Bac matematică M1 mate-info 2014, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

, știind că

\displaystyle \frac{1+i}{1-i}=a+ib

și

\displaystyle i^2=-1

.

Vezi rezolvarea

Amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică cu $\displaystyle 1+i$ , ca să obținem un numitor real: $\displaystyle \dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$ .
$\displaystyle \dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}$
Calculăm numărătorul: $\displaystyle (1+i)^2=1+2i+i^2=2i$ . Numitorul: $\displaystyle (1-i)(1+i)=1-i^2=2$ , pentru că $\displaystyle i^2=-1$ .
$\displaystyle \dfrac{2i}{2}$
Simplificăm fracția cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle \dfrac{1+i}{1-i}=i$ , deci $\displaystyle a+ib=i$ .
$\displaystyle a+ib=i$
Scriem $\displaystyle i=0+1\cdot i$ . Cum $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale, identificăm părțile reală și imaginară: $\displaystyle a=0$ și $\displaystyle b=1$ .
$\displaystyle a=0$ , $\displaystyle \ b=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 9^{\frac{x+2}{2}}+3^{x+1}=36

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 9=3^{2}$ , deci $\displaystyle 9^{\frac{x+2}{2}}=\left(3^{2}\right)^{\frac{x+2}{2}}=3^{x+2}$ .
$\displaystyle 9^{\frac{x+2}{2}}=3^{x+2}$
Ecuația devine $\displaystyle 3^{x+2}+3^{x+1}=36$ .
$\displaystyle 3^{x+2}+3^{x+1}=36$
Scriem $\displaystyle 3^{x+2}=3\cdot 3^{x+1}$ și dăm factor comun: $\displaystyle 3^{x+1}\cdot(3+1)=36$ .
$\displaystyle 4\cdot 3^{x+1}=36$
Împărțim la $\displaystyle 4$ și obținem $\displaystyle 3^{x+1}=9$ .
$\displaystyle 3^{x+1}=9$
Scriem $\displaystyle 9=3^{2}$ , deci $\displaystyle 3^{x+1}=3^{2}$ . Egalăm exponenții: $\displaystyle x+1=2$ , de unde $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să nu conțină cifra

\displaystyle 6

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ . Numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 99-10+1=90$ .
$\displaystyle 90$
Numărăm numerele de două cifre care nu conțin cifra $\displaystyle 6$ . Cifra zecilor poate fi oricare dintre $\displaystyle 1,2,3,4,5,7,8,9$ , adică $\displaystyle 8$ variante (nu poate fi $\displaystyle 0$ , fiindcă numărul ar avea o singură cifră, și nici $\displaystyle 6$ ).
$\displaystyle 8\text{ variante pentru cifra }$ $\displaystyle \text{zecilor}$
Cifra unităților poate fi oricare dintre $\displaystyle 0,1,2,3,4,5,7,8,9$ , adică $\displaystyle 9$ variante, deoarece este exclusă doar cifra $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle 9\text{ variante pentru cifra }$ $\displaystyle \text{unităților}$
Numărul cazurilor favorabile este produsul celor două numere de variante: $\displaystyle 8\cdot 9=72$ .
$\displaystyle 8\cdot 9=72$
Aplicăm formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $\displaystyle p=\dfrac{72}{90}$ . Simplificăm fracția prin $\displaystyle 18$ .
$\displaystyle p=\frac{72}{90}=\frac{4}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-1,2)

,

\displaystyle B(2,3)

și

\displaystyle C(0,-2)

. Determinați ecuația paralelei duse prin

\displaystyle C

la

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula pantei dreptei $\displaystyle AB$ , cu coordonatele punctelor $\displaystyle A(-1,2)$ și $\displaystyle B(2,3)$ : $\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .
$\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Înlocuim coordonatele și calculăm: $\displaystyle m_{AB}=\dfrac{3-2}{2-(-1)}=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle m_{AB}=\dfrac{3-2}{2-(-1)}=\dfrac{1}{3}$
Dreptele paralele au pante egale, deci dreapta $\displaystyle d$ dusă prin $\displaystyle C$ paralel cu $\displaystyle AB$ are $\displaystyle m_d=m_{AB}$ .
$\displaystyle m_d=\dfrac{1}{3}$
Scriem ecuația dreptei prin $\displaystyle C(0,-2)$ cu panta $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ : $\displaystyle y-y_C=m_d(x-x_C)$ , adică $\displaystyle y-(-2)=\dfrac{1}{3}(x-0)$ .
$\displaystyle y+2=\dfrac{1}{3}x$
Trecem pe $\displaystyle 2$ în membrul drept și obținem ecuația paralelei duse prin $\displaystyle C$ la $\displaystyle AB$ : $\displaystyle d: y=\dfrac{1}{3}x-2$ .
$\displaystyle d:\ y=\dfrac{1}{3}x-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

pentru care

\displaystyle \frac{1+\sin x}{\sin x}=\frac{1+\cos x}{\cos x}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ avem $\displaystyle \sin x>0$ și $\displaystyle \cos x>0$ , deci numitorii sunt nenuli și putem înmulți în cruce.
$\displaystyle \sin x\neq 0$ , $\displaystyle \ \cos x\neq 0$
Înmulțim în cruce: $\displaystyle (1+\sin x)\cos x=(1+\cos x)\sin x$ .
$\displaystyle (1+\sin x)\cos x=(1+\cos x)\sin x$
Desfacem parantezele: $\displaystyle \cos x+\sin x\cos x=\sin x+\sin x\cos x$ .
$\displaystyle \cos x+\sin x\cos x=\sin x+\sin x\cos x$
Reducem termenul $\displaystyle \sin x\cos x$ din ambii membri și obținem $\displaystyle \cos x=\sin x$ .
$\displaystyle \cos x=\sin x$
Cum $\displaystyle \cos x\neq 0$ , împărțim la $\displaystyle \cos x$ și obținem $\displaystyle \operatorname{tg}x=1$ .
$\displaystyle \operatorname{tg}x=1$
Singura soluție a ecuației $\displaystyle \operatorname{tg}x=1$ din intervalul $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ este $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$ .
$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(a))=(a+2)(a-1)^2

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul pe care vrem să îl calculăm: $\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}$
Adunăm la prima coloană celelalte două coloane, $\displaystyle C_1\to C_1+C_2+C_3$ . Pe fiecare linie suma elementelor este $\displaystyle a+1+1=a+2$ .
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a+2&1&1\\a+2&a&1\\a+2&1&a\end{vmatrix}$
Dăm factor comun $\displaystyle a+2$ din prima coloană.
$\displaystyle \det(A(a))=(a+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}$
Scădem prima coloană din celelalte două, $\displaystyle C_2\to C_2-C_1$ și $\displaystyle C_3\to C_3-C_1$ . Obținem $\displaystyle a-1$ pe diagonală, iar celelalte elemente devin $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \det(A(a))=(a+2)\begin{vmatrix}1&0&0\\1&a-1&0\\1&0&a-1\end{vmatrix}$
Dezvoltăm după prima linie, unde singurul element nenul este $\displaystyle 1$ . Rămâne determinantul de ordinul doi $\displaystyle \begin{vmatrix}a-1&0\\0&a-1\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det(A(a))=(a+2)\begin{vmatrix}a-1&0\\0&a-1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul de ordinul doi: $\displaystyle (a-1)(a-1)-0\cdot 0=(a-1)^2$ . Deci $\displaystyle \det(A(a))=(a+2)(a-1)^2$ , pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=(a+2)\begin{vmatrix}a-1&0\\0&a-1\end{vmatrix}=(a+2)(a-1)^2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Calculați inversa matricei

\displaystyle A(-1)

în

\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{R})

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=-1$ în matrice și obținem $\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Suma produselor pe diagonala principală și paralelele ei este $\displaystyle (-1)(-1)(-1)+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1=1$ . Suma produselor pe diagonala secundară și paralelele ei este $\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot(-1)=-3$ . Deci $\displaystyle \det(A(-1))=1-(-3)=4$ . Cum $\displaystyle 4\neq 0$ , matricea este inversabilă.
$\displaystyle \det(A(-1))=1-(-3)=4$
Matricea este simetrică, deci $\displaystyle A^{T}=A(-1)$ .
$\displaystyle {}^tA=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}$
Calculăm complemenții algebrici. Pe diagonală: $\displaystyle A_{11}=(-1)(-1)-1\cdot 1=0$ , iar la fel $\displaystyle A_{22}=A_{33}=0$ . În afara diagonalei: $\displaystyle A_{12}=-\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-(-1-1)=2$ . Din simetrie, toate elementele din afara diagonalei sunt egale cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}0&2&2\\2&0&2\\2&2&0\end{pmatrix}$
Aplicăm formula $\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,A^{*}$ . Cu $\displaystyle \det A=4$ obținem $\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}0&2&2\\2&0&2\\2&2&0\end{pmatrix}$ , adică fiecare element $\displaystyle 2$ devine $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle A(-1)^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați perechile de numere naturale

\displaystyle (a,b)

pentru care matricea

\displaystyle A(a)\cdot A(b)

are suma elementelor egală cu

\displaystyle 24

.

Vezi rezolvarea

Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 1 a produsului: linia 1 din $\displaystyle A(a)$ este $\displaystyle (a,1,1)$ , iar coloana 1 din $\displaystyle A(b)$ este $\displaystyle (b,1,1)$ . Obținem $\displaystyle a\cdot b+1\cdot 1+1\cdot 1$ .
$\displaystyle ab+2$
Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 2: linia $\displaystyle (a,1,1)$ înmulțită cu coloana $\displaystyle (1,b,1)$ dă $\displaystyle a\cdot 1+1\cdot b+1\cdot 1$ . Din simetria matricelor, elementele de pe diagonală sunt egale cu $\displaystyle ab+2$ , iar cele din afara diagonalei sunt egale cu $\displaystyle a+b+1$ .
$\displaystyle a+b+1$
Scriem produsul matricelor, cu $\displaystyle ab+2$ pe diagonala principală și $\displaystyle a+b+1$ în rest.
$\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}ab+2&a+b+1&a+b+1\\a+b+1&ab+2&a+b+1\\a+b+1&a+b+1&ab+2\end{pmatrix}$
Suma elementelor are 3 elemente pe diagonală și 6 în afara ei. Egalăm suma cu $\displaystyle 24$ : $\displaystyle 3(ab+2)+6(a+b+1)=24$ , adică $\displaystyle 3ab+6a+6b+12=24$ .
$\displaystyle 3ab+6a+6b+12=24$
Împărțim ecuația la $\displaystyle 3$ și obținem $\displaystyle ab+2a+2b+4=8$ . Membrul stâng se scrie ca produs: $\displaystyle ab+2a+2b+4=(a+2)(b+2)$ .
$\displaystyle (a+2)(b+2)=8$
Cum $\displaystyle a,b\in\mathbb{N}$ , avem $\displaystyle a+2\ge 2$ și $\displaystyle b+2\ge 2$ , iar ambii factori sunt divizori ai lui $\displaystyle 8$ . Perechile $\displaystyle (a+2,b+2)$ cu produsul $\displaystyle 8$ sunt $\displaystyle (2,4)$ și $\displaystyle (4,2)$ ; perechile $\displaystyle (1,8)$ și $\displaystyle (8,1)$ nu convin, deoarece $\displaystyle 1<2$ .
$\displaystyle (a+2,b+2)\in\{(2,4),(4,2)\}$
Scădem $\displaystyle 2$ din fiecare factor și obținem perechile căutate.
$\displaystyle (a,b)\in\{(0,2),(2,0)\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=3xy-3x-3y+4

. Legea „

\displaystyle *

” este asociativă și are element neutru.

Arătați că

\displaystyle x*y=3(x-1)(y-1)+1

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii: $\displaystyle x*y=3xy-3x-3y+4$ . Scriem $\displaystyle 4=3+1$ , ca să apară factorul comun $\displaystyle 3$ în primii patru termeni.
$\displaystyle x*y=3xy-3x-3y+3+1$
Dăm factor comun $\displaystyle 3$ din primii patru termeni și obținem $\displaystyle 3(xy-x-y+1)+1$ .
$\displaystyle x*y=3(xy-x-y+1)+1$
Grupăm termenii din paranteză: $\displaystyle xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)$ . Dăm factor comun $\displaystyle y-1$ și obținem $\displaystyle (x-1)(y-1)$ .
$\displaystyle xy-x-y+1=(x-1)(y-1)$
Înlocuim în $\displaystyle x*y=3(xy-x-y+1)+1$ și obținem egalitatea cerută, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x*y=3(x-1)(y-1)+1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=3xy-3x-3y+4

. Legea „

\displaystyle *

” este asociativă și are element neutru.

Calculați

\displaystyle \frac{1}{1007}*\frac{2}{1007}*\frac{3}{1007}*\ldots*\frac{2014}{1007}

.

Vezi rezolvarea

Rescriem legea sub o formă convenabilă: $\displaystyle x*y=3(x-1)(y-1)+1$ . Verificăm: $\displaystyle 3(xy-x-y+1)+1=3xy-3x-3y+4$ .
$\displaystyle x*y=3(x-1)(y-1)+1$
Calculăm $\displaystyle x*1$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Deoarece $\displaystyle 1-1=0$ , termenul $\displaystyle 3(x-1)(1-1)$ se anulează, deci $\displaystyle x*1=1$ , iar la fel $\displaystyle 1*x=1$ , legea fiind comutativă.
$\displaystyle x*1=1*x=3(x-1)\cdot 0+1=1$
Observăm că în șir apare factorul $\displaystyle \dfrac{1007}{1007}=1$ , deoarece numărătorii merg de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 2014$ , deci și $\displaystyle 1007$ este printre ei.
$\displaystyle \frac{1007}{1007}=1$
Legea fiind asociativă, putem grupa termenii: cei dinaintea lui $\displaystyle 1$ , apoi $\displaystyle 1$ , apoi cei de după. Notăm cu $\displaystyle a$ rezultatul primului grup și cu $\displaystyle b$ rezultatul ultimului grup.
$\displaystyle \left(\frac{1}{1007}*\ldots*\frac{1006}{1007}\right)*\frac{1007}{1007}*\left(\frac{1008}{1007}*\ldots*\frac{2014}{1007}\right)=a*1*b$
Folosim $\displaystyle a*1=1$ , apoi $\displaystyle 1*b=1$ . Deci întregul produs este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle a*1*b=1*b=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=3xy-3x-3y+4

. Legea „

\displaystyle *

” este asociativă și are element neutru.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

care sunt egale cu simetricele lor față de legea „

\displaystyle *

”.

Vezi rezolvarea

Scriem legea sub formă factorizată: $\displaystyle x*y=3(x-1)(y-1)+1$ . Verificăm: $\displaystyle 3(xy-x-y+1)+1=3xy-3x-3y+4$ .
$\displaystyle x*y=3(x-1)(y-1)+1$
Elementul neutru $\displaystyle e$ verifică $\displaystyle x*e=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Din forma factorizată, $\displaystyle 3(x-1)(e-1)+1=x$ , adică $\displaystyle 3(x-1)(e-1)=x-1$ pentru orice $\displaystyle x$ . Luând $\displaystyle x\neq 1$ , obținem $\displaystyle 3(e-1)=1$ , deci $\displaystyle e=\dfrac{4}{3}$ .
$\displaystyle e=\dfrac{4}{3}$
Un număr $\displaystyle x$ este egal cu simetricul său dacă $\displaystyle x*x=e$ , adică $\displaystyle x*x=\dfrac{4}{3}$ .
$\displaystyle x*x=\dfrac{4}{3}$
Înlocuim $\displaystyle x*x=3(x-1)^2+1$ și obținem $\displaystyle 3(x-1)^2+1=\dfrac{4}{3}$ . Scădem 1 din ambii membri: $\displaystyle 3(x-1)^2=\dfrac{1}{3}$ . Împărțim la 3: $\displaystyle (x-1)^2=\dfrac{1}{9}$ .
$\displaystyle 3(x-1)^2+1=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{9}$
Din $\displaystyle (x-1)^2=\dfrac{1}{9}$ rezultă $\displaystyle x-1=\dfrac{1}{3}$ sau $\displaystyle x-1=-\dfrac{1}{3}$ . Deci $\displaystyle x=\dfrac{4}{3}$ sau $\displaystyle x=\dfrac{2}{3}$ . Pentru ambele valori $\displaystyle x*x=e$ , deci fiecare număr este propriul său simetric.
$\displaystyle x_1=\dfrac{2}{3}$ , $\displaystyle \ x_2=\dfrac{4}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}

.

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Funcția este definită pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , deci putem studia asimptota oblică doar spre $\displaystyle +\infty$ . Asimptota oblică are forma $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ , iar $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$ .
$\displaystyle y=mx+n$ , $\displaystyle \ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ , $\displaystyle \ n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$
Scriem raportul $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}$ : numitorul devine $\displaystyle x(x-1)$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^{2}+2}{x(x-1)}=\frac{x^{2}+2}{x^{2}-x}$
Numărătorul și numitorul au același grad, $\displaystyle 2$ , deci limita este raportul coeficienților dominanți, adică $\displaystyle 1$ . Rezultă panta $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+2}{x^{2}-x}=1$
Calculăm diferența $\displaystyle f(x)-x$ , aducând la același numitor.
$\displaystyle f(x)-x=\frac{x^{2}+2}{x-1}-x=\frac{x^{2}+2-x(x-1)}{x-1}$
Reducem termenii din numărător: $\displaystyle x^{2}$ se simplifică, iar $\displaystyle -x\cdot(-1)$ devine $\displaystyle +x$ .
$\displaystyle f(x)-x=\frac{x^{2}+2-x^{2}+x}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}$
Numărătorul și numitorul au gradul $\displaystyle 1$ , deci limita este raportul coeficienților lui $\displaystyle x$ , adică $\displaystyle 1$ . Rezultă $\displaystyle n=1$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{x-1}=1$
Înlocuim $\displaystyle m=1$ și $\displaystyle n=1$ în ecuația $\displaystyle y=mx+n$ . Asimptota oblică la graficul funcției $\displaystyle f$ spre $\displaystyle +\infty$ este $\displaystyle y=x+1$ .
$\displaystyle y=x+1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=2

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)$ . Trebuie deci să calculăm $\displaystyle f(2)$ și $\displaystyle f'(2)$ .
$\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)$
Calculăm $\displaystyle f(2)$ înlocuind $\displaystyle x=2$ în expresia funcției: $\displaystyle f(2)=\dfrac{2^{2}+2}{2-1}=\dfrac{6}{1}$ .
$\displaystyle f(2)=6$
Derivăm funcția cu formula derivatei unui cât, $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=x^{2}+2$ și $\displaystyle v=x-1$ : $\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+2)\cdot 1}{(x-1)^{2}}$ . Dezvoltăm numărătorul: $\displaystyle 2x^{2}-2x-x^{2}-2=x^{2}-2x-2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x-2}{(x-1)^{2}}$
Calculăm $\displaystyle f'(2)=\dfrac{2^{2}-2\cdot 2-2}{(2-1)^{2}}=\dfrac{-2}{1}$ .
$\displaystyle f'(2)=-2$
Înlocuim $\displaystyle f(2)=6$ și $\displaystyle f'(2)=-2$ în formula tangentei: $\displaystyle y-6=-2(x-2)$ . Desfacem parantezele: $\displaystyle y-6=-2x+4$ , deci $\displaystyle y=-2x+10$ .
$\displaystyle y=-2x+10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{x+3}

.

Vezi rezolvarea

Scriem raportul $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}+2}{x(x-1)}=\dfrac{x^{2}+2}{x^{2}-x}$ . Baza tinde la $\displaystyle 1$ (gradele și coeficienții dominanți coincid), iar exponentul $\displaystyle x+3$ tinde la $\displaystyle +\infty$ , deci avem cazul $\displaystyle 1^{\infty}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{2}+2}{x^{2}-x}\right)^{x+3}$
Scriem baza ca $\displaystyle 1$ plus o fracție: $\displaystyle \dfrac{x^{2}+2}{x^{2}-x}=1+\dfrac{x^{2}+2-(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=1+\dfrac{x+2}{x^{2}-x}$ .
$\displaystyle \frac{x^{2}+2}{x^{2}-x}=1+\frac{x+2}{x^{2}-x}$
Pentru a folosi limita remarcabilă $\displaystyle \lim_{u\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{u}=e$ , introducem exponentul $\displaystyle \dfrac{x^{2}-x}{x+2}$ și îl compensăm în exteriorul parantezei.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{x+2}{x^{2}-x}\right)^{\frac{x^{2}-x}{x+2}}\right]^{\frac{x+2}{x^{2}-x}\cdot(x+3)}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , avem $\displaystyle \dfrac{x+2}{x^{2}-x}\to 0$ , deci expresia din paranteza pătrată tinde la $\displaystyle e$ . Limita este atunci $\displaystyle e$ la puterea limitei exponentului exterior. Calculăm exponentul: $\displaystyle \dfrac{x+2}{x^{2}-x}\cdot(x+3)=\dfrac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-x}$ .
$\displaystyle e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-x}}$
Limita raportului de polinoame de același grad este raportul coeficienților dominanți: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-x}=1$ . Deci limita cerută este $\displaystyle e^{1}=e$ .
$\displaystyle e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-x}}=e^{1}=e$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx

.

Calculați

\displaystyle I_1

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle n=1$ avem $\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx$ .
$\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx$
Scriem $\displaystyle x=(x+1)-1$ , deci $\displaystyle \frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$ .
$\displaystyle \frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$
Înlocuim în integrală descompunerea obținută.
$\displaystyle I_1=\int_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx$
Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle \frac{1}{x+1}$ este $\displaystyle \ln(x+1)$ .
$\displaystyle I_1=\left(x-\ln(x+1)\right)\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle I_1=(1-\ln 2)-(0-\ln 1)$ . Cum $\displaystyle \ln 1=0$ , obținem rezultatul final.
$\displaystyle I_1=1-\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx

.

Arătați că

\displaystyle I_{n+1}+I_n=\frac{1}{n+1}

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem suma celor două integrale, folosind definiția lui $\displaystyle I_n$ pentru $\displaystyle n+1$ și pentru $\displaystyle n$ : $\displaystyle I_{n+1}+I_n=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}\,dx+\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx$ .
$\displaystyle I_{n+1}+I_n=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}\,dx+\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx$
Cele două integrale au aceleași limite de integrare, deci le adunăm sub un singur semn de integrală și dăm factor comun $\displaystyle x^n$ la numărător: $\displaystyle x^{n+1}+x^n=x^n(x+1)$ .
$\displaystyle I_{n+1}+I_n=\int_0^1\frac{x^n(x+1)}{x+1}\,dx$
Simplificăm fracția cu $\displaystyle x+1$ , care este diferit de zero pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ , și rămâne de integrat o putere: $\displaystyle \int_0^1 x^n\,dx$ .
$\displaystyle I_{n+1}+I_n=\int_0^1 x^n\,dx$
Folosim primitiva puterii, $\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , și aplicăm formula Leibniz-Newton între $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ : $\displaystyle \dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$ . Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice $\displaystyle n$ natural nenul.
$\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\frac{1}{n+1}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx

.

Arătați că

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n=\frac{1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm diferența $\displaystyle I_{n+1}-I_n$ scriind ambele integrale sub același semn de integrare: $\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\dfrac{x^{n+1}-x^n}{x+1}\,dx$ . Dăm factor comun $\displaystyle x^n$ la numărător.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\frac{x^n(x-1)}{x+1}\,dx$
Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x^n\ge 0$ , $\displaystyle x-1\le 0$ și $\displaystyle x+1>0$ , deci funcția de sub integrală este negativă sau nulă. Rezultă că integrala ei este $\displaystyle \le 0$ , adică $\displaystyle I_{n+1}\le I_n$ și șirul $\displaystyle (I_n)$ este descrescător.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\frac{x^n(x-1)}{x+1}\,dx\le 0$
Calculăm suma $\displaystyle I_n+I_{n+1}=\int_0^1\dfrac{x^n+x^{n+1}}{x+1}\,dx=\int_0^1\dfrac{x^n(1+x)}{x+1}\,dx=\int_0^1 x^n\,dx$ .
$\displaystyle I_n+I_{n+1}=\int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}$
Din $\displaystyle I_{n+1}\le I_n$ obținem $\displaystyle 2I_{n+1}\le I_n+I_{n+1}\le 2I_n$ . Cum $\displaystyle I_n+I_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$ , rezultă dubla inegalitate.
$\displaystyle 2I_{n+1}\le\frac{1}{n+1}\le 2I_n$
Din $\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\le 2I_n$ , înmulțind cu $\displaystyle \dfrac{n+1}{2}$ , obținem $\displaystyle (n+1)I_n\ge\dfrac{1}{2}$ . Pentru $\displaystyle n\ge 2$ , partea stângă a inegalității scrisă cu $\displaystyle n-1$ în loc de $\displaystyle n$ dă $\displaystyle 2I_n\le\dfrac{1}{n}$ , deci $\displaystyle I_n\le\dfrac{1}{2n}$ . Înmulțim cu $\displaystyle n+1$ și obținem $\displaystyle (n+1)I_n\le\dfrac{n+1}{2n}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\le (n+1)I_n\le\frac{n+1}{2n}$
Termenul din stânga este constant, $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , iar $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{2n}=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n}\right)=\dfrac{1}{2}$ . Din criteriul clestelui rezultă că șirul $\displaystyle (n+1)I_n$ are limita $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2014, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani