Bac matematică M1 mate-info 2016, sesiunea specială varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați al patrulea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=1\displaystyle a_1=1 și a2=4\displaystyle a_2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Rația progresiei aritmetice este diferența dintre doi termeni consecutivi: r=a2−a1\displaystyle r=a_2-a_1. Înlocuim a1=1\displaystyle a_1=1 și a2=4\displaystyle a_2=4.
    r=4−1=3\displaystyle r=4-1=3
  2. Scriem formula termenului general al unei progresii aritmetice: an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r. Pentru al patrulea termen luăm n=4\displaystyle n=4, deci a4=a1+3r\displaystyle a_4=a_1+3r.
    a4=a1+3r\displaystyle a_4=a_1+3r
  3. Înlocuim a1=1\displaystyle a_1=1 și r=3\displaystyle r=3 și calculăm. Al patrulea termen este 10\displaystyle 10.
    a4=1+3⋅3=10\displaystyle a_4=1+3\cdot 3=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(1,a)\displaystyle A(1,a) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4\displaystyle f(x)=x^2+4.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului funcției dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Punctul A(1,a)\displaystyle A(1,a) are abscisa 1\displaystyle 1 și ordonata a\displaystyle a, deci f(1)=a\displaystyle f(1)=a.
    f(1)=a\displaystyle f(1)=a
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției f(x)=x2+4\displaystyle f(x)=x^2+4 și egalăm cu a\displaystyle a.
    12+4=a\displaystyle 1^2+4=a
  3. Calculăm: 12=1\displaystyle 1^2=1, iar 1+4=5\displaystyle 1+4=5. Deci a=5\displaystyle a=5.
    a=5\displaystyle a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x−2=32−x\displaystyle 9^{x-2}=3^{2-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3: 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci 9x−2=(32)x−2=32(x−2)\displaystyle 9^{x-2}=\left(3^{2}\right)^{x-2}=3^{2(x-2)}.
    9x−2=32(x−2)\displaystyle 9^{x-2}=3^{2(x-2)}
  2. Ecuația devine 32(x−2)=32−x\displaystyle 3^{2(x-2)}=3^{2-x}. Cum baza 3\displaystyle 3 este aceeași, iar funcția exponențială este injectivă, egalăm exponenții.
    32(x−2)=32−x⇔2x−4=2−x\displaystyle 3^{2(x-2)}=3^{2-x}\Leftrightarrow 2x-4=2-x
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 2x+x=2+4\displaystyle 2x+x=2+4, adică 3x=6\displaystyle 3x=6.
    3x=6\displaystyle 3x=6
  4. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem x=2\displaystyle x=2. Verificare: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 90=1\displaystyle 9^{0}=1 și 30=1\displaystyle 3^{0}=1, deci egalitatea este adevărată.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie mai mic sau egal cu 30\displaystyle 30.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Cazurile favorabile sunt numerele de două cifre cu n≤30\displaystyle n\le 30, adică 10,11,…,30\displaystyle 10, 11, \ldots, 30.
    n∈{10,11,…,30}\displaystyle n\in\{10,11,\ldots,30\}
  3. Numărăm cazurile favorabile: 30−10+1=21\displaystyle 30-10+1=21.
    21\displaystyle 21
  4. Aplicăm formula p=cazuri favorabilecazuri posibile=2190\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{21}{90} și simplificăm fracția prin 3\displaystyle 3.
    p=2190=730\displaystyle p=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(0,3)\displaystyle A(0,3). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A\displaystyle A și are panta egală cu 1\displaystyle 1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim ecuația dreptei care trece prin punctul A(x0,y0)\displaystyle A(x_0,y_0) și are panta m\displaystyle m: y−y0=m(x−x0)\displaystyle y-y_0=m(x-x_0).
    y−y0=m(x−x0)\displaystyle y-y_0=m(x-x_0)
  2. Avem x0=0\displaystyle x_0=0, y0=3\displaystyle y_0=3 și m=1\displaystyle m=1, deci înlocuim în ecuație.
    y−3=1⋅(x−0)\displaystyle y-3=1\cdot(x-0)
  3. Simplificăm: x−0=x\displaystyle x-0=x, deci y−3=x\displaystyle y-3=x. Mutăm 3\displaystyle 3 în membrul drept și obținem ecuația dreptei.
    y=x+3\displaystyle y=x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu AB=10\displaystyle AB=10, AC=10\displaystyle AC=10 și BC=12\displaystyle BC=12. Arătați că sin⁡B=45\displaystyle \sin B=\frac{4}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel, cu AB=AC=10\displaystyle AB=AC=10. Ducem înălțimea AD\displaystyle AD, cu D∈BC\displaystyle D\in BC. Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf este și mediană, deci D\displaystyle D este mijlocul lui BC\displaystyle BC.
    BD=BC2=6\displaystyle BD=\frac{BC}{2}=6
  2. În triunghiul dreptunghic ABD\displaystyle ABD, cu unghiul drept în D\displaystyle D, aplicăm teorema lui Pitagora: AD2=AB2−BD2\displaystyle AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}.
    AD2=102−62=100−36=64\displaystyle AD^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64
  3. Extragem rădăcina pătrată, iar lungimea înălțimii este pozitivă.
    AD=64=8\displaystyle AD=\sqrt{64}=8
  4. În triunghiul dreptunghic ABD\displaystyle ABD, sin⁡B\displaystyle \sin B este raportul dintre cateta opusă AD\displaystyle AD și ipotenuza AB\displaystyle AB. Înlocuim și simplificăm fracția.
    sin⁡B=ADAB=810=45\displaystyle \sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(−m111−m111−m)A(m)=\begin{pmatrix}-m & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {−mx+y+z=−1x−my+z=−1x+y−mz=m\begin{cases}-mx+y+z=-1\\ x-my+z=-1\\ x+y-mz=m\end{cases} unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=2\displaystyle \det(A(0))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m). Toate elementele de pe diagonala principală devin 0\displaystyle 0, iar celelalte rămân 1\displaystyle 1.
    A(0)=(011101110)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(0))=∣011101110∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}
  3. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 0⋅0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0=0, 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1 și 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 1⋅0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0, 0⋅1⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1=0 și 1⋅1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0=0.
    0+1+1  și  0+0+0\displaystyle 0+1+1\ \text{ și }\ 0+0+0
  4. Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma produselor de pe diagonala principală și obținem valoarea determinantului.
    det⁡(A(0))=0+1+1−0−0−0=2\displaystyle \det(A(0))=0+1+1-0-0-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(−m111−m111−m)A(m)=\begin{pmatrix}-m & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {−mx+y+z=−1x−my+z=−1x+y−mz=m\begin{cases}-mx+y+z=-1\\ x-my+z=-1\\ x+y-mz=m\end{cases} unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversabilă, pentru orice număr real m\displaystyle m, m≠−1\displaystyle m\neq -1 și m≠2\displaystyle m\neq 2.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătrată este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(m))\displaystyle \det(A(m)).
    det⁡(A(m))=∣−m111−m111−m∣\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}-m&1&1\\1&-m&1\\1&1&-m\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei, apoi scădem produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei. Prima grupă dă (−m)3+1+1\displaystyle (-m)^3+1+1, iar a doua dă (−m)+(−m)+(−m)\displaystyle (-m)+(-m)+(-m), care se scade.
    det⁡(A(m))=−m3+2−(−3m)=−m3+3m+2\displaystyle \det(A(m))=-m^{3}+2-(-3m)=-m^{3}+3m+2
  3. Descompunem polinomul în factori. Observăm că m=−1\displaystyle m=-1 este rădăcină: −(−1)3+3⋅(−1)+2=1−3+2=0\displaystyle -(-1)^3+3\cdot(-1)+2=1-3+2=0. Și m=2\displaystyle m=2 este rădăcină: −8+6+2=0\displaystyle -8+6+2=0. Atunci −m3+3m+2=−(m3−3m−2)=−(m+1)(m2−m−2)=−(m+1)2(m−2)\displaystyle -m^3+3m+2=-(m^3-3m-2)=-(m+1)(m^2-m-2)=-(m+1)^2(m-2).
    det⁡(A(m))=−(m+1)2(m−2)=(2−m)(m+1)2\displaystyle \det(A(m))=-(m+1)^{2}(m-2)=(2-m)(m+1)^{2}
  4. Un produs este nul doar dacă un factor este nul. Factorul 2−m\displaystyle 2-m este nul doar pentru m=2\displaystyle m=2, iar factorul (m+1)2\displaystyle (m+1)^2 este nul doar pentru m=−1\displaystyle m=-1. Pentru m≠−1\displaystyle m\neq -1 și m≠2\displaystyle m\neq 2, ambii factori sunt nenuli, deci determinantul este nenul.
    m≠−1 și m≠2⇒(2−m)(m+1)2≠0\displaystyle m\neq -1\text{ și }m\neq 2\Rightarrow (2-m)(m+1)^{2}\neq 0
  5. Deoarece determinantul este nenul, matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversabilă pentru orice număr real m\displaystyle m, m≠−1\displaystyle m\neq -1 și m≠2\displaystyle m\neq 2.
    det⁡(A(m))≠0\displaystyle \det(A(m))\neq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(−m111−m111−m)A(m)=\begin{pmatrix}-m & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {−mx+y+z=−1x−my+z=−1x+y−mz=m\begin{cases}-mx+y+z=-1\\ x-my+z=-1\\ x+y-mz=m\end{cases} unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=2\displaystyle m=2, determinați soluția (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) a sistemului pentru care x0+2y0+3z0=9\displaystyle x_0+2y_0+3z_0=9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=2\displaystyle m=2 în sistem și obținem {−2x+y+z=−1x−2y+z=−1x+y−2z=2\displaystyle \begin{cases}-2x+y+z=-1\\ x-2y+z=-1\\ x+y-2z=2\end{cases}.
    {−2x+y+z=−1x−2y+z=−1x+y−2z=2\displaystyle \begin{cases}-2x+y+z=-1\\ x-2y+z=-1\\ x+y-2z=2\end{cases}
  2. Scădem a doua ecuație din prima: −3x+3y=0\displaystyle -3x+3y=0, deci x=y\displaystyle x=y.
    x=y\displaystyle x=y
  3. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în prima ecuație: −2x+x+z=−1\displaystyle -2x+x+z=-1, deci z=x−1\displaystyle z=x-1. Verificăm a treia ecuație: x+x−2(x−1)=2\displaystyle x+x-2(x-1)=2, adevărat pentru orice x\displaystyle x. Sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Notăm z=α\displaystyle z=\alpha și obținem x=y=1+α\displaystyle x=y=1+\alpha.
    (x,y,z)=(1+α, 1+α, α)\displaystyle (x,y,z)=(1+\alpha,\,1+\alpha,\,\alpha), α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
  4. Introducem soluția generală în relația x0+2y0+3z0=9\displaystyle x_0+2y_0+3z_0=9: 1+α+2(1+α)+3α=9\displaystyle 1+\alpha+2(1+\alpha)+3\alpha=9, adică 3+6α=9\displaystyle 3+6\alpha=9, deci α=1\displaystyle \alpha=1.
    1+α+2(1+α)+3α=9⇔6α+3=9⇔α=1\displaystyle 1+\alpha+2(1+\alpha)+3\alpha=9\Leftrightarrow 6\alpha+3=9\Leftrightarrow \alpha=1
  5. Pentru α=1\displaystyle \alpha=1 obținem x0=1+1=2\displaystyle x_0=1+1=2, y0=2\displaystyle y_0=2, z0=1\displaystyle z_0=1.
    (x0,y0,z0)=(2,2,1)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(2,2,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−2xy+10x+10y−45\displaystyle x*y=-2xy+10x+10y-45.

Arătați că x∗y=−2(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-2(x-5)(y-5)+5, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=−2xy+10x+10y−45\displaystyle x*y=-2xy+10x+10y-45 și scriem −45=−50+5\displaystyle -45=-50+5, pentru a putea forma un produs.
    x∗y=−2xy+10x+10y−50+5\displaystyle x*y=-2xy+10x+10y-50+5
  2. Grupăm termenii: −2xy+10x=−2x(y−5)\displaystyle -2xy+10x=-2x(y-5) și 10y−50=10(y−5)\displaystyle 10y-50=10(y-5). Expresia devine suma lor plus 5\displaystyle 5.
    x∗y=−2x(y−5)+10(y−5)+5\displaystyle x*y=-2x(y-5)+10(y-5)+5
  3. Dăm factor comun (y−5)\displaystyle (y-5): −2x+10=−2(x−5)\displaystyle -2x+10=-2(x-5). Obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=−2(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-2(x-5)(y-5)+5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−2xy+10x+10y−45\displaystyle x*y=-2xy+10x+10y-45.

Arătați că 1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10=5\displaystyle 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=5.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că numărul 5\displaystyle 5 are un rol special în lege. Calculăm x∗5\displaystyle x*5 pentru orice x\displaystyle x real, înlocuind y\displaystyle y cu 5\displaystyle 5 în definiția legii x∗y=−2xy+10x+10y−45\displaystyle x*y=-2xy+10x+10y-45.
    x∗5=−2x⋅5+10x+10⋅5−45\displaystyle x*5=-2x\cdot 5+10x+10\cdot 5-45
  2. Reducem termenii: −10x\displaystyle -10x și 10x\displaystyle 10x se anulează, iar 50−45=5\displaystyle 50-45=5. Deci x∗5=5\displaystyle x*5=5 pentru orice x\displaystyle x. Expresia legii este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă și obținem și 5∗y=5\displaystyle 5*y=5.
    x∗5=5∗x=5\displaystyle x*5=5*x=5, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii cum vrem. Grupăm primii patru numere, apoi îi compunem cu 5\displaystyle 5. Notăm a=1∗2∗3∗4\displaystyle a=1*2*3*4; atunci a∗5=5\displaystyle a*5=5 conform pasului anterior.
    (1∗2∗3∗4)∗5=5\displaystyle (1*2*3*4)*5=5
  4. Produsul întreg devine 5\displaystyle 5 compus cu 6∗7∗8∗9∗10\displaystyle 6*7*8*9*10. Notăm b=6∗7∗8∗9∗10\displaystyle b=6*7*8*9*10; avem 5∗b=5\displaystyle 5*b=5, tot conform primului rezultat. Deci produsul cerut este 5\displaystyle 5.
    ((1∗2∗3∗4)∗5)∗6∗7∗8∗9∗10=5∗(6∗7∗8∗9∗10)=5\displaystyle ((1*2*3*4)*5)*6*7*8*9*10=5*(6*7*8*9*10)=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−2xy+10x+10y−45\displaystyle x*y=-2xy+10x+10y-45.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, pentru care m∗n=27\displaystyle m*n=27.
Vezi rezolvarea
  1. Grupăm termenii legii de compoziție ca să obținem forma factorizată: x∗y=−2(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-2(x-5)(y-5)+5. Verificare: −2(xy−5x−5y+25)+5=−2xy+10x+10y−45\displaystyle -2(xy-5x-5y+25)+5=-2xy+10x+10y-45.
    x∗y=−2(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=-2(x-5)(y-5)+5
  2. Scriem condiția m∗n=27\displaystyle m*n=27 cu forma factorizată: −2(m−5)(n−5)+5=27\displaystyle -2(m-5)(n-5)+5=27. Mutăm 5\displaystyle 5 în membrul drept și obținem −2(m−5)(n−5)=22\displaystyle -2(m-5)(n-5)=22. Împărțim la −2\displaystyle -2.
    −2(m−5)(n−5)+5=27⇔(m−5)(n−5)=−11\displaystyle -2(m-5)(n-5)+5=27\Leftrightarrow (m-5)(n-5)=-11
  3. Numerele m−5\displaystyle m-5 și n−5\displaystyle n-5 sunt întregi, iar produsul lor este −11\displaystyle -11. Cum 11\displaystyle 11 este prim, perechile posibile (m−5, n−5)\displaystyle (m-5,\,n-5) sunt (1,−11)\displaystyle (1,-11), (−1,11)\displaystyle (-1,11), (11,−1)\displaystyle (11,-1), (−11,1)\displaystyle (-11,1).
    (m−5, n−5)∈{(1,−11), (−1,11), (11,−1), (−11,1)}\displaystyle (m-5,\,n-5)\in\{(1,-11),\,(-1,11),\,(11,-1),\,(-11,1)\}
  4. Revenim la m\displaystyle m și n\displaystyle n, adunând 5\displaystyle 5 la fiecare factor. Obținem perechile (6,−6)\displaystyle (6,-6), (4,16)\displaystyle (4,16), (16,4)\displaystyle (16,4), (−6,6)\displaystyle (-6,6). Perechile (6,−6)\displaystyle (6,-6) și (−6,6)\displaystyle (-6,6) conțin numere negative, deci nu convin, deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n trebuie să fie naturale.
    (m,n)∈{(4,16), (16,4)}\displaystyle (m,n)\in\{(4,16),\,(16,4)\}
  5. Răspuns final: m=4, n=16\displaystyle m=4,\ n=16 sau m=16, n=4\displaystyle m=16,\ n=4.
    m=4\displaystyle m=4, n=16 sau m=16\displaystyle \ n=16\text{ sau }m=16, n=4\displaystyle \ n=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−8ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-8\ln x.

Arătați că f′(x)=2(x−2)(x+2)x\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-2)(x+2)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen. Derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, deci derivata termenului −8ln⁡x\displaystyle -8\ln x este −8x\displaystyle -\dfrac{8}{x}.
    f′(x)=2x−8x\displaystyle f'(x)=2x-\frac{8}{x}
  2. Aducem la numitor comun x\displaystyle x: scriem 2x=2x2x\displaystyle 2x=\dfrac{2x^{2}}{x} și scădem fracțiile.
    f′(x)=2x2x−8x=2x2−8x\displaystyle f'(x)=\frac{2x^{2}}{x}-\frac{8}{x}=\frac{2x^{2}-8}{x}
  3. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 la numărător, apoi folosim formula diferenței de pătrate: x2−4=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2). Am obținut egalitatea cerută pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=2(x2−4)x=2(x−2)(x+2)x\displaystyle f'(x)=\frac{2(x^{2}-4)}{x}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−8ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-8\ln x.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, iar (8ln⁡x)′=8x\displaystyle (8\ln x)'=\dfrac{8}{x}.
    f′(x)=2x−8x\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{8}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor: f′(x)=2x2−8x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-8}{x}. Apoi scoatem factor comun și folosim diferența de pătrate.
    f′(x)=2(x−2)(x+2)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) avem x>0\displaystyle x>0 și x+2>0\displaystyle x+2>0, deci singura soluție vine din x−2=0\displaystyle x-2=0.
    f′(x)=0⇔x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=2
  4. Studiem semnul derivei. Pentru x∈(0,2)\displaystyle x\in(0,2) avem x−2<0\displaystyle x-2<0, iar x+2>0\displaystyle x+2>0 și x>0\displaystyle x>0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Funcția f\displaystyle f este continuă în 2\displaystyle 2, deci este descrescătoare pe (0,2]\displaystyle (0,2].
    f′(x)≤0⇒f descresca˘toare pe (0,2]\displaystyle f'(x)\leq 0\Rightarrow f\text{ descrescătoare pe }(0,2]
  5. Pentru x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty) avem x−2>0\displaystyle x-2>0, x+2>0\displaystyle x+2>0 și x>0\displaystyle x>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Funcția f\displaystyle f este continuă în 2\displaystyle 2, deci este crescătoare pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty).
    f′(x)≥0⇒f cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle f'(x)\geq 0\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−8ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-8\ln x.

Demonstrați că ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are două soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și o aducem la forma unei fracții: f′(x)=2x−8x=2(x2−4)x\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{8}{x}=\dfrac{2(x^{2}-4)}{x}.
    f′(x)=2(x−2)(x+2)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}
  2. Studiem semnul derivatei. Pentru x>0\displaystyle x>0, numitorul și factorul x+2\displaystyle x+2 sunt pozitivi, deci semnul este dat de x−2\displaystyle x-2. Rezultă că f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,2]\displaystyle (0,2] și strict crescătoare pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty), cu minim în x=2\displaystyle x=2.
    f↘ pe (0,2]\displaystyle f\searrow\text{ pe }(0,2],f↗ pe [2,+∞)\displaystyle \quad f\nearrow\text{ pe }[2,+\infty)
  3. Calculăm limitele la capetele domeniului. Când x→0\displaystyle x\to 0, x>0\displaystyle x>0, avem x2→0\displaystyle x^{2}\to 0, iar −8ln⁡x→+∞\displaystyle -8\ln x\to+\infty. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, scriem f(x)=x2(1−8ln⁡xx2)\displaystyle f(x)=x^{2}\left(1-\dfrac{8\ln x}{x^{2}}\right); cum ln⁡xx2→0\displaystyle \dfrac{\ln x}{x^{2}}\to 0, paranteza tinde la 1\displaystyle 1, iar produsul tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\ x>0}f(x)=+\infty,lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  4. Calculăm valoarea minimului, adică f(2)=22−8ln⁡2\displaystyle f(2)=2^{2}-8\ln 2.
    f(2)=4−8ln⁡2=4 (1−2ln⁡2)=4 (1−ln⁡4)\displaystyle f(2)=4-8\ln 2=4\,(1-2\ln 2)=4\,(1-\ln 4)
  5. Stabilim semnul lui f(2)\displaystyle f(2). Cum 4>e\displaystyle 4>e, avem ln⁡4>1\displaystyle \ln 4>1, deci f(2)<0\displaystyle f(2)<0. Funcția f\displaystyle f este continuă. Pe (0,2)\displaystyle (0,2) este strict descrescătoare, de la +∞\displaystyle +\infty la o valoare negativă, deci se anulează exact o dată. Pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty) este strict crescătoare, de la o valoare negativă la +∞\displaystyle +\infty, deci se anulează tot exact o dată. Cele două soluții sunt în intervale disjuncte (nu pot fi 2\displaystyle 2, pentru că f(2)≠0\displaystyle f(2)\neq 0), deci ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are două soluții reale distincte.
    f(2)=4−8ln⁡2<0 ⇒ f(x)=0 are doua˘ soluții reale \displaystyle f(2)=4-8\ln 2<0\ \Rightarrow\ f(x)=0\text{ are două soluții reale }distincte\displaystyle \text{distincte}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(4,+∞)→R\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x(x−4)\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x-4)}.

Arătați că ∫510(x−4)f(x) dx=ln⁡2\displaystyle \int_5^{10}(x-4)f(x)\,dx=\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x(x−4)\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x(x-4)} în integrală: (x−4)f(x)=(x−4)⋅1x(x−4)\displaystyle (x-4)f(x)=(x-4)\cdot\dfrac{1}{x(x-4)}.
    (x−4)f(x)=(x−4)⋅1x(x−4)\displaystyle (x-4)f(x)=(x-4)\cdot\dfrac{1}{x(x-4)}
  2. Pe [5,10]\displaystyle [5,10] avem x−4>0\displaystyle x-4>0, deci îl simplificăm cu factorul de la numitor: (x−4)f(x)=1x\displaystyle (x-4)f(x)=\dfrac{1}{x}. Integrala devine ∫5101x dx\displaystyle \int_5^{10}\dfrac{1}{x}\,dx.
    ∫510(x−4)f(x) dx=∫5101x dx\displaystyle \int_5^{10}(x-4)f(x)\,dx=\int_5^{10}\dfrac{1}{x}\,dx
  3. O primitivă a lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este ln⁡x\displaystyle \ln x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫5101x dx=ln⁡x∣510\displaystyle \int_5^{10}\dfrac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_5^{10}.
    ∫510(x−4)f(x) dx=∫5101x dx=ln⁡x∣510\displaystyle \int_5^{10}(x-4)f(x)\,dx=\int_5^{10}\dfrac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_5^{10}
  4. Calculăm ln⁡x∣510=ln⁡10−ln⁡5\displaystyle \ln x\Big|_5^{10}=\ln 10-\ln 5. Cu proprietatea diferenței de logaritmi obținem ln⁡105=ln⁡2\displaystyle \ln\dfrac{10}{5}=\ln 2, ceea ce trebuia arătat.
    ln⁡10−ln⁡5=ln⁡105=ln⁡2\displaystyle \ln 10-\ln 5=\ln\dfrac{10}{5}=\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(4,+∞)→R\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x(x−4)\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x-4)}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[5,6]→R\displaystyle g:[5,6]\to\mathbb{R}, g(x)=xf(x)\displaystyle g(x)=xf(x).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în g(x)=xf(x)\displaystyle g(x)=x f(x) și simplificăm cu x\displaystyle x, care este nenul pe [5,6]\displaystyle [5,6]: g(x)=x⋅1x(x−4)\displaystyle g(x)=x\cdot\dfrac{1}{x(x-4)}.
    g(x)=1x−4\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x-4}
  2. Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫abg2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_a^b g^2(x)\,dx. Cu a=5\displaystyle a=5, b=6\displaystyle b=6 și g(x)=1x−4\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x-4} obținem integrala de calculat.
    V=π∫56g2(x) dx=π∫561(x−4)2 dx\displaystyle V=\pi\int_5^6 g^2(x)\,dx=\pi\int_5^6\dfrac{1}{(x-4)^2}\,dx
  3. O primitivă a lui 1(x−4)2\displaystyle \dfrac{1}{(x-4)^2} este −1x−4\displaystyle -\dfrac{1}{x-4}, deoarece (−1x−4)′=1(x−4)2\displaystyle \left(-\dfrac{1}{x-4}\right)'=\dfrac{1}{(x-4)^2}.
    ∫1(x−4)2 dx=−1x−4+C\displaystyle \int\dfrac{1}{(x-4)^2}\,dx=-\dfrac{1}{x-4}+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în 6\displaystyle 6 primitiva are valoarea −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}, iar în 5\displaystyle 5 valoarea −1\displaystyle -1. Diferența este −12−(−1)=12\displaystyle -\dfrac{1}{2}-(-1)=\dfrac{1}{2}, deci volumul este π⋅12\displaystyle \pi\cdot\dfrac{1}{2}.
    V=π(−1x−4)∣56=π(−12+1)=π2\displaystyle V=\pi\left(-\dfrac{1}{x-4}\right)\Big|_5^6=\pi\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)=\dfrac{\pi}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(4,+∞)→R\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x(x−4)\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x-4)}.

Demonstrați că lim⁡n→+∞(n2∫nn+1f(x) dx)=1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(n^2\int_n^{n+1}f(x)\,dx\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem funcția în fracții simple. Căutăm constantele A\displaystyle A și B\displaystyle B astfel încât 1x(x−4)=Ax−4+Bx\displaystyle \dfrac{1}{x(x-4)}=\dfrac{A}{x-4}+\dfrac{B}{x}. Se obține A=14\displaystyle A=\dfrac{1}{4} și B=−14\displaystyle B=-\dfrac{1}{4}.
    f(x)=14(1x−4−1x)\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x-4}-\dfrac{1}{x}\right)
  2. Integrăm pe intervalul [n,n+1]\displaystyle [n,n+1], cu n>4\displaystyle n>4, deci x−4>0\displaystyle x-4>0 și x>0\displaystyle x>0. O primitivă a lui f\displaystyle f este 14(ln⁡(x−4)−ln⁡x)\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(\ln(x-4)-\ln x\right).
    ∫nn+1f(x) dx=14(ln⁡(x−4)−ln⁡x)∣nn+1\displaystyle \int_n^{n+1}f(x)\,dx=\dfrac{1}{4}\Big(\ln(x-4)-\ln x\Big)\Big|_n^{n+1}
  3. Înlocuim limitele și grupăm logaritmii. Folosim (n+1)(n−4)=n2−3n−4\displaystyle (n+1)(n-4)=n^2-3n-4 și n(n−3)=n2−3n\displaystyle n(n-3)=n^2-3n.
    ∫nn+1f(x) dx=14(ln⁡n−3n+1−ln⁡n−4n)=14ln⁡n2−3nn2−3n−4\displaystyle \int_n^{n+1}f(x)\,dx=\dfrac{1}{4}\left(\ln\dfrac{n-3}{n+1}-\ln\dfrac{n-4}{n}\right)=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{n^2-3n}{n^2-3n-4}
  4. Notăm an=n2−3n−4\displaystyle a_n=n^2-3n-4. Atunci n2−3nn2−3n−4=1+4an\displaystyle \dfrac{n^2-3n}{n^2-3n-4}=1+\dfrac{4}{a_n}. Înmulțim cu n2\displaystyle n^2 și scriem expresia astfel încât să apară limita remarcabilă cu exponentul an4\displaystyle \dfrac{a_n}{4}.
    n2∫nn+1f(x) dx=n24ln⁡(1+4an)=n2an⋅ln⁡(1+4an)an4\displaystyle n^2\int_n^{n+1}f(x)\,dx=\dfrac{n^2}{4}\ln\left(1+\dfrac{4}{a_n}\right)=\dfrac{n^2}{a_n}\cdot\ln\left(1+\dfrac{4}{a_n}\right)^{\frac{a_n}{4}}
  5. Când n→+∞\displaystyle n\to+\infty, an→+∞\displaystyle a_n\to+\infty, deci (1+4an)an4→e\displaystyle \left(1+\dfrac{4}{a_n}\right)^{\frac{a_n}{4}}\to e, iar logaritmul lui tinde la ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1. În plus, n2an→1\displaystyle \dfrac{n^2}{a_n}\to 1, deoarece gradele numărătorului și numitorului sunt egale, iar coeficienții dominanți sunt 1\displaystyle 1. Produsul limitelor este 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia demonstrat.
    lim⁡n→+∞(n2∫nn+1f(x) dx)=1⋅ln⁡e=1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(n^2\int_n^{n+1}f(x)\,dx\right)=1\cdot\ln e=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.