Bac matematică M1 mate-info 2012, sesiunea specială varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m știind că mulțimile A={2}\displaystyle A=\{2\} și B={x∈R∣x2+mx+4=0}\displaystyle B=\{x\in\mathbb{R}\mid x^2+mx+4=0\} sunt egale.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimile A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt egale, deci 2∈B\displaystyle 2\in B. Prin urmare, 2\displaystyle 2 trebuie să fie rădăcină a ecuației x2+mx+4=0\displaystyle x^{2}+mx+4=0.
    22+2m+4=0\displaystyle 2^{2}+2m+4=0
  2. Calculăm: 4+2m+4=0\displaystyle 4+2m+4=0, adică 2m+8=0\displaystyle 2m+8=0. Rezultă m=−4\displaystyle m=-4.
    m=−4\displaystyle m=-4
  3. Verificăm că pentru m=−4\displaystyle m=-4 mulțimile sunt egale. Ecuația devine x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0, adică (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0.
    (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0
  4. Singura soluție reală este x=2\displaystyle x=2, deci B={2}=A\displaystyle B=\{2\}=A. Așadar m=−4\displaystyle m=-4.
    m=−4, mulțimile sunt egale\displaystyle m=-4\text{, mulțimile sunt egale}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c: a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=2\displaystyle c=2.
    a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle \ b=-3, c=2\displaystyle \ c=2
  2. Vârful parabolei are abscisa xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Înlocuim coeficienții: xV=−−32⋅1=32\displaystyle x_V=-\dfrac{-3}{2\cdot 1}=\dfrac{3}{2}.
    xV=−b2a=32\displaystyle x_V=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}
  3. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=(−3)2−4⋅1⋅2=9−8=1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1.
    Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1
  4. Ordonata vârfului este yV=−Δ4a\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}. Înlocuim Δ=1\displaystyle \Delta=1 și a=1\displaystyle a=1: yV=−14\displaystyle y_V=-\dfrac{1}{4}. Deci vârful este punctul V(32,−14)\displaystyle V\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{4}\right).
    yV=−Δ4a=−14\displaystyle y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{1}{4},V(32,−14)\displaystyle \quad V\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{4}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 3log⁡3x<1\displaystyle 3^{\log_3 x}<1.
Vezi rezolvarea
  1. Logaritmul log⁡3x\displaystyle \log_3 x există doar dacă argumentul este strict pozitiv. Punem condiția de existență: x>0\displaystyle x>0.
    x>0\displaystyle x>0
  2. Scriem membrul drept ca putere a lui 3: 1=30\displaystyle 1=3^{0}, deci inecuația devine 3log⁡3x<30\displaystyle 3^{\log_3 x}<3^{0}.
    3log⁡3x<30\displaystyle 3^{\log_3 x}<3^{0}
  3. Baza 3>1\displaystyle 3>1, deci funcția exponențială este strict crescătoare și păstrează sensul inegalității: comparăm exponenții și obținem log⁡3x<0\displaystyle \log_3 x<0. Echivalent, din identitatea 3log⁡3x=x\displaystyle 3^{\log_3 x}=x (pentru x>0\displaystyle x>0) inecuația devine direct x<1\displaystyle x<1.
    3log⁡3x<30⇔x<1\displaystyle 3^{\log_3 x}<3^0\Leftrightarrow x<1
  4. Intersectăm condiția x>0\displaystyle x>0 cu x<1\displaystyle x<1 și obținem mulțimea soluțiilor.
    x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare unul dintre numerele naturale de 2 cifre, acesta să fie format doar din cifre impare.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Un număr de două cifre se scrie ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu cifra zecilor a\displaystyle a și cifra unităților b\displaystyle b. Pentru ca numărul să aibă doar cifre impare, ambele cifre trebuie să fie din mulțimea cifrelor impare: {1,3,5,7,9}\displaystyle \{1,3,5,7,9\}.
    a\displaystyle a,b∈{1,3,5,7,9}\displaystyle b\in\{1,3,5,7,9\}
  3. Cifra a\displaystyle a poate fi aleasă în 5\displaystyle 5 moduri, iar cifra b\displaystyle b tot în 5\displaystyle 5 moduri. Conform regulii produsului, numărul cazurilor favorabile este 5⋅5\displaystyle 5\cdot 5.
    5⋅5=25 cazuri favorabile\displaystyle 5\cdot 5=25\text{ cazuri favorabile}
  4. Pentru numerele de două cifre, cifra zecilor a∈{1,2,…,9}\displaystyle a\in\{1,2,\ldots,9\} poate fi aleasă în 9\displaystyle 9 moduri, iar cifra unităților b∈{0,1,…,9}\displaystyle b\in\{0,1,\ldots,9\} în 10\displaystyle 10 moduri. Numărul cazurilor posibile este 9⋅10\displaystyle 9\cdot 10.
    9⋅10=90 cazuri posibile\displaystyle 9\cdot 10=90\text{ cazuri posibile}
  5. Înlocuim în formula probabilității: p=2590\displaystyle p=\dfrac{25}{90}, apoi simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5.
    p=2590=518\displaystyle p=\dfrac{25}{90}=\dfrac{5}{18}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii u⃗=3i⃗+aj⃗\displaystyle \vec{u}=3\vec{i}+a\vec{j} și v⃗=ai⃗+(2a−3)j⃗\displaystyle \vec{v}=a\vec{i}+(2a-3)\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Vectorul u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele (3, a)\displaystyle (3,\ a), iar vectorul v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele (a, 2a−3)\displaystyle (a,\ 2a-3).
    3a=a2a−3\displaystyle \frac{3}{a}=\frac{a}{2a-3}
  2. Aplicăm produsul mezilor egal cu produsul extremilor: 3(2a−3)=a⋅a\displaystyle 3(2a-3)=a\cdot a.
    3(2a−3)=a2\displaystyle 3(2a-3)=a^{2}
  3. Desfacem parantezele: 6a−9=a2\displaystyle 6a-9=a^{2}. Aducem toți termenii în același membru și obținem ecuația de gradul al doilea.
    a2−6a+9=0\displaystyle a^{2}-6a+9=0
  4. Observăm că membrul stâng este pătrat perfect: (a−3)2=0\displaystyle (a-3)^{2}=0. Rezultă a=3\displaystyle a=3. Pentru a=3\displaystyle a=3 numitorii a=3\displaystyle a=3 și 2a−3=3\displaystyle 2a-3=3 sunt nenuli, deci valoarea convine.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=AC=5\displaystyle AB=AC=5 și BC=6\displaystyle BC=6.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel, cu AB=AC=5\displaystyle AB=AC=5. Ducem înălțimea AD\displaystyle AD pe BC\displaystyle BC; ea este și mediană, deci BD=BC2=3\displaystyle BD=\dfrac{BC}{2}=3.
    BD=3\displaystyle BD=3
  2. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD\displaystyle ABD: AD=AB2−BD2=25−9\displaystyle AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{25-9}.
    AD=16=4\displaystyle AD=\sqrt{16}=4
  3. Calculăm aria: SABC=BC⋅AD2=6⋅42\displaystyle S_{ABC}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=\dfrac{6\cdot 4}{2}.
    SABC=12\displaystyle S_{ABC}=12
  4. Folosim formula R=abc4S\displaystyle R=\dfrac{abc}{4S}, cu a=5\displaystyle a=5, b=5\displaystyle b=5, c=6\displaystyle c=6 și S=12\displaystyle S=12.
    R=5⋅5⋅64⋅12\displaystyle R=\dfrac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12}
  5. Efectuăm calculul: R=15048\displaystyle R=\dfrac{150}{48}, iar simplificând prin 6\displaystyle 6 obținem raza cercului circumscris.
    R=258\displaystyle R=\dfrac{25}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
În M3(C)\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(cos⁡x0isin⁡x010isin⁡x0cos⁡x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}\cos x&0&i\sin x\\0&1&0\\i\sin x&0&\cos x\end{pmatrix}, unde x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.

Calculați det⁡(A(π))\displaystyle \det(A(\pi)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=π\displaystyle x=\pi în matricea A(x)\displaystyle A(x). Folosim cos⁡π=−1\displaystyle \cos\pi=-1 și sin⁡π=0\displaystyle \sin\pi=0.
    cos⁡π=−1\displaystyle \cos\pi=-1, sin⁡π=0\displaystyle \ \sin\pi=0
  2. Termenii isin⁡π\displaystyle i\sin\pi devin 0\displaystyle 0, deci matricea A(π)\displaystyle A(\pi) este diagonală, cu −1\displaystyle -1, 1\displaystyle 1, −1\displaystyle -1 pe diagonala principală.
    A(π)=(−10001000−1)\displaystyle A(\pi)=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
  3. Determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonala principală: (−1)⋅1⋅(−1)=1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot(-1)=1.
    det⁡(A(π))=(−1)⋅1⋅(−1)=1\displaystyle \det(A(\pi))=(-1)\cdot 1\cdot(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
În M3(C)\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(cos⁡x0isin⁡x010isin⁡x0cos⁡x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}\cos x&0&i\sin x\\0&1&0\\i\sin x&0&\cos x\end{pmatrix}, unde x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.

Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y) pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem cele două matrice, A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y), una lângă alta, pentru a le înmulți.
    A(x)⋅A(y)=(cos⁡x0isin⁡x010isin⁡x0cos⁡x)⋅(cos⁡y0isin⁡y010isin⁡y0cos⁡y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}\cos x&0&i\sin x\\0&1&0\\i\sin x&0&\cos x\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos y&0&i\sin y\\0&1&0\\i\sin y&0&\cos y\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele de pe prima linie a produsului, înmulțind linia întâi din A(x)\displaystyle A(x) cu fiecare coloană din A(y)\displaystyle A(y). Folosim faptul că i2=−1\displaystyle i^{2}=-1.
    cos⁡xcos⁡y+isin⁡x⋅isin⁡y=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\displaystyle \cos x\cos y+i\sin x\cdot i\sin y=\cos x\cos y-\sin x\sin y,cos⁡x⋅isin⁡y+isin⁡xcos⁡y=i(cos⁡xsin⁡y+sin⁡xcos⁡y)\displaystyle \quad \cos x\cdot i\sin y+i\sin x\cos y=i(\cos x\sin y+\sin x\cos y)
  3. Elementele din linia a doua și din coloana a doua sunt simple: linia a doua a lui A(x)\displaystyle A(x) are un singur element nenul, 1\displaystyle 1, pe poziția din mijloc. Linia a treia se calculează analog cu prima, folosind i2=−1\displaystyle i^{2}=-1. Obținem matricea produs.
    A(x)⋅A(y)=(cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y0i(cos⁡xsin⁡y+sin⁡xcos⁡y)010i(cos⁡xsin⁡y+sin⁡xcos⁡y)0cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}\cos x\cos y-\sin x\sin y&0&i(\cos x\sin y+\sin x\cos y)\\0&1&0\\i(\cos x\sin y+\sin x\cos y)&0&\cos x\cos y-\sin x\sin y\end{pmatrix}
  4. Aplicăm formulele trigonometrice de adunare, cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y și sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y, și le recunoaștem în elementele matricei produs. Scriem apoi matricea A(x+y)\displaystyle A(x+y) conform definiției.
    A(x+y)=(cos⁡(x+y)0isin⁡(x+y)010isin⁡(x+y)0cos⁡(x+y))\displaystyle A(x+y)=\begin{pmatrix}\cos(x+y)&0&i\sin(x+y)\\0&1&0\\i\sin(x+y)&0&\cos(x+y)\end{pmatrix}
  5. Comparăm element cu element matricea produs cu matricea A(x+y)\displaystyle A(x+y): toate elementele coincid, deci egalitatea este adevărată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
În M3(C)\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(cos⁡x0isin⁡x010isin⁡x0cos⁡x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}\cos x&0&i\sin x\\0&1&0\\i\sin x&0&\cos x\end{pmatrix}, unde x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (A(x))2012=I3\displaystyle (A(x))^{2012}=I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y). Elementul din colțul stânga sus este cos⁡xcos⁡y+isin⁡x⋅isin⁡y=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y=cos⁡(x+y)\displaystyle \cos x\cos y+i\sin x\cdot i\sin y=\cos x\cos y-\sin x\sin y=\cos(x+y). Elementul din colțul dreapta sus este i(cos⁡xsin⁡y+sin⁡xcos⁡y)=isin⁡(x+y)\displaystyle i(\cos x\sin y+\sin x\cos y)=i\sin(x+y). Elementul din mijloc rămâne 1\displaystyle 1, iar restul elementelor din linia și coloana din mijloc sunt 0\displaystyle 0.
    A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)
  2. Aplicând relația A(x)A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y) de mai multe ori (inducție), obținem A(x)n=A(nx)\displaystyle A(x)^n=A(nx). Pentru n=2012\displaystyle n=2012 rezultă:
    A(x)2012=A(2012x)\displaystyle A(x)^{2012}=A(2012x)
  3. Scriem condiția A(2012x)=I3\displaystyle A(2012x)=I_3 element cu element. Pe diagonală avem cos⁡(2012x)=1\displaystyle \cos(2012x)=1 și 1=1\displaystyle 1=1, iar în colțuri isin⁡(2012x)=0\displaystyle i\sin(2012x)=0, deci sin⁡(2012x)=0\displaystyle \sin(2012x)=0.
    A(2012x)=I3⇔cos⁡(2012x)=1 și sin⁡(2012x)=0\displaystyle A(2012x)=I_3\Leftrightarrow\cos(2012x)=1\text{ și }\sin(2012x)=0
  4. Din cos⁡(2012x)=1\displaystyle \cos(2012x)=1 rezultă 2012x=2kπ\displaystyle 2012x=2k\pi, cu k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z}. Pentru aceste valori, sin⁡(2012x)=sin⁡(2kπ)=0\displaystyle \sin(2012x)=\sin(2k\pi)=0 este verificată automat.
    2012x=2kπ\displaystyle 2012x=2k\pi, k∈Z\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}
  5. Împărțim la 2012\displaystyle 2012 și simplificăm: x=2kπ2012=kπ1006\displaystyle x=\dfrac{2k\pi}{2012}=\dfrac{k\pi}{1006}, cu k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z}.
    x=kπ1006\displaystyle x=\frac{k\pi}{1006}, k∈Z\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}.

Arătați că e=12\displaystyle e=\frac{1}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 12∈(0,1)=G\displaystyle \frac{1}{2}\in(0,1)=G. Trebuie să arătăm că x∘12=12∘x=x\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\circ x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G.
    12∈G\displaystyle \frac{1}{2}\in G
  2. Înlocuim y=12\displaystyle y=\frac{1}{2} în definiția legii: x∘12=x⋅122x⋅12−x−12+1\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{x\cdot\frac{1}{2}}{2x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1}.
    x∘12=x⋅122x⋅12−x−12+1\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{x\cdot\frac{1}{2}}{2x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1}
  3. La numitor, 2x⋅12=x\displaystyle 2x\cdot\frac{1}{2}=x, deci x−x−12+1=12\displaystyle x-x-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}. Numărătorul este x2\displaystyle \frac{x}{2}, deci x∘12=x212=x\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x.
    x∘12=x212=x\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x
  4. Acum calculăm în cealaltă ordine: 12∘x=12⋅x2⋅12⋅x−12−x+1\displaystyle \frac{1}{2}\circ x=\frac{\frac{1}{2}\cdot x}{2\cdot\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}-x+1}.
    12∘x=12⋅x2⋅12⋅x−12−x+1\displaystyle \frac{1}{2}\circ x=\frac{\frac{1}{2}\cdot x}{2\cdot\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}-x+1}
  5. La numitor, 2⋅12⋅x=x\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}\cdot x=x, deci x−12−x+1=12\displaystyle x-\frac{1}{2}-x+1=\frac{1}{2}. Numărătorul este x2\displaystyle \frac{x}{2}, deci 12∘x=x212=x\displaystyle \frac{1}{2}\circ x=\dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x.
    12∘x=x212=x\displaystyle \frac{1}{2}\circ x=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x
  6. Cum x∘12=12∘x=x\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\circ x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G, elementul e=12\displaystyle e=\frac{1}{2} este elementul neutru al legii „∘\displaystyle \circ”.
    e=12\displaystyle e=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}.

Arătați că orice element din mulțimea G\displaystyle G este simetrizabil în raport cu legea de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Arătăm că legea este comutativă. În expresia lui x∘x′\displaystyle x\circ x' schimbăm între ele pe x\displaystyle x și x′\displaystyle x': numărătorul xx′\displaystyle xx' și numitorul 2xx′−x−x′+1\displaystyle 2xx'-x-x'+1 sunt simetrice în x\displaystyle x și x′\displaystyle x', deci x∘x′=x′∘x\displaystyle x\circ x'=x'\circ x.
    x∘x′=xx′2xx′−x−x′+1=x′x2x′x−x′−x+1=x′∘x\displaystyle x\circ x'=\frac{xx'}{2xx'-x-x'+1}=\frac{x'x}{2x'x-x'-x+1}=x'\circ x
  2. Căutăm elementul neutru. Calculăm x∘12\displaystyle x\circ\frac{1}{2}: numărătorul este x2\displaystyle \frac{x}{2}, iar numitorul este x−x−12+1=12\displaystyle x-x-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}. Rezultă x∘12=x\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=x, iar din comutativitate și 12∘x=x\displaystyle \frac{1}{2}\circ x=x. Deci elementul neutru este e=12∈G\displaystyle e=\frac{1}{2}\in G.
    x∘12=x212=x⇒e=12\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x\Rightarrow e=\frac{1}{2}
  3. Numitorul 2xy−x−y+1\displaystyle 2xy-x-y+1 se scrie xy+(1−x)(1−y)\displaystyle xy+(1-x)(1-y), deci este strict pozitiv pentru x,y∈(0,1)\displaystyle x,y\in(0,1). Astfel legea este bine definită și putem înmulți cu numitorul.
    2xy−x−y+1=xy+(1−x)(1−y)>0\displaystyle 2xy-x-y+1=xy+(1-x)(1-y)>0
  4. Punem condiția ca x′\displaystyle x' să fie simetricul lui x\displaystyle x: x∘x′=12\displaystyle x\circ x'=\frac{1}{2}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și cu numitorul: 2xx′=2xx′−x−x′+1\displaystyle 2xx'=2xx'-x-x'+1. Termenii 2xx′\displaystyle 2xx' se reduc și obținem x+x′=1\displaystyle x+x'=1, deci x′=1−x\displaystyle x'=1-x. Datorită comutativității, avem și x′∘x=12\displaystyle x'\circ x=\frac{1}{2}.
    x∘x′=12⇒2xx′=2xx′−x−x′+1⇒x′=1−x\displaystyle x\circ x'=\frac{1}{2}\Rightarrow 2xx'=2xx'-x-x'+1\Rightarrow x'=1-x
  5. Verificăm că x′\displaystyle x' aparține lui G\displaystyle G. Dacă x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1), atunci 0<x<1\displaystyle 0<x<1, deci 0<1−x<1\displaystyle 0<1-x<1. Așadar x′=1−x∈(0,1)\displaystyle x'=1-x\in(0,1), adică orice element din G\displaystyle G este simetrizabil.
    x′=1−x∈(0,1)\displaystyle x'=1-x\in(0,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}.

Demonstrați că f:G→R+∗\displaystyle f:G\to\mathbb{R}_+^*, f(x)=1x−1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1 este un izomorfism de la grupul (G,∘)\displaystyle (G,\circ) la grupul (R+∗,⋅)\displaystyle (\mathbb{R}_+^*,\cdot).
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că f este corect definită: pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem 1x>1\displaystyle \dfrac{1}{x}>1, deci f(x)=1x−1>0\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}-1>0.
    f(x)=1x−1>0\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1>0
  2. Injectivitatea: dacă f(x)=f(y)\displaystyle f(x)=f(y), atunci 1x−1=1y−1\displaystyle \dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1}{y}-1, deci 1x=1y\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y} și x=y\displaystyle x=y.
    f(x)=f(y)⇒x=y\displaystyle f(x)=f(y)\Rightarrow x=y
  3. Surjectivitatea: pentru y>0\displaystyle y>0 rezolvăm ecuația f(x)=y\displaystyle f(x)=y. Obținem 1x=y+1\displaystyle \dfrac{1}{x}=y+1, adică x=1y+1\displaystyle x=\dfrac{1}{y+1}. Acest x\displaystyle x este în (0,1)\displaystyle (0,1), deoarece y+1>1\displaystyle y+1>1. Deci f\displaystyle f este surjectivă și, împreună cu injectivitatea, bijectivă.
    f este bijectiva˘\displaystyle f\text{ este bijectivă}
  4. Calculăm f(x∘y)\displaystyle f(x\circ y). Inversul lui x∘y\displaystyle x\circ y este 2xy−x−y+1xy\displaystyle \dfrac{2xy-x-y+1}{xy}, deci scădem 1 și aducem la același numitor: numărătorul devine 2xy−x−y+1−xy=xy−x−y+1=(x−1)(y−1)\displaystyle 2xy-x-y+1-xy=xy-x-y+1=(x-1)(y-1).
    f(x∘y)=1x∘y−1=2xy−x−y+1−xyxy=(x−1)(y−1)xy\displaystyle f(x\circ y)=\frac{1}{x\circ y}-1=\frac{2xy-x-y+1-xy}{xy}=\frac{(x-1)(y-1)}{xy}
  5. Calculăm produsul f(x)f(y)\displaystyle f(x)f(y): 1x−1=1−xx\displaystyle \dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x} și 1y−1=1−yy\displaystyle \dfrac{1}{y}-1=\dfrac{1-y}{y}. Înmulțind, semnele se compensează: (1−x)(1−y)=(x−1)(y−1)\displaystyle (1-x)(1-y)=(x-1)(y-1). Obținem aceeași expresie ca la f(x∘y)\displaystyle f(x\circ y), deci f\displaystyle f este morfism. Fiind și bijectivă, f\displaystyle f este izomorfism de la (G,∘)\displaystyle (G,\circ) la (R+∗,⋅)\displaystyle (\mathbb{R}_+^*,\cdot).
    f(x)f(y)=(1x−1)(1y−1)=(x−1)(y−1)xy=f(x∘y)\displaystyle f(x)f(y)=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)=\frac{(x-1)(y-1)}{xy}=f(x\circ y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+e−x2\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.

Calculați lim⁡x→+∞xf(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat lim⁡x→+∞xf(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{f(x)}, unde f(x)=ex+e−x2\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}. Înlocuim pe f(x)\displaystyle f(x) în fracție.
    lim⁡x→+∞xex+e−x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}
  2. Împărțirea la ex+e−x2\displaystyle \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} înseamnă înmulțire cu inversa, deci xf(x)=2xex+e−x\displaystyle \dfrac{x}{f(x)}=\dfrac{2x}{e^x+e^{-x}}.
    lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞2xex+e−x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x+e^{-x}}
  3. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem 2x→+∞\displaystyle 2x\to+\infty, iar ex+e−x→+∞\displaystyle e^x+e^{-x}\to+\infty, deoarece ex→+∞\displaystyle e^x\to+\infty și e−x→0\displaystyle e^{-x}\to0. Avem cazul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci putem aplica regula lui l'Hospital.
    ∞∞\displaystyle \frac{\infty}{\infty}
  4. Derivăm numărătorul și numitorul: (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, iar (ex+e−x)′=ex−e−x\displaystyle (e^x+e^{-x})'=e^x-e^{-x}. Rămâne limita raportului derivatelor.
    lim⁡x→+∞2xex+e−x=lim⁡x→+∞2ex−e−x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x+e^{-x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x-e^{-x}}
  5. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem ex−e−x→+∞\displaystyle e^x-e^{-x}\to+\infty, iar numărătorul este constant 2\displaystyle 2. Deci fracția 2ex−e−x\displaystyle \dfrac{2}{e^x-e^{-x}} tinde la 0\displaystyle 0, adică limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞xf(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{f(x)}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+e−x2\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim criteriul: dacă f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, atunci f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Deci vom calcula f′\displaystyle f' și apoi f′′\displaystyle f''.
    f′′(x)>0 ⇒ f convexa˘\displaystyle f''(x)>0\ \Rightarrow\ f\text{ convexă}
  2. Derivăm funcția. Avem (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}, iar (e−x)′=−e−x\displaystyle (e^{-x})'=-e^{-x} (derivata funcției compuse, cu derivata exponentului egală cu −1\displaystyle -1). Atunci f′(x)=ex−e−x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
    f′(x)=ex−e−x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}
  3. Derivăm încă o dată: (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}, iar (−e−x)′=e−x\displaystyle (-e^{-x})'=e^{-x}. Rezultă f′′(x)=ex+e−x2\displaystyle f''(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
    f′′(x)=ex+e−x2\displaystyle f''(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}
  4. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem ex>0\displaystyle e^{x}>0 și e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, deci suma lor împărțită la 2\displaystyle 2 este strict pozitivă. Prin urmare f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′′(x)>0, deci f este convexa˘\displaystyle f''(x)>0\text{, deci }f\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+e−x2\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.

Arătați că funcția g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x}) este strict crescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Din g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x}) și f(x)=ex+e−x2\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} obținem expresia lui g\displaystyle g pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    g(x)=ex+e−x2\displaystyle g(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}}{2}
  2. Derivăm folosind regula funcției compuse, cu (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}: (ex)′=ex2x\displaystyle \left(e^{\sqrt{x}}\right)'=\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} și (e−x)′=−e−x2x\displaystyle \left(e^{-\sqrt{x}}\right)'=-\dfrac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.
    g′(x)=12(ex2x−e−x2x)\displaystyle g'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}-\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\right)
  3. Amplificăm și grupăm termenii: numitorul devine 2⋅2x=4x\displaystyle 2\cdot 2\sqrt{x}=4\sqrt{x}.
    g′(x)=ex−e−x4x\displaystyle g'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}}
  4. Dacă x>0\displaystyle x>0, atunci x>0>−x\displaystyle \sqrt{x}>0>-\sqrt{x}. Deoarece funcția t↦et\displaystyle t\mapsto e^t este strict crescătoare, rezultă că ex>e−x\displaystyle e^{\sqrt{x}}>e^{-\sqrt{x}}, adică ex−e−x>0\displaystyle e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}>0.
    x>0⇒x>0⇒ex>e−x\displaystyle x>0\Rightarrow \sqrt{x}>0\Rightarrow e^{\sqrt{x}}>e^{-\sqrt{x}}
  5. Numărătorul ex−e−x\displaystyle e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}} este pozitiv, iar numitorul 4x\displaystyle 4\sqrt{x} este pozitiv pentru x>0\displaystyle x>0. Deci g′(x)>0\displaystyle g'(x)>0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), iar g\displaystyle g este strict crescătoare pe acest interval.
    g′(x)>0⇒g este strict cresca˘toare \displaystyle g'(x)>0\Rightarrow g\text{ este strict crescătoare }pe (0,+∞)\displaystyle \text{pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numerele In=∫01xn⋅1−x2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n\cdot\sqrt{1-x^2}\,dx și Jn=∫0π2sin⁡nx dx\displaystyle J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx.

Calculați J1\displaystyle J_1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n=1\displaystyle n=1 în definiția lui Jn\displaystyle J_n. Cum sin⁡1x=sin⁡x\displaystyle \sin^1 x=\sin x, obținem integrala lui sinus pe intervalul [0,π2]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right].
    J1=∫0π2sin⁡x dx\displaystyle J_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx
  2. Căutăm o primitivă a funcției sin⁡x\displaystyle \sin x. Deoarece (−cos⁡x)′=sin⁡x\displaystyle (-\cos x)'=\sin x, funcția −cos⁡x\displaystyle -\cos x este o primitivă. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    J1=−cos⁡x∣0π2\displaystyle J_1=-\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}
  3. Înlocuim limitele de integrare. Avem cos⁡π2=0\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0 și cos⁡0=1\displaystyle \cos 0=1, deci J1=−cos⁡π2−(−cos⁡0)=0+1\displaystyle J_1=-\cos\dfrac{\pi}{2}-(-\cos 0)=0+1.
    J1=−0+1=1\displaystyle J_1=-0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numerele In=∫01xn⋅1−x2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n\cdot\sqrt{1-x^2}\,dx și Jn=∫0π2sin⁡nx dx\displaystyle J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx.

Calculați I1\displaystyle I_1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem I1=∫01x1⋅1−x2 dx\displaystyle I_1=\int_0^1 x^1\cdot\sqrt{1-x^2}\,dx, adică integrala de mai jos.
    I1=∫01x1−x2 dx\displaystyle I_1=\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx
  2. Notăm t=1−x2\displaystyle t=1-x^2. Atunci dt=−2x dx\displaystyle dt=-2x\,dx, deci x dx=−12 dt\displaystyle x\,dx=-\dfrac{1}{2}\,dt.
    x dx=−12 dt\displaystyle x\,dx=-\frac{1}{2}\,dt
  3. Primitiva devine ∫x1−x2 dx=−12∫t12 dt=−12⋅23t32+C\displaystyle \int x\sqrt{1-x^2}\,dx=-\dfrac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}}\,dt=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C. Revenind la x\displaystyle x, obținem o primitivă a funcției.
    F(x)=−13(1−x2)3\displaystyle F(x)=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^2)^3}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: I1=F(1)−F(0)\displaystyle I_1=F(1)-F(0).
    I1=−13(1−x2)3∣01\displaystyle I_1=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^2)^3}\Big|_0^1
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem (1−1)3=0\displaystyle \sqrt{(1-1)^3}=0, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem 13=1\displaystyle \sqrt{1^3}=1. Deci I1=−13⋅0+13⋅1=13\displaystyle I_1=-\dfrac{1}{3}\cdot 0+\dfrac{1}{3}\cdot 1=\dfrac{1}{3}.
    I1=13\displaystyle I_1=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numerele In=∫01xn⋅1−x2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n\cdot\sqrt{1-x^2}\,dx și Jn=∫0π2sin⁡nx dx\displaystyle J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx.

Demonstrați că J2n−J2n+2=I2n\displaystyle J_{2n}-J_{2n+2}=I_{2n} pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența J2n−J2n+2\displaystyle J_{2n}-J_{2n+2} sub o singură integrală, pe intervalul [0,π2]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], folosind liniaritatea integralei.
    J2n−J2n+2=∫0π2(sin⁡2nx−sin⁡2n+2x)dx\displaystyle J_{2n}-J_{2n+2}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin^{2n}x-\sin^{2n+2}x\right)dx
  2. Dăm factor comun sin⁡2nx\displaystyle \sin^{2n}x și folosim 1−sin⁡2x=cos⁡2x\displaystyle 1-\sin^{2}x=\cos^{2}x.
    J2n−J2n+2=∫0π2sin⁡2nx(1−sin⁡2x)dx=∫0π2sin⁡2nxcos⁡2x dx\displaystyle J_{2n}-J_{2n+2}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}x\cos^{2}x\,dx
  3. Facem substituția sin⁡x=t\displaystyle \sin x=t. Atunci cos⁡x dx=dt\displaystyle \cos x\,dx=dt. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem t=0\displaystyle t=0, iar pentru x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2} avem t=1\displaystyle t=1. Scriem integrandul ca sin⁡2nx⋅cos⁡x⋅cos⁡x\displaystyle \sin^{2n}x\cdot\cos x\cdot\cos x.
    sin⁡x=t\displaystyle \sin x=t,cos⁡x dx=dt\displaystyle \quad \cos x\,dx=dt,t∈[0,1]\displaystyle \quad t\in[0,1]
  4. Pe [0,π2]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] avem cos⁡x≥0\displaystyle \cos x\ge 0, deci cos⁡x=1−sin⁡2x=1−t2\displaystyle \cos x=\sqrt{1-\sin^{2}x}=\sqrt{1-t^{2}}. Înlocuim în integrală și recunoaștem I2n\displaystyle I_{2n}.
    J2n−J2n+2=∫01t2n⋅1−t2 dt=I2n\displaystyle J_{2n}-J_{2n+2}=\int_0^1 t^{2n}\cdot\sqrt{1-t^{2}}\,dt=I_{2n}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.