Bac matematică M1 mate-info 2018, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră numărul complex

\displaystyle z=1-2i

. Arătați că

\displaystyle z^2-2z+5=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle z=1-2i$ în expresia $\displaystyle z^2-2z+5$ .
$\displaystyle z^2-2z+5=(1-2i)^2-2(1-2i)+5$
Dezvoltăm pătratul cu formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ și înmulțim paranteza cu $\displaystyle -2$ .
$\displaystyle (1-2i)^2-2(1-2i)=1-4i+4i^2-2+4i$
Adunăm termenii: $\displaystyle -4i$ și $\displaystyle 4i$ se reduc, iar $\displaystyle i^2=-1$ . Rezultatul este $\displaystyle 0$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle 1-4i+4i^2-2+4i+5=1-4-2+5=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

, pentru care graficele funcțiilor

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+a

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=bx+2

se intersectează în punctul

\displaystyle M(2,8)

.

Vezi rezolvarea

Dacă graficele se intersectează în punctul $\displaystyle M(2,8)$ , atunci $\displaystyle M$ aparține ambelor grafice. Deci coordonatele lui $\displaystyle M$ verifică ambele funcții: $\displaystyle f(2)=8$ și $\displaystyle g(2)=8$ .
$\displaystyle f(2)=8\text{ și }g(2)=8$
Punctul $\displaystyle M$ aparține graficului lui $\displaystyle f$ , deci $\displaystyle f(2)=8$ . Înlocuim $\displaystyle x=2$ în $\displaystyle f(x)=2x+a$ și obținem $\displaystyle 2\cdot 2+a=8$ , adică $\displaystyle 4+a=8$ .
$\displaystyle f(2)=2\cdot 2+a=4+a=8$
Din $\displaystyle 4+a=8$ rezultă $\displaystyle a=8-4$ , deci $\displaystyle a=4$ .
$\displaystyle a=4$
Punctul $\displaystyle M$ aparține și graficului lui $\displaystyle g$ , deci $\displaystyle g(2)=8$ . Înlocuim $\displaystyle x=2$ în $\displaystyle g(x)=bx+2$ și obținem $\displaystyle 2b+2=8$ .
$\displaystyle g(2)=2b+2=8$
Din $\displaystyle 2b+2=8$ rezultă $\displaystyle 2b=6$ , deci $\displaystyle b=3$ . Așadar $\displaystyle a=4$ și $\displaystyle b=3$ .
$\displaystyle a=4$ , $\displaystyle \ b=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_3(4x+5)=1+\log_3(x+3)

.

Vezi rezolvarea

Punem condițiile de existență a logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din $\displaystyle 4x+5>0$ obținem $\displaystyle x>-\dfrac{5}{4}$ , iar din $\displaystyle x+3>0$ obținem $\displaystyle x>-3$ . Deci $\displaystyle x\in\left(-\dfrac{5}{4},+\infty\right)$ .
$\displaystyle x\in\left(-\dfrac{5}{4},+\infty\right)$
Scriem pe $\displaystyle 1$ ca logaritm în baza $\displaystyle 3$ : $\displaystyle 1=\log_3 3$ . Folosim apoi formula $\displaystyle \log_3 a+\log_3 b=\log_3(ab)$ , iar ecuația devine $\displaystyle \log_3(4x+5)=\log_3 3(x+3)$ .
$\displaystyle \log_3(4x+5)=\log_3 3(x+3)$
Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: $\displaystyle 4x+5=3(x+3)$ , adică $\displaystyle 4x+5=3x+9$ .
$\displaystyle 4x+5=3x+9$
Rezolvăm ecuația liniară: trecem termenii cu $\displaystyle x$ în stânga și numerele în dreapta, deci $\displaystyle 4x-3x=9-5$ , de unde $\displaystyle x=4$ .
$\displaystyle x=4$
Verificăm condiția de existență: $\displaystyle 4>-\dfrac{5}{4}$ , deci soluția convine. Într-adevăr, $\displaystyle \log_3 21=1+\log_3 7=\log_3 (3\cdot 7)$ . Soluția ecuației este $\displaystyle x=4$ .
$\displaystyle x=4\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele pare.

Vezi rezolvarea

Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ , deci sunt $\displaystyle 99-10+1=90$ de numere.
$\displaystyle 90$
Pentru cazurile favorabile, cifra zecilor trebuie să fie pară și nenulă, deci poate fi $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ sau $\displaystyle 8$ , adică $\displaystyle 4$ variante.
$\displaystyle \{2,4,6,8\}\Rightarrow 4\text{ variante}$
Cifra unităților trebuie să fie pară, deci poate fi $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ sau $\displaystyle 8$ , adică $\displaystyle 5$ variante.
$\displaystyle \{0,2,4,6,8\}\Rightarrow 5\text{ variante}$
Numărul cazurilor favorabile este produsul numărului de variante pentru cele două cifre: $\displaystyle 4\cdot 5=20$ .
$\displaystyle 20$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{20}{90}$ , apoi simplificăm fracția prin $\displaystyle 10$ .
$\displaystyle p=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,2)

,

\displaystyle B(4,1)

și

\displaystyle C(0,8)

. Determinați lungimea segmentului

\displaystyle CM

, știind că

\displaystyle M

este simetricul punctului

\displaystyle A

față de punctul

\displaystyle B

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle M(x_M,y_M)$ este simetricul lui $\displaystyle A$ față de $\displaystyle B$ , deci $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AM$ . Scriem: $\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_M}{2}$ și $\displaystyle y_B=\dfrac{y_A+y_M}{2}$ .
$\displaystyle 4=\dfrac{2+x_M}{2}\text{ și }1=\dfrac{2+y_M}{2}$
Rezolvăm ecuațiile: $\displaystyle x_M=2\cdot 4-2=6$ și $\displaystyle y_M=2\cdot 1-2=0$ . Deci $\displaystyle M(6,0)$ .
$\displaystyle M(6,0)$
Aplicăm formula distanței pentru $\displaystyle C(0,8)$ și $\displaystyle M(6,0)$ : $\displaystyle CM=\sqrt{(x_M-x_C)^{2}+(y_M-y_C)^{2}}$ .
$\displaystyle CM=\sqrt{(6-0)^{2}+(0-8)^{2}}=\sqrt{36+64}$
Calculăm: $\displaystyle 36+64=100$ , deci $\displaystyle CM=\sqrt{100}=10$ .
$\displaystyle CM=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați aria paralelogramului

\displaystyle ABCD

, știind că

\displaystyle AB=6

,

\displaystyle AC=10

și

\displaystyle m(\sphericalangle BAC)=\frac{\pi}{6}

.

Vezi rezolvarea

Diagonala $\displaystyle AC$ împarte paralelogramul $\displaystyle ABCD$ în două triunghiuri congruente, $\displaystyle ABC$ și $\displaystyle ACD$ . Deci aria paralelogramului este dublul ariei triunghiului $\displaystyle ABC$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=2\mathcal{A}_{\Delta ABC}$
Aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este jumătate din produsul a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele: $\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin(\sphericalangle BAC)}{2}$ . Deci dublul acestei arii este $\displaystyle AB\cdot AC\cdot\sin(\sphericalangle BAC)$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=AB\cdot AC\cdot\sin(\sphericalangle BAC)$
Înlocuim datele problemei: $\displaystyle AB=6$ , $\displaystyle AC=10$ și $\displaystyle m(\sphericalangle BAC)=\dfrac{\pi}{6}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=6\cdot 10\cdot\sin\frac{\pi}{6}$
Știm că $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ , deci calculăm produsul și obținem aria.
$\displaystyle 6\cdot 10\cdot\frac{1}{2}=30$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\a+1&-1&1\\1&1&-a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+y+z=2\\(a+1)x-y+z=0\\x+y-az=1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(M(-1))=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a$ cu $\displaystyle -1$ în matricea $\displaystyle M(a)$ . Atunci $\displaystyle a+1=0$ , iar $\displaystyle -a=1$ .
$\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle M(-1)$ și îl calculăm cu regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea.
$\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 0\cdot 1=-1+1+0$
Scădem produsele elementelor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea.
$\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 0\cdot 1=-1+1+0$
Adunăm cele trei produse de pe diagonala principală și paralelele ei, apoi scădem cele trei produse de pe diagonala secundară și paralelele ei. Obținem $\displaystyle \det(M(-1))=(-1)+0+1-(-1)-0-1=0$ , deci determinantul este zero.
$\displaystyle \det(M(-1))=(-1)+0+1-(-1)-0-1=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\a+1&-1&1\\1&1&-a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+y+z=2\\(a+1)x-y+z=0\\x+y-az=1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle \det(M(a))=0

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm determinantul după prima linie. Ținem cont de semnele alternante $\displaystyle +,-,+$ ale elementelor liniei $\displaystyle (1,1,1)$ .
$\displaystyle \det(M(a))=1\cdot\begin{vmatrix}-1&1\\1&-a\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}a+1&1\\1&-a\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}a+1&-1\\1&1\end{vmatrix}$
Calculăm cei trei determinanți de ordin 2: primul este $\displaystyle (-1)(-a)-1\cdot 1=a-1$ , al doilea este $\displaystyle (a+1)(-a)-1\cdot 1=-a^{2}-a-1$ , iar al treilea este $\displaystyle (a+1)\cdot 1-(-1)\cdot 1=a+2$ .
$\displaystyle a-1$ , $\displaystyle \quad -a^{2}-a-1$ , $\displaystyle \quad a+2$
Înlocuim minorii în dezvoltare, reducem termenii asemenea și descompunem în factori: $\displaystyle \det(M(a))=(a-1)-(-a^{2}-a-1)+(a+2)=a^{2}+3a+2$ .
$\displaystyle \det(M(a))=a^{2}+3a+2=(a+1)(a+2)\text{, pentru orice număr real }a$
Punem condiția $\displaystyle \det(M(a))=0$ , adică $\displaystyle (a+1)(a+2)=0$ . Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci $\displaystyle a+1=0$ sau $\displaystyle a+2=0$ .
$\displaystyle a=-2\text{ sau }a=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\a+1&-1&1\\1&1&-a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+y+z=2\\(a+1)x-y+z=0\\x+y-az=1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

, știind că sistemul are soluție unică

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)

și

\displaystyle 2x_0+y_0z_0=0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltând după prima linie: $\displaystyle \det M(a)=(a-1)-\left(-a^{2}-a-1\right)+(a+2)$ . Sistemul are soluție unică exact când determinantul este nenul.
$\displaystyle \det M(a)=a^{2}+3a+2=(a+1)(a+2)$
Determinantul $\displaystyle (a+1)(a+2)$ este nenul când $\displaystyle a\neq -1$ și $\displaystyle a\neq -2$ , deci aceasta este condiția pentru soluție unică.
$\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,-1\}$
Scădem ecuația a treia din prima: $\displaystyle (x+y+z)-(x+y-az)=2-1$ , adică $\displaystyle (a+1)z=1$ . Rezultă $\displaystyle z$ .
$\displaystyle z=\frac{1}{a+1}$
Adunăm prima ecuație cu a doua: $\displaystyle (a+2)x+2z=2$ . Înlocuim $\displaystyle z=\dfrac{1}{a+1}$ și obținem $\displaystyle x=\dfrac{2(1-z)}{a+2}=\dfrac{2}{a+2}\cdot\dfrac{a}{a+1}$ .
$\displaystyle x=\frac{2a}{(a+1)(a+2)}$
Din prima ecuație, $\displaystyle y=2-x-z$ . Aducem la numitorul comun $\displaystyle (a+1)(a+2)$ : numărătorul este $\displaystyle 2(a+1)(a+2)-2a-(a+2)=2a^{2}+3a+2$ . Soluția unică a sistemului este deci cea de mai jos.
$\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{2a}{(a+1)(a+2)},\frac{2a^{2}+3a+2}{(a+1)(a+2)},\frac{1}{a+1}\right)$
Înlocuim soluția în condiția $\displaystyle 2x_0+y_0z_0=0$ . Primul termen este $\displaystyle 2x_0=\dfrac{4a}{(a+1)(a+2)}$ , iar al doilea este $\displaystyle y_0z_0=\dfrac{2a^{2}+3a+2}{(a+1)^{2}(a+2)}$ .
$\displaystyle \frac{4a}{(a+1)(a+2)}+\frac{2a^{2}+3a+2}{(a+1)^{2}(a+2)}=0$
Înmulțim ecuația cu $\displaystyle (a+1)^{2}(a+2)\neq 0$ și obținem $\displaystyle 4a(a+1)+2a^{2}+3a+2=0$ . Reducem termenii asemenea.
$\displaystyle 6a^{2}+7a+2=0$
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: $\displaystyle \Delta=49-48=1$ , deci $\displaystyle a=\dfrac{-7\pm 1}{12}$ . Valorile $\displaystyle -\dfrac{2}{3}$ și $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ sunt diferite de $\displaystyle -1$ și de $\displaystyle -2$ , deci sistemul are soluție unică și ambele valori convin.
$\displaystyle a=-\frac{2}{3}\text{ sau }a=-\frac{1}{2}\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=\frac{1}{10}xy-(x+y)+20

.

Demonstrați că

\displaystyle x*y=\frac{1}{10}(x-10)(y-10)+10

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția $\displaystyle x*y=\dfrac{1}{10}xy-(x+y)+20$ . Desfacem paranteza și scriem $\displaystyle 20=10+10$ .
$\displaystyle x*y=\frac{1}{10}xy-x-y+10+10$
Grupăm termenii care conțin pe $\displaystyle x$ : $\displaystyle \dfrac{1}{10}xy-x=\dfrac{1}{10}x(y-10)$ . Termenii rămași sunt $\displaystyle -y+10=-(y-10)$ , iar încă un $\displaystyle 10$ rămâne separat.
$\displaystyle x*y=\frac{1}{10}x(y-10)-(y-10)+10$
Observăm că $\displaystyle -(y-10)=\dfrac{1}{10}\cdot(-10)(y-10)$ . Dăm factor comun $\displaystyle (y-10)$ și obținem $\displaystyle \dfrac{1}{10}(y-10)(x-10)+10$ , deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle \frac{1}{10}x(y-10)-(y-10)+10=\frac{1}{10}(x-10)(y-10)+10\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=\frac{1}{10}xy-(x+y)+20

.

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x*x\le\frac{101}{10}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=x$ în definiția legii: $\displaystyle x*x=\dfrac{1}{10}x^{2}-2x+20$ .
$\displaystyle x*x=\frac{1}{10}x^{2}-2x+20$
Scoatem factor comun $\displaystyle \dfrac{1}{10}$ : $\displaystyle \dfrac{1}{10}\left(x^{2}-20x+200\right)$ . Cum $\displaystyle x^{2}-20x+100=(x-10)^{2}$ , avem $\displaystyle x^{2}-20x+200=(x-10)^{2}+100$ .
$\displaystyle x*x=\frac{1}{10}(x-10)^{2}+10$
Inegalitatea devine $\displaystyle \dfrac{1}{10}(x-10)^{2}+10\le\dfrac{101}{10}$ . Scădem $\displaystyle 10=\dfrac{100}{10}$ din ambii membri: $\displaystyle \dfrac{1}{10}(x-10)^{2}\le\dfrac{1}{10}$ . Înmulțim cu $\displaystyle 10$ .
$\displaystyle \frac{1}{10}(x-10)^{2}+10\le\frac{101}{10}\Leftrightarrow(x-10)^{2}\le 1$
Inegalitatea $\displaystyle (x-10)^{2}\le 1$ este echivalentă cu $\displaystyle |x-10|\le 1$ , adică $\displaystyle -1\le x-10\le 1$ . Adunăm $\displaystyle 10$ la toate părțile: $\displaystyle 9\le x\le 11$ .
$\displaystyle x\in[9,11]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=\frac{1}{10}xy-(x+y)+20

.

Calculați

\displaystyle \log_2 1*\log_2 2*\log_2 3*\ldots*\log_2 2018

.

Vezi rezolvarea

Căutăm un element absorbant al legii. Calculăm $\displaystyle x*10$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ , înlocuind $\displaystyle y=10$ în definiția legii: $\displaystyle x*10=\dfrac{1}{10}\cdot x\cdot 10-(x+10)+20$ .
$\displaystyle x*10=x-x-10+20$
Reducem termenii și obținem $\displaystyle x*10=10$ . Legea este comutativă, deoarece expresia este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci și $\displaystyle 10*x=10$ . Așadar $\displaystyle 10$ este element absorbant.
$\displaystyle x*10=10\text{ și }10*x=10\text{, pentru orice număr real }x$
Observăm că $\displaystyle \log_2 1024=10$ , deoarece $\displaystyle 1024=2^{10}$ . Numărul $\displaystyle 1024$ se află între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2018$ , deci produsul conține factorul $\displaystyle 10$ .
$\displaystyle \log_2 1024=\log_2 2^{10}=10$
Folosind asociativitatea, grupăm toți factorii de dinaintea lui $\displaystyle 10$ într-un singur element $\displaystyle a=\log_2 1*\ldots*\log_2 1023$ . Cum $\displaystyle a*10=10$ , obținem expresia de mai jos.
$\displaystyle \log_2 1*\ldots*\log_2 2018=((\log_2 1*\ldots*\log_2 1023)*10)*\log_2 1025*\ldots*\log_2 2018=10*(\log_2 1025*\ldots*\log_2 2018)$
Notăm cu $\displaystyle b$ rezultatul produsului $\displaystyle \log_2 1025*\ldots*\log_2 2018$ . Deoarece $\displaystyle 10$ este element absorbant, $\displaystyle 10*b=10$ . Acesta este rezultatul final.
$\displaystyle \log_2 1*\log_2 2*\ldots*\log_2 2018=10*b=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+6x-6\ln(x+1)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{6x^3}{x+1}

,

\displaystyle x\in(-1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm termen cu termen funcția $\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+6x-6\ln(x+1)$ . Avem $\displaystyle (2x^3)'=6x^2$ , $\displaystyle (-3x^2)'=-6x$ , $\displaystyle (6x)'=6$ , iar $\displaystyle \left(-6\ln(x+1)\right)'=-6\cdot\dfrac{1}{x+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=6x^2-6x+6-\frac{6}{x+1}$
Aducem toți termenii la numitorul comun $\displaystyle x+1$ , amplificând termenii polinomiali cu $\displaystyle x+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{(6x^2-6x+6)(x+1)-6}{x+1}$
Efectuăm înmulțirea de la numărător: $\displaystyle 6x^2(x+1)=6x^3+6x^2$ , $\displaystyle -6x(x+1)=-6x^2-6x$ , iar $\displaystyle 6(x+1)=6x+6$ . Apoi scădem $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{6x^3+6x^2-6x^2-6x+6x+6-6}{x+1}$
Reducem termenii asemenea la numărător: $\displaystyle 6x^2-6x^2=0$ , $\displaystyle -6x+6x=0$ și $\displaystyle 6-6=0$ . Rămâne doar $\displaystyle 6x^3$ , deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{6x^3}{x+1}\text{, }x\in(-1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+6x-6\ln(x+1)

.

Demonstrați că valoarea minimă a funcției

\displaystyle f

este

\displaystyle 0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$ . Derivăm fiecare termen, iar derivata lui $\displaystyle \ln(x+1)$ este $\displaystyle \dfrac{1}{x+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6x+6-\dfrac{6}{x+1}$
Aducem la același numitor și dăm factor comun pe $\displaystyle 6$ . Folosim identitatea $\displaystyle (x^{2}-x+1)(x+1)=x^{3}+1$ , deci numărătorul devine $\displaystyle x^{3}+1-1=x^{3}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{6\left[(x^{2}-x+1)(x+1)-1\right]}{x+1}=\dfrac{6x^{3}}{x+1}$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ . Fracția este nulă când numărătorul este nul, iar numitorul $\displaystyle x+1$ este strict pozitiv pe domeniu. Rezultă $\displaystyle x^{3}=0$ , adică $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Studiem semnul derivatei. Cum $\displaystyle x+1>0$ , semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este cel al lui $\displaystyle x^{3}$ , adică cel al lui $\displaystyle x$ . Pe $\displaystyle (-1,0]$ derivata este negativă sau nulă, deci $\displaystyle f$ este descrescătoare. Pe $\displaystyle [0,+\infty)$ derivata este pozitivă sau nulă, deci $\displaystyle f$ este crescătoare.
$\displaystyle f'(x)\le 0\text{, pentru }x\in(-1,0]\text{, deci }f\text{ descrescătoare};\quad f'(x)\ge 0\text{, pentru }x\in[0,+\infty)\text{, deci }f\text{ crescătoare}$
Din monotonie, $\displaystyle f(x)\ge f(0)$ pentru orice $\displaystyle x$ din domeniu, deci $\displaystyle f(0)$ este valoarea minimă. Calculăm $\displaystyle f(0)=0-0+0-6\ln 1=0$ . Valoarea minimă a funcției este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle f(x)\ge f(0)=0\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)\text{, deci valoarea minimă a }$ $\displaystyle \text{lui }f\text{ este }0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+6x-6\ln(x+1)

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{f(x)}}{x}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle f(0)=2\cdot 0-3\cdot 0+0-6\ln 1=0$ , deci limita $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^{2}}$ când $\displaystyle x\to 0$ are forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ . Calculăm derivata: $\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6x+6-\dfrac{6}{x+1}$ .
$\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle \quad f'(x)=6x^{2}-6x+6-\dfrac{6}{x+1}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle (6x^{2}-6x+6)(x+1)-6=6x^{3}+6x^{2}-6x^{2}-6x+6x+6-6=6x^{3}$ , deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{6x^{3}}{x+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{6x^{3}}{x+1}$
Pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ avem $\displaystyle x+1>0$ , deci $\displaystyle f'(x)$ are semnul lui $\displaystyle x$ . Funcția scade pe $\displaystyle (-1,0)$ și crește pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci are minim în $\displaystyle 0$ și $\displaystyle f(x)\ge f(0)=0$ . Astfel $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ este bine definit.
$\displaystyle f(x)\ge 0\text{, pentru orice }x>-1$
Aplicăm regula lui l'Hospital limitei $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^{2}}$ , de forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ : derivăm numărătorul și numitorul, apoi simplificăm cu $\displaystyle x$ . Obținem $\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{x+1}$ , care tinde la $\displaystyle 0$ când $\displaystyle x\to 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^{2}}=\lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{3x^{2}}{x+1}=0$
Scriem $\displaystyle \dfrac{\sqrt{f(x)}}{|x|}=\sqrt{\dfrac{f(x)}{x^{2}}}$ . Cum funcția radical este continuă în $\displaystyle 0$ , iar $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^{2}}\to 0$ , obținem limita $\displaystyle \sqrt{0}=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{f(x)}}{|x|}=\sqrt{0}=0$
Deoarece $\displaystyle \left|\dfrac{\sqrt{f(x)}}{x}\right|=\dfrac{\sqrt{f(x)}}{|x|}\to 0$ , rezultă că și $\displaystyle \dfrac{\sqrt{f(x)}}{x}\to 0$ . Răspuns final: limita este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{f(x)}}{x}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2+x+1)e^x

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f(x)e^{-x}\,dx=\frac{11}{6}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=(x^2+x+1)e^x$ în integrală și folosim $\displaystyle e^x\cdot e^{-x}=1$ , deci factorul exponențial dispare.
$\displaystyle \int_0^1 f(x)e^{-x}\,dx=\int_0^1 (x^2+x+1)e^x e^{-x}\,dx=\int_0^1 (x^2+x+1)\,dx$
Integrăm polinomul termen cu termen: o primitivă a lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$ , a lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}$ , iar a lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^1$
Calculăm valoarea primitivei în $\displaystyle 1$ și în $\displaystyle 0$ și facem diferența. În $\displaystyle 0$ toți termenii sunt nuli. Aducem fracțiile la numitorul $\displaystyle 6$ : $\displaystyle \dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{6}{6}$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1-0=\frac{2+3+6}{6}=\frac{11}{6}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2+x+1)e^x

.

Demonstrați că orice primitivă a funcției

\displaystyle f

are exact două puncte de inflexiune.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ o primitivă oarecare a lui $\displaystyle f$ . Atunci $\displaystyle F'(x)=f(x)=(x^2+x+1)e^x$ .
$\displaystyle F'(x)=(x^2+x+1)e^x$
Derivăm încă o dată, folosind regula de derivare a produsului: $\displaystyle (x^2+x+1)'=2x+1$ și $\displaystyle (e^x)'=e^x$ . Obținem $\displaystyle F''(x)=(2x+1)e^x+(x^2+x+1)e^x$ .
$\displaystyle F''(x)=(2x+1)e^x+(x^2+x+1)e^x$
Dăm factor comun $\displaystyle e^x$ și reducem termenii asemenea: $\displaystyle F''(x)=(x^2+3x+2)e^x$ , pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle F''(x)=(x^2+3x+2)e^x$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$
Rezolvăm $\displaystyle F''(x)=0$ . Cum $\displaystyle e^x>0$ pentru orice $\displaystyle x$ , ecuația este echivalentă cu $\displaystyle x^2+3x+2=0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=9-8=1$ , deci rădăcinile sunt $\displaystyle x=-2$ și $\displaystyle x=-1$ . Descompunem $\displaystyle x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$ .
$\displaystyle F''(x)=(x+2)(x+1)e^x$ , $\displaystyle \quad F''(-2)=0$ , $\displaystyle \ F''(-1)=0$
Studiem semnul lui $\displaystyle F''$ . Cum $\displaystyle e^x>0$ , semnul este dat de $\displaystyle (x+2)(x+1)$ , un trinom cu coeficientul dominant pozitiv: pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele. Deci $\displaystyle F''(x)>0$ pe $\displaystyle (-\infty,-2)$ , $\displaystyle F''(x)<0$ pe $\displaystyle (-2,-1)$ și $\displaystyle F''(x)>0$ pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ .
$\displaystyle F''>0\text{ pe }(-\infty,-2)$ , $\displaystyle \ F''<0\text{ pe }(-2,-1)$ , $\displaystyle \ F''>0\text{ pe }(-1,+\infty)$
$\displaystyle F$ este de două ori derivabilă, iar $\displaystyle F''$ își schimbă semnul în $\displaystyle x=-2$ (din plus în minus) și în $\displaystyle x=-1$ (din minus în plus). Deci $\displaystyle F$ este convexă pe $\displaystyle (-\infty,-2)$ , concavă pe $\displaystyle (-2,-1)$ și convexă pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ , iar $\displaystyle x=-2$ și $\displaystyle x=-1$ sunt puncte de inflexiune. În rest $\displaystyle F''$ nu se anulează și nu schimbă semnul, deci nu există alte puncte de inflexiune. Cum $\displaystyle F$ a fost oarecare, orice primitivă a lui $\displaystyle f$ are exact două puncte de inflexiune.
$\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=-1\text{ sunt exact punctele de }$ $\displaystyle \text{inflexiune ale lui }F$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2+x+1)e^x

.

Arătați că

\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\int_0^t f(x)\,dx=1

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci admite primitive. Notăm cu $\displaystyle F$ o primitivă a lui $\displaystyle f$ , adică $\displaystyle F'(x)=f(x)$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_0^t f(x)\,dx=F(t)-F(0)$ . Astfel expresia din limită devine $\displaystyle \dfrac{F(t)-F(0)}{t}$ .
$\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\int_0^t f(x)\,dx=\lim_{t\to 0}\frac{F(t)-F(0)}{t}$
Pentru $\displaystyle t\to 0$ , numărătorul și numitorul tind amândouă la $\displaystyle 0$ , deci avem cazul $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ . Aplicăm regula lui l'Hospital, derivând numărătorul și numitorul în raport cu $\displaystyle t$ . Derivata lui $\displaystyle F(t)-F(0)$ este $\displaystyle F'(t)$ , iar derivata lui $\displaystyle t$ este $\displaystyle 1$ . Echivalent, limita este chiar $\displaystyle F'(0)$ , din definiția derivatei.
$\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{F(t)-F(0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{F'(t)}{1}=\lim_{t\to 0}f(t)$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 0$ , deci limita este $\displaystyle f(0)$ . Calculăm $\displaystyle f(0)=(0^2+0+1)e^0=1\cdot 1=1$ . Deci limita cerută este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{t\to 0}f(t)=f(0)=(0^2+0+1)e^0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2018, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani