Bac matematică M1 mate-info 2023, sesiunea specială varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2−i)2+i(4+i)=2\displaystyle (2-i)^2+i(4+i)=2, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se dezvoltă pătratul (2−i)2(2-i)^2 folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=2a=2 și b=ib=i.
    (2−i)2=4−4i+i2\displaystyle (2-i)^2=4-4i+i^2
  2. Se distribuie ii în paranteza (4+i)(4+i), aplicând proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare.
    i(4+i)=4i+i2\displaystyle i(4+i)=4i+i^2
  3. Se adună cele două expresii dezvoltate anterior, obținând forma completă a expresiei din enunț.
    (2−i)2+i(4+i)=4−4i+i2+4i+i2\displaystyle (2-i)^2+i(4+i)=4-4i+i^2+4i+i^2
  4. Se înlocuiește i2=−1i^2=-1 în expresia obținută, conform datelor din enunț.
    4−4i+(−1)+4i+(−1)\displaystyle 4-4i+(-1)+4i+(-1)
  5. Se grupează termenii asemenea: termenii care conțin ii se reduc (−4i+4i=0-4i+4i=0), iar termenii numerici rămân.
    4−1−1=2\displaystyle 4-1-1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+3\displaystyle f(x)=x+3. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care (f∘f)(m)=2m\displaystyle (f\circ f)(m)=2m.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f aplicată variabilei m, conform definiției date.
    f(m)=m+3\displaystyle f(m)=m+3
  2. Se calculează (f∘f)(m)=f(f(m))\displaystyle (f\circ f)(m) = f(f(m)), aplicând funcția f\displaystyle f asupra rezultatului f(m)=m+3\displaystyle f(m)=m+3.
    (f∘f)(m)=f(m+3)=(m+3)+3\displaystyle (f\circ f)(m)=f(m+3)=(m+3)+3
  3. Se simplifică expresia obținută pentru a scrie forma finală a compunerii, valabilă pentru orice număr real m.
    (f∘f)(m)=m+6, pentru orice numa˘r real m\displaystyle (f\circ f)(m)=m+6\text{, pentru orice număr real }m
  4. Se pune condiția din enunț, înlocuind (f∘f)(m)\displaystyle (f\circ f)(m) cu expresia găsită, obținându-se o ecuație liniară în m\displaystyle m.
    m+6=2m\displaystyle m+6=2m
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută, izolând necunoscuta m.
    m+6=2m, de unde obținem m=6\displaystyle m+6=2m\text{, de unde obținem }m=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+1−3⋅5x=10\displaystyle 5^{x+1}-3\cdot5^x=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie 5x+15^{x+1} folosind proprietatea am+n=am⋅ana^{m+n}=a^m\cdot a^n, adică 5x+1=5x⋅51=5⋅5x5^{x+1}=5^x\cdot5^1=5\cdot5^x.
    5x+1=5⋅5x\displaystyle 5^{x+1}=5\cdot5^x
  2. Se înlocuiește 5x+15^{x+1} cu 5⋅5x5\cdot5^x în ecuația inițială și se reduc termenii asemenea care conțin 5x5^x.
    5⋅5x−3⋅5x=10, deci 2⋅5x=10, de unde obținem 5x=5\displaystyle 5\cdot5^x-3\cdot5^x=10\text{, deci }2\cdot5^x=10\text{, de unde obținem }5^x=5
  3. Se scrie 55 ca putere a bazei 55, adică 5=515=5^1, pentru a obține o ecuație de forma 5x=515^x=5^1.
    5x=51\displaystyle 5^x=5^1
  4. Deoarece funcția exponențială x↦5xx\mapsto5^x este injectivă (bază 5>05>0, 5≠15\neq1), din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre, adică numerele de la 1010 la 9999, și se calculează numărul cazurilor posibile.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Se stabilește condiția favorabilă: fiecare cifră a numărului (cifra zecilor și cifra unităților) trebuie să fie mai mare sau egală cu 77, deci trebuie să aparțină mulțimii {7,8,9}\{7,8,9\}.
    cifra zecilor, cifra \displaystyle \text{cifra zecilor, cifra }unitatilor∈{7,8,9}\displaystyle \text{unitatilor}\in\{7,8,9\}
  3. Se numără cazurile favorabile: cifra zecilor poate fi aleasă în 33 moduri (77, 88 sau 99), iar cifra unităților în alte 33 moduri (77, 88 sau 99), deci numărul total de cazuri favorabile este produsul acestora.
    3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9
  4. Se aplică formula probabilității clasice, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, și se simplifică fracția obținută.
    p=990=110\displaystyle p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,4)\displaystyle A(0,4), B(3,−2)\displaystyle B(3,-2) și C(2a,a)\displaystyle C(2a,a), unde a\displaystyle a este număr real nenul. Arătați că dreptele AB\displaystyle AB și OC\displaystyle OC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula pantei unei drepte determinate de două puncte și se aplică pentru dreapta AB\displaystyle AB, folosind coordonatele punctelor A(0,4)\displaystyle A(0,4) și B(3,−2)\displaystyle B(3,-2).
    mAB=yB−yAxB−xA=−2−43−0\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2-4}{3-0}
  2. Se efectuează calculul și se obține valoarea pantei dreptei AB\displaystyle AB.
    mAB=−63=−2\displaystyle m_{AB}=\dfrac{-6}{3}=-2
  3. Se scrie formula pantei dreptei OC\displaystyle OC, folosind coordonatele punctelor O(0,0)\displaystyle O(0,0) și C(2a,a)\displaystyle C(2a,a).
    mOC=yC−yOxC−xO=a−02a−0\displaystyle m_{OC}=\dfrac{y_C-y_O}{x_C-x_O}=\dfrac{a-0}{2a-0}
  4. Se simplifică expresia obținută, observând că fracția nu depinde de valoarea concretă a lui a\displaystyle a, atâta timp cât a\displaystyle a este nenul (astfel dreapta OC\displaystyle OC este bine definită și diferită de axa Oy\displaystyle Oy).
    mOC=a2a=12, pentru orice numa˘r real \displaystyle m_{OC}=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\text{, pentru orice număr real }nenul a\displaystyle \text{nenul }a
  5. Se aplică condiția de perpendicularitate a două drepte: produsul pantelor lor trebuie să fie egal cu −1\displaystyle -1. Se calculează produsul pantelor obținute anterior și se verifică egalitatea, concluzionând că dreptele AB\displaystyle AB și OC\displaystyle OC sunt perpendiculare pentru orice a\displaystyle a real nenul.
    mOC=12, pentru orice numa˘r real \displaystyle m_{OC}=\dfrac{1}{2}\text{, pentru orice număr real }nenul a și, cum mAB⋅mOC=(−2)⋅12=−1, obținem ca˘ dreptele AB și OC sunt perpendiculare, \displaystyle \text{nenul }a\text{ și, cum }m_{AB}\cdot m_{OC}=(-2)\cdot\dfrac{1}{2}=-1\text{, obținem că dreptele }AB\text{ și }OC\text{ sunt perpendiculare, }pentru orice numa˘r real \displaystyle \text{pentru orice număr real }nenul a\displaystyle \text{nenul }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+4cos⁡x3sin⁡2x3\displaystyle E(x)=\sin x+4\cos\dfrac{x}{3}\sin\dfrac{2x}{3}, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π2)=4\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2} în expresia E(x)\displaystyle E(x), calculând mai întâi argumentele care apar: x3=π6\displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{\pi}{6} și 2x3=π3\displaystyle \dfrac{2x}{3}=\dfrac{\pi}{3}.
    E(π2)=sin⁡π2+4cos⁡π6sin⁡π3\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}+4\cos\dfrac{\pi}{6}\sin\dfrac{\pi}{3}
  2. Se calculează valorile trigonometrice ale unghiurilor obținute, folosind valorile cunoscute pentru unghiuri uzuale.
    sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1, cos⁡π6=32\displaystyle \ \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡π3=32\displaystyle \ \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}
  3. Se introduc valorile calculate în expresia lui E(π2)\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{2}\right).
    E(π2)=1+4⋅32⋅32\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1+4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}
  4. Se efectuează înmulțirile: 4⋅32⋅32=4⋅34=3\displaystyle 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\cdot\dfrac{3}{4}=3, apoi se adună cu 1\displaystyle 1 pentru a obține rezultatul final.
    E(π2)=1+4⋅34=4\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1+4\cdot\dfrac{3}{4}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a−12a1−2a111−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & -1 & 2a\\ 1 & -2 & a\\ 1 & 1 & 1-a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−y+2az=0x−2y+az=0x+y+(1−a)z=0\displaystyle \begin{cases}ax-y+2az=0\\ x-2y+az=0\\ x+y+(1-a)z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a), obținându-se matricea numerică A(0)\displaystyle A(0), apoi se scrie determinantul asociat acesteia, care urmează a fi calculat prin regula lui Sarrus.
    A(0)=(0−101−20111)⇒det⁡(A(0))=∣0−101−20111∣=\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&-2&0\\1&1&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(0))=\begin{vmatrix}0&-1&0\\1&-2&0\\1&1&1\end{vmatrix}=
  2. Se aplică regula lui Sarrus: se rescriu primele două coloane ale determinantului la dreapta acestuia, obținându-se schema de calcul.
    0−100−11−201−211111\displaystyle \begin{array}{ccc|cc}0&-1&0&0&-1\\1&-2&0&1&-2\\1&1&1&1&1\end{array}
  3. Se calculează produsele elementelor de pe cele trei diagonale principale (de la stânga la dreapta), care se adună.
    0⋅(−2)⋅1+(−1)⋅0⋅1+0⋅1⋅1=0+0+0\displaystyle 0\cdot(-2)\cdot1+(-1)\cdot0\cdot1+0\cdot1\cdot1=0+0+0
  4. Se calculează produsele elementelor de pe cele trei diagonale secundare (de la dreapta la stânga), care se scad.
    0⋅(−2)⋅1+(−1)⋅1⋅1+0⋅1⋅0=0+(−1)+0\displaystyle 0\cdot(-2)\cdot1+(-1)\cdot1\cdot1+0\cdot1\cdot0=0+(-1)+0
  5. Se scriu toate cele șase produse, cu semnele corespunzătoare regulii lui Sarrus, și se însumează pentru a obține valoarea determinantului.
    det⁡(A(0))=0+0+0−0−0−(−1)=1\displaystyle \det(A(0))=0+0+0-0-0-(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a−12a1−2a111−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & -1 & 2a\\ 1 & -2 & a\\ 1 & 1 & 1-a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−y+2az=0x−2y+az=0x+y+(1−a)z=0\displaystyle \begin{cases}ax-y+2az=0\\ x-2y+az=0\\ x+y+(1-a)z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea numerelor reale a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea sistemului și se identifică faptul că sistemul este liniar și omogen (toți termenii liberi sunt 0\displaystyle 0), deci soluția banală x=y=z=0\displaystyle x=y=z=0 există întotdeauna. Pentru a stabili când este singura soluție, se calculează determinantul matricei sistemului, folosind regula lui Sarrus.
    det⁡(A(a))=∣a−12a1−2a111−a∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a&-1&2a\\1&-2&a\\1&1&1-a\end{vmatrix}
  2. Se aplică regula lui Sarrus: se calculează suma produselor de pe cele trei diagonale principale.
    a⋅(−2)⋅(1−a)+(−1)⋅a⋅1+2a⋅1⋅1=2a2−a\displaystyle a\cdot(-2)\cdot(1-a)+(-1)\cdot a\cdot 1+2a\cdot 1\cdot 1=2a^2-a
  3. Se calculează suma produselor de pe cele trei diagonale secundare.
    2a⋅(−2)⋅1+a⋅a⋅1+(−1)⋅1⋅(1−a)=a2−3a−1\displaystyle 2a\cdot(-2)\cdot 1+a\cdot a\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot(1-a)=a^2-3a-1
  4. Determinantul este diferența dintre suma diagonalelor principale și suma diagonalelor secundare; se efectuează scăderea și se reduc termenii asemenea.
    det⁡(A(a))=(2a2−a)−(a2−3a−1)=a2+2a+1\displaystyle \det(A(a))=(2a^2-a)-(a^2-3a-1)=a^2+2a+1
  5. Se observă că expresia obținută este un pătrat perfect, obținându-se forma finală a determinantului, valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=(a+1)2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=(a+1)^2\text{, pentru orice număr real }a
  6. Pentru un sistem liniar și omogen, soluția este unică (doar cea banală) dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este nenul. Se rezolvă ecuația determinantului egal cu zero.
    (a+1)2=0⇔a=−1\displaystyle (a+1)^2=0\Leftrightarrow a=-1
  7. Se conchide: determinantul este nenul pentru orice a\displaystyle a diferit de −1\displaystyle -1, deci sistemul are soluție unică (soluția banală) exact pentru aceste valori ale parametrului a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=0⇔a=−1, deci sistemul de \displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow a=-1\text{, deci sistemul de }ecuații are soluție unica˘ \displaystyle \text{ecuații are soluție unică }daca˘ și numai daca˘ a∈R∖{−1}\displaystyle \text{dacă și numai dacă }a\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a−12a1−2a111−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & -1 & 2a\\ 1 & -2 & a\\ 1 & 1 & 1-a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−y+2az=0x−2y+az=0x+y+(1−a)z=0\displaystyle \begin{cases}ax-y+2az=0\\ x-2y+az=0\\ x+y+(1-a)z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=−1\displaystyle a=-1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) ale sistemului pentru care x02+y02+z02=3\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=−1\displaystyle a=-1 în sistemul dat, obținându-se sistemul omogen corespunzător.
    {−x−y−2z=0x−2y−z=0x+y+2z=0\displaystyle \begin{cases}-x-y-2z=0\\ x-2y-z=0\\ x+y+2z=0\end{cases}
  2. Se observă că prima ecuație este echivalentă cu a treia (înmulțind cu −1\displaystyle -1), deci sistemul se reduce la doar două ecuații independente.
    {x+y+2z=0x−2y−z=0\displaystyle \begin{cases}x+y+2z=0\\ x-2y-z=0\end{cases}
  3. Se scad cele două ecuații rămase pentru a elimina necunoscuta x\displaystyle x, obținând o relație între y\displaystyle y și z\displaystyle z.
    (x+y+2z)−(x−2y−z)=0⇒3y+3z=0⇒y=−z\displaystyle (x+y+2z)-(x-2y-z)=0\Rightarrow 3y+3z=0\Rightarrow y=-z
  4. Se substituie y=−z\displaystyle y=-z în ecuația x+y+2z=0\displaystyle x+y+2z=0 pentru a obține pe x\displaystyle x în funcție de z\displaystyle z.
    x+(−z)+2z=0⇒x+z=0⇒x=−z\displaystyle x+(-z)+2z=0\Rightarrow x+z=0\Rightarrow x=-z
  5. Notând z=α\displaystyle z=\alpha (parametru real), se scrie soluția generală a sistemului pentru a=−1\displaystyle a=-1.
    (−α,−α,α), cu α∈R\displaystyle (-\alpha,-\alpha,\alpha)\text{, cu }\alpha\in\mathbb{R}
  6. Se identifică soluția particulară (x0,y0,z0)=(−α,−α,α)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(-\alpha,-\alpha,\alpha) și se calculează suma pătratelor componentelor sale.
    x02+y02+z02=(−α)2+(−α)2+α2=3α2\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=(-\alpha)^2+(-\alpha)^2+\alpha^2=3\alpha^2
  7. Se impune condiția din enunț ca suma pătratelor să fie egală cu 3\displaystyle 3 și se rezolvă ecuația obținută pentru parametrul α\displaystyle \alpha, determinând astfel soluțiile cerute.
    x02+y02+z02=3α2, deci 3α2=3, de unde obținem α=−1 sau α=1, deci soluțiile sunt (1,1,−1) și (−1,−1,1)\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3\alpha^2\text{, deci }3\alpha^2=3\text{, de unde obținem }\alpha=-1\text{ sau }\alpha=1\text{, deci soluțiile sunt }(1,1,-1)\text{ și }(-1,-1,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y2−4(x+y)2+1\displaystyle x*y=x^2y^2-4(x+y)^2+1.

Arătați că 0∗1=−3\displaystyle 0*1=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție și se identifică valorile care trebuie înlocuite: x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1.
    x∗y=x2y2−4(x+y)2+1\displaystyle x*y=x^2y^2-4(x+y)^2+1, pentru x=0\displaystyle \text{ pentru }x=0, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Se înlocuiesc x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1 în formula legii de compoziție.
    0∗1=02⋅12−4(0+1)2+1=\displaystyle 0*1=0^2\cdot1^2-4(0+1)^2+1=
  3. Se calculează separat fiecare termen: 02=0\displaystyle 0^{2}=0, 12=1\displaystyle 1^{2}=1, deci produsul lor este 0\displaystyle 0, iar (0+1)2=1\displaystyle (0+1)^{2}=1.
    02⋅12=0⋅1=0\displaystyle 0^2\cdot1^2=0\cdot1=0,(0+1)2=12=1\displaystyle \quad(0+1)^2=1^2=1
  4. Se înlocuiesc valorile calculate în expresie și se obține o sumă algebrică simplă.
    0∗1=0−4⋅1+1=0−4+1\displaystyle 0*1=0-4\cdot1+1=0-4+1
  5. Se efectuează calculul final, adunând și scăzând termenii pentru a obține rezultatul.
    0−4+1=−3\displaystyle 0-4+1=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y2−4(x+y)2+1\displaystyle x*y=x^2y^2-4(x+y)^2+1.

Arătați că x∗(−1)≤2x\displaystyle x*(-1)\le2x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru perechea (x,−1)\displaystyle (x, -1), înlocuind y\displaystyle y cu −1\displaystyle -1 în formula dată.
    x∗(−1)=x2⋅(−1)2−4(x+(−1))2+1\displaystyle x*(-1)=x^2\cdot(-1)^2-4(x+(-1))^2+1
  2. Se simplifică (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1 și se dezvoltă pătratul (x−1)2\displaystyle (x-1)^2 folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
    x∗(−1)=x2−4(x2−2x+1)+1\displaystyle x*(-1)=x^2-4(x^2-2x+1)+1
  3. Se desface paranteza (se înmulțește cu −4\displaystyle -4) și se reduc termenii asemenea pentru a obține forma finală a expresiei x∗(−1)\displaystyle x*(-1).
    x∗(−1)=x2−4x2+8x−4+1=−3x2+8x−3\displaystyle x*(-1)=x^2-4x^2+8x-4+1=-3x^2+8x-3
  4. Se scrie termenul 8x\displaystyle 8x ca sumă 6x+2x\displaystyle 6x+2x, pentru a putea forma un pătrat perfect din primii trei termeni ai expresiei.
    −3x2+8x−3=−3x2+6x−3+2x\displaystyle -3x^2+8x-3=-3x^2+6x-3+2x
  5. Se observă că −3x2+6x−3=−3(x2−2x+1)=−3(x−1)2\displaystyle -3x^2+6x-3=-3(x^2-2x+1)=-3(x-1)^2, deci expresia devine o sumă dintre un pătrat perfect negativ și 2x\displaystyle 2x; cum −3(x−1)2≤0\displaystyle -3(x-1)^2\leq 0 pentru orice x\displaystyle x real, rezultă inegalitatea cerută.
    −3x2+6x−3+2x=−3(x−1)2+2x≤2x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle -3x^2+6x-3+2x=-3(x-1)^2+2x\le2x\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y2−4(x+y)2+1\displaystyle x*y=x^2y^2-4(x+y)^2+1.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale nenule, cu m≤n\displaystyle m\le n, pentru care m∗n=1\displaystyle m*n=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția m∗n=1\displaystyle m*n=1 folosind definiția legii: m2n2−4(m+n)2+1=1\displaystyle m^2n^2-4(m+n)^2+1=1.
    m2n2−4(m+n)2+1=1\displaystyle m^{2}n^{2}-4(m+n)^{2}+1=1
  2. Reducem termenul 1\displaystyle 1 din ambii membri și mutăm termenul cu paranteză în dreapta: m2n2=4(m+n)2\displaystyle m^2n^2=4(m+n)^2, adică (mn)2=(2(m+n))2\displaystyle (mn)^2=\left(2(m+n)\right)^2.
    (mn)2=(2(m+n))2\displaystyle (mn)^{2}=\left(2(m+n)\right)^{2}
  3. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale nenule, numerele mn\displaystyle mn și 2(m+n)\displaystyle 2(m+n) sunt pozitive, deci din egalitatea pătratelor rezultă mn=2(m+n)\displaystyle mn=2(m+n). Mutăm totul într-un membru: mn−2m−2n=0\displaystyle mn-2m-2n=0.
    mn−2m−2n=0\displaystyle mn-2m-2n=0
  4. Adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri: mn−2m−2n+4=4\displaystyle mn-2m-2n+4=4. Grupăm termenii: m(n−2)−2(n−2)=4\displaystyle m(n-2)-2(n-2)=4, deci (m−2)(n−2)=4\displaystyle (m-2)(n-2)=4.
    (m−2)(n−2)=4\displaystyle (m-2)(n-2)=4
  5. Cum m≥1\displaystyle m\ge 1, avem m−2≥−1\displaystyle m-2\ge -1, iar m−2≠0\displaystyle m-2\ne 0. Cazul m−2=−1\displaystyle m-2=-1 dă n−2=−4\displaystyle n-2=-4, adică n=−2\displaystyle n=-2, imposibil. Rămân divizorii pozitivi ai lui 4\displaystyle 4 cu m−2≤n−2\displaystyle m-2\le n-2: m−2=1, n−2=4\displaystyle m-2=1,\ n-2=4 sau m−2=2, n−2=2\displaystyle m-2=2,\ n-2=2.
    (m−2, n−2)∈{(1,4),(2,2)}\displaystyle \left(m-2,\ n-2\right)\in\{(1,4),(2,2)\}
  6. Revenim la m\displaystyle m și n\displaystyle n: din (1,4)\displaystyle (1,4) obținem (m,n)=(3,6)\displaystyle (m,n)=(3,6), iar din (2,2)\displaystyle (2,2) obținem (m,n)=(4,4)\displaystyle (m,n)=(4,4).
    (m,n)∈{(3,6), (4,4)}\displaystyle (m,n)\in\{(3,6),\ (4,4)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−ln⁡(x2+x+5)\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{5}-\ln(x^2+x+5).

Arătați că f′(x)=x2−9x5(x2+x+5)\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivatele celor doi termeni ai funcției: derivata lui x5\displaystyle \dfrac{x}{5} este 15\displaystyle \dfrac{1}{5}, iar derivata lui ln⁡(x2+x+5)\displaystyle \ln(x^{2}+x+5) se face folosind regula de derivare a funcției compuse (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}, cu u=x2+x+5\displaystyle u = x^{2}+x+5, deci u′=2x+1\displaystyle u' = 2x+1.
    f′(x)=(x5)′−(ln⁡(x2+x+5))′=15−2x+1x2+x+5\displaystyle f'(x)=\left(\dfrac{x}{5}\right)'-\left(\ln(x^2+x+5)\right)'=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2x+1}{x^2+x+5}
  2. Se scrie expresia obținută anterior, pregătind aducerea celor două fracții la același numitor.
    f′(x)=15−2x+1x2+x+5=\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2x+1}{x^2+x+5}=
  3. Se aduc cele două fracții la același numitor comun, care este 5(x2+x+5)\displaystyle 5(x^{2}+x+5), amplificând prima fracție cu (x2+x+5)\displaystyle (x^{2}+x+5) și a doua cu 5\displaystyle 5.
    x2+x+5−5(2x+1)5(x2+x+5)\displaystyle \dfrac{x^2+x+5-5(2x+1)}{5(x^2+x+5)}
  4. Se efectuează calculele la numărător: se desface paranteza 5(2x+1)=10x+5\displaystyle 5(2x+1)=10x+5 și se reduc termenii asemenea.
    x2+x+5−10x−55(x2+x+5)\displaystyle \dfrac{x^2+x+5-10x-5}{5(x^2+x+5)}
  5. Se reduc termenii asemenea la numărător (x−10x=−9x\displaystyle x-10x=-9x, 5−5=0\displaystyle 5-5=0), obținând forma finală a derivatei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real, deoarece numitorul x2+x+5\displaystyle x^{2}+x+5 este întotdeauna strict pozitiv (discriminant negativ).
    x2+x+5−10x−55(x2+x+5)=x2−9x5(x2+x+5), x∈R\displaystyle \dfrac{x^2+x+5-10x-5}{5(x^2+x+5)}=\dfrac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−ln⁡(x2+x+5)\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{5}-\ln(x^2+x+5).

Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a raportului și a compunerii cu logaritmul natural.
    f′(x)=15−2x+1x2+x+5\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2x+1}{x^2+x+5}
  2. Punem condiția ca derivata funcției să fie nulă în punctul de abscisă a\displaystyle a, conform metodei indicate în barem.
    f′(a)=0  ⟺  15−2a+1a2+a+5=0\displaystyle f'(a)=0\iff\dfrac{1}{5}-\dfrac{2a+1}{a^2+a+5}=0
  3. Aducem ecuația la același numitor (observăm că a2+a+5>0\displaystyle a^{2}+a+5>0 pentru orice a\displaystyle a real, deci putem înmulți liber cu acest numitor) și eliminăm fracțiile.
    a2+a+5−5(2a+1)=0\displaystyle a^2+a+5-5(2a+1)=0
  4. Desfacem paranteza, reducem termenii asemenea și obținem ecuația de gradul al doilea, apoi o rezolvăm prin factor comun.
    a2−9a=0, de unde obținem a=0 sau a=9\displaystyle a^2-9a=0\text{, de unde obținem }a=0\text{ sau }a=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−ln⁡(x2+x+5)\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{5}-\ln(x^2+x+5).

Demonstrați că ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că x2+x+5\displaystyle x^2+x+5 are discriminant negativ, deci este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, astfel funcția f\displaystyle f este bine definită pe R\displaystyle \mathbb{R} și derivabilă. Se calculează derivata folosind regula de derivare a funcției compuse pentru logaritm.
    f′(x)=15−2x+1x2+x+5\displaystyle f'(x)=\frac{1}{5}-\frac{2x+1}{x^2+x+5}
  2. Se aduce derivata la același numitor și se simplifică expresia obținută.
    f′(x)=x2+x+5−5(2x+1)5(x2+x+5)=x2−9x5(x2+x+5)=x(x−9)5(x2+x+5)\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+x+5-5(2x+1)}{5(x^2+x+5)}=\frac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}=\frac{x(x-9)}{5(x^2+x+5)}
  3. Deoarece numitorul 5(x2+x+5)\displaystyle 5(x^2+x+5) este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real (discriminantul lui x2+x+5\displaystyle x^2+x+5 este negativ), semnul derivatei f′(x)\displaystyle f'(x) este dat exclusiv de semnul numărătorului x(x−9)\displaystyle x(x-9).
    5(x2+x+5)>0\displaystyle 5(x^2+x+5)>0, ∀x∈R⇒semnul lui f′(x) coincide cu semnul lui x(x−9)\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow \text{semnul lui }f'(x)\text{ coincide cu semnul lui }x(x-9)
  4. Se studiază semnul produsului x(x−9)\displaystyle x(x-9): acesta este pozitiv sau nul pentru x\displaystyle x în (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] și pentru x\displaystyle x în [9,+∞)\displaystyle [9,+\infty), respectiv negativ sau nul pentru x\displaystyle x în [0,9]\displaystyle [0,9]. Rezultă monotonia funcției f\displaystyle f pe cele două intervale și, cum f\displaystyle f este crescătoare apoi descrescătoare cu punct de maxim în x=0\displaystyle x=0, obținem inegalitatea f(x)≤f(0)\displaystyle f(x)\leq f(0) pentru orice x\displaystyle x din (−∞,9]\displaystyle (-\infty,9].
    f′(x)≥0, pentru orice x∈(−∞,0]⇒f este cresca˘toare pe (−∞,0]; f′(x)≤0, pentru orice x∈[0,9]⇒f este descresca˘toare pe [0,9], deci f(x)≤f(0), pentru orice x∈(−∞,9]\displaystyle f'(x)\ge0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }(-\infty,0]\text{; }f'(x)\le0\text{, pentru orice }x\in[0,9]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[0,9]\text{, deci }f(x)\le f(0)\text{, pentru orice }x\in(-\infty,9]
  5. Se calculează valoarea funcției în punctul de maxim x=0\displaystyle x=0, valoare care va fi folosită pentru a stabili semnul lui f\displaystyle f pe (−∞,9]\displaystyle (-\infty,9] și, ulterior, existența soluției ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(0)=05−ln⁡(02+0+5)=−ln⁡5<0\displaystyle f(0)=\frac{0}{5}-\ln(0^2+0+5)=-\ln5<0
  6. Din pasul anterior, pentru orice x\displaystyle x din (−∞,9]\displaystyle (-\infty,9] avem f(x)≤f(0)=−ln⁡5<0\displaystyle f(x)\leq f(0)=-\ln 5<0, deci ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 nu are soluții pe acest interval. Pe intervalul (9,+∞)\displaystyle (9,+\infty), cum x(x−9)>0\displaystyle x(x-9)>0, derivata f′(x)\displaystyle f'(x) este strict pozitivă, deci f\displaystyle f este strict crescătoare acolo. Se calculează limita la +∞\displaystyle +\infty: termenul x5\displaystyle \dfrac{x}{5} domină logaritmul, deci limita este +∞\displaystyle +\infty. Cum f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R} (fiind o compunere de funcții elementare), pe intervalul (9,+∞)\displaystyle (9,+\infty) funcția pornește de la o valoare negativă (f(9)≤f(0)<0\displaystyle f(9)\leq f(0)<0) și crește nemărginit spre +∞\displaystyle +\infty, deci, conform teoremei valorilor intermediare, există cel puțin un punct în care f\displaystyle f se anulează; unicitatea acestui punct rezultă din stricta monotonie a lui f\displaystyle f pe (9,+∞)\displaystyle (9,+\infty). Combinând cu faptul că pe (−∞,9]\displaystyle (-\infty,9] f\displaystyle f nu se anulează, ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are soluție unică pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′(x)>0, pentru orice x∈(9,+∞)⇒f este strict cresca˘toare \displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(9,+\infty)\Rightarrow f\text{ este strict crescătoare }pe (9,+∞) și, cum f(0)=−ln⁡5<0, lim⁡x→+∞f(x)=+∞ și f este continua˘, obținem ca˘ \displaystyle \text{pe }(9,+\infty)\text{ și, cum }f(0)=-\ln5<0\text{, }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{ și }f\text{ este continuă, obținem că }ecuația f(x)=0 are soluție unica˘\displaystyle \text{ecuația }f(x)=0\text{ are soluție unică}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx3+8\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8}.

Arătați că ∫02(x3+8)f(x) dx=8\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}(x^3+8)f(x)\,dx=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4xx3+8\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8} în produs. Pe [0,2]\displaystyle [0,2] avem x3+8>0\displaystyle x^3+8>0, deci putem simplifica fracția.
    (x3+8)f(x)=(x3+8)⋅4xx3+8=4x\displaystyle (x^3+8)f(x)=(x^3+8)\cdot\dfrac{4x}{x^3+8}=4x
  2. Integrala devine ∫024x dx\displaystyle \displaystyle\int_0^2 4x\,dx. O primitivă a lui 4x\displaystyle 4x este 2x2\displaystyle 2x^2, deoarece (2x2)′=4x\displaystyle (2x^2)'=4x.
    ∫02(x3+8)f(x) dx=∫024x dx=2x2∣02\displaystyle \int_0^2 (x^3+8)f(x)\,dx=\int_0^2 4x\,dx=2x^2\Big|_0^2
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm 2⋅22−2⋅02\displaystyle 2\cdot 2^2-2\cdot 0^2.
    2⋅22−2⋅02=8−0=8\displaystyle 2\cdot 2^2-2\cdot 0^2=8-0=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx3+8\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8}.

Arătați că ∫14xf(x) dx=4ln⁡2\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{4}xf(x)\,dx=4\ln2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit produsul xf(x)\displaystyle xf(x) și se stabilește integrala definită ce trebuie calculată.
    ∫14xf(x)dx=∫14x⋅4xx3+8dx=∫144x2x3+8dx\displaystyle \int_1^4xf(x)dx=\int_1^4x\cdot\dfrac{4x}{x^3+8}dx=\int_1^4\dfrac{4x^2}{x^3+8}dx
  2. Se observă că derivata numitorului este (x3+8)′=3x2\displaystyle (x^{3}+8)'=3x^{2}, deci se scoate factor comun 43\displaystyle \frac{4}{3} pentru a obține la numărător exact derivata numitorului.
    4x2x3+8=43⋅3x2x3+8=43⋅(x3+8)′x3+8\displaystyle \dfrac{4x^2}{x^3+8}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3x^2}{x^3+8}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{(x^3+8)'}{x^3+8}
  3. Se scrie integrala în forma finală, evidențiind raportul dintre derivata numitorului și numitor, pentru care se cunoaște primitiva logaritmică.
    ∫14xf(x)dx=43∫14(x3+8)′x3+8dx=43⋅ln⁡(x3+8)∣14=\displaystyle \int_1^4xf(x)dx=\dfrac{4}{3}\int_1^4\dfrac{(x^3+8)'}{x^3+8}dx=\dfrac{4}{3}\cdot\ln(x^3+8)\Big|_1^4=
  4. Se calculează valorile expresiei x3+8\displaystyle x^{3}+8 la capetele intervalului de integrare, x=4\displaystyle x=4 și x=1\displaystyle x=1.
    x3+8∣x=4=64+8=72\displaystyle x^3+8\Big|_{x=4}=64+8=72,x3+8∣x=1=1+8=9\displaystyle \quad x^3+8\Big|_{x=1}=1+8=9
  5. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia primitivei evaluate pe interval și se folosește proprietatea logaritmilor pentru a simplifica diferența.
    43(ln⁡72−ln⁡9)=43ln⁡729=43ln⁡8\displaystyle \dfrac{4}{3}\big(\ln72-\ln9\big)=\dfrac{4}{3}\ln\dfrac{72}{9}=\dfrac{4}{3}\ln8
  6. Se scrie 8\displaystyle 8 ca putere a lui 2\displaystyle 2 și se simplifică expresia finală pentru a obține rezultatul integralei.
    43ln⁡8=43ln⁡23=43⋅3ln⁡2=4ln⁡2\displaystyle \dfrac{4}{3}\ln8=\dfrac{4}{3}\ln2^3=\dfrac{4}{3}\cdot3\ln2=4\ln2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx3+8\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8}.

Calculați lim⁡x→0(1x3∫0xt⋅f(t) dt)\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{x^3}\int_{0}^{x}t\cdot f(t)\,dt\right).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie limita dată și se verifică natura nedeterminării: pentru x→0\displaystyle x\to 0, integrala cu limită superioară variabilă tinde la 0 (deoarece intervalul de integrare se reduce la un punct), iar numitorul x3\displaystyle x^{3} tinde de asemenea la 0, deci avem cazul 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→0(1x3∫0xt⋅f(t)dt)=00 (caz de nedeterminare)\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{x^3}\int_0^xt\cdot f(t)dt\right)=\dfrac{0}{0}\text{ (caz de nedeterminare)}
  2. Fiind caz de nedeterminare 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, se aplică regula lui l'Hospital: se derivează separat numărătorul (integrala cu limită superioară variabilă, folosind teorema fundamentală a calculului integral) și numitorul.
    lim⁡x→0(∫0xt⋅f(t)dt)′(x3)′=lim⁡x→0x⋅f(x)3x2\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\left(\int_0^xt\cdot f(t)dt\right)'}{(x^3)'}=\lim_{x\to0}\dfrac{x\cdot f(x)}{3x^2}
  3. Se înlocuiește f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată și se simplifică fracția obținută prin x2\displaystyle x^{2} (pentru x\displaystyle x diferit de 0).
    lim⁡x→0x⋅4xx3+83x2=lim⁡x→04x2x3+83x2=lim⁡x→043(x3+8)\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{x\cdot\dfrac{4x}{x^3+8}}{3x^2}=\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac{4x^2}{x^3+8}}{3x^2}=\lim_{x\to0}\dfrac{4}{3(x^3+8)}
  4. Se calculează limita rezultată prin înlocuirea directă a lui x\displaystyle x cu 0, deoarece expresia este continuă în acest punct.
    lim⁡x→043(x3+8)=43⋅8=424=16\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{4}{3(x^3+8)}=\dfrac{4}{3\cdot8}=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.