Bac matematică M1 mate-info 2025, sesiunea specială varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul b1\displaystyle b_1 al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge1}, în care b2=20\displaystyle b_2=20 și b3=100\displaystyle b_3=100.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie relația de recurență a progresiei geometrice: fiecare termen se obține din precedentul înmulțit cu rația q, adică b3=b2⋅q\displaystyle b_{3} = b_{2} \cdot q.
    b3=b2⋅q\displaystyle b_3=b_2\cdot q
  2. Se izolează rația q din relația anterioară, exprimând-o ca raport al celor doi termeni consecutivi cunoscuți.
    q=b3b2\displaystyle q=\frac{b_3}{b_2}
  3. Se înlocuiesc valorile date b2=20\displaystyle b_{2}=20 și b3=100\displaystyle b_{3}=100 și se calculează valoarea rației q.
    q=10020=5\displaystyle q=\frac{100}{20}=5
  4. Se scrie relația dintre termenii b1\displaystyle b_{1} și b2\displaystyle b_{2} folosind rația progresiei: b2=b1⋅q\displaystyle b_{2} = b_{1} \cdot q, de unde b1=b2q\displaystyle b_{1} = \frac{b_{2}}{q}.
    b1=b2q\displaystyle b_1=\frac{b_2}{q}
  5. Se înlocuiesc valorile cunoscute b2=20\displaystyle b_{2}=20 și q=5\displaystyle q=5 pentru a obține termenul cerut b1\displaystyle b_{1}.
    b1=205=4\displaystyle b_1=\frac{20}{5}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x+3\displaystyle f(x)=4x+3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x−3\displaystyle g(x)=x-3. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția pusă în enunț, egalitatea celor două funcții calculate în punctul a\displaystyle a.
    f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a)
  2. Se calculează expresia funcției f\displaystyle f în punctul a\displaystyle a, înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula f(x)=4x+3\displaystyle f(x)=4x+3.
    f(a)=4a+3\displaystyle f(a)=4a+3
  3. Se calculează expresia funcției g\displaystyle g în punctul a\displaystyle a, înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula g(x)=x−3\displaystyle g(x)=x-3.
    g(a)=a−3\displaystyle g(a)=a-3
  4. Se scrie ecuația obținută prin egalarea celor două expresii calculate anterior.
    4a+3=a−3\displaystyle 4a+3=a-3
  5. Se trec termenii care conțin necunoscuta a\displaystyle a în membrul stâng, iar termenii numerici în membrul drept.
    4a−a=−3−3\displaystyle 4a-a=-3-3
  6. Se reduc termenii asemenea din ambii membri ai ecuației.
    3a=−6\displaystyle 3a=-6
  7. Se împarte ecuația prin coeficientul lui a\displaystyle a pentru a obține valoarea necunoscutei, obținând astfel soluția finală a problemei.
    a=−2\displaystyle a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x⋅33=3x+2\displaystyle 9^{x}\cdot 3^{3}=3^{x+2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie baza 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3, folosind faptul că 9=32\displaystyle 9=3^{2}.
    9=32⇒9x=(32)x=32x\displaystyle 9=3^{2}\Rightarrow 9^{x}=(3^{2})^{x}=3^{2x}
  2. Se înlocuiește 9x\displaystyle 9^{x} în ecuație și se scrie produsul de puteri cu aceeași bază ca o singură putere, adunând exponenții.
    32x⋅33=32x+3\displaystyle 3^{2x}\cdot 3^{3}=3^{2x+3}
  3. Se rescrie ecuația inițială cu ambii membri ca puteri ale lui 3\displaystyle 3 și, deoarece bazele sunt egale, se egalează exponenții.
    32x+3=3x+2\displaystyle 3^{2x+3}=3^{x+2}, de unde obținem 2x+3=x+2\displaystyle \text{ de unde obținem }2x+3=x+2
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută, mutând termenii cu x\displaystyle x într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte.
    2x−x=2−3\displaystyle 2x-x=2-3
  5. Se efectuează calculele și se obține soluția ecuației.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n\displaystyle \sqrt{n} să fie număr natural par.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre: acestea sunt numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99.
    n∈{10,11,12,…,99}\displaystyle n\in\{10,11,12,\ldots,99\}
  2. Se numără câte elemente are această mulțime, adică numărul de cazuri posibile.
    99−10+1=90 de cazuri posibile\displaystyle 99-10+1=90\text{ de cazuri posibile}
  3. Se pune condiția ca radicalul lui n\displaystyle n să fie număr natural par, adică n\displaystyle n trebuie să fie pătratul unui număr par k\displaystyle k.
    n=k\displaystyle \sqrt{n}=k, k∈N\displaystyle \ k\in\mathbb{N}, k par⇒n=k2\displaystyle \ k\text{ par}\Rightarrow n=k^2
  4. Se caută valorile pare ale lui k\displaystyle k pentru care n=k2\displaystyle n=k^{2} este număr de două cifre (10≤n≤99\displaystyle 10 \leq n \leq 99).
    k∈{2,4,6,8,10,…}\displaystyle k\in\{2,4,6,8,10,\ldots\},10≤k2≤99\displaystyle \quad 10\le k^2\le 99
  5. Se testează valorile pare ale lui k\displaystyle k: k=2\displaystyle k=2 dă n=4\displaystyle n=4 (nu are două cifre), k=4\displaystyle k=4 dă n=16\displaystyle n=16, k=6\displaystyle k=6 dă n=36\displaystyle n=36, k=8\displaystyle k=8 dă n=64\displaystyle n=64, k=10\displaystyle k=10 dă n=100\displaystyle n=100 (are trei cifre, nu convine).
    n∈{16,36,64}, care sunt cazurile \displaystyle n\in\{16,36,64\}\text{, care sunt cazurile }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  6. Se numără cazurile favorabile obținute.
    3 cazuri favorabile\displaystyle 3\text{ cazuri favorabile}
  7. Se calculează probabilitatea ca raportul dintre numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile.
    p=390=130\displaystyle p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3), B(6,2)\displaystyle B(6,2) și C(4,a)\displaystyle C(4,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care dreptele AC\displaystyle AC și OB\displaystyle OB sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește formula pantei unei drepte determinate de două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): m=y2−y1x2−x1\displaystyle m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
    m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. Se calculează panta dreptei OB, folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(6,2)\displaystyle B(6,2).
    mOB=2−06−0=26=13\displaystyle m_{OB}=\dfrac{2-0}{6-0}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
  3. Se scrie formula pantei dreptei AC, folosind A(1,3)\displaystyle A(1,3) și C(4,a)\displaystyle C(4,a).
    mAC=a−34−1=a−33\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-3}{4-1}=\dfrac{a-3}{3}
  4. Se pune condiția de paralelism dintre dreptele AC și OB: pantele lor trebuie să fie egale.
    mAC=mOB⇒a−33=13\displaystyle m_{AC}=m_{OB}\Rightarrow\dfrac{a-3}{3}=\dfrac{1}{3}
  5. Se rezolvă ecuația obținută pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a.
    a−3=1⇒a=4\displaystyle a-3=1\Rightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu aria egală cu 32\displaystyle 32 și BC=AB2\displaystyle BC=AB\sqrt{2}. Arătați că AC=8\displaystyle AC=8.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Din BC=AB2\displaystyle BC=AB\sqrt{2} scriem raportul dintre cateta AB\displaystyle AB și ipotenuza BC\displaystyle BC.
    ABBC=ABAB2=12\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{AB}{AB\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
  2. În triunghiul dreptunghic, raportul dintre cateta alăturată AB\displaystyle AB și ipotenuza BC\displaystyle BC este cos⁡B\displaystyle \cos B. Cum cos⁡B=12=22\displaystyle \cos B=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, rezultă că unghiul B\displaystyle B este de 45∘\displaystyle 45^\circ.
    B=π4\displaystyle B=\frac{\pi}{4}
  3. Unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic au suma 90∘\displaystyle 90^\circ, deci C=90∘−45∘=45∘\displaystyle C=90^\circ-45^\circ=45^\circ. Atunci B=C\displaystyle B=C, triunghiul este isoscel, iar catetele sunt egale.
    B=π4\displaystyle B=\frac{\pi}{4}, AB=AC\displaystyle \ AB=AC
  4. Aria triunghiului dreptunghic este AB⋅AC2\displaystyle \dfrac{AB\cdot AC}{2}. Cum AB=AC\displaystyle AB=AC și aria este 32\displaystyle 32, obținem ecuația AC22=32\displaystyle \dfrac{AC^{2}}{2}=32.
    AB⋅AC2=32⇒AC2=64\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{2}=32\Rightarrow AC^{2}=64
  5. Lungimea AC\displaystyle AC este pozitivă, deci din AC2=64\displaystyle AC^{2}=64 obținem AC=8\displaystyle AC=8.
    AC=8\displaystyle AC=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și M(x)=(2x3x−3−x−2x100x+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(0))=0\displaystyle \det(M(0))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la matricea generală M(x)\displaystyle M(x) dată în enunț și se identifică elementele acesteia pe fiecare linie.
    M(x)=(2x3x−3−x−2x100x+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}
  2. Se înlocuiește x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în fiecare element al matricei M(x)\displaystyle M(x): 2x\displaystyle 2x devine 0\displaystyle 0, 3x\displaystyle 3x devine 0\displaystyle 0, −x\displaystyle -x devine 0\displaystyle 0, −2x\displaystyle -2x devine 0\displaystyle 0, iar x+1\displaystyle x+1 devine 1\displaystyle 1.
    M(0)=(00−3001001)⇒det⁡(M(0))=∣00−3001001∣=\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\Rightarrow \det(M(0))=\begin{vmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{vmatrix}=
  3. Se aplică regula lui Sarrus, scriind cei șase termeni ai determinantului folosind elementele matricei M(0)\displaystyle M(0): a11=0\displaystyle a_{11}=0, a12=0\displaystyle a_{12}=0, a13=−3\displaystyle a_{13}=-3, a21=0\displaystyle a_{21}=0, a22=0\displaystyle a_{22}=0, a23=1\displaystyle a_{23}=1, a31=0\displaystyle a_{31}=0, a32=0\displaystyle a_{32}=0, a33=1\displaystyle a_{33}=1.
    det⁡(M(0))=0⋅0⋅1+0⋅1⋅0+(−3)⋅0⋅0−(−3)⋅0⋅0−0⋅1⋅0−0⋅0⋅1\displaystyle \det(M(0))=0\cdot0\cdot1+0\cdot1\cdot0+(-3)\cdot0\cdot0-(-3)\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-0\cdot0\cdot1
  4. Se efectuează înmulțirile pentru fiecare termen: toți termenii conțin cel puțin un factor egal cu 0\displaystyle 0, deci fiecare produs este 0\displaystyle 0.
    det⁡(M(0))=0+0+0−0−0−0\displaystyle \det(M(0))=0+0+0-0-0-0
  5. Se adună termenii obținuți, rezultând valoarea finală a determinantului.
    =0+0+0−0−0−0=0\displaystyle =0+0+0-0-0-0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și M(x)=(2x3x−3−x−2x100x+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că M(x)⋅M(y)−xyI3=(x+y+1)M(0)\displaystyle M(x)\cdot M(y)-xyI_3=(x+y+1)M(0), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu explicit matricele M(x)\displaystyle M(x) și M(y)\displaystyle M(y) și se calculează produsul M(x)⋅M(y)\displaystyle M(x)\cdot M(y), element cu element, folosind regula de înmulțire a matricelor (linie×coloană).
    M(x)⋅M(y)=(2x3x−3−x−2x100x+1)⋅(2y3y−3−y−2y100y+1)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2y&3y&-3\\-y&-2y&1\\0&0&y+1\end{pmatrix}
  2. Se calculează fiecare element al produsului: de exemplu elementul (1,1)\displaystyle (1,1) este 2x⋅2y+3x⋅(−y)+(−3)⋅0=4xy−3xy=xy\displaystyle 2x\cdot 2y+3x\cdot(-y)+(-3)\cdot 0=4xy-3xy=xy, elementul (1,2)\displaystyle (1,2) este 2x⋅3y+3x⋅(−2y)+(−3)⋅0=6xy−6xy=0\displaystyle 2x\cdot 3y+3x\cdot(-2y)+(-3)\cdot 0=6xy-6xy=0, iar elementul (1,3)\displaystyle (1,3) este 2x⋅(−3)+3x⋅1+(−3)(y+1)=−6x+3x−3y−3=−3x−3y−3\displaystyle 2x\cdot(-3)+3x\cdot 1+(-3)(y+1)=-6x+3x-3y-3=-3x-3y-3.
    (M(x)M(y))11=xy\displaystyle (M(x)M(y))_{11}=xy, (M(x)M(y))12=0\displaystyle \ (M(x)M(y))_{12}=0, (M(x)M(y))13=−3x−3y−3\displaystyle \ (M(x)M(y))_{13}=-3x-3y-3
  3. Analog se calculează elementele liniei a doua: (2,1)=−x⋅2y+(−2x)(−y)+1⋅0=−2xy+2xy=0\displaystyle (2,1)=-x\cdot 2y+(-2x)(-y)+1\cdot 0=-2xy+2xy=0, (2,2)=−x⋅3y+(−2x)(−2y)+1⋅0=−3xy+4xy=xy\displaystyle (2,2)=-x\cdot 3y+(-2x)(-2y)+1\cdot 0=-3xy+4xy=xy, (2,3)=−x⋅(−3)+(−2x)⋅1+1⋅(y+1)=3x−2x+y+1=x+y+1\displaystyle (2,3)=-x\cdot(-3)+(-2x)\cdot 1+1\cdot(y+1)=3x-2x+y+1=x+y+1.
    (M(x)M(y))21=0\displaystyle (M(x)M(y))_{21}=0, (M(x)M(y))22=xy\displaystyle \ (M(x)M(y))_{22}=xy, (M(x)M(y))23=x+y+1\displaystyle \ (M(x)M(y))_{23}=x+y+1
  4. Se calculează și elementele liniei a treia: (3,1)=0\displaystyle (3,1)=0, (3,2)=0\displaystyle (3,2)=0, (3,3)=0⋅(−3)+0⋅1+(x+1)(y+1)=xy+x+y+1\displaystyle (3,3)=0\cdot(-3)+0\cdot 1+(x+1)(y+1)=xy+x+y+1, întrucât primele două coloane ale liniei a treia din M(x)\displaystyle M(x) sunt nule.
    (M(x)M(y))31=0\displaystyle (M(x)M(y))_{31}=0, (M(x)M(y))32=0\displaystyle \ (M(x)M(y))_{32}=0, (M(x)M(y))33=xy+x+y+1\displaystyle \ (M(x)M(y))_{33}=xy+x+y+1
  5. Se adună toate elementele calculate pentru a obține matricea produs M(x)⋅M(y)\displaystyle M(x)\cdot M(y), apoi se scade matricea xy⋅I3\displaystyle xy\cdot I_3 (care are xy\displaystyle xy pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest), scriindu-se explicit ambele matrice înainte de scădere.
    M(x)⋅M(y)−xyI3=(xy0−3x−3y−30xyx+y+100xy+x+y+1)−(xy000xy000xy)=\displaystyle M(x)\cdot M(y)-xyI_3=\begin{pmatrix}xy&0&-3x-3y-3\\0&xy&x+y+1\\0&0&xy+x+y+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}xy&0&0\\0&xy&0\\0&0&xy\end{pmatrix}=
  6. Se efectuează scăderea element cu element: elementele de pe diagonala principală devin xy−xy=0\displaystyle xy-xy=0, iar elementul (3,3)\displaystyle (3,3) devine xy+x+y+1−xy=x+y+1\displaystyle xy+x+y+1-xy=x+y+1, celelalte elemente rămânând neschimbate.
    =(00−3(x+y+1)00x+y+100x+y+1)\displaystyle =\begin{pmatrix}0&0&-3(x+y+1)\\0&0&x+y+1\\0&0&x+y+1\end{pmatrix}
  7. Se observă că fiecare element al matricei obținute este de forma (x+y+1)\displaystyle (x+y+1) înmulțit cu elementul corespunzător din matricea M(0)=(00−3001001)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}, deci matricea se poate factoriza ca produs scalar (x+y+1)⋅M(0)\displaystyle (x+y+1)\cdot M(0), relație valabilă pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    =(x+y+1)M(0)\displaystyle =(x+y+1)M(0), pentru orice numere reale x și y\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și M(x)=(2x3x−3−x−2x100x+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care M(1)⋅M(x)−M(2)⋅M(x2)=2M(0)\displaystyle M(1)\cdot M(x)-M(2)\cdot M\left(\frac{x}{2}\right)=2M(0).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea M(0)\displaystyle M(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în definiția lui M(x)\displaystyle M(x).
    M(0)=(00−3001001)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Se reamintește identitatea demonstrată la punctul anterior al problemei, valabilă pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, care exprimă produsul M(a)⋅M(b)\displaystyle M(a)\cdot M(b) ca o combinație de I3\displaystyle I_3 și M(0)\displaystyle M(0).
    M(a)⋅M(b)=ab⋅I3+(a+b+1)M(0)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=ab\cdot I_3+(a+b+1)M(0), pentru orice a\displaystyle \text{ pentru orice }a,b∈R\displaystyle b\in\mathbb{R}
  3. Se aplică identitatea pentru a=1\displaystyle a=1 și b=x\displaystyle b=x, pentru a obține expresia lui M(1)⋅M(x)\displaystyle M(1)\cdot M(x).
    M(1)⋅M(x)=1⋅x⋅I3+(1+x+1)M(0)=xI3+(x+2)M(0)\displaystyle M(1)\cdot M(x)=1\cdot x\cdot I_3+(1+x+1)M(0)=xI_3+(x+2)M(0)
  4. Se aplică aceeași identitate pentru a=2\displaystyle a=2 și b=x2\displaystyle b=\dfrac{x}{2}, pentru a obține expresia lui M(2)⋅M(x2)\displaystyle M(2)\cdot M(\dfrac{x}{2}).
    M(2)⋅M(x2)=2⋅x2⋅I3+(2+x2+1)M(0)=xI3+(x2+3)M(0)\displaystyle M(2)\cdot M\left(\frac{x}{2}\right)=2\cdot\frac{x}{2}\cdot I_3+\left(2+\frac{x}{2}+1\right)M(0)=xI_3+\left(\frac{x}{2}+3\right)M(0)
  5. Se scad cele două relații obținute mai sus, termenii cu I3\displaystyle I_3 se reduc, iar coeficienții lui M(0)\displaystyle M(0) se combină, obținându-se forma cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    M(1)⋅M(x)−M(2)⋅M(x2)=xI3+(x+2)M(0)−xI3−(x2+3)M(0)=(x2−1)M(0)\displaystyle M(1)\cdot M(x)-M(2)\cdot M\left(\frac{x}{2}\right)=xI_3+(x+2)M(0)-xI_3-\left(\frac{x}{2}+3\right)M(0)=\left(\frac{x}{2}-1\right)M(0), pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  6. Se pune condiția din enunț ca această diferență de matrice să fie egală cu 2M(0)\displaystyle 2M(0), obținându-se astfel ecuația în x\displaystyle x.
    M(1)⋅M(x)−M(2)⋅M(x2)=2M(0)⇒(x2−1)M(0)=2M(0)\displaystyle M(1)\cdot M(x)-M(2)\cdot M\left(\frac{x}{2}\right)=2M(0)\Rightarrow \left(\frac{x}{2}-1\right)M(0)=2M(0)
  7. Deoarece M(0)\displaystyle M(0) este o matrice nenulă, egalitatea celor două multipli ai lui M(0)\displaystyle M(0) implică egalitatea coeficienților, de unde se obține ecuația liniară și soluția finală x=6\displaystyle x=6.
    (x2−1)M(0)=2M(0)\displaystyle \left(\frac{x}{2}-1\right)M(0)=2M(0), de unde obținem x=6\displaystyle \text{ de unde obținem }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1.

Arătați că 1∗3=1\displaystyle 1*3=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3 care trebuie înlocuite.
    x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1, x=1\displaystyle \ x=1, y=3\displaystyle \ y=3
  2. Se înlocuiesc valorile x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3 în formula legii de compoziție.
    1∗3=5(1−1)(3−1)+1=\displaystyle 1*3=5(1-1)(3-1)+1=
  3. Se calculează paranteza (1−1)\displaystyle (1-1), care este egală cu 0\displaystyle 0.
    5⋅0⋅(3−1)+1=\displaystyle 5\cdot 0\cdot(3-1)+1=
  4. Se efectuează înmulțirea, deoarece orice număr înmulțit cu 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, iar apoi se adună 1\displaystyle 1.
    =0+1=1\displaystyle =0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1.

Arătați că e=65\displaystyle e=\frac{6}{5} este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Se presupune că legea de compoziție "*" admite un element neutru e\displaystyle e și se scrie condiția ca x∗e\displaystyle x*e să fie egal cu x\displaystyle x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗e=5(x−1)(e−1)+1=x\displaystyle x*e=5(x-1)(e-1)+1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  2. Se simplifică ecuația obținută, izolând termenul care conține pe e\displaystyle e, pentru a determina valoarea lui e\displaystyle e.
    5(x−1)(e−1)=x−1⇒(x−1)(e−1)=x−15\displaystyle 5(x-1)(e-1)=x-1\Rightarrow (x-1)(e-1)=\frac{x-1}{5}, pentru orice x≠1⇒e−1=15\displaystyle \text{ pentru orice }x\neq 1\Rightarrow e-1=\frac{1}{5}
  3. Se determină valoarea candidată pentru elementul neutru, rezolvând ecuația e−1=15\displaystyle e-1=\dfrac{1}{5}.
    e=1+15=65\displaystyle e=1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}
  4. Se verifică prima condiție din definiția elementului neutru, calculând x∗e\displaystyle x*e pentru e=65\displaystyle e=\dfrac{6}{5} și arătând că rezultatul este x\displaystyle x, pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗65=5(x−1)(65−1)+1=x−1+1=x\displaystyle x*\frac{6}{5}=5(x-1)\left(\frac{6}{5}-1\right)+1=x-1+1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  5. Se verifică a doua condiție din definiția elementului neutru, calculând e∗x\displaystyle e*x pentru e=65\displaystyle e=\dfrac{6}{5} și arătând că rezultatul este x\displaystyle x, pentru orice x\displaystyle x real, concluzionând astfel că e=65\displaystyle e=\dfrac{6}{5} este elementul neutru al legii de compoziție ∗\displaystyle *.
    65∗x=5(65−1)(x−1)+1=x−1+1=x\displaystyle \frac{6}{5}*x=5\left(\frac{6}{5}-1\right)(x-1)+1=x-1+1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x, deci e=65 este elementul neutru al \displaystyle \text{ deci }e=\frac{6}{5}\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m25\displaystyle \frac{m}{25} este simetricul elementului n\displaystyle n în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină elementul neutru e\displaystyle e al legii de compoziție, punând condiția x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x\displaystyle x real.
    5(x−1)(e−1)+1=x⇒(x−1)[5(e−1)−1]=0\displaystyle 5(x-1)(e-1)+1=x\Rightarrow(x-1)\left[5(e-1)-1\right]=0, pentru orice x\displaystyle \text{ pentru orice }x, deci e−1=15⇒e=65\displaystyle \text{ deci }e-1=\frac{1}{5}\Rightarrow e=\frac{6}{5}
  2. Se pune condiția ca m25\displaystyle \frac{m}{25} combinat cu n\displaystyle n (în ambele ordini, legea fiind comutativă) să dea elementul neutru găsit anterior, apoi se scrie explicit legea de compoziție folosind definiția dată.
    m25∗n=n∗m25=65\displaystyle \frac{m}{25}*n=n*\frac{m}{25}=\frac{6}{5}, de unde obținem 5(m25−1)(n−1)+1=5(n−1)(m25−1)+1=65\displaystyle \text{ de unde obținem }5\left(\frac{m}{25}-1\right)(n-1)+1=5(n-1)\left(\frac{m}{25}-1\right)+1=\frac{6}{5}
  3. Se izolează paranteza și se simplifică ecuația, aducând-o la o formă echivalentă fără fracții.
    5(m25−1)(n−1)=15⇒(m25−1)(n−1)=125⇒(m−25)(n−1)=1\displaystyle 5\left(\frac{m}{25}-1\right)(n-1)=\frac{1}{5}\Rightarrow\left(\frac{m}{25}-1\right)(n-1)=\frac{1}{25}\Rightarrow(m-25)(n-1)=1
  4. Se rezolvă ecuația diofantică obținută, ținând cont că m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale, iar (m−25)\displaystyle (m-25) și (n−1)\displaystyle (n-1) sunt numere întregi al căror produs este 1\displaystyle 1, deci ambele sunt egale cu 1\displaystyle 1 sau ambele egale cu −1\displaystyle -1.
    (m−25)(n−1)=1 și, cum m și n sunt numere naturale, \displaystyle (m-25)(n-1)=1\text{ și, cum }m\text{ și }n\text{ sunt numere naturale, }obținem perechile (24,0) și (26,2)\displaystyle \text{obținem perechile }(24,0)\text{ și }(26,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x}.

Arătați că f′(x)=3−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3-\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile u\displaystyle u și v\displaystyle v din scrierea f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}, unde u(x)=2x−2+ln⁡x\displaystyle u(x) = 2x - 2 + \ln x și v(x)=x\displaystyle v(x) = x, și se calculează derivatele lor: u′(x)=2+1x\displaystyle u'(x) = 2 + \dfrac{1}{x}, v′(x)=1\displaystyle v'(x) = 1.
    u(x)=2x−2+ln⁡x\displaystyle u(x)=2x-2+\ln x, u′(x)=2+1x;v(x)=x\displaystyle \ u'(x)=2+\frac{1}{x};\quad v(x)=x, v′(x)=1\displaystyle \ v'(x)=1
  2. Se aplică formula de derivare a câtului, f′(x)=u′v−uv′v2\displaystyle f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}, înlocuind expresiile lui u\displaystyle u, u′\displaystyle u', v\displaystyle v, v′\displaystyle v'.
    f′(x)=(2+1x)⋅x−(2x−2+ln⁡x)x2=\displaystyle f'(x)=\frac{\left(2+\frac{1}{x}\right)\cdot x-(2x-2+\ln x)}{x^2}=
  3. Se efectuează înmulțirea de la numărător: (2+1x)⋅x=2x+1\displaystyle \left(2 + \dfrac{1}{x}\right)\cdot x = 2x + 1, apoi se scrie numărătorul complet.
    (2+1x)⋅x=2x+1 ⇒ f′(x)=2x+1−(2x−2+ln⁡x)x2\displaystyle \left(2+\frac{1}{x}\right)\cdot x=2x+1\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{2x+1-(2x-2+\ln x)}{x^2}
  4. Se desface paranteza cu semnul minus și se reduc termenii asemenea la numărător, obținându-se forma finală simplificată a derivatei.
    =2x+1−2x+2−ln⁡xx2=3−ln⁡xx2\displaystyle =\frac{2x+1-2x+2-\ln x}{x^2}=\frac{3-\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x}.

Arătați că lim⁡x→1f(x)ln⁡x=3\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit funcția f\displaystyle f și se calculează valoarea în x=1\displaystyle x=1, observând că f(1)=0\displaystyle f(1)=0, deci atât f(x)\displaystyle f(x) cât și ln⁡x\displaystyle \ln x tind la 0\displaystyle 0 când x\displaystyle x tinde la 1\displaystyle 1.
    f(1)=2⋅1−2+ln⁡11=0\displaystyle f(1)=\dfrac{2\cdot1-2+\ln1}{1}=0,lim⁡x→1ln⁡x=0\displaystyle \qquad \lim_{x\to1}\ln x=0
  2. Se formează raportul f(x)ln⁡x\displaystyle \frac{f(x)}{\ln x} și se aduce la o singură fracție, obținându-se o nedeterminare de tipul 00\displaystyle \frac{0}{0} pentru x\displaystyle x tinzând la 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1f(x)ln⁡x=lim⁡x→12x−2+ln⁡xxln⁡x=00\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{2x-2+\ln x}{x\ln x}=\frac{0}{0}
  3. Fiind o nedeterminare de tip 00\displaystyle \frac{0}{0}, se aplică regula lui l'Hospital, derivând separat numărătorul și numitorul.
    lim⁡x→12x−2+ln⁡xxln⁡x=lim⁡x→1(2x−2+ln⁡x)′(xln⁡x)′\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2x-2+\ln x}{x\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{(2x-2+\ln x)'}{(x\ln x)'}
  4. Se calculează derivatele: derivata numărătorului este 2+1x\displaystyle 2+\dfrac{1}{x}, iar derivata numitorului, folosind regula produsului, este ln⁡x+1\displaystyle \ln x+1.
    (2x−2+ln⁡x)′=2+1x\displaystyle (2x-2+\ln x)'=2+\frac{1}{x},(xln⁡x)′=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle \qquad (x\ln x)'=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1
  5. Se înlocuiesc derivatele în limită și se calculează valoarea acesteia pentru x\displaystyle x tinzând la 1\displaystyle 1, obținând rezultatul final.
    =lim⁡x→12+1xln⁡x+1=2+10+1=3\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{2+\frac{1}{x}}{\ln x+1}=\frac{2+1}{0+1}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x}.

Determinați cel mai mare număr întreg m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are cel puțin o soluție.
Vezi rezolvarea
  1. Se rescrie funcția și se calculează derivata folosind regula de derivare a câtului: f(x)=2x−2+ln⁡xx\displaystyle f(x) = \dfrac{2x-2+\ln x}{x}, cu f′(x)=[(2x−2+ln⁡x)]′⋅x−(2x−2+ln⁡x)⋅x′\displaystyle f'(x) = [(2x-2+\ln x)]' \cdot x - (2x-2+\ln x)\cdot x' toate împărțite la x2\displaystyle x^{2}.
    f′(x)=(2+1x)⋅x−(2x−2+ln⁡x)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2+\frac{1}{x})\cdot x-(2x-2+\ln x)}{x^{2}}
  2. Se simplifică expresia obținută pentru derivată, aducând totul la același numitor și reducând termenii asemenea.
    f′(x)=2x+1−2x+2−ln⁡xx2=3−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x+1-2x+2-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{3-\ln x}{x^{2}}
  3. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilește semnul derivatei pe cele două subintervale, ținând cont că x2>0\displaystyle x^2>0 pentru orice x\displaystyle x din domeniu, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul lui 3−ln⁡x\displaystyle 3-\ln x.
    f′(x)=0⇔3−ln⁡x=0⇔ln⁡x=3⇔x=e3\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow 3-\ln x=0\Leftrightarrow \ln x=3\Leftrightarrow x=e^{3}
  4. Se analizează semnul lui 3−ln⁡x\displaystyle 3-\ln x pe (0,e3]\displaystyle (0,e^3] și pe [e3,+∞)\displaystyle [e^3,+\infty) pentru a determina monotonia funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=0⇔x=e3; pentru orice x∈(0,e3]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=e^3;\text{ pentru orice }x\in(0,e^3], f′(x)≥0\displaystyle \ f'(x)\ge0, deci f este cresca˘toare pe (0,e3] și, pentru orice x∈[e3,+∞)\displaystyle \text{ deci }f\text{ este crescătoare pe }(0,e^3]\text{ și, pentru orice }x\in[e^3,+\infty), f′(x)≤0\displaystyle \ f'(x)\le0, deci f este descresca˘toare pe [e3,+∞)\displaystyle \text{ deci }f\text{ este descrescătoare pe }[e^3,+\infty)
  5. Se calculează limita funcției f\displaystyle f atunci când x\displaystyle x tinde la 0\displaystyle 0 prin valori pozitive, observând că ln⁡x\displaystyle \ln x tinde la −∞\displaystyle -\infty, iar x\displaystyle x tinde la 0\displaystyle 0, deci raportul tinde la −∞\displaystyle -\infty.
    lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+2x−2+ln⁡xx=−∞\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{2x-2+\ln x}{x}=-\infty
  6. Se calculează valoarea maximă a funcției, în punctul de maxim x=e3\displaystyle x=e^3, înlocuind în expresia lui f\displaystyle f.
    f(e3)=2e3−2+ln⁡(e3)e3=2e3−2+3e3=2e3+1e3=2+1e3\displaystyle f(e^{3})=\dfrac{2e^{3}-2+\ln(e^{3})}{e^{3}}=\dfrac{2e^{3}-2+3}{e^{3}}=\dfrac{2e^{3}+1}{e^{3}}=2+\dfrac{1}{e^{3}}
  7. Se estimează valoarea numerică a lui e3\displaystyle e^3 (aproximativ 20,09\displaystyle 20,09), pentru a încadra valoarea maximă a funcției între 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
    e3≈20,09⇒1e3≈0,05⇒f(e3)=2+1e3∈(2,3)\displaystyle e^{3}\approx20{,}09\Rightarrow\dfrac{1}{e^{3}}\approx0{,}05\Rightarrow f(e^{3})=2+\dfrac{1}{e^{3}}\in(2,3)
  8. Se calculează limita funcției la +∞\displaystyle +\infty pentru a determina comportamentul pe ramura descrescătoare, folosind faptul că ln⁡xx→0\displaystyle \dfrac{\ln x}{x} \to 0 și 2x→0\displaystyle \dfrac{2}{x} \to 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(2−2x+ln⁡xx)=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{2}{x}+\dfrac{\ln x}{x}\right)=2
  9. Se sintetizează rezultatele: pe (0,e3]\displaystyle (0,e^3], f este crescătoare de la −∞\displaystyle -\infty la f(e3)\displaystyle f(e^3), iar pe [e3,+∞)\displaystyle [e^3,+\infty), f este descrescătoare de la f(e3)\displaystyle f(e^3) către 2\displaystyle 2, fără a atinge 2\displaystyle 2. Cum f este continuă, mulțimea valorilor este (−∞,f(e3)]\displaystyle (-\infty, f(e^3)]. Deoarece f(e3)∈(2,3)\displaystyle f(e^3)\in(2,3), cel mai mare număr întreg m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are soluție este 2\displaystyle 2.
    lim⁡x→0f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=-\infty, f(e3)=2+1e3∈(2,3) și f este continua˘, deci cel \displaystyle \ f(e^3)=2+\frac{1}{e^3}\in(2,3)\text{ și }f\text{ este continuă, deci cel }mai mare numa˘r ıˆntreg m pentru care ecuația f(x)=m are cel puțin o soluție \displaystyle \text{mai mare număr întreg }m\text{ pentru care ecuația }f(x)=m\text{ are cel puțin o soluție }este 2\displaystyle \text{este }2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+4ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{e^x}.

Arătați că ∫02f(x)ex dx=10\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f(x)e^x\,dx=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia produsului f(x)⋅ex\displaystyle f(x)\cdot e^{x} pornind de la definiția funcției f\displaystyle f.
    f(x)⋅ex=x+4ex⋅ex\displaystyle f(x)\cdot e^x=\dfrac{x+4}{e^x}\cdot e^x
  2. Se simplifică ex\displaystyle e^{x} de la numărător cu ex\displaystyle e^{x} de la numitor, obținând o funcție polinomială simplă.
    f(x)⋅ex=x+4\displaystyle f(x)\cdot e^x=x+4
  3. Se înlocuiește produsul simplificat în integrala definită dată, transformând-o într-o integrală dintr-un polinom.
    ∫02f(x)exdx=∫02(x+4)dx\displaystyle \int_0^2 f(x)e^x dx=\int_0^2(x+4)dx
  4. Se determină o primitivă a funcției x+4\displaystyle x+4, folosind formula de integrare a puterilor și a constantei.
    ∫(x+4)dx=x22+4x+C\displaystyle \int(x+4)dx=\frac{x^2}{2}+4x+C
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, scriind primitiva evaluată între limitele de integrare 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    ∫02(x+4)dx=(x22+4x)∣02=\displaystyle \int_0^2(x+4)dx=\left(\frac{x^2}{2}+4x\right)\Big|_0^2=
  6. Se calculează valoarea primitivei în x=2\displaystyle x=2 și în x=0\displaystyle x=0, apoi se face diferența pentru a obține rezultatul final.
    (222+4⋅2)−(022+4⋅0)=2+8=10\displaystyle \left(\frac{2^2}{2}+4\cdot 2\right)-\left(\frac{0^2}{2}+4\cdot 0\right)=2+8=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+4ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{e^x}.

Arătați că ∫01f(x)dx=5−6e\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(x)dx=5-\frac{6}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Se rescrie funcția f\displaystyle f astfel încât să evidențiem factorul e−x\displaystyle e^{-x} ca derivată a funcției −e−x\displaystyle -e^{-x}, pregătind aplicarea metodei de integrare prin părți.
    f(x)=x+4ex=(x+4)e−x=(x+4)(−e−x)′\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{e^x}=(x+4)e^{-x}=(x+4)\left(-e^{-x}\right)'
  2. Se aplică formula de integrare prin părți, ∫u v′ dx=uv−∫u′v dx\displaystyle \int u\,v'\,dx=uv-\int u'v\,dx, luând u=x+4\displaystyle u=x+4 și v′=(−e−x)′\displaystyle v'=(-e^{-x})', deci v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x} și u′=1\displaystyle u'=1.
    ∫(x+4)(−e−x)′dx=(x+4)(−e−x)−∫1⋅(−e−x)dx\displaystyle \int (x+4)\left(-e^{-x}\right)'dx=(x+4)\left(-e^{-x}\right)-\int 1\cdot\left(-e^{-x}\right)dx
  3. Se scrie integrala definită pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1], aplicând formula de integrare prin părți și separând cele două expresii evaluate între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01f(x)dx=∫01(x+4)(−e−x)′dx=(x+4)(−e−x)∣01−e−x∣01=\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1(x+4)(-e^{-x})'dx=(x+4)(-e^{-x})\Big|_0^1-e^{-x}\Big|_0^1=
  4. Se calculează valorile fiecărei expresii la capetele intervalului: pentru primul termen se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 și x=0\displaystyle x=0, iar pentru al doilea termen la fel.
    (x+4)(−e−x)∣01=(1+4)(−e−1)−(0+4)(−e0)=−5e+4\displaystyle (x+4)(-e^{-x})\Big|_0^1=(1+4)(-e^{-1})-(0+4)(-e^{0})=-\dfrac{5}{e}+4,−e−x∣01=−e−1−(−e0)=−1e+1\displaystyle \quad -e^{-x}\Big|_0^1=-e^{-1}-(-e^{0})=-\dfrac{1}{e}+1
  5. Se adună cele două rezultate obținute anterior pentru a obține valoarea finală a integralei.
    =−5e+4−1e+1=5−6e\displaystyle =-\dfrac{5}{e}+4-\dfrac{1}{e}+1=5-\dfrac{6}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+4ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{e^x}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnf(x)dx\displaystyle I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx. Arătați că In+1+4In≤en+1\displaystyle I_{n+1}+4I_n\le\dfrac{e}{n+1}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece f(x)=x+4ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+4}{e^x}, avem 1f(x)=exx+4\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{e^x}{x+4}. Rescriem integrala In\displaystyle I_n cu această expresie.
    In=∫01xnexx+4 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^ne^x}{x+4}\,dx
  2. Analog, In+1=∫01xn+1exx+4dx\displaystyle I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{n+1}e^x}{x+4}dx. Adunăm In+1\displaystyle I_{n+1} cu 4In\displaystyle 4I_n sub o singură integrală, cu același numitor x+4\displaystyle x+4.
    In+1+4In=∫01(xn+1+4xn)exx+4 dx\displaystyle I_{n+1}+4I_n=\int_0^1\frac{(x^{n+1}+4x^n)e^x}{x+4}\,dx
  3. La numărător dăm factor comun xn\displaystyle x^n: xn+1+4xn=xn(x+4)\displaystyle x^{n+1}+4x^n=x^n(x+4). Factorul x+4\displaystyle x+4 se simplifică cu numitorul, deci rămâne integrala din xnex\displaystyle x^ne^x.
    In+1+4In=∫01xnex dx\displaystyle I_{n+1}+4I_n=\int_0^1 x^ne^x\,dx
  4. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] funcția ex\displaystyle e^x este crescătoare, deci ex≤e\displaystyle e^x\le e. Cum xn≥0\displaystyle x^n\ge 0 pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1], obținem xnex≤e xn\displaystyle x^ne^x\le e\,x^n.
    xnex≤e xn\displaystyle x^ne^x\le e\,x^n, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  5. Integrăm inegalitatea pe [0,1]\displaystyle [0,1] și scoatem constanta e\displaystyle e în fața integralei. O primitivă a lui xn\displaystyle x^n este xn+1n+1\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, deci obținem inegalitatea cerută, pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    In+1+4In≤e∫01xn dx=e⋅xn+1n+1∣01=en+1\displaystyle I_{n+1}+4I_n\le e\int_0^1x^n\,dx=e\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\frac{e}{n+1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.