21-12=9, deci x=3\displaystyle x=3. Ambele ecuații dau aceeași valoare, deci egalitatea A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A are loc pentru x=3\displaystyle x=3.
    (x+6143x+1230)=(x+62x+82130)⇔x=3\displaystyle \begin{pmatrix}x+6&14\\3x+12&30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+6&2x+8\\21&30\end{pmatrix}\Leftrightarrow x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Arătați că (−7)∗7=7\displaystyle (-7)*7=7.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56. Înlocuim x=−7\displaystyle x=-7 și y=7\displaystyle y=7.
    (−7)∗7=(−7)⋅7−7⋅(−7)−7⋅7+56\displaystyle (-7)*7=(-7)\cdot 7-7\cdot(-7)-7\cdot 7+56
  2. Calculăm produsele: (−7)⋅7=−49\displaystyle (-7)\cdot 7=-49, −7⋅(−7)=49\displaystyle -7\cdot(-7)=49 și −7⋅7=−49\displaystyle -7\cdot 7=-49.
    −49+49−49+56\displaystyle -49+49-49+56
  3. Adunăm termenii: −49+49=0\displaystyle -49+49=0, iar −49+56=7\displaystyle -49+56=7. Deci (−7)∗7=7\displaystyle (-7)*7=7, ceea ce trebuia arătat.
    −49+49−49+56=7\displaystyle -49+49-49+56=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Arătați că x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56
  2. Scriem termenul liber ca 56=49+7\displaystyle 56=49+7, pentru a pregăti factorizarea, deoarece 49=7⋅7\displaystyle 49=7\cdot 7.
    x∗y=xy−7x−7y+49+7\displaystyle x*y=xy-7x-7y+49+7
  3. Grupăm termenii: xy−7x=x(y−7)\displaystyle xy-7x=x(y-7) și −7y+49=−7(y−7)\displaystyle -7y+49=-7(y-7).
    x(y−7)−7(y−7)+7\displaystyle x(y-7)-7(y-7)+7
  4. Dăm factor comun pe y−7\displaystyle y-7 și obținem forma cerută, pentru orice x,y\displaystyle x,y reali.
    x(y−7)−7(y−7)+7=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x(y-7)-7(y-7)+7=(x-7)(y-7)+7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Calculați 1∗2∗3∗⋯∗2015\displaystyle 1*2*3*\dots*2015.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se scrie sub forma x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7, deoarece (x−7)(y−7)=xy−7x−7y+49\displaystyle (x-7)(y-7)=xy-7x-7y+49, iar 49+7=56\displaystyle 49+7=56.
    x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7
  2. Calculăm x∗7=(x−7)(7−7)+7=0+7=7\displaystyle x*7=(x-7)(7-7)+7=0+7=7. La fel, 7∗y=(7−7)(y−7)+7=7\displaystyle 7*y=(7-7)(y-7)+7=7 pentru orice y\displaystyle y real. Deci 7\displaystyle 7 absoarbe orice element în compunere.
    x∗7=7 și 7∗y=7, pentru x\displaystyle x*7=7\text{ și }7*y=7\text{, pentru }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  3. Numărul 7\displaystyle 7 apare printre factorii de la 1\displaystyle 1 la 2015\displaystyle 2015. Legea fiind asociativă, grupăm factorii: cei de la 1\displaystyle 1 la 6\displaystyle 6, apoi 7\displaystyle 7, apoi cei de la 8\displaystyle 8 la 2015\displaystyle 2015.
    1∗2∗⋯∗2015=(1∗2∗⋯∗6)∗7∗(8∗9∗⋯∗2015)\displaystyle 1*2*\dots*2015=(1*2*\dots*6)*7*(8*9*\dots*2015)
  4. Notăm a=1∗2∗⋯∗6\displaystyle a=1*2*\dots*6, un număr real. Atunci a∗7=7\displaystyle a*7=7. Rămâne 7∗(8∗9∗⋯∗2015)\displaystyle 7*(8*9*\dots*2015), iar 7∗b=7\displaystyle 7*b=7 pentru orice b\displaystyle b real, deci rezultatul este 7\displaystyle 7.
    1∗2∗3∗⋯∗2015=7∗(8∗9∗⋯∗2015)=7\displaystyle 1*2*3*\dots*2015=7*(8*9*\dots*2015)=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex−ln⁡x+x\displaystyle f(x)=e^x-\ln x+x.

Arătați că lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=e\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că limita cerută este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul x0=1\displaystyle x_0=1, deoarece 1∈(0,+∞)\displaystyle 1\in(0,+\infty): f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
    lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)
  2. Calculăm derivata funcției f(x)=ex−ln⁡x+x\displaystyle f(x)=e^x-\ln x+x termen cu termen: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    f′(x)=ex−1x+1\displaystyle f'(x)=e^x-\frac{1}{x}+1
  3. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=e1−11+1=e−1+1=e\displaystyle f'(1)=e^1-\dfrac{1}{1}+1=e-1+1=e. Deci, folosind primul pas, limita este egală cu e\displaystyle e.
    f′(1)=e−1+1=e⇒lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=e\displaystyle f'(1)=e-1+1=e\Rightarrow \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex−ln⁡x+x\displaystyle f(x)=e^x-\ln x+x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă 1\displaystyle 1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Avem nevoie de valorile f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în f(x)=ex−ln⁡x+x\displaystyle f(x)=e^x-\ln x+x. Deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem f(1)=e−0+1\displaystyle f(1)=e-0+1.
    f(1)=e1−ln⁡1+1=e+1\displaystyle f(1)=e^{1}-\ln 1+1=e+1
  3. Derivăm funcția: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    f′(x)=ex−1x+1\displaystyle f'(x)=e^{x}-\dfrac{1}{x}+1
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=e−1+1\displaystyle f'(1)=e-1+1.
    f′(1)=e−11+1=e\displaystyle f'(1)=e-\dfrac{1}{1}+1=e
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−(e+1)=e(x−1)\displaystyle y-(e+1)=e(x-1).
    y−(e+1)=e(x−1)\displaystyle y-(e+1)=e(x-1)
  6. Desfacem parantezele: y=ex−e+e+1\displaystyle y=ex-e+e+1. Ecuația tangentei este y=ex+1\displaystyle y=ex+1.
    y=ex+1\displaystyle y=ex+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex−ln⁡x+x\displaystyle f(x)=e^x-\ln x+x.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este convexă, studiem semnul derivatei a doua. Calculăm mai întâi derivata întâi, folosind (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    f′(x)=ex−1x+1\displaystyle f'(x)=e^x-\dfrac{1}{x}+1, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm încă o dată. Derivata lui −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} este 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}, iar derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0.
    f′′(x)=ex+1x2\displaystyle f''(x)=e^x+\dfrac{1}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  3. Pentru orice x>0\displaystyle x>0 avem ex>0\displaystyle e^x>0 și 1x2>0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}>0, deci suma lor este strict pozitivă.
    ex+1x2>0\displaystyle e^x+\dfrac{1}{x^{2}}>0
  4. Cum f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe tot intervalul, funcția f\displaystyle f este convexă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(0,+∞), deci f este convexa˘ pe \displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este convexă pe }intervalul (0,+∞)\displaystyle \text{intervalul }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}.

Arătați că ∫011f(x) dx=32\displaystyle \int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx=\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția de sub integrală. Cum f(x)=1x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x+1}, inversul ei este 1f(x)=x+1\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=x+1, pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1], unde x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0.
    1f(x)=x+1\displaystyle \frac{1}{f(x)}=x+1
  2. Înlocuim în integrală: ∫011f(x) dx=∫01(x+1) dx\displaystyle \int_0^1\dfrac{1}{f(x)}\,dx=\int_0^1 (x+1)\,dx. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01(x+1) dx=(x22+x)∣01\displaystyle \int_0^1 (x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^1
  3. Calculăm primitiva în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0: în 1\displaystyle 1 obținem 12+1\displaystyle \dfrac{1}{2}+1, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0. Facem diferența și aflăm valoarea integralei.
    (12+1)−0=32\displaystyle \left(\frac{1}{2}+1\right)-0=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}.

Arătați că ∫01x2f(x) dx=−12+ln⁡2\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x)\,dx=-\frac{1}{2}+\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x+1} în integrală și obținem de calculat ∫01x2x+1 dx\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{2}}{x+1}\,dx.
    ∫01x2f(x) dx=∫01x2x+1 dx\displaystyle \int_0^1 x^{2}f(x)\,dx=\int_0^1\frac{x^{2}}{x+1}\,dx
  2. Împărțim x2\displaystyle x^{2} la x+1\displaystyle x+1. Scriem x2=(x+1)(x−1)+1\displaystyle x^{2}=(x+1)(x-1)+1, deoarece (x+1)(x−1)=x2−1\displaystyle (x+1)(x-1)=x^{2}-1. Rezultă x2x+1=x−1+1x+1\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}.
    x2x+1=x−1+1x+1\displaystyle \frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}
  3. Integrăm termen cu termen. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, a lui −1\displaystyle -1 este −x\displaystyle -x, iar a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), pentru că x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Obținem integrala evaluată între 0 și 1.
    ∫01x2x+1 dx=∫01(x−1+1x+1)dx=(x22−x+ln⁡(x+1))∣01\displaystyle \int_0^1\frac{x^{2}}{x+1}\,dx=\int_0^1\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx=\left(\frac{x^{2}}{2}-x+\ln(x+1)\right)\Big|_0^1
  4. Calculăm valoarea în 1\displaystyle 1: 12−1+ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{2}-1+\ln 2. Valoarea în 0\displaystyle 0 este 0−0+ln⁡1=0\displaystyle 0-0+\ln 1=0. Scădem și obținem rezultatul cerut.
    12−1+ln⁡2−0=−12+ln⁡2\displaystyle \frac{1}{2}-1+\ln 2-0=-\frac{1}{2}+\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R} în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx.
    V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx
  2. Cum g(x)=f(x)=1x+1\displaystyle g(x)=f(x)=\dfrac{1}{x+1}, avem g2(x)=1(x+1)2\displaystyle g^2(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}, deci V=π∫011(x+1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\dfrac{1}{(x+1)^2}\,dx.
    V=π∫011(x+1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\frac{1}{(x+1)^2}\,dx
  3. Avem (−1x+1)′=1(x+1)2\displaystyle \left(-\dfrac{1}{x+1}\right)'=\dfrac{1}{(x+1)^2}, deci −1x+1\displaystyle -\dfrac{1}{x+1} este o primitivă a lui 1(x+1)2\displaystyle \dfrac{1}{(x+1)^2}. Atunci V=π⋅(−1x+1)∣01\displaystyle V=\pi\cdot\left(-\dfrac{1}{x+1}\right)\Big|_0^1.
    V=π⋅(−1x+1)∣01\displaystyle V=\pi\cdot\left(-\frac{1}{x+1}\right)\Big|_0^1
  4. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem −1\displaystyle -1. Atunci V=π(−12−(−1))=π(−12+1)\displaystyle V=\pi\left(-\dfrac{1}{2}-(-1)\right)=\pi\left(-\dfrac{1}{2}+1\right).
    V=π(−12+1)\displaystyle V=\pi\left(-\frac{1}{2}+1\right)
  5. Cum −12+1=12\displaystyle -\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}, rezultă V=π2\displaystyle V=\dfrac{\pi}{2}.
    V=π2\displaystyle V=\frac{\pi}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.