Bac matematică M1 mate-info 2022, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 5(1+2i)−2i(5−i)=3\displaystyle 5(1+2i)-2i(5-i)=3, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem prima paranteză: înmulțim 5\displaystyle 5 cu fiecare termen din 1+2i\displaystyle 1+2i.
    5(1+2i)=5+10i\displaystyle 5(1+2i)=5+10i
  2. Desfacem a doua paranteză: înmulțim −2i\displaystyle -2i cu fiecare termen din 5−i\displaystyle 5-i. Produsul dintre −2i\displaystyle -2i și −i\displaystyle -i dă +2i2\displaystyle +2i^{2}.
    −2i(5−i)=−10i+2i2\displaystyle -2i(5-i)=-10i+2i^{2}
  3. Scriem expresia completă, cu parantezele desfăcute.
    5+10i−10i+2i2\displaystyle 5+10i-10i+2i^{2}
  4. Reducem termenii cu i\displaystyle i: 10i−10i=0\displaystyle 10i-10i=0. Apoi înlocuim i2\displaystyle i^{2} cu −1\displaystyle -1.
    5+2⋅(−1)\displaystyle 5+2\cdot(-1)
  5. Calculăm: 5−2=3\displaystyle 5-2=3, deci egalitatea este demonstrată.
    5+2⋅(−1)=3\displaystyle 5+2\cdot(-1)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x−3\displaystyle f(x)=x^2-2x-3. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=1+a2\displaystyle f(a)=1+a^2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=a\displaystyle x=a în f(x)=x2−2x−3\displaystyle f(x)=x^{2}-2x-3 și obținem f(a)=a2−2a−3\displaystyle f(a)=a^{2}-2a-3.
    f(a)=a2−2a−3\displaystyle f(a)=a^{2}-2a-3
  2. Condiția din enunț este f(a)=1+a2\displaystyle f(a)=1+a^{2}, deci scriem ecuația în a\displaystyle a.
    a2−2a−3=1+a2\displaystyle a^{2}-2a-3=1+a^{2}
  3. Scădem a2\displaystyle a^{2} din ambele părți, apoi adunăm 3\displaystyle 3 la ambele părți: −2a=1+3\displaystyle -2a=1+3.
    −2a=4\displaystyle -2a=4
  4. Împărțim ecuația −2a=4\displaystyle -2a=4 la −2\displaystyle -2 și găsim a=−2\displaystyle a=-2.
    a=−2\displaystyle a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x2+1)=2\displaystyle \log_3\left(2x^2+1\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Expresia 2x2+1≥1>0\displaystyle 2x^{2}+1\geq 1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci condiția este îndeplinită pentru orice număr real.
    2x2+1>0\displaystyle 2x^{2}+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Trecem de la forma logaritmică la cea exponențială: log⁡3a=2\displaystyle \log_3 a=2 înseamnă a=32\displaystyle a=3^{2}. Obținem 2x2+1=32\displaystyle 2x^{2}+1=3^{2}.
    2x2+1=32=9\displaystyle 2x^{2}+1=3^{2}=9
  3. Scădem 1 din ambii membri: 2x2=8\displaystyle 2x^{2}=8. Împărțim la 2 și obținem ecuația x2−4=0\displaystyle x^{2}-4=0.
    x2−4=0\displaystyle x^{2}-4=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: (x−2)(x+2)=0\displaystyle (x-2)(x+2)=0. Rezultă x=−2\displaystyle x=-2 sau x=2\displaystyle x=2. Ambele valori sunt reale și convin, deoarece condiția de existență este valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x=−2 sau x=2, care convin\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci sunt 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90 de numere.
    90\displaystyle 90
  2. Cifrele impare sunt 1,3,5,7,9\displaystyle 1,3,5,7,9, adică 5\displaystyle 5 cifre. Cifra zecilor poate fi aleasă în 5\displaystyle 5 moduri.
    5\displaystyle 5
  3. Cifra unităților trebuie să fie impară și diferită de cifra zecilor, deci rămân 4\displaystyle 4 alegeri. Numărul cazurilor favorabile este 5⋅4=20\displaystyle 5\cdot 4=20.
    5⋅4=20\displaystyle 5\cdot 4=20
  4. Aplicăm formula probabilității, p=cazuri favorabilecazuri posibile=2090\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{20}{90}, și simplificăm fracția prin 10\displaystyle 10.
    p=2090=29\displaystyle p=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,0)\displaystyle A(2,0), B(1,6)\displaystyle B(1,6) și C(4,2)\displaystyle C(4,2). Determinați coordonatele punctului D\displaystyle D, știind că AB→=DC→\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.
Vezi rezolvarea
  1. Egalitatea AB→=DC→\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} spune că segmentele AB\displaystyle AB și DC\displaystyle DC sunt paralele, au aceeași lungime și același sens. Deci patrulaterul ABCD\displaystyle ABCD este paralelogram, iar diagonalele lui AC\displaystyle AC și BD\displaystyle BD au același mijloc.
    AB→=DC→⇒ABCD paralelogram\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow ABCD\text{ paralelogram}
  2. Calculăm coordonatele mijlocului M\displaystyle M al diagonalei AC\displaystyle AC, cu A(2,0)\displaystyle A(2,0) și C(4,2)\displaystyle C(4,2): media aritmetică a absciselor și media aritmetică a ordonatelor.
    M(2+42,0+22)=M(3,1)\displaystyle M\left(\dfrac{2+4}{2},\dfrac{0+2}{2}\right)=M(3,1)
  3. Notăm D(x,y)\displaystyle D(x,y). Mijlocul lui BD\displaystyle BD, cu B(1,6)\displaystyle B(1,6), trebuie să fie același punct M(3,1)\displaystyle M(3,1). Scriem cele două egalități pentru coordonate.
    1+x2=3\displaystyle \dfrac{1+x}{2}=3,6+y2=1\displaystyle \quad \dfrac{6+y}{2}=1
  4. Rezolvăm ecuațiile: 1+x=6\displaystyle 1+x=6, deci x=5\displaystyle x=5, și 6+y=2\displaystyle 6+y=2, deci y=−4\displaystyle y=-4. Verificare: AB→=(−1,6)\displaystyle \overrightarrow{AB}=(-1,6), iar DC→=(4−5, 2−(−4))=(−1,6)\displaystyle \overrightarrow{DC}=(4-5,\,2-(-4))=(-1,6), deci cei doi vectori sunt egali. Punctul căutat este D(5,−4)\displaystyle D(5,-4).
    D(5,−4)\displaystyle D(5,-4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, astfel încât BC=10\displaystyle BC=10 și sin⁡B=2sin⁡C\displaystyle \sin B=2\sin C. Arătați că lungimea laturii AB\displaystyle AB este egală cu 25\displaystyle 2\sqrt{5}.
Vezi rezolvarea
  1. În triunghiul dreptunghic în A\displaystyle A, ipotenuza este BC\displaystyle BC. Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, deci sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC} și sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}.
    sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}, sin⁡C=ABBC\displaystyle \ \sin C=\frac{AB}{BC}
  2. Înlocuim în relația sin⁡B=2sin⁡C\displaystyle \sin B=2\sin C și obținem ACBC=2⋅ABBC\displaystyle \dfrac{AC}{BC}=2\cdot\dfrac{AB}{BC}. Simplificăm cu BC\displaystyle BC (numitor comun) și rezultă AC=2AB\displaystyle AC=2AB.
    AC=2AB\displaystyle AC=2AB
  3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC\displaystyle ABC: AB2+AC2=BC2=102=100\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}=10^{2}=100.
    AB2+AC2=100\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=100
  4. Înlocuim AC=2AB\displaystyle AC=2AB: AB2+(2AB)2=100\displaystyle AB^{2}+(2AB)^{2}=100, adică 5AB2=100\displaystyle 5AB^{2}=100.
    5AB2=100\displaystyle 5AB^{2}=100
  5. Împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem AB2=20\displaystyle AB^{2}=20. Cum AB>0\displaystyle AB>0, avem AB=20=4⋅5=25\displaystyle AB=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}.
    AB=25\displaystyle AB=2\sqrt{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și A(x)=(x+1−x0x1−x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x&0\\x&1-x&0\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): primul rând devine 1+1, −1, 0\displaystyle 1+1,\ -1,\ 0; al doilea rând devine 1, 1−1, 0\displaystyle 1,\ 1-1,\ 0; al treilea rând rămâne 0, 0, 1\displaystyle 0,\ 0,\ 1.
    A(1)=(2−10100001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1) cu regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 2⋅0⋅1\displaystyle 2\cdot 0\cdot 1, (−1)⋅0⋅0\displaystyle (-1)\cdot 0\cdot 0 și 0⋅1⋅0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 0, toate egale cu 0\displaystyle 0.
    det⁡(A(1))=∣2−10100001∣=2⋅0⋅1+(−1)⋅0⋅0+0⋅1⋅0−…\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}=2\cdot 0\cdot 1+(-1)\cdot 0\cdot 0+0\cdot 1\cdot 0-\ldots
  3. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 0⋅0⋅0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0, 2⋅0⋅0\displaystyle 2\cdot 0\cdot 0 și (−1)⋅1⋅1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 1. Primele două sunt 0\displaystyle 0, iar al treilea este −1\displaystyle -1. Acestea se scad din suma anterioară, deci scăderea lui −1\displaystyle -1 dă +1\displaystyle +1.
    det⁡(A(1))=0+0+0−0−0−(−1)=1\displaystyle \det(A(1))=0+0+0-0-0-(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și A(x)=(x+1−x0x1−x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x&0\\x&1-x&0\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că (A(x)−I3)(A(x)−I3)=O3\displaystyle (A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem matricea unitate I3\displaystyle I_3 din A(x)\displaystyle A(x), element cu element: pe diagonala principală scădem 1\displaystyle 1, în rest nu se schimbă nimic.
    A(x)−I3=(x+1−1−x0x1−x−10001−1)\displaystyle A(x)-I_3=\begin{pmatrix}x+1-1&-x&0\\x&1-x-1&0\\0&0&1-1\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele din matrice și notăm B=A(x)−I3\displaystyle B=A(x)-I_3. Obținem o matrice cu două coloane opuse și ultima linie nulă.
    B=A(x)−I3=(x−x0x−x0000)\displaystyle B=A(x)-I_3=\begin{pmatrix}x&-x&0\\x&-x&0\\0&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B, înmulțind fiecare linie cu fiecare coloană. Prima linie a lui B\displaystyle B este (x, −x, 0)\displaystyle (x,\,-x,\,0), iar coloanele lui B\displaystyle B sunt (x, x, 0)T\displaystyle (x,\,x,\,0)^T, (−x, −x, 0)T\displaystyle (-x,\,-x,\,0)^T și (0, 0, 0)T\displaystyle (0,\,0,\,0)^T. De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este x⋅x+(−x)⋅x+0⋅0=x2−x2\displaystyle x\cdot x+(-x)\cdot x+0\cdot 0=x^2-x^2.
    B⋅B=(x⋅x+(−x)⋅xx⋅(−x)+(−x)⋅(−x)0x⋅x+(−x)⋅xx⋅(−x)+(−x)⋅(−x)0000)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}x\cdot x+(-x)\cdot x&x\cdot(-x)+(-x)\cdot(-x)&0\\x\cdot x+(-x)\cdot x&x\cdot(-x)+(-x)\cdot(-x)&0\\0&0&0\end{pmatrix}
  4. Scriem elementele cu pătrate; a doua linie dă aceleași rezultate ca prima, iar ultima linie și ultima coloană sunt nule. Reducem termenii opuși: x2−x2=0\displaystyle x^2-x^2=0 și −x2+x2=0\displaystyle -x^2+x^2=0. Deci (A(x)−I3)(A(x)−I3)=O3\displaystyle (A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3 pentru orice x\displaystyle x real.
    (x2−x2−x2+x20x2−x2−x2+x20000)=(000000000)=O3\displaystyle \begin{pmatrix}x^2-x^2&-x^2+x^2&0\\x^2-x^2&-x^2+x^2&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și A(x)=(x+1−x0x1−x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x&0\\x&1-x&0\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(x)=xA(x)−(x−1)I3\displaystyle A(x)\cdot A(x)=xA(x)-(x-1)I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x), înmulțind linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (x+1)2−x2=2x+1\displaystyle (x+1)^2-x^2=2x+1, iar cel de pe linia 1, coloana 2 este −x(x+1)−x(1−x)=−2x\displaystyle -x(x+1)-x(1-x)=-2x. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este 2x\displaystyle 2x, iar cel de pe linia 2, coloana 2 este −x2+(1−x)2=1−2x\displaystyle -x^2+(1-x)^2=1-2x. Elementul de pe linia 3, coloana 3 este 1\displaystyle 1, iar restul sunt 0\displaystyle 0.
    A(x)⋅A(x)=(2x+1−2x02x1−2x0001)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&-2x&0\\2x&1-2x&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Observăm că această matrice este chiar 2A(x)−I3\displaystyle 2A(x)-I_3: dublăm elementele lui A(x)\displaystyle A(x) și scădem 1\displaystyle 1 de pe diagonală, adică 2(x+1)−1=2x+1\displaystyle 2(x+1)-1=2x+1, 2(1−x)−1=1−2x\displaystyle 2(1-x)-1=1-2x și 2⋅1−1=1\displaystyle 2\cdot 1-1=1. Deci A(x)⋅A(x)=2A(x)−I3\displaystyle A(x)\cdot A(x)=2A(x)-I_3.
    A(x)⋅A(x)=2A(x)−I3\displaystyle A(x)\cdot A(x)=2A(x)-I_3
  3. Înlocuim A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x) în ecuația dată. Obținem 2A(x)−I3=xA(x)−(x−1)I3\displaystyle 2A(x)-I_3=xA(x)-(x-1)I_3.
    2A(x)−I3=xA(x)−(x−1)I3\displaystyle 2A(x)-I_3=xA(x)-(x-1)I_3
  4. Mutăm toți termenii în partea stângă și grupăm după A(x)\displaystyle A(x) și I3\displaystyle I_3. Rezultă (2−x)A(x)+(x−2)I3=O3\displaystyle (2-x)A(x)+(x-2)I_3=O_3. Scoatem factor comun 2−x\displaystyle 2-x și obținem (2−x)(A(x)−I3)=O3\displaystyle (2-x)(A(x)-I_3)=O_3.
    (2−x)(A(x)−I3)=O3\displaystyle (2-x)\left(A(x)-I_3\right)=O_3
  5. Scriem matricea A(x)−I3\displaystyle A(x)-I_3, scăzând 1\displaystyle 1 de pe diagonala principală. Obținem o matrice cu liniile 1 și 2 egale cu (x, −x, 0)\displaystyle (x,\,-x,\,0) și linia 3 nulă.
    A(x)−I3=(x−x0x−x0000)\displaystyle A(x)-I_3=\begin{pmatrix}x&-x&0\\x&-x&0\\0&0&0\end{pmatrix}
  6. Produsul dintre scalarul 2−x\displaystyle 2-x și matricea A(x)−I3\displaystyle A(x)-I_3 este matricea nulă dacă 2−x=0\displaystyle 2-x=0 sau dacă A(x)−I3=O3\displaystyle A(x)-I_3=O_3. Prima condiție dă x=2\displaystyle x=2. A doua condiție înseamnă că toate elementele matricei sunt 0\displaystyle 0, ceea ce se întâmplă exact pentru x=0\displaystyle x=0. Deci soluțiile sunt x=0\displaystyle x=0 și x=2\displaystyle x=2.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)2−2(x−y)−3\displaystyle x*y=(x+y)^2-2(x-y)-3.

Arătați că 0∗2=5\displaystyle 0*2=5.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii de compoziție pentru x=0\displaystyle x=0 și y=2\displaystyle y=2, adică înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 și y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2 în expresia (x+y)2−2(x−y)−3\displaystyle (x+y)^2-2(x-y)-3.
    0∗2=(0+2)2−2(0−2)−3\displaystyle 0*2=(0+2)^2-2(0-2)-3
  2. Calculăm separat fiecare termen: (0+2)2=22=4\displaystyle (0+2)^2=2^2=4, iar 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2, deci −2⋅(−2)=4\displaystyle -2\cdot(-2)=4.
    (0+2)2=4\displaystyle (0+2)^2=4,−2(0−2)=4\displaystyle \quad -2(0-2)=4
  3. Adunăm termenii obținuți: 4+4−3=5\displaystyle 4+4-3=5, deci 0∗2=5\displaystyle 0*2=5, așa cum se cerea.
    0∗2=4+4−3=5\displaystyle 0*2=4+4-3=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)2−2(x−y)−3\displaystyle x*y=(x+y)^2-2(x-y)-3.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(x+1)=8\displaystyle x*(x+1)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm legea de compoziție pentru y=x+1\displaystyle y=x+1. Suma este x+(x+1)=2x+1\displaystyle x+(x+1)=2x+1, iar diferența este x−(x+1)=−1\displaystyle x-(x+1)=-1.
    x∗(x+1)=(2x+1)2−2⋅(−1)−3\displaystyle x*(x+1)=(2x+1)^2-2\cdot(-1)-3
  2. Dezvoltăm pătratul: (2x+1)2=4x2+4x+1\displaystyle (2x+1)^2=4x^2+4x+1. Atunci x∗(x+1)=4x2+4x+1+2−3\displaystyle x*(x+1)=4x^2+4x+1+2-3, iar termenii liberi se reduc.
    x∗(x+1)=4x2+4x\displaystyle x*(x+1)=4x^2+4x
  3. Egalăm cu 8\displaystyle 8: 4x2+4x=8\displaystyle 4x^2+4x=8. Împărțim ecuația la 4\displaystyle 4 și mutăm totul în membrul stâng.
    4x2+4x=8⇔x2+x−2=0\displaystyle 4x^2+4x=8\Leftrightarrow x^2+x-2=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul II. Discriminantul este Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci x=−1±32\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 3}{2}. Echivalent, x2+x−2=(x+2)(x−1)\displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1).
    x=−2 sau x=1\displaystyle x=-2\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)2−2(x−y)−3\displaystyle x*y=(x+y)^2-2(x-y)-3. Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m∗n=2mn\displaystyle m*n=2mn.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția m∗n=2mn\displaystyle m*n=2mn folosind definiția legii, cu x=m\displaystyle x=m și y=n\displaystyle y=n: (m+n)2−2(m−n)−3=2mn\displaystyle (m+n)^2-2(m-n)-3=2mn.
    (m+n)2−2(m−n)−3=2mn\displaystyle (m+n)^2-2(m-n)-3=2mn
  2. Desfacem (m+n)2=m2+2mn+n2\displaystyle (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 și reducem termenii 2mn\displaystyle 2mn din cele două părți. Rămâne m2+n2−2m+2n−3=0\displaystyle m^2+n^2-2m+2n-3=0.
    m2+n2−2m+2n−3=0\displaystyle m^2+n^2-2m+2n-3=0
  3. Trecem −3\displaystyle -3 în dreapta, ca să obținem m2+n2−2m+2n=3\displaystyle m^2+n^2-2m+2n=3. Apoi adăugăm 2\displaystyle 2 în ambele părți, ca să formăm (m−1)2=m2−2m+1\displaystyle (m-1)^2=m^2-2m+1 și (n+1)2=n2+2n+1\displaystyle (n+1)^2=n^2+2n+1. Obținem (m−1)2+(n+1)2=5\displaystyle (m-1)^2+(n+1)^2=5.
    (m−1)2+(n+1)2=5\displaystyle (m-1)^2+(n+1)^2=5
  4. Cum n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, avem n+1≥1\displaystyle n+1\geq 1, deci (n+1)2∈{1,4}\displaystyle (n+1)^2\in\{1,4\}, singurele pătrate perfecte nenule cel mult egale cu 5\displaystyle 5.
    (n+1)2∈{1,4}\displaystyle (n+1)^2\in\{1,4\}
  5. Cazul (n+1)2=1\displaystyle (n+1)^2=1: atunci n=0\displaystyle n=0 și (m−1)2=4\displaystyle (m-1)^2=4, deci m=3\displaystyle m=3 sau m=−1\displaystyle m=-1. Doar m=3\displaystyle m=3 este natural, deci perechea este (3,0)\displaystyle (3,0).
    n=0\displaystyle n=0, m=3⇒(3,0)\displaystyle \ m=3\Rightarrow (3,0)
  6. Cazul (n+1)2=4\displaystyle (n+1)^2=4: atunci n=1\displaystyle n=1 și (m−1)2=1\displaystyle (m-1)^2=1, deci m−1=±1\displaystyle m-1=\pm 1, adică m=2\displaystyle m=2 sau m=0\displaystyle m=0. Ambele sunt naturale, deci perechile sunt (2,1)\displaystyle (2,1) și (0,1)\displaystyle (0,1).
    n=1\displaystyle n=1, m∈{0,2}⇒(0,1)\displaystyle \ m\in\{0,2\}\Rightarrow (0,1), (2,1)\displaystyle \ (2,1)
  7. Adunăm soluțiile din cele două cazuri. Perechile cerute sunt (0,1)\displaystyle (0,1), (2,1)\displaystyle (2,1) și (3,0)\displaystyle (3,0).
    (m,n)∈{(0,1), (2,1), (3,0)}\displaystyle (m,n)\in\{(0,1),\ (2,1),\ (3,0)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−5x+10)x\displaystyle f(x)=\left(x^2-5x+10\right)\sqrt{x}.

Arătați că f′(x)=5(x2−3x+2)2x\displaystyle f'(x)=\frac{5\left(x^2-3x+2\right)}{2\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de două funcții: u(x)=x2−5x+10\displaystyle u(x)=x^{2}-5x+10 și v(x)=x\displaystyle v(x)=\sqrt{x}. Aplicăm formula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x2−5x+10)′⋅x+(x2−5x+10)⋅(x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}-5x+10\right)'\cdot\sqrt{x}+\left(x^{2}-5x+10\right)\cdot\left(\sqrt{x}\right)'
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=2x−5\displaystyle u'(x)=2x-5, iar (x)′=12x\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=(2x−5)x+(x2−5x+10)⋅12x\displaystyle f'(x)=(2x-5)\sqrt{x}+\left(x^{2}-5x+10\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}
  3. Aducem la același numitor 2x\displaystyle 2\sqrt{x}: amplificăm primul termen cu 2x\displaystyle 2\sqrt{x} și folosim faptul că x⋅x=x\displaystyle \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x.
    f′(x)=2x(2x−5)+x2−5x+102x\displaystyle f'(x)=\frac{2x(2x-5)+x^{2}-5x+10}{2\sqrt{x}}
  4. Desfacem parantezele la numărător și reducem termenii asemenea: 4x2−10x+x2−5x+10=5x2−15x+10\displaystyle 4x^{2}-10x+x^{2}-5x+10=5x^{2}-15x+10.
    f′(x)=5x2−15x+102x\displaystyle f'(x)=\frac{5x^{2}-15x+10}{2\sqrt{x}}
  5. Dăm factor comun 5\displaystyle 5 la numărător și obținem forma cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=5(x2−3x+2)2x\displaystyle f'(x)=\frac{5\left(x^{2}-3x+2\right)}{2\sqrt{x}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−5x+10)x\displaystyle f(x)=\left(x^2-5x+10\right)\sqrt{x}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs între x2−5x+10\displaystyle x^{2}-5x+10 și x\displaystyle \sqrt{x}, deci derivăm cu formula produsului. Derivata lui x\displaystyle \sqrt{x} este 12x\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    f′(x)=(2x−5)x+x2−5x+102x\displaystyle f'(x)=(2x-5)\sqrt{x}+\dfrac{x^{2}-5x+10}{2\sqrt{x}}
  2. Aducem la același numitor, 2x\displaystyle 2\sqrt{x}. Pentru primul termen amplificăm cu 2x\displaystyle 2\sqrt{x}, iar x⋅x=x\displaystyle \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x. Apoi reducem termenii asemenea și dăm factor comun 5\displaystyle 5.
    f′(x)=2x(2x−5)+x2−5x+102x=5x2−15x+102x=5(x2−3x+2)2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(2x-5)+x^{2}-5x+10}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^{2}-15x+10}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5\left(x^{2}-3x+2\right)}{2\sqrt{x}}
  3. Pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) numitorul 2x\displaystyle 2\sqrt{x} este strict pozitiv, deci derivata se anulează doar când x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0. Ecuația se descompune în (x−1)(x−2)=0\displaystyle (x-1)(x-2)=0.
    f′(x)=0⇔x2−3x+2=0⇔x=1 sau x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=2
  4. Semnul derivei este dat de semnul produsului (x−1)(x−2)\displaystyle (x-1)(x-2), pentru că 5\displaystyle 5 și 2x\displaystyle 2\sqrt{x} sunt pozitive. Produsul este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele.
    f′(x)>0 pe (0,1)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(0,1),f′(x)<0 pe (1,2)\displaystyle \quad f'(x)<0\text{ pe }(1,2),f′(x)>0 pe (2,+∞)\displaystyle \quad f'(x)>0\text{ pe }(2,+\infty)
  5. Unde f′>0\displaystyle f'>0 funcția crește, iar unde f′<0\displaystyle f'<0 funcția scade. Funcția este continuă în 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, deci includem capetele în intervale.
    f cresca˘toare pe (0,1]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(0,1], f descresca˘toare pe [1,2]\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[1,2], f cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−5x+10)x\displaystyle f(x)=\left(x^2-5x+10\right)\sqrt{x}.

Arătați că lim⁡x→+∞(f(x)x2x)x5=1e\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{5}}=\frac{1}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)=(x2−5x+10)x\displaystyle f(x)=\left(x^2-5x+10\right)\sqrt{x}, deci x\displaystyle \sqrt{x} se simplifică în raport și obținem f(x)x2x=x2−5x+10x2\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}=\dfrac{x^2-5x+10}{x^2}.
    f(x)x2x=x2−5x+10x2\displaystyle \frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}=\frac{x^2-5x+10}{x^2}
  2. Scriem x2−5x+10x2=1+−5x+10x2\displaystyle \dfrac{x^2-5x+10}{x^2}=1+\dfrac{-5x+10}{x^2}. Cantitatea u=−5x+10x2\displaystyle u=\dfrac{-5x+10}{x^2} tinde la 0\displaystyle 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    x2−5x+10x2=1+−5x+10x2\displaystyle \frac{x^2-5x+10}{x^2}=1+\frac{-5x+10}{x^2},u=−5x+10x2→0\displaystyle \quad u=\frac{-5x+10}{x^2}\to 0
  3. Scriem x5=x2−5x+10⋅−5x+10x2⋅x5\displaystyle \dfrac{x}{5}=\dfrac{x^2}{-5x+10}\cdot\dfrac{-5x+10}{x^2}\cdot\dfrac{x}{5}, deci expresia devine o putere de forma (1+u)1/u\displaystyle \left(1+u\right)^{1/u}, ridicată la −5x+10x2⋅x5\displaystyle \dfrac{-5x+10}{x^2}\cdot\dfrac{x}{5}.
    lim⁡x→+∞(x2−5x+10x2)x5=lim⁡x→+∞((1+−5x+10x2)x2−5x+10)−5x+10x2⋅x5\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x+10}{x^2}\right)^{\frac{x}{5}}=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{-5x+10}{x^2}\right)^{\frac{x^2}{-5x+10}}\right)^{\frac{-5x+10}{x^2}\cdot\frac{x}{5}}
  4. Baza interioară (1+u)1/u\displaystyle \left(1+u\right)^{1/u} tinde la e\displaystyle e. Exponentul este −5x+10x2⋅x5=−5x+105x\displaystyle \dfrac{-5x+10}{x^2}\cdot\dfrac{x}{5}=\dfrac{-5x+10}{5x}.
    elim⁡x→+∞−5x+105x\displaystyle e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{-5x+10}{5x}}
  5. Avem lim⁡x→+∞−5x+105x=lim⁡x→+∞(−1+2x)=−1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-5x+10}{5x}=\lim_{x\to+\infty}\left(-1+\dfrac{2}{x}\right)=-1, deci limita este e−1=1e\displaystyle e^{-1}=\dfrac{1}{e}.
    e−1=1e\displaystyle e^{-1}=\frac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+ex+1ex+1\displaystyle f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}.

Arătați că ∫02(f(x)−1ex+1)dx=e2+1\displaystyle \int_0^2\left(f(x)-\frac{1}{e^x+1}\right)dx=e^2+1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) în integrand: f(x)−1ex+1=x+ex+1ex+1−1ex+1\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{e^{x}+1}=x+e^{x}+\dfrac{1}{e^{x}+1}-\dfrac{1}{e^{x}+1}.
    f(x)−1ex+1=x+ex+1ex+1−1ex+1\displaystyle f(x)-\frac{1}{e^{x}+1}=x+e^{x}+\frac{1}{e^{x}+1}-\frac{1}{e^{x}+1}
  2. Fracțiile se reduc, deci integrandul devine x+ex\displaystyle x+e^{x}, iar integrala devine ∫02(x+ex)dx\displaystyle \int_0^2\left(x+e^{x}\right)dx.
    ∫02(x+ex)dx\displaystyle \int_0^2\left(x+e^{x}\right)dx
  3. Aflăm o primitivă: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar o primitivă a lui ex\displaystyle e^{x} este ex\displaystyle e^{x}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫02(x+ex)dx=(x22+ex)∣02\displaystyle \int_0^2\left(x+e^{x}\right)dx=\left(\frac{x^{2}}{2}+e^{x}\right)\Big|_0^2
  4. Calculăm valoarea în 2\displaystyle 2: 222+e2=2+e2\displaystyle \dfrac{2^{2}}{2}+e^{2}=2+e^{2}. Calculăm valoarea în 0\displaystyle 0: 022+e0=1\displaystyle \dfrac{0^{2}}{2}+e^{0}=1.
    (2+e2)−1\displaystyle \left(2+e^{2}\right)-1
  5. Scădem valorile și obținem 2+e2−1=e2+1\displaystyle 2+e^{2}-1=e^{2}+1, ceea ce trebuia demonstrat.
    2+e2−1=e2+1\displaystyle 2+e^{2}-1=e^{2}+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+ex+1ex+1\displaystyle f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}.

Arătați că ∫−11ex(f(x)−x−ex)dx=1\displaystyle \int_{-1}^{1}e^x\left(f(x)-x-e^x\right)dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția funcției, f(x)−x−ex=1ex+1\displaystyle f(x)-x-e^x=\dfrac{1}{e^x+1}, deoarece termenii x\displaystyle x și ex\displaystyle e^x se reduc.
    f(x)−x−ex=1ex+1\displaystyle f(x)-x-e^x=\frac{1}{e^x+1}
  2. Înlocuim în integrală: ex(f(x)−x−ex)=exex+1\displaystyle e^x\left(f(x)-x-e^x\right)=\dfrac{e^x}{e^x+1}. Cum (ex+1)′=ex\displaystyle \left(e^x+1\right)'=e^x, fracția are forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} cu u=ex+1\displaystyle u=e^x+1.
    ∫−11exex+1dx=∫−11(ex+1)′ex+1dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{e^x}{e^x+1}dx=\int_{-1}^{1}\frac{\left(e^x+1\right)'}{e^x+1}dx
  3. O primitivă a lui u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} este ln⁡u\displaystyle \ln u. Cum ex+1>0\displaystyle e^x+1>0, obținem primitiva ln⁡(ex+1)\displaystyle \ln\left(e^x+1\right) și aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ln⁡(ex+1)∣−11\displaystyle \ln\left(e^x+1\right)\Big|_{-1}^{1}
  4. Calculăm la limite: ln⁡(e+1)−ln⁡(e−1+1)\displaystyle \ln(e+1)-\ln\left(e^{-1}+1\right). Avem e−1+1=1e+1=1+ee\displaystyle e^{-1}+1=\dfrac{1}{e}+1=\dfrac{1+e}{e}.
    ln⁡(e+1)−ln⁡1+ee\displaystyle \ln(e+1)-\ln\frac{1+e}{e}
  5. Folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}: ln⁡e+11+ee=ln⁡((e+1)⋅e1+e)=ln⁡e=1\displaystyle \ln\dfrac{e+1}{\frac{1+e}{e}}=\ln\left((e+1)\cdot\dfrac{e}{1+e}\right)=\ln e=1, ceea ce trebuia arătat.
    ln⁡(e+1)−ln⁡1+ee=ln⁡e=1\displaystyle \ln(e+1)-\ln\frac{1+e}{e}=\ln e=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+ex+1ex+1\displaystyle f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care ∫01x(f(x)+f(−x))dx=m2−2e\displaystyle \int_0^1x\left(f(x)+f(-x)\right)dx=\frac{m}{2}-\frac{2}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−x)\displaystyle f(-x) înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în expresia funcției: f(−x)=−x+e−x+1e−x+1\displaystyle f(-x)=-x+e^{-x}+\dfrac{1}{e^{-x}+1}.
    f(−x)=−x+e−x+1e−x+1\displaystyle f(-x)=-x+e^{-x}+\dfrac{1}{e^{-x}+1}
  2. Amplificăm fracția 1e−x+1\displaystyle \dfrac{1}{e^{-x}+1} cu ex\displaystyle e^x și obținem ex1+ex\displaystyle \dfrac{e^x}{1+e^x}. Atunci suma celor două fracții este 1+exex+1=1\displaystyle \dfrac{1+e^x}{e^x+1}=1. Termenii x\displaystyle x și −x\displaystyle -x se reduc, deci f(x)+f(−x)=ex+e−x+1\displaystyle f(x)+f(-x)=e^x+e^{-x}+1.
    f(x)+f(−x)=ex+e−x+1\displaystyle f(x)+f(-x)=e^x+e^{-x}+1
  3. Integrala devine ∫01x(ex+e−x+1)dx\displaystyle \int_0^1 x\left(e^x+e^{-x}+1\right)dx. Integrăm prin părți: alegem u=x\displaystyle u=x și dv=(ex+e−x+1)dx\displaystyle dv=\left(e^x+e^{-x}+1\right)dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex−e−x+x\displaystyle v=e^x-e^{-x}+x.
    ∫01x(ex+e−x+1)dx=x(ex−e−x+x)∣01−∫01(ex−e−x+x)dx\displaystyle \int_0^1x\left(e^x+e^{-x}+1\right)dx=x\left(e^x-e^{-x}+x\right)\Big|_0^1-\int_0^1\left(e^x-e^{-x}+x\right)dx
  4. Calculăm termenul tăiat: la x=1\displaystyle x=1 obținem e−1e+1\displaystyle e-\dfrac{1}{e}+1, iar la x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0.
    x(ex−e−x+x)∣01=e−1e+1\displaystyle x\left(e^x-e^{-x}+x\right)\Big|_0^1=e-\dfrac{1}{e}+1
  5. Calculăm integrala rămasă. O primitivă a lui ex−e−x+x\displaystyle e^x-e^{-x}+x este ex+e−x+x22\displaystyle e^x+e^{-x}+\dfrac{x^2}{2}. La 1\displaystyle 1 valoarea este e+1e+12\displaystyle e+\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{2}, la 0\displaystyle 0 este 2\displaystyle 2, deci integrala este e+1e−32\displaystyle e+\dfrac{1}{e}-\dfrac{3}{2}.
    ∫01(ex−e−x+x)dx=(ex+e−x+x22)∣01=e+1e−32\displaystyle \int_0^1\left(e^x-e^{-x}+x\right)dx=\left(e^x+e^{-x}+\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1=e+\dfrac{1}{e}-\dfrac{3}{2}
  6. Scădem cele două rezultate: e−1e+1−e−1e+32=52−2e\displaystyle e-\dfrac{1}{e}+1-e-\dfrac{1}{e}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}-\dfrac{2}{e}.
    ∫01x(f(x)+f(−x))dx=52−2e\displaystyle \int_0^1x\left(f(x)+f(-x)\right)dx=\dfrac{5}{2}-\dfrac{2}{e}
  7. Egalăm cu m2−2e\displaystyle \dfrac{m}{2}-\dfrac{2}{e}. Termenii cu 2e\displaystyle \dfrac{2}{e} se reduc, deci m2=52\displaystyle \dfrac{m}{2}=\dfrac{5}{2}, de unde m=5\displaystyle m=5.
    52−2e=m2−2e ⇒ m=5\displaystyle \dfrac{5}{2}-\dfrac{2}{e}=\dfrac{m}{2}-\dfrac{2}{e}\ \Rightarrow\ m=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.