Bac matematică M1 mate-info 2018, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numărul complex

\displaystyle z

, știind că

\displaystyle 2\overline{z}+iz=4+5i

, unde

\displaystyle \overline{z}

este conjugatul lui

\displaystyle z

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle z=a+ib$ , cu $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ . Atunci conjugatul lui $\displaystyle z$ este $\displaystyle \overline{z}=a-ib$ .
$\displaystyle z=a+ib$ , $\displaystyle \ \overline{z}=a-ib$
Înlocuim în relația $\displaystyle 2\overline{z}+iz=4+5i$ și obținem $\displaystyle 2(a-ib)+i(a+ib)=4+5i$ .
$\displaystyle 2(a-ib)+i(a+ib)=4+5i$
Desfacem parantezele: $\displaystyle 2a-2ib+ia+i^{2}b=2a-2ib+ia-b$ , deoarece $\displaystyle i^{2}=-1$ . Grupăm partea reală și partea imaginară.
$\displaystyle (2a-b)+i(a-2b)=4+5i$
Două numere complexe sunt egale dacă au aceleași părți reale și imaginare, deci obținem sistemul formată din ecuațiile $\displaystyle 2a-b=4$ și $\displaystyle a-2b=5$ .
$\displaystyle \begin{cases}2a-b=4\\ a-2b=5\end{cases}$
Din a doua ecuație, $\displaystyle a=5+2b$ . Înlocuim în prima: $\displaystyle 2(5+2b)-b=4$ , adică $\displaystyle 10+3b=4$ , deci $\displaystyle b=-2$ . Atunci $\displaystyle a=5+2\cdot(-2)=1$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-2$
Deoarece $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=-2$ , obținem $\displaystyle z=1-2i$ .
$\displaystyle z=1-2i$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3-2x

. Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle (f\circ f)(x)<x

.

Vezi rezolvarea

Scriem compunerea: $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f(3-2x)$ .
$\displaystyle (f\circ f)(x)=f(3-2x)$
Înlocuim în $\displaystyle f(x)=3-2x$ pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 3-2x$ : $\displaystyle (f\circ f)(x)=3-2(3-2x)=3-6+4x$ , deci $\displaystyle (f\circ f)(x)=4x-3$ .
$\displaystyle (f\circ f)(x)=3-2(3-2x)=4x-3$
Inegalitatea $\displaystyle (f\circ f)(x)<x$ devine $\displaystyle 4x-3<x$ .
$\displaystyle 4x-3<x$
Mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în stânga: $\displaystyle 4x-x<3$ , adică $\displaystyle 3x<3$ . Împărțim la $\displaystyle 3>0$ , deci sensul inegalității se păstrează: $\displaystyle x<1$ .
$\displaystyle 3x<3\Leftrightarrow x<1$
Mulțimea valorilor lui $\displaystyle x$ cerute este intervalul $\displaystyle (-\infty,1)$ .
$\displaystyle x\in(-\infty,1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{x^2+1}\cdot\sqrt[3]{27}=3^3

.

Vezi rezolvarea

Calculăm radicalul: $\displaystyle 27=3^{3}$ , deci $\displaystyle \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^{3}}=3^{1}$ .
$\displaystyle \sqrt[3]{27}=3$
Înlocuim în ecuație și obținem $\displaystyle 3^{x^{2}+1}\cdot 3^{1}=3^{3}$ .
$\displaystyle 3^{x^{2}+1}\cdot 3^{1}=3^{3}$
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: $\displaystyle 3^{x^{2}+1+1}=3^{3}$ . Baza $\displaystyle 3$ fiind aceeași în ambii membri, egalăm exponenții.
$\displaystyle 3^{x^{2}+2}=3^{3}\Leftrightarrow x^{2}+2=3$
Din $\displaystyle x^{2}+2=3$ obținem $\displaystyle x^{2}=1$ , deci $\displaystyle x=-1$ sau $\displaystyle x=1$ . Ambele valori sunt numere reale, deci sunt soluții.
$\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii

\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5\}

, aceasta să conțină numai numere pare.

Vezi rezolvarea

Folosim formula probabilității clasice: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ . Cazurile posibile sunt submulțimile cu două elemente ale mulțimii $\displaystyle A$ , care are 6 elemente.
$\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Numărul cazurilor posibile este $\displaystyle C_6^2=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15$ .
$\displaystyle C_6^2=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15$
Numerele pare din $\displaystyle A$ sunt $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 4$ , deci sunt 3. Submulțimile favorabile au ambele elemente alese dintre ele, deci numărul cazurilor favorabile este $\displaystyle C_3^2=\dfrac{3!}{2!\cdot 1!}=3$ .
$\displaystyle C_3^2=3$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle p=\dfrac{3}{15}$ . Simplificăm fracția prin 3 și obținem $\displaystyle p=\dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle p=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră

\displaystyle E(x)=\sin\frac{2x}{3}-\cos\frac{8x}{3}

, unde

\displaystyle x

este număr real. Arătați că numărul

\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)

este natural.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}$ în $\displaystyle E(x)$ : $\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{2\cdot\frac{\pi}{4}}{3}-\cos\dfrac{8\cdot\frac{\pi}{4}}{3}$ .
$\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{2\cdot\frac{\pi}{4}}{3}-\cos\frac{8\cdot\frac{\pi}{4}}{3}$
Calculăm argumentele: $\displaystyle \dfrac{2\cdot\frac{\pi}{4}}{3}=\dfrac{\pi}{6}$ și $\displaystyle \dfrac{8\cdot\frac{\pi}{4}}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ . Deci $\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}-\cos\dfrac{2\pi}{3}$ .
$\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{6}-\cos\frac{2\pi}{3}$
Avem $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ . Pentru cosinus folosim $\displaystyle \cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ , $\displaystyle \quad \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$
Obținem $\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ . Cum $\displaystyle 1\in\mathbb{N}$ , numărul este natural.
$\displaystyle \frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1\in\mathbb{N}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a^2+a&a^2-a&1\\a^2-a&a^2+a&1\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(-2))=-32

.

Vezi rezolvarea

Calculăm elementele matricei pentru $\displaystyle a=-2$ . Avem $\displaystyle a^{2}=4$ , deci $\displaystyle a^{2}+a=4-2=2$ , iar $\displaystyle a^{2}-a=4+2=6$ .
$\displaystyle a^{2}+a=2$ , $\displaystyle \quad a^{2}-a=6$
Înlocuim în matrice și scriem determinantul lui $\displaystyle A(-2)$ .
$\displaystyle A(-2)=\begin{pmatrix}2&6&1\\6&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(-2))=\begin{vmatrix}2&6&1\\6&2&1\\0&0&1\end{vmatrix}$
Aplicăm regula triunghiului. Termenii care conțin elemente din ultima linie egale cu $\displaystyle 0$ dispar. Diagonala principală dă $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1=4$ , iar termenul cu semn minus este $\displaystyle 6\cdot 6\cdot 1=36$ .
$\displaystyle 2\cdot2\cdot1+6\cdot1\cdot0+1\cdot6\cdot0-1\cdot2\cdot0-2\cdot1\cdot0-6\cdot6\cdot1$
Efectuăm calculul și obținem $\displaystyle 4+0+0-0-0-36=-32$ , deci $\displaystyle \det(A(-2))=-32$ .
$\displaystyle 4+0+0-0-0-36=-32$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a^2+a&a^2-a&1\\a^2-a&a^2+a&1\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det(A(x)-xI_3)\geq 0

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle A(x)-xI_3$ : scădem $\displaystyle x$ de pe diagonala principală. Pe primele două poziții diagonale obținem $\displaystyle x^2+x-x=x^2$ , iar pe a treia obținem $\displaystyle 1-x$ .
$\displaystyle A(x)-xI_3=\begin{pmatrix}x^2&x^2-x&1\\x^2-x&x^2&1\\0&0&1-x\end{pmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după ultima linie, care are un singur element nenul, $\displaystyle 1-x$ , pe poziția $\displaystyle (3,3)$ . Rămâne un determinant de ordin 2.
$\displaystyle \det(A(x)-xI_3)=(1-x)\begin{vmatrix}x^2&x^2-x\\x^2-x&x^2\end{vmatrix}=(1-x)\left(x^4-(x^2-x)^2\right)$
Aplicăm diferența de pătrate $\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ , cu $\displaystyle a=x^2$ și $\displaystyle b=x^2-x$ .
$\displaystyle x^4-(x^2-x)^2=\left(x^2-x^2+x\right)\left(x^2+x^2-x\right)=x(2x^2-x)=x^2(2x-1)$
Înlocuim în determinant și obținem forma factorizată.
$\displaystyle \det(A(x)-xI_3)=x^2(1-x)(2x-1)$
Studiem semnul produsului. Factorul $\displaystyle x^2$ este mereu $\displaystyle \geq 0$ și se anulează doar pentru $\displaystyle x=0$ , caz în care determinantul este $\displaystyle 0$ și inegalitatea se verifică. Pentru $\displaystyle x\neq 0$ , factorul $\displaystyle x^2$ este pozitiv, deci trebuie ca $\displaystyle (1-x)(2x-1)\geq 0$ .
$\displaystyle x=0\text{ convine; pentru }x\neq 0:\ (1-x)(2x-1)\geq 0$
Funcția de gradul al doilea $\displaystyle (1-x)(2x-1)$ are coeficientul dominant negativ, $\displaystyle -2$ , și rădăcinile $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle 1$ , deci este $\displaystyle \geq 0$ între rădăcini, adică pentru $\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{2},1\right]$ . Reunind cu $\displaystyle x=0$ , obținem răspunsul.
$\displaystyle x\in\left[\frac{1}{2},1\right]\cup\{0\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a^2+a&a^2-a&1\\a^2-a&a^2+a&1\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle P_a(a^2+a,a^2-a)

, unde

\displaystyle a

este număr real. Demonstrați că pentru orice număr real nenul

\displaystyle a

, punctele

\displaystyle P_a

,

\displaystyle P_{-a}

și

\displaystyle O

nu sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

Aflăm coordonatele punctului $\displaystyle P_{-a}$ , înlocuind $\displaystyle a$ cu $\displaystyle -a$ în coordonatele lui $\displaystyle P_a$ : $\displaystyle (-a)^2+(-a)=a^2-a$ și $\displaystyle (-a)^2-(-a)=a^2+a$ . Punctul $\displaystyle O$ are coordonatele $\displaystyle (0,0)$ .
$\displaystyle P_{-a}(a^2-a,\ a^2+a)$ , $\displaystyle \quad O(0,0)$
Trei puncte sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul format din coordonatele lor, completate cu o coloană de $\displaystyle 1$ , este egal cu zero. Pentru $\displaystyle P_a$ , $\displaystyle P_{-a}$ și $\displaystyle O$ acest determinant are chiar liniile matricei $\displaystyle A(a)$ .
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}a^2+a&a^2-a&1\\a^2-a&a^2+a&1\\0&0&1\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după ultima linie, care are un singur element nenul ( $\displaystyle 1$ , pe poziția $\displaystyle (3,3)$ ). Rămâne determinantul de ordin $\displaystyle 2$ al primelor două linii și două coloane, adică diferența a două pătrate.
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}a^2+a&a^2-a\\a^2-a&a^2+a\end{vmatrix}=(a^2+a)^2-(a^2-a)^2$
Aplicăm formula diferenței de pătrate: prima paranteză este $\displaystyle (a^2+a)-(a^2-a)=2a$ , iar a doua este $\displaystyle (a^2+a)+(a^2-a)=2a^2$ . Produsul lor este $\displaystyle 4a^3$ .
$\displaystyle \Delta=(2a)\cdot(2a^2)=4a^3$
Cum $\displaystyle a\neq 0$ , rezultă $\displaystyle 4a^3\neq 0$ , deci determinantul nu este zero. Prin urmare punctele $\displaystyle P_a$ , $\displaystyle P_{-a}$ și $\displaystyle O$ nu sunt coliniare, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \Delta=4a^3\neq 0\text{, deci punctele }P_a$ , $\displaystyle \ P_{-a}\text{ și }O\text{ nu sunt coliniare}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&2^x&0\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle M(x)\cdot M(-x)=M(0)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle M(-x)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ în definiția lui $\displaystyle M$ . Elementul de pe poziția $\displaystyle (1,3)$ devine $\displaystyle -x$ , iar cel de pe poziția $\displaystyle (2,2)$ devine $\displaystyle 2^{-x}$ .
$\displaystyle M(-x)=\begin{pmatrix}1&0&-x\\0&2^{-x}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle M(x)\cdot M(-x)$ , element cu element, adică linie pe coloană. Prima linie dă $\displaystyle 1\cdot 1=1$ , $\displaystyle 0$ , iar la poziția $\displaystyle (1,3)$ : $\displaystyle 1\cdot(-x)+0\cdot 0+x\cdot 1=-x+x$ . Linia a doua dă $\displaystyle 2^x\cdot 2^{-x}$ pe diagonală și $\displaystyle 0$ în rest. Linia a treia este $\displaystyle (0,0,1)$ .
$\displaystyle M(x)\cdot M(-x)=\begin{pmatrix}1&0&-x+x\\0&2^x\cdot 2^{-x}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Simplificăm: $\displaystyle -x+x=0$ , iar $\displaystyle 2^x\cdot 2^{-x}=2^{x+(-x)}=2^0=1$ . Obținem matricea unitate de ordin $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle M(x)\cdot M(-x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle M(0)$ : pe poziția $\displaystyle (1,3)$ avem $\displaystyle 0$ , iar pe poziția $\displaystyle (2,2)$ avem $\displaystyle 2^0=1$ . Deci $\displaystyle M(0)$ este tot matricea unitate, de unde egalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=M(0)\text{, deci }M(x)\cdot M(-x)=M(0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&2^x&0\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Calculați inversa matricei

\displaystyle M(x)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că produsul $\displaystyle M(x)\cdot M(y)$ este tot o matrice de același tip, cu parametrii adunați: $\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y)$ . Cum $\displaystyle M(0)=I_3$ , ne așteptăm ca inversa lui $\displaystyle M(x)$ să fie $\displaystyle M(-x)$ . Verificăm prin calcul.
$\displaystyle M(-x)=\begin{pmatrix}1&0&-x\\0&2^{-x}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle M(x)\cdot M(-x)$ , linie cu coloană. Pe prima linie obținem $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 0$ și $\displaystyle -x+x=0$ . Pe a doua linie, pe diagonală, $\displaystyle 2^{x}\cdot 2^{-x}=2^{0}=1$ . A treia linie este $\displaystyle (0,0,1)$ .
$\displaystyle M(x)\cdot M(-x)=\begin{pmatrix}1&0&-x+x\\0&2^{x}\cdot 2^{-x}&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3$
Calculăm și produsul în ordine inversă, $\displaystyle M(-x)\cdot M(x)$ . Pe prima linie, ultimul element este $\displaystyle 1\cdot x+(-x)\cdot 1=0$ , iar pe a doua linie, pe diagonală, $\displaystyle 2^{-x}\cdot 2^{x}=1$ . Obținem tot matricea unitate, deci ambele produse dau $\displaystyle I_3$ .
$\displaystyle M(x)\cdot M(-x)=M(-x)\cdot M(x)=I_3$
Deoarece $\displaystyle M(x)\cdot M(-x)=M(-x)\cdot M(x)=I_3$ , matricea $\displaystyle M(x)$ este inversabilă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , iar inversa ei este $\displaystyle M(-x)$ .
$\displaystyle M(x)^{-1}=M(-x)=\begin{pmatrix}1&0&-x\\0&2^{-x}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&2^x&0\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(M(1)+M(2)+\ldots+M(n))=2n^2\left(2^n-1\right)

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Adunăm matricele $\displaystyle M(1), M(2), \ldots, M(n)$ element cu element. Elementele $\displaystyle 1$ din stânga sus și din dreapta jos apar de $\displaystyle n$ ori, elementul din mijloc este $\displaystyle 2^1+2^2+\ldots+2^n$ , iar elementul din dreapta sus este $\displaystyle 1+2+\ldots+n$ .
$\displaystyle M(1)+M(2)+\ldots+M(n)=\begin{pmatrix}n&0&1+2+\ldots+n\\0&2^1+2^2+\ldots+2^n&0\\0&0&n\end{pmatrix}$
Calculăm suma numerelor de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle n$ cu formula sumei lui Gauss.
$\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Puterile lui $\displaystyle 2$ formează o progresie geometrică cu primul termen $\displaystyle 2$ și rația $\displaystyle 2$ , deci suma lor este:
$\displaystyle 2^1+2^2+\ldots+2^n=2\cdot\dfrac{2^n-1}{2-1}=2\left(2^n-1\right)$
Înlocuim sumele în matrice. Matricea obținută este superior triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală.
$\displaystyle \begin{vmatrix}n&0&\frac{n(n+1)}{2}\\0&2\left(2^n-1\right)&0\\0&0&n\end{vmatrix}=n\cdot 2\left(2^n-1\right)\cdot n$
Efectuăm produsul și obținem exact egalitatea cerută, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$ .
$\displaystyle \det\left(M(1)+M(2)+\ldots+M(n)\right)=2n^2\left(2^n-1\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}

. Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem raportul $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}$ înlocuind $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ . Obținem $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^2+2x}{x(x+1)^2}$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+2x}{x(x+1)^2}$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ la numărător: $\displaystyle x^2+2x=x(x+2)$ . Limita devine o fracție în care $\displaystyle x$ apare la numărător și la numitor, iar $\displaystyle x\to 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(x+2)}{x(x+1)^2}$
Simplificăm prin $\displaystyle x$ , care este nenul în calculul limitei ( $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle 0$ , dar $\displaystyle x\neq 0$ ). Rămâne $\displaystyle \dfrac{x+2}{(x+1)^2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x+2}{(x+1)^2}$
Funcția obținută este continuă în $\displaystyle 0$ , deoarece numitorul $\displaystyle (0+1)^2=1$ este nenul. Înlocuim $\displaystyle x=0$ : $\displaystyle \dfrac{0+2}{(0+1)^2}=\dfrac{2}{1}=2$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x+2}{(x+1)^2}=\frac{0+2}{(0+1)^2}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ , dacă există, are ecuația $\displaystyle y=l$ , unde $\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f(x)$ . Calculăm deci această limită.
$\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$
Dezvoltăm pătratul de la numitor: $\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}$
Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita este raportul coeficienților dominanți. Verificăm împărțind la $\displaystyle x^2$ : numărătorul devine $\displaystyle 1+\dfrac{2}{x}$ , numitorul $\displaystyle 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ , iar termenii $\displaystyle \dfrac{2}{x}$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}$ tind la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1+0}{1+0+0}=1$
Limita este finită și egală cu $\displaystyle 1$ , deci graficul are asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ , de ecuație $\displaystyle y=1$ .
$\displaystyle y=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}

.

Demonstrați că șirul

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

cu

\displaystyle a_n=f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot\ldots\cdot f(n)

este descrescător.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1$ , deci putem rescrie funcția $\displaystyle f$ astfel:
$\displaystyle f(x)=\frac{(x+1)^{2}-1}{(x+1)^{2}}=1-\frac{1}{(x+1)^{2}}$
Pentru $\displaystyle x\geq 1$ avem $\displaystyle x^{2}+2x=x(x+2)>0$ și $\displaystyle (x+1)^{2}>0$ , deci $\displaystyle f(x)>0$ . Prin urmare toți termenii $\displaystyle a_n$ sunt produse de numere pozitive.
$\displaystyle f(k)>0\text{ pentru orice }k\geq 1\Rightarrow a_n>0$
Deoarece $\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot f(n+1)$ și $\displaystyle a_n>0$ , raportul termenilor consecutivi este $\displaystyle f(n+1)$ .
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n+1)$
Înlocuim $\displaystyle x=n+1$ în $\displaystyle f(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$ și folosim $\displaystyle (n+2)^{2}=n^{2}+4n+4$ . Cum $\displaystyle \dfrac{1}{n^{2}+4n+4}>0$ , obținem raportul mai mic decât $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n+1)=1-\frac{1}{n^{2}+4n+4}<1$
Cum $\displaystyle a_n>0$ și $\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1$ , înmulțind cu $\displaystyle a_n$ obținem $\displaystyle a_{n+1}<a_n$ pentru orice $\displaystyle n\geq 1$ . Deci șirul este descrescător.
$\displaystyle a_n>0\Rightarrow a_{n+1}<a_n\text{, deci șirul }(a_n)_{n\geq 1}\text{ este descrescător}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2^x+\sin(x-1)+m,&x\leq 1\\\frac{\sqrt{3x-2}-1}{x^2-1},&x>1\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}f(x)=\frac{3}{4}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x>1$ folosim $\displaystyle f(x)=\dfrac{\sqrt{3x-2}-1}{x^{2}-1}$ . Pentru $\displaystyle x\to 1$ numărătorul tinde la $\displaystyle \sqrt{1}-1=0$ , iar numitorul la $\displaystyle 1-1=0$ , deci avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{\sqrt{3x-2}-1}{x^{2}-1}=\frac{0}{0}$
Amplificăm fracția cu conjugata numărătorului, $\displaystyle \sqrt{3x-2}+1$ . La numărător folosim formula $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , deci $\displaystyle \left(\sqrt{3x-2}-1\right)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)=3x-2-1$ .
$\displaystyle \frac{\left(\sqrt{3x-2}-1\right)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}{\left(x^{2}-1\right)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}=\frac{3x-2-1}{\left(x^{2}-1\right)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}$
Descompunem numitorul: $\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ . Obținem limita din barem.
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{3x-2-1}{(x-1)(x+1)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}$
Simplificăm numărătorul: $\displaystyle 3x-2-1=3x-3=3(x-1)$ . Factorul $\displaystyle x-1$ se simplifică cu cel de la numitor, deoarece $\displaystyle x\neq 1$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{3}{(x+1)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}$
Nedeterminarea a dispărut, deci înlocuim $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle x+1=2$ , iar $\displaystyle \sqrt{3\cdot 1-2}+1=2$ . Limita este $\displaystyle \dfrac{3}{2\cdot 2}=\dfrac{3}{4}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{3}{(x+1)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}=\frac{3}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2^x+\sin(x-1)+m,&x\leq 1\\\frac{\sqrt{3x-2}-1}{x^2-1},&x>1\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care funcția

\displaystyle f

este continuă pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Pe $\displaystyle (-\infty,1)$ funcția $\displaystyle f(x)=2^x+\sin(x-1)+m$ este suma unor funcții continue, deci este continuă. Pe $\displaystyle (1,+\infty)$ funcția este un raport de funcții continue, iar numitorul $\displaystyle x^2-1$ este diferit de $\displaystyle 0$ , deci este continuă. Rămâne de studiat continuitatea în punctul $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f\text{ continuă pe }(-\infty,1)\text{ și pe }(1,+\infty)$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$ dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în $\displaystyle 1$ sunt egale.
$\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=f(1)$
Pentru $\displaystyle x\leq 1$ expresia lui $\displaystyle f$ este continuă, deci limita la stânga coincide cu $\displaystyle f(1)=2^1+\sin 0+m$ .
$\displaystyle f(1)=\lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=2+m$
La dreapta lui $\displaystyle 1$ limita are forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ . Amplificăm cu conjugata numărătorului, $\displaystyle \sqrt{3x-2}+1$ , și folosim $\displaystyle (3x-2)-1=3(x-1)$ .
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3x-2}-1}{x^2-1}=\dfrac{3x-3}{(x-1)(x+1)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}$
Simplificăm cu $\displaystyle x-1\neq0$ și apoi înlocuim $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=\lim_{x\to1}\dfrac{3}{(x+1)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}=\dfrac{3}{2\cdot2}=\dfrac{3}{4}$
Impunem egalitatea limitelor: $\displaystyle 2+m=\dfrac{3}{4}=f(1)$ . Rezultă $\displaystyle m=\dfrac{3}{4}-2=-\dfrac{5}{4}$ .
$\displaystyle 2+m=\dfrac{3}{4}=f(1)\Rightarrow m=-\dfrac{5}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2^x+\sin(x-1)+m,&x\leq 1\\\frac{\sqrt{3x-2}-1}{x^2-1},&x>1\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=-\frac{5}{4}

, demonstrați că ecuația

\displaystyle f(x)=0

are cel puțin o soluție în intervalul

\displaystyle (0,2)

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=-\dfrac{5}{4}$ , pe $\displaystyle (-\infty,1]$ avem $\displaystyle f(x)=2^x+\sin(x-1)-\dfrac{5}{4}$ . Cum $\displaystyle 0\leq 1$ , obținem $\displaystyle f(0)=2^0+\sin(-1)-\dfrac{5}{4}=1-\sin 1-\dfrac{5}{4}$ .
$\displaystyle f(0)=-\dfrac{1}{4}-\sin 1$
Cum $\displaystyle 2>1$ , folosim a doua ramură: $\displaystyle f(2)=\dfrac{\sqrt{3\cdot 2-2}-1}{2^2-1}=\dfrac{\sqrt{4}-1}{3}=\dfrac{2-1}{3}$ .
$\displaystyle f(0)=-\dfrac{1}{4}-\sin 1$ , $\displaystyle \ f(2)=\dfrac{1}{3}$
Pe $\displaystyle (-\infty,1)$ și pe $\displaystyle (1,\infty)$ funcția este continuă, fiind formată din funcții elementare (pe $\displaystyle (1,\infty)$ avem $\displaystyle 3x-2>0$ și $\displaystyle x^2-1\neq 0$ ). Verificăm continuitatea în $\displaystyle x=1$ . Limita la stânga este egală cu valoarea în 1: $\displaystyle f(1)=2^1+\sin 0-\dfrac{5}{4}$ .
$\displaystyle f(1)=\lim_{x\to 1,\,x<1}f(x)=\dfrac{3}{4}$
Amplificăm cu conjugata $\displaystyle \sqrt{3x-2}+1$ : $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3x-2}-1}{x^2-1}=\dfrac{3x-3}{(x-1)(x+1)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}=\dfrac{3}{(x+1)\left(\sqrt{3x-2}+1\right)}$ . Pentru $\displaystyle x\to 1$ obținem $\displaystyle \dfrac{3}{2\cdot 2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1,\,x>1}f(x)=\dfrac{3}{4}$
Limitele laterale în $\displaystyle 1$ sunt egale între ele și egale cu $\displaystyle f(1)$ , deci $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 1$ . Rezultă că $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , în particular pe $\displaystyle [0,2]$ .
$\displaystyle f\text{ continuă pe }[0,2]$
Cum $\displaystyle \sin 1>0$ , avem $\displaystyle f(0)=-\dfrac{1}{4}-\sin 1<0$ , iar $\displaystyle f(2)=\dfrac{1}{3}>0$ . Deci produsul lor este negativ.
$\displaystyle f(0)\cdot f(2)<0$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle [0,2]$ și $\displaystyle f(0)\cdot f(2)<0$ . Din proprietatea lui Darboux există $\displaystyle c\in(0,2)$ cu $\displaystyle f(c)=0$ . Deci ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $\displaystyle (0,2)$ .
$\displaystyle f(0)\cdot f(2)<0\text{, deci ecuația }f(x)=0\text{ are cel puțin o soluție }$ $\displaystyle \text{în }(0,2)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2018, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani