Bac matematică M1 mate-info 2026, sesiunea specială varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a2\displaystyle a_2 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, în care a1=6\displaystyle a_1 = 6 și a3=30\displaystyle a_3 = 30.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică datele problemei: progresia aritmetică (an)\displaystyle (a_n) are a1=6\displaystyle a_1 = 6 și a3=30\displaystyle a_3 = 30, iar a2\displaystyle a_2 este termenul dintre ei.
    a1=6\displaystyle a_1=6, a3=30\displaystyle \ a_3=30
  2. Se aplică proprietatea progresiei aritmetice conform căreia orice termen (cu excepția primului) este media aritmetică a termenilor vecini, adică a2\displaystyle a_2 este media aritmetică dintre a1\displaystyle a_1 și a3\displaystyle a_3.
    a2=a1+a32\displaystyle a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}
  3. Se înlocuiesc valorile date pentru a1\displaystyle a_1 și a3\displaystyle a_3 în formula de mai sus.
    a2=a1+a32=6+302=\displaystyle a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{6 + 30}{2} =
  4. Se adună numerele de la numărător: 6+30=36\displaystyle 6 + 30 = 36.
    362\displaystyle \frac{36}{2}
  5. Se efectuează împărțirea, obținând valoarea finală a termenului a2\displaystyle a_2.
    =362=18\displaystyle = \frac{36}{2} = 18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ax2+2ax−1\displaystyle f(x) = ax^2 + 2ax - 1, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (f∘f)(0)=0\displaystyle (f\circ f)(0) = 0.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul 0\displaystyle 0, înlocuind x=0\displaystyle x=0 în expresia lui f(x)\displaystyle f(x).
    f(0)=a⋅02+2a⋅0−1=−1\displaystyle f(0) = a\cdot 0^2 + 2a\cdot 0 - 1 = -1
  2. Se calculează (f∘f)(0)=f(f(0))=f(−1)\displaystyle (f\circ f)(0) = f(f(0)) = f(-1), înlocuind x=−1\displaystyle x=-1 în expresia lui f(x)\displaystyle f(x) și se reduc termenii asemenea, obținându-se rezultatul cerut de barem.
    f(0)=−1\displaystyle f(0) = -1, (f∘f)(0)=f(−1)=a⋅(−1)2+2a⋅(−1)−1=a−2a−1=−a−1\displaystyle \ (f\circ f)(0) = f(-1) = a\cdot(-1)^2 + 2a\cdot(-1) - 1 = a - 2a - 1 = -a - 1
  3. Se pune condiția din enunț, (f∘f)(0)=0\displaystyle (f\circ f)(0)=0, obținându-se ecuația în a\displaystyle a, care se rezolvă pentru a afla valoarea căutată.
    −a−1=0\displaystyle -a - 1 = 0, de unde obținem a=−1\displaystyle \text{ de unde obținem }a = -1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x2−4x+3)=2log⁡2x\displaystyle \log_2\left(2x^2 - 4x + 3\right) = 2\log_2 x.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilesc condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, adică 2x2−4x+3>0\displaystyle 2x^2 - 4x + 3 > 0 și x>0\displaystyle x > 0.
    2x2−4x+3>0 (adeva˘rat pentru orice x, discriminant negativ) \displaystyle 2x^2-4x+3>0\text{ (adevărat pentru orice }x\text{, discriminant negativ) }și x>0\displaystyle \text{și }x>0
  2. Se scrie 2log⁡2x\displaystyle 2\log_2 x ca log⁡2x2\displaystyle \log_2 x^2, folosind proprietatea logaritmului unei puteri.
    2log⁡2x=log⁡2x2\displaystyle 2\log_2 x = \log_2 x^2
  3. Se rescrie ecuația inițială folosind egalitatea de mai sus, obținând egalitatea a doi logaritmi în aceeași bază, apoi se egalează argumentele și se aduce ecuația la forma standard de gradul al doilea.
    log⁡2(2x2−4x+3)=log⁡2x2\displaystyle \log_2\left(2x^2 - 4x + 3\right) = \log_2 x^2, de unde obținem x2−4x+3=0\displaystyle \text{ de unde obținem }x^2 - 4x + 3 = 0
  4. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea folosind formula soluțiilor: se calculează discriminantul.
    Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot3 = 16-12=4
  5. Se calculează soluțiile ecuației de gradul al doilea folosind discriminantul obținut.
    x1,2=4±42=4±22⇒x1=1\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2}=\dfrac{4\pm2}{2}\Rightarrow x_1=1, x2=3\displaystyle \ x_2=3
  6. Se verifică soluțiile obținute față de condiția de existență x>0\displaystyle x>0: ambele valori sunt pozitive, deci sunt acceptate ca soluții finale ale ecuației.
    x=1 sau x=3, care convin\displaystyle x = 1\text{ sau }x = 3\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={2,4,5,6}\displaystyle A = \{2,4,5,6\}. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică cifrele din mulțimea A\displaystyle A și se stabilește condiția ca numărul să fie par: ultima cifră (cifra unităților) trebuie să fie pară.
    A={2,4,5,6}, cifre pare din A:{2,4,6}\displaystyle A=\{2,4,5,6\}\text{, cifre pare din }A:\{2,4,6\}
  2. Se numără câte variante există pentru cifra unităților, care trebuie să fie pară.
    Cifra unita˘ților se poate \displaystyle \text{Cifra unităților se poate }alege ıˆn 3 moduri\displaystyle \text{alege în }3\text{ moduri}
  3. După fixarea cifrei unităților, rămân 3\displaystyle 3 cifre disponibile din A\displaystyle A (deoarece o cifră a fost deja folosită). Cifra sutelor poate fi oricare dintre acestea, întrucât A\displaystyle A nu conține cifra 0\displaystyle 0, deci nu există restricții suplimentare.
    Cifra sutelor se poate \displaystyle \text{Cifra sutelor se poate }alege ıˆn 3 moduri\displaystyle \text{alege în }3\text{ moduri}
  4. După alegerea cifrelor unităților și sutelor, rămân 2\displaystyle 2 cifre disponibile pentru poziția zecilor, deoarece cifrele trebuie să fie distincte.
    Cifra zecilor se poate \displaystyle \text{Cifra zecilor se poate }alege ıˆn 2 moduri\displaystyle \text{alege în }2\text{ moduri}
  5. Se aplică regula produsului pentru a obține numărul total de numere pare de trei cifre distincte formate cu cifre din A.
    3⋅3⋅2=18 numere\displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,4)\displaystyle A(6,4) și B(1,3)\displaystyle B(1,3). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C pentru care 2BC→=OA→\displaystyle 2\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu coordonatele vectorilor de poziție și se exprimă vectorul OA→\displaystyle \overrightarrow{OA} folosind coordonatele punctului A\displaystyle A, iar vectorul BC→\displaystyle \overrightarrow{BC} folosind coordonatele punctelor B\displaystyle B și C(xC,yC)\displaystyle C(x_C, y_C).
    OA→=(6−0)i⃗+(4−0)j⃗\displaystyle \overrightarrow{OA} = (6-0)\vec{i} + (4-0)\vec{j}, BC→=(xC−1)i⃗+(yC−3)j⃗\displaystyle \ \overrightarrow{BC} = (x_C - 1)\vec{i} + (y_C - 3)\vec{j}
  2. Se simplifică expresiile obținute pentru cei doi vectori.
    OA→=6i⃗+4j⃗\displaystyle \overrightarrow{OA} = 6\vec{i} + 4\vec{j}, BC→=(xC−1)i⃗+(yC−3)j⃗\displaystyle \ \overrightarrow{BC} = (x_C - 1)\vec{i} + (y_C - 3)\vec{j}
  3. Se folosește relația dată în enunț, 2BC→=OA→\displaystyle 2\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}, și se împarte prin 2\displaystyle 2 pentru a obține BC→\displaystyle \overrightarrow{BC} în funcție de OA→\displaystyle \overrightarrow{OA}.
    2BC→=OA→ ⇒ BC→=12OA→=12(6i⃗+4j⃗)=3i⃗+2j⃗\displaystyle 2\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}\ \Rightarrow\ \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}(6\vec{i}+4\vec{j}) = 3\vec{i} + 2\vec{j}
  4. Se egalează expresia lui BC→\displaystyle \overrightarrow{BC} din coordonate cu cea obținută mai sus, apoi se identifică coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} și j⃗\displaystyle \vec{j} pentru a forma un sistem de ecuații.
    (xC−1)i⃗+(yC−3)j⃗=3i⃗+2j⃗ ⇒ xC−1=3 și yC−3=2\displaystyle (x_C - 1)\vec{i} + (y_C - 3)\vec{j} = 3\vec{i} + 2\vec{j}\ \Rightarrow\ x_C - 1 = 3\text{ și } y_C - 3 = 2
  5. Se rezolvă sistemul de ecuații obținut, determinând coordonatele punctului C\displaystyle C.
    BC→=12OA→\displaystyle \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}, deci (xC−1)i⃗+(yC−3)j⃗=3i⃗+2j⃗\displaystyle \text{ deci }(x_C - 1)\vec{i} + (y_C - 3)\vec{j} = 3\vec{i} + 2\vec{j}, de unde obținem C(4,5)\displaystyle \text{ de unde obținem }C(4,5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=6\displaystyle AC = 6 și tg⁡C=13\displaystyle \operatorname{tg} C = \frac{1}{3}. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 10\displaystyle \sqrt{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC (unghiul drept în A\displaystyle A) și se scrie definiția tangentei unghiului C\displaystyle C, ca raport între cateta opusă (AB\displaystyle AB) și cateta alăturată (AC\displaystyle AC).
    tg⁡C=ABAC\displaystyle \operatorname{tg} C = \frac{AB}{AC}
  2. Se înlocuiesc valorile cunoscute, tan⁡C=13\displaystyle \tan C = \dfrac{1}{3} și AC=6\displaystyle AC = 6, obținându-se ecuația pentru AB\displaystyle AB.
    AB6=13\displaystyle \frac{AB}{6} = \frac{1}{3}, de unde obținem AB=2\displaystyle \text{ de unde obținem } AB = 2
  3. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC pentru a determina ipotenuza BC\displaystyle BC.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2
  4. Se înlocuiesc valorile AB=2\displaystyle AB = 2 și AC=6\displaystyle AC = 6 și se calculează BC\displaystyle BC.
    BC2=22+62=4+36=40\displaystyle BC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40, deci BC=40=210\displaystyle \text{ deci } BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
  5. Se folosește proprietatea triunghiului dreptunghic conform căreia raza cercului circumscris este egală cu jumătate din ipotenuză, obținându-se astfel valoarea cerută pentru R\displaystyle R.
    BC=210 și, cum R=BC2\displaystyle BC = 2\sqrt{10}\text{ și, cum } R = \frac{BC}{2}, obținem R=10\displaystyle \text{ obținem } R = \sqrt{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2aa02a1−a0001−3a)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-2a & a & 0 \\ 2a & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 1-3a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=4\displaystyle \det(A(1)) = 4.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în fiecare element al matricei A(a)\displaystyle A(a): 1−2a=1−2=−1\displaystyle 1-2a=1-2=-1, a=1\displaystyle a=1, 2a=2\displaystyle 2a=2, 1−a=1−1=0\displaystyle 1-a=1-1=0, 1−3a=1−3=−2\displaystyle 1-3a=1-3=-2.
    1−2⋅1=−1\displaystyle 1-2\cdot1=-1, a=1\displaystyle \ a=1, 2a=2\displaystyle \ 2a=2, 1−a=0\displaystyle \ 1-a=0, 1−3a=−2\displaystyle \ 1-3a=-2
  2. Se scrie matricea A(1)\displaystyle A(1) obținută și se pune condiția de a calcula determinantul acesteia.
    A(1)=(−11020000−2)⇒det⁡(A(1))=∣−11020000−2∣=\displaystyle A(1) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} =
  3. Se aplică regula lui Sarrus (sau dezvoltarea determinantului de ordin 3) pentru a scrie determinantul ca sumă de 6 termeni, calculând fiecare produs în parte.
    det⁡(A(1))=(−1)⋅0⋅(−2)+1⋅0⋅0+0⋅2⋅0−0⋅0⋅0−(−1)⋅0⋅0−1⋅2⋅(−2)\displaystyle \det(A(1)) = (-1)\cdot0\cdot(-2) + 1\cdot0\cdot0 + 0\cdot2\cdot0 - 0\cdot0\cdot0 - (-1)\cdot0\cdot0 - 1\cdot2\cdot(-2)
  4. Se calculează fiecare produs: primele cinci termeni sunt 0, iar ultimul termen este 1⋅2⋅(−2)=−4\displaystyle 1\cdot 2\cdot(-2)=-4, care se scade.
    =0+0+0−0−0−(−4)=4\displaystyle = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-4) = 4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2aa02a1−a0001−3a)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-2a & a & 0 \\ 2a & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 1-3a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)⋅A(b)=A(a+b−3ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b) = A(a + b - 3ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu explicit matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b), înlocuind parametrul a\displaystyle a cu b\displaystyle b în forma dată, pentru a putea calcula produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b).
    A(a)=(1−2aa02a1−a0001−3a)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-2a & a & 0 \\ 2a & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 1-3a \end{pmatrix},A(b)=(1−2bb02b1−b0001−3b)\displaystyle \quad A(b) = \begin{pmatrix} 1-2b & b & 0 \\ 2b & 1-b & 0 \\ 0 & 0 & 1-3b \end{pmatrix}
  2. Se calculează fiecare element al produsului A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b), folosind regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană), ținând cont că elementele de pe poziția (1,3)\displaystyle (1,3), (2,3)\displaystyle (2,3), (3,1)\displaystyle (3,1), (3,2)\displaystyle (3,2) sunt nule, deoarece blocul din colțul din dreapta jos este separat de restul matricei.
    (A(a)⋅A(b))11=(1−2a)(1−2b)+a⋅2b\displaystyle (A(a)\cdot A(b))_{11} = (1-2a)(1-2b)+a\cdot 2b,(A(a)⋅A(b))12=(1−2a)⋅b+a(1−b)\displaystyle \quad (A(a)\cdot A(b))_{12} = (1-2a)\cdot b + a(1-b)
  3. Se continuă calculul pentru celelalte elemente nenule ale produsului: (2,1)\displaystyle (2,1), (2,2)\displaystyle (2,2) și (3,3)\displaystyle (3,3), efectuând înmulțirile corespunzătoare pe linii și coloane.
    (A(a)⋅A(b))21=2a(1−2b)+(1−a)⋅2b\displaystyle (A(a)\cdot A(b))_{21} = 2a(1-2b)+(1-a)\cdot 2b,(A(a)⋅A(b))22=2a⋅b+(1−a)(1−b)\displaystyle \quad (A(a)\cdot A(b))_{22} = 2a\cdot b+(1-a)(1-b),(A(a)⋅A(b))33=(1−3a)(1−3b)\displaystyle \quad (A(a)\cdot A(b))_{33} = (1-3a)(1-3b)
  4. Se centralizează toate elementele calculate, obținând matricea produs A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b) sub formă dezvoltată, înainte de simplificare.
    A(a)⋅A(b)=(1−2a−2b+4ab+2abb−2ab+a−ab02a−4ab+2b−2ab2ab+1−a−b+ab0001−3a−3b+9ab)=\displaystyle A(a)\cdot A(b) = \begin{pmatrix} 1-2a-2b+4ab+2ab & b-2ab+a-ab & 0 \\ 2a-4ab+2b-2ab & 2ab+1-a-b+ab & 0 \\ 0 & 0 & 1-3a-3b+9ab \end{pmatrix} =
  5. Se reduc termenii asemenea în fiecare element: se obține 1−2a−2b+6ab\displaystyle 1-2a-2b+6ab pentru poziția (1,1)\displaystyle (1,1), a+b−3ab\displaystyle a+b-3ab pentru (1,2)\displaystyle (1,2), 2a+2b−6ab\displaystyle 2a+2b-6ab pentru (2,1)\displaystyle (2,1), 1−a−b+3ab\displaystyle 1-a-b+3ab pentru (2,2)\displaystyle (2,2) și 1−3a−3b+9ab\displaystyle 1-3a-3b+9ab pentru (3,3)\displaystyle (3,3).
    1−2a−2b+4ab+2ab=1−2(a+b−3ab)\displaystyle 1-2a-2b+4ab+2ab = 1-2(a+b-3ab),b−2ab+a−ab=a+b−3ab\displaystyle \quad b-2ab+a-ab = a+b-3ab,2a−4ab+2b−2ab=2(a+b−3ab)\displaystyle \quad 2a-4ab+2b-2ab = 2(a+b-3ab),2ab+1−a−b+ab=1−(a+b−3ab)\displaystyle \quad 2ab+1-a-b+ab = 1-(a+b-3ab),1−3a−3b+9ab=1−3(a+b−3ab)\displaystyle \quad 1-3a-3b+9ab = 1-3(a+b-3ab)
  6. Se rescrie matricea produs folosind notația c=a+b−3ab\displaystyle c = a+b-3ab, observând că forma obținută coincide exact cu structura matricei A(c)\displaystyle A(c), adică A(a+b−3ab)\displaystyle A(a+b-3ab).
    =(1−2(a+b−3ab)a+b−3ab02(a+b−3ab)1−(a+b−3ab)0001−3(a+b−3ab))=A(a+b−3ab)\displaystyle = \begin{pmatrix} 1-2(a+b-3ab) & a+b-3ab & 0 \\ 2(a+b-3ab) & 1-(a+b-3ab) & 0 \\ 0 & 0 & 1-3(a+b-3ab) \end{pmatrix} = A(a+b-3ab)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2aa02a1−a0001−3a)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-2a & a & 0 \\ 2a & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 1-3a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(1)⋅A(a)+A(5)=2A(4)\displaystyle A(1)\cdot A(a) + A(5) = 2A(4).
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim ecuația care trebuie rezolvată la acest punct: A(1)⋅A(a)=2A(4)−A(5)\displaystyle A(1)\cdot A(a) = 2A(4) - A(5), folosind proprietatea demonstrată anterior (la punctul b)) conform căreia A(x)⋅A(y)=A(x+y−3xy)\displaystyle A(x)\cdot A(y) = A(x+y-3xy).
    A(1)⋅A(a)=2A(4)−A(5)\displaystyle A(1)\cdot A(a) = 2A(4) - A(5)
  2. Calculăm matricea A(1)\displaystyle A(1) înlocuind a=1\displaystyle a=1 în forma generală a matricei A(a)\displaystyle A(a).
    A(1)=(−11020000−2)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&1&0\\2&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}
  3. Calculăm matricele A(4)\displaystyle A(4) și A(5)\displaystyle A(5) prin înlocuirea lui a\displaystyle a cu 4\displaystyle 4, respectiv 5\displaystyle 5, în forma generală a matricei A(a)\displaystyle A(a).
    A(4)=(−7408−3000−11)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}-7&4&0\\8&-3&0\\0&0&-11\end{pmatrix}, A(5)=(−95010−4000−14)\displaystyle \ A(5)=\begin{pmatrix}-9&5&0\\10&-4&0\\0&0&-14\end{pmatrix}
  4. Efectuăm înmulțirea de matrice A(1)⋅A(a)\displaystyle A(1)\cdot A(a), calculând fiecare element al produsului.
    A(1)⋅A(a)=(−1+4a1−2a02−4a2a000−2+6a)\displaystyle A(1)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}-1+4a&1-2a&0\\2-4a&2a&0\\0&0&-2+6a\end{pmatrix}
  5. Comparăm elementele obținute cu forma generală a matricei A(t)\displaystyle A(t) și observăm că produsul este exact A(1−2a)\displaystyle A(1-2a).
    A(1)⋅A(a)=A(1−2a)\displaystyle A(1)\cdot A(a)=A(1-2a)
  6. Calculăm combinația liniară 2A(4)−A(5)\displaystyle 2A(4)-A(5), scăzând matricele element cu element.
    2A(4)−A(5)=(−5306−2000−8)\displaystyle 2A(4)-A(5)=\begin{pmatrix}-5&3&0\\6&-2&0\\0&0&-8\end{pmatrix}
  7. Observăm că matricea obținută coincide cu A(3)\displaystyle A(3), deci am stabilit ambele egalități cerute de barem: produsul A(1)⋅A(a)\displaystyle A(1)\cdot A(a) este A(1−2a)\displaystyle A(1-2a), iar combinația 2A(4)−A(5)\displaystyle 2A(4)-A(5) este A(3)\displaystyle A(3).
    A(1)⋅A(a)=A(1−2a)\displaystyle A(1)\cdot A(a) = A(1-2a), 2A(4)−A(5)=A(3)\displaystyle \ 2A(4) - A(5) = A(3)
  8. Înlocuim cele două rezultate în ecuația inițială A(1)⋅A(a)=2A(4)−A(5)\displaystyle A(1)\cdot A(a) = 2A(4) - A(5), obținând o egalitate între două matrice de forma A(t)\displaystyle A(t).
    A(1−2a)=A(3)\displaystyle A(1-2a)=A(3)
  9. Deoarece elementul de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) al matricei A(t)\displaystyle A(t) este chiar t\displaystyle t, egalitatea a două matrice A(t1)=A(t2)\displaystyle A(t_1)=A(t_2) implică t1=t2\displaystyle t_1=t_2. Astfel, din A(1−2a)=A(3)\displaystyle A(1-2a)=A(3) rezultă egalitatea argumentelor, care se rezolvă ca ecuație simplă în a\displaystyle a.
    A(1−2a)=A(3)\displaystyle A(1-2a) = A(3), de unde obt¸inem 1−2a=3\displaystyle \text{ de unde obţinem }1-2a = 3, deci a=−1\displaystyle \text{ deci }a = -1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=mX4−mX2+X+1\displaystyle f = mX^4 - mX^2 + X + 1, unde m\displaystyle m este număr real nenul.

Arătați că f(−1)=0\displaystyle f(-1) = 0, pentru orice număr real nenul m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia polinomului f(x)\displaystyle f(x) și se înlocuiește x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1.
    f(−1)=m⋅(−1)4−m⋅(−1)2+(−1)+1\displaystyle f(-1) = m\cdot(-1)^4 - m\cdot(-1)^2 + (-1) + 1
  2. Se calculează puterile lui −1\displaystyle -1: (−1)4=1\displaystyle (-1)^4 = 1 și (−1)2=1\displaystyle (-1)^2 = 1.
    (−1)4=1\displaystyle (-1)^4 = 1, (−1)2=1\displaystyle \ (-1)^2 = 1
  3. Se înlocuiesc valorile puterilor calculate în expresia lui f(−1)\displaystyle f(-1).
    f(−1)=m⋅1−m⋅1+(−1)+1\displaystyle f(-1) = m\cdot 1 - m\cdot 1 + (-1) + 1
  4. Se simplifică expresia: termenii care conțin m\displaystyle m se anulează reciproc, iar −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1 se anulează reciproc.
    f(−1)=m−m−1+1=0\displaystyle f(-1) = m - m - 1 + 1 = 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=mX4−mX2+X+1\displaystyle f = mX^4 - mX^2 + X + 1, unde m\displaystyle m este număr real nenul.

Determinați numărul real nenul m\displaystyle m pentru care restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul g=X+2\displaystyle g = X + 2 este egal cu 11\displaystyle 11.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția din enunț folosind teorema restului: restul împărțirii lui f\displaystyle f la X+2\displaystyle X+2 este f(−2)\displaystyle f(-2), și se pune condiția ca acesta să fie egal cu 11\displaystyle 11.
    f(−2)=11\displaystyle f(-2)=11
  2. Se înlocuiește X=−2\displaystyle X = -2 în expresia polinomului f\displaystyle f.
    f(−2)=m⋅(−2)4−m⋅(−2)2+(−2)+1\displaystyle f(-2)=m\cdot(-2)^4-m\cdot(-2)^2+(-2)+1
  3. Se calculează puterile lui −2\displaystyle -2: (−2)4=16\displaystyle (-2)^4=16 și (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4.
    f(−2)=16m−4m−2+1\displaystyle f(-2)=16m-4m-2+1
  4. Se reduc termenii asemenea: 16m−4m=12m\displaystyle 16m-4m=12m, iar −2+1=−1\displaystyle -2+1=-1.
    f(−2)=12m−1\displaystyle f(-2)=12m-1
  5. Se pune condiția ca restul să fie 11\displaystyle 11, obținând ecuația în m\displaystyle m.
    12m−1=11\displaystyle 12m-1=11
  6. Se rezolvă ecuația: se adună 1\displaystyle 1 în ambii membri, apoi se împarte la 12\displaystyle 12, obținând valoarea lui m\displaystyle m.
    12m−1=11\displaystyle 12m-1=11, de unde obținem m=1\displaystyle \text{ de unde obținem }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=mX4−mX2+X+1\displaystyle f = mX^4 - mX^2 + X + 1, unde m\displaystyle m este număr real nenul.

Determinați numărul real nenul m\displaystyle m pentru care x13+x23+x33+x43=1\displaystyle x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 = 1, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3 și x4\displaystyle x_4 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică rădăcinile x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1, x_2, x_3, x_4 ale polinomului f\displaystyle f (grad 4\displaystyle 4, cu m≠0\displaystyle m \neq 0) și se scriu relațiile lui Viète, folosind coeficienții a4=m\displaystyle a_4=m, a3=0\displaystyle a_3=0, a2=−m\displaystyle a_2=-m, a1=1\displaystyle a_1=1, a0=1\displaystyle a_0=1.
    x1+x2+x3+x4=−a3a4=0\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{a_3}{a_4}=0,  x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=a2a4=−1\displaystyle \ \ x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{a_2}{a_4}=-1
  2. Se completează relațiile lui Viète cu suma produselor de câte trei rădăcini și cu produsul tuturor rădăcinilor, observând că acesta este nenul pentru orice m\displaystyle m real nenul (deci toate rădăcinile sunt nenule).
    x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=−1m\displaystyle x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{1}{m},  x1x2x3x4=1m≠0, pentru orice numa˘r real \displaystyle \ \ x_1x_2x_3x_4=\frac{1}{m}\neq 0\text{, pentru orice număr real }nenul m\displaystyle \text{nenul }m
  3. Deoarece x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1, x_2, x_3, x_4 sunt rădăcini ale lui f\displaystyle f, avem f(xi)=0\displaystyle f(x_i)=0 pentru fiecare i\displaystyle i, adică mxi4−mxi2+xi+1=0\displaystyle m x_i^4 - m x_i^2 + x_i + 1 = 0.
    mxi4−mxi2+xi+1=0\displaystyle m x_i^4-mx_i^2+x_i+1=0,  i=1\displaystyle \ \ i=1,2\displaystyle 2,3\displaystyle 3,4\displaystyle 4
  4. Cum toate rădăcinile sunt nenule (produsul lor este 1m≠0\displaystyle \dfrac{1}{m} \neq 0), se poate împărți relația anterioară prin xi\displaystyle x_i, obținând o relație individuală pentru fiecare rădăcină.
    mxi3−mxi+1+1xi=0 ⇒ mxi3=mxi−1−1xi\displaystyle mx_i^3-mx_i+1+\frac{1}{x_i}=0\ \Rightarrow\ mx_i^3=mx_i-1-\frac{1}{x_i},  i=1\displaystyle \ \ i=1,2\displaystyle 2,3\displaystyle 3,4\displaystyle 4
  5. Se însumează cele patru relații obținute pentru i=1,2,3,4\displaystyle i=1,2,3,4, grupând termenii asemenea.
    m(x13+x23+x33+x43)=m(x1+x2+x3+x4)−4−(1x1+1x2+1x3+1x4)\displaystyle m(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3)=m(x_1+x_2+x_3+x_4)-4-\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)
  6. Se calculează suma inverselor rădăcinilor folosind relațiile lui Viète: raportul dintre suma produselor de câte trei și produsul tuturor rădăcinilor.
    1x1+1x2+1x3+1x4=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4x1x2x3x4=−1m1m=−1\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4}{x_1x_2x_3x_4}=\frac{-\frac{1}{m}}{\frac{1}{m}}=-1
  7. Se înlocuiesc în identitate valorile x1+x2+x3+x4=0\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=0 și suma inverselor egală cu −1\displaystyle -1, obținând valoarea sumei m⋅(x13+x23+x33+x43)\displaystyle m \cdot (x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3).
    m(x13+x23+x33+x43)=0−4−(−1)=−3\displaystyle m(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3)=0-4-(-1)=-3
  8. Conform ipotezei din enunț, x13+x23+x33+x43=1\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=1. Se înlocuiește această valoare în relația m(x13+x23+x33+x43)=−3\displaystyle m(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3)=-3 obținută la pasul anterior, obținând valoarea lui m\displaystyle m.
    m⋅1=−3 ⇒ m=−3\displaystyle m\cdot 1=-3\ \Rightarrow\ m=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x+1x+1\displaystyle f(x) = \dfrac{e^x + 2x + 1}{x + 1}.

Arătați că f′(x)=xex+1(x+1)2\displaystyle f'(x) = \dfrac{xe^x + 1}{(x+1)^2}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția ca raport de două funcții derivabile: notăm u(x)=ex+2x+1\displaystyle u(x) = e^x + 2x + 1 și v(x)=x+1\displaystyle v(x) = x + 1, cu u′(x)=ex+2\displaystyle u'(x) = e^x + 2 și v′(x)=1\displaystyle v'(x) = 1.
    u(x)=ex+2x+1\displaystyle u(x)=e^x+2x+1, v(x)=x+1\displaystyle \ v(x)=x+1, u′(x)=ex+2\displaystyle \ u'(x)=e^x+2, v′(x)=1\displaystyle \ v'(x)=1
  2. Se aplică formula de derivare a raportului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, înlocuind expresiile lui u,v,u′,v′\displaystyle u,v,u',v'.
    f′(x)=(ex+2)(x+1)−(ex+2x+1)⋅1(x+1)2=\displaystyle f'(x) = \frac{\left(e^x + 2\right)(x+1) - \left(e^x + 2x + 1\right)\cdot 1}{(x+1)^2} =
  3. Se desface paranteza (ex+2)(x+1)\displaystyle (e^x+2)(x+1), obținându-se termenii xex+ex+2x+2\displaystyle xe^x + e^x + 2x + 2, iar din numărător se scade ex+2x+1\displaystyle e^x + 2x + 1.
    f′(x)=xex+ex+2x+2−ex−2x−1(x+1)2\displaystyle f'(x) = \frac{xe^x + e^x + 2x + 2 - e^x - 2x - 1}{(x+1)^2}
  4. Se reduc termenii asemenea din numărător: ex\displaystyle e^x se anulează cu −ex\displaystyle -e^x, 2x\displaystyle 2x se anulează cu −2x\displaystyle -2x, iar 2−1=1\displaystyle 2-1=1, rămânând forma finală simplificată a derivatei.
    =xex+ex+2x+2−ex−2x−1(x+1)2=xex+1(x+1)2\displaystyle = \frac{xe^x + e^x + 2x + 2 - e^x - 2x - 1}{(x+1)^2} = \frac{xe^x + 1}{(x+1)^2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x+1x+1\displaystyle f(x) = \dfrac{e^x + 2x + 1}{x + 1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x = 0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul x=0\displaystyle x=0, înlocuind în expresia lui f(x)\displaystyle f(x).
    f(0)=e0+2⋅0+10+1=1+11=2\displaystyle f(0)=\dfrac{e^{0}+2\cdot 0+1}{0+1}=\dfrac{1+1}{1}=2
  2. Se derivează funcția f\displaystyle f folosind regula de derivare a câtului: (u/v)′=u′v−uv′v2\displaystyle (u/v)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}, unde u=ex+2x+1\displaystyle u = e^{x}+2x+1, v=x+1\displaystyle v = x+1.
    f′(x)=(ex+2)(x+1)−(ex+2x+1)⋅1(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^{x}+2)(x+1)-(e^{x}+2x+1)\cdot 1}{(x+1)^{2}}
  3. Se desface numărătorul și se simplifică termenii asemenea.
    (ex+2)(x+1)−(ex+2x+1)=xex+ex+2x+2−ex−2x−1=xex+1\displaystyle (e^{x}+2)(x+1)-(e^{x}+2x+1)=xe^{x}+e^{x}+2x+2-e^{x}-2x-1=xe^{x}+1
  4. Se obține forma finală a derivatei funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=xex+1(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{xe^{x}+1}{(x+1)^{2}}
  5. Se calculează valoarea derivatei în punctul x=0\displaystyle x=0.
    f′(0)=0⋅e0+1(0+1)2=11=1\displaystyle f'(0)=\dfrac{0\cdot e^{0}+1}{(0+1)^{2}}=\dfrac{1}{1}=1
  6. Se scrie ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul x=0\displaystyle x=0, folosind formula y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0), și se simplifică.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=x+2\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=x+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x+1x+1\displaystyle f(x) = \dfrac{e^x + 2x + 1}{x + 1}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este strict crescătoare.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția f\displaystyle f și se observă că este derivabilă pe domeniul (−1,+∞)\displaystyle (-1, +\infty), fiind un raport de funcții derivabile cu numitorul nenul (x+1≠0\displaystyle x+1 \neq 0).
    f(x)=ex+2x+1x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
  2. Se aplică regula de derivare a raportului: derivata numărătorului este (ex+2)′\displaystyle (e^x+2)', iar derivata numitorului este (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1.
    f′(x)=(ex+2)(x+1)−(ex+2x+1)⋅1(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^x+2)(x+1)-(e^x+2x+1)\cdot 1}{(x+1)^2}
  3. Se dezvoltă produsul de la numărător și se reduc termenii asemenea pentru a simplifica expresia.
    (ex+2)(x+1)−(ex+2x+1)=xex+ex+2x+2−ex−2x−1=xex+1\displaystyle (e^x+2)(x+1)-(e^x+2x+1)=xe^x+e^x+2x+2-e^x-2x-1=xe^x+1
  4. Se notează numărătorul obținut cu g(x)\displaystyle g(x) și se calculează derivata acesteia pentru a-i studia semnul, folosind faptul că pe domeniul considerat x+1≥0\displaystyle x+1\geq 0.
    g:[−1,+∞)→R\displaystyle g:[-1,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=xex+1\displaystyle \ g(x)=xe^x+1, g′(x)=ex+xex=(x+1)ex≥0\displaystyle \ g'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\geq 0, g(−1)=1−1e>0⇒g(x)>0\displaystyle \ g(-1)=1-\dfrac{1}{e}>0\Rightarrow g(x)>0
  5. Deoarece g′(x)≥0\displaystyle g'(x)\geq 0 pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty), g\displaystyle g este crescătoare, deci g(x)≥g(−1)>0\displaystyle g(x)\geq g(-1)>0 pentru orice x\displaystyle x din domeniu, adică numărătorul derivatei f′(x)\displaystyle f'(x) este strict pozitiv. Cum numitorul (x+1)2\displaystyle (x+1)^2 este strict pozitiv pentru orice x≠−1\displaystyle x\neq -1, rezultă că f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    (x+1)2>0⇒f′(x)>0\displaystyle (x+1)^2>0\Rightarrow f'(x)>0, deci f este strict cresca˘toare\displaystyle \text{ deci }f\text{ este strict crescătoare}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6+1x+ln⁡2xx\displaystyle f(x) = 6 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln^2 x}{x}.

Arătați că ∫13(f(x)−ln⁡2xx)dx=12+ln⁡3\displaystyle \displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \frac{\ln^2 x}{x}\right)dx = 12 + \ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că exercițiul cere calculul integralei din diferența f(x)−ln⁡2xx\displaystyle f(x) - \dfrac{\ln^{2}x}{x}. Se simplifică expresia de sub integrală, eliminând termenul ln⁡2xx\displaystyle \dfrac{\ln^{2}x}{x} prin scădere.
    f(x)−ln⁡2xx=6+1x+ln⁡2xx−ln⁡2xx=6+1x\displaystyle f(x) - \frac{\ln^2 x}{x} = 6 + \frac{1}{x} + \frac{\ln^2 x}{x} - \frac{\ln^2 x}{x} = 6 + \frac{1}{x}
  2. Se scrie integrala definită cu noul integrand simplificat, se determină o primitivă a funcției 6+1x\displaystyle 6 + \dfrac{1}{x} (care este 6x+ln⁡x\displaystyle 6x + \ln x) și se aplică formula Leibniz-Newton.
    ∫13(f(x)−ln⁡2xx)dx=∫13(6+1x)dx=(6x+ln⁡x)∣13=\displaystyle \int_1^3 \left(f(x) - \frac{\ln^2 x}{x}\right)dx = \int_1^3 \left(6 + \frac{1}{x}\right)dx = \left(6x + \ln x\right)\Big|_1^3 =
  3. Se înlocuiesc limitele de integrare x=3\displaystyle x=3 și x=1\displaystyle x=1 în primitiva găsită.
    =(6⋅3+ln⁡3)−(6⋅1+ln⁡1)=18+ln⁡3−6−ln⁡1\displaystyle = \left(6\cdot 3 + \ln 3\right) - \left(6\cdot 1 + \ln 1\right) = 18 + \ln 3 - 6 - \ln 1
  4. Se folosește faptul că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1 = 0 și se efectuează calculele numerice rămase pentru a obține rezultatul final.
    =18+ln⁡3−6−ln⁡1=12+ln⁡3\displaystyle = 18 + \ln 3 - 6 - \ln 1 = 12 + \ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6+1x+ln⁡2xx\displaystyle f(x) = 6 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln^2 x}{x}.

Arătați că ∫1e(f(x)−6−1x)dx=13\displaystyle \displaystyle\int_1^e \left(f(x) - 6 - \frac{1}{x}\right)dx = \frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția f(x)\displaystyle f(x) și se calculează diferența f(x)−6−1x\displaystyle f(x) - 6 - \dfrac{1}{x}, care apare în integrala cerută.
    f(x)−6−1x=6+1x+ln⁡2xx−6−1x=ln⁡2xx\displaystyle f(x) - 6 - \frac{1}{x} = 6 + \frac{1}{x} + \frac{\ln^2 x}{x} - 6 - \frac{1}{x} = \frac{\ln^2 x}{x}
  2. Se scrie integrala cerută și se simplifică integrandul folosind rezultatul anterior.
    ∫1e(f(x)−6−1x)dx=∫1eln⁡2xxdx\displaystyle \int_1^e \left(f(x) - 6 - \frac{1}{x}\right)dx = \int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}dx
  3. Se observă că derivata funcției ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, deci integrandul se poate scrie ca produsul dintre (ln⁡x)′\displaystyle (\ln x)' și ln⁡2x\displaystyle \ln^2 x, pregătind aplicarea formulei de integrare a funcției compuse.
    ln⁡2xx=(ln⁡x)′⋅ln⁡2x  ⇒  ∫1eln⁡2xxdx=∫1e(ln⁡x)′⋅ln⁡2x dx\displaystyle \frac{\ln^2 x}{x} = (\ln x)' \cdot \ln^2 x \;\Rightarrow\; \int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}dx = \int_1^e (\ln x)'\cdot \ln^2 x\, dx
  4. Se recunoaște că integrandul este derivata funcției ln⁡3x3\displaystyle \dfrac{\ln^3 x}{3}, conform formulei de integrare (un)′=nun−1u′\displaystyle (u^n)'=n u^{n-1} u', cu u=ln⁡x,n=3\displaystyle u = \ln x, n = 3, deci se determină primitiva și se aplică formula Leibniz-Newton.
    ∫1e(ln⁡x)′⋅ln⁡2x dx=ln⁡3x3∣1e\displaystyle \int_1^e (\ln x)'\cdot \ln^2 x\, dx = \frac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e
  5. Se calculează valorile primitivei la capetele intervalului, folosind ln⁡e=1\displaystyle \ln e = 1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1 = 0.
    ln⁡3x3∣1e=ln⁡3e3−ln⁡313=133−033=13\displaystyle \frac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e = \frac{\ln^3 e}{3} - \frac{\ln^3 1}{3} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6+1x+ln⁡2xx\displaystyle f(x) = 6 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln^2 x}{x}.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−6x\displaystyle g(x) = \dfrac{f(x) - 6}{x}, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x = 1 și x=e\displaystyle x = e este egală cu m(1−2e)\displaystyle m\left(1 - \dfrac{2}{e}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la funcția f\displaystyle f dată și se definește funcția g\displaystyle g asociată (conform enunțului), obținându-se expresia lui g(x)\displaystyle g(x) pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Se observă că g(x)\displaystyle g(x) este sumă de termeni pozitivi, deci g(x)≥0\displaystyle g(x) \geq 0 pentru orice x\displaystyle x din domeniu, ceea ce înseamnă că ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)| = g(x) pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    g(x)=f(x)−6x=1x2+ln⁡2xx2≥0\displaystyle g(x) = \frac{f(x)-6}{x} = \frac{1}{x^2} + \frac{\ln^2 x}{x^2} \geq 0, ∀x∈(0,+∞) ⇒ ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)\ \Rightarrow\ |g(x)| = g(x), ∀x∈[1,e]\displaystyle \ \forall x\in[1,e]
  2. Se scrie aria ca integrală definită a lui ∣g(x)∣\displaystyle |g(x)| pe [1,e]\displaystyle [1,e] și se separă în cele două integrale. Observând că (1x)′=−1x2\displaystyle (\dfrac{1}{x})' = -\dfrac{1}{x^2}, termenul cu ln⁡2xx2\displaystyle \dfrac{\ln^2x}{x^2} se rescrie folosind integrare prin părți, ajungând la forma cerută de barem.
    A=∫1e∣g(x)∣dx=∫1e1x2dx+∫1eln⁡2xx2dx=−1x∣1e−∫1e(1x)′ln⁡2x dx\displaystyle \mathcal{A} = \int_1^e |g(x)|dx = \int_1^e \frac{1}{x^2}dx + \int_1^e \frac{\ln^2 x}{x^2}dx = -\frac{1}{x}\Big|_1^e - \int_1^e \left(\frac{1}{x}\right)'\ln^2 x\, dx
  3. Se aplică integrarea prin părți pentru integrala rămasă: se derivează ln⁡2x\displaystyle \ln^2x și se integrează (1x)′\displaystyle (\dfrac{1}{x})'. Se obține un nou termen cu ln⁡xx2\displaystyle \dfrac{\ln x}{x^2}, căruia i se aplică din nou integrarea prin părți, folosind antiderivata −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} pentru 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2}.
    ∫1e(1x)′ln⁡2x dx=1xln⁡2x∣1e−2∫1eln⁡xx2dx\displaystyle \int_1^e \left(\frac{1}{x}\right)'\ln^2 x\, dx = \frac{1}{x}\ln^2 x\Big|_1^e - 2\int_1^e \frac{\ln x}{x^2}dx, unde ∫ln⁡xx2dx=−1+ln⁡xx+C\displaystyle \ \text{unde}\ \int \frac{\ln x}{x^2}dx = -\frac{1+\ln x}{x}+C
  4. Se înlocuiesc rezultatele obținute și se evaluează fiecare termen la capetele intervalului [1,e]\displaystyle [1,e], obținându-se valoarea ariei. Aceasta se egalează cu expresia m(1−2e)\displaystyle m(1-\dfrac{2}{e}) dată prin enunț, iar prin identificare se determină valoarea lui m\displaystyle m.
    =−1e+1−1xln⁡2x∣1e−2x(1+ln⁡x)∣1e=3−6e\displaystyle = -\frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{x}\ln^2 x\Big|_1^e - \frac{2}{x}(1+\ln x)\Big|_1^e = 3 - \frac{6}{e}, deci m(1−2e)=3−6e\displaystyle \text{ deci }m\left(1 - \frac{2}{e}\right) = 3 - \frac{6}{e}, de unde obținem m=3\displaystyle \text{ de unde obținem }m = 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.