Bac matematică M1 mate-info 2024, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a3\displaystyle a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, în care a1=2\displaystyle a_1=2 și a2=12\displaystyle a_2=12.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește proprietatea de medie aritmetică pentru termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice: fiecare termen este media aritmetică a vecinilor săi.
    a2=a1+a32\displaystyle a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}
  2. Se înlocuiesc valorile cunoscute a1=2\displaystyle a_{1}=2 și a2=12\displaystyle a_{2}=12 în relația de medie aritmetică.
    a2=a1+a32⇒12=2+a32\displaystyle a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}\Rightarrow 12=\dfrac{2+a_3}{2}
  3. Se înmulțește ecuația cu 2\displaystyle 2 pentru a elimina numitorul.
    24=2+a3\displaystyle 24=2+a_3
  4. Se izolează a3\displaystyle a_{3} prin scăderea lui 2\displaystyle 2 din ambii membri, obținând valoarea căutată.
    a3=22\displaystyle a_3=22
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x−8\displaystyle f(x)=x-8. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(1+m)=1−m\displaystyle f(1+m)=1-m.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția funcției f\displaystyle f și se identifică valoarea în care trebuie calculată, înlocuind x\displaystyle x cu 1+m\displaystyle 1+m.
    f(1+m)=(1+m)−8\displaystyle f(1+m)=(1+m)-8
  2. Se efectuează calculele, desfăcând paranteza și reducând termenii asemenea, pentru a obține expresia lui f(1+m)\displaystyle f(1+m) în funcție de m\displaystyle m.
    f(1+m)=1+m−8=m−7, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(1+m)=1+m-8=m-7\text{, pentru orice număr real }m
  3. Se pune condiția din enunț, egalând expresia obținută pentru f(1+m)\displaystyle f(1+m) cu 1−m\displaystyle 1-m, obținând o ecuație de gradul întâi în m\displaystyle m.
    m−7=1−m\displaystyle m-7=1-m
  4. Se rezolvă ecuația de gradul întâi: se trec termenii cu m\displaystyle m într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte, obținând 2m=8\displaystyle 2m=8, apoi se împarte prin 2\displaystyle 2 pentru a afla valoarea lui m\displaystyle m.
    2m=1+7⇒2m=8⇒m=4\displaystyle 2m=1+7\Rightarrow2m=8\Rightarrow m=4
  5. Se scrie soluția finală a ecuației, concluzionând valoarea căutată a lui m\displaystyle m.
    m−7=1−m, de unde obținem m=4\displaystyle m-7=1-m\text{, de unde obținem }m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x2−3x+5)=lg⁡5\displaystyle \lg(x^2-3x+5)=\lg 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Se observă că x2−3x+5\displaystyle x^{2}-3x+5 are discriminantul negativ (Δ=9−20=−11<0\displaystyle \Delta=9-20=-11<0), deci expresia este întotdeauna pozitivă, pentru orice x\displaystyle x real.
    x2−3x+5>0\displaystyle x^2-3x+5>0, adeva˘rat pentru orice x∈R\displaystyle \text{ adevărat pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Deoarece funcția logaritmică (în baza 10\displaystyle 10) este injectivă, din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor. Se elimină logaritmul și se aduce ecuația la forma unei ecuații de gradul al doilea.
    x2−3x+5=5, de unde obținem x2−3x=0\displaystyle x^2-3x+5=5\text{, de unde obținem }x^2-3x=0
  3. Se factorizează expresia obținută, scoțând factor comun pe x\displaystyle x.
    x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0
  4. Se rezolvă ecuația factorizată, obținând cele două soluții posibile, apoi se verifică faptul că ambele satisfac condiția de existență stabilită anterior (x2−3x+5>0\displaystyle x^{2}-3x+5>0 pentru orice x\displaystyle x real), deci ambele sunt soluții valide ale ecuației.
    x=0 sau x=3, care convin\displaystyle x=0\text{ sau }x=3\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul n+1\displaystyle \sqrt{n+1} să fie natural.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre, care reprezintă cazurile posibile: acestea sunt numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99.
    n∈{10,11,12,…,99}\displaystyle n\in\{10,11,12,\ldots,99\}
  2. Se numără câte numere naturale de două cifre există, adică se calculează cardinalul mulțimii cazurilor posibile.
    90 de cazuri posibile\displaystyle 90\text{ de cazuri posibile}
  3. Se pune condiția ca numărul dat de radical să fie natural, adică n+1\displaystyle n+1 trebuie să fie un pătrat perfect.
    n+1∈N⇔n+1=k2\displaystyle \sqrt{n+1}\in\mathbb{N}\Leftrightarrow n+1=k^2, k∈N\displaystyle \ k\in\mathbb{N}
  4. Se determină intervalul în care trebuie să se afle n+1\displaystyle n+1, știind că n\displaystyle n este de două cifre, deci n∈[10,99]\displaystyle n\in[10,99], iar n+1∈[11,100]\displaystyle n+1\in[11,100].
    11≤n+1≤100\displaystyle 11\le n+1\le 100
  5. Se caută toate pătratele perfecte k2\displaystyle k^{2} cuprinse în intervalul [11,100]\displaystyle [11,100], deoarece acestea sunt valorile posibile pentru n+1\displaystyle n+1.
    k2∈{16,25,36,49,64,81,100}⇒k∈{4,5,6,7,8,9,10}\displaystyle k^2\in\{16,25,36,49,64,81,100\}\Rightarrow k\in\{4,5,6,7,8,9,10\}
  6. Se determină valorile corespunzătoare ale lui n\displaystyle n, scăzând 1\displaystyle 1 din fiecare pătrat perfect găsit, obținând astfel cazurile favorabile.
    n∈{15,24,35,48,63,80,99}\displaystyle n\in\{15,24,35,48,63,80,99\}
  7. Se numără cazurile favorabile obținute, adică numerele n\displaystyle n care satisfac condiția ca n+1\displaystyle \sqrt{n+1} să fie natural.
    7 cazuri favorabile\displaystyle 7\text{ cazuri favorabile}
  8. Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    p=790\displaystyle p=\dfrac{7}{90}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2), B(3,0)\displaystyle B(3,0) și C(5,a)\displaystyle C(5,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreptele OA\displaystyle OA și BC\displaystyle BC sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală de calcul a pantei unei drepte determinate de două puncte cunoscute.
    m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. Se calculează panta dreptei OA\displaystyle OA, folosind punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(1,2)\displaystyle A(1,2).
    mOA=2−01−0=2\displaystyle m_{OA}=\dfrac{2-0}{1-0}=2
  3. Se calculează panta dreptei BC\displaystyle BC, folosind punctele B(3,0)\displaystyle B(3,0) și C(5,a)\displaystyle C(5,a).
    mBC=a−05−3=a2\displaystyle m_{BC}=\dfrac{a-0}{5-3}=\dfrac{a}{2}
  4. Deoarece dreptele OA\displaystyle OA și BC\displaystyle BC sunt paralele, pantele lor trebuie să fie egale; se pune condiția și se rezolvă ecuația pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a.
    mOA=mBC⇒2=a2⇒a=4\displaystyle m_{OA}=m_{BC}\Rightarrow 2=\dfrac{a}{2}\Rightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=9\displaystyle AC=9 și B=π3\displaystyle B=\dfrac{\pi}{3}. Arătați că AB=33\displaystyle AB=3\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC, cu unghiul drept în A\displaystyle A. Unghiul B\displaystyle B are măsura π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}, iar catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, AC\displaystyle AC fiind opusă unghiului B\displaystyle B, iar AB\displaystyle AB fiind cateta alăturată unghiului B\displaystyle B.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ, ∠B=π3\displaystyle \ \angle B=\dfrac{\pi}{3}, AC opusa˘ lui B\displaystyle \ AC\text{ opusă lui }B, AB ala˘turata˘ lui B\displaystyle \ AB\text{ alăturată lui }B
  2. Se scrie relația tangentei unghiului B\displaystyle B în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC, ca raport între cateta opusă (AC\displaystyle AC) și cateta alăturată (AB\displaystyle AB).
    tgB=ACAB\displaystyle tgB=\dfrac{AC}{AB}
  3. Se înlocuiește valoarea tangentei pentru unghiul de π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} (tan⁡(π3)=3\displaystyle \tan(\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}) și valoarea AC=9\displaystyle AC=9 în relația de mai sus.
    tgB=ACAB, deci 3=9AB\displaystyle tgB=\dfrac{AC}{AB}\text{, deci }\sqrt{3}=\dfrac{9}{AB}
  4. Se rezolvă ecuația obținută pentru a afla lungimea laturii AB\displaystyle AB, obținându-se astfel rezultatul cerut.
    AB=93=33\displaystyle AB=\dfrac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1xx00x−1x11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & x\\0 & 0 & x-1\\x & 1 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=3\displaystyle \det(A(2))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=2\displaystyle x = 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține matricea numerică A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(122001211)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2\\0 & 0 & 1\\2 & 1 & 1\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2), pregătit pentru calcul (de exemplu prin regula lui Sarrus).
    det⁡(A(2))=∣122001211∣=\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1 & 2 & 2\\0 & 0 & 1\\2 & 1 & 1\end{vmatrix}=
  3. Se rescriu primele două coloane alături de determinant, pentru aplicarea regulii lui Sarrus.
    122120010021121\displaystyle \begin{array}{ccccc}1 & 2 & 2 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\2 & 1 & 1 & 2 & 1\end{array}
  4. Se calculează cele trei produse de pe diagonalele paralele cu diagonala principală (termeni pozitivi).
    1⋅0⋅1=0\displaystyle 1\cdot0\cdot1=0,2⋅1⋅2=4\displaystyle \quad 2\cdot1\cdot2=4,2⋅0⋅1=0\displaystyle \quad 2\cdot0\cdot1=0
  5. Se calculează cele trei produse de pe diagonalele paralele cu diagonala secundară (termeni negativi).
    2⋅0⋅2=0\displaystyle 2\cdot0\cdot2=0,1⋅1⋅1=1\displaystyle \quad 1\cdot1\cdot1=1,1⋅0⋅2=0\displaystyle \quad 1\cdot0\cdot2=0
  6. Se însumează termenii pozitivi și se scad termenii negativi pentru a obține valoarea determinantului.
    =0+0+4−0−1−0=3\displaystyle =0+0+4-0-1-0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1xx00x−1x11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & x\\0 & 0 & x-1\\x & 1 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(1)=2A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(1)=2A(x).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea A(1)\displaystyle A(1) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în matricea A(x)\displaystyle A(x).
    A(1)=(111000111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}
  2. Se observă că toate coloanele matricei A(1)\displaystyle A(1) sunt identice, egale cu vectorul coloană (1,0,1)T\displaystyle (1,0,1)^{T}, deci produsul A(x)⋅A(1)\displaystyle A(x)\cdot A(1) va avea toate cele trei coloane identice, egale cu A(x)⋅(1,0,1)T\displaystyle A(x)\cdot(1,0,1)^{T}.
    A(x)⋅(101)=(1⋅1+x⋅0+x⋅10⋅1+0⋅0+(x−1)⋅1x⋅1+1⋅0+1⋅1)=(1+xx−1x+1)\displaystyle A(x)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+x\cdot0+x\cdot1\\0\cdot1+0\cdot0+(x-1)\cdot1\\x\cdot1+1\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+x\\x-1\\x+1\end{pmatrix}
  3. Se scrie produsul complet A(x)⋅A(1)\displaystyle A(x)\cdot A(1), repetând coloana obținută anterior pe fiecare dintre cele trei coloane ale matricei rezultat.
    A(x)⋅A(1)=(1+x1+x1+xx−1x−1x−1x+1x+1x+1), pentru orice numa˘r real x\displaystyle A(x)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1+x & 1+x & 1+x\\x-1 & x-1 & x-1\\x+1 & x+1 & x+1\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se calculează matricea 2A(x)\displaystyle 2A(x), înmulțind fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x) cu 2\displaystyle 2.
    2A(x)=(22x2x002x−22x22)\displaystyle 2A(x)=\begin{pmatrix}2 & 2x & 2x\\0 & 0 & 2x-2\\2x & 2 & 2\end{pmatrix}
  5. Se pune condiția A(x)⋅A(1)=2A(x)\displaystyle A(x) \cdot A(1) = 2A(x), obținându-se un sistem de ecuații prin egalarea elementelor corespunzătoare ale celor două matrice.
    {1+x=21+x=2xx−1=0x−1=2x−2x+1=2xx+1=2\displaystyle \begin{cases}1+x=2\\1+x=2x\\x-1=0\\x-1=2x-2\\x+1=2x\\x+1=2\end{cases}
  6. Se rezolvă fiecare ecuație a sistemului și se observă că toate conduc la aceeași valoare a lui x\displaystyle x, deci sistemul este compatibil determinat.
    1+x=2⇒x=1; 1+x=2x⇒x=1; x−1=0⇒x=1; x−1=2x−2⇒x=1; x+1=2x⇒x=1; x+1=2⇒x=1\displaystyle 1+x=2\Rightarrow x=1\text{; }1+x=2x\Rightarrow x=1\text{; }x-1=0\Rightarrow x=1\text{; }x-1=2x-2\Rightarrow x=1\text{; }x+1=2x\Rightarrow x=1\text{; }x+1=2\Rightarrow x=1
  7. Se compară element cu element cele două matrice egalate și se concluzionează valoarea lui x\displaystyle x care satisface egalitatea.
    (1+x1+x1+xx−1x−1x−1x+1x+1x+1)=(22x2x002x−22x22), de unde obținem x=1\displaystyle \begin{pmatrix}1+x & 1+x & 1+x\\x-1 & x-1 & x-1\\x+1 & x+1 & x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2x & 2x\\0 & 0 & 2x-2\\2x & 2 & 2\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1xx00x−1x11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & x\\0 & 0 & x-1\\x & 1 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că, dacă matricea A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă, atunci și matricea A(−x)\displaystyle A(-x) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(x)\displaystyle A(x) și se stabilește obiectivul: aflarea valorilor lui x\displaystyle x pentru care A(−x)\displaystyle A(-x) este inversabilă (adică det⁡(A(−x))≠0\displaystyle \det(A(-x)) \neq 0).
    A(x)=(1xx00x−1x11), se cere x astfel ıˆncaˆt A(−x) sa˘ fie inversabila˘\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & x\\0 & 0 & x-1\\x & 1 & 1\end{pmatrix}\text{, se cere }x\text{ astfel încât }A(-x)\text{ să fie inversabilă}
  2. Se calculează det⁡(A(x))\displaystyle \det(A(x)) dezvoltând determinantul după linia a doua, deoarece are doi zero-uri, ceea ce simplifică mult calculul.
    det⁡(A(x))=0⋅C21+0⋅C22+(x−1)⋅C23\displaystyle \det(A(x))=0\cdot C_{21}+0\cdot C_{22}+(x-1)\cdot C_{23}
  3. Se calculează minorul complementar M23\displaystyle M_{23}, obținut prin eliminarea liniei 2 și coloanei 3, adică determinantul format din liniile 1 și 3, coloanele 1 și 2.
    M23=∣1xx1∣=1−x2\displaystyle M_{23}=\begin{vmatrix}1 & x\\x & 1\end{vmatrix}=1-x^2
  4. Se ține cont de semnul cofactorului C23=(−1)2+3M23=−M23\displaystyle C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{23}, apoi se înlocuiește în expresia determinantului.
    det⁡(A(x))=(x−1)⋅(−(1−x2))=(x−1)(x2−1)\displaystyle \det(A(x))=(x-1)\cdot\big(-(1-x^2)\big)=(x-1)(x^2-1)
  5. Se factorizează x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1) și se obține forma finală a determinantului, apoi se pune condiția ca acesta să fie diferit de zero pentru a stabili domeniul valorilor lui x\displaystyle x pentru care A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă.
    det⁡(A(x))=(x−1)2(x+1) și det⁡(A(x))≠0, deci x∈R∖{−1,1}\displaystyle \det(A(x))=(x-1)^2(x+1)\text{ și }\det(A(x))\neq 0\text{, deci }x\in \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}
  6. Se observă că mulțimea {−1,1}\displaystyle \{-1,1\} este simetrică față de operația de schimbare de semn (adică −(−1)=1\displaystyle -(-1)=1 și −(1)=−1\displaystyle -(1)=-1), deci dacă x\displaystyle x aparține lui R∖{−1,1}\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}, atunci și −x\displaystyle -x aparține aceleiași mulțimi. Aplicând rezultatul de la pasul anterior pentru valoarea −x\displaystyle -x în locul lui x\displaystyle x, obținem că determinantul lui A(−x)\displaystyle A(-x) este nenul.
    Cum −x∈R∖{−1,1}, obținem det⁡(A(−x))≠0, deci A(−x) este inversabila˘\displaystyle \text{Cum }-x\in \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\text{, obținem }\det(A(-x))\neq 0\text{, deci }A(-x)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y−14\displaystyle x\circ y=xy+\dfrac{2x+2y-1}{4}.

Arătați că 1∘1=74\displaystyle 1\circ 1=\dfrac{7}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile ce trebuie înlocuite: x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1.
    x∘y=xy+2x+2y−14\displaystyle x\circ y=xy+\dfrac{2x+2y-1}{4}, unde x=1\displaystyle \text{ unde } x=1, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Se înlocuiesc x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1 în formula legii de compoziție.
    1∘1=1⋅1+2⋅1+2⋅1−14=\displaystyle 1\circ 1=1\cdot 1+\dfrac{2\cdot 1+2\cdot 1-1}{4}=
  3. Se calculează produsul 1⋅1\displaystyle 1 \cdot 1 și se simplifică expresia de la numărător a fracției.
    1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1,2⋅1+2⋅1−1=2+2−1=3\displaystyle \quad 2\cdot 1+2\cdot 1-1=2+2-1=3
  4. Se scrie expresia obținută cu numărul calculat la numărător, apoi se adună cu produsul obținut anterior, aducând totul la același numitor.
    1∘1=1+34=44+34=74\displaystyle 1\circ 1=1+\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y−14\displaystyle x\circ y=xy+\dfrac{2x+2y-1}{4}.

Arătați că e=12\displaystyle e=\dfrac{1}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește definiția elementului neutru: un număr real e\displaystyle e este element neutru pentru legea "∘"\displaystyle "\circ" dacă x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    e∈R este element neutru daca˘ x∘e=x și e∘x=x\displaystyle e\in\mathbb{R}\text{ este element neutru dacă }x\circ e=x\text{ și }e\circ x=x, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Se scrie condiția x∘e=x\displaystyle x\circ e=x folosind definiția legii de compoziție, pentru a determina o posibilă valoare a lui e\displaystyle e.
    x∘e=xe+2x+2e−14=x\displaystyle x\circ e=xe+\dfrac{2x+2e-1}{4}=x
  3. Se amplifică ecuația cu 4\displaystyle 4 pentru a elimina numitorul și se grupează termenii care conțin e\displaystyle e.
    4xe+2x+2e−1=4x⇒4xe+2e=2x+1⇒2e(2x+1)=2x+1\displaystyle 4xe+2x+2e-1=4x\Rightarrow 4xe+2e=2x+1\Rightarrow 2e(2x+1)=2x+1
  4. Pentru 2x+1≠0\displaystyle 2x+1\neq 0, se simplifică ecuația și se obține valoarea lui e\displaystyle e, candidat pentru elementul neutru.
    2e=1⇒e=12\displaystyle 2e=1\Rightarrow e=\dfrac{1}{2}
  5. Se verifică prima condiție de neutralitate, x∘12=x\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=x, înlocuind e=12\displaystyle e=\frac{1}{2} în definiția legii de compoziție și calculând efectiv.
    x∘12=x⋅12+2x+2⋅12−14=x2+x2=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ \dfrac{1}{2}=x\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2x+2\cdot \frac{1}{2}-1}{4}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}=x\text{, pentru orice număr real }x
  6. Se verifică și a doua condiție de neutralitate, 12∘x=x\displaystyle \frac{1}{2}\circ x=x, pentru a confirma că e=12\displaystyle e=\frac{1}{2} este element neutru bilateral (atât la stânga, cât și la dreapta).
    12∘x=12⋅x+2⋅12+2x−14=x2+x2=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=12 este elementul neutru al \displaystyle \dfrac{1}{2}\circ x=\dfrac{1}{2}\cdot x+\dfrac{2\cdot \frac{1}{2}+2x-1}{4}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=\dfrac{1}{2}\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∘”\displaystyle \text{legii de compoziție „}\circ\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y−14\displaystyle x\circ y=xy+\dfrac{2x+2y-1}{4}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (12−x)∘(12+x)∘(12+x2)=12−x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-x\right)\circ\left(\dfrac{1}{2}+x\right)\circ\left(\dfrac{1}{2}+x^2\right)=\dfrac{1}{2}-x^2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se calculează, pentru un număr real oarecare a\displaystyle a, expresia (12−a)∘(12+a)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-a\right) \circ \left(\dfrac{1}{2}+a\right), înlocuind x=12−a\displaystyle x=\dfrac{1}{2}-a și y=12+a\displaystyle y=\dfrac{1}{2}+a în formula x∘y=xy+2x+2y−14\displaystyle x \circ y=xy+\dfrac{2x+2y-1}{4}.
    (12−a)∘(12+a)=(12−a)(12+a)+2(12−a)+2(12+a)−14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-a\right)\circ\left(\dfrac{1}{2}+a\right)=\left(\dfrac{1}{2}-a\right)\left(\dfrac{1}{2}+a\right)+\dfrac{2\left(\dfrac{1}{2}-a\right)+2\left(\dfrac{1}{2}+a\right)-1}{4}
  2. Se calculează separat produsul și numărătorul fracției: produsul (12−a)(12+a)=14−a2\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-a\right)\left(\dfrac{1}{2}+a\right)=\dfrac{1}{4}-a^{2}, iar suma 2(12−a)+2(12+a)−1\displaystyle 2\left(\dfrac{1}{2}-a\right)+2\left(\dfrac{1}{2}+a\right)-1 se simplifică la 1\displaystyle 1, deci fracția devine 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    (12−a)(12+a)=14−a2, iar 2(12−a)+2(12+a)−14=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-a\right)\left(\dfrac{1}{2}+a\right)=\dfrac{1}{4}-a^2\text{, iar }\dfrac{2\left(\dfrac{1}{2}-a\right)+2\left(\dfrac{1}{2}+a\right)-1}{4}=\dfrac{1}{4}
  3. Se adună cele două rezultate obținute mai sus, obținându-se formula generală valabilă pentru orice a\displaystyle a real.
    (12−a)∘(12+a)=12−a2\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-a\right)\circ\left(\dfrac{1}{2}+a\right)=\dfrac{1}{2}-a^2
  4. Se aplică formula generală pentru a=x\displaystyle a=x, obținându-se (12−x)∘(12+x)=12−x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-x\right) \circ \left(\dfrac{1}{2}+x\right)=\dfrac{1}{2}-x^{2}, pentru orice x\displaystyle x real.
    (12−x)∘(12+x)=12−x2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-x\right)\circ\left(\dfrac{1}{2}+x\right)=\dfrac{1}{2}-x^2\text{, pentru orice număr real }x
  5. Se aplică aceeași formulă generală pentru a=x2\displaystyle a=x^{2} (înlocuind pe a\displaystyle a cu x2\displaystyle x^{2} în rezultatul de la pasul 3), obținându-se al doilea rezultat cerut de barem.
    (12−x2)∘(12+x2)=12−x4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-x^2\right)\circ\left(\dfrac{1}{2}+x^2\right)=\dfrac{1}{2}-x^4\text{, pentru orice număr real }x
  6. Se pune condiția din enunț ca cele două compuneri să fie egale, adică (12−x2)∘(12+x2)=(12−x)∘(12+x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-x^{2}\right) \circ \left(\dfrac{1}{2}+x^{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}-x\right) \circ \left(\dfrac{1}{2}+x\right), ceea ce, folosind rezultatele anterioare, conduce la ecuația bipătrată.
    12−x4=12−x2\displaystyle \dfrac{1}{2}-x^4=\dfrac{1}{2}-x^2
  7. Se rearanjează ecuația, aducând totul de o parte: x4−x2=0\displaystyle x^{4}-x^{2}=0, apoi se factorizează prin x2\displaystyle x^{2}, obținându-se x2(x2−1)=0\displaystyle x^{2}(x^{2}-1)=0. De aici rezultă x2=0\displaystyle x^{2}=0 sau x2=1\displaystyle x^{2}=1, deci soluțiile ecuației sunt x=−1\displaystyle x=-1, x=0\displaystyle x=0 sau x=1\displaystyle x=1.
    12−x4=12−x2, de unde obținem x=−1 sau x=0 sau x=1\displaystyle \dfrac{1}{2}-x^4=\dfrac{1}{2}-x^2\text{, de unde obținem }x=-1\text{ sau }x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to \mathbb{R}, f(x)=4x3(x−1)2\displaystyle f(x)=\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}.

Arătați că f′(x)=4x2(x−3)(x−1)3\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile u\displaystyle u și v\displaystyle v din formula de derivare a câtului: u(x)=4x3\displaystyle u(x)=4x^{3}, v(x)=(x−1)2\displaystyle v(x)=(x-1)^{2}, cu derivatele u′(x)=12x2\displaystyle u'(x)=12x^{2} și v′(x)=2(x−1)\displaystyle v'(x)=2(x-1).
    u(x)=4x3\displaystyle u(x)=4x^3, v(x)=(x−1)2\displaystyle \ v(x)=(x-1)^2, u′(x)=12x2\displaystyle \ u'(x)=12x^2, v′(x)=2(x−1)\displaystyle \ v'(x)=2(x-1)
  2. Se aplică formula de derivare a câtului, f′(x)=u′v−uv′v2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, înlocuind expresiile de mai sus.
    f′(x)=12x2(x−1)2−4x3⋅2(x−1)(x−1)4=\displaystyle f'(x)=\dfrac{12x^2(x-1)^2-4x^3\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}=
  3. Se scoate factor comun (x−1)\displaystyle (x-1) la numărător, deoarece ambii termeni conțin acest factor, apoi se simplifică cu o putere din numitor.
    f′(x)=(x−1)[12x2(x−1)−8x3](x−1)4=12x2(x−1)−8x3(x−1)3\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)\left[12x^2(x-1)-8x^3\right]}{(x-1)^4}=\dfrac{12x^2(x-1)-8x^3}{(x-1)^3}
  4. Se desface paranteza 12x2(x−1)\displaystyle 12x^{2}(x-1) și se aduc termenii asemenea la numărător.
    12x3−12x2−8x3(x−1)3\displaystyle \dfrac{12x^3-12x^2-8x^3}{(x-1)^3}
  5. Se reduc termenii asemenea (12x3−8x3=4x3\displaystyle 12x^{3}-8x^{3}=4x^{3}) și se scoate factor comun 4x2\displaystyle 4x^{2}, obținând forma finală a derivatei, valabilă pe domeniul de definiție.
    =12x3−12x2−8x3(x−1)3=4x2(x−3)(x−1)3, x∈(1,+∞)\displaystyle =\dfrac{12x^3-12x^2-8x^3}{(x-1)^3}=\dfrac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to \mathbb{R}, f(x)=4x3(x−1)2\displaystyle f(x)=\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția pantei asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty (dacă există) și se înlocuiește expresia funcției f\displaystyle f.
    m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞4x3(x−1)2x\displaystyle m=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}}{x}
  2. Se simplifică fracția obținută prin înmulțirea cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, aducând limita la forma 4x2(x−1)2\displaystyle \dfrac{4x^2}{(x-1)^2}.
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞4x2(x−1)2\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4x^2}{(x-1)^2}
  3. Se calculează limita împărțind numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2, obținând valoarea pantei m=4\displaystyle m=4.
    lim⁡x→+∞4x2(x−1)2=lim⁡x→+∞4(1−1x)2=4\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{4x^2}{(x-1)^2}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4}{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^2}=4
  4. Se scrie definiția ordonatei la origine a asimptotei oblice, folosind valoarea pantei m=4\displaystyle m=4 găsită anterior, și se înlocuiește f(x)\displaystyle f(x).
    n=lim⁡x→+∞(f(x)−4x)=lim⁡x→+∞(4x3(x−1)2−4x)\displaystyle n=\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-4x\big)=\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}-4x\right)
  5. Se aduce expresia la același numitor, apoi se dezvoltă (x−1)2\displaystyle (x-1)^2 și se efectuează calculele la numărător.
    4x3(x−1)2−4x=4x3−4x(x−1)2(x−1)2=4x3−4x(x2−2x+1)(x−1)2=4x3−4x3+8x2−4x(x−1)2=8x2−4x(x−1)2\displaystyle \dfrac{4x^3}{(x-1)^2}-4x=\dfrac{4x^3-4x(x-1)^2}{(x-1)^2}=\dfrac{4x^3-4x(x^2-2x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{4x^3-4x^3+8x^2-4x}{(x-1)^2}=\dfrac{8x^2-4x}{(x-1)^2}
  6. Se calculează limita raportului 8x2−4x(x−1)2\displaystyle \dfrac{8x^2-4x}{(x-1)^2} împărțind numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2, obținând n=8\displaystyle n=8; se scrie ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞(f(x)−4x)=lim⁡x→+∞8x2−4x(x−1)2=8, deci dreapta de ecuație y=4x+8 este asimptota oblica˘ \displaystyle \lim_{x\to +\infty}(f(x)-4x)=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{8x^2-4x}{(x-1)^2}=8\text{, deci dreapta de ecuație }y=4x+8\text{ este asimptota oblică }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to \mathbb{R}, f(x)=4x3(x−1)2\displaystyle f(x)=\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}.

Arătați că ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact două soluții, pentru orice m∈(27,+∞)\displaystyle m\in(27,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția și se calculează derivata folosind regula de derivare a câtului: (u/v)′=u′v−uv′v2\displaystyle (u/v)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, cu u=4x3\displaystyle u=4x^3, v=(x−1)2\displaystyle v=(x-1)^2.
    f′(x)=12x2(x−1)2−4x3⋅2(x−1)(x−1)4\displaystyle f'(x)=\dfrac{12x^2(x-1)^2-4x^3\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}
  2. Se simplifică expresia derivatei, factorizând (x−1)\displaystyle (x-1) la numărător și reducând cu (x−1)4\displaystyle (x-1)^4.
    f′(x)=4x2[3(x−1)−2x](x−1)3=4x2(x−3)(x−1)3\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^2\left[3(x-1)-2x\right]}{(x-1)^3}=\dfrac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}
  3. Se observă că pentru orice x\displaystyle x din (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), avem x2>0\displaystyle x^2>0 și (x−1)3>0\displaystyle (x-1)^3>0, deci semnul derivatei este dat de semnul factorului (x−3)\displaystyle (x-3). Rezolvând f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 obținem x=3\displaystyle x=3, iar analizând semnul pe cele două intervale rezultă monotonia funcției.
    f′(x)=0⇒x=3; f′(x)<0, pentru orice x∈(1,3), deci f este strict \displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=3\text{; }f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(1,3)\text{, deci }f\text{ este strict }descresca˘toare pe (1,3) și f′(x)>0, pentru orice x∈(3,+∞), deci f este strict cresca˘toare \displaystyle \text{descrescătoare pe }(1,3)\text{ și }f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(3,+\infty)\text{, deci }f\text{ este strict crescătoare }pe (3,+∞)\displaystyle \text{pe }(3,+\infty)
  4. Se calculează valoarea funcției în punctul de minim x=3\displaystyle x=3.
    f(3)=4⋅274=27\displaystyle f(3)=\dfrac{4\cdot 27}{4}=27
  5. Se calculează limita funcției când x\displaystyle x tinde la 1\displaystyle 1 din dreapta: numărătorul tinde la 4\displaystyle 4, iar numitorul, fiind un pătrat, tinde la 0\displaystyle 0 prin valori pozitive.
    lim⁡x→1f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=+\infty
  6. Se calculează limita funcției când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty: gradul numărătorului (3)\displaystyle (3) este mai mare decât gradul numitorului (2)\displaystyle (2), deci limita este +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty
  7. Se sintetizează rezultatele: funcția este continuă, strict descrescătoare pe (1,3)\displaystyle (1,3) de la +∞\displaystyle +\infty la 27\displaystyle 27 și strict crescătoare pe (3,+∞)\displaystyle (3,+\infty) de la 27\displaystyle 27 la +∞\displaystyle +\infty; deci, conform proprietății funcțiilor continue și monotone pe intervale, ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact o soluție pe fiecare dintre cele două intervale pentru orice m>27\displaystyle m>27, adică exact două soluții în total.
    lim⁡x→1f(x)=+∞, f(3)=27, lim⁡x→+∞f(x)=+∞ și f este continua˘, deci \displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=+\infty\text{, }f(3)=27\text{, }\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\text{ și }f\text{ este continuă, deci }ecuația f(x)=m are exact doua˘ soluții \displaystyle \text{ecuația }f(x)=m\text{ are exact două soluții }pentru orice m∈(27,+∞)\displaystyle \text{pentru orice }m\in(27,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}, f(x)=x+1+xln⁡x\displaystyle f(x)=x+1+x\ln x.

Arătați că ∫13(f(x)−xln⁡x) dx=6\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{3}(f(x)-x\ln x)\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la definiția funcției f(x)\displaystyle f(x) și se identifică termenul xln⁡x\displaystyle x\ln x care trebuie eliminat din integrandă.
    f(x)=x+1+xln⁡x\displaystyle f(x)=x+1+x\ln x
  2. Se scade termenul xln⁡x\displaystyle x\ln x din f(x)\displaystyle f(x), obținându-se o funcție polinomială simplă, ușor de integrat.
    f(x)−xln⁡x=(x+1+xln⁡x)−xln⁡x=x+1\displaystyle f(x)-x\ln x=(x+1+x\ln x)-x\ln x=x+1
  3. Se scrie integrala definită folosind expresia simplificată și se determină o primitivă a funcției x+1\displaystyle x+1.
    ∫13(f(x)−xln⁡x)dx=∫13(x+1)dx=(x22+x)∣13=\displaystyle \int_{1}^{3}(f(x)-x\ln x)dx=\int_{1}^{3}(x+1)dx=\left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\Big|_1^3=
  4. Se evaluează primitiva la capetele intervalului: pentru x=3\displaystyle x=3 se obține 92+3=152\displaystyle \dfrac{9}{2}+3=\dfrac{15}{2}, iar pentru x=1\displaystyle x=1 se obține 12+1=32\displaystyle \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}.
    (92+3)−(12+1)=152−32\displaystyle \left(\dfrac{9}{2}+3\right)-\left(\dfrac{1}{2}+1\right)=\dfrac{15}{2}-\dfrac{3}{2}
  5. Se calculează diferența finală, obținându-se valoarea integralei.
    =152−32=6\displaystyle =\dfrac{15}{2}-\dfrac{3}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}, f(x)=x+1+xln⁡x\displaystyle f(x)=x+1+x\ln x.

Arătați că ∫1e(f(x)−x−1)dx=e2+14\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{e}(f(x)-x-1)dx=\dfrac{e^2+1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(x)−x−1=x⋅ln⁡x\displaystyle f(x) - x - 1 = x\cdot\ln x, deci integrala cerută se reduce la calculul integralei din x⋅ln⁡x\displaystyle x\cdot\ln x pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    f(x)−x−1=xln⁡x⇒∫1e(f(x)−x−1)dx=∫1exln⁡x dx\displaystyle f(x)-x-1=x\ln x\Rightarrow \int_{1}^{e}(f(x)-x-1)dx=\int_{1}^{e}x\ln x\,dx
  2. Pentru a calcula integrala din x⋅ln⁡x\displaystyle x\cdot\ln x folosim metoda integrării prin părți. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx, astfel încât du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^2}{2}, adică x scriem ca derivata lui x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x,  dv=x dx=(x22)′dx⇒du=1xdx\displaystyle \;dv=x\,dx=\left(\dfrac{x^2}{2}\right)'dx\Rightarrow du=\dfrac{1}{x}dx,  v=x22\displaystyle \;v=\dfrac{x^2}{2}
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți: ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du, obținând forma din barem, cu evaluarea la capetele intervalului.
    ∫1e(f(x)−x−1)dx=∫1e(x22)′ln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−x24∣1e=\displaystyle \int_{1}^{e}(f(x)-x-1)dx=\int_{1}^{e}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)'\ln x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e-\dfrac{x^2}{4}\Big|_1^e=
  4. Calculăm valorile funcțiilor obținute la capetele x=e\displaystyle x=e și x=1\displaystyle x=1, folosind ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    e22ln⁡e−e24−(12ln⁡1−14)=e22−e24−(0−14)\displaystyle \dfrac{e^2}{2}\ln e-\dfrac{e^2}{4}-\left(\dfrac{1}{2}\ln 1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}-\left(0-\dfrac{1}{4}\right)
  5. Simplificăm expresia obținută, aducând termenii la același numitor și obținem rezultatul final al integralei.
    =e22−e24+14=e2+14\displaystyle =\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{e^2+1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}, f(x)=x+1+xln⁡x\displaystyle f(x)=x+1+x\ln x.

Determinați numărul real nenul a\displaystyle a pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,3]→R\displaystyle g:[1,3]\to \mathbb{R}, g(x)=1(f(x)−xln⁡x)2\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{(f(x)-x\ln x)^2} este egal cu 7π24a\displaystyle \dfrac{7\pi}{24a}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează diferența f(x)−xln⁡x\displaystyle f(x) - x\ln x, plecând de la expresia dată a lui f\displaystyle f, pentru a simplifica funcția g\displaystyle g.
    f(x)−xln⁡x=(x+1+xln⁡x)−xln⁡x=x+1\displaystyle f(x)-x\ln x=(x+1+x\ln x)-x\ln x=x+1
  2. Folosind simplificarea de mai sus, se obține forma explicită a funcției g\displaystyle g pe intervalul [1,3]\displaystyle [1,3].
    g(x)=1(f(x)−xln⁡x)2=1(x+1)2, x∈[1,3]\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{(f(x)-x\ln x)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}\text{, }x\in[1,3]
  3. Se scrie formula volumului corpului obținut prin rotația graficului lui g\displaystyle g în jurul axei Ox\displaystyle Ox, pe intervalul [1,3]\displaystyle [1,3].
    V=π∫13g2(x)dx=π∫131(x+1)4dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{3}g^2(x)dx=\pi\int_{1}^{3}\dfrac{1}{(x+1)^4}dx
  4. Se determină o primitivă a funcției de sub integrală, folosind formula de derivare a puterii negative.
    ∫1(x+1)4dx=−13(x+1)3+C\displaystyle \int\dfrac{1}{(x+1)^4}dx=-\dfrac{1}{3(x+1)^3}+C
  5. Se evaluează integrala definită între limitele 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3, obținându-se astfel volumul V\displaystyle V, ceea ce confirmă rezultatul complet cerut de barem pentru g\displaystyle g și V\displaystyle V.
    g(x)=1(x+1)2, x∈[1,3], deci V=π∫13g2(x)dx=π∫131(x+1)4dx=π(−13(x+1)3)∣13=7π192\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}\text{, }x\in[1,3]\text{, deci }V=\pi\int_{1}^{3}g^2(x)dx=\pi\int_{1}^{3}\dfrac{1}{(x+1)^4}dx=\pi\left(-\dfrac{1}{3(x+1)^3}\right)\Big|_1^3=\dfrac{7\pi}{192}
  6. Se scrie ecuația dată în enunț, care leagă volumul calculat de expresia cu parametrul a\displaystyle a.
    7π192=7π24a\displaystyle \dfrac{7\pi}{192}=\dfrac{7\pi}{24a}
  7. Se simplifică ecuația prin eliminarea factorului 7π\displaystyle 7\pi de pe ambele părți și se rezolvă pentru a\displaystyle a, obținând valoarea finală cerută.
    1192=124a⇒24a=192⇒a=8\displaystyle \dfrac{1}{192}=\dfrac{1}{24a}\Rightarrow 24a=192\Rightarrow a=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.