Bac matematică M1 mate-info 2019, sesiunea specială varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=3−i\displaystyle z_1 = 3 - i și z2=8−3i\displaystyle z_2 = 8 - 3i. Arătați că 3z1−z2=1\displaystyle 3z_1 - z_2 = 1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în expresia 3z1−z2\displaystyle 3z_1-z_2 valorile z1=3−i\displaystyle z_1=3-i și z2=8−3i\displaystyle z_2=8-3i, punând paranteze în jurul lui z2\displaystyle z_2 pentru ca semnul minus să afecteze ambii termeni.
    3z1−z2=3(3−i)−(8−3i)\displaystyle 3z_1-z_2=3(3-i)-(8-3i)
  2. Distribuim factorul 3\displaystyle 3 în prima paranteză și schimbăm semnele în a doua paranteză, din cauza minusului din fața ei.
    3(3−i)−(8−3i)=9−3i−8+3i\displaystyle 3(3-i)-(8-3i)=9-3i-8+3i
  3. Grupăm părțile reale și părțile imaginare: 9−8=1\displaystyle 9-8=1, iar −3i+3i=0\displaystyle -3i+3i=0. Rezultă că 3z1−z2=1\displaystyle 3z_1-z_2=1, ceea ce trebuia arătat.
    9−8+(−3i+3i)=1\displaystyle 9-8+(-3i+3i)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)+f(a+1)=35\displaystyle f(a)+f(a+1)=35, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5.
    f(a)=a−5\displaystyle f(a)=a-5
  2. Calculăm f(a+1)\displaystyle f(a+1) înlocuind x\displaystyle x cu a+1\displaystyle a+1 în f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5.
    f(a+1)=(a+1)−5\displaystyle f(a+1)=(a+1)-5
  3. Înlocuim cele două expresii în ecuația f(a)+f(a+1)=35\displaystyle f(a)+f(a+1)=35.
    a−5+(a+1)−5=35\displaystyle a-5+(a+1)-5=35
  4. Reducem termenii asemenea: a+a=2a\displaystyle a+a=2a, iar −5+1−5=−9\displaystyle -5+1-5=-9.
    2a−9=35\displaystyle 2a-9=35
  5. Adunăm 9\displaystyle 9 în ambii membri: 2a=44\displaystyle 2a=44. Apoi împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    2a−9=35⇒2a=44⇒a=22\displaystyle 2a-9=35\Rightarrow 2a=44\Rightarrow a=22
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅4x−4x+1+32=0\displaystyle 2\cdot 4^x-4^{x+1}+32=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 4x+1=4x⋅4\displaystyle 4^{x+1}=4^{x}\cdot 4. Ecuația devine 2⋅4x−4⋅4x+32=0\displaystyle 2\cdot 4^{x}-4\cdot 4^{x}+32=0.
    2⋅4x−4⋅4x+32=0\displaystyle 2\cdot 4^{x}-4\cdot 4^{x}+32=0
  2. Dăm factor comun 4x\displaystyle 4^{x}: 4x(2−4)+32=0\displaystyle 4^{x}(2-4)+32=0, adică −2⋅4x+32=0\displaystyle -2\cdot 4^{x}+32=0.
    4x(2−4)+32=0⇔−2⋅4x+32=0\displaystyle 4^{x}(2-4)+32=0\Leftrightarrow -2\cdot 4^{x}+32=0
  3. Mutăm 32 în membrul drept: −2⋅4x=−32\displaystyle -2\cdot 4^{x}=-32. Împărțim la −2\displaystyle -2 și obținem 4x=16\displaystyle 4^{x}=16.
    4x=16\displaystyle 4^{x}=16
  4. Scriem 16=42\displaystyle 16=4^{2}, deci 4x=42\displaystyle 4^{x}=4^{2}. Funcția exponențială este injectivă, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația n(n+1)≥42\displaystyle n(n+1)\ge 42.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea numerelor naturale de o cifră este {0,1,2,…,9}\displaystyle \{0,1,2,\ldots,9\}. Ea are 10\displaystyle 10 elemente, deci avem 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10\displaystyle 10
  2. Verificăm relația pentru n=5\displaystyle n=5: 5⋅6=30<42\displaystyle 5\cdot 6=30<42, deci 5\displaystyle 5 nu convine.
    5⋅6=30<42\displaystyle 5\cdot 6=30<42
  3. Verificăm n=6\displaystyle n=6: 6⋅7=42≥42\displaystyle 6\cdot 7=42\ge 42, deci 6\displaystyle 6 convine. Expresia n(n+1)\displaystyle n(n+1) este crescătoare pe numerele naturale, deci și 7,8,9\displaystyle 7,8,9 convin: 7⋅8=56\displaystyle 7\cdot 8=56, 8⋅9=72\displaystyle 8\cdot 9=72, 9⋅10=90\displaystyle 9\cdot 10=90.
    n∈{6,7,8,9}, deci 4 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{6,7,8,9\}\text{, deci }4\text{ cazuri favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=410=25\displaystyle p=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.
    p=410=25\displaystyle p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(8,4)\displaystyle A(8,4), B(0,6)\displaystyle B(0,6) și C(m,5)\displaystyle C(m,5). Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că AC→=CB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem coordonatele vectorilor AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} și CB→\displaystyle \overrightarrow{CB}. Avem AC→=(m−8, 5−4)=(m−8, 1)\displaystyle \overrightarrow{AC}=(m-8,\,5-4)=(m-8,\,1), iar CB→=(0−m, 6−5)=(−m, 1)\displaystyle \overrightarrow{CB}=(0-m,\,6-5)=(-m,\,1).
    AC→=(m−8, 1) și CB→=(−m, 1)\displaystyle \overrightarrow{AC}=(m-8,\,1)\text{ și }\overrightarrow{CB}=(-m,\,1)
  2. Egalitatea AC→=CB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} arată că C\displaystyle C este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Ordonata lui C\displaystyle C este 5=4+62\displaystyle 5=\dfrac{4+6}{2}, ceea ce confirmă acest lucru.
    C este mijlocul segmentului AB\displaystyle C\text{ este mijlocul segmentului }AB
  3. Abscisa mijlocului este media aritmetică a absciselor lui A\displaystyle A și B\displaystyle B, deci m=8+02\displaystyle m=\dfrac{8+0}{2}.
    m=8+02\displaystyle m=\dfrac{8+0}{2}
  4. Calculăm: m=4\displaystyle m=4. Verificare: din m−8=−m\displaystyle m-8=-m rezultă 2m=8\displaystyle 2m=8, deci tot m=4\displaystyle m=4.
    m=4\displaystyle m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BC a triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC, știind că AB=6\displaystyle AB=6 și aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 24\displaystyle 24.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic cu ipotenuza BC\displaystyle BC, deci unghiul drept este în A\displaystyle A, iar catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Aria este jumătate din produsul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}
  2. Înlocuim aria 24\displaystyle 24 și AB=6\displaystyle AB=6 în formulă.
    24=6⋅AC2\displaystyle 24=\dfrac{6\cdot AC}{2}
  3. Simplificăm: 62=3\displaystyle \dfrac{6}{2}=3, deci 24=3⋅AC\displaystyle 24=3\cdot AC. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem cateta AC\displaystyle AC.
    AC=243=8\displaystyle AC=\dfrac{24}{3}=8
  4. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6 și AC=8\displaystyle AC=8.
    BC2=62+82=36+64=100\displaystyle BC^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100
  5. Lungimea este pozitivă, deci BC=100\displaystyle BC=\sqrt{100}. Ipotenuza are lungimea 10\displaystyle 10.
    BC=10\displaystyle BC=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+10001ln⁡(a+1)001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln(a+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real, a>0\displaystyle a>0.

Arătați că det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): elementul a+1\displaystyle a+1 devine 2\displaystyle 2, iar ln⁡(a+1)\displaystyle \ln(a+1) devine ln⁡2\displaystyle \ln 2.
    A(1)=(20001ln⁡2001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1), adică un determinant de ordin 3\displaystyle 3.
    det⁡(A(1))=∣20001ln⁡2001∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsul pe diagonala principală este 2⋅1⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1=2, iar celelalte două produse cu semnul plus conțin factori nuli, deci sunt 0\displaystyle 0. Produsele cu semnul minus (diagonala secundară și paralelele ei) conțin fiecare câte un element 0\displaystyle 0, deci sunt 0\displaystyle 0.
    det⁡(A(1))=2⋅1⋅1+0+0−0−0−0\displaystyle \det(A(1))=2\cdot 1\cdot 1+0+0-0-0-0
  4. Efectuăm calculul și obținem det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(1))=2+0+0−0−0−0=2\displaystyle \det(A(1))=2+0+0-0-0-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+10001ln⁡(a+1)001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln(a+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real, a>0\displaystyle a>0.

Demonstrați că A(a)A(b)=A(ab+a+b)\displaystyle A(a)A(b)=A(ab+a+b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, a>0\displaystyle a>0, b>0\displaystyle b>0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(a)A(b)\displaystyle A(a)A(b) cu matricele date de definiție, pentru a>0\displaystyle a>0 și b>0\displaystyle b>0.
    A(a)A(b)=(a+10001ln⁡(a+1)001)(b+10001ln⁡(b+1)001)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix} a+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln(a+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln(b+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului, linie cu coloană. Prima linie dă (a+1)(b+1), 0, 0\displaystyle (a+1)(b+1),\ 0,\ 0. A doua linie dă 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 1⋅ln⁡(b+1)+ln⁡(a+1)⋅1\displaystyle 1\cdot\ln(b+1)+\ln(a+1)\cdot 1. A treia linie dă 0, 0, 1\displaystyle 0,\ 0,\ 1.
    A(a)A(b)=((a+1)(b+1)0001ln⁡(a+1)+ln⁡(b+1)001)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix} (a+1)(b+1) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln(a+1)+\ln(b+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  3. Folosim proprietatea logaritmului: suma logaritmilor este logaritmul produsului, adică ln⁡(a+1)+ln⁡(b+1)=ln⁡((a+1)(b+1))\displaystyle \ln(a+1)+\ln(b+1)=\ln\big((a+1)(b+1)\big).
    A(a)A(b)=((a+1)(b+1)0001ln⁡((a+1)(b+1))001)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix} (a+1)(b+1) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln((a+1)(b+1)) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  4. Desfacem parantezele: (a+1)(b+1)=ab+a+b+1\displaystyle (a+1)(b+1)=ab+a+b+1, deci produsul este egal cu (ab+a+b)+1\displaystyle (ab+a+b)+1.
    (a+1)(b+1)=(ab+a+b)+1\displaystyle (a+1)(b+1)=(ab+a+b)+1
  5. Înlocuim în matrice. Notăm c=ab+a+b\displaystyle c=ab+a+b; avem c>0\displaystyle c>0, deoarece a>0\displaystyle a>0 și b>0\displaystyle b>0, deci matricea obținută este A(c)\displaystyle A(c), adică A(ab+a+b)\displaystyle A(ab+a+b).
    A(a)A(b)=((ab+a+b)+10001ln⁡((ab+a+b)+1)001)=A(ab+a+b)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix} (ab+a+b)+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln((ab+a+b)+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=A(ab+a+b)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+10001ln⁡(a+1)001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln(a+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real, a>0\displaystyle a>0.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, știind că A(a)A(a)A(a)=A(7)\displaystyle A(a)A(a)A(a)=A(7).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul a două matrice din familie. Pentru x,y>0\displaystyle x,y>0, elementul din colțul stânga-sus este (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1). În blocul de jos, elementele de pe poziția (2,3)\displaystyle (2,3) se adună: ln⁡(x+1)+ln⁡(y+1)=ln⁡((x+1)(y+1))\displaystyle \ln(x+1)+\ln(y+1)=\ln\big((x+1)(y+1)\big). Deci A(x)A(y)=A((x+1)(y+1)−1)\displaystyle A(x)A(y)=A\big((x+1)(y+1)-1\big), adică A(x)A(y)=A(xy+x+y)\displaystyle A(x)A(y)=A(xy+x+y).
    A(x)A(y)=A((x+1)(y+1)−1)\displaystyle A(x)A(y)=A\big((x+1)(y+1)-1\big)
  2. Aplicăm relația pentru x=y=a\displaystyle x=y=a. Obținem A(a)A(a)=A((a+1)2−1)\displaystyle A(a)A(a)=A\big((a+1)^2-1\big).
    A(a)A(a)=A((a+1)2−1)\displaystyle A(a)A(a)=A\big((a+1)^{2}-1\big)
  3. Înmulțim încă o dată cu A(a)\displaystyle A(a), aplicând relația pentru x=(a+1)2−1\displaystyle x=(a+1)^{2}-1 și y=a\displaystyle y=a. Atunci x+1=(a+1)2\displaystyle x+1=(a+1)^{2}, deci produsul devine A((a+1)2(a+1)−1)=A((a+1)3−1)\displaystyle A\big((a+1)^{2}(a+1)-1\big)=A\big((a+1)^{3}-1\big).
    A(a)A(a)A(a)=A((a+1)3−1)\displaystyle A(a)A(a)A(a)=A\big((a+1)^{3}-1\big)
  4. Egalitatea din enunț devine A((a+1)3−1)=A(7)\displaystyle A\big((a+1)^{3}-1\big)=A(7). Două matrici din familie sunt egale doar dacă au același element în colțul stânga-sus, adică x+1=y+1\displaystyle x+1=y+1, deci argumentele coincid. Rezultă (a+1)3−1=7\displaystyle (a+1)^{3}-1=7.
    (a+1)3−1=7\displaystyle (a+1)^{3}-1=7
  5. Rezolvăm ecuația: (a+1)3=8\displaystyle (a+1)^{3}=8. Cum funcția x↦x3\displaystyle x\mapsto x^{3} este injectivă pe numerele reale, a+1=2\displaystyle a+1=2, deci a=1\displaystyle a=1. Valoarea convine, fiind pozitivă.
    (a+1)3=8⇒a+1=2⇒a=1\displaystyle (a+1)^{3}=8\Rightarrow a+1=2\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3 rădăcinile polinomului f=X3+mX2−mX+2\displaystyle f=X^3+mX^2-mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem polinomul f=X3+mX2−mX+2\displaystyle f=X^3+mX^2-mX+2 și înlocuim X\displaystyle X cu −2\displaystyle -2: f(−2)=(−2)3+m⋅(−2)2−m⋅(−2)+2\displaystyle f(-2)=(-2)^3+m\cdot(-2)^2-m\cdot(-2)+2.
    f(−2)=(−2)3+m⋅(−2)2−m⋅(−2)+2\displaystyle f(-2)=(-2)^3+m\cdot(-2)^2-m\cdot(-2)+2
  2. Calculăm puterile: (−2)3=−8\displaystyle (-2)^3=-8 și (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4, iar −m⋅(−2)=2m\displaystyle -m\cdot(-2)=2m. Obținem f(−2)=−8+4m+2m+2\displaystyle f(-2)=-8+4m+2m+2.
    f(−2)=−8+4m+2m+2\displaystyle f(-2)=-8+4m+2m+2
  3. Reducem termenii asemenea: 4m+2m=6m\displaystyle 4m+2m=6m și −8+2=−6\displaystyle -8+2=-6.
    f(−2)=6m−6\displaystyle f(-2)=6m-6
  4. Din condiția f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0 obținem ecuația 6m−6=0\displaystyle 6m-6=0, deci 6m=6\displaystyle 6m=6, adică m=1\displaystyle m=1.
    6m−6=0⇒m=1\displaystyle 6m-6=0\Rightarrow m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3 rădăcinile polinomului f=X3+mX2−mX+2\displaystyle f=X^3+mX^2-mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=1\displaystyle m=1, determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=1\displaystyle m=1, polinomul devine f=X3+X2−X+2\displaystyle f=X^{3}+X^{2}-X+2.
    f=X3+X2−X+2\displaystyle f=X^{3}+X^{2}-X+2
  2. Căutăm o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber 2\displaystyle 2. Verificăm x=−2\displaystyle x=-2: f(−2)=−8+4+2+2=0\displaystyle f(-2)=-8+4+2+2=0, deci −2\displaystyle -2 este rădăcină.
    f(−2)=(−2)3+(−2)2−(−2)+2=0\displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+(-2)^{2}-(-2)+2=0
  3. Deoarece −2\displaystyle -2 este rădăcină, f\displaystyle f se împarte exact la X+2\displaystyle X+2. Împărțind (de exemplu cu schema lui Horner), obținem câtul X2−X+1\displaystyle X^{2}-X+1, iar restul este 0\displaystyle 0. Astfel f=(X+2)(X2−X+1)\displaystyle f=(X+2)(X^{2}-X+1).
    f=(X+2)(X2−X+1)\displaystyle f=(X+2)(X^{2}-X+1)
  4. Rădăcinile lui f\displaystyle f sunt −2\displaystyle -2 și rădăcinile ecuației x2−x+1=0\displaystyle x^{2}-x+1=0. Calculăm discriminantul: Δ=(−1)2−4⋅1⋅1=−3\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3.
    Δ=−3\displaystyle \Delta=-3
  5. Cum Δ<0\displaystyle \Delta<0, ecuația are două rădăcini complex conjugate: x=1±i32\displaystyle x=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}. Împreună cu −2\displaystyle -2, acestea sunt toate rădăcinile lui f\displaystyle f.
    x1=−2\displaystyle x_1=-2, x2=1−i32\displaystyle \ x_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}, x3=1+i32\displaystyle \ x_3=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3 rădăcinile polinomului f=X3+mX2−mX+2\displaystyle f=X^3+mX^2-mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Se consideră a=x12+mx1x2x3+x22+mx2x1x3+x32+mx3x1x2\displaystyle a=\frac{x_1^2+mx_1}{x_2x_3}+\frac{x_2^2+mx_2}{x_1x_3}+\frac{x_3^2+mx_3}{x_1x_2}. Demonstrați că a∈[3,+∞)\displaystyle a\in[3,+\infty), pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul f=X3+mX2−mX+2\displaystyle f=X^3+mX^2-mX+2: suma rădăcinilor este −m\displaystyle -m, iar produsul lor este −2\displaystyle -2.
    x1+x2+x3=−m\displaystyle x_1+x_2+x_3=-m, x1x2x3=−2\displaystyle \ x_1x_2x_3=-2
  2. Aducem fracțiile la numitorul comun x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3, amplificând prima fracție cu x1\displaystyle x_1, a doua cu x2\displaystyle x_2 și a treia cu x3\displaystyle x_3.
    a=x13+mx12x1x2x3+x23+mx22x1x2x3+x33+mx32x1x2x3\displaystyle a=\frac{x_1^3+mx_1^2}{x_1x_2x_3}+\frac{x_2^3+mx_2^2}{x_1x_2x_3}+\frac{x_3^3+mx_3^2}{x_1x_2x_3}
  3. Fiecare xi\displaystyle x_i este rădăcină a lui f\displaystyle f, deci xi3+mxi2−mxi+2=0\displaystyle x_i^3+mx_i^2-mx_i+2=0. De aici xi3+mxi2=mxi−2\displaystyle x_i^3+mx_i^2=mx_i-2, pentru i=1,2,3\displaystyle i=1,2,3.
    xi3+mxi2=mxi−2\displaystyle x_i^3+mx_i^2=mx_i-2, i=1\displaystyle \ i=1,2\displaystyle 2,3\displaystyle 3
  4. Înlocuim numărătorii și adunăm fracțiile, având același numitor. La numărător apare m\displaystyle m ori suma rădăcinilor, minus 6\displaystyle 6.
    a=mx1−2+mx2−2+mx3−2x1x2x3=m(x1+x2+x3)−6x1x2x3\displaystyle a=\frac{mx_1-2+mx_2-2+mx_3-2}{x_1x_2x_3}=\frac{m(x_1+x_2+x_3)-6}{x_1x_2x_3}
  5. Folosim relațiile lui Viète: suma este −m\displaystyle -m, produsul este −2\displaystyle -2. Obținem a=−m2−6−2=m2+62\displaystyle a=\dfrac{-m^2-6}{-2}=\dfrac{m^2+6}{2}. Deoarece m2≥0\displaystyle m^2\ge 0, avem m2+62≥3\displaystyle \dfrac{m^2+6}{2}\ge 3, deci a∈[3,+∞)\displaystyle a\in[3,+\infty).
    a=m⋅(−m)−6−2=m2+62≥3, deci a∈[3,+∞)\displaystyle a=\frac{m\cdot(-m)-6}{-2}=\frac{m^2+6}{2}\ge 3\text{, deci }a\in[3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2+4x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x^2+4x+1).

Arătați că f′(x)=ex(x+5)(x+1)\displaystyle f'(x)=e^x(x+5)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este produsul a două funcții derivabile, u(x)=ex\displaystyle u(x)=e^{x} și v(x)=x2+4x+1\displaystyle v(x)=x^{2}+4x+1. Aplicăm formula (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(ex)′(x2+4x+1)+ex(x2+4x+1)′\displaystyle f'(x)=(e^{x})'(x^{2}+4x+1)+e^{x}(x^{2}+4x+1)'
  2. Avem (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x} și (x2+4x+1)′=2x+4\displaystyle (x^{2}+4x+1)'=2x+4. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=ex(x2+4x+1)+ex(2x+4)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}+4x+1)+e^{x}(2x+4)
  3. Dăm factor comun pe ex\displaystyle e^{x} și adunăm termenii asemenea din paranteză: x2+4x+1+2x+4\displaystyle x^{2}+4x+1+2x+4.
    f′(x)=ex(x2+6x+5)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}+6x+5)
  4. Descompunem trinomul x2+6x+5\displaystyle x^{2}+6x+5 în factori: căutăm două numere cu suma 6\displaystyle 6 și produsul 5\displaystyle 5, adică 1\displaystyle 1 și 5\displaystyle 5. Verificăm: (x+5)(x+1)=x2+x+5x+5=x2+6x+5\displaystyle (x+5)(x+1)=x^{2}+x+5x+5=x^{2}+6x+5. Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex(x2+6x+5)=ex(x+5)(x+1)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}+6x+5)=e^{x}(x+5)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2+4x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x^2+4x+1).

Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f, în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic într-un punct de abscisă x0\displaystyle x_0 are panta egală cu f′(x0)\displaystyle f'(x_0). Axa Ox\displaystyle Ox are panta zero, deci tangenta este paralelă cu Ox\displaystyle Ox exact când f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0.
    f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0
  2. Calculăm derivata funcției cu regula de derivare a produsului: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, iar (x2+4x+1)′=2x+4\displaystyle (x^2+4x+1)'=2x+4.
    f′(x)=ex(x2+4x+1)+ex(2x+4)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+4x+1)+e^x(2x+4)
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii asemenea din paranteză.
    f′(x)=ex(x2+6x+5)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+6x+5)
  4. Descompunem trinomul x2+6x+5\displaystyle x^2+6x+5. Căutăm două numere cu suma 6\displaystyle 6 și produsul 5\displaystyle 5, adică 1\displaystyle 1 și 5\displaystyle 5. Scriem condiția f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0.
    ex0(x0+5)(x0+1)=0\displaystyle e^{x_0}(x_0+5)(x_0+1)=0
  5. Deoarece ex0>0\displaystyle e^{x_0}>0, produsul este zero doar când unul dintre ceilalți factori este zero. Obținem două abscise.
    x0=−5 sau x0=−1\displaystyle x_0=-5\text{ sau }x_0=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2+4x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x^2+4x+1).

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are exact trei soluții reale.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata cu formula produsului: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (x2+4x+1)′=2x+4\displaystyle (x^2+4x+1)'=2x+4. Obținem f′(x)=ex(x2+4x+1+2x+4)=ex(x2+6x+5)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+4x+1+2x+4)=e^x(x^2+6x+5), care se descompune în factori.
    f′(x)=ex(x+1)(x+5)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x+1)(x+5)
  2. Deoarece ex>0\displaystyle e^x>0, semnul lui f′\displaystyle f' este dat de (x+1)(x+5)\displaystyle (x+1)(x+5). Rădăcinile sunt x=−5\displaystyle x=-5 și x=−1\displaystyle x=-1. Funcția f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,−5)\displaystyle (-\infty,-5), descrescătoare pe (−5,−1)\displaystyle (-5,-1) și crescătoare pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    x=−5 punct de maxim local, x=−1 punct de minim local\displaystyle x=-5\text{ punct de maxim local, }x=-1\text{ punct de minim local}
  3. Calculăm valorile în punctele critice: f(−5)=e−5(25−20+1)=6e5\displaystyle f(-5)=e^{-5}(25-20+1)=\dfrac{6}{e^5} și f(−1)=e−1(1−4+1)=−2e\displaystyle f(-1)=e^{-1}(1-4+1)=-\dfrac{2}{e}. Pentru limite, lim⁡x→−∞ex(x2+4x+1)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x(x^2+4x+1)=0, deoarece exponențiala tinde la 0 mai repede decât crește polinomul, iar lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, f(−5)=6e5\displaystyle \ f(-5)=\frac{6}{e^5}, f(−1)=−2e\displaystyle \ f(-1)=-\frac{2}{e}, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  4. Stabilim mulțimea valorilor pe fiecare interval de monotonie. Pe (−∞,−5)\displaystyle (-\infty,-5), f\displaystyle f crește de la 0\displaystyle 0 la 6e5\displaystyle \dfrac{6}{e^5} și ia valorile din (0,6e5)\displaystyle \left(0,\dfrac{6}{e^5}\right). Pe (−5,−1)\displaystyle (-5,-1), f\displaystyle f scade de la 6e5\displaystyle \dfrac{6}{e^5} la −2e\displaystyle -\dfrac{2}{e}. Pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), f\displaystyle f crește de la −2e\displaystyle -\dfrac{2}{e} la +∞\displaystyle +\infty.
    f((−∞,−5))=(0,6e5)\displaystyle f\left((-\infty,-5)\right)=\left(0,\frac{6}{e^5}\right), f((−5,−1))=(−2e,6e5)\displaystyle \ f\left((-5,-1)\right)=\left(-\frac{2}{e},\frac{6}{e^5}\right), f((−1,+∞))=(−2e,+∞)\displaystyle \ f\left((-1,+\infty)\right)=\left(-\frac{2}{e},+\infty\right)
  5. Numărăm soluțiile ecuației f(x)=a\displaystyle f(x)=a. Pentru a∈(0,6e5)\displaystyle a\in\left(0,\dfrac{6}{e^5}\right), valoarea a\displaystyle a aparține celor trei mulțimi de valori, deci ecuația are câte o soluție pe fiecare interval, adică exact trei soluții. Pentru a=0\displaystyle a=0, pe primul interval nu există soluție, deoarece 0\displaystyle 0 nu este atins, deci sunt doar două soluții. Pentru a=6e5\displaystyle a=\dfrac{6}{e^5}, avem x=−5\displaystyle x=-5 și o soluție pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), deci două soluții. Pentru a>6e5\displaystyle a>\dfrac{6}{e^5} avem o singură soluție, iar pentru a<0\displaystyle a<0 cel mult două.
    trei soluții  ⟺  a∈(0,6e5)\displaystyle \text{trei soluții}\iff a\in\left(0,\frac{6}{e^5}\right)
  6. Concluzie: ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are exact trei soluții reale când a∈(0,6e5)\displaystyle a\in\left(0,\dfrac{6}{e^5}\right).
    a∈(0,6e5)\displaystyle a\in\left(0,\frac{6}{e^5}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{\ln x}.

Arătați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este strict crescătoare pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=1ln⁡x\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{1}{\ln x}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
  2. Pentru x>1\displaystyle x>1, logaritmul natural este strict pozitiv, deoarece ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    x>1⇒ln⁡x>ln⁡1=0\displaystyle x>1\Rightarrow \ln x>\ln 1=0
  3. Inversul unui număr strict pozitiv este strict pozitiv, deci F′(x)=1ln⁡x>0\displaystyle F'(x)=\dfrac{1}{\ln x}>0 pe tot intervalul. Prin urmare F\displaystyle F este strict crescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    F′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞), deci F este strict cresca˘toare\displaystyle F'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\text{, deci }F\text{ este strict crescătoare}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{\ln x}.

Calculați ∫ee21xf(x) dx\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{1}{x}f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\ln x} în integrală și obținem integrala unei fracții cu xln⁡x\displaystyle x\ln x la numitor.
    ∫ee21xf(x) dx=∫ee21x⋅1ln⁡x dx=∫ee21xln⁡x dx\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{1}{x}f(x)\,dx=\int_e^{e^2}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}\,dx=\int_e^{e^2}\frac{1}{x\ln x}\,dx
  2. Observăm că (ln⁡(ln⁡x))′=1ln⁡x⋅(ln⁡x)′=1ln⁡x⋅1x\displaystyle (\ln(\ln x))'=\dfrac{1}{\ln x}\cdot(\ln x)'=\dfrac{1}{\ln x}\cdot\dfrac{1}{x}, deci ln⁡(ln⁡x)\displaystyle \ln(\ln x) este o primitivă a funcției de integrat pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫ee21x⋅1ln⁡x dx=ln⁡(ln⁡x)∣ee2\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}\,dx=\ln(\ln x)\Big|_e^{e^2}
  3. Calculăm valorile la capete: ln⁡(e2)=2\displaystyle \ln(e^2)=2 și ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci ln⁡(ln⁡e2)=ln⁡2\displaystyle \ln(\ln e^2)=\ln 2 și ln⁡(ln⁡e)=ln⁡1=0\displaystyle \ln(\ln e)=\ln 1=0.
    ln⁡(ln⁡e2)−ln⁡(ln⁡e)=ln⁡2−ln⁡1\displaystyle \ln(\ln e^2)-\ln(\ln e)=\ln 2-\ln 1
  4. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem valoarea integralei.
    ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle \ln 2-\ln 1=\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{\ln x}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>e\displaystyle a>e, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(1,+∞)→R\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=1f(x)\displaystyle g(x)=\frac{1}{f(x)}, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=e\displaystyle x=e și x=a\displaystyle x=a are aria egală cu 2a\displaystyle 2a.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece f(x)=1ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\ln x}, rezultă g(x)=1f(x)=ln⁡x\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{f(x)}=\ln x.
    g(x)=ln⁡x\displaystyle g(x)=\ln x
  2. Pentru x≥e\displaystyle x\ge e avem ln⁡x≥1>0\displaystyle \ln x\ge 1>0, deci ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x). Aria este A=∫ea∣g(x)∣ dx=∫ealn⁡x dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_e^a |g(x)|\,dx=\int_e^a \ln x\,dx.
    A=∫ealn⁡x dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_e^a \ln x\,dx
  3. Integrăm prin părți cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=dx\displaystyle dv=dx, deci du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx și v=x\displaystyle v=x. Obținem ∫ealn⁡x dx=xln⁡x∣ea−∫eax⋅1x dx=xln⁡x∣ea−∫ea1 dx\displaystyle \int_e^a \ln x\,dx=x\ln x\Big|_e^a-\int_e^a x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=x\ln x\Big|_e^a-\int_e^a 1\,dx.
    ∫ealn⁡x dx=xln⁡x∣ea−x∣ea\displaystyle \int_e^a \ln x\,dx=x\ln x\Big|_e^a-x\Big|_e^a
  4. Aplicăm limitele, folosind ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1: A=(aln⁡a−eln⁡e)−(a−e)=aln⁡a−e−a+e\displaystyle \mathcal{A}=(a\ln a-e\ln e)-(a-e)=a\ln a-e-a+e. Termenii cu e\displaystyle e se reduc.
    A=aln⁡a−a\displaystyle \mathcal{A}=a\ln a-a
  5. Din condiția A=2a\displaystyle \mathcal{A}=2a obținem ecuația aln⁡a−a=2a\displaystyle a\ln a-a=2a, adică aln⁡a=3a\displaystyle a\ln a=3a.
    aln⁡a=3a\displaystyle a\ln a=3a
  6. Cum a>e>0\displaystyle a>e>0, împărțim la a\displaystyle a și obținem ln⁡a=3\displaystyle \ln a=3, deci a=e3\displaystyle a=e^{3}. Valoarea convine, deoarece e3>e\displaystyle e^{3}>e.
    a=e3\displaystyle a=e^{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.