Bac matematică M1 mate-info 2015, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=2+3i\displaystyle z_1 = 2+3i și z2=1−3i\displaystyle z_2 = 1-3i. Arătați că numărul z1+z2\displaystyle z_1+z_2 este real.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma celor două numere complexe, înlocuind pe z1\displaystyle z_1 cu 2+3i\displaystyle 2+3i și pe z2\displaystyle z_2 cu 1−3i\displaystyle 1-3i: z1+z2=(2+3i)+(1−3i)\displaystyle z_1+z_2=(2+3i)+(1-3i).
    z1+z2=(2+3i)+(1−3i)\displaystyle z_1+z_2=(2+3i)+(1-3i)
  2. Grupăm separat părțile reale și părțile imaginare: z1+z2=(2+1)+(3i−3i)\displaystyle z_1+z_2=(2+1)+(3i-3i).
    z1+z2=(2+1)+(3i−3i)\displaystyle z_1+z_2=(2+1)+(3i-3i)
  3. Calculăm: 2+1=3\displaystyle 2+1=3, iar 3i−3i=0\displaystyle 3i-3i=0, deci partea imaginară se anulează. Obținem z1+z2=3\displaystyle z_1+z_2=3, care este număr real.
    3, care este numa˘r real\displaystyle 3\text{, care este număr real}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați (f∘g)(1)\displaystyle (f\circ g)(1), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=3x\displaystyle g(x)=3x.
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea funcțiilor se definește prin formula (f∘g)(x)=f(g(x))\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x)). Deci mai întâi calculăm g(1)\displaystyle g(1), apoi aplicăm f\displaystyle f rezultatului.
    (f∘g)(1)=f(g(1))\displaystyle (f\circ g)(1)=f(g(1))
  2. Calculăm g(1)\displaystyle g(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în g(x)=3x\displaystyle g(x)=3x.
    g(1)=3⋅1=3\displaystyle g(1)=3\cdot 1=3
  3. Înlocuim g(1)\displaystyle g(1) cu 3\displaystyle 3, deci avem de calculat f(3)\displaystyle f(3).
    f(g(1))=f(3)\displaystyle f(g(1))=f(3)
  4. Calculăm f(3)\displaystyle f(3) înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1. Rezultatul este răspunsul final.
    (f∘g)(1)=f(3)=3−1=2\displaystyle (f\circ g)(1)=f(3)=3-1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−64=0\displaystyle 4^x-64=0.
Vezi rezolvarea
  1. Mutăm termenul 64\displaystyle 64 în membrul drept, ca să izolăm puterea lui 4\displaystyle 4: 4x−64=0\displaystyle 4^{x}-64=0 devine 4x=64\displaystyle 4^{x}=64.
    4x=64\displaystyle 4^{x}=64
  2. Scriem 64\displaystyle 64 ca putere a lui 4\displaystyle 4: 43=4⋅4⋅4=64\displaystyle 4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64. Astfel ambii membri au aceeași bază și ecuația devine 4x=43\displaystyle 4^{x}=4^{3}.
    4x=43\displaystyle 4^{x}=4^{3}
  3. Funcția exponențială de bază 4\displaystyle 4 este injectivă, deoarece baza este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Deci egalăm exponenții și obținem x=3\displaystyle x=3, soluție unică în R\displaystyle \mathbb{R}.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Cel mai mic multiplu de 7\displaystyle 7 cu două cifre este 14=7⋅2\displaystyle 14=7\cdot 2, iar cel mai mare este 98=7⋅14\displaystyle 98=7\cdot 14. Numerele divizibile cu 7\displaystyle 7 sunt deci 7k\displaystyle 7k, cu k∈{2,3,…,14}\displaystyle k\in\{2,3,\ldots,14\}.
    7k\displaystyle 7k, k∈{2,3,…,14}\displaystyle \ k\in\{2,3,\ldots,14\}
  4. Numărăm valorile lui k\displaystyle k de la 2\displaystyle 2 la 14\displaystyle 14: 14−2+1=13\displaystyle 14-2+1=13. Acesta este numărul cazurilor favorabile.
    14−2+1=13\displaystyle 14-2+1=13
  5. Înlocuim în definiția probabilității: p=1390\displaystyle p=\dfrac{13}{90}.
    p=1390\displaystyle p=\frac{13}{90}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație y=4x+1\displaystyle y=4x+1 și punctul A(2,0)\displaystyle A(2,0). Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A\displaystyle A la dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta d\displaystyle d are ecuația y=4x+1\displaystyle y=4x+1, deci panta ei este coeficientul lui x\displaystyle x, adică md=4\displaystyle m_d=4.
    md=4\displaystyle m_d=4
  2. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci paralela dusă prin A\displaystyle A la d\displaystyle d are panta m=md\displaystyle m=m_d.
    m=4\displaystyle m=4
  3. Scriem ecuația dreptei de pantă 4\displaystyle 4 care trece prin A(2,0)\displaystyle A(2,0), folosind formula y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A).
    y−0=4(x−2)\displaystyle y-0=4(x-2)
  4. Desfacem parantezele: y=4x−8\displaystyle y=4x-8. Aceasta este ecuația paralelei duse prin A\displaystyle A la dreapta d\displaystyle d.
    y=4x−8\displaystyle y=4x-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(π−x)sin⁡x−cos⁡(π−x)cos⁡x=1\displaystyle \sin(\pi-x)\sin x-\cos(\pi-x)\cos x=1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formulele de reducere la primul cadran: sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x și cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x.
    sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x,cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \quad \cos(\pi-x)=-\cos x
  2. Înlocuim în expresie: sin⁡x⋅sin⁡x−(−cos⁡x)cos⁡x=sin⁡2x+cos⁡2x\displaystyle \sin x\cdot\sin x-(-\cos x)\cos x=\sin^{2}x+\cos^{2}x.
    sin⁡2x+cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x
  3. Aplicăm formula fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Astfel expresia este egală cu 1\displaystyle 1 pentru orice x\displaystyle x real.
    sin⁡(π−x)sin⁡x−cos⁡(π−x)cos⁡x=1\displaystyle \sin(\pi-x)\sin x-\cos(\pi-x)\cos x=1
  4. Varianta din barem: recunoaștem formula cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b, cu a=π−x\displaystyle a=\pi-x și b=x\displaystyle b=x. Expresia este opusul lui cos⁡(a+b)\displaystyle \cos(a+b), adică −cos⁡(π−x+x)\displaystyle -\cos(\pi-x+x).
    sin⁡(π−x)sin⁡x−cos⁡(π−x)cos⁡x=−cos⁡(π−x+x)\displaystyle \sin(\pi-x)\sin x-\cos(\pi-x)\cos x=-\cos(\pi-x+x)
  5. Reducem argumentul: π−x+x=π\displaystyle \pi-x+x=\pi. Cum cos⁡π=−1\displaystyle \cos\pi=-1, obținem −cos⁡π=1\displaystyle -\cos\pi=1, adică exact valoarea cerută.
    −cos⁡π=−(−1)=1\displaystyle -\cos\pi=-(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101010101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix} și B(x)=(0x0x0x0x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0&x&0\\x&0&x\\0&x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A cu elementele date în enunț.
    det⁡A=∣101010101∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, cu semnul plus, sunt 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, 0⋅0⋅1\displaystyle 0\cdot 0\cdot 1 și 1⋅0⋅0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 0.
    1⋅1⋅1+0⋅0⋅1+1⋅0⋅0=1+0+0\displaystyle 1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot1+1\cdot0\cdot0=1+0+0
  3. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei se scad: 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, 0⋅0⋅1\displaystyle 0\cdot 0\cdot 1 și 1⋅0⋅0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 0.
    −(1⋅1⋅1+0⋅0⋅1+1⋅0⋅0)=−(1+0+0)=−1\displaystyle -(1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot1+1\cdot0\cdot0)=-(1+0+0)=-1
  4. Adunăm grupul cu semnul plus și grupul cu semnul minus, astfel încât valoarea determinantului să fie obținută.
    det⁡A=1+0+0−1−0−0=0\displaystyle \det A=1+0+0-1-0-0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101010101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix} și B(x)=(0x0x0x0x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0&x&0\\x&0&x\\0&x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅B(x)+B(x)⋅A=3B(x)\displaystyle A\cdot B(x)+B(x)\cdot A=3B(x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x) element cu element, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B(x)\displaystyle B(x). Liniile lui A\displaystyle A sunt (1,0,1)\displaystyle (1,0,1), (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), (1,0,1)\displaystyle (1,0,1), iar coloanele lui B(x)\displaystyle B(x) sunt (0,x,0)\displaystyle (0,x,0), (x,0,x)\displaystyle (x,0,x), (0,x,0)\displaystyle (0,x,0). De exemplu, elementul din colțul stânga sus este 1⋅0+0⋅x+1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot x+1\cdot 0=0, iar elementul de pe linia 1, coloana 2 este 1⋅x+0⋅0+1⋅x=2x\displaystyle 1\cdot x+0\cdot 0+1\cdot x=2x.
    A⋅B(x)=(02x0x0x02x0)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}0&2x&0\\x&0&x\\0&2x&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, înmulțind liniile lui B(x)\displaystyle B(x) cu coloanele lui A\displaystyle A. Liniile lui B(x)\displaystyle B(x) sunt (0,x,0)\displaystyle (0,x,0), (x,0,x)\displaystyle (x,0,x), (0,x,0)\displaystyle (0,x,0), iar coloanele lui A\displaystyle A sunt (1,0,1)\displaystyle (1,0,1), (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), (1,0,1)\displaystyle (1,0,1). De exemplu, elementul de pe linia 2, coloana 1 este x⋅1+0⋅0+x⋅1=2x\displaystyle x\cdot 1+0\cdot 0+x\cdot 1=2x, iar elementul de pe linia 1, coloana 2 este 0⋅0+x⋅1+0⋅0=x\displaystyle 0\cdot 0+x\cdot 1+0\cdot 0=x.
    B(x)⋅A=(0x02x02x0x0)\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}0&x&0\\2x&0&2x\\0&x&0\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: pe pozițiile cu 0\displaystyle 0 în ambele matrice rămâne 0\displaystyle 0, iar în celelalte poziții obținem 2x+x=3x\displaystyle 2x+x=3x sau x+2x=3x\displaystyle x+2x=3x.
    A⋅B(x)+B(x)⋅A=(03x03x03x03x0)\displaystyle A\cdot B(x)+B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}0&3x&0\\3x&0&3x\\0&3x&0\end{pmatrix}
  4. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 în fața matricei și recunoaștem matricea B(x)\displaystyle B(x). Rezultă egalitatea cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    (03x03x03x03x0)=3(0x0x0x0x0)=3B(x)\displaystyle \begin{pmatrix}0&3x&0\\3x&0&3x\\0&3x&0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}0&x&0\\x&0&x\\0&x&0\end{pmatrix}=3B(x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101010101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix} și B(x)=(0x0x0x0x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0&x&0\\x&0&x\\0&x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care B(x)⋅B(x)⋅B(x)=B(x2+x−2)\displaystyle B(x)\cdot B(x)\cdot B(x)=B(x^2+x-2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul matricei B(x)\displaystyle B(x), înmulțind B(x)\displaystyle B(x) cu ea însăși, linie cu coloană. Rezultă o matrice cu x2\displaystyle x^{2} pe pozițiile (1,1)\displaystyle (1,1), (1,3)\displaystyle (1,3), (3,1)\displaystyle (3,1), (3,3)\displaystyle (3,3), cu 2x2\displaystyle 2x^{2} pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2) și cu 0\displaystyle 0 în rest.
    B(x)⋅B(x)=(x20x202x20x20x2)\displaystyle B(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}x^{2}&0&x^{2}\\0&2x^{2}&0\\x^{2}&0&x^{2}\end{pmatrix}
  2. Calculăm puterea a treia: înmulțim rezultatul de la pasul anterior cu B(x)\displaystyle B(x). Fiecare element nenul din B(x)\displaystyle B(x) este x\displaystyle x, iar sumele care apar dau 2x3\displaystyle 2x^{3} pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2), (2,1)\displaystyle (2,1), (2,3)\displaystyle (2,3), (3,2)\displaystyle (3,2).
    B(x)⋅B(x)⋅B(x)=(02x302x302x302x30)\displaystyle B(x)\cdot B(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}0&2x^{3}&0\\2x^{3}&0&2x^{3}\\0&2x^{3}&0\end{pmatrix}
  3. Scriem matricea din membrul drept, înlocuind x\displaystyle x cu x2+x−2\displaystyle x^{2}+x-2 în B(x)\displaystyle B(x).
    B(x2+x−2)=(0x2+x−20x2+x−20x2+x−20x2+x−20)\displaystyle B(x^{2}+x-2)=\begin{pmatrix}0&x^{2}+x-2&0\\x^{2}+x-2&0&x^{2}+x-2\\0&x^{2}+x-2&0\end{pmatrix}
  4. Două matrici sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Toate elementele nenule dau aceeași ecuație, pe care o aducem la forma cu toți termenii în membrul stâng.
    2x3=x2+x−2⇔2x3−x2−x+2=0\displaystyle 2x^{3}=x^{2}+x-2\Leftrightarrow 2x^{3}-x^{2}-x+2=0
  5. Căutăm o rădăcină întreagă printre divizorii lui 2\displaystyle 2. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 avem −2−1+1+2=0\displaystyle -2-1+1+2=0. Deci x+1\displaystyle x+1 divide polinomul, iar prin împărțire obținem o factorizare cu un factor de gradul al doilea.
    2x3−x2−x+2=(x+1)(2x2−3x+2)\displaystyle 2x^{3}-x^{2}-x+2=(x+1)(2x^{2}-3x+2)
  6. Factorul de gradul al doilea are discriminantul Δ=9−16=−7<0\displaystyle \Delta=9-16=-7<0, deci nu are rădăcini reale. Singura soluție reală vine din x+1=0\displaystyle x+1=0.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2+2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2+2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(0)=m\displaystyle f(0)=m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim variabila X\displaystyle X cu 0\displaystyle 0 în expresia polinomului f=X3−2X2+2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2+2X+m.
    f(0)=03−2⋅02+2⋅0+m\displaystyle f(0)=0^3-2\cdot 0^2+2\cdot 0+m
  2. Calculăm puterile și produsele: fiecare termen care conține pe 0\displaystyle 0 este egal cu 0\displaystyle 0, deci rămâne doar termenul liber m\displaystyle m.
    03=0\displaystyle 0^3=0, 2⋅02=0\displaystyle \ 2\cdot 0^2=0, 2⋅0=0\displaystyle \ 2\cdot 0=0
  3. Adunăm termenii și obținem f(0)=m\displaystyle f(0)=m, ceea ce trebuia demonstrat.
    f(0)=0−0+0+m=m\displaystyle f(0)=0-0+0+m=m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2+2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2+2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=−1\displaystyle m=-1, demonstrați că (x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=4\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=4, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=−1\displaystyle m=-1 polinomul devine f=X3−2X2+2X−1\displaystyle f=X^3-2X^2+2X-1, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=2\displaystyle c=2, d=−1\displaystyle d=-1.
    f=X3−2X2+2X−1\displaystyle f=X^3-2X^2+2X-1
  2. Scriem relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul 3: x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}, x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}, x1x2x3=−da\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}.
    x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}, x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}, x1x2x3=−da\displaystyle \ x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}
  3. Înlocuim coeficienții și obținem x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2, x1x2+x1x3+x2x3=2\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2 și x1x2x3=1\displaystyle x_1x_2x_3=1.
    x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2, x1x2+x1x3+x2x3=2\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2, x1x2x3=1\displaystyle \ x_1x_2x_3=1
  4. Aducem fracțiile la același numitor x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3, care este nenul, deoarece x1x2x3=1\displaystyle x_1x_2x_3=1.
    1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}
  5. Înlocuim în expresia dată valorile din relațiile lui Viète și obținem rezultatul cerut, deci egalitatea este demonstrată.
    (x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=(x1+x2+x3)(x2x3+x1x3+x1x2)x1x2x3=2⋅21=4\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}\right)=\dfrac{(x_1+x_2+x_3)(x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2)}{x_1x_2x_3}=\dfrac{2\cdot 2}{1}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2+2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2+2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că polinomul f\displaystyle f **nu** are toate rădăcinile reale.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3 rădăcinile polinomului f\displaystyle f. Din relațiile lui Viète, pentru X3−2X2+2X+m\displaystyle X^3-2X^2+2X+m, avem: x1+x2+x3=−−21=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-2}{1}=2 și x1x2+x1x3+x2x3=21=2\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{2}{1}=2.
    x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2,x1x2+x1x3+x2x3=2\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2
  2. Presupunem, prin reducere la absurd, că toate rădăcinile sunt reale. Calculăm suma pătratelor: x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3). Înlocuim valorile: 22−2⋅2=4−4=0\displaystyle 2^2-2\cdot 2=4-4=0.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=22−2⋅2=0\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=2^2-2\cdot 2=0
  3. Dacă x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3 sunt reale, atunci x12,x22,x32≥0\displaystyle x_1^2, x_2^2, x_3^2\ge 0. Suma lor fiind 0\displaystyle 0, rezultă x1=x2=x3=0\displaystyle x_1=x_2=x_3=0. Atunci x1+x2+x3=0\displaystyle x_1+x_2+x_3=0, dar din Viète această sumă este 2\displaystyle 2, contradicție. Deci polinomul f\displaystyle f nu are toate rădăcinile reale.
    x1=x2=x3=0, contradicție cu x1+x2+x3=2\displaystyle x_1=x_2=x_3=0\text{, contradicție cu }x_1+x_2+x_3=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x2+x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.

Arătați că f′(x)=2(x−1)(x+1)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții polinomiale, deci folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u(x)=x2−x+1\displaystyle u(x)=x^{2}-x+1 și v(x)=x2+x+1\displaystyle v(x)=x^{2}+x+1. Numitorul nu se anulează niciodată pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece discriminantul este negativ: Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0.
    f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}
  2. Calculăm derivatele celor două polinoame: u′(x)=2x−1\displaystyle u'(x)=2x-1 și v′(x)=2x+1\displaystyle v'(x)=2x+1.
    u′(x)=2x−1\displaystyle u'(x)=2x-1,v′(x)=2x+1\displaystyle \quad v'(x)=2x+1
  3. Înlocuim în formula câtului și obținem expresia derivatei, încă nesimplificată.
    f′(x)=(2x−1)(x2+x+1)−(2x+1)(x2−x+1)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x^{2}+x+1)-(2x+1)(x^{2}-x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}
  4. Dezvoltăm primul produs de la numărător: (2x−1)(x2+x+1)=2x3+2x2+2x−x2−x−1=2x3+x2+x−1\displaystyle (2x-1)(x^{2}+x+1)=2x^{3}+2x^{2}+2x-x^{2}-x-1=2x^{3}+x^{2}+x-1.
    (2x−1)(x2+x+1)=2x3+x2+x−1\displaystyle (2x-1)(x^{2}+x+1)=2x^{3}+x^{2}+x-1
  5. Dezvoltăm al doilea produs: (2x+1)(x2−x+1)=2x3−2x2+2x+x2−x+1=2x3−x2+x+1\displaystyle (2x+1)(x^{2}-x+1)=2x^{3}-2x^{2}+2x+x^{2}-x+1=2x^{3}-x^{2}+x+1.
    (2x+1)(x2−x+1)=2x3−x2+x+1\displaystyle (2x+1)(x^{2}-x+1)=2x^{3}-x^{2}+x+1
  6. Scădem cele două rezultate: termenii în x3\displaystyle x^{3} și în x\displaystyle x se reduc, iar rămâne (x2+x2)+(−1−1)\displaystyle (x^{2}+x^{2})+(-1-1), adică 2x2−2\displaystyle 2x^{2}-2.
    (2x3+x2+x−1)−(2x3−x2+x+1)=2x2−2\displaystyle (2x^{3}+x^{2}+x-1)-(2x^{3}-x^{2}+x+1)=2x^{2}-2
  7. Factorizăm numărătorul: scoatem factor comun 2\displaystyle 2 și folosim diferența de pătrate x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2x2−2(x2+x+1)2=2(x−1)(x+1)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-2}{(x^{2}+x+1)^{2}}=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x2+x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă 0\displaystyle 0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0). Trebuie deci să calculăm f(0)\displaystyle f(0) și f′(0)\displaystyle f'(0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia funcției: f(0)=02−0+102+0+1=11\displaystyle f(0)=\dfrac{0^{2}-0+1}{0^{2}+0+1}=\dfrac{1}{1}.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1
  3. Derivăm funcția f\displaystyle f folosind formula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x2−x+1\displaystyle u=x^{2}-x+1 și v=x2+x+1\displaystyle v=x^{2}+x+1. Avem u′=2x−1\displaystyle u'=2x-1 și v′=2x+1\displaystyle v'=2x+1.
    f′(x)=(2x−1)(x2+x+1)−(x2−x+1)(2x+1)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x^{2}+x+1)-(x^{2}-x+1)(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}
  4. Simplificăm numărătorul. Primul produs este (2x−1)(x2+x+1)=2x3+x2+x−1\displaystyle (2x-1)(x^{2}+x+1)=2x^{3}+x^{2}+x-1, iar al doilea este (x2−x+1)(2x+1)=2x3−x2+x+1\displaystyle (x^{2}-x+1)(2x+1)=2x^{3}-x^{2}+x+1. Diferența lor este 2x2−2\displaystyle 2x^{2}-2, deci derivata are o formă mai simplă.
    f′(x)=2x2−2(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-2}{(x^{2}+x+1)^{2}}
  5. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0): numărătorul este −2\displaystyle -2, iar numitorul este 12=1\displaystyle 1^{2}=1. Am obținut astfel valorile cerute: f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f′(0)=−2\displaystyle f'(0)=-2.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1, f′(0)=−2\displaystyle \ f'(0)=-2
  6. Înlocuim în formula tangentei: y−1=−2(x−0)\displaystyle y-1=-2(x-0), deci y−1=−2x\displaystyle y-1=-2x, de unde y=−2x+1\displaystyle y=-2x+1. Aceasta este ecuația tangentei.
    y−f(0)=f′(0)(x−0)⇒y=−2x+1\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\Rightarrow y=-2x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x2+x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.

Calculați lim⁡x→+∞(f(x))x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)^x.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, f(x)→1\displaystyle f(x)\to 1, iar exponentul x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Avem nedeterminare de tipul 1∞\displaystyle 1^{\infty}, deci folosim limita remarcabilă lim⁡u(x)→0(1+u(x))1u(x)=e\displaystyle \lim_{u(x)\to 0}\left(1+u(x)\right)^{\frac{1}{u(x)}}=e.
    lim⁡x→+∞x2−x+1x2+x+1=1, deci 1∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=1\text{, deci }1^{\infty}
  2. Scriem x2−x+1x2+x+1=1+(x2−x+1)−(x2+x+1)x2+x+1\displaystyle \dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=1+\dfrac{(x^2-x+1)-(x^2+x+1)}{x^2+x+1}, iar la numărător (x2−x+1)−(x2+x+1)=−2x\displaystyle (x^2-x+1)-(x^2+x+1)=-2x.
    x2−x+1x2+x+1=1−2xx2+x+1\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=1-\frac{2x}{x^2+x+1}
  3. Limita devine lim⁡x→+∞(1−2xx2+x+1)x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{2x}{x^2+x+1}\right)^x, unde −2xx2+x+1→0\displaystyle -\dfrac{2x}{x^2+x+1}\to 0.
    lim⁡x→+∞(f(x))x=lim⁡x→+∞(1−2xx2+x+1)x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x))^x=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2x}{x^2+x+1}\right)^x
  4. Obținem lim⁡x→+∞(1+u(x))x=elim⁡x→+∞x⋅u(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+u(x)\right)^x=e^{\lim_{x\to+\infty}x\cdot u(x)}, cu u(x)=−2xx2+x+1\displaystyle u(x)=-\dfrac{2x}{x^2+x+1}, deci exponentul este lim⁡x→+∞−2x2x2+x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2x^2}{x^2+x+1}.
    elim⁡x→+∞−2x2x2+x+1\displaystyle e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^2}{x^2+x+1}}
  5. Avem lim⁡x→+∞−2x2x2+x+1=lim⁡x→+∞−21+1x+1x2=−2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2x^2}{x^2+x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-2, deci limita cerută este e−2\displaystyle e^{-2}.
    e−2\displaystyle e^{-2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−2x\displaystyle f(x)=e^x-2x.

Arătați că ∫01(f(x)+2x) dx=e−1\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x)\,dx=e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex−2x\displaystyle f(x)=e^x-2x în integrand: f(x)+2x=ex−2x+2x\displaystyle f(x)+2x=e^x-2x+2x.
    f(x)+2x=ex−2x+2x\displaystyle f(x)+2x=e^x-2x+2x
  2. Reducem termenii −2x\displaystyle -2x și 2x\displaystyle 2x, deci integrandul devine ex\displaystyle e^x. Obținem integrala de calculat.
    ∫01(f(x)+2x) dx=∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx
  3. O primitivă a funcției ex\displaystyle e^x este chiar ex\displaystyle e^x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01ex dx=ex∣01\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1.
    ∫01ex dx=ex∣01=e1−e0\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1=e^1-e^0
  4. Calculăm e1=e\displaystyle e^1=e și e0=1\displaystyle e^0=1. Rezultă că integrala este e−1\displaystyle e-1, ceea ce trebuia arătat.
    ex∣01=e−1\displaystyle e^x\Big|_0^1=e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−2x\displaystyle f(x)=e^x-2x.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(1)=e−3\displaystyle F(1)=e-3.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele funcției f\displaystyle f se află integrând termen cu termen: o primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}.
    ∫(ex−2x) dx=ex−x2+c\displaystyle \int (e^x-2x)\,dx=e^x-x^{2}+c
  2. Scriem mulțimea primitivelor: orice primitivă F\displaystyle F are forma de mai jos, cu c\displaystyle c număr real.
    F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=ex−x2+c\displaystyle \ F(x)=e^x-x^2+c, c∈R\displaystyle \ c\in\mathbb{R}
  3. Punem condiția F(1)=e−3\displaystyle F(1)=e-3: înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia lui F\displaystyle F, deci F(1)=e−1+c\displaystyle F(1)=e-1+c.
    e−1+c=e−3\displaystyle e-1+c=e-3
  4. Rezolvăm ecuația în c\displaystyle c: scădem e\displaystyle e din ambii membri și obținem −1+c=−3\displaystyle -1+c=-3, deci c=−3+1\displaystyle c=-3+1.
    c=−2\displaystyle c=-2
  5. Înlocuim c=−2\displaystyle c=-2 în forma generală a primitivei și obținem răspunsul final.
    F(x)=ex−x2−2\displaystyle F(x)=e^x-x^2-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−2x\displaystyle f(x)=e^x-2x.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x), este egal cu π(3e2−19)6\displaystyle \frac{\pi\left(3e^2-19\right)}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula volumului corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox pentru graficul funcției g\displaystyle g pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1]: V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx. Cum g(x)=ex−2x\displaystyle g(x)=e^x-2x, avem de calculat integrala din (ex−2x)2\displaystyle (e^x-2x)^2.
    V=π∫01(ex−2x)2dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(e^x-2x\right)^2dx
  2. Desfacem pătratul diferenței: (ex−2x)2=e2x−2⋅ex⋅2x+4x2=e2x−4xex+4x2\displaystyle (e^x-2x)^2=e^{2x}-2\cdot e^x\cdot 2x+4x^2=e^{2x}-4xe^x+4x^2. Integrala se împarte în trei integrale mai simple.
    V=π∫01(e2x−4xex+4x2)dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(e^{2x}-4xe^x+4x^2\right)dx
  3. Calculăm prima integrală. O primitivă a lui e2x\displaystyle e^{2x} este 12e2x\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{2x}, deci integrala pe [0,1]\displaystyle [0,1] este e2−12\displaystyle \dfrac{e^2-1}{2}.
    ∫01e2x dx=12e2x∣01=e2−12\displaystyle \int_0^1 e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}\Big|_0^1=\frac{e^2-1}{2}
  4. Pentru integrala din xex\displaystyle xe^x integrăm prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Obținem xex−ex=(x−1)ex\displaystyle xe^x-e^x=(x-1)e^x ca primitivă. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: 0−(−1)=1\displaystyle 0-(-1)=1. Deci integrala lui −4xex\displaystyle -4xe^x este −4\displaystyle -4.
    ∫01xex dx=(x−1)ex∣01=0−(−1)=1  ⇒  ∫01(−4xex) dx=−4\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=(x-1)e^x\Big|_0^1=0-(-1)=1\;\Rightarrow\;\int_0^1(-4xe^x)\,dx=-4
  5. Calculăm a treia integrală: o primitivă a lui 4x2\displaystyle 4x^2 este 4x33\displaystyle \dfrac{4x^3}{3}, iar valoarea pe [0,1]\displaystyle [0,1] este 43\displaystyle \dfrac{4}{3}.
    ∫014x2 dx=4x33∣01=43\displaystyle \int_0^1 4x^2\,dx=\frac{4x^3}{3}\Big|_0^1=\frac{4}{3}
  6. Adunăm cele trei rezultate: e2−12−4+43\displaystyle \dfrac{e^2-1}{2}-4+\dfrac{4}{3}. Aducem la numitor comun 6\displaystyle 6: 3e2−3−24+86=3e2−196\displaystyle \dfrac{3e^2-3-24+8}{6}=\dfrac{3e^2-19}{6}. Înmulțim cu π\displaystyle \pi și obținem volumul cerut.
    V=π(e2−12−4+43)=π(3e2−19)6\displaystyle V=\pi\left(\frac{e^2-1}{2}-4+\frac{4}{3}\right)=\frac{\pi\left(3e^2-19\right)}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.