Bac matematică M1 mate-info 2013, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care numerele 1\displaystyle 1, 2x+2\displaystyle 2x+2 și 7\displaystyle 7 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Trei numere a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă b=a+c2\displaystyle b=\dfrac{a+c}{2}. Aici termenul din mijloc este 2x+2\displaystyle 2x+2, iar ceilalți doi sunt 1\displaystyle 1 și 7\displaystyle 7.
    2x+2=1+72\displaystyle 2x+2=\dfrac{1+7}{2}
  2. Calculăm media aritmetică: 1+7=8\displaystyle 1+7=8, iar 82=4\displaystyle \dfrac{8}{2}=4.
    2x+2=4\displaystyle 2x+2=4
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: 2x=2\displaystyle 2x=2. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați distanța dintre punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3\displaystyle f(x)=x^2-4x+3.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox au ordonata 0\displaystyle 0, deci rezolvăm ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0.
    x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0
  2. Calculăm discriminantul: Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.
    Δ=4\displaystyle \Delta=4
  3. Aplicăm formula rădăcinilor: x=4±22\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}, deci x=1\displaystyle x=1 sau x=3\displaystyle x=3. Punctele de intersecție sunt A(1,0)\displaystyle A(1,0) și B(3,0)\displaystyle B(3,0).
    x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3
  4. Punctele sunt pe axa Ox\displaystyle Ox, deci distanța dintre ele este diferența absolută a absciselor: AB=∣3−1∣=2\displaystyle AB=|3-1|=2.
    AB=∣3−1∣=2\displaystyle AB=|3-1|=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+4=x+2\displaystyle \sqrt{x^2+4}=x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2+4≥0\displaystyle \sqrt{x^2+4}\ge 0, deci trebuie ca x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0, adică x≥−2\displaystyle x\ge -2. Expresia de sub radical, x2+4\displaystyle x^2+4, este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real.
    x≥−2\displaystyle x\ge -2
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: (x2+4)2=(x+2)2\displaystyle \left(\sqrt{x^2+4}\right)^2=(x+2)^2. Dezvoltăm pătratul sumei din membrul drept.
    x2+4=x2+4x+4\displaystyle x^2+4=x^2+4x+4
  3. Reducem termenii asemenea: x2\displaystyle x^2 și 4\displaystyle 4 apar în ambii membri, deci rămâne ecuația liniară 4x=0\displaystyle 4x=0.
    4x=0\displaystyle 4x=0
  4. Rezolvăm ecuația liniară și obținem x=0\displaystyle x=0. Verificăm condiția x≥−2\displaystyle x\ge -2: este îndeplinită. Verificare directă: 02+4=2\displaystyle \sqrt{0^2+4}=2 și 0+2=2\displaystyle 0+2=2, deci soluția convine.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare ab‾\displaystyle \overline{ab} se pot forma, știind că a,b∈{2,3,4,5}\displaystyle a,b\in\{2,3,4,5\} și a≠b\displaystyle a\neq b.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul ab‾\displaystyle \overline{ab} este impar dacă ultima cifră, b\displaystyle b, este impară. Din mulțimea {2,3,4,5}\displaystyle \{2,3,4,5\}, cifrele impare sunt 3\displaystyle 3 și 5\displaystyle 5, deci b\displaystyle b poate fi 3\displaystyle 3 sau 5\displaystyle 5.
    b∈{3,5}\displaystyle b\in\{3,5\}
  2. Avem 2\displaystyle 2 alegeri pentru cifra b\displaystyle b.
    2\displaystyle 2
  3. Cifra a\displaystyle a se alege din mulțimea cu 4\displaystyle 4 elemente, dar trebuie să fie diferită de b\displaystyle b, deja ales. Rămân 4−1=3\displaystyle 4-1=3 alegeri pentru a\displaystyle a, oricare ar fi b\displaystyle b.
    4−1=3\displaystyle 4-1=3
  4. Înmulțim numărul de alegeri pentru b\displaystyle b cu numărul de alegeri pentru a\displaystyle a. Se pot forma 6\displaystyle 6 numere, de exemplu: 23,43,53,25,35,45\displaystyle 23, 43, 53, 25, 35, 45.
    2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În dreptunghiul ABCD\displaystyle ABCD, cu AB=8\displaystyle AB=8 și BC=6\displaystyle BC=6, se consideră vectorul v⃗=AB→+AO→+AD→\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AD}, unde {O}=AC∩BD\displaystyle \{O\}=AC\cap BD. Calculați lungimea vectorului v⃗\displaystyle \vec{v}.
Vezi rezolvarea
  1. Dreptunghiul ABCD\displaystyle ABCD este paralelogram, deci după regula paralelogramului AB→+AD→=AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.
    AB→+AD→=AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}
  2. Înlocuim în expresia lui v⃗\displaystyle \vec{v}: v⃗=AC→+AO→\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AO}.
    v⃗=AC→+AO→\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AO}
  3. Punctul O\displaystyle O este mijlocul lui AC\displaystyle AC, deci AC→=2AO→\displaystyle \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}. Rezultă v⃗=2AO→+AO→=3AO→\displaystyle \vec{v}=2\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{AO}.
    v⃗=AC→+AO→=3AO→\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{AO}
  4. În triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC avem AC=AB2+BC2=64+36=100\displaystyle AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}.
    AC=82+62=10\displaystyle AC=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10
  5. Cum O\displaystyle O este mijlocul lui AC\displaystyle AC, avem AO=AC2=102\displaystyle AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{10}{2}.
    AO=5\displaystyle AO=5
  6. Atunci ∣v⃗∣=3⋅AO=3⋅5\displaystyle |\vec{v}|=3\cdot AO=3\cdot 5.
    ∣v⃗∣=15\displaystyle |\vec{v}|=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sinusul unghiului A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC în care AB=6\displaystyle AB=6, BC=10\displaystyle BC=10 și sin⁡C=35\displaystyle \sin C=\frac{3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C, iar latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A. Cunoaștem sin⁡C=35\displaystyle \sin C=\dfrac{3}{5}, deci aplicăm teorema sinusurilor.
    AB=6\displaystyle AB=6, BC=10\displaystyle \ BC=10, sin⁡C=35\displaystyle \ \sin C=\dfrac{3}{5}
  2. Scriem teorema sinusurilor pentru laturile AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC: raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este același.
    ABsin⁡C=BCsin⁡A\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{BC}{\sin A}
  3. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6, BC=10\displaystyle BC=10 și sin⁡C=35\displaystyle \sin C=\dfrac{3}{5} în relație.
    635=10sin⁡A\displaystyle \dfrac{6}{\frac{3}{5}}=\dfrac{10}{\sin A}
  4. Calculăm membrul stâng: împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci 6⋅53=10\displaystyle 6\cdot\dfrac{5}{3}=10.
    10=10sin⁡A\displaystyle 10=\dfrac{10}{\sin A}
  5. Din 10=10sin⁡A\displaystyle 10=\dfrac{10}{\sin A} rezultă sin⁡A=1010=1\displaystyle \sin A=\dfrac{10}{10}=1. Deci unghiul A\displaystyle A este drept.
    sin⁡A=1\displaystyle \sin A=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real a\displaystyle a se consideră matricea A(a)=(a111a111a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}.

Calculați det⁡(A(0))\displaystyle \det(A(0)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0), cu zero pe diagonala principală și 1\displaystyle 1 în rest.
    A(0)=(011101110)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(0))=∣011101110∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}
  3. Conform regulii lui Sarrus, adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 0⋅0⋅0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1.
    0⋅0⋅0+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1=0+1+1\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1=0+1+1
  4. Scădem produsele elementelor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1, 1⋅1⋅0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0 și 0⋅1⋅1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1. Fiecare conține un factor 0\displaystyle 0, deci toate sunt egale cu 0\displaystyle 0.
    1⋅0⋅1+1⋅1⋅0+0⋅1⋅1=0+0+0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1+1\cdot 1\cdot 0+0\cdot 1\cdot 1=0+0+0
  5. Facem diferența dintre cele două sume și obținem valoarea determinantului: 0+1+1−0−0−0=2\displaystyle 0+1+1-0-0-0=2.
    det⁡(A(0))=0+1+1−0−0−0=2\displaystyle \det(A(0))=0+1+1-0-0-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real a\displaystyle a se consideră matricea A(a)=(a111a111a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care 5A(a)−(A(a))2=4I3\displaystyle 5A(a)-(A(a))^2=4I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)=(a111a111a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix} și calculăm (A(a))2=A(a)⋅A(a)\displaystyle (A(a))^2=A(a)\cdot A(a). Elementul de pe linia i\displaystyle i, coloana j\displaystyle j este suma produselor dintre elementele liniei i\displaystyle i și ale coloanei j\displaystyle j.
    (A(a))2=A(a)⋅A(a)\displaystyle (A(a))^2=A(a)\cdot A(a)
  2. Pentru elementele de pe diagonală: a⋅a+1⋅1+1⋅1=a2+2\displaystyle a\cdot a+1\cdot 1+1\cdot 1=a^2+2. La fel se obțin și celelalte elemente diagonale.
    a2+2\displaystyle a^2+2
  3. Pentru elementele din afara diagonalei, de exemplu linia 1 și coloana 2: a⋅1+1⋅a+1⋅1=2a+1\displaystyle a\cdot 1+1\cdot a+1\cdot 1=2a+1. Toate elementele din afara diagonalei au aceeași valoare.
    (A(a))2=(a2+22a+12a+12a+1a2+22a+12a+12a+1a2+2)\displaystyle (A(a))^2=\begin{pmatrix}a^2+2&2a+1&2a+1\\2a+1&a^2+2&2a+1\\2a+1&2a+1&a^2+2\end{pmatrix}
  4. Calculăm 5A(a)\displaystyle 5A(a) înmulțind fiecare element cu 5\displaystyle 5, apoi scădem pătratul matricei element cu element. Pe diagonală: 5a−(a2+2)=5a−a2−2\displaystyle 5a-(a^2+2)=5a-a^2-2. În afara diagonalei: 5−(2a+1)=4−2a\displaystyle 5-(2a+1)=4-2a.
    5A(a)−(A(a))2=(5a−a2−24−2a4−2a4−2a5a−a2−24−2a4−2a4−2a5a−a2−2)\displaystyle 5A(a)-(A(a))^2=\begin{pmatrix}5a-a^2-2&4-2a&4-2a\\4-2a&5a-a^2-2&4-2a\\4-2a&4-2a&5a-a^2-2\end{pmatrix}
  5. Avem 4I3=(400040004)\displaystyle 4I_3=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}. Egalând elementele corespunzătoare, obținem condițiile: pe diagonală 5a−a2−2=4\displaystyle 5a-a^2-2=4, iar în afara diagonalei 4−2a=0\displaystyle 4-2a=0.
    5a−a2−2=4 și 4−2a=0\displaystyle 5a-a^2-2=4\text{ și }4-2a=0
  6. Din 4−2a=0\displaystyle 4-2a=0 rezultă a=2\displaystyle a=2. Verificăm în prima ecuație: 5⋅2−22−2=10−4−2=4\displaystyle 5\cdot 2-2^2-2=10-4-2=4, deci condiția este îndeplinită. Așadar singura valoare este a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real a\displaystyle a se consideră matricea A(a)=(a111a111a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}.

Determinați inversa matricei A(2)\displaystyle A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(2)=(211121112)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}, apoi calculăm 5I3−A(2)\displaystyle 5I_3-A(2). Pe diagonală obținem 5−2=3\displaystyle 5-2=3, iar în rest obținem 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1.
    5I3−A(2)=(3−1−1−13−1−1−13)\displaystyle 5I_3-A(2)=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(2)⋅(5I3−A(2))\displaystyle A(2)\cdot(5I_3-A(2)). Pe diagonală: 2⋅3+1⋅(−1)+1⋅(−1)=4\displaystyle 2\cdot 3+1\cdot(-1)+1\cdot(-1)=4. În afara diagonalei, de exemplu: 2⋅(−1)+1⋅3+1⋅(−1)=0\displaystyle 2\cdot(-1)+1\cdot 3+1\cdot(-1)=0. Toate elementele din afara diagonalei se calculează la fel, deci produsul este 4I3\displaystyle 4I_3. Cele două matrice comută, pentru că A(2)(5I3−A(2))=5A(2)−A(2)2=(5I3−A(2))A(2)\displaystyle A(2)(5I_3-A(2))=5A(2)-A(2)^2=(5I_3-A(2))A(2), deci și produsul în ordine inversă este 4I3\displaystyle 4I_3.
    A(2)⋅(5I3−A(2))=4I3 și (5I3−A(2))⋅A(2)=4I3\displaystyle A(2)\cdot(5I_3-A(2))=4I_3\text{ și }(5I_3-A(2))\cdot A(2)=4I_3
  3. Împărțim relația la 4\displaystyle 4: matricea B=14(5I3−A(2))\displaystyle B=\dfrac{1}{4}(5I_3-A(2)) verifică A(2)⋅B=B⋅A(2)=I3\displaystyle A(2)\cdot B=B\cdot A(2)=I_3, deci B\displaystyle B este inversa lui A(2)\displaystyle A(2). Înlocuim matricea calculată la primul pas.
    A(2)−1=14(5I3−A(2))=14(3−1−1−13−1−1−13)\displaystyle A(2)^{-1}=\frac{1}{4}(5I_3-A(2))=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−mX2+3X−1\displaystyle f=X^3-mX^2+3X-1, unde m\displaystyle m este număr real.

Calculați f(2)−f(−2)\displaystyle f(2)-f(-2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în f=X3−mX2+3X−1\displaystyle f=X^3-mX^2+3X-1 și obținem f(2)=23−m⋅22+3⋅2−1\displaystyle f(2)=2^3-m\cdot 2^2+3\cdot 2-1.
    f(2)=23−m⋅22+3⋅2−1\displaystyle f(2)=2^3-m\cdot 2^2+3\cdot 2-1
  2. Calculăm 23=8\displaystyle 2^3=8, 22=4\displaystyle 2^2=4 și 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, deci f(2)=8−4m+6−1\displaystyle f(2)=8-4m+6-1. Reducem termenii constanți: 8+6−1=13\displaystyle 8+6-1=13.
    f(2)=8−4m+6−1=−4m+13\displaystyle f(2)=8-4m+6-1=-4m+13
  3. Înlocuim X\displaystyle X cu −2\displaystyle -2: f(−2)=(−2)3−m⋅(−2)2+3⋅(−2)−1\displaystyle f(-2)=(-2)^3-m\cdot(-2)^2+3\cdot(-2)-1. Atenție la semne: (−2)3=−8\displaystyle (-2)^3=-8, iar (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4.
    f(−2)=(−2)3−m⋅(−2)2+3⋅(−2)−1\displaystyle f(-2)=(-2)^3-m\cdot(-2)^2+3\cdot(-2)-1
  4. Obținem f(−2)=−8−4m−6−1\displaystyle f(-2)=-8-4m-6-1. Reducem termenii constanți: −8−6−1=−15\displaystyle -8-6-1=-15.
    f(−2)=−8−4m−6−1=−4m−15\displaystyle f(-2)=-8-4m-6-1=-4m-15
  5. Scădem: f(2)−f(−2)=(−4m+13)−(−4m−15)=−4m+13+4m+15\displaystyle f(2)-f(-2)=(-4m+13)-(-4m-15)=-4m+13+4m+15. Termenii cu m\displaystyle m se reduc, deci rămâne 13+15\displaystyle 13+15.
    f(2)−f(−2)=28\displaystyle f(2)-f(-2)=28
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−mX2+3X−1\displaystyle f=X^3-mX^2+3X-1, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați restul împărțirii lui f\displaystyle f la X+2\displaystyle X+2, știind că restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la X−2\displaystyle X-2 este egal cu 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Conform teoremei restului, restul împărțirii lui f\displaystyle f la X−2\displaystyle X-2 este f(2)\displaystyle f(2). Din ipoteză, acest rest este 9\displaystyle 9, deci f(2)=9\displaystyle f(2)=9.
    f(2)=9\displaystyle f(2)=9
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) în funcție de m\displaystyle m: f(2)=23−m⋅22+3⋅2−1=8−4m+6−1\displaystyle f(2)=2^3-m\cdot 2^2+3\cdot 2-1=8-4m+6-1.
    f(2)=13−4m\displaystyle f(2)=13-4m
  3. Egalăm 13−4m=9\displaystyle 13-4m=9, de unde 4m=4\displaystyle 4m=4.
    m=1\displaystyle m=1
  4. Pentru m=1\displaystyle m=1, polinomul devine f=X3−X2+3X−1\displaystyle f=X^3-X^2+3X-1.
    f=X3−X2+3X−1\displaystyle f=X^{3}-X^{2}+3X-1
  5. Restul împărțirii lui f\displaystyle f la X+2=X−(−2)\displaystyle X+2=X-(-2) este f(−2)\displaystyle f(-2). Calculăm: f(−2)=(−2)3−(−2)2+3⋅(−2)−1=−8−4−6−1\displaystyle f(-2)=(-2)^3-(-2)^2+3\cdot(-2)-1=-8-4-6-1. Restul este −19\displaystyle -19.
    f(−2)=−19\displaystyle f(-2)=-19
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−mX2+3X−1\displaystyle f=X^3-mX^2+3X-1, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care x13+x23+x33=3\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=3, unde x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3−mX2+3X−1\displaystyle f=X^3-mX^2+3X-1: x1+x2+x3=m\displaystyle x_1+x_2+x_3=m, x1x2+x2x3+x1x3=3\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=3 și x1x2x3=1\displaystyle x_1x_2x_3=1.
    x1+x2+x3=m\displaystyle x_1+x_2+x_3=m, x1x2+x2x3+x1x3=3\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=3, x1x2x3=1\displaystyle \ x_1x_2x_3=1
  2. Din (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x1x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3) obținem m2=x12+x22+x32+2⋅3\displaystyle m^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\cdot 3.
    x12+x22+x32=m2−6\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=m^2-6
  3. Fiecare rădăcină verifică f(xi)=0\displaystyle f(x_i)=0, deci xi3=mxi2−3xi+1\displaystyle x_i^3=mx_i^2-3x_i+1 pentru i=1,2,3\displaystyle i=1,2,3. Adunăm cele trei relații: x13+x23+x33=m(x12+x22+x32)−3(x1+x2+x3)+3\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=m(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-3(x_1+x_2+x_3)+3.
    x13+x23+x33=m(x12+x22+x32)−3(x1+x2+x3)+3\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=m(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-3(x_1+x_2+x_3)+3
  4. Înlocuim x12+x22+x32=m2−6\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=m^2-6 și x1+x2+x3=m\displaystyle x_1+x_2+x_3=m: m(m2−6)−3m+3=m3−6m−3m+3\displaystyle m(m^2-6)-3m+3=m^3-6m-3m+3.
    x13+x23+x33=m3−9m+3\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=m^3-9m+3
  5. Din m3−9m+3=3\displaystyle m^3-9m+3=3 obținem m3−9m=0\displaystyle m^3-9m=0, adică m(m2−9)=0\displaystyle m(m^2-9)=0.
    m3−9m=0⇔m(m−3)(m+3)=0\displaystyle m^3-9m=0\Leftrightarrow m(m-3)(m+3)=0
  6. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci m=0\displaystyle m=0, m=3\displaystyle m=3 sau m=−3\displaystyle m=-3. Toate sunt numere reale, deci convin.
    m=−3 sau m=0 sau m=3\displaystyle m=-3\text{ sau }m=0\text{ sau }m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)→R\displaystyle f:(-1,1)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡1−x1+x\displaystyle f(x)=\ln\frac{1-x}{1+x}.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este de forma ln⁡u(x)\displaystyle \ln u(x), cu u(x)=1−x1+x\displaystyle u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}. Pe (−1,1)\displaystyle (-1,1) avem u(x)>0\displaystyle u(x)>0, deci logaritmul este definit. Folosim formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.
    f′(x)=u′(x)u(x)\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}
  2. Înlocuim u\displaystyle u și scriem împărțirea la u\displaystyle u ca înmulțire cu inversul lui u\displaystyle u, adică 1+x1−x\displaystyle \dfrac{1+x}{1-x}.
    f′(x)=1+x1−x⋅(1−x1+x)′\displaystyle f'(x)=\dfrac{1+x}{1-x}\cdot\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)'
  3. Derivăm fracția cu formula (ab)′=a′b−ab′b2\displaystyle \left(\dfrac{a}{b}\right)'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}. Aici a=1−x\displaystyle a=1-x, cu a′=−1\displaystyle a'=-1, iar b=1+x\displaystyle b=1+x, cu b′=1\displaystyle b'=1.
    (1−x1+x)′=−(1+x)−(1−x)(1+x)2\displaystyle \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)'=\dfrac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^{2}}
  4. La numărător: −(1+x)−(1−x)=−1−x−1+x=−2\displaystyle -(1+x)-(1-x)=-1-x-1+x=-2.
    (1−x1+x)′=−2(1+x)2\displaystyle \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)'=\dfrac{-2}{(1+x)^{2}}
  5. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) și simplificăm factorul 1+x\displaystyle 1+x. Rămâne −2(1−x)(1+x)=−21−x2\displaystyle \dfrac{-2}{(1-x)(1+x)}=-\dfrac{2}{1-x^{2}}.
    f′(x)=1+x1−x⋅−2(1+x)2=−21−x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1+x}{1-x}\cdot\dfrac{-2}{(1+x)^{2}}=-\dfrac{2}{1-x^{2}}
  6. Schimbând semnul la numitor, obținem forma echivalentă 2x2−1\displaystyle \dfrac{2}{x^{2}-1}, pentru orice x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1).
    f′(x)=−21−x2=2x2−1, pentru orice x∈(−1,1)\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{1-x^{2}}=\dfrac{2}{x^{2}-1}\text{, pentru orice }x\in(-1,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)→R\displaystyle f:(-1,1)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡1−x1+x\displaystyle f(x)=\ln\frac{1-x}{1+x}.

Verificați dacă funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe intervalul (−1,1)\displaystyle (-1,1).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1) avem 1−x>0\displaystyle 1-x>0 și 1+x>0\displaystyle 1+x>0, deci putem scrie logaritmul câtului ca diferență de logaritmi: f(x)=ln⁡(1−x)−ln⁡(1+x)\displaystyle f(x)=\ln(1-x)-\ln(1+x).
    f(x)=ln⁡(1−x)−ln⁡(1+x)\displaystyle f(x)=\ln(1-x)-\ln(1+x)
  2. Derivăm termen cu termen, folosind (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Avem (1−x)′=−1\displaystyle (1-x)'=-1 și (1+x)′=1\displaystyle (1+x)'=1, deci f′(x)=−11−x−11+x\displaystyle f'(x)=\dfrac{-1}{1-x}-\dfrac{1}{1+x}.
    f′(x)=−11−x−11+x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{1+x}
  3. Aducem la același numitor (1−x)(1+x)=1−x2\displaystyle (1-x)(1+x)=1-x^{2}. Numărătorul este −(1+x)−(1−x)=−2\displaystyle -(1+x)-(1-x)=-2, deci f′(x)=−21−x2=2x2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2}{1-x^{2}}=\dfrac{2}{x^{2}-1}.
    f′(x)=2x2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1}
  4. Pentru x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1) avem x2<1\displaystyle x^{2}<1, deci x2−1<0\displaystyle x^{2}-1<0.
    x2−1<0, pentru orice x∈(−1,1)\displaystyle x^{2}-1<0\text{, pentru orice }x\in(-1,1)
  5. Numărătorul 2\displaystyle 2 este pozitiv, iar numitorul x2−1\displaystyle x^{2}-1 este negativ, deci derivata f′(x)=2x2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1} este negativă pe tot intervalul. Prin urmare f\displaystyle f este descrescătoare pe (−1,1)\displaystyle (-1,1).
    f′(x)<0, pentru orice x∈(−1,1)⇒f este descresca˘toare pe (−1,1)\displaystyle f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(-1,1)\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(-1,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)→R\displaystyle f:(-1,1)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡1−x1+x\displaystyle f(x)=\ln\frac{1-x}{1+x}.

Determinați punctele de inflexiune ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1) avem 1−x>0\displaystyle 1-x>0 și 1+x>0\displaystyle 1+x>0, deci putem scrie f(x)=ln⁡(1−x)−ln⁡(1+x)\displaystyle f(x)=\ln(1-x)-\ln(1+x).
    f(x)=ln⁡(1−x)−ln⁡(1+x)\displaystyle f(x)=\ln(1-x)-\ln(1+x)
  2. Derivăm: f′(x)=−11−x−11+x=−(1+x)−(1−x)(1−x)(1+x)=−21−x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-1}{1-x}-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{-(1+x)-(1-x)}{(1-x)(1+x)}=\dfrac{-2}{1-x^{2}}.
    f′(x)=−21−x2=2x2−1\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{1-x^{2}}=\dfrac{2}{x^{2}-1}
  3. Derivăm f′(x)=2(x2−1)−1\displaystyle f'(x)=2\left(x^{2}-1\right)^{-1} și obținem f′′(x)=−2(x2−1)−2⋅2x=−4x(x2−1)2\displaystyle f''(x)=-2\left(x^{2}-1\right)^{-2}\cdot 2x=-\dfrac{4x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}, pentru orice x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1).
    f′′(x)=−4x(x2−1)2, pentru orice x∈(−1,1)\displaystyle f''(x)=-\dfrac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}\text{, pentru orice }x\in(-1,1)
  4. Numitorul (x2−1)2\displaystyle \left(x^{2}-1\right)^{2} este strict pozitiv pe (−1,1)\displaystyle (-1,1), deci f′′(x)=0\displaystyle f''(x)=0 dacă și numai dacă −4x=0\displaystyle -4x=0, adică x=0\displaystyle x=0, care aparține intervalului (−1,1)\displaystyle (-1,1).
    f′′(x)=0⇔x=0\displaystyle f''(x)=0\Leftrightarrow x=0
  5. Numitorul este pozitiv, deci semnul lui f′′\displaystyle f'' este dat de semnul lui −4x\displaystyle -4x. Pentru x∈(−1,0]\displaystyle x\in(-1,0] avem −4x≥0\displaystyle -4x\geq 0, deci f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\geq 0 și f\displaystyle f este convexă. Pentru x∈[0,1)\displaystyle x\in[0,1) avem −4x≤0\displaystyle -4x\leq 0, deci f′′(x)≤0\displaystyle f''(x)\leq 0 și f\displaystyle f este concavă.
    f′′(x)≥0, pentru orice x∈(−1,0], f′′(x)≤0, pentru orice x∈[0,1)\displaystyle f''(x)\geq0\text{, pentru orice }x\in(-1,0]\text{, }f''(x)\leq0\text{, pentru orice }x\in[0,1)
  6. Deoarece f′′\displaystyle f'' își schimbă semnul în x=0\displaystyle x=0, iar f\displaystyle f este continuă în 0\displaystyle 0, funcția are un punct de inflexiune în x=0\displaystyle x=0. Cum f(0)=ln⁡1=0\displaystyle f(0)=\ln 1=0, punctul este (0,0)\displaystyle (0,0).
    f′′(x)≥0, pentru orice x∈(−1,0], f′′(x)≤0, pentru orice x∈[0,1), deci punctul de \displaystyle f''(x)\geq0\text{, pentru orice }x\in(-1,0]\text{, }f''(x)\leq0\text{, pentru orice }x\in[0,1)\text{, deci punctul de }inflexiune este x=0\displaystyle \text{inflexiune este }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n se consideră numărul In=∫12xnex dx\displaystyle I_n=\int_1^2 x^ne^x\,dx.

Calculați I0\displaystyle I_0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n=0\displaystyle n=0 în definiția lui In\displaystyle I_n. Cum x0=1\displaystyle x^0=1, rămâne integrala funcției exponențiale de la 1\displaystyle 1 la 2\displaystyle 2.
    I0=∫12ex dx\displaystyle I_0=\int_1^2 e^x\,dx
  2. O primitivă a funcției ex\displaystyle e^x este chiar ex\displaystyle e^x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^x\Big|_1^2.
    ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^x\Big|_1^2
  3. Calculăm diferența dintre valoarea primitivei în 2\displaystyle 2 și valoarea ei în 1\displaystyle 1: e2−e1\displaystyle e^2-e^1. Deci I0=e2−e\displaystyle I_0=e^2-e.
    I0=e2−e\displaystyle I_0=e^2-e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n se consideră numărul In=∫12xnex dx\displaystyle I_n=\int_1^2 x^ne^x\,dx.

Arătați că I1=e2\displaystyle I_1=e^2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n=1\displaystyle n=1 în definiția lui In\displaystyle I_n și obținem I1=∫12xex dx\displaystyle I_1=\int_1^2 xe^x\,dx.
    I1=∫12xex dx\displaystyle I_1=\int_1^2 xe^x\,dx
  2. Integrăm prin părți, cu formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x\displaystyle u=x,  dv=ex dx  ⇒  du=dx\displaystyle \; dv=e^x\,dx\;\Rightarrow\; du=dx,  v=ex\displaystyle \; v=e^x
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți: I1=xex∣12−∫12ex dx\displaystyle I_1=xe^x\Big|_1^2-\int_1^2 e^x\,dx.
    I1=xex∣12−∫12ex dx\displaystyle I_1=xe^x\Big|_1^2-\int_1^2 e^x\,dx
  4. Calculăm primul termen, înlocuind limitele: xex∣12=2e2−1⋅e=2e2−e\displaystyle xe^x\Big|_1^2=2e^2-1\cdot e=2e^2-e.
    xex∣12=2e2−e\displaystyle xe^x\Big|_1^2=2e^2-e
  5. Calculăm integrala rămasă: ∫12ex dx=ex∣12=e2−e\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^x\Big|_1^2=e^2-e.
    ∫12ex dx=e2−e\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^2-e
  6. Scădem cele două rezultate: I1=(2e2−e)−(e2−e)=2e2−e−e2+e=e2\displaystyle I_1=(2e^2-e)-(e^2-e)=2e^2-e-e^2+e=e^2. Așadar I1=e2\displaystyle I_1=e^2.
    I1=(2e2−e)−(e2−e)=e2\displaystyle I_1=(2e^2-e)-(e^2-e)=e^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n se consideră numărul In=∫12xnex dx\displaystyle I_n=\int_1^2 x^ne^x\,dx.

Demonstrați că In+1+(n+1)In=2n+1e2−e\displaystyle I_{n+1}+(n+1)I_n=2^{n+1}e^2-e, pentru orice număr natural n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem In+1\displaystyle I_{n+1} și observăm că ex=(ex)′\displaystyle e^x=(e^x)', deci putem aplica integrarea prin părți: In+1=∫12xn+1ex dx=∫12xn+1(ex)′ dx\displaystyle I_{n+1}=\int_1^2 x^{n+1}e^x\,dx=\int_1^2 x^{n+1}(e^x)'\,dx.
    In+1=∫12xn+1ex dx=∫12xn+1(ex)′ dx\displaystyle I_{n+1}=\int_1^2 x^{n+1}e^x\,dx=\int_1^2 x^{n+1}(e^x)'\,dx
  2. Aplicăm formula ∫12fg′ dx=fg∣12−∫12f′g dx\displaystyle \int_1^2 f g'\,dx=fg\Big|_1^2-\int_1^2 f'g\,dx cu f(x)=xn+1\displaystyle f(x)=x^{n+1} și g(x)=ex\displaystyle g(x)=e^x, deci f′(x)=(n+1)xn\displaystyle f'(x)=(n+1)x^{n}.
    In+1=xn+1ex∣12−∫12(n+1)xnex dx\displaystyle I_{n+1}=x^{n+1}e^x\Big|_1^2-\int_1^2 (n+1)x^ne^x\,dx
  3. Scoatem constanta n+1\displaystyle n+1 în fața integralei și recunoaștem In=∫12xnex dx\displaystyle I_n=\int_1^2 x^ne^x\,dx.
    In+1=xn+1ex∣12−(n+1)In\displaystyle I_{n+1}=x^{n+1}e^x\Big|_1^2-(n+1)I_n
  4. Calculăm termenul integrat: xn+1ex∣12=2n+1e2−1n+1e1=2n+1e2−e\displaystyle x^{n+1}e^x\Big|_1^2=2^{n+1}e^2-1^{n+1}e^1=2^{n+1}e^2-e.
    xn+1ex∣12=2n+1e2−e\displaystyle x^{n+1}e^x\Big|_1^2=2^{n+1}e^2-e
  5. Mutăm (n+1)In\displaystyle (n+1)I_n în membrul stâng și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice număr natural n\displaystyle n.
    In+1+(n+1)In=2n+1e2−e\displaystyle I_{n+1}+(n+1)I_n=2^{n+1}e^2-e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.