Bac matematică M1 mate-info 2021, sesiunea specială varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați modulul numărului complex z=(2+3i)(2−3i)−(9−3i)\displaystyle z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (2+3i)(2−3i)\displaystyle (2+3i)(2-3i) este produsul a două numere complex conjugate, deci folosim formula diferenței de pătrate (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}, cu a=2\displaystyle a=2 și b=3i\displaystyle b=3i.
    (2+3i)(2−3i)=22−(3i)2\displaystyle (2+3i)(2-3i)=2^{2}-(3i)^{2}
  2. Calculăm (3i)2=9⋅i2=−9\displaystyle (3i)^{2}=9\cdot i^{2}=-9, deoarece i2=−1\displaystyle i^{2}=-1. Deci produsul este 4−(−9)=13\displaystyle 4-(-9)=13.
    (2+3i)(2−3i)=4+9=13\displaystyle (2+3i)(2-3i)=4+9=13
  3. Scădem paranteza (9−3i)\displaystyle (9-3i): schimbăm semnele termenilor din paranteză, apoi reducem termenii asemenea. Obținem z=13−9+3i=4+3i\displaystyle z=13-9+3i=4+3i.
    z=13−9+3i=4+3i\displaystyle z=13-9+3i=4+3i
  4. Modulul numărului complex a+bi\displaystyle a+bi este a2+b2\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aici a=4\displaystyle a=4 și b=3\displaystyle b=3, deci ∣z∣=16+9=25=5\displaystyle |z|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
    ∣z∣=42+32=25=5\displaystyle |z|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=5x+20\displaystyle g(x)=5x+20. Calculați (g∘f)(2)\displaystyle (g\circ f)(2).
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea se calculează aplicând întâi funcția f\displaystyle f, apoi funcția g\displaystyle g: (g∘f)(2)=g(f(2))\displaystyle (g\circ f)(2)=g(f(2)).
    (g∘f)(2)=g(f(2))\displaystyle (g\circ f)(2)=g(f(2))
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2: f(2)=2−2\displaystyle f(2)=2-2.
    f(2)=2−2=0\displaystyle f(2)=2-2=0
  3. Înlocuim f(2)=0\displaystyle f(2)=0 în g(x)=5x+20\displaystyle g(x)=5x+20, deci calculăm g(0)=5⋅0+20\displaystyle g(0)=5\cdot 0+20.
    g(0)=5⋅0+20=20\displaystyle g(0)=5\cdot 0+20=20
  4. Concluzie: (g∘f)(2)=g(f(2))=5⋅0+20=20\displaystyle (g\circ f)(2)=g(f(2))=5\cdot 0+20=20.
    (g∘f)(2)=20\displaystyle (g\circ f)(2)=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−5=116\displaystyle 4^{x-5}=\frac{1}{16}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fracția 116\displaystyle \dfrac{1}{16} ca putere a lui 4\displaystyle 4. Cum 16=42\displaystyle 16=4^{2}, avem 116=142=4−2\displaystyle \dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{4^{2}}=4^{-2}.
    116=4−2\displaystyle \dfrac{1}{16}=4^{-2}
  2. Înlocuim în ecuație: 4x−5=4−2\displaystyle 4^{x-5}=4^{-2}. Baza 4\displaystyle 4 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă și egalăm exponenții: x−5=−2\displaystyle x-5=-2.
    4x−5=4−2⇔x−5=−2\displaystyle 4^{x-5}=4^{-2}\Leftrightarrow x-5=-2
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri, deci x=−2+5\displaystyle x=-2+5, adică x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Cazurile posibile sunt numerele naturale de trei cifre, de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999. Prima cifră are 9\displaystyle 9 variante, iar celelalte două au câte 10\displaystyle 10 variante, deci numărul lor este 9⋅10⋅10=900\displaystyle 9\cdot 10\cdot 10=900.
    900\displaystyle 900
  2. Căutăm cifrele a,b,c\displaystyle a,b,c cu a⋅b⋅c=8\displaystyle a\cdot b\cdot c=8. Fiecare cifră trebuie să fie divizor al lui 8\displaystyle 8, deci cifrele pot fi doar 1,2,4,8\displaystyle 1,2,4,8, iar 0\displaystyle 0 este exclus.
    a\displaystyle a,b\displaystyle b,c∈{1,2,4,8}\displaystyle c\in\{1,2,4,8\}
  3. Descompunem 8\displaystyle 8 în produs de trei cifre, fără a ține cont de ordine: 1⋅1⋅8\displaystyle 1\cdot 1\cdot 8, 1⋅2⋅4\displaystyle 1\cdot 2\cdot 4 și 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2.
    8=1⋅1⋅8=1⋅2⋅4=2⋅2⋅2\displaystyle 8=1\cdot1\cdot8=1\cdot2\cdot4=2\cdot2\cdot2
  4. Pentru cifrele 1,1,8\displaystyle 1,1,8 obținem 3\displaystyle 3 numere: 118,181,811\displaystyle 118, 181, 811. Pentru cifrele 1,2,4\displaystyle 1,2,4, care sunt diferite, obținem 3!=6\displaystyle 3!=6 numere: 124,142,214,241,412,421\displaystyle 124, 142, 214, 241, 412, 421. Pentru cifrele 2,2,2\displaystyle 2,2,2 obținem un singur număr: 222\displaystyle 222. În total sunt 3+6+1=10\displaystyle 3+6+1=10 cazuri favorabile.
    {118,181,811,124,142,214,241,412,421,222}\displaystyle \{118,181,811,124,142,214,241,412,421,222\}, 10\displaystyle \ 10
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=10900=190\displaystyle p=\dfrac{10}{900}=\dfrac{1}{90}.
    p=10900=190\displaystyle p=\frac{10}{900}=\frac{1}{90}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră paralelogramul ABCD\displaystyle ABCD cu AB=4\displaystyle AB=4, BC=6\displaystyle BC=6 și măsura unghiului ABC\displaystyle ABC de 120∘\displaystyle 120^\circ. Determinați modulul vectorului AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului BD\displaystyle BD.
Vezi rezolvarea
  1. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc. Deci mijlocul M\displaystyle M al lui BD\displaystyle BD este și mijlocul lui AC\displaystyle AC.
    M este mijlocul lui AC\displaystyle M\text{ este mijlocul lui }AC
  2. Cum M\displaystyle M este mijlocul lui AC\displaystyle AC, vectorul AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} este jumătate din vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.
    AM→=12AC→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
  3. Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu unghiul ABC\displaystyle ABC de 120∘\displaystyle 120^\circ, între laturile AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC.
    AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡(∡ABC)\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos(\measuredangle ABC)
  4. Înlocuim AB=4\displaystyle AB=4, BC=6\displaystyle BC=6 și cos⁡120∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2} și calculăm AC2\displaystyle AC^2.
    AC2=16+36−2⋅4⋅6⋅(−12)=16+36+24=76\displaystyle AC^2=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=16+36+24=76
  5. Extragem rădăcina pătrată: AC=76=4⋅19\displaystyle AC=\sqrt{76}=\sqrt{4\cdot 19}.
    AC=219\displaystyle AC=2\sqrt{19}
  6. Modulul vectorului AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} este jumătate din AC\displaystyle AC, deci ∣AM→∣=12⋅219\displaystyle |\overrightarrow{AM}|=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{19}.
    ∣AM→∣=AM=19\displaystyle |\overrightarrow{AM}|=AM=\sqrt{19}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=12\displaystyle AB=12, AC=16\displaystyle AC=16 și BC=20\displaystyle BC=20. Arătați că rR=25\displaystyle \frac{r}{R}=\frac{2}{5}, unde r\displaystyle r este raza cercului înscris în triunghiul ABC\displaystyle ABC și R\displaystyle R este raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm dacă triunghiul este dreptunghic: calculăm pătratele laturilor. AB2=122=144\displaystyle AB^{2}=12^{2}=144, AC2=162=256\displaystyle AC^{2}=16^{2}=256, iar suma lor este 144+256=400\displaystyle 144+256=400.
    AB2+AC2=400\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=400
  2. Cum BC2=202=400\displaystyle BC^{2}=20^{2}=400, rezultă BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}. Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, iar BC\displaystyle BC este ipotenuză.
    BC2=AB2+AC2⇒ΔABC dreptunghic ıˆn A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow \Delta ABC\text{ dreptunghic în }A
  3. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci R=BC2=202\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{20}{2}.
    R=BC2=10\displaystyle R=\frac{BC}{2}=10
  4. Calculăm perimetrul și semiperimetrul triunghiului. Perimetrul este P=12+16+20=48\displaystyle P=12+16+20=48, deci semiperimetrul este p=482=24\displaystyle p=\dfrac{48}{2}=24.
    P=48\displaystyle P=48, p=24\displaystyle \ p=24
  5. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: A=AB⋅AC2=12⋅162\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{12\cdot 16}{2}.
    A=96\displaystyle \mathcal{A}=96
  6. Folosim formula A=r⋅p\displaystyle \mathcal{A}=r\cdot p, deci r=Ap=9624\displaystyle r=\dfrac{\mathcal{A}}{p}=\dfrac{96}{24}.
    r=4\displaystyle r=4
  7. Facem raportul: rR=410=25\displaystyle \dfrac{r}{R}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}, ceea ce trebuia demonstrat.
    rR=410=25\displaystyle \frac{r}{R}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−22132a−121)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=22x+y+3z=1(2a−1)x+2y+z=a\displaystyle \begin{cases} ax+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(4))=5\displaystyle \det(A(4))=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 4\displaystyle 4 în matrice. Elementul 2a−1\displaystyle 2a-1 devine 2⋅4−1=7\displaystyle 2\cdot 4-1=7, deci prima linie este (4, 1, −2)\displaystyle (4,\ 1,\ -2), a doua (2, 1, 3)\displaystyle (2,\ 1,\ 3), a treia (7, 2, 1)\displaystyle (7,\ 2,\ 1). Determinantul lui A(4)\displaystyle A(4) este determinantul acestei matrice.
    det⁡(A(4))=∣41−2213721∣\displaystyle \det(A(4))=\begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 1 \end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula triunghiului. Termenii cu semnul plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele celor două triunghiuri paralele cu ea: 4⋅1⋅1\displaystyle 4\cdot 1\cdot 1, 1⋅3⋅7\displaystyle 1\cdot 3\cdot 7 și (−2)⋅2⋅2\displaystyle (-2)\cdot 2\cdot 2.
    4⋅1⋅1+1⋅3⋅7+(−2)⋅2⋅2=4+21+(−8)\displaystyle 4\cdot 1\cdot 1+1\cdot 3\cdot 7+(-2)\cdot 2\cdot 2=4+21+(-8)
  3. Termenii care se scad sunt produsul elementelor de pe diagonala secundară și produsele celor două triunghiuri paralele cu ea: (−2)⋅1⋅7\displaystyle (-2)\cdot 1\cdot 7, 1⋅2⋅1\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1 și 4⋅3⋅2\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2.
    (−2)⋅1⋅7+1⋅2⋅1+4⋅3⋅2=−14+2+24\displaystyle (-2)\cdot 1\cdot 7+1\cdot 2\cdot 1+4\cdot 3\cdot 2=-14+2+24
  4. Scădem a doua sumă din prima și calculăm: 4+21−8=17\displaystyle 4+21-8=17, iar 17+14−2−24=5\displaystyle 17+14-2-24=5. Deci det⁡(A(4))=5\displaystyle \det(A(4))=5.
    4+21+(−8)−(−14)−2−24=5\displaystyle 4+21+(-8)-(-14)-2-24=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−22132a−121)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=22x+y+3z=1(2a−1)x+2y+z=a\displaystyle \begin{cases} ax+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(a)\displaystyle A(a) este neinversabilă exact când det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0. Calculăm mai întâi determinantul, dezvoltându-l după prima linie.
    det⁡(A(a))=∣a1−22132a−121∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm după prima linie: det⁡(A(a))=a∣1321∣−1⋅∣232a−11∣+(−2)∣212a−12∣\displaystyle \det(A(a))=a\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}2&3\\2a-1&1\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}2&1\\2a-1&2\end{vmatrix}. Minorii sunt 1−6=−5\displaystyle 1-6=-5, 2−3(2a−1)=5−6a\displaystyle 2-3(2a-1)=5-6a și 4−(2a−1)=5−2a\displaystyle 4-(2a-1)=5-2a.
    det⁡(A(a))=−5a−(5−6a)−2(5−2a)\displaystyle \det(A(a))=-5a-(5-6a)-2(5-2a)
  3. Desfacem parantezele: −5a−5+6a−10+4a\displaystyle -5a-5+6a-10+4a. Reducem termenii asemenea: (−5+6+4)a−15\displaystyle (-5+6+4)a-15.
    det⁡(A(a))=5a−15\displaystyle \det(A(a))=5a-15
  4. Matricea este neinversabilă când 5a−15=0\displaystyle 5a-15=0, adică 5a=15\displaystyle 5a=15.
    5a−15=0⇒5a=15\displaystyle 5a-15=0\Rightarrow 5a=15
  5. Împărțind la 5\displaystyle 5 obținem valoarea lui a\displaystyle a pentru care A(a)\displaystyle A(a) nu este inversabilă.
    det⁡(A(a))=0, deci a=3\displaystyle \det(A(a))=0\text{, deci }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−22132a−121)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=22x+y+3z=1(2a−1)x+2y+z=a\displaystyle \begin{cases} ax+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=3\displaystyle a=3, determinați soluțiile (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) ale sistemului de ecuații pentru care z02=x0+y0\displaystyle z_0^2=x_0+y_0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=3\displaystyle a=3 sistemul devine {3x+y−2z=22x+y+3z=15x+2y+z=3\displaystyle \begin{cases} 3x+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ 5x+2y+z=3 \end{cases}.
    {3x+y−2z=22x+y+3z=15x+2y+z=3\displaystyle \begin{cases} 3x+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ 5x+2y+z=3 \end{cases}
  2. Scădem a doua ecuație din prima: x−5z=1\displaystyle x-5z=1. Notăm z=α\displaystyle z=\alpha, cu α∈R\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}, deci x=1+5α\displaystyle x=1+5\alpha.
    x=1+5α\displaystyle x=1+5\alpha, z=α\displaystyle \ z=\alpha
  3. Din a doua ecuație, y=1−2x−3z=1−2(1+5α)−3α\displaystyle y=1-2x-3z=1-2(1+5\alpha)-3\alpha, deci y=−1−13α\displaystyle y=-1-13\alpha.
    y=−1−13α\displaystyle y=-1-13\alpha
  4. Verificăm a treia ecuație: 5(1+5α)+2(−1−13α)+α=5+25α−2−26α+α=3\displaystyle 5(1+5\alpha)+2(-1-13\alpha)+\alpha=5+25\alpha-2-26\alpha+\alpha=3. Ecuația se verifică pentru orice α\displaystyle \alpha, deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat.
    5(1+5α)+2(−1−13α)+α=3\displaystyle 5(1+5\alpha)+2(-1-13\alpha)+\alpha=3
  5. Soluțiile sistemului sunt de forma (x,y,z)=(1+5α,−1−13α,α)\displaystyle (x,y,z)=(1+5\alpha,-1-13\alpha,\alpha), cu α∈R\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}.
    (1+5α,−1−13α,α), unde α∈R\displaystyle (1+5\alpha,-1-13\alpha,\alpha)\text{, unde }\alpha\in\mathbb{R}
  6. Avem x0+y0=(1+5α)+(−1−13α)=−8α\displaystyle x_0+y_0=(1+5\alpha)+(-1-13\alpha)=-8\alpha și z02=α2\displaystyle z_0^2=\alpha^2. Condiția z02=x0+y0\displaystyle z_0^2=x_0+y_0 devine α2=−8α\displaystyle \alpha^2=-8\alpha, adică α2+8α=0\displaystyle \alpha^2+8\alpha=0.
    α2+8α=0\displaystyle \alpha^2+8\alpha=0
  7. Ecuația se scrie α(α+8)=0\displaystyle \alpha(\alpha+8)=0, deci α=0\displaystyle \alpha=0 sau α=−8\displaystyle \alpha=-8. Pentru α=−8\displaystyle \alpha=-8: x0=1−40=−39\displaystyle x_0=1-40=-39, y0=−1+104=103\displaystyle y_0=-1+104=103, z0=−8\displaystyle z_0=-8. Pentru α=0\displaystyle \alpha=0: x0=1\displaystyle x_0=1, y0=−1\displaystyle y_0=-1, z0=0\displaystyle z_0=0.
    α=−8 sau α=0, deci (x0,y0,z0)=(−39,103,−8) sau (x0,y0,z0)=(1,−1,0)\displaystyle \alpha=-8\text{ sau }\alpha=0\text{, deci }(x_0,y_0,z_0)=(-39,103,-8)\text{ sau }(x_0,y_0,z_0)=(1,-1,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}}.

Arătați că 4∗3=2\displaystyle 4*3=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}} și înlocuim x=4\displaystyle x=4, y=3\displaystyle y=3.
    4∗3=4log⁡33\displaystyle 4*3=\sqrt{4^{\log_3 3}}
  2. Deoarece 31=3\displaystyle 3^{1}=3, avem log⁡33=1\displaystyle \log_3 3=1, deci exponentul de sub radical devine 1\displaystyle 1.
    4∗3=4log⁡33=41\displaystyle 4*3=\sqrt{4^{\log_3 3}}=\sqrt{4^{1}}
  3. Avem 41=4\displaystyle 4^{1}=4, iar 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    4∗3=4=2\displaystyle 4*3=\sqrt{4}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}}.

Arătați că e=9\displaystyle e=9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e=9\displaystyle e=9 este neutru dacă x∗9=x\displaystyle x*9=x și 9∗x=x\displaystyle 9*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G. Observăm că 9∈G\displaystyle 9\in G, deoarece 9>1\displaystyle 9>1.
    9∈(1,+∞)\displaystyle 9\in(1,+\infty)
  2. Verificăm la dreapta: înlocuim y=9\displaystyle y=9 în definiția legii, deci x∗9=xlog⁡39\displaystyle x*9=\sqrt{x^{\log_3 9}}.
    x∗9=xlog⁡39\displaystyle x*9=\sqrt{x^{\log_3 9}}
  3. Calculăm logaritmul: 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci log⁡39=2\displaystyle \log_3 9=2. Radicalul din x2\displaystyle x^{2} este ∣x∣=x\displaystyle |x|=x, deoarece x>1\displaystyle x>1.
    x∗9=x2=x, pentru orice x∈G\displaystyle x*9=\sqrt{x^{2}}=x\text{, pentru orice }x\in G
  4. Verificăm la stânga: 9∗x=9log⁡3x\displaystyle 9*x=\sqrt{9^{\log_3 x}}. Scriem 9=32\displaystyle 9=3^{2} și obținem 32log⁡3x\displaystyle \sqrt{3^{2\log_3 x}}.
    9∗x=9log⁡3x=32log⁡3x\displaystyle 9*x=\sqrt{9^{\log_3 x}}=\sqrt{3^{2\log_3 x}}
  5. Rescriem 32log⁡3x=(3log⁡3x)2\displaystyle 3^{2\log_3 x}=\left(3^{\log_3 x}\right)^{2} și folosim identitatea 3log⁡3x=x\displaystyle 3^{\log_3 x}=x, valabilă pentru x>0\displaystyle x>0. Atunci x2=x\displaystyle \sqrt{x^{2}}=x, deoarece x>1\displaystyle x>1.
    9∗x=(3log⁡3x)2=x2=x, pentru orice x∈G\displaystyle 9*x=\sqrt{\left(3^{\log_3 x}\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}}=x\text{, pentru orice }x\in G
  6. Deoarece x∗9=9∗x=x\displaystyle x*9=9*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G, concluzionăm că e=9\displaystyle e=9 este elementul neutru al legii de compoziție ∗\displaystyle *.
    x∗9=9∗x=x, deci e=9 este elementul neutru al \displaystyle x*9=9*x=x\text{, deci }e=9\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție ∗\displaystyle \text{legii de compoziție }*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}}.

Determinați x∈G\displaystyle x\in G, știind că x\displaystyle x este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru e\displaystyle e. Din condiția x∗e=x\displaystyle x*e=x obținem xlog⁡3e=x\displaystyle \sqrt{x^{\log_3 e}}=x. Ridicăm la pătrat și obținem xlog⁡3e=x2\displaystyle x^{\log_3 e}=x^{2} pentru orice x∈G\displaystyle x\in G, deci log⁡3e=2\displaystyle \log_3 e=2.
    log⁡3e=2\displaystyle \log_3 e=2
  2. Rezultă e=32=9\displaystyle e=3^{2}=9. Verificăm și e∗x=9log⁡3x=x2=x\displaystyle e*x=\sqrt{9^{\log_3 x}}=\sqrt{x^{2}}=x, deoarece x>1\displaystyle x>1. Deci elementul neutru este 9∈G\displaystyle 9\in G.
    e=9\displaystyle e=9
  3. Dacă x\displaystyle x este egal cu simetricul său, atunci x∗x=e\displaystyle x*x=e. Punem condiția x∗x=9\displaystyle x*x=9, adică xlog⁡3x=9\displaystyle \sqrt{x^{\log_3 x}}=9.
    xlog⁡3x=9\displaystyle \sqrt{x^{\log_3 x}}=9
  4. Ridicăm la pătrat ambii membri și obținem xlog⁡3x=81\displaystyle x^{\log_3 x}=81. Logaritmăm în baza 3: log⁡3x⋅log⁡3x=log⁡381=4\displaystyle \log_3 x\cdot\log_3 x=\log_3 81=4. Deci log⁡32x=4\displaystyle \log_3^{2} x=4.
    xlog⁡3x=81⇒log⁡32x=4\displaystyle x^{\log_3 x}=81\Rightarrow \log_3^{2}x=4
  5. Din log⁡32x=4\displaystyle \log_3^{2} x=4 rezultă log⁡3x=−2\displaystyle \log_3 x=-2 sau log⁡3x=2\displaystyle \log_3 x=2. Pentru −2\displaystyle -2 obținem x=19\displaystyle x=\dfrac{1}{9}, care nu aparține lui G\displaystyle G pentru că nu este mai mare decât 1\displaystyle 1. Pentru 2\displaystyle 2 obținem x=9\displaystyle x=9, care aparține lui G\displaystyle G. Deci x=9\displaystyle x=9.
    log⁡3x=−2 sau log⁡3x=2⇒x=19, care nu convine; x=9, care convine\displaystyle \log_3 x=-2\text{ sau }\log_3 x=2\Rightarrow x=\frac{1}{9}\text{, care nu convine; }x=9\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−9)(x2−4)+3\displaystyle f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3.

Arătați că f′(x)=2x(2x2−13)\displaystyle f'(x)=2x\left(2x^2-13\right), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de doi factori plus constanta 3\displaystyle 3. Notăm u(x)=x2−9\displaystyle u(x)=x^2-9 și v(x)=x2−4\displaystyle v(x)=x^2-4. Derivata constantei este 0\displaystyle 0, deci derivăm doar produsul, cu regula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x2−9)′(x2−4)+(x2−9)(x2−4)′+0\displaystyle f'(x)=\left(x^2-9\right)'\left(x^2-4\right)+\left(x^2-9\right)\left(x^2-4\right)'+0
  2. Calculăm derivatele factorilor: (x2−9)′=2x\displaystyle \left(x^2-9\right)'=2x și (x2−4)′=2x\displaystyle \left(x^2-4\right)'=2x. Înlocuim în formula produsului.
    f′(x)=2x⋅(x2−4)+(x2−9)⋅2x\displaystyle f'(x)=2x\cdot\left(x^2-4\right)+\left(x^2-9\right)\cdot 2x
  3. Observăm că 2x\displaystyle 2x apare în ambii termeni, deci îl dăm factor comun.
    f′(x)=2x(x2−4+x2−9)\displaystyle f'(x)=2x\left(x^2-4+x^2-9\right)
  4. Reducem termenii asemenea din paranteză: x2+x2=2x2\displaystyle x^2+x^2=2x^2, iar −4−9=−13\displaystyle -4-9=-13. Obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2x(2x2−13), x∈R\displaystyle f'(x)=2x\left(2x^2-13\right)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−9)(x2−4)+3\displaystyle f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3.

Arătați că lim⁡x→3sin⁡(x−3)f(x)−3=130\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sin(x-3)}{f(x)-3}=\frac{1}{30}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x)−3\displaystyle f(x)-3: termenul +3\displaystyle +3 se reduce cu −3\displaystyle -3, deci rămâne produsul (x2−9)(x2−4)\displaystyle (x^2-9)(x^2-4).
    f(x)−3=(x2−9)(x2−4)\displaystyle f(x)-3=\left(x^2-9\right)\left(x^2-4\right)
  2. Înlocuim în limită. Pentru x→3\displaystyle x\to 3 avem forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deoarece sin⁡(x−3)→0\displaystyle \sin(x-3)\to 0 și x2−9→0\displaystyle x^2-9\to 0, deci trebuie să facem să apară limita remarcabilă.
    lim⁡x→3sin⁡(x−3)(x2−9)(x2−4)\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sin(x-3)}{\left(x^2-9\right)\left(x^2-4\right)}
  3. Descompunem x2−9=(x−3)(x+3)\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3) și separăm fracția astfel încât să apară sin⁡(x−3)x−3\displaystyle \dfrac{\sin(x-3)}{x-3}.
    lim⁡x→3(sin⁡(x−3)x−3⋅1(x+3)(x2−4))\displaystyle \lim_{x\to 3}\left(\frac{\sin(x-3)}{x-3}\cdot\frac{1}{(x+3)\left(x^2-4\right)}\right)
  4. Primul factor tinde la 1\displaystyle 1 prin limita remarcabilă sin⁡uu→1\displaystyle \dfrac{\sin u}{u}\to 1, cu u=x−3→0\displaystyle u=x-3\to 0. Al doilea factor este continuu în 3\displaystyle 3, deci înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3.
    1⋅1(3+3)(32−4)\displaystyle 1\cdot\frac{1}{(3+3)\left(3^2-4\right)}
  5. Calculăm: 3+3=6\displaystyle 3+3=6, iar 32−4=5\displaystyle 3^2-4=5, deci produsul este 6⋅5=30\displaystyle 6\cdot 5=30 și limita este 130\displaystyle \dfrac{1}{30}.
    1⋅16⋅5=130\displaystyle 1\cdot\frac{1}{6\cdot 5}=\frac{1}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−9)(x2−4)+3\displaystyle f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact patru soluții reale.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele ca să obținem forma polinomială a funcției: f(x)=(x2−9)(x2−4)+3=x4−13x2+36+3\displaystyle f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3=x^4-13x^2+36+3, deci f(x)=x4−13x2+39\displaystyle f(x)=x^4-13x^2+39.
    f(x)=x4−13x2+39\displaystyle f(x)=x^{4}-13x^{2}+39
  2. Calculăm derivata: f′(x)=4x3−26x\displaystyle f'(x)=4x^3-26x. Dăm factor comun: f′(x)=2x(2x2−13)\displaystyle f'(x)=2x\left(2x^2-13\right).
    f′(x)=2x(2x2−13)\displaystyle f'(x)=2x\left(2x^{2}-13\right)
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: x=0\displaystyle x=0 sau 2x2=13\displaystyle 2x^2=13, adică x=±132\displaystyle x=\pm\sqrt{\dfrac{13}{2}}. Studiem semnul produsului 2x(2x2−13)\displaystyle 2x(2x^2-13): pe (−∞,−132)\displaystyle \left(-\infty,-\sqrt{\dfrac{13}{2}}\right) avem x<0\displaystyle x<0 și 2x2−13>0\displaystyle 2x^2-13>0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0; pe (−132,0)\displaystyle \left(-\sqrt{\dfrac{13}{2}},0\right) avem x<0\displaystyle x<0 și 2x2−13<0\displaystyle 2x^2-13<0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0; pe (0,132)\displaystyle \left(0,\sqrt{\dfrac{13}{2}}\right) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0; pe (132,+∞)\displaystyle \left(\sqrt{\dfrac{13}{2}},+\infty\right) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Deci f\displaystyle f descrește, crește, descrește, apoi crește.
    f′(x)=0⇔x=−132\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{\frac{13}{2}}, x=0 sau x=132; f′(x)<0 pe (−∞,−132)∪(0,132)\displaystyle \ x=0\text{ sau }x=\sqrt{\frac{13}{2}};\ f'(x)<0\text{ pe }\left(-\infty,-\sqrt{\frac{13}{2}}\right)\cup\left(0,\sqrt{\frac{13}{2}}\right), f′(x)>0 pe (−132,0)∪(132,+∞)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }\left(-\sqrt{\frac{13}{2}},0\right)\cup\left(\sqrt{\frac{13}{2}},+\infty\right)
  4. Calculăm limitele la infinit: termenul x4\displaystyle x^4 domină, deci lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞x4(1−13x2+39x4)=+∞\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}x^4\left(1-\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{39}{x^4}\right)=+\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  5. Calculăm valorile în punctele de extrem. f(0)=39\displaystyle f(0)=39 (maxim local). Pentru x2=132\displaystyle x^2=\dfrac{13}{2} avem x4=1694\displaystyle x^4=\dfrac{169}{4}, deci f(±132)=1694−1692+39=169−338+1564=−134\displaystyle f\left(\pm\sqrt{\dfrac{13}{2}}\right)=\dfrac{169}{4}-\dfrac{169}{2}+39=\dfrac{169-338+156}{4}=-\dfrac{13}{4} (minime locale, aceeași valoare pentru ambele puncte, deoarece f\displaystyle f este pară).
    f(−132)=f(132)=−134\displaystyle f\left(-\sqrt{\frac{13}{2}}\right)=f\left(\sqrt{\frac{13}{2}}\right)=-\frac{13}{4}, f(0)=39\displaystyle \ f(0)=39
  6. Numărăm intersecțiile graficului cu dreapta y=m\displaystyle y=m. Pe fiecare dintre cele patru intervale de monotonie, f\displaystyle f este strict monotonă, deci ia fiecare valoare cel mult o dată. Dacă −134<m<39\displaystyle -\dfrac{13}{4}<m<39, fiecare interval conține exact o soluție, deci sunt patru soluții. Pentru m=39\displaystyle m=39 sunt trei soluții (x=0\displaystyle x=0 și x=±13\displaystyle x=\pm\sqrt{13}), pentru m=−134\displaystyle m=-\dfrac{13}{4} sunt două soluții, pentru m<−134\displaystyle m<-\dfrac{13}{4} nu există soluții, iar pentru m>39\displaystyle m>39 sunt două soluții. Deci ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact patru soluții reale pentru m∈(−134,39)\displaystyle m\in\left(-\dfrac{13}{4},39\right).
    m∈(−134,39)\displaystyle m\in\left(-\frac{13}{4},39\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x.

Arătați că ∫12f(x)arctg⁡xdx=3\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{\operatorname{arctg}x}dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x în integrala cerută: ∫12f(x)arctg⁡xdx=∫122xarctg⁡xarctg⁡xdx\displaystyle \int_1^2\dfrac{f(x)}{\operatorname{arctg}x}dx=\int_1^2\dfrac{2x\operatorname{arctg}x}{\operatorname{arctg}x}dx.
    ∫122xarctg⁡xarctg⁡xdx\displaystyle \int_1^2\dfrac{2x\operatorname{arctg}x}{\operatorname{arctg}x}dx
  2. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x>0\displaystyle x>0, deci arctg⁡x>0\displaystyle \operatorname{arctg}x>0, adică este nenul și putem simplifica fracția: 2xarctg⁡xarctg⁡x=2x\displaystyle \dfrac{2x\operatorname{arctg}x}{\operatorname{arctg}x}=2x. Integrala devine ∫122x dx\displaystyle \int_1^2 2x\,dx.
    ∫122x dx\displaystyle \int_1^2 2x\,dx
  3. O primitivă a funcției 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^2, deci ∫122x dx=x2∣12=22−12\displaystyle \int_1^2 2x\,dx=x^2\Big|_1^2=2^2-1^2.
    ∫12f(x)arctg⁡xdx=∫122x dx=x2∣12=22−12\displaystyle \int_1^2\dfrac{f(x)}{\operatorname{arctg}x}dx=\int_1^2 2x\,dx=x^2\Big|_1^2=2^2-1^2
  4. Calculăm: 22−12=4−1=3\displaystyle 2^2-1^2=4-1=3, deci ∫12f(x)arctg⁡xdx=3\displaystyle \int_1^2\dfrac{f(x)}{\operatorname{arctg}x}dx=3.
    4−1=3\displaystyle 4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x.

Determinați numărul real nenul a\displaystyle a pentru care ∫03f(x)dx=πa−3\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}f(x)dx=\frac{\pi}{a}-\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 2x=(x2+1)′\displaystyle 2x=\left(x^{2}+1\right)', deci scriem integrala sub forma potrivită pentru integrarea prin părți: ∫03f(x)dx=∫03(x2+1)′arctg⁡x dx\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}f(x)dx=\int_0^{\sqrt{3}}\left(x^{2}+1\right)'\operatorname{arctg}x\,dx.
    ∫03f(x)dx=∫03(x2+1)′arctg⁡x dx\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}f(x)dx=\int_0^{\sqrt{3}}\left(x^{2}+1\right)'\operatorname{arctg}x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți, ținând cont că (arctg⁡x)′=1x2+1\displaystyle \left(\operatorname{arctg}x\right)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}.
    (x2+1)arctg⁡x∣03−∫03(x2+1)⋅1x2+1dx\displaystyle \left(x^{2}+1\right)\operatorname{arctg}x\Big|_0^{\sqrt{3}}-\int_0^{\sqrt{3}}\left(x^{2}+1\right)\cdot\frac{1}{x^{2}+1}dx
  3. Simplificăm integrandul: (x2+1)⋅1x2+1=1\displaystyle \left(x^{2}+1\right)\cdot\dfrac{1}{x^{2}+1}=1. Pentru x=3\displaystyle x=\sqrt{3} avem x2+1=4\displaystyle x^{2}+1=4 și arctg⁡3=π3\displaystyle \operatorname{arctg}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}, iar în x=0\displaystyle x=0 termenul este 0\displaystyle 0.
    4⋅π3−x∣03\displaystyle 4\cdot\frac{\pi}{3}-x\Big|_0^{\sqrt{3}}
  4. Calculăm x∣03=3\displaystyle x\Big|_0^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, deci integrala este egală cu o expresie pe care o putem compara cu cea din enunț.
    ∫03f(x)dx=4π3−3\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}f(x)dx=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}
  5. Din egalitatea 4π3−3=πa−3\displaystyle \dfrac{4\pi}{3}-\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{a}-\sqrt{3} rezultă πa=4π3\displaystyle \dfrac{\pi}{a}=\dfrac{4\pi}{3}, deci a=34\displaystyle a=\dfrac{3}{4}.
    4π3−3, de unde a=34\displaystyle \frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\text{, de unde }a=\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x.

Demonstrați că ∫−11x f(x)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}x\,f(x)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x în integrand: xf(x)=2x2arctg⁡x\displaystyle x f(x)=2x^{2}\operatorname{arctg}x. Notăm I=∫−11xf(x)dx\displaystyle I=\int_{-1}^{1}x f(x)dx.
    I=2∫−11x2arctg⁡x dx\displaystyle I=2\int_{-1}^{1}x^{2}\operatorname{arctg}x\,dx
  2. Facem schimbarea de variabilă x=−t\displaystyle x=-t. Atunci dx=−dt\displaystyle dx=-dt, iar limitele devin: pentru x=−1\displaystyle x=-1 avem t=1\displaystyle t=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem t=−1\displaystyle t=-1.
    I=2∫1−1(−t)2arctg⁡(−t)⋅(−1) dt\displaystyle I=2\int_{1}^{-1}(-t)^{2}\operatorname{arctg}(-t)\cdot(-1)\,dt
  3. Folosim (−t)2=t2\displaystyle (-t)^{2}=t^{2} și faptul că arctg este impară: arctg⁡(−t)=−arctg⁡t\displaystyle \operatorname{arctg}(-t)=-\operatorname{arctg}t. Atunci I=2∫1−1t2arctg⁡t dt\displaystyle I=2\int_{1}^{-1}t^{2}\operatorname{arctg}t\,dt. Inversând limitele de integrare, schimbăm semnul integralei.
    I=−2∫−11t2arctg⁡t dt=−2∫−11x2arctg⁡x dx=−I\displaystyle I=-2\int_{-1}^{1}t^{2}\operatorname{arctg}t\,dt=-2\int_{-1}^{1}x^{2}\operatorname{arctg}x\,dx=-I
  4. Din I=−I\displaystyle I=-I rezultă 2I=0\displaystyle 2I=0, deci I=0\displaystyle I=0. Prin urmare ∫−11xf(x)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}x f(x)dx=0.
    2∫−11xf(x)dx=0, deci ∫−11xf(x)dx=0\displaystyle 2\int_{-1}^{1}x f(x)dx=0\text{, deci }\int_{-1}^{1}x f(x)dx=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.