Bac matematică M1 mate-info 2014, sesiunea specială varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(2+4i)+2(1−6i)=8\displaystyle 3(2+4i)+2(1-6i)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele: înmulțim 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din 2+4i\displaystyle 2+4i și 2\displaystyle 2 cu fiecare termen din 1−6i\displaystyle 1-6i. Obținem 3⋅2+3⋅4i=6+12i\displaystyle 3\cdot 2+3\cdot 4i=6+12i și 2⋅1+2⋅(−6i)=2−12i\displaystyle 2\cdot 1+2\cdot(-6i)=2-12i.
    6+12i+2−12i\displaystyle 6+12i+2-12i
  2. Reducem termenii care conțin pe i\displaystyle i: 12i−12i=0\displaystyle 12i-12i=0. Rămân doar părțile reale.
    6+2+(12i−12i)=6+2+0\displaystyle 6+2+(12i-12i)=6+2+0
  3. Adunăm părțile reale: 6+2=8\displaystyle 6+2=8. Deci 3(2+4i)+2(1−6i)=8\displaystyle 3(2+4i)+2(1-6i)=8, ceea ce trebuia arătat.
    6+2=8\displaystyle 6+2=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Arătați că parabola asociată funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+1\displaystyle f(x)=x^2+2x+1 este tangentă la axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Parabola asociată funcției este tangentă la axa Ox\displaystyle Ox exact când ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are o singură soluție reală, adică discriminantul este zero. Identificăm coeficienții: a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=1\displaystyle c=1.
    a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle \ b=2, c=1\displaystyle \ c=1
  2. Scriem formula discriminantului și înlocuim coeficienții: Δ=b2−4ac=22−4⋅1⋅1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot 1\cdot 1.
    Δ=22−4⋅1⋅1=4−4\displaystyle \Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot 1=4-4
  3. Efectuăm scăderea: discriminantul este zero, deci ecuația are o rădăcină dublă (x=−1\displaystyle x=-1), iar parabola atinge axa Ox\displaystyle Ox într-un singur punct, adică este tangentă la axa Ox\displaystyle Ox.
    Δ=0\displaystyle \Delta=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x2+4=54x\displaystyle 5^{x^2+4}=5^{4x}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția exponențială cu baza 5\displaystyle 5 este injectivă, deci 5a=5b\displaystyle 5^{a}=5^{b} implică a=b\displaystyle a=b. Egalăm exponenții: x2+4=4x\displaystyle x^{2}+4=4x.
    x2+4=4x\displaystyle x^{2}+4=4x
  2. Mutăm 4x\displaystyle 4x în membrul stâng: x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0
  3. Observăm că x2−4x+4=(x−2)2\displaystyle x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}, deci ecuația devine (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0.
    (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0
  4. Un pătrat este zero doar când baza este zero: x−2=0\displaystyle x-2=0, deci x=2\displaystyle x=2. Aceasta este singura soluție reală.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5 și 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, unde a\displaystyle a este cifra zecilor și b\displaystyle b este cifra unităților, iar a≠b\displaystyle a\neq b sunt luate din mulțimea {1,3,5,7}\displaystyle \{1,3,5,7\}. Alegem mai întâi cifra unităților b\displaystyle b: o putem alege în 4\displaystyle 4 moduri, oricare dintre cele patru cifre.
    4 moduri\displaystyle 4\text{ moduri}
  2. Cifra zecilor a\displaystyle a trebuie să fie diferită de cifra unităților b\displaystyle b deja aleasă, deci rămân 3\displaystyle 3 cifre posibile pentru zeci. Cifrele 1,3,5,7\displaystyle 1,3,5,7 sunt toate nenule, deci nu apare nicio restricție suplimentară pentru a\displaystyle a.
    3 moduri\displaystyle 3\text{ moduri}
  3. Aplicăm regula produsului: numărul total de numere este produsul dintre numărul de alegeri pentru unități și cel pentru zeci, adică 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12. Se pot forma 12\displaystyle 12 numere.
    4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,2)\displaystyle A(-2,2), B(−4,−2)\displaystyle B(-4,-2) și C(4,2)\displaystyle C(4,2). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin A\displaystyle A și este perpendiculară pe dreapta BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC cu formula mBC=yC−yBxC−xB\displaystyle m_{BC}=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}, folosind B(−4,−2)\displaystyle B(-4,-2) și C(4,2)\displaystyle C(4,2).
    mBC=2−(−2)4−(−4)=48=12\displaystyle m_{BC}=\dfrac{2-(-2)}{4-(-4)}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}
  2. Două drepte perpendiculare (neverticale, neorizontale) au produsul pantelor egal cu −1\displaystyle -1, deci md⋅mBC=−1\displaystyle m_d\cdot m_{BC}=-1. Deducem panta lui d\displaystyle d.
    md=−1mBC=−2\displaystyle m_d=-\dfrac{1}{m_{BC}}=-2
  3. Scriem ecuația dreptei d\displaystyle d prin punctul A(−2,2)\displaystyle A(-2,2) cu panta −2\displaystyle -2: y−yA=md(x−xA)\displaystyle y-y_A=m_d(x-x_A).
    y−2=−2(x−(−2))=−2(x+2)\displaystyle y-2=-2\left(x-(-2)\right)=-2(x+2)
  4. Desfacem parantezele și izolăm y\displaystyle y, obținând ecuația dreptei d\displaystyle d.
    y=−2x−4+2⇒d: y=−2x−2\displaystyle y=-2x-4+2\Rightarrow d:\ y=-2x-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡π4+cos⁡3π4=0\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{3\pi}{4}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valoarea cunoscută a sinusului pentru unghiul π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4} (adică 45∘\displaystyle 45^\circ): sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡π4=22\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Scriem unghiul 3π4\displaystyle \dfrac{3\pi}{4} ca π−π4\displaystyle \pi-\dfrac{\pi}{4}. Unghiul este în cadranul al doilea, unde cosinusul este negativ, iar cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x.
    cos⁡3π4=cos⁡(π−π4)=−cos⁡π4\displaystyle \cos\frac{3\pi}{4}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\frac{\pi}{4}
  3. Cum cos⁡π4=22\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obținem cos⁡3π4=−22\displaystyle \cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡3π4=−22\displaystyle \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. Adunăm cele două valori: 22+(−22)=0\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0, deci egalitatea este adevărată.
    sin⁡π4+cos⁡3π4=22−22=0\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(n)=(10002n002n−11)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&2^n-1&1\end{pmatrix}, unde n\displaystyle n este număr natural.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n=0\displaystyle n=0 în matricea A(n)\displaystyle A(n). Cum 20=1\displaystyle 2^{0}=1, elementul din mijloc este 1\displaystyle 1, iar elementul de sub el este 20−1=0\displaystyle 2^{0}-1=0.
    A(0)=(100010001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), adică determinantul matricei unitate de ordin 3\displaystyle 3.
    det⁡(A(0))=∣100010001∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Singurul produs nenul este 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1, iar celelalte cinci produse conțin cel puțin un zero.
    det⁡(A(0))=1⋅1⋅1+0+0−0−0−0=1\displaystyle \det(A(0))=1\cdot1\cdot1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(n)=(10002n002n−11)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&2^n-1&1\end{pmatrix}, unde n\displaystyle n este număr natural.

Determinați numărul natural n\displaystyle n știind că A(n)⋅A(1)=A(3)\displaystyle A(n)\cdot A(1)=A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(1)\displaystyle A(1), înlocuind n\displaystyle n cu 1\displaystyle 1: 21=2\displaystyle 2^1=2 și 21−1=1\displaystyle 2^1-1=1.
    A(1)=(100020011)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(n)⋅A(1)\displaystyle A(n)\cdot A(1) linie cu coloană. Elementul din mijloc de pe linia a doua este 2n⋅2=2n+1\displaystyle 2^n\cdot 2=2^{n+1}. Elementul din mijloc de pe linia a treia este (2n−1)⋅2+1⋅1=2n+1−2+1=2n+1−1\displaystyle (2^n-1)\cdot 2+1\cdot 1=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1. Celelalte elemente sunt 0\displaystyle 0 sau 1\displaystyle 1, ca în enunț.
    A(n)⋅A(1)=(10002n+1002n+1−11)\displaystyle A(n)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^{n+1}&0\\0&2^{n+1}-1&1\end{pmatrix}
  3. Scriem A(3)\displaystyle A(3): 23=8\displaystyle 2^3=8 și 23−1=7\displaystyle 2^3-1=7.
    A(3)=(100080071)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&8&0\\0&7&1\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare. Din 2n+1=8=23\displaystyle 2^{n+1}=8=2^3 rezultă n+1=3\displaystyle n+1=3. Verificare: 2n+1−1=8−1=7\displaystyle 2^{n+1}-1=8-1=7, la fel ca în A(3)\displaystyle A(3).
    2n+1=23⇒n+1=3\displaystyle 2^{n+1}=2^{3}\Rightarrow n+1=3
  5. Din n+1=3\displaystyle n+1=3 rezultă n=2\displaystyle n=2, care este număr natural.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(n)=(10002n002n−11)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&2^n-1&1\end{pmatrix}, unde n\displaystyle n este număr natural. Determinați numerele naturale p\displaystyle p și q\displaystyle q știind că A(p)⋅A(q)=A(pq)\displaystyle A(p)\cdot A(q)=A(pq).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(p)⋅A(q)\displaystyle A(p)\cdot A(q). Prima linie rămâne (1,0,0)\displaystyle (1,0,0). Pe linia a doua obținem 2p⋅2q=2p+q\displaystyle 2^p\cdot 2^q=2^{p+q} pe diagonală. Pe linia a treia, elementul din mijloc este (2p−1)⋅2q+(2q−1)\displaystyle (2^p-1)\cdot 2^q+(2^q-1).
    (2p−1)2q+2q−1=2p+q−2q+2q−1=2p+q−1\displaystyle (2^p-1)2^q+2^q-1=2^{p+q}-2^q+2^q-1=2^{p+q}-1
  2. Deci produsul are pe linia a treia (0, 2p+q−1, 1)\displaystyle (0,\,2^{p+q}-1,\,1), iar pe linia a doua (0, 2p+q, 0)\displaystyle (0,\,2^{p+q},\,0). Recunoaștem matricea A(p+q)\displaystyle A(p+q).
    A(p)⋅A(q)=(10002p+q002p+q−11)=A(p+q)\displaystyle A(p)\cdot A(q)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^{p+q}&0\\0&2^{p+q}-1&1\end{pmatrix}=A(p+q)
  3. Condiția A(p)⋅A(q)=A(pq)\displaystyle A(p)\cdot A(q)=A(pq) devine A(p+q)=A(pq)\displaystyle A(p+q)=A(pq). Egalând elementele de pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2), obținem 2p+q=2pq\displaystyle 2^{p+q}=2^{pq}. Funcția exponențială cu baza 2\displaystyle 2 este injectivă, deci exponenții sunt egali.
    2p+q=2pq⇒p+q=pq\displaystyle 2^{p+q}=2^{pq}\Rightarrow p+q=pq
  4. Aducem ecuația la formă factorizată. Mutăm p+q\displaystyle p+q în partea stângă și adunăm 1\displaystyle 1 în ambele părți: pq−p−q+1=1\displaystyle pq-p-q+1=1, adică (p−1)(q−1)=1\displaystyle (p-1)(q-1)=1.
    pq−p−q+1=1⇒(p−1)(q−1)=1\displaystyle pq-p-q+1=1\Rightarrow (p-1)(q-1)=1
  5. Numerele p−1\displaystyle p-1 și q−1\displaystyle q-1 sunt întregi cu produsul 1\displaystyle 1, deci sunt ambele 1\displaystyle 1 sau ambele −1\displaystyle -1. Dacă p−1=q−1=1\displaystyle p-1=q-1=1, atunci p=q=2\displaystyle p=q=2. Dacă p−1=q−1=−1\displaystyle p-1=q-1=-1, atunci p=q=0\displaystyle p=q=0. Ambele soluții sunt numere naturale. Verificare: pentru p=q=2\displaystyle p=q=2, 2+2=4=2⋅2\displaystyle 2+2=4=2\cdot 2; pentru p=q=0\displaystyle p=q=0, 0+0=0=0⋅0\displaystyle 0+0=0=0\cdot 0.
    p=q=0 sau p=q=2\displaystyle p=q=0\text{ sau }p=q=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2−3X+2\displaystyle f=X^3+X^2-3X+2.

Calculați f(0)\displaystyle f(0).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a calcula f(0)\displaystyle f(0), înlocuim nedeterminata X\displaystyle X cu 0\displaystyle 0 în expresia polinomului f=X3+X2−3X+2\displaystyle f=X^3+X^2-3X+2.
    f(0)=03+02−3⋅0+2\displaystyle f(0)=0^3+0^2-3\cdot 0+2
  2. Calculăm fiecare termen: 03=0\displaystyle 0^3=0, 02=0\displaystyle 0^2=0 și 3⋅0=0\displaystyle 3\cdot 0=0. Rămâne doar termenul liber 2\displaystyle 2.
    f(0)=0+0−0+2\displaystyle f(0)=0+0-0+2
  3. Adunăm termenii și obținem răspunsul final: f(0)=2\displaystyle f(0)=2.
    f(0)=2\displaystyle f(0)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2−3X+2\displaystyle f=X^3+X^2-3X+2. Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la X2−4\displaystyle X^2-4.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim termenul dominant al lui f\displaystyle f, adică X3\displaystyle X^3, la termenul dominant al împărțitorului, X2\displaystyle X^2. Obținem primul termen al câtului, X\displaystyle X. Îl înmulțim cu X2−4\displaystyle X^2-4 și obținem X⋅(X2−4)=X3−4X\displaystyle X\cdot(X^2-4)=X^3-4X.
    X⋅(X2−4)=X3−4X\displaystyle X\cdot(X^2-4)=X^3-4X
  2. Scădem X3−4X\displaystyle X^3-4X din f\displaystyle f. Termenii în X3\displaystyle X^3 se reduc, iar −3X−(−4X)=X\displaystyle -3X-(-4X)=X. Obținem primul rest parțial.
    (X3+X2−3X+2)−(X3−4X)=X2+X+2\displaystyle (X^3+X^2-3X+2)-(X^3-4X)=X^2+X+2
  3. Restul parțial are gradul 2\displaystyle 2, deci se poate împărți în continuare. Împărțim X2\displaystyle X^2 la X2\displaystyle X^2 și obținem al doilea termen al câtului, 1\displaystyle 1. Îl înmulțim cu X2−4\displaystyle X^2-4 și obținem 1⋅(X2−4)=X2−4\displaystyle 1\cdot(X^2-4)=X^2-4.
    1⋅(X2−4)=X2−4\displaystyle 1\cdot(X^2-4)=X^2-4
  4. Câtul este suma termenilor obținuți, X\displaystyle X și 1\displaystyle 1.
    q=X+1\displaystyle q=X+1
  5. Scădem X2−4\displaystyle X^2-4 din X2+X+2\displaystyle X^2+X+2. Termenii în X2\displaystyle X^2 se reduc, iar 2−(−4)=6\displaystyle 2-(-4)=6. Rezultă X+6\displaystyle X+6. Acest polinom are gradul 1\displaystyle 1, mai mic decât gradul împărțitorului, 2\displaystyle 2, deci împărțirea se oprește și X+6\displaystyle X+6 este restul. Verificare: (X+1)(X2−4)+X+6=X3+X2−4X−4+X+6=f\displaystyle (X+1)(X^2-4)+X+6=X^3+X^2-4X-4+X+6=f.
    r=X+6\displaystyle r=X+6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2−3X+2\displaystyle f=X^3+X^2-3X+2.

Arătați că (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=20\displaystyle (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=20 știind că x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile lui f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3+X2−3X+2\displaystyle f=X^3+X^2-3X+2. Suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−11\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{1}{1}.
    x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1
  2. Suma produselor luate câte două este x1x2+x2x3+x3x1=−31\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{-3}{1}.
    x1x2+x2x3+x1x3=−3\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-3
  3. Desfacem parantezele: (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=2(x12+x22+x32)−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1).
    2(x12+x22+x32)−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle 2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
  4. Din (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) obținem x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1).
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
  5. Înlocuim în expresie: 2[(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)]−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle 2\left[(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\right]-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1), adică 2(x1+x2+x3)2−6(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle 2(x_1+x_2+x_3)^2-6(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1).
    2(x1+x2+x3)2−6(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle 2(x_1+x_2+x_3)^2-6(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
  6. Înlocuim valorile: 2⋅(−1)2−6⋅(−3)=2+18=20\displaystyle 2\cdot(-1)^2-6\cdot(-3)=2+18=20. Deci egalitatea este demonstrată.
    (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=2⋅(−1)2−6⋅(−3)=20\displaystyle (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=2\cdot(-1)^2-6\cdot(-3)=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+ex\displaystyle f(x)=3x+e^x.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=3x+ex\displaystyle f(x)=3x+e^x este o sumă de doi termeni, deci derivata ei este suma derivatelor: f′(x)=(3x)′+(ex)′\displaystyle f'(x)=(3x)'+(e^x)'.
    f′(x)=(3x)′+(ex)′\displaystyle f'(x)=(3x)'+(e^x)'
  2. Derivăm separat fiecare termen: (3x)′=3⋅(x)′=3⋅1=3\displaystyle (3x)'=3\cdot(x)'=3\cdot 1=3, iar (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3, (ex)′=ex\displaystyle \ (e^x)'=e^x
  3. Adunăm cele două derivate și obținem f′(x)=3+ex\displaystyle f'(x)=3+e^x, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3+ex\displaystyle f'(x)=3+e^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+ex\displaystyle f(x)=3x+e^x.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre −∞\displaystyle -\infty are forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→−∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}, iar n=lim⁡x→−∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n, m=lim⁡x→−∞f(x)x\displaystyle \ m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}, n=lim⁡x→−∞(f(x)−mx)\displaystyle \ n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Înlocuim f(x)=3x+ex\displaystyle f(x)=3x+e^x și împărțim fiecare termen la x\displaystyle x: f(x)x=3x+exx=3+exx\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{3x+e^x}{x}=3+\dfrac{e^x}{x}.
    f(x)x=3+exx\displaystyle \frac{f(x)}{x}=3+\frac{e^x}{x}
  3. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, ex→0\displaystyle e^x\to 0, iar x→−∞\displaystyle x\to-\infty, deci exx→0\displaystyle \dfrac{e^x}{x}\to 0. Rezultă m=3\displaystyle m=3.
    m=lim⁡x→−∞3x+exx=3\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\frac{3x+e^x}{x}=3
  4. Calculăm n\displaystyle n: f(x)−3x=3x+ex−3x=ex\displaystyle f(x)-3x=3x+e^x-3x=e^x, iar lim⁡x→−∞ex=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0. Deci n=0\displaystyle n=0.
    n=lim⁡x→−∞(f(x)−3x)=lim⁡x→−∞ex=0\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-3x\right)=\lim_{x\to-\infty}e^x=0
  5. Cu m=3\displaystyle m=3 și n=0\displaystyle n=0, ecuația asimptotei oblice spre −∞\displaystyle -\infty este y=3x\displaystyle y=3x.
    y=3x\displaystyle y=3x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+ex\displaystyle f(x)=3x+e^x.

Arătați că f(x)≥4x+1\displaystyle f(x)\ge 4x+1 pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Definim funcția auxiliară g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−4x−1\displaystyle g(x)=f(x)-4x-1. Inegalitatea cerută devine g(x)≥0\displaystyle g(x)\ge 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    g(x)=3x+ex−4x−1\displaystyle g(x)=3x+e^{x}-4x-1
  2. Reducem termenii asemenea: 3x−4x=−x\displaystyle 3x-4x=-x, deci g(x)=ex−x−1\displaystyle g(x)=e^{x}-x-1.
    g(x)=ex−x−1\displaystyle g(x)=e^{x}-x-1
  3. Calculăm derivata: g′(x)=(ex)′−(x)′−(1)′\displaystyle g'(x)=\left(e^{x}\right)'-(x)'-(1)', deci g′(x)=ex−1\displaystyle g'(x)=e^{x}-1.
    g′(x)=ex−1\displaystyle g'(x)=e^{x}-1
  4. Rezolvăm g′(x)=0\displaystyle g'(x)=0, adică ex=1\displaystyle e^{x}=1, deci x=0\displaystyle x=0. Singurul punct critic este 0\displaystyle 0 și g′(0)=e0−1=0\displaystyle g'(0)=e^{0}-1=0.
    g′(0)=0\displaystyle g'(0)=0
  5. Studiem semnul derivei. Funcția ex\displaystyle e^{x} este strict crescătoare, deci pentru x<0\displaystyle x<0 avem ex<1\displaystyle e^{x}<1 și g′(x)<0\displaystyle g'(x)<0, iar pentru x>0\displaystyle x>0 avem ex>1\displaystyle e^{x}>1 și g′(x)>0\displaystyle g'(x)>0. Rezultă că g\displaystyle g este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] și crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    g↘ pe (−∞,0], g↗ pe [0,+∞)\displaystyle g\searrow\text{ pe }(-\infty,0]\text{, }g\nearrow\text{ pe }[0,+\infty)
  6. Deci x=0\displaystyle x=0 este punct de minim global al lui g\displaystyle g, iar g(0)=e0−0−1=0\displaystyle g(0)=e^{0}-0-1=0. Așadar g(x)≥g(0)=0\displaystyle g(x)\ge g(0)=0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, adică f(x)−4x−1≥0\displaystyle f(x)-4x-1\ge 0, deci f(x)≥4x+1\displaystyle f(x)\ge 4x+1 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    g(x)≥g(0)=0⇒f(x)≥4x+1\displaystyle g(x)\ge g(0)=0\Rightarrow f(x)\ge 4x+1, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3x2+x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2+x+1}.

Arătați că ∫01(x2+x+1)f(x) dx=14\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)f(x)\,dx=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe f(x)\displaystyle f(x) cu formula ei: (x2+x+1)f(x)=(x2+x+1)⋅x3x2+x+1\displaystyle (x^{2}+x+1)f(x)=(x^{2}+x+1)\cdot\dfrac{x^{3}}{x^{2}+x+1}.
    (x2+x+1)f(x)=(x2+x+1)⋅x3x2+x+1\displaystyle (x^{2}+x+1)f(x)=(x^{2}+x+1)\cdot\dfrac{x^{3}}{x^{2}+x+1}
  2. Numitorul x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece Δ=−3<0\displaystyle \Delta=-3<0, deci putem simplifica. Rămâne x3\displaystyle x^{3}, iar integrala devine ∫01x3 dx\displaystyle \int_0^1 x^{3}\,dx.
    ∫01(x2+x+1)f(x) dx=∫01x3 dx\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+x+1)f(x)\,dx=\int_0^1 x^{3}\,dx
  3. O primitivă a lui x3\displaystyle x^{3} este x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 1\displaystyle 1 minus valoarea în 0\displaystyle 0.
    ∫01x3 dx=x44∣01=144−044=14\displaystyle \int_0^1 x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}\Big|_0^1=\dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4}=\dfrac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3x2+x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2+x+1}.

Arătați că ∫01(f(x)−x+1) dx=π33\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x+1)\,dx=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem la același numitor expresia f(x)−x+1\displaystyle f(x)-x+1. Scriem f(x)−(x−1)=x3−(x−1)(x2+x+1)x2+x+1\displaystyle f(x)-(x-1)=\dfrac{x^{3}-(x-1)(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1}. Folosim formula (x−1)(x2+x+1)=x3−1\displaystyle (x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1.
    f(x)−x+1=x3−(x3−1)x2+x+1\displaystyle f(x)-x+1=\dfrac{x^{3}-(x^{3}-1)}{x^{2}+x+1}
  2. Simplificăm numărătorul: x3−(x3−1)=1\displaystyle x^{3}-(x^{3}-1)=1. Deci integrandul este o fracție simplă.
    f(x)−x+1=1x2+x+1\displaystyle f(x)-x+1=\dfrac{1}{x^{2}+x+1}
  3. Completăm pătratul la numitor: x2+x+1=(x+12)2+34\displaystyle x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}. Folosim formula ∫1u2+a2du=1a arctgua\displaystyle \int \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}du=\dfrac{1}{a}\,\text{arctg}\dfrac{u}{a} cu u=x+12\displaystyle u=x+\dfrac{1}{2} și a=32\displaystyle a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    ∫011x2+x+1dx=∫011(x+12)2+34dx=23 arctg2x+13∣01\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x^2+x+1}dx=\int_0^1\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\,\text{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Big|_0^1
  4. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 2⋅1+13=33=3\displaystyle \dfrac{2\cdot 1+1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem 13\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    23(arctg3−arctg13)\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\text{arctg}\sqrt{3}-\text{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
  5. Folosim arctg3=π3\displaystyle \text{arctg}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3} și arctg13=π6\displaystyle \text{arctg}\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6}. Diferența este π3−π6=π6\displaystyle \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}, deci integrala este 23⋅π6=π33\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}.
    23(π3−π6)=π33\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3x2+x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2+x+1}.

Arătați că lim⁡t→0(1t4⋅∫0tf(x) dx)=14\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{t^4}\cdot\int_0^t f(x)\,dx\right)=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita ca o fracție: lim⁡t→0∫0tf(x) dxt4\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\int_0^t f(x)\,dx}{t^{4}}. Funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci t↦∫0tf(x) dx\displaystyle t\mapsto\int_0^t f(x)\,dx este derivabilă. Când t→0\displaystyle t\to 0, numărătorul tinde la 0\displaystyle 0, iar numitorul t4\displaystyle t^{4} tinde la 0\displaystyle 0, deci avem nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡t→0∫0tf(x) dxt4 este de forma 00\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\int_0^t f(x)\,dx}{t^{4}}\text{ este de forma }\dfrac{0}{0}
  2. Aplicăm regula lui L'Hospital: derivăm numărătorul și numitorul în raport cu t\displaystyle t. Avem (∫0tf(x) dx)′=f(t)\displaystyle \left(\int_0^t f(x)\,dx\right)'=f(t) și (t4)′=4t3\displaystyle \left(t^{4}\right)'=4t^{3}.
    lim⁡t→0f(t)4t3\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{f(t)}{4t^{3}}
  3. Înlocuim f(t)=t3t2+t+1\displaystyle f(t)=\dfrac{t^{3}}{t^{2}+t+1} în limită.
    lim⁡t→0t34t3(t2+t+1)\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{t^{3}}{4t^{3}(t^{2}+t+1)}
  4. Simplificăm fracția cu t3\displaystyle t^{3}, deoarece t≠0\displaystyle t\neq 0 când calculăm limita, apoi înlocuim t=0\displaystyle t=0: lim⁡t→014(t2+t+1)=14⋅1=14\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{1}{4(t^{2}+t+1)}=\dfrac{1}{4\cdot 1}=\dfrac{1}{4}.
    lim⁡t→0t34t3(t2+t+1)=14\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{t^{3}}{4t^{3}(t^{2}+t+1)}=\dfrac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.