Bac matematică M1 mate-info 2020, sesiunea specială varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul a=3+22+13+22\displaystyle a=3+2\sqrt{2}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Fracția are la numitor 3+22\displaystyle 3+2\sqrt{2}, așa că o raționalizăm amplificând cu conjugatul lui, 3−22\displaystyle 3-2\sqrt{2}.
    13+22=3−22(3+22)(3−22)\displaystyle \frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}
  2. Calculăm numitorul cu formula (x+y)(x−y)=x2−y2\displaystyle (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}. Obținem 32−(22)2=9−8=1\displaystyle 3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}=9-8=1. Înlocuim în expresia lui a\displaystyle a.
    a=3+22+3−229−8\displaystyle a=3+2\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}
  3. Numitorul este 9−8=1\displaystyle 9-8=1, deci fracția devine 3−22\displaystyle 3-2\sqrt{2}. Termenii 22\displaystyle 2\sqrt{2} și −22\displaystyle -2\sqrt{2} se reduc, iar rămâne 3+3=6\displaystyle 3+3=6, care este număr natural.
    a=3+22+3−22=6, care este numa˘r natural\displaystyle a=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6\text{, care este număr natural}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1. Arătați că (f∘f)(1)=f(2)+2\displaystyle (f\circ f)(1)=f(2)+2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1.
    f(1)=2⋅1+1=3\displaystyle f(1)=2\cdot 1+1=3
  2. Folosim definiția compunerii: (f∘f)(1)=f(f(1))=f(3)\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))=f(3). Calculăm f(3)=2⋅3+1\displaystyle f(3)=2\cdot 3+1 și obținem 7\displaystyle 7.
    (f∘f)(1)=f(f(1))=f(3)=2⋅3+1=7\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))=f(3)=2\cdot 3+1=7
  3. Calculăm f(2)=2⋅2+1=5\displaystyle f(2)=2\cdot 2+1=5, apoi f(2)+2=5+2=7\displaystyle f(2)+2=5+2=7. Cum (f∘f)(1)=7\displaystyle (f\circ f)(1)=7, cele două valori coincid.
    f(2)=5, deci f(2)+2=7=(f∘f)(1)\displaystyle f(2)=5\text{, deci }f(2)+2=7=(f\circ f)(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x2=3⋅3x\displaystyle 9^{x^2}=3\cdot 3^x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci 9x2=(32)x2=32x2\displaystyle 9^{x^2}=\left(3^{2}\right)^{x^2}=3^{2x^2}.
    9x2=32x2\displaystyle 9^{x^2}=3^{2x^2}
  2. În membrul drept avem 3⋅3x=31⋅3x=3x+1\displaystyle 3\cdot 3^x=3^{1}\cdot 3^{x}=3^{x+1}.
    3⋅3x=3x+1\displaystyle 3\cdot 3^x=3^{x+1}
  3. Ecuația devine 32x2=3x+1\displaystyle 3^{2x^2}=3^{x+1}. Cum funcția 3t\displaystyle 3^t este injectivă, egalăm exponenții.
    32x2=3x+1⇔2x2=x+1\displaystyle 3^{2x^2}=3^{x+1}\Leftrightarrow 2x^2=x+1
  4. Mutăm termenii în stânga și obținem 2x2−x−1=0\displaystyle 2x^2-x-1=0.
    2x2−x−1=0\displaystyle 2x^2-x-1=0
  5. Avem a=2\displaystyle a=2, b=−1\displaystyle b=-1, c=−1\displaystyle c=-1, deci Δ=b2−4ac=1+8=9\displaystyle \Delta=b^2-4ac=1+8=9.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  6. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=1±34\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1\pm 3}{4}, de unde x1=1−34=−12\displaystyle x_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac{1}{2} și x2=1+34=1\displaystyle x_2=\dfrac{1+3}{4}=1. Ambele sunt reale, deci sunt soluții ale ecuației.
    x=−12 sau x=1\displaystyle x=-\frac{1}{2}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, știind că mulțimea A={1,2,3,…,n}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,n\} are exact 10 submulțimi cu două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A\displaystyle A, care are n\displaystyle n elemente, este numărul de combinări de n\displaystyle n luate câte 2\displaystyle 2. Trebuie să avem n≥2\displaystyle n\geq 2.
    Cn2\displaystyle C_n^2
  2. Punem condiția Cn2=10\displaystyle C_n^2=10 și folosim formula combinărilor: Cn2=n!2!(n−2)!\displaystyle C_n^2=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}.
    n!2!(n−2)!=10\displaystyle \frac{n!}{2!(n-2)!}=10
  3. Simplificăm: n!(n−2)!=n(n−1)\displaystyle \dfrac{n!}{(n-2)!}=n(n-1), iar 2!=2\displaystyle 2!=2. Obținem ecuația n(n−1)2=10\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}=10.
    n(n−1)2=10\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=10
  4. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: n(n−1)=20\displaystyle n(n-1)=20, adică n2−n=20\displaystyle n^2-n=20, deci ecuația de gradul al doilea este n2−n−20=0\displaystyle n^2-n-20=0.
    n2−n−20=0\displaystyle n^2-n-20=0
  5. Discriminantul este Δ=1+80=81\displaystyle \Delta=1+80=81, deci n=1±92\displaystyle n=\dfrac{1\pm 9}{2}, adică n=5\displaystyle n=5 sau n=−4\displaystyle n=-4. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, convine doar n=5\displaystyle n=5.
    n=5\displaystyle n=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(1,0)\displaystyle M(1,0), N(7,0)\displaystyle N(7,0) și A(a,3)\displaystyle A(a,3), unde a\displaystyle a este număr real. Știind că AM=AN\displaystyle AM=AN, arătați că segmentul AO\displaystyle AO are lungimea egală cu 5.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte pentru A(a,3)\displaystyle A(a,3), M(1,0)\displaystyle M(1,0) și N(7,0)\displaystyle N(7,0): AM=(a−1)2+32\displaystyle AM=\sqrt{(a-1)^2+3^2} și AN=(a−7)2+32\displaystyle AN=\sqrt{(a-7)^2+3^2}.
    AM=(a−1)2+9\displaystyle AM=\sqrt{(a-1)^2+9}
  2. Din AM=AN\displaystyle AM=AN, prin ridicare la pătrat, obținem (a−1)2+9=(a−7)2+9\displaystyle (a-1)^2+9=(a-7)^2+9, deci (a−1)2=(a−7)2\displaystyle (a-1)^2=(a-7)^2.
    (a−1)2=(a−7)2\displaystyle (a-1)^2=(a-7)^2
  3. Desfacem parantezele: a2−2a+1=a2−14a+49\displaystyle a^2-2a+1=a^2-14a+49. Reducem a2\displaystyle a^2 și obținem 12a=48\displaystyle 12a=48, deci a=4\displaystyle a=4. Același rezultat se obține observând că A se află pe mediatoarea lui MN\displaystyle MN, adică la mijlocul abscisei 1+72=4\displaystyle \dfrac{1+7}{2}=4.
    a=4\displaystyle a=4
  4. Deci A(4,3)\displaystyle A(4,3). Cu O(0,0)\displaystyle O(0,0), avem AO=(4−0)2+(3−0)2=16+9=25=5\displaystyle AO=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
    AO=42+32=25=5\displaystyle AO=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) pentru care 3cos⁡x−2=2cos⁡2x\displaystyle 3\cos x-2=2\cos 2x. Calculați cos⁡x\displaystyle \cos x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula cosinusului unghiului dublu în funcție de cos⁡x\displaystyle \cos x: cos⁡2x=2cos⁡2x−1\displaystyle \cos 2x=2\cos^{2}x-1.
    cos⁡2x=2cos⁡2x−1\displaystyle \cos 2x=2\cos^{2}x-1
  2. Înlocuim în ecuație: 2cos⁡2x=2(2cos⁡2x−1)=4cos⁡2x−2\displaystyle 2\cos 2x=2\left(2\cos^{2}x-1\right)=4\cos^{2}x-2, deci ecuația devine 3cos⁡x−2=4cos⁡2x−2\displaystyle 3\cos x-2=4\cos^{2}x-2.
    3cos⁡x−2=4cos⁡2x−2\displaystyle 3\cos x-2=4\cos^{2}x-2
  3. Mutăm toți termenii în aceeași parte și reducem termenii asemenea (−2\displaystyle -2 se reduce): 4cos⁡2x−3cos⁡x=0\displaystyle 4\cos^{2}x-3\cos x=0. Dăm factor comun cos⁡x\displaystyle \cos x.
    4cos⁡2x−3cos⁡x=0⇔cos⁡x(4cos⁡x−3)=0\displaystyle 4\cos^{2}x-3\cos x=0\Leftrightarrow \cos x\left(4\cos x-3\right)=0
  4. Un produs este zero când un factor este zero, deci cos⁡x=0\displaystyle \cos x=0 sau 4cos⁡x−3=0\displaystyle 4\cos x-3=0, adică cos⁡x=34\displaystyle \cos x=\dfrac{3}{4}.
    cos⁡x=0 sau cos⁡x=34\displaystyle \cos x=0\text{ sau }\cos x=\frac{3}{4}
  5. Pentru x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci cos⁡x=0\displaystyle \cos x=0 nu convine. Rămâne cos⁡x=34\displaystyle \cos x=\dfrac{3}{4}.
    cos⁡x=34\displaystyle \cos x=\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12−aaa11a2a−5a−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & 2-a & a\\ a & 1 & 1\\ a & 2a-5 & a-2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+(2−a)y+az=1ax+y+z=2−aax+(2a−5)y+(a−2)z=−4\displaystyle \begin{cases}x+(2-a)y+az=1\\ ax+y+z=2-a\\ ax+(2a-5)y+(a-2)z=-4\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=3\displaystyle \det(A(0))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a): 2−a=2\displaystyle 2-a=2, a=0\displaystyle a=0, 2a−5=−5\displaystyle 2a-5=-5, a−2=−2\displaystyle a-2=-2.
    A(0)=(1200110−5−2)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&-5&-2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=∣1200110−5−2∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&-5&-2\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    1⋅1⋅(−2)+2⋅1⋅0+0⋅0⋅(−5)−0⋅1⋅0−1⋅1⋅(−5)−2⋅0⋅(−2)\displaystyle 1\cdot1\cdot(-2)+2\cdot1\cdot0+0\cdot0\cdot(-5)-0\cdot1\cdot0-1\cdot1\cdot(-5)-2\cdot0\cdot(-2)
  4. Calculăm fiecare produs: (−2)+0+0−0−(−5)−0\displaystyle (-2)+0+0-0-(-5)-0. Obținem −2+5=3\displaystyle -2+5=3, deci det⁡(A(0))=3\displaystyle \det(A(0))=3.
    (−2)+0+0−0−(−5)−0=3\displaystyle (-2)+0+0-0-(-5)-0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12−aaa11a2a−5a−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & 2-a & a\\ a & 1 & 1\\ a & 2a-5 & a-2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+(2−a)y+az=1ax+y+z=2−aax+(2a−5)y+(a−2)z=−4\displaystyle \begin{cases}x+(2-a)y+az=1\\ ax+y+z=2-a\\ ax+(2a-5)y+(a-2)z=-4\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(a))=(a−1)(a−3)(3a+1)\displaystyle \det(A(a))=(a-1)(a-3)(3a+1), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Facem operații pe coloane, care nu schimbă determinantul: C2→C2−C1\displaystyle C_2\to C_2-C_1 și C3→C3+C1\displaystyle C_3\to C_3+C_1. Obținem det⁡(A(a))=∣11−aa+1a1−a1+aaa−52a−2∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&1-a&a+1\\a&1-a&1+a\\a&a-5&2a-2\end{vmatrix}.
    det⁡(A(a))=∣11−aa+1a1−a1+aaa−52a−2∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&1-a&a+1\\a&1-a&1+a\\a&a-5&2a-2\end{vmatrix}
  2. Facem operația pe linii L2→L2−L1\displaystyle L_2\to L_2-L_1, care nu schimbă determinantul. A doua linie devine (a−1, 0, 0)\displaystyle (a-1,\ 0,\ 0).
    det⁡(A(a))=∣11−aa+1a−100aa−52a−2∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&1-a&a+1\\a-1&0&0\\a&a-5&2a-2\end{vmatrix}
  3. Scoatem factorul comun a−1\displaystyle a-1 de pe linia a doua și obținem forma din barem.
    det⁡(A(a))=(a−1)∣11−aa+1100aa−52a−2∣\displaystyle \det(A(a))=(a-1)\begin{vmatrix}1&1-a&a+1\\1&0&0\\a&a-5&2a-2\end{vmatrix}
  4. Dezvoltăm determinantul de ordin 3 după linia a doua. Singurul element nenul este 1\displaystyle 1, de pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1), care are semnul (−1)2+1=−1\displaystyle (-1)^{2+1}=-1. Rămâne minorul format din liniile 1 și 3 și coloanele 2 și 3.
    det⁡(A(a))=−(a−1)∣1−aa+1a−52a−2∣\displaystyle \det(A(a))=-(a-1)\begin{vmatrix}1-a&a+1\\a-5&2a-2\end{vmatrix}
  5. Calculăm minorul: (1−a)(2a−2)−(a+1)(a−5)\displaystyle (1-a)(2a-2)-(a+1)(a-5). Avem (1−a)(2a−2)=−2(a−1)2=−2a2+4a−2\displaystyle (1-a)(2a-2)=-2(a-1)^2=-2a^2+4a-2 și (a+1)(a−5)=a2−4a−5\displaystyle (a+1)(a-5)=a^2-4a-5. Deci minorul este −3a2+8a+3\displaystyle -3a^2+8a+3, iar cu semnul minus din față obținem 3a2−8a−3\displaystyle 3a^2-8a-3.
    det⁡(A(a))=(a−1)(3a2−8a−3)\displaystyle \det(A(a))=(a-1)(3a^{2}-8a-3)
  6. Descompunem trinomul 3a2−8a−3\displaystyle 3a^2-8a-3. Discriminantul este Δ=64+36=100\displaystyle \Delta=64+36=100, deci rădăcinile sunt a=8±106\displaystyle a=\dfrac{8\pm10}{6}, adică a=3\displaystyle a=3 și a=−13\displaystyle a=-\dfrac{1}{3}. Rezultă 3a2−8a−3=3(a−3)(a+13)=(a−3)(3a+1)\displaystyle 3a^2-8a-3=3(a-3)\left(a+\dfrac{1}{3}\right)=(a-3)(3a+1). Deci det⁡(A(a))=(a−1)(a−3)(3a+1)\displaystyle \det(A(a))=(a-1)(a-3)(3a+1), pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡(A(a))=(a−1)(3a2−8a−3)=(a−1)(a−3)(3a+1)\displaystyle \det(A(a))=(a-1)(3a^{2}-8a-3)=(a-1)(a-3)(3a+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12−aaa11a2a−5a−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & 2-a & a\\ a & 1 & 1\\ a & 2a-5 & a-2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+(2−a)y+az=1ax+y+z=2−aax+(2a−5)y+(a−2)z=−4\displaystyle \begin{cases}x+(2-a)y+az=1\\ ax+y+z=2-a\\ ax+(2a-5)y+(a-2)z=-4\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural a\displaystyle a pentru care sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) și x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0, z0\displaystyle z_0 sunt numere naturale.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltând după prima linie: det⁡A(a)=(3−a)+a(a−2)(a−3)+2a2(a−3)\displaystyle \det A(a)=(3-a)+a(a-2)(a-3)+2a^{2}(a-3).
    det⁡A(a)=(a−3)(3a2−2a−1)\displaystyle \det A(a)=(a-3)\left(3a^{2}-2a-1\right)
  2. Descompunem factorul de gradul doi: rădăcinile lui 3a2−2a−1\displaystyle 3a^{2}-2a-1 sunt 1\displaystyle 1 și −13\displaystyle -\dfrac{1}{3}, deci det⁡A(a)=(a−3)(a−1)(3a+1)\displaystyle \det A(a)=(a-3)(a-1)(3a+1).
    det⁡A(a)=(a−3)(a−1)(3a+1)\displaystyle \det A(a)=(a-3)(a-1)(3a+1)
  3. Sistemul are soluție unică atunci când det⁡A(a)≠0\displaystyle \det A(a)\neq 0. Cum a\displaystyle a este număr natural, 3a+1≠0\displaystyle 3a+1\neq 0 mereu, deci trebuie doar ca a≠1\displaystyle a\neq 1 și a≠3\displaystyle a\neq 3.
    a∈N∖{1,3}\displaystyle a\in\mathbb{N}\setminus\{1,3\}
  4. Folosim a doua ecuație: ax0+y0+z0=2−a\displaystyle ax_0+y_0+z_0=2-a. Dacă a,x0,y0,z0\displaystyle a, x_0, y_0, z_0 sunt numere naturale, membrul stâng este un număr natural, deci 2−a∈N\displaystyle 2-a\in\mathbb{N}. Rezultă a∈{0,1,2}\displaystyle a\in\{0,1,2\}. Excludem a=1\displaystyle a=1 și obținem a∈{0,2}\displaystyle a\in\{0,2\}.
    a∈N∖{1,3} și 2−a∈N ⇒ a∈{0,2}\displaystyle a\in\mathbb{N}\setminus\{1,3\}\text{ și }2-a\in\mathbb{N}\ \Rightarrow\ a\in\{0,2\}
  5. Verificăm a=2\displaystyle a=2. Sistemul este x+2z=1\displaystyle x+2z=1, 2x+y+z=0\displaystyle 2x+y+z=0, 2x−y=−4\displaystyle 2x-y=-4. Din prima ecuație x=1−2z\displaystyle x=1-2z, din a treia y=2x+4=6−4z\displaystyle y=2x+4=6-4z. Înlocuind în a doua ecuație obținem 8−7z=0\displaystyle 8-7z=0, deci z=87\displaystyle z=\dfrac{8}{7}, care nu este număr natural. Deci a=2\displaystyle a=2 nu convine.
    z0=87∉N ⇒ a=2 nu convine\displaystyle z_0=\dfrac{8}{7}\notin\mathbb{N}\ \Rightarrow\ a=2\text{ nu convine}
  6. Verificăm a=0\displaystyle a=0. Sistemul este x+2y=1\displaystyle x+2y=1, y+z=2\displaystyle y+z=2, −5y−2z=−4\displaystyle -5y-2z=-4. Din a doua ecuație z=2−y\displaystyle z=2-y, iar din prima x=1−2y\displaystyle x=1-2y. Înlocuind în a treia ecuație obținem −5y−4+2y=−4\displaystyle -5y-4+2y=-4, deci −3y=0\displaystyle -3y=0 și y=0\displaystyle y=0. Rezultă x=1\displaystyle x=1 și z=2\displaystyle z=2, adică soluția (1,0,2)\displaystyle (1,0,2), formată din numere naturale. Deci a=0\displaystyle a=0 convine.
    a=2, care nu convine, a=0 care convine\displaystyle a=2\text{, care nu convine, }a=0\text{ care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=log⁡2(2x+2y)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y\right).

Arătați că 0∗0=1\displaystyle 0*0=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=0\displaystyle y=0 în definiția x∗y=log⁡2(2x+2y)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y\right).
    0∗0=log⁡2(20+20)\displaystyle 0*0=\log_2\left(2^0+2^0\right)
  2. Calculăm puterile: 20=1\displaystyle 2^0=1, deci suma din logaritm devine 1+1\displaystyle 1+1.
    0∗0=log⁡2(20+20)=log⁡2(1+1)\displaystyle 0*0=\log_2\left(2^0+2^0\right)=\log_2(1+1)
  3. Adunăm: 1+1=2\displaystyle 1+1=2. Cum 21=2\displaystyle 2^1=2, avem log⁡22=1\displaystyle \log_2 2=1, deci 0∗0=1\displaystyle 0*0=1.
    log⁡22=1\displaystyle \log_2 2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=log⁡2(2x+2y)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y\right).

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Fie x,y\displaystyle x,y numere reale oarecare; din definiția legii avem x∗y=log⁡2(2x+2y)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y\right).
    x∗y=log⁡2(2x+2y)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y\right)
  2. Adunarea numerelor reale este comutativă, deci 2x+2y=2y+2x\displaystyle 2^x+2^y=2^y+2^x. Logaritmul se aplică aceleiași valori, deci rezultatul rămâne același.
    x∗y=log⁡2(2x+2y)=log⁡2(2y+2x)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y\right)=\log_2\left(2^y+2^x\right)
  3. Expresia log⁡2(2y+2x)\displaystyle \log_2\left(2^y+2^x\right) este chiar y∗x\displaystyle y*x, după definiția legii. Cum x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt oarecare, legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    log⁡2(2y+2x)=y∗x, pentru orice numere \displaystyle \log_2\left(2^y+2^x\right)=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=log⁡2(2x+2y)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y\right).

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (x∗x)∗x=3+log⁡23\displaystyle (x*x)*x=3+\log_2 3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x folosind definiția legii: x∗x=log⁡2(2x+2x)\displaystyle x*x=\log_2\left(2^x+2^x\right). Cum 2x+2x=2⋅2x=2x+1\displaystyle 2^x+2^x=2\cdot 2^x=2^{x+1}, obținem x∗x=log⁡22x+1=x+1\displaystyle x*x=\log_2 2^{x+1}=x+1.
    x∗x=x+1\displaystyle x*x=x+1
  2. Calculăm (x∗x)∗x=(x+1)∗x\displaystyle (x*x)*x=(x+1)*x aplicând definiția: (x+1)∗x=log⁡2(2x+1+2x)\displaystyle (x+1)*x=\log_2\left(2^{x+1}+2^x\right).
    (x∗x)∗x=log⁡2(2x+1+2x)\displaystyle (x*x)*x=\log_2\left(2^{x+1}+2^x\right)
  3. Dăm factor comun 2x\displaystyle 2^x sub logaritm: 2x+1+2x=2x⋅(2+1)=2x⋅3\displaystyle 2^{x+1}+2^x=2^x\cdot(2+1)=2^x\cdot 3.
    (x∗x)∗x=log⁡2(2x⋅3)\displaystyle (x*x)*x=\log_2\left(2^{x}\cdot 3\right)
  4. Egalăm cu valoarea dată: log⁡2(2x⋅3)=3+log⁡23\displaystyle \log_2\left(2^x\cdot 3\right)=3+\log_2 3. Folosind proprietatea logaritmului unui produs, log⁡2(2x⋅3)=x+log⁡23\displaystyle \log_2\left(2^x\cdot 3\right)=x+\log_2 3, deci x+log⁡23=3+log⁡23\displaystyle x+\log_2 3=3+\log_2 3.
    x+log⁡23=3+log⁡23\displaystyle x+\log_2 3=3+\log_2 3
  5. Reducem termenul log⁡23\displaystyle \log_2 3 din ambele părți și obținem x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^4-x^2+1}.

Arătați că f′(x)=x(2x2−1)x4−x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{x\left(2x^2-1\right)}{\sqrt{x^4-x^2+1}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(x)=u(x)\displaystyle f(x)=\sqrt{u(x)}, cu u(x)=x4−x2+1\displaystyle u(x)=x^{4}-x^{2}+1. Expresia de sub radical este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
    f′(x)=(x4−x2+1)′2x4−x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(x^{4}-x^{2}+1\right)'}{2\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}}
  2. Calculăm derivata expresiei de sub radical: (x4−x2+1)′=4x3−2x\displaystyle \left(x^{4}-x^{2}+1\right)'=4x^{3}-2x. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=4x3−2x2x4−x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^{3}-2x}{2\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}}
  3. Dăm factor comun 2x\displaystyle 2x la numărator: 4x3−2x=2x(2x2−1)\displaystyle 4x^{3}-2x=2x\left(2x^{2}-1\right).
    f′(x)=2x(2x2−1)2x4−x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\left(2x^{2}-1\right)}{2\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}}
  4. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem exact expresia cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x(2x2−1)x4−x2+1, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{x\left(2x^{2}-1\right)}{\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^4-x^2+1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Trebuie deci să calculăm f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției: f(1)=14−12+1=1\displaystyle f(1)=\sqrt{1^4-1^2+1}=\sqrt{1}.
    f(1)=1−1+1=1\displaystyle f(1)=\sqrt{1-1+1}=1
  3. Derivăm folosind formula (u)′=u′2u\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, unde u=x4−x2+1\displaystyle u=x^4-x^2+1 și u′=4x3−2x\displaystyle u'=4x^3-2x. Obținem f′(x)=4x3−2x2x4−x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^3-2x}{2\sqrt{x^4-x^2+1}}.
    f′(x)=4x3−2x2x4−x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^{3}-2x}{2\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}}
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1): numărătorul este 4⋅13−2⋅1=2\displaystyle 4\cdot 1^3-2\cdot 1=2, iar numitorul este 21=2\displaystyle 2\sqrt{1}=2. Rezultă f′(1)=22=1\displaystyle f'(1)=\dfrac{2}{2}=1.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1, f′(1)=1\displaystyle \ f'(1)=1
  5. Înlocuim f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și f′(1)=1\displaystyle f'(1)=1 în formula tangentei: y−1=1⋅(x−1)\displaystyle y-1=1\cdot(x-1), deci y=x\displaystyle y=x.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=x\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^4-x^2+1}.

Demonstrați că, pentru orice m∈(32,1)\displaystyle m\in\left(\frac{\sqrt{3}}{2},1\right), ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact patru soluții reale.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x4−x2+1>0\displaystyle x^4-x^2+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece trinomul t2−t+1\displaystyle t^2-t+1 are discriminantul negativ. Deci f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
    f′(x)=4x3−2x2x4−x2+1=2x3−xx4−x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^{3}-2x}{2\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}}=\dfrac{2x^{3}-x}{\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}}
  2. Numitorul este pozitiv, deci f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 revine la 2x3−x=0\displaystyle 2x^3-x=0, adică x(2x2−1)=0\displaystyle x\left(2x^2-1\right)=0. De aici x=0\displaystyle x=0 sau x2=12\displaystyle x^2=\dfrac{1}{2}.
    f′(x)=0⇔x=−12, x=0 sau x=12\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{, }x=0\text{ sau }x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}
  3. Semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui x(2x2−1)\displaystyle x\left(2x^2-1\right). Pe (−∞,−12)\displaystyle \left(-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) derivata este negativă, pe (−12,0)\displaystyle \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right) pozitivă, pe (0,12)\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) negativă, iar pe (12,+∞)\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right) pozitivă. Deci f\displaystyle f descrește, crește, descrește, apoi crește.
    f↘ pe (−∞,−12]\displaystyle f\searrow\text{ pe }\left(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right], f↗ pe [−12,0]\displaystyle \ f\nearrow\text{ pe }\left[-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\right], f↘ pe [0,12]\displaystyle \ f\searrow\text{ pe }\left[0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right], f↗ pe [12,+∞)\displaystyle \ f\nearrow\text{ pe }\left[\tfrac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right)
  4. Pentru x→±∞\displaystyle x\to\pm\infty avem x4−x2+1=x4(1−1x2+1x4)→+∞\displaystyle x^4-x^2+1=x^4\left(1-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}\right)\to+\infty, deci și radicalul tinde la +∞\displaystyle +\infty. Împreună cu punctele critice de la pasul anterior obținem concluzia pasului 1 din barem.
    lim⁡x→±∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty
  5. Pentru x=±12\displaystyle x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} avem x2=12\displaystyle x^2=\dfrac{1}{2} și x4=14\displaystyle x^4=\dfrac{1}{4}, deci f(x)=14−12+1=34=32\displaystyle f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+1}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem f(0)=1=1\displaystyle f(0)=\sqrt{1}=1. Acestea sunt minimele locale, respectiv maximul local.
    f(−12)=f(12)=32, f(0)=1\displaystyle f\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{, }f(0)=1
  6. Fie m∈(32,1)\displaystyle m\in\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},1\right), deci 32<m<1\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}<m<1. Pe (−∞,−12]\displaystyle \left(-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right] funcția scade strict de la +∞\displaystyle +\infty la 32<m\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}<m, deci f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact o soluție. Pe [−12,0]\displaystyle \left[-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right] crește strict de la 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2} la 1\displaystyle 1, iar m\displaystyle m se află între ele, deci exact o soluție. Pe [0,12]\displaystyle \left[0,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right] scade strict de la 1\displaystyle 1 la 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}, deci exact o soluție. Pe [12,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right) crește strict de la 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2} la +∞\displaystyle +\infty, deci exact o soluție. Soluțiile sunt distincte, deoarece m≠32\displaystyle m\neq\dfrac{\sqrt{3}}{2} și m≠1\displaystyle m\neq 1 nu sunt valori la capetele intervalelor. În total sunt exact patru soluții reale.
    f(−12)=32<m, f(0)=1>m, f(12)=32<m, deci ecuația f(x)=m are exact patru soluții \displaystyle f\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}<m\text{, }f(0)=1>m\text{, }f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}<m\text{, deci ecuația }f(x)=m\text{ are exact patru soluții }reale\displaystyle \text{reale}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+5\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2x+5}.

Arătați că ∫12x⋅1f(x) dx=313\displaystyle \int_1^2 x\cdot\frac{1}{f(x)}\,dx=\frac{31}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem inversa lui f(x)\displaystyle f(x). Cum f(x)=xx2+2x+5\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+2x+5}, avem 1f(x)=x2+2x+5x\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{x^{2}+2x+5}{x}, pentru x≠0\displaystyle x\neq 0, iar pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x≠0\displaystyle x\neq 0.
    1f(x)=x2+2x+5x\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{x^{2}+2x+5}{x}
  2. Înmulțim cu x\displaystyle x și simplificăm: x⋅x2+2x+5x=x2+2x+5\displaystyle x\cdot\dfrac{x^{2}+2x+5}{x}=x^{2}+2x+5. Integrala devine integrala unui polinom.
    ∫12x⋅1f(x) dx=∫12(x2+2x+5)dx\displaystyle \int_1^2 x\cdot\dfrac{1}{f(x)}\,dx=\int_1^2\left(x^{2}+2x+5\right)dx
  3. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar a lui 5\displaystyle 5 este 5x\displaystyle 5x. Aplicăm formula Leibniz-Newton între 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    ∫12(x2+2x+5)dx=(x33+x2+5x)∣12\displaystyle \int_1^2\left(x^{2}+2x+5\right)dx=\left(\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}+5x\right)\Big|_1^2
  4. Calculăm valoarea primitivei în 2\displaystyle 2 și în 1\displaystyle 1 și le scădem: în 2\displaystyle 2 obținem 83+4+10\displaystyle \dfrac{8}{3}+4+10, în 1\displaystyle 1 obținem 13+1+5\displaystyle \dfrac{1}{3}+1+5.
    83+4+10−13−1−5\displaystyle \dfrac{8}{3}+4+10-\dfrac{1}{3}-1-5
  5. Grupăm: 83−13=73\displaystyle \dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}, iar 4+10−1−5=8\displaystyle 4+10-1-5=8. Adunăm: 73+8=7+243=313\displaystyle \dfrac{7}{3}+8=\dfrac{7+24}{3}=\dfrac{31}{3}, ceea ce trebuia arătat.
    73+8=313\displaystyle \dfrac{7}{3}+8=\dfrac{31}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+5\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2x+5}.

Arătați că ∫01g(x) dx=12ln⁡85\displaystyle \int_0^1 g(x)\,dx=\frac{1}{2}\ln\frac{8}{5}, unde g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)+1x2+2x+5\displaystyle g(x)=f(x)+\frac{1}{x^2+2x+5}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem g(x)=f(x)+1x2+2x+5=xx2+2x+5+1x2+2x+5\displaystyle g(x)=f(x)+\dfrac{1}{x^{2}+2x+5}=\dfrac{x}{x^{2}+2x+5}+\dfrac{1}{x^{2}+2x+5}. Fracțiile au același numitor, deci se adună numărătorii.
    g(x)=x+1x2+2x+5\displaystyle g(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+2x+5}
  2. Derivata numitorului este (x2+2x+5)′=2x+2=2(x+1)\displaystyle \left(x^{2}+2x+5\right)'=2x+2=2(x+1). Deci x+1=12(x2+2x+5)′\displaystyle x+1=\dfrac{1}{2}\left(x^{2}+2x+5\right)'.
    (x2+2x+5)′=2x+2\displaystyle \left(x^{2}+2x+5\right)'=2x+2
  3. Integrala devine ∫01g(x) dx=∫01x+1x2+2x+5 dx=12∫01(x2+2x+5)′x2+2x+5 dx\displaystyle \displaystyle\int_0^1 g(x)\,dx=\int_0^1\dfrac{x+1}{x^{2}+2x+5}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_0^1\dfrac{\left(x^{2}+2x+5\right)'}{x^{2}+2x+5}\,dx.
    ∫01g(x) dx=12∫01(x2+2x+5)′x2+2x+5 dx\displaystyle \int_0^1 g(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_0^1\dfrac{\left(x^{2}+2x+5\right)'}{x^{2}+2x+5}\,dx
  4. Deoarece ∫u′u dx=ln⁡∣u∣\displaystyle \displaystyle\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u| și x2+2x+5=(x+1)2+4>0\displaystyle x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4>0, primitiva este 12ln⁡(x2+2x+5)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+5\right).
    12ln⁡(x2+2x+5)∣01\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+5\right)\Big|_0^1
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1 numitorul este 1+2+5=8\displaystyle 1+2+5=8, iar pentru x=0\displaystyle x=0 este 5\displaystyle 5. Atunci integrala este 12(ln⁡8−ln⁡5)=12ln⁡85\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\ln 8-\ln 5\right)=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{8}{5}, adică exact ce trebuia arătat.
    12ln⁡(x2+2x+5)∣01=12ln⁡85\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+5\right)\Big|_0^1=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{8}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+5\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2x+5}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫−11x2n−1f(x) dx\displaystyle I_n=\int_{-1}^{1}x^{2n-1}f(x)\,dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul explicit. Deoarece f(x)=xx2+2x+5\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+2x+5}, avem x2n−1f(x)=x2nx2+2x+5\displaystyle x^{2n-1}f(x)=\dfrac{x^{2n}}{x^{2}+2x+5}.
    In=∫−11x2nx2+2x+5 dx\displaystyle I_n=\int_{-1}^{1}\frac{x^{2n}}{x^{2}+2x+5}\,dx
  2. Numărătorul x2n≥0\displaystyle x^{2n}\geq 0, deoarece 2n\displaystyle 2n este par. Pentru numitor, scriem x2+2x+5=(x+1)2+4\displaystyle x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4, deci x2+2x+5≥4\displaystyle x^{2}+2x+5\geq 4 pentru orice x\displaystyle x real.
    x2n≥0 și x2+2x+5=(x+1)2+4≥4\displaystyle x^{2n}\geq 0\text{ și }x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\geq 4
  3. Numitorul este pozitiv și mai mare sau egal cu 4\displaystyle 4, deci fracția este nenegativă și cel mult egală cu x2n4\displaystyle \dfrac{x^{2n}}{4}.
    0≤x2nx2+2x+5≤x2n4\displaystyle 0\leq\frac{x^{2n}}{x^{2}+2x+5}\leq\frac{x^{2n}}{4}
  4. Integrăm inegalitatea pe [−1,1]\displaystyle [-1,1]. Integrala păstrează inegalitățile, iar limitele sunt în ordine crescătoare, deci 0≤In≤∫−11x2n4 dx\displaystyle 0\leq I_n\leq\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{x^{2n}}{4}\,dx.
    0≤In≤∫−11x2n4 dx\displaystyle 0\leq I_n\leq\int_{-1}^{1}\frac{x^{2n}}{4}\,dx
  5. Calculăm integrala din membrul drept, folosind primitiva x2n+12n+1\displaystyle \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}.
    ∫−11x2n4 dx=14⋅x2n+12n+1∣−11=14⋅1−(−1)2n+1=12(2n+1)\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{x^{2n}}{4}\,dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\Big|_{-1}^{1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-(-1)}{2n+1}=\frac{1}{2(2n+1)}
  6. Obținem 0≤In≤12(2n+1)\displaystyle 0\leq I_n\leq\dfrac{1}{2(2n+1)}. Deoarece lim⁡n→+∞12(2n+1)=0\displaystyle \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2(2n+1)}=0, din criteriul cleștelui rezultă că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0.
    0≤In≤12(2n+1), deci lim⁡n→+∞In=0\displaystyle 0\leq I_n\leq\frac{1}{2(2n+1)}\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.