Bac matematică M1 mate-info 2024, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (3+lg⁡110)⋅lg⁡10=1\displaystyle \left(3+\lg\frac{1}{10}\right)\cdot\lg\sqrt{10}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm logaritmul din paranteză: 110=10−1\displaystyle \dfrac{1}{10}=10^{-1}, deci lg⁡110=lg⁡10−1=−1\displaystyle \lg\dfrac{1}{10}=\lg 10^{-1}=-1.
    lg⁡110=−1\displaystyle \lg\dfrac{1}{10}=-1
  2. Înlocuim în paranteză: 3+lg⁡110=3−1=2\displaystyle 3+\lg\dfrac{1}{10}=3-1=2. Expresia devine 2⋅lg⁡10\displaystyle 2\cdot\lg\sqrt{10}.
    (3+lg⁡110)⋅lg⁡10=2⋅lg⁡10\displaystyle \left(3+\lg\dfrac{1}{10}\right)\cdot\lg\sqrt{10}=2\cdot\lg\sqrt{10}
  3. Scriem radicalul ca putere: 10=1012\displaystyle \sqrt{10}=10^{\frac{1}{2}}, deci lg⁡10=12lg⁡10=12\displaystyle \lg\sqrt{10}=\dfrac{1}{2}\lg 10=\dfrac{1}{2}.
    lg⁡10=12\displaystyle \lg\sqrt{10}=\dfrac{1}{2}
  4. Înlocuim și calculăm: 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, deci egalitatea este demonstrată.
    2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax−1\displaystyle f(x)=x^2+ax-1, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care (f∘f)(1)=1\displaystyle (f\circ f)(1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=x2+ax−1\displaystyle f(x)=x^2+ax-1: f(1)=12+a⋅1−1=a\displaystyle f(1)=1^2+a\cdot 1-1=a.
    f(1)=a\displaystyle f(1)=a
  2. Avem (f∘f)(1)=f(f(1))=f(a)\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))=f(a). Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a: f(a)=a2+a⋅a−1=2a2−1\displaystyle f(a)=a^2+a\cdot a-1=2a^2-1.
    (f∘f)(1)=2a2−1\displaystyle (f\circ f)(1)=2a^2-1
  3. Impunem condiția (f∘f)(1)=1\displaystyle (f\circ f)(1)=1, deci 2a2−1=1\displaystyle 2a^2-1=1. Rezultă 2a2=2\displaystyle 2a^2=2, adică a2=1\displaystyle a^2=1.
    a2=1\displaystyle a^2=1
  4. Din a2=1\displaystyle a^2=1 obținem a=−1\displaystyle a=-1 sau a=1\displaystyle a=1. Ambele valori convin, deoarece a\displaystyle a poate fi orice număr real.
    a=−1 sau a=1\displaystyle a=-1\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+1⋅8x=32\displaystyle 2^{x+1}\cdot 8^x=32.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem toate puterile în baza 2: 8=23\displaystyle 8=2^{3}, deci 8x=23x\displaystyle 8^x=2^{3x}, iar 32=25\displaystyle 32=2^{5}.
    8x=23x\displaystyle 8^x=2^{3x}, 32=25\displaystyle \ 32=2^{5}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem 2x+1⋅23x=32\displaystyle 2^{x+1}\cdot 2^{3x}=32.
    2x+1⋅23x=32\displaystyle 2^{x+1}\cdot 2^{3x}=32
  3. Înmulțim puterile cu aceeași bază adunând exponenții: (x+1)+3x=4x+1\displaystyle (x+1)+3x=4x+1. Scriem și 32=25\displaystyle 32=2^{5}, deci 24x+1=25\displaystyle 2^{4x+1}=2^{5}.
    24x+1=25\displaystyle 2^{4x+1}=2^{5}
  4. Funcția exponențială cu baza 2\displaystyle 2 este injectivă, deci egalăm exponenții: 4x+1=5\displaystyle 4x+1=5.
    4x+1=5\displaystyle 4x+1=5
  5. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 4x=5−1=4\displaystyle 4x=5-1=4, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul n+100\displaystyle \sqrt{n+100} să fie natural.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Pentru 10≤n≤99\displaystyle 10\le n\le 99 avem 110≤n+100≤199\displaystyle 110\le n+100\le 199. Numărul n+100\displaystyle \sqrt{n+100} este natural dacă n+100\displaystyle n+100 este pătrat perfect.
    110≤n+100≤199\displaystyle 110\le n+100\le 199
  3. Pătratele perfecte din intervalul [110,199]\displaystyle [110,199] sunt 112\displaystyle 11^{2}, 122\displaystyle 12^{2}, 132\displaystyle 13^{2} și 142\displaystyle 14^{2}, deoarece 102=100<110\displaystyle 10^{2}=100<110, iar 152=225>199\displaystyle 15^{2}=225>199.
    n+100∈{121,144,169,196}\displaystyle n+100\in\{121,144,169,196\}
  4. Scădem 100\displaystyle 100 din fiecare valoare și obținem n∈{21,44,69,96}\displaystyle n\in\{21,44,69,96\}. Toate sunt numere de două cifre, deci sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    n∈{21,44,69,96}, adica˘ 4 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{21,44,69,96\}\text{, adică }4\text{ cazuri favorabile}
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=490\displaystyle p=\dfrac{4}{90}. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=490=245\displaystyle p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4), B(4,6)\displaystyle B(4,6) și C(4,2)\displaystyle C(4,2). Determinați coordonatele punctului D\displaystyle D, știind că OD→=12(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm vectorul AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din cele ale lui B\displaystyle B: xB−xA=4−1=3\displaystyle x_B-x_A=4-1=3 și yB−yA=6−4=2\displaystyle y_B-y_A=6-4=2.
    AB→=3i⃗+2j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=3\vec{i}+2\vec{j}
  2. Calculăm vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} în același mod: xC−xA=4−1=3\displaystyle x_C-x_A=4-1=3 și yC−yA=2−4=−2\displaystyle y_C-y_A=2-4=-2.
    AC→=3i⃗−2j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=3\vec{i}-2\vec{j}
  3. Înlocuim vectorii în relația dată și adunăm componentele din paranteză: componentele pe j⃗\displaystyle \vec{j} se reduc, iar 6i⃗\displaystyle 6\vec{i} înmulțit cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2} dă 3i⃗\displaystyle 3\vec{i}.
    OD→=12(3i⃗+2j⃗+3i⃗−2j⃗)=12⋅6i⃗=3i⃗\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(3\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{i}-2\vec{j}\right)=\frac{1}{2}\cdot 6\vec{i}=3\vec{i}
  4. Vectorul OD→\displaystyle \overrightarrow{OD} are originea în O\displaystyle O, deci coordonatele lui D\displaystyle D sunt componentele vectorului 3i⃗+0j⃗\displaystyle 3\vec{i}+0\vec{j}.
    xD=3\displaystyle x_D=3, yD=0\displaystyle \ y_D=0, adica˘ D(3,0)\displaystyle \ \text{adică } D(3,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=tg⁡x−4cos⁡x2⋅cos⁡x\displaystyle E(x)=\operatorname{tg}x-4\cos\frac{x}{2}\cdot\cos x, unde x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π3)=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3} în expresie. Atunci x2=π6\displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{6}, iar π3∈(0,π2)\displaystyle \dfrac{\pi}{3}\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), deci expresia este definită.
    E(π3)=tg⁡π3−4cos⁡π6⋅cos⁡π3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}-4\cos\frac{\pi}{6}\cdot\cos\frac{\pi}{3}
  2. Folosim valorile cunoscute: tg⁡π3=3\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}, cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}.
    tg⁡π3=3\displaystyle \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, cos⁡π6=32\displaystyle \ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π3=12\displaystyle \ \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}
  3. Înlocuim valorile găsite în expresia lui E(π3)\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
    E(π3)=3−4⋅32⋅12\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}-4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}
  4. Calculăm produsul: 4⋅32⋅12=3\displaystyle 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\sqrt{3}. Deci diferența este 3−3=0\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{3}=0, adică relația cerută.
    E(π3)=3−3=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1−1x−100x0−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-1&x\\-1&0&0\\x&0&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(1−10−10000−1)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
  2. Observăm că ultima coloană are un singur element nenul, anume −1\displaystyle -1, pe poziția (3,3)\displaystyle (3,3). Dezvoltăm determinantul după ultima coloană: el este egal cu −1\displaystyle -1 înmulțit cu determinantul format din primele două linii și primele două coloane.
    det⁡(A(0))=(−1)⋅∣1−1−10∣\displaystyle \det(A(0))=(-1)\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\-1&0\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣1−1−10∣=1⋅0−(−1)⋅(−1)=0−1=−1\displaystyle \begin{vmatrix}1&-1\\-1&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-(-1)\cdot(-1)=0-1=-1
  4. Înlocuim și obținem valoarea determinantului, care coincide cu cea din regula lui Sarrus: 0+0+0−0−0−(−1)=1\displaystyle 0+0+0-0-0-(-1)=1.
    det⁡(A(0))=(−1)⋅(−1)=1\displaystyle \det(A(0))=(-1)\cdot(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1−1x−100x0−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-1&x\\-1&0&0\\x&0&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(x)⋅A(x)−I3)≤0\displaystyle \det(A(x)\cdot A(x)-I_3)\le 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x), linie cu coloană. Primul rând al lui A(x)\displaystyle A(x) este (1,−1,x)\displaystyle (1,-1,x), iar coloanele sunt (1,−1,x)\displaystyle (1,-1,x), (−1,0,0)\displaystyle (-1,0,0) și (x,0,−1)\displaystyle (x,0,-1). Obținem elementele 1+1+x2=2+x2\displaystyle 1+1+x^2=2+x^2, −1\displaystyle -1 și x−x=0\displaystyle x-x=0. Analog pentru celelalte două rânduri.
    A(x)⋅A(x)=(2+x2−10−11−x0−xx2+1)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}2+x^2&-1&0\\-1&1&-x\\0&-x&x^2+1\end{pmatrix}
  2. Scădem matricea identitate I3\displaystyle I_3, adică scădem 1\displaystyle 1 din fiecare element de pe diagonala principală.
    A(x)⋅A(x)−I3=(1+x2−10−10−x0−xx2)\displaystyle A(x)\cdot A(x)-I_3=\begin{pmatrix}1+x^2&-1&0\\-1&0&-x\\0&-x&x^2\end{pmatrix}
  3. Dezvoltăm determinantul după prima linie. Al treilea element al liniei este 0\displaystyle 0, deci rămân doar doi termeni: (1+x2)⋅∣0−x−xx2∣−(−1)⋅∣−1−x0x2∣\displaystyle (1+x^2)\cdot\begin{vmatrix}0&-x\\-x&x^2\end{vmatrix}-(-1)\cdot\begin{vmatrix}-1&-x\\0&x^2\end{vmatrix}. Minorii sunt 0⋅x2−(−x)(−x)=−x2\displaystyle 0\cdot x^2-(-x)(-x)=-x^2 și −x2−0=−x2\displaystyle -x^2-0=-x^2.
    det⁡(A(x)⋅A(x)−I3)=(1+x2)(−x2)+(−x2)\displaystyle \det(A(x)\cdot A(x)-I_3)=(1+x^2)(-x^2)+(-x^2)
  4. Dăm factor comun −x2\displaystyle -x^2: −x2(1+x2)−x2=−x2(2+x2)\displaystyle -x^2(1+x^2)-x^2=-x^2(2+x^2). Cum x2≥0\displaystyle x^2\ge 0 și 2+x2>0\displaystyle 2+x^2>0, produsul x2(2+x2)\displaystyle x^2(2+x^2) este mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, deci opusul său este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0, pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A(x)⋅A(x)−I3)=−x2(1+x2)−x2=−x2(2+x2)≤0\displaystyle \det(A(x)\cdot A(x)-I_3)=-x^2(1+x^2)-x^2=-x^2(2+x^2)\le 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1−1x−100x0−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-1&x\\-1&0&0\\x&0&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Se consideră matricea B∈M2,3(R)\displaystyle B\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}), B=(101010)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}. Determinați matricea X∈M2,3(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}) pentru care X⋅(A(0))−1=B⋅A(0)\displaystyle X\cdot(A(0))^{-1}=B\cdot A(0), unde (A(0))−1\displaystyle (A(0))^{-1} este inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim egalitatea X⋅(A(0))−1=B⋅A(0)\displaystyle X\cdot(A(0))^{-1}=B\cdot A(0) la dreapta cu A(0)\displaystyle A(0). Deoarece (A(0))−1⋅A(0)=I3\displaystyle (A(0))^{-1}\cdot A(0)=I_3, în stânga rămâne X\displaystyle X, deci X=B⋅A(0)⋅A(0)\displaystyle X=B\cdot A(0)\cdot A(0).
    X=B⋅A(0)⋅A(0)\displaystyle X=B\cdot A(0)\cdot A(0)
  2. Pentru x=0\displaystyle x=0 obținem matricea A(0)\displaystyle A(0) din enunțul comun, cu x=0\displaystyle x=0.
    A(0)=(1−10−10000−1)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
  3. Calculăm întâi B⋅A(0)\displaystyle B\cdot A(0). Prima linie a lui B\displaystyle B este (1,0,1)\displaystyle (1,0,1), deci obținem suma liniilor 1 și 3 ale lui A(0)\displaystyle A(0): (1,−1,0)+(0,0,−1)=(1,−1,−1)\displaystyle (1,-1,0)+(0,0,-1)=(1,-1,-1). A doua linie a lui B\displaystyle B este (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), deci obținem linia 2 a lui A(0)\displaystyle A(0): (−1,0,0)\displaystyle (-1,0,0).
    B⋅A(0)=(1−1−1−100)\displaystyle B\cdot A(0)=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}
  4. Înmulțim B⋅A(0)\displaystyle B\cdot A(0) cu A(0)\displaystyle A(0). Prima linie este 1⋅(1,−1,0)−1⋅(−1,0,0)−1⋅(0,0,−1)=(2,−1,1)\displaystyle 1\cdot(1,-1,0)-1\cdot(-1,0,0)-1\cdot(0,0,-1)=(2,-1,1). A doua linie este −1⋅(1,−1,0)=(−1,1,0)\displaystyle -1\cdot(1,-1,0)=(-1,1,0). Deci matricea căutată este:
    X=(2−11−110)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2+x+yx+y+1\displaystyle x*y=\frac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}.

Arătați că 1∗2=2\displaystyle 1*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2, adică înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 și y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2.
    1∗2=12+22+1+21+2+1\displaystyle 1*2=\frac{1^2+2^2+1+2}{1+2+1}
  2. Calculăm numărătorul: 1+4+1+2=8\displaystyle 1+4+1+2=8, iar numitorul: 1+2+1=4\displaystyle 1+2+1=4.
    1∗2=84\displaystyle 1*2=\frac{8}{4}
  3. Simplificăm fracția prin 4\displaystyle 4 și obținem egalitatea cerută.
    84=2, deci 1∗2=2\displaystyle \frac{8}{4}=2\text{, deci }1*2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2+x+yx+y+1\displaystyle x*y=\frac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}.

Arătați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e=0\displaystyle e=0 este element neutru dacă pentru orice x∈M\displaystyle x\in M avem x∗0=x\displaystyle x*0=x și 0∗x=x\displaystyle 0*x=x. Fixăm un x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty).
    x∗0=x și 0∗x=x\displaystyle x*0=x\text{ și }0*x=x, ∀x∈[0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[0,+\infty)
  2. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în definiția legii. Numitorul x+1\displaystyle x+1 este strict pozitiv, deci expresia are sens: x∗0=x2+02+x+0x+0+1\displaystyle x*0=\dfrac{x^2+0^2+x+0}{x+0+1}.
    x∗0=x2+02+x+0x+0+1=x2+xx+1\displaystyle x*0=\frac{x^2+0^2+x+0}{x+0+1}=\frac{x^2+x}{x+1}
  3. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător, apoi simplificăm cu x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0. Obținem x∗0=x\displaystyle x*0=x.
    x∗0=x(x+1)x+1=x\displaystyle x*0=\frac{x(x+1)}{x+1}=x
  4. Nu am arătat că legea este comutativă, deci verificăm separat și 0∗x\displaystyle 0*x. Înlocuim primul termen cu 0\displaystyle 0 și al doilea cu x\displaystyle x: 0∗x=02+x2+0+x0+x+1\displaystyle 0*x=\dfrac{0^2+x^2+0+x}{0+x+1}.
    0∗x=02+x2+0+x0+x+1=x2+xx+1\displaystyle 0*x=\frac{0^2+x^2+0+x}{0+x+1}=\frac{x^2+x}{x+1}
  5. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător și simplificăm cu x+1\displaystyle x+1. Obținem 0∗x=x\displaystyle 0*x=x. Cum x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, numărul e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    0∗x=x(x+1)x+1=x ⇒ x∗0=0∗x=x\displaystyle 0*x=\frac{x(x+1)}{x+1}=x\ \Rightarrow\ x*0=0*x=x, ∀x∈M\displaystyle \ \forall x\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2+x+yx+y+1\displaystyle x*y=\frac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m∗n=5\displaystyle m*n=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția m∗n=5\displaystyle m*n=5 folosind definiția legii: m2+n2+m+nm+n+1=5\displaystyle \dfrac{m^2+n^2+m+n}{m+n+1}=5. Deoarece m+n+1>0\displaystyle m+n+1>0, putem înmulți ecuația cu m+n+1\displaystyle m+n+1.
    m2+n2+m+n=5(m+n+1)\displaystyle m^2+n^2+m+n=5(m+n+1)
  2. Desfacem parantezele: m2+n2+m+n=5m+5n+5\displaystyle m^2+n^2+m+n=5m+5n+5. Aducem toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea.
    m2+n2−4m−4n−5=0\displaystyle m^2+n^2-4m-4n-5=0
  3. Grupăm termenii: (m2−4m+4)+(n2−4n+4)=5+4+4\displaystyle (m^2-4m+4)+(n^2-4n+4)=5+4+4. Scriem pătratele perfecte și obținem o sumă de două pătrate egală cu 13.
    (m−2)2+(n−2)2=13\displaystyle (m-2)^2+(n-2)^2=13
  4. Pătratele perfecte mai mici sau egale cu 13 sunt 0,1,4,9\displaystyle 0,1,4,9. Singura pereche cu suma 13\displaystyle 13 este 4+9\displaystyle 4+9, în orice ordine, deoarece 13−0=13\displaystyle 13-0=13, 13−1=12\displaystyle 13-1=12 nu sunt pătrate perfecte.
    {(m−2)2,(n−2)2}={4,9}\displaystyle \{(m-2)^2,(n-2)^2\}=\{4,9\}
  5. Cazul (m−2)2=4\displaystyle (m-2)^2=4 și (n−2)2=9\displaystyle (n-2)^2=9: m−2=±2\displaystyle m-2=\pm 2, deci m∈{0,4}\displaystyle m\in\{0,4\}; n−2=±3\displaystyle n-2=\pm 3, deci n∈{5,−1}\displaystyle n\in\{5,-1\}, iar −1\displaystyle -1 nu este natural, deci n=5\displaystyle n=5. Rezultă perechile (0,5)\displaystyle (0,5) și (4,5)\displaystyle (4,5).
    (m,n)∈{(0,5),(4,5)}\displaystyle (m,n)\in\{(0,5),(4,5)\}
  6. Cazul (m−2)2=9\displaystyle (m-2)^2=9 și (n−2)2=4\displaystyle (n-2)^2=4 este simetric: m=5\displaystyle m=5 (pentru că −1\displaystyle -1 nu este natural) și n∈{0,4}\displaystyle n\in\{0,4\}. Rezultă perechile (5,0)\displaystyle (5,0) și (5,4)\displaystyle (5,4).
    (m,n)∈{(5,0),(5,4)}\displaystyle (m,n)\in\{(5,0),(5,4)\}
  7. Reunind cele două cazuri, perechile de numere naturale pentru care m∗n=5\displaystyle m*n=5 sunt cele de mai jos.
    (0,5)\displaystyle (0,5), (4,5)\displaystyle \ (4,5), (5,0)\displaystyle \ (5,0), (5,4)\displaystyle \ (5,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+6)x2+4\displaystyle f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}.

Arătați că f′(x)=2(x2+3x+2)x2+4\displaystyle f'(x)=\frac{2\left(x^2+3x+2\right)}{\sqrt{x^2+4}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este produsul u(x)=x+6\displaystyle u(x)=x+6 și v(x)=x2+4\displaystyle v(x)=\sqrt{x^2+4}. Aplicăm formula (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(x+6)′x2+4+(x+6)(x2+4)′\displaystyle f'(x)=(x+6)'\sqrt{x^2+4}+(x+6)\left(\sqrt{x^2+4}\right)'
  2. Avem (x+6)′=1\displaystyle (x+6)'=1. Pentru radical folosim (w)′=w′2w\displaystyle \left(\sqrt{w}\right)'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}, cu w=x2+4\displaystyle w=x^2+4 și w′=2x\displaystyle w'=2x.
    (x2+4)′=2x2x2+4\displaystyle \left(\sqrt{x^2+4}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}
  3. Înlocuim în formula produsului și obținem expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=x2+4+(x+6)⋅2x2x2+4\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+4}+(x+6)\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}
  4. Simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2 și aducem la numitorul comun x2+4\displaystyle \sqrt{x^2+4}. Folosim x2+4=x2+4x2+4\displaystyle \sqrt{x^2+4}=\dfrac{x^2+4}{\sqrt{x^2+4}}.
    f′(x)=x2+4x2+4+x(x+6)x2+4=x2+4+x2+6xx2+4\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+4}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{x(x+6)}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{x^2+4+x^2+6x}{\sqrt{x^2+4}}
  5. Reducem termenii asemenea la numărător, apoi dăm factor comun 2\displaystyle 2. Obținem forma cerută.
    f′(x)=2x2+6x+4x2+4=2(x2+3x+2)x2+4\displaystyle f'(x)=\frac{2x^2+6x+4}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{2\left(x^2+3x+2\right)}{\sqrt{x^2+4}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+6)x2+4\displaystyle f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci aplicăm regula de derivare a produsului. Derivata lui x+6\displaystyle x+6 este 1\displaystyle 1, iar derivata lui x2+4\displaystyle \sqrt{x^2+4} este xx2+4\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}.
    f′(x)=x2+4+(x+6)⋅xx2+4\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+4}+(x+6)\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}
  2. Aducem la același numitor, x2+4\displaystyle \sqrt{x^2+4}, și adunăm numărătorii. Radicalul înmulțit cu el însuși dă x2+4\displaystyle x^2+4.
    f′(x)=x2+4+x2+6xx2+4=2x2+6x+4x2+4\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+4+x^2+6x}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{2x^2+6x+4}{\sqrt{x^2+4}}
  3. Descompunem numărătorul: dăm factor comun 2\displaystyle 2, iar trinomul x2+3x+2\displaystyle x^2+3x+2 are rădăcinile −1\displaystyle -1 și −2\displaystyle -2.
    f′(x)=2(x+1)(x+2)x2+4\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+1)(x+2)}{\sqrt{x^2+4}}
  4. Numitorul x2+4\displaystyle \sqrt{x^2+4} este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci derivata se anulează doar când numărătorul este zero.
    f′(x)=0⇔x=−2 sau x=−1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2\text{ sau }x=-1
  5. Semnul derivatei este dat de semnul produsului (x+1)(x+2)\displaystyle (x+1)(x+2), adică de semnul trinomului de gradul doi cu coeficientul dominant pozitiv. Acesta este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele. Deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe (−∞,−2)\displaystyle (-\infty,-2), f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe (−2,−1)\displaystyle (-2,-1) și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    f′>0 pe (−∞,−2)\displaystyle f'>0\text{ pe }(-\infty,-2),f′<0 pe (−2,−1)\displaystyle \quad f'<0\text{ pe }(-2,-1),f′>0 pe (−1,+∞)\displaystyle \quad f'>0\text{ pe }(-1,+\infty)
  6. Unde f′>0\displaystyle f'>0 funcția crește, iar unde f′<0\displaystyle f'<0 funcția scade. Includem capetele intervalelor, deoarece funcția este continuă.
    f cresca˘toare pe (−∞,−2]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-2], f descresca˘toare pe [−2,−1]\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[-2,-1], f cresca˘toare pe [−1,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+6)x2+4\displaystyle f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}.

Demonstrați că ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are soluție unică, pentru orice număr întreg m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției folosind formula derivatei unui produs. Derivata lui x2+4\displaystyle \sqrt{x^2+4} este xx2+4\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}. Aducem la același numitor: f′(x)=x2+4+x(x+6)x2+4=2x2+6x+4x2+4\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+4}+\dfrac{x(x+6)}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{2x^2+6x+4}{\sqrt{x^2+4}}.
    f′(x)=2x2+6x+4x2+4=2(x+1)(x+2)x2+4\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+4}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{2(x+1)(x+2)}{\sqrt{x^2+4}}
  2. Numitorul este mereu pozitiv, deci semnul derivatei este dat de produsul (x+1)(x+2)\displaystyle (x+1)(x+2). Rezultă că f\displaystyle f este strict crescătoare pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2], strict descrescătoare pe [−2,−1]\displaystyle [-2,-1] și strict crescătoare pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty).
    f↗ pe (−∞,−2]\displaystyle f\nearrow\text{ pe }(-\infty,-2],f↘ pe [−2,−1]\displaystyle \quad f\searrow\text{ pe }[-2,-1],f↗ pe [−1,+∞)\displaystyle \quad f\nearrow\text{ pe }[-1,+\infty)
  3. Calculăm valorile în punctele de extrem: f(−2)=48=128\displaystyle f(-2)=4\sqrt{8}=\sqrt{128}, iar f(−1)=55=125\displaystyle f(-1)=5\sqrt{5}=\sqrt{125}. Limitele la capete sunt lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. Deoarece 121<125\displaystyle 121<125 și 128<144\displaystyle 128<144, avem 11<125<128<12\displaystyle 11<\sqrt{125}<\sqrt{128}<12.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, f(−2)=128\displaystyle \ f(-2)=\sqrt{128}, f(−1)=125\displaystyle \ f(-1)=\sqrt{125}, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, 11<125<128<12\displaystyle \ 11<\sqrt{125}<\sqrt{128}<12
  4. Cazul m≤11\displaystyle m\le 11. Pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2], f\displaystyle f este continuă, strict crescătoare și ia toate valorile din (−∞,128]\displaystyle (-\infty,\sqrt{128}], iar m\displaystyle m este în acest interval, deci există exact o soluție aici. Pe [−2,−1]\displaystyle [-2,-1] valorile lui f\displaystyle f sunt în [125,128]\displaystyle [\sqrt{125},\sqrt{128}], toate mai mari decât 11\displaystyle 11, deci nu sunt soluții. Pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) valorile sunt cel puțin 125>11\displaystyle \sqrt{125}>11, deci nu sunt soluții.
    m≤11 ⇒ exact o soluție, ıˆn (−∞,−2]\displaystyle m\le 11\ \Rightarrow\ \text{exact o soluție, în }(-\infty,-2]
  5. Cazul m≥12\displaystyle m\ge 12. Pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2] valorile sunt cel mult 128<12\displaystyle \sqrt{128}<12, deci nu sunt soluții. Pe [−2,−1]\displaystyle [-2,-1] valorile sunt cel mult 128<12\displaystyle \sqrt{128}<12, deci nu sunt soluții. Pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty), f\displaystyle f este continuă, strict crescătoare și ia toate valorile din [125,+∞)\displaystyle [\sqrt{125},+\infty), iar m\displaystyle m este în acest interval, deci există exact o soluție.
    m≥12 ⇒ exact o soluție, ıˆn (−1,+∞)\displaystyle m\ge 12\ \Rightarrow\ \text{exact o soluție, în }(-1,+\infty)
  6. Orice număr întreg m\displaystyle m este fie m≤11\displaystyle m\le 11, fie m≥12\displaystyle m\ge 12, deci cele două cazuri acoperă toate situațiile. În fiecare caz ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact o soluție.
    ecuația f(x)=m are soluție unica˘, pentru \displaystyle \text{ecuația }f(x)=m\text{ are soluție unică, pentru }orice numa˘r ıˆntreg m\displaystyle \text{orice număr întreg }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Arătați că ∫04exf(x) dx=12\displaystyle \int_0^4 e^x f(x)\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^{x}} în integrală: exf(x)=ex⋅x+1ex\displaystyle e^{x}f(x)=e^{x}\cdot\dfrac{x+1}{e^{x}}.
    exf(x)=ex⋅x+1ex\displaystyle e^{x}f(x)=e^{x}\cdot\dfrac{x+1}{e^{x}}
  2. Simplificăm ex\displaystyle e^{x} cu numitorul (este nenul), deci exf(x)=x+1\displaystyle e^{x}f(x)=x+1, iar integrala devine ∫04(x+1) dx\displaystyle \displaystyle\int_0^4 (x+1)\,dx.
    ∫04exf(x) dx=∫04(x+1) dx\displaystyle \int_0^4 e^{x}f(x)\,dx=\int_0^4 (x+1)\,dx
  3. O primitivă a lui x+1\displaystyle x+1 este x22+x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫04(x+1) dx=(x22+x)∣04\displaystyle \displaystyle\int_0^4 (x+1)\,dx=\left(\dfrac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_0^4.
    ∫04(x+1) dx=(x22+x)∣04\displaystyle \int_0^4 (x+1)\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_0^4
  4. În x=4\displaystyle x=4 avem 422+4=8+4\displaystyle \dfrac{4^{2}}{2}+4=8+4, iar în x=0\displaystyle x=0 avem 0\displaystyle 0. Scădem: 8+4−0=12\displaystyle 8+4-0=12, deci egalitatea cerută este adevărată.
    8+4=12\displaystyle 8+4=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Arătați că ∫01f(x) dx=2e−3e\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{2e-3}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x)=x+1ex=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^{x}}=(x+1)e^{-x}, ca să putem integra prin părți.
    f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}
  2. Observăm că (−e−x)′=e−x\displaystyle \left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}, deci e−xdx=(−e−x)′dx\displaystyle e^{-x}dx=\left(-e^{-x}\right)'dx.
    (−e−x)′=e−x\displaystyle \left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}
  3. Aplicăm formula ∫abu v′ dx=uv∣ab−∫abu′ v dx\displaystyle \int_a^b u\,v'\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b u'\,v\,dx cu u=x+1\displaystyle u=x+1 și v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}, deci u′=1\displaystyle u'=1.
    ∫01f(x) dx=∫01(x+1)(−e−x)′dx=(x+1)(−e−x)∣01−∫01(−e−x)dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1(x+1)\left(-e^{-x}\right)'dx=(x+1)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-\int_0^1\left(-e^{-x}\right)dx
  4. Integrala rămasă este −∫01(−e−x)dx=∫01e−xdx\displaystyle -\int_0^1\left(-e^{-x}\right)dx=\int_0^1 e^{-x}dx, iar o primitivă a lui e−x\displaystyle e^{-x} este −e−x\displaystyle -e^{-x}. Obținem forma din barem.
    ∫01f(x) dx=(x+1)(−e−x)∣01−e−x∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=(x+1)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-e^{-x}\Big|_0^1
  5. Pentru primul termen: la x=1\displaystyle x=1 avem 2⋅(−e−1)=−2e\displaystyle 2\cdot\left(-e^{-1}\right)=-\dfrac{2}{e}, iar la x=0\displaystyle x=0 avem 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1. Deci termenul este −2e−(−1)\displaystyle -\dfrac{2}{e}-(-1).
    (x+1)(−e−x)∣01=−2e+1\displaystyle (x+1)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1=-\dfrac{2}{e}+1
  6. Pentru al doilea termen: −e−x∣01=−e−1−(−e0)=−1e+1\displaystyle -e^{-x}\Big|_0^1=-e^{-1}-\left(-e^{0}\right)=-\dfrac{1}{e}+1.
    −e−x∣01=−1e+1\displaystyle -e^{-x}\Big|_0^1=-\dfrac{1}{e}+1
  7. Adunăm: −2e+1−1e+1=2−3e=2e−3e\displaystyle -\dfrac{2}{e}+1-\dfrac{1}{e}+1=2-\dfrac{3}{e}=\dfrac{2e-3}{e}, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    −2e+1−1e+1=2e−3e\displaystyle -\dfrac{2}{e}+1-\dfrac{1}{e}+1=\dfrac{2e-3}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2, se consideră numărul In=∫01xn−1f(xn) dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^{n-1}}{f(x^n)}\,dx. Demonstrați că ln⁡2n≤In≤e−1n\displaystyle \frac{\ln 2}{n}\le I_n\le\frac{e-1}{n}, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(xn)\displaystyle f(x^{n}) pornind de la f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^{x}}, deci f(xn)=xn+1exn\displaystyle f(x^{n})=\dfrac{x^{n}+1}{e^{x^{n}}}.
    f(xn)=xn+1exn\displaystyle f(x^{n})=\dfrac{x^{n}+1}{e^{x^{n}}}
  2. Înlocuim în integrală: împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci In=∫01xn−1exnxn+1 dx\displaystyle I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{n-1}e^{x^{n}}}{x^{n}+1}\,dx.
    In=∫01xn−1exnxn+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^{n-1}e^{x^{n}}}{x^{n}+1}\,dx
  3. Observăm că (xn)′=n xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\,x^{n-1}, deci xn−1=1n(xn)′\displaystyle x^{n-1}=\dfrac{1}{n}(x^{n})'. Facem schimbarea de variabilă t=xn\displaystyle t=x^{n}, cu dt=n xn−1dx\displaystyle dt=n\,x^{n-1}dx. Limitele devin: pentru x=0\displaystyle x=0, t=0\displaystyle t=0, iar pentru x=1\displaystyle x=1, t=1\displaystyle t=1. Obținem integrala în t\displaystyle t.
    In=1n∫01ett+1 dt\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\int_0^1\frac{e^{t}}{t+1}\,dt
  4. Pentru t∈[0,1]\displaystyle t\in[0,1] avem et≥1\displaystyle e^{t}\ge 1, pentru că t≥0\displaystyle t\ge 0. Pentru marginea inferioară folosim et≥1\displaystyle e^{t}\ge 1, deci ett+1≥1t+1\displaystyle \dfrac{e^{t}}{t+1}\ge\dfrac{1}{t+1}. Pentru marginea superioară folosim t+1≥1\displaystyle t+1\ge 1, deci 1t+1≤1\displaystyle \dfrac{1}{t+1}\le 1, de unde ett+1≤et\displaystyle \dfrac{e^{t}}{t+1}\le e^{t}.
    1t+1≤ett+1≤et\displaystyle \frac{1}{t+1}\le\frac{e^{t}}{t+1}\le e^{t}, ∀t∈[0,1]\displaystyle \ \forall t\in[0,1]
  5. Integrăm inegalitatea pe [0,1]\displaystyle [0,1] și înmulțim cu 1n>0\displaystyle \dfrac{1}{n}>0. Calculăm: ∫011t+1 dt=ln⁡(t+1)∣01=ln⁡2\displaystyle \displaystyle\int_0^1\frac{1}{t+1}\,dt=\ln(t+1)\Big|_0^1=\ln 2, iar ∫01et dt=et∣01=e−1\displaystyle \displaystyle\int_0^1 e^{t}\,dt=e^{t}\Big|_0^1=e-1. Rezultă inegalitatea cerută.
    ln⁡2n≤In≤e−1n\displaystyle \frac{\ln 2}{n}\le I_n\le\frac{e-1}{n}, ∀n≥2\displaystyle \ \forall n\ge 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.