Bac matematică M1 mate-info 2017, sesiunea specială varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați suma numerelor întregi din intervalul (−5,5)\displaystyle (-5,5).
Vezi rezolvarea
  1. Intervalul (−5,5)\displaystyle (-5,5) este deschis, deci capetele −5\displaystyle -5 și 5\displaystyle 5 nu fac parte din el. Numerele întregi din interval sunt cele cuprinse strict între −5\displaystyle -5 și 5\displaystyle 5, adică de la −4\displaystyle -4 până la 4\displaystyle 4.
    {−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}\displaystyle \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}
  2. Scriem suma tuturor acestor numere întregi.
    S=(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1+2+3+4\displaystyle S=(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4
  3. Grupăm termenii opuși: fiecare pereche formată dintr-un număr și opusul său are suma 0\displaystyle 0. Zero rămâne singur și nu schimbă suma.
    S=[(−4)+4]+[(−3)+3]+[(−2)+2]+[(−1)+1]+0=0+0+0+0+0\displaystyle S=\left[(-4)+4\right]+\left[(-3)+3\right]+\left[(-2)+2\right]+\left[(-1)+1\right]+0=0+0+0+0+0
  4. Toți termenii sunt 0\displaystyle 0, deci suma numerelor întregi din interval este 0\displaystyle 0.
    S=0\displaystyle S=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^2-1. Calculați (f∘f)(1)\displaystyle (f\circ f)(1).
Vezi rezolvarea
  1. Compoziția (f∘f)(1)\displaystyle (f\circ f)(1) înseamnă f(f(1))\displaystyle f(f(1)), deci calculăm întâi valoarea interioară f(1)\displaystyle f(1).
    (f∘f)(1)=f(f(1))\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^{2}-1: f(1)=12−1\displaystyle f(1)=1^{2}-1.
    f(1)=12−1=0\displaystyle f(1)=1^{2}-1=0
  3. Acum calculăm f\displaystyle f în rezultatul obținut: f(f(1))=f(0)=02−1\displaystyle f(f(1))=f(0)=0^{2}-1.
    f(f(1))=f(0)=02−1=−1\displaystyle f(f(1))=f(0)=0^{2}-1=-1
  4. Răspunsul final: (f∘f)(1)=−1\displaystyle (f\circ f)(1)=-1.
    (f∘f)(1)=−1\displaystyle (f\circ f)(1)=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+3=x−3\displaystyle \sqrt{x+3}=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm condițiile de existență: x+3≥0\displaystyle x+3\ge 0, iar radicalul este nenegativ, deci și x−3≥0\displaystyle x-3\ge 0. Prin urmare x≥3\displaystyle x\ge 3.
    x≥3\displaystyle x\ge 3
  2. Ridicăm ecuația la pătrat, ambii membri fiind nenegativi: (x+3)2=(x−3)2\displaystyle \left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=(x-3)^{2}, adică x+3=x2−6x+9\displaystyle x+3=x^{2}-6x+9.
    x+3=x2−6x+9\displaystyle x+3=x^{2}-6x+9
  3. Mutăm toți termenii în membrul drept și reducem termenii asemenea: x2−6x−x+9−3=0\displaystyle x^{2}-6x-x+9-3=0, deci x2−7x+6=0\displaystyle x^{2}-7x+6=0.
    x2−7x+6=0\displaystyle x^{2}-7x+6=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul II: Δ=49−24=25\displaystyle \Delta=49-24=25, deci x=7±52\displaystyle x=\dfrac{7\pm 5}{2}, adică x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=6\displaystyle x_2=6.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=6\displaystyle \ x_2=6
  5. Verificăm soluțiile în ecuația inițială. Pentru x=1\displaystyle x=1: 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, iar 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2, deci nu convine (și 1<3\displaystyle 1<3). Pentru x=6\displaystyle x=6: 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3 și 6−3=3\displaystyle 6-3=3, deci convine.
    x=1 care nu convine, x=6 care convine\displaystyle x=1\text{ care nu convine, }x=6\text{ care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,100}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,100\}, acesta să fie multiplu de 11.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate numerele din mulțimea A\displaystyle A. Mulțimea are 100 de elemente.
    nr. cazuri posibile=100\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=100
  3. Cazurile favorabile sunt multiplii de 11 din A\displaystyle A: 11,22,33,44,55,66,77,88,99\displaystyle 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Următorul multiplu, 110\displaystyle 110, depășește 100\displaystyle 100. Deci sunt 9 multipli, adică [10011]=9\displaystyle \left[\dfrac{100}{11}\right]=9.
    nr. cazuri favorabile=9\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=9
  4. Înlocuim în formula probabilității numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: p=9100\displaystyle p=\dfrac{9}{100}.
    p=9100\displaystyle p=\frac{9}{100}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(2,2)\displaystyle M(2,2) și N(4,2)\displaystyle N(4,2). Determinați coordonatele punctului P\displaystyle P, situat pe axa Ox\displaystyle Ox, astfel încât PM=PN\displaystyle PM=PN.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul P\displaystyle P se află pe axa Ox\displaystyle Ox, deci ordonata sa este zero. Notăm P(a,0)\displaystyle P(a,0), unde a\displaystyle a este abscisa necunoscută.
    P(a,0)\displaystyle P(a,0), yP=0\displaystyle \ y_P=0
  2. Scriem distanțele PM\displaystyle PM și PN\displaystyle PN cu formula distanței dintre două puncte, ridicate la pătrat: PM2=(xM−a)2+(yM−0)2\displaystyle PM^2=(x_M-a)^2+(y_M-0)^2 și PN2=(xN−a)2+(yN−0)2\displaystyle PN^2=(x_N-a)^2+(y_N-0)^2.
    PM2=(2−a)2+(2−0)2\displaystyle PM^2=(2-a)^2+(2-0)^2,PN2=(4−a)2+(2−0)2\displaystyle \quad PN^2=(4-a)^2+(2-0)^2
  3. Punem condiția PM=PN\displaystyle PM=PN, adică PM2=PN2\displaystyle PM^2=PN^2. Termenul (2−0)2\displaystyle (2-0)^2 apare în ambele părți și se reduce.
    (2−a)2+4=(4−a)2+4⇔(2−a)2=(4−a)2\displaystyle (2-a)^2+4=(4-a)^2+4\Leftrightarrow (2-a)^2=(4-a)^2
  4. Desfacem parantezele: 4−4a+a2=16−8a+a2\displaystyle 4-4a+a^2=16-8a+a^2. Reducem a2\displaystyle a^2 și obținem 4a=12\displaystyle 4a=12, deci a=3\displaystyle a=3.
    4−4a+a2=16−8a+a2⇒4a=12⇒a=3\displaystyle 4-4a+a^2=16-8a+a^2\Rightarrow 4a=12\Rightarrow a=3
  5. Deci punctul P\displaystyle P are abscisa 3\displaystyle 3 și ordonata 0\displaystyle 0.
    P(3,0)\displaystyle P(3,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC\displaystyle ABC, în care AB=62\displaystyle AB=6\sqrt{2} și C=π4\displaystyle C=\frac{\pi}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre latura AB\displaystyle AB și sin⁡C\displaystyle \sin C este egal cu 2R\displaystyle 2R, unde R\displaystyle R este raza cercului circumscris.
    ABsin⁡C=2R\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R
  2. Calculăm sinusul unghiului C=π4\displaystyle C=\dfrac{\pi}{4}.
    sin⁡C=sin⁡π4=22\displaystyle \sin C=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Înlocuim AB=62\displaystyle AB=6\sqrt{2} și sin⁡C=22\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2} în relație și exprimăm R\displaystyle R.
    R=622⋅22=622\displaystyle R=\frac{6\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
  4. Simplificăm 2\displaystyle \sqrt{2} de la numărător cu cel de la numitor și obținem lungimea razei.
    R=6\displaystyle R=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11112x4x1x2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2^x & 4^x\\ 1 & x & 2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Avem 21=2\displaystyle 2^{1}=2, 41=4\displaystyle 4^{1}=4, iar linia a treia devine (1, 1, 2)\displaystyle (1,\ 1,\ 2).
    A(1)=(111124112)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&1&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(1))=∣111124112∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&1&2\end{vmatrix}
  3. Regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Produsele pozitive sunt 1⋅2⋅2=4\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2=4, 1⋅4⋅1=4\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1=4 și 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1.
    4+4+1\displaystyle 4+4+1
  4. Produsele care se scad sunt 1⋅2⋅1=2\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1=2 (diagonala secundară), 1⋅4⋅1=4\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1=4 și 1⋅1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2=2.
    det⁡(A(1))=4+1+4−2−4−2\displaystyle \det(A(1))=4+1+4-2-4-2
  5. Efectuăm calculul: 9−8=1\displaystyle 9-8=1, deci determinantul este 1\displaystyle 1, așa cum trebuia arătat.
    det⁡(A(1))=9−8=1\displaystyle \det(A(1))=9-8=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11112x4x1x2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2^x & 4^x\\ 1 & x & 2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(x))=(2x−1)(2x+x−x⋅2x)\displaystyle \det(A(x))=(2^x-1)(2^x+x-x\cdot2^x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem prima linie din a doua și din a treia linie (L2→L2−L1\displaystyle L_2\to L_2-L_1, L3→L3−L1\displaystyle L_3\to L_3-L_1), ca să obținem zerouri pe prima coloană. Determinantul nu se schimbă.
    det⁡(A(x))=∣11102x−14x−10x−12x−1∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&2^x-1&4^x-1\\0&x-1&2x-1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima coloană. Singurul element nenul este 1\displaystyle 1, deci rămâne minorul de ordin 2: det⁡(A(x))=∣2x−14x−1x−12x−1∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}2^x-1&4^x-1\\x-1&2x-1\end{vmatrix}.
    det⁡(A(x))=∣2x−14x−1x−12x−1∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}2^x-1&4^x-1\\x-1&2x-1\end{vmatrix}
  3. Scriem 4x=(2x)2\displaystyle 4^x=(2^x)^2 și folosim diferența de pătrate: 4x−1=(2x−1)(2x+1)\displaystyle 4^x-1=(2^x-1)(2^x+1). Astfel, prima linie a minorului are factorul comun 2x−1\displaystyle 2^x-1, pe care îl scoatem în fața determinantului.
    det⁡(A(x))=(2x−1)∣12x+1x−12x−1∣\displaystyle \det(A(x))=(2^x-1)\begin{vmatrix}1&2^x+1\\x-1&2x-1\end{vmatrix}
  4. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: 1⋅(2x−1)−(x−1)(2x+1)\displaystyle 1\cdot(2x-1)-(x-1)(2^x+1).
    det⁡(A(x))=(2x−1)(2x−1−(x−1)(2x+1))\displaystyle \det(A(x))=(2^x-1)\left(2x-1-(x-1)(2^x+1)\right)
  5. Desfacem paranteza: (x−1)(2x+1)=x⋅2x+x−2x−1\displaystyle (x-1)(2^x+1)=x\cdot2^x+x-2^x-1. Schimbăm semnele termenilor și reducem termenii asemenea: 2x−1−x⋅2x−x+2x+1=2x+x−x⋅2x\displaystyle 2x-1-x\cdot2^x-x+2^x+1=2^x+x-x\cdot2^x. Obținem egalitatea cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A(x))=(2x−1)(2x−1−x⋅2x+2x−x+1)=(2x−1)(2x+x−x⋅2x)\displaystyle \det(A(x))=(2^x-1)(2x-1-x\cdot2^x+2^x-x+1)=(2^x-1)(2^x+x-x\cdot2^x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11112x4x1x2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2^x & 4^x\\ 1 & x & 2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(1)+A(2)+A(3)+…+A(2017)=(20172017201720172(22017−1)43(42017−1)20172017⋅10092017⋅2018)\displaystyle A(1)+A(2)+A(3)+\ldots+A(2017)=\begin{pmatrix}2017&2017&2017\\2017&2\left(2^{2017}-1\right)&\frac{4}{3}\left(4^{2017}-1\right)\\2017&2017\cdot1009&2017\cdot2018\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele element cu element. Elementele egale cu 1\displaystyle 1 din prima linie și din prima coloană, adunate de 2017\displaystyle 2017 de ori, dau 2017\displaystyle 2017.
    (2017201720172017∗∗2017∗∗)\displaystyle \begin{pmatrix}2017&2017&2017\\2017&\ast&\ast\\2017&\ast&\ast\end{pmatrix}
  2. Pe linia a doua, elementele 2x\displaystyle 2^x și 4x\displaystyle 4^x se adună pentru x=1,2,…,2017\displaystyle x=1,2,\ldots,2017 și dau sume de termeni ai unor progresii geometrice.
    ∑x=120172x=21+22+…+22017\displaystyle \sum_{x=1}^{2017}2^x=2^1+2^2+\ldots+2^{2017},∑x=120174x=41+42+…+42017\displaystyle \quad \sum_{x=1}^{2017}4^x=4^1+4^2+\ldots+4^{2017}
  3. Pe linia a treia avem sume aritmetice. Folosim 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} cu n=2017\displaystyle n=2017, deci 1+2+…+2017=2017⋅20182=2017⋅1009\displaystyle 1+2+\ldots+2017=\dfrac{2017\cdot2018}{2}=2017\cdot1009. Pentru 2x\displaystyle 2x obținem dublul: 2⋅2017⋅1009=2017⋅2018\displaystyle 2\cdot2017\cdot1009=2017\cdot2018.
    ∑x=12017x=2017⋅1009\displaystyle \sum_{x=1}^{2017}x=2017\cdot1009,∑x=120172x=2017⋅2018\displaystyle \quad \sum_{x=1}^{2017}2x=2017\cdot2018
  4. Scriem suma matricelor cu toate elementele obținute.
    (201720172017201721+22+…+2201741+42+…+4201720172017⋅10092017⋅2018)\displaystyle \begin{pmatrix}2017&2017&2017\\2017&2^1+2^2+\ldots+2^{2017}&4^1+4^2+\ldots+4^{2017}\\2017&2017\cdot1009&2017\cdot2018\end{pmatrix}
  5. Folosim formula b1+b1q+…+b1qn−1=b1⋅qn−1q−1\displaystyle b_1+b_1q+\ldots+b_1q^{n-1}=b_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1} cu n=2017\displaystyle n=2017. Pentru puterile lui 2\displaystyle 2: b1=2\displaystyle b_1=2, q=2\displaystyle q=2. Pentru puterile lui 4\displaystyle 4: b1=4\displaystyle b_1=4, q=4\displaystyle q=4.
    21+…+22017=2(22017−1)2−1\displaystyle 2^1+\ldots+2^{2017}=\frac{2\left(2^{2017}-1\right)}{2-1},41+…+42017=4(42017−1)4−1\displaystyle \quad 4^1+\ldots+4^{2017}=\frac{4\left(4^{2017}-1\right)}{4-1}
  6. Simplificăm: 2−1=1\displaystyle 2-1=1 și 4−1=3\displaystyle 4-1=3. Înlocuind în matrice, obținem matricea cerută.
    (20172017201720172(22017−1)43(42017−1)20172017⋅10092017⋅2018)\displaystyle \begin{pmatrix}2017&2017&2017\\2017&2\left(2^{2017}-1\right)&\frac{4}{3}\left(4^{2017}-1\right)\\2017&2017\cdot1009&2017\cdot2018\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=7xy+7x+7y+6\displaystyle x*y=7xy+7x+7y+6.

Arătați că x∗y=7(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=7(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=7xy+7x+7y+6\displaystyle x*y=7xy+7x+7y+6. Observăm că 6=7−1\displaystyle 6=7-1, pentru a pregăti factorizarea.
    x∗y=7xy+7x+7y+7−1\displaystyle x*y=7xy+7x+7y+7-1
  2. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun 7x\displaystyle 7x, iar următorii doi termeni formează 7y+7=7(y+1)\displaystyle 7y+7=7(y+1).
    x∗y=7x(y+1)+7(y+1)−1\displaystyle x*y=7x(y+1)+7(y+1)-1
  3. Dăm factor comun 7(y+1)\displaystyle 7(y+1) și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=7(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=7(x+1)(y+1)-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=7xy+7x+7y+6\displaystyle x*y=7xy+7x+7y+6. Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 7xy+7x+7y+6=7(xy+x+y+1)−1\displaystyle 7xy+7x+7y+6=7(xy+x+y+1)-1, iar xy+x+y+1=(x+1)(y+1)\displaystyle xy+x+y+1=(x+1)(y+1). Deci legea se scrie astfel:
    x∗y=7(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=7(x+1)(y+1)-1
  2. Calculăm x∗x=7(x+1)(x+1)−1\displaystyle x*x=7(x+1)(x+1)-1:
    x∗x=7(x+1)2−1\displaystyle x*x=7(x+1)^{2}-1
  3. Avem (x∗x)∗x=7(x∗x+1)(x+1)−1\displaystyle (x*x)*x=7\left(x*x+1\right)(x+1)-1, iar x∗x+1=7(x+1)2\displaystyle x*x+1=7(x+1)^{2}. Obținem x∗x∗x=7⋅7(x+1)2(x+1)−1\displaystyle x*x*x=7\cdot 7(x+1)^{2}(x+1)-1. Ecuația x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x devine:
    x∗x∗x=72(x+1)3−1, deci 72(x+1)3−1=x\displaystyle x*x*x=7^{2}(x+1)^{3}-1\text{, deci }7^{2}(x+1)^{3}-1=x
  4. Scriem ecuația ca 49(x+1)3−1−x=0\displaystyle 49(x+1)^{3}-1-x=0. Deoarece −1−x=−(x+1)\displaystyle -1-x=-(x+1), obținem:
    49(x+1)3−(x+1)=0\displaystyle 49(x+1)^{3}-(x+1)=0
  5. Dăm factor comun pe x+1\displaystyle x+1:
    (x+1)(72(x+1)2−1)=0\displaystyle (x+1)\left(7^{2}(x+1)^{2}-1\right)=0
  6. Din x+1=0\displaystyle x+1=0 obținem x=−1\displaystyle x=-1. Din 49(x+1)2=1\displaystyle 49(x+1)^{2}=1 rezultă (x+1)2=149\displaystyle (x+1)^{2}=\dfrac{1}{49}, deci x+1=±17\displaystyle x+1=\pm\dfrac{1}{7}, adică x=−67\displaystyle x=-\dfrac{6}{7} sau x=−87\displaystyle x=-\dfrac{8}{7}. Soluțiile sunt:
    x=−87 sau x=−1 sau x=−67\displaystyle x=-\frac{8}{7}\text{ sau }x=-1\text{ sau }x=-\frac{6}{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=7xy+7x+7y+6\displaystyle x*y=7xy+7x+7y+6.

Demonstrați că, dacă a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere naturale astfel încât a∗b∗c=48\displaystyle a*b*c=48, atunci numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt egale.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub o formă factorizată: 7(x+1)(y+1)=7xy+7x+7y+7\displaystyle 7(x+1)(y+1)=7xy+7x+7y+7, deci x∗y=7(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=7(x+1)(y+1)-1.
    x∗y=7(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=7(x+1)(y+1)-1
  2. Calculăm a∗b=7(a+1)(b+1)−1\displaystyle a*b=7(a+1)(b+1)-1, deci (a∗b)+1=7(a+1)(b+1)\displaystyle (a*b)+1=7(a+1)(b+1). Atunci (a∗b)∗c=7[(a∗b)+1](c+1)−1=7⋅7(a+1)(b+1)(c+1)−1\displaystyle (a*b)*c=7\left[(a*b)+1\right](c+1)-1=7\cdot 7(a+1)(b+1)(c+1)-1.
    a∗b∗c=49(a+1)(b+1)(c+1)−1\displaystyle a*b*c=49(a+1)(b+1)(c+1)-1
  3. Punem condiția a∗b∗c=48\displaystyle a*b*c=48: 49(a+1)(b+1)(c+1)−1=48\displaystyle 49(a+1)(b+1)(c+1)-1=48. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem 49(a+1)(b+1)(c+1)=49\displaystyle 49(a+1)(b+1)(c+1)=49. Împărțim la 49\displaystyle 49.
    49(a+1)(b+1)(c+1)−1=48⇔(a+1)(b+1)(c+1)=1\displaystyle 49(a+1)(b+1)(c+1)-1=48\Leftrightarrow(a+1)(b+1)(c+1)=1
  4. Numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt naturale, deci a+1≥1\displaystyle a+1\geq 1, b+1≥1\displaystyle b+1\geq 1, c+1≥1\displaystyle c+1\geq 1 sunt numere naturale nenule. Dacă un factor ar fi cel puțin 2\displaystyle 2, produsul ar fi cel puțin 2\displaystyle 2, ceea ce contrazice (a+1)(b+1)(c+1)=1\displaystyle (a+1)(b+1)(c+1)=1. Deci fiecare factor este 1\displaystyle 1.
    a+1=b+1=c+1=1\displaystyle a+1=b+1=c+1=1
  5. Scăzând 1\displaystyle 1 din fiecare egalitate, obținem a=b=c=0\displaystyle a=b=c=0. Prin urmare, numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt egale.
    a+1=b+1=c+1=1, deci a=b=c\displaystyle a+1=b+1=c+1=1\text{, deci }a=b=c
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{e^x}.

Arătați că f′(x)=−x2+2x+3ex\displaystyle f'(x)=\frac{-x^2+2x+3}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, numărătorul u(x)=x2−3\displaystyle u(x)=x^{2}-3 și numitorul v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^{x}. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(x2−3)′⋅ex−(x2−3)⋅(ex)′(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(x^{2}-3\right)'\cdot e^{x}-\left(x^{2}-3\right)\cdot\left(e^{x}\right)'}{\left(e^{x}\right)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x2−3)′=2x\displaystyle \left(x^{2}-3\right)'=2x, iar (ex)′=ex\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=2x ex−(x2−3)ex(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\,e^{x}-\left(x^{2}-3\right)e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător și desfacem paranteza: 2x−(x2−3)=2x−x2+3\displaystyle 2x-\left(x^{2}-3\right)=2x-x^{2}+3.
    f′(x)=ex(2x−x2+3)(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(2x-x^{2}+3\right)}{\left(e^{x}\right)^{2}}
  4. Simplificăm fracția cu ex≠0\displaystyle e^{x}\neq 0, deoarece (ex)2=ex⋅ex\displaystyle \left(e^{x}\right)^{2}=e^{x}\cdot e^{x}. Ordonăm termenii și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=−x2+2x+3ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}+2x+3}{e^{x}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{e^x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=−1\displaystyle x=-1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=−1\displaystyle x=-1 este y−f(−1)=f′(−1)(x+1)\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1). Avem nevoie de valorile f(−1)\displaystyle f(-1) și f′(−1)\displaystyle f'(-1).
    y−f(−1)=f′(−1)(x+1)\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1)
  2. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1): înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 în expresia funcției. Numărătorul este (−1)2−3=−2\displaystyle (-1)^2-3=-2, iar numitorul este e−1=1e\displaystyle e^{-1}=\dfrac{1}{e}, deci împărțirea la 1e\displaystyle \dfrac{1}{e} dă înmulțirea cu e\displaystyle e.
    f(−1)=(−1)2−3e−1=−2e\displaystyle f(-1)=\dfrac{(-1)^2-3}{e^{-1}}=-2e
  3. Scriem funcția ca produs, f(x)=(x2−3)⋅e−x\displaystyle f(x)=(x^2-3)\cdot e^{-x}, și derivăm cu regula produsului. Derivata lui e−x\displaystyle e^{-x} este −e−x\displaystyle -e^{-x}. Dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x}.
    f′(x)=2x e−x−(x2−3)e−x=e−x(−x2+2x+3)\displaystyle f'(x)=2x\,e^{-x}-(x^2-3)e^{-x}=e^{-x}\left(-x^2+2x+3\right)
  4. Calculăm f′(−1)\displaystyle f'(-1): paranteza devine −(−1)2+2⋅(−1)+3=−1−2+3=0\displaystyle -(-1)^2+2\cdot(-1)+3=-1-2+3=0, deci derivata se anulează în x=−1\displaystyle x=-1, adică tangenta este orizontală. Împreună cu f(−1)\displaystyle f(-1) obținem valorile cerute.
    f(−1)=−2e\displaystyle f(-1)=-2e,f′(−1)=e⋅0=0\displaystyle \quad f'(-1)=e\cdot 0=0
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−(−2e)=0⋅(x+1)\displaystyle y-(-2e)=0\cdot(x+1), deci y+2e=0\displaystyle y+2e=0.
    y−f(−1)=f′(−1)(x+1), adica˘ y=−2e\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1)\text{, adică }y=-2e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{e^x}.

Demonstrați că −2e≤f(x)≤6e3\displaystyle -2e\le f(x)\le\frac{6}{e^3}, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției folosind formula derivatei unui cât: f′(x)=(x2−3)′⋅ex−(x2−3)⋅(ex)′(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}-3)'\cdot e^{x}-(x^{2}-3)\cdot (e^{x})'}{(e^{x})^{2}}.
    f′(x)=2x ex−(x2−3)exe2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\,e^{x}-(x^{2}-3)e^{x}}{e^{2x}}
  2. Simplificăm prin ex\displaystyle e^{x} și obținem numărătorul 2x−x2+3=−(x2−2x−3)\displaystyle 2x-x^{2}+3=-(x^{2}-2x-3).
    f′(x)=−x2+2x+3ex=−x2−2x−3ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}+2x+3}{e^{x}}=-\dfrac{x^{2}-2x-3}{e^{x}}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum ex>0\displaystyle e^{x}>0, trebuie ca x2−2x−3=0\displaystyle x^{2}-2x-3=0. Discriminantul este Δ=4+12=16\displaystyle \Delta=4+12=16, deci x=2±42\displaystyle x=\dfrac{2\pm4}{2}.
    f′(x)=0⇔x=−1 sau x=3\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=3
  4. Studiem semnul derivatei. Cum ex>0\displaystyle e^{x}>0, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui −(x+1)(x−3)\displaystyle -(x+1)(x-3). Trinomul x2−2x−3\displaystyle x^{2}-2x-3 este negativ pentru x∈(−1,3)\displaystyle x\in(-1,3) și pozitiv pentru x>3\displaystyle x>3, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge0 pe [−1,3]\displaystyle [-1,3] și f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le0 pe [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty).
    x∈[−1,3]⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [−1,3] și x∈[3,+∞)⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [3,+∞)\displaystyle x\in[-1,3]\Rightarrow f'(x)\ge0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[-1,3]\text{ și }x\in[3,+\infty)\Rightarrow f'(x)\le0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[3,+\infty)
  5. Calculăm valoarea funcției în x=−1\displaystyle x=-1: f(−1)=1−3e−1=−2e\displaystyle f(-1)=\dfrac{1-3}{e^{-1}}=-2e.
    f(−1)=−2e\displaystyle f(-1)=-2e
  6. Calculăm valoarea funcției în x=3\displaystyle x=3: f(3)=9−3e3=6e3\displaystyle f(3)=\dfrac{9-3}{e^{3}}=\dfrac{6}{e^{3}}.
    f(3)=6e3\displaystyle f(3)=\dfrac{6}{e^{3}}
  7. Calculăm limita la +∞\displaystyle +\infty. Aplicând de două ori regula lui l'Hôpital, lim⁡x→+∞x2−3ex=lim⁡x→+∞2xex=lim⁡x→+∞2ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}-3}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{e^{x}}=0.
    lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  8. Concluzie: pe [−1,3]\displaystyle [-1,3] funcția crește de la −2e\displaystyle -2e la 6e3\displaystyle \dfrac{6}{e^{3}}, deci valorile ei sunt între aceste numere. Pe [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty) funcția scade de la 6e3\displaystyle \dfrac{6}{e^{3}} spre 0\displaystyle 0, deci valorile sunt în (0,6e3]\displaystyle \left(0,\dfrac{6}{e^{3}}\right], iar 0>−2e\displaystyle 0>-2e. Rezultă că minimul este −2e\displaystyle -2e și maximul este 6e3\displaystyle \dfrac{6}{e^{3}}.
    f(−1)=−2e\displaystyle f(-1)=-2e, f(3)=6e3\displaystyle \ f(3)=\dfrac{6}{e^{3}}, lim⁡x→+∞f(x)=0, obținem −2e≤f(x)≤6e3, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0\text{, obținem }-2e\le f(x)\le\dfrac{6}{e^{3}}\text{, pentru orice }x\in[-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+1)2\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}.

Arătați că ∫12x+1xf(x) dx=ln⁡32\displaystyle \int_1^2\frac{x+1}{\sqrt{x}}f(x)\,dx=\ln\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x(x+1)2\displaystyle f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{(x+1)^{2}} în integrală.
    ∫12x+1x⋅x(x+1)2 dx\displaystyle \int_1^2\frac{x+1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^{2}}\,dx
  2. Simplificăm prin x\displaystyle \sqrt{x}, care este nenul pe [1,2]\displaystyle [1,2], apoi prin x+1\displaystyle x+1. Rămâne integrala lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}.
    ∫121x+1 dx\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x+1}\,dx
  3. O primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ln⁡(x+1)∣12=ln⁡3−ln⁡2\displaystyle \ln(x+1)\Big|_1^2=\ln 3-\ln 2
  4. Folosim proprietatea ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}. Obținem rezultatul cerut.
    ln⁡3−ln⁡2=ln⁡32\displaystyle \ln 3-\ln 2=\ln\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+1)2\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este strict crescătoare pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=x(x+1)2\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Studiem semnul lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x>0\displaystyle \sqrt{x}>0 și (x+1)2>0\displaystyle (x+1)^2>0, deci fracția este strict pozitivă.
    x>0\displaystyle \sqrt{x}>0, (x+1)2>0⇒x(x+1)2>0\displaystyle \ (x+1)^2>0\Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}>0
  3. Deoarece derivata lui F\displaystyle F este strict pozitivă pe tot intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), funcția F\displaystyle F este strict crescătoare pe acest interval. Cum F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, orice primitivă a lui f\displaystyle f este strict crescătoare.
    F′(x)=x(x+1)2>0, pentru orice x∈(0,+∞), deci F este strict cresca˘toare \displaystyle F'(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este strict crescătoare }pe (0,+∞)\displaystyle \text{pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+1)2\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}.

Determinați numărul real m\displaystyle m, m>0\displaystyle m>0, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=x(x+1)f(x)\displaystyle g(x)=\sqrt{x}(x+1)f(x), axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2 are aria egală cu 1−ln⁡m+1m\displaystyle 1-\ln\frac{m+1}{m}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în g(x)=x(x+1)f(x)\displaystyle g(x)=\sqrt{x}(x+1)f(x): g(x)=x(x+1)⋅x(x+1)2\displaystyle g(x)=\sqrt{x}(x+1)\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{(x+1)^{2}}. Cum x⋅x=x\displaystyle \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x, iar x+1\displaystyle x+1 se simplifică cu un factor din (x+1)2\displaystyle (x+1)^{2}, obținem forma simplificată a lui g\displaystyle g.
    g(x)=xx+1\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{x+1}
  2. Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem x>0\displaystyle x>0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci g(x)>0\displaystyle g(x)>0 și ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x). Aria este A=∫12g(x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\displaystyle\int_1^2 g(x)\,dx.
    A=∫12xx+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2\frac{x}{x+1}\,dx
  3. Scriem xx+1=(x+1)−1x+1=1−1x+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{(x+1)-1}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}. Atunci A=∫12(1−1x+1)dx=x∣12−ln⁡(x+1)∣12\displaystyle \mathcal{A}=\displaystyle\int_1^2\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x\Big|_1^2-\ln(x+1)\Big|_1^2.
    A=x∣12−ln⁡(x+1)∣12\displaystyle \mathcal{A}=x\Big|_1^2-\ln(x+1)\Big|_1^2
  4. Calculăm: x∣12=2−1=1\displaystyle x\Big|_1^2=2-1=1 și ln⁡(x+1)∣12=ln⁡3−ln⁡2=ln⁡32\displaystyle \ln(x+1)\Big|_1^2=\ln 3-\ln 2=\ln\dfrac{3}{2}. Deci aria este 1−ln⁡32\displaystyle 1-\ln\dfrac{3}{2}.
    A=1−ln⁡32\displaystyle \mathcal{A}=1-\ln\frac{3}{2}
  5. Din enunț, A=1−ln⁡m+1m\displaystyle \mathcal{A}=1-\ln\dfrac{m+1}{m}, deci 1−ln⁡m+1m=1−ln⁡32\displaystyle 1-\ln\dfrac{m+1}{m}=1-\ln\dfrac{3}{2}. Rezultă ln⁡m+1m=ln⁡32\displaystyle \ln\dfrac{m+1}{m}=\ln\dfrac{3}{2}, adică m+1m=32\displaystyle \dfrac{m+1}{m}=\dfrac{3}{2}, de unde 2m+2=3m\displaystyle 2m+2=3m.
    m+1m=32⇒2m+2=3m\displaystyle \frac{m+1}{m}=\frac{3}{2}\Rightarrow 2m+2=3m
  6. Din 2m+2=3m\displaystyle 2m+2=3m obținem m=2\displaystyle m=2, valoare care verifică condiția m>0\displaystyle m>0.
    m=2\displaystyle m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.