Bac matematică M1 mate-info 2016, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că (a+b)(i+1)=(a−b+1)(i−1)\displaystyle (a+b)(i+1)=(a-b+1)(i-1), unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele în ambii membri ai egalității: (a+b)(i+1)=(a+b)+(a+b)i\displaystyle (a+b)(i+1)=(a+b)+(a+b)i și (a−b+1)(i−1)=(a−b+1)i−(a−b+1)\displaystyle (a-b+1)(i-1)=(a-b+1)i-(a-b+1).
    (a+b)+(a+b)i=(a−b+1)i−(a−b+1)\displaystyle (a+b)+(a+b)i=(a-b+1)i-(a-b+1)
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și grupăm separat partea reală și partea imaginară.
    [(a+b)+(a−b+1)]+[(a+b)−(a−b+1)]i=0\displaystyle \left[(a+b)+(a-b+1)\right]+\left[(a+b)-(a-b+1)\right]i=0
  3. Reducem termenii asemenea în fiecare paranteză. Partea reală este a+b+a−b+1=2a+1\displaystyle a+b+a-b+1=2a+1, iar partea imaginară este a+b−a+b−1=2b−1\displaystyle a+b-a+b-1=2b-1.
    (2a+1)+(2b−1)i=0\displaystyle (2a+1)+(2b-1)i=0
  4. Cum a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale, un număr complex este zero doar dacă partea reală și partea imaginară sunt amândouă zero. Obținem două ecuații.
    {2a+1=02b−1=0\displaystyle \begin{cases}2a+1=0\\ 2b-1=0\end{cases}
  5. Rezolvăm cele două ecuații de gradul întâi: din 2a+1=0\displaystyle 2a+1=0 rezultă a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}, iar din 2b−1=0\displaystyle 2b-1=0 rezultă b=12\displaystyle b=\dfrac{1}{2}.
    a=−12\displaystyle a=-\frac{1}{2}, b=12\displaystyle \ b=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−mx+1\displaystyle f(x)=x^2-mx+1 are valoarea minimă egală cu −3\displaystyle -3.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este de gradul II, cu coeficientul dominant a=1>0\displaystyle a=1>0, deci parabola are ramurile în sus și funcția are un minim. Identificăm coeficienții: a=1\displaystyle a=1, b=−m\displaystyle b=-m, c=1\displaystyle c=1.
    a=1\displaystyle a=1, b=−m\displaystyle \ b=-m, c=1\displaystyle \ c=1
  2. Calculăm discriminantul Δ=b2−4ac=(−m)2−4⋅1⋅1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4\cdot 1\cdot 1.
    Δ=m2−4\displaystyle \Delta=m^{2}-4
  3. Valoarea minimă a funcției este −Δ4a\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}. Înlocuim Δ\displaystyle \Delta și a=1\displaystyle a=1 și o egalăm cu −3\displaystyle -3.
    −m2−44=−3\displaystyle -\frac{m^{2}-4}{4}=-3
  4. Înmulțim ambii membri cu −4\displaystyle -4 și obținem m2−4=12\displaystyle m^{2}-4=12, adică m2−16=0\displaystyle m^{2}-16=0.
    m2−16=0\displaystyle m^{2}-16=0
  5. Descompunem diferența de pătrate: (m−4)(m+4)=0\displaystyle (m-4)(m+4)=0, deci m=4\displaystyle m=4 sau m=−4\displaystyle m=-4. Ambele valori convin, deoarece a=1>0\displaystyle a=1>0 nu depinde de m\displaystyle m.
    m=−4 sau m=4\displaystyle m=-4\text{ sau }m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3x=log⁡x3\displaystyle \log_3 x=\log_x 3.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, iar baza strict pozitivă și diferită de 1. Deci x>0\displaystyle x>0 și x≠1\displaystyle x\neq 1.
    x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)
  2. Scriem logaritmul în baza x\displaystyle x ca inversul logaritmului în baza 3\displaystyle 3 din x\displaystyle x: log⁡x3=1log⁡3x\displaystyle \log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}. Pentru x≠1\displaystyle x\neq 1 avem log⁡3x≠0\displaystyle \log_3 x\neq 0, deci fracția are sens.
    log⁡3x=1log⁡3x\displaystyle \log_3 x=\frac{1}{\log_3 x}
  3. Notăm t=log⁡3x\displaystyle t=\log_3 x, cu t≠0\displaystyle t\neq 0. Ecuația devine t=1t\displaystyle t=\dfrac{1}{t}, deci t2=1\displaystyle t^{2}=1, adică t2−1=0\displaystyle t^{2}-1=0.
    t2−1=0\displaystyle t^{2}-1=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: (t+1)(t−1)=0\displaystyle (t+1)(t-1)=0, adică (log⁡3x+1)(log⁡3x−1)=0\displaystyle (\log_3 x+1)(\log_3 x-1)=0.
    (log⁡3x+1)(log⁡3x−1)=0\displaystyle (\log_3 x+1)(\log_3 x-1)=0
  5. Din log⁡3x=−1\displaystyle \log_3 x=-1 obținem x=3−1=13\displaystyle x=3^{-1}=\dfrac{1}{3}, iar din log⁡3x=1\displaystyle \log_3 x=1 obținem x=3\displaystyle x=3.
    x=13 sau x=3\displaystyle x=\frac{1}{3}\text{ sau }x=3
  6. Ambele valori sunt pozitive și diferite de 1\displaystyle 1, deci convin. Verificare: pentru x=3\displaystyle x=3 avem log⁡33=1=log⁡33\displaystyle \log_3 3=1=\log_3 3; pentru x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3} avem log⁡313=−1\displaystyle \log_3\dfrac{1}{3}=-1 și log⁡1/33=−1\displaystyle \log_{1/3}3=-1.
    x=13 sau x=3, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=\frac{1}{3}\text{ sau }x=3\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre pătrate perfecte.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}. Numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    cazuri posibile=90\displaystyle \text{cazuri posibile}=90
  2. Cifrele care sunt pătrate perfecte sunt 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1, 4\displaystyle 4 și 9\displaystyle 9, adică mulțimea {0,1,4,9}\displaystyle \{0,1,4,9\}.
    {0,1,4,9}\displaystyle \{0,1,4,9\}
  3. Cifra zecilor nu poate fi 0\displaystyle 0, deci are 3 variante: 1\displaystyle 1, 4\displaystyle 4 sau 9\displaystyle 9. Cifra unităților poate fi oricare dintre cele 4 cifre pătrate perfecte. Numărul cazurilor favorabile este 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12.
    3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12
  4. Probabilitatea este p=1290\displaystyle p=\dfrac{12}{90}, iar prin simplificare cu 6\displaystyle 6 obținem p=215\displaystyle p=\dfrac{2}{15}.
    p=1290=215\displaystyle p=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,a)\displaystyle A(-1,a), B(0,−3)\displaystyle B(0,-3) și C(1,1)\displaystyle C(1,1), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că AB+BC=AC\displaystyle AB+BC=AC.
Vezi rezolvarea
  1. Egalitatea AB+BC=AC\displaystyle AB+BC=AC arată că punctul B\displaystyle B se află pe segmentul AC\displaystyle AC (inegalitatea triunghiului devine egalitate), deci punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt coliniare.
    A\displaystyle A, B\displaystyle \,B, C coliniare\displaystyle \,C\text{ coliniare}
  2. Punctele fiind coliniare, dreptele AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC au aceeași pantă. Scriem egalitatea pantelor.
    mAB=mBC\displaystyle m_{AB}=m_{BC}
  3. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula yB−yAxB−xA\displaystyle \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, apoi panta dreptei BC\displaystyle BC.
    mAB=−3−a0+1=−3−a\displaystyle m_{AB}=\frac{-3-a}{0+1}=-3-a,mBC=1+31−0=4\displaystyle \quad m_{BC}=\frac{1+3}{1-0}=4
  4. Egalăm pantele și rezolvăm ecuația în a\displaystyle a: −3−a=4\displaystyle -3-a=4, deci a=−7\displaystyle a=-7.
    −3−a0+1=1+31−0⇔−3−a=4⇔a=−7\displaystyle \frac{-3-a}{0+1}=\frac{1+3}{1-0}\Leftrightarrow -3-a=4\Leftrightarrow a=-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați a∈(0,π)\displaystyle a\in(0,\pi), știind că (sin⁡π7−cos⁡a)2+(cos⁡π7−sin⁡a)2=2\displaystyle \left(\sin\frac{\pi}{7}-\cos a\right)^2+\left(\cos\frac{\pi}{7}-\sin a\right)^2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm cele două pătrate folosind formula (x−y)2=x2−2xy+y2\displaystyle (x-y)^2=x^2-2xy+y^2.
    sin⁡2π7−2sin⁡π7cos⁡a+cos⁡2a+cos⁡2π7−2cos⁡π7sin⁡a+sin⁡2a=2\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{7}-2\sin\frac{\pi}{7}\cos a+\cos^2 a+\cos^2\frac{\pi}{7}-2\cos\frac{\pi}{7}\sin a+\sin^2 a=2
  2. Grupăm termenii: sin⁡2π7+cos⁡2π7=1\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{7}+\cos^2\frac{\pi}{7}=1 și sin⁡2a+cos⁡2a=1\displaystyle \sin^2 a+\cos^2 a=1, deci suma lor este 2\displaystyle 2.
    (sin⁡2π7+cos⁡2π7)+(sin⁡2a+cos⁡2a)=1+1=2\displaystyle \left(\sin^2\frac{\pi}{7}+\cos^2\frac{\pi}{7}\right)+\left(\sin^2 a+\cos^2 a\right)=1+1=2
  3. Termenii rămași au factor comun −2\displaystyle -2 și recunoaștem formula sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y.
    −2(sin⁡π7cos⁡a+cos⁡π7sin⁡a)=−2sin⁡(π7+a)\displaystyle -2\left(\sin\frac{\pi}{7}\cos a+\cos\frac{\pi}{7}\sin a\right)=-2\sin\left(\frac{\pi}{7}+a\right)
  4. Ecuația devine 2−2sin⁡(π7+a)=2\displaystyle 2-2\sin\left(\frac{\pi}{7}+a\right)=2.
    2−2sin⁡(π7+a)=2\displaystyle 2-2\sin\left(\frac{\pi}{7}+a\right)=2
  5. Reducem 2\displaystyle 2 din ambii membri și împărțim la −2\displaystyle -2, deci sin⁡(π7+a)=0\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{7}+a\right)=0.
    sin⁡(π7+a)=0\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{7}+a\right)=0
  6. Din a∈(0,π)\displaystyle a\in(0,\pi) rezultă π7+a∈(π7,8π7)\displaystyle \frac{\pi}{7}+a\in\left(\frac{\pi}{7},\frac{8\pi}{7}\right). Singura valoare din acest interval în care sinusul se anulează este π\displaystyle \pi, deci π7+a=π\displaystyle \frac{\pi}{7}+a=\pi.
    π7+a=π\displaystyle \frac{\pi}{7}+a=\pi
  7. Aflăm a=π−π7\displaystyle a=\pi-\frac{\pi}{7}.
    a=6π7\displaystyle a=\frac{6\pi}{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(21mmm11m1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}2&1&m\\ m&m&1\\ 1&m&1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Calculați det⁡(A(1))\displaystyle \det(A(1)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(211111111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1). Observăm că linia a doua și linia a treia sunt identice.
    det⁡(A(1))=∣211111111∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{vmatrix}
  3. Un determinant cu două linii identice este egal cu zero. Verificăm prin calcul cu regula lui Sarrus: suma produselor pe diagonala principală și pe paralelele ei este 2⋅1⋅1+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1=4\displaystyle 2\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1=4, iar suma produselor pe diagonala secundară și pe paralelele ei este 1⋅1⋅1+2⋅1⋅1+1⋅1⋅1=4\displaystyle 1\cdot1\cdot1+2\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1=4. Diferența este 4−4=0\displaystyle 4-4=0.
    det⁡(A(1))=4−4=0\displaystyle \det(A(1))=4-4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(21mmm11m1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}2&1&m\\ m&m&1\\ 1&m&1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul. Deci vom calcula det⁡(A(m))\displaystyle \det(A(m)).
    A(m) inversabila˘⇔det⁡(A(m))≠0\displaystyle A(m)\text{ inversabilă}\Leftrightarrow\det(A(m))\neq 0
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡(A(m))=2∣m1m1∣−1⋅∣m111∣+m∣mm1m∣\displaystyle \det(A(m))=2\begin{vmatrix}m&1\\ m&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}m&1\\ 1&1\end{vmatrix}+m\begin{vmatrix}m&m\\ 1&m\end{vmatrix}.
    det⁡(A(m))=2(m−m)−(m−1)+m(m2−m)\displaystyle \det(A(m))=2(m-m)-(m-1)+m(m^{2}-m)
  3. Efectuăm calculele: primul termen este 0\displaystyle 0, iar restul se desface în m3−m2−m+1\displaystyle m^{3}-m^{2}-m+1.
    det⁡(A(m))=m3−m2−m+1\displaystyle \det(A(m))=m^{3}-m^{2}-m+1
  4. Factorizăm prin grupare: m3−m2−m+1=m2(m−1)−(m−1)=(m−1)(m2−1)\displaystyle m^{3}-m^{2}-m+1=m^{2}(m-1)-(m-1)=(m-1)(m^{2}-1). Apoi m2−1=(m−1)(m+1)\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).
    det⁡(A(m))=(m+1)(m−1)2\displaystyle \det(A(m))=(m+1)(m-1)^{2}
  5. Matricea este inversabilă când (m+1)(m−1)2≠0\displaystyle (m+1)(m-1)^{2}\neq 0. Produsul este nul doar dacă m+1=0\displaystyle m+1=0 sau m−1=0\displaystyle m-1=0, adică m=−1\displaystyle m=-1 sau m=1\displaystyle m=1.
    (m+1)(m−1)2=0⇔m=−1 sau m=1\displaystyle (m+1)(m-1)^{2}=0\Leftrightarrow m=-1\text{ sau }m=1
  6. Prin urmare, A(m)\displaystyle A(m) este inversabilă pentru orice m\displaystyle m real diferit de −1\displaystyle -1 și de 1\displaystyle 1.
    m∈R∖{−1,1}\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(21mmm11m1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}2&1&m\\ m&m&1\\ 1&m&1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Rezolvați ecuația matriceală X⋅A(0)=(210−132)\displaystyle X\cdot A(0)=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&2\end{pmatrix}, unde X∈M2,3(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(210001101)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui A(0)\displaystyle A(0), dezvoltând după prima linie. Determinantul este nenul, deci A(0)\displaystyle A(0) este inversabilă.
    det⁡(A(0))=2⋅(0⋅1−1⋅0)−1⋅(0⋅1−1⋅1)=0+1=1≠0\displaystyle \det(A(0))=2\cdot(0\cdot 1-1\cdot 0)-1\cdot(0\cdot 1-1\cdot 1)=0+1=1\neq 0
  3. Calculăm complemenții algebrici ai elementelor matricei A(0)\displaystyle A(0). Transpusa matricei complemenților algebrici este matricea adjunctă, iar det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1, deci inversa coincide cu adjuncta: (A(0))−1=1det⁡(A(0)) (A(0))∗\displaystyle (A(0))^{-1}=\dfrac{1}{\det(A(0))}\,(A(0))^{*}.
    (A(0))−1=(010−1211−20)T=(0−1112−2010)\displaystyle (A(0))^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&2&1\\1&-2&0\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&2&-2\\0&1&0\end{pmatrix}
  4. Înmulțim ecuația X⋅A(0)=B\displaystyle X\cdot A(0)=B la dreapta cu (A(0))−1\displaystyle (A(0))^{-1}. Deoarece A(0)⋅(A(0))−1=I3\displaystyle A(0)\cdot(A(0))^{-1}=I_3, rezultă X=B⋅(A(0))−1\displaystyle X=B\cdot(A(0))^{-1}, unde B\displaystyle B este matricea din membrul drept.
    X=(210−132)(0−1112−2010)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&2&-2\\0&1&0\end{pmatrix}
  5. Efectuăm produsul, linie cu coloană. Prima linie: 2⋅0+1⋅1+0⋅0=1\displaystyle 2\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 0=1, 2⋅(−1)+1⋅2+0⋅1=0\displaystyle 2\cdot(-1)+1\cdot 2+0\cdot 1=0, 2⋅1+1⋅(−2)+0⋅0=0\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot(-2)+0\cdot 0=0. A doua linie: (−1)⋅0+3⋅1+2⋅0=3\displaystyle (-1)\cdot 0+3\cdot 1+2\cdot 0=3, (−1)⋅(−1)+3⋅2+2⋅1=9\displaystyle (-1)\cdot(-1)+3\cdot 2+2\cdot 1=9, (−1)⋅1+3⋅(−2)+2⋅0=−7\displaystyle (-1)\cdot 1+3\cdot(-2)+2\cdot 0=-7.
    X=(10039−7)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&9&-7\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20.

Arătați că x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}: x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20.
    x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20
  2. Scriem 20=16+4\displaystyle 20=16+4, deoarece 16=4⋅4\displaystyle 16=4\cdot 4 este termenul liber care apare în produsul (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4).
    x∗y=xy−4x−4y+16+4\displaystyle x*y=xy-4x-4y+16+4
  3. Grupăm termenii: din xy−4x\displaystyle xy-4x scoatem factor comun pe x\displaystyle x, iar din −4y+16\displaystyle -4y+16 scoatem factor comun pe −4\displaystyle -4.
    x∗y=x(y−4)−4(y−4)+4\displaystyle x*y=x(y-4)-4(y-4)+4
  4. Scoatem factor comun pe y−4\displaystyle y-4 și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20.

Calculați 1∗2∗3∗…∗2016\displaystyle 1*2*3*\ldots*2016.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că xy−4x−4y+16=(x−4)(y−4)\displaystyle xy-4x-4y+16=(x-4)(y-4), deci legea se scrie x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Calculăm x∗4=(x−4)(4−4)+4=4\displaystyle x*4=(x-4)(4-4)+4=4. La fel, 4∗y=(4−4)(y−4)+4=4\displaystyle 4*y=(4-4)(y-4)+4=4, deci 4\displaystyle 4 este element absorbant.
    x∗4=4∗y=4\displaystyle x*4=4*y=4
  3. Șirul 1,2,3,…,2016\displaystyle 1,2,3,\ldots,2016 conține numărul 4\displaystyle 4. Din asociativitate, putem grupa termenii astfel: 1∗2∗3∗…∗2016=((1∗2∗3)∗4)∗(5∗…∗2016)\displaystyle 1*2*3*\ldots*2016=((1*2*3)*4)*(5*\ldots*2016).
    1∗2∗3∗…∗2016=((1∗2∗3)∗4)∗(5∗…∗2016)\displaystyle 1*2*3*\ldots*2016=((1*2*3)*4)*(5*\ldots*2016)
  4. Notăm a=1∗2∗3∈R\displaystyle a=1*2*3\in\mathbb{R}. Cum 4\displaystyle 4 este element absorbant, a∗4=4\displaystyle a*4=4, deci (1∗2∗3)∗4=4\displaystyle (1*2*3)*4=4.
    (1∗2∗3)∗4=4\displaystyle (1*2*3)*4=4
  5. Notăm b=5∗…∗2016∈R\displaystyle b=5*\ldots*2016\in\mathbb{R}. Expresia devine 4∗b=4\displaystyle 4*b=4, deci 1∗2∗3∗…∗2016=4\displaystyle 1*2*3*\ldots*2016=4.
    1∗2∗3∗…∗2016=4∗(5∗…∗2016)=4\displaystyle 1*2*3*\ldots*2016=4*(5*\ldots*2016)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20.

Determinați numerele naturale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c, știind că a<b<c\displaystyle a<b<c și a∗b∗c=66\displaystyle a*b*c=66.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub o formă factorizată. Observăm că xy−4x−4y+16=(x−4)(y−4)\displaystyle xy-4x-4y+16=(x-4)(y-4), deci x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Calculăm a∗b=(a−4)(b−4)+4\displaystyle a*b=(a-4)(b-4)+4, apoi (a∗b)∗c=((a−4)(b−4)+4−4)(c−4)+4=(a−4)(b−4)(c−4)+4\displaystyle (a*b)*c=\big((a-4)(b-4)+4-4\big)(c-4)+4=(a-4)(b-4)(c-4)+4. Din a∗b∗c=66\displaystyle a*b*c=66 obținem (a−4)(b−4)(c−4)=62\displaystyle (a-4)(b-4)(c-4)=62.
    (a−4)(b−4)(c−4)=62\displaystyle (a-4)(b-4)(c-4)=62
  3. Descompunem 62=2⋅31\displaystyle 62=2\cdot 31. Numerele a−4\displaystyle a-4, b−4\displaystyle b-4, c−4\displaystyle c-4 sunt întregi, distincte și strict crescătoare, pentru că a<b<c\displaystyle a<b<c. Produsul lor este pozitiv, deci ori toți trei sunt pozitivi, ori doi sunt negativi și unul pozitiv. Factorii negativi divid 62 și, cum a−4≥−4\displaystyle a-4\ge -4, pot fi doar −1\displaystyle -1 și −2\displaystyle -2. Factorii pozitivi pot fi 1,2,31,62\displaystyle 1,2,31,62.
    62=2⋅31\displaystyle 62=2\cdot 31,a−4<b−4<c−4\displaystyle \quad a-4<b-4<c-4
  4. Cazul cu doi factori negativi: singura posibilitate crescătoare este −2,−1,31\displaystyle -2,-1,31, deoarece (−2)⋅(−1)⋅31=62\displaystyle (-2)\cdot(-1)\cdot 31=62. Adunăm 4\displaystyle 4 la fiecare factor și obținem prima soluție.
    {a−4=−2b−4=−1c−4=31⇔{a=2b=3c=35\displaystyle \begin{cases}a-4=-2\\b-4=-1\\c-4=31\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=2\\b=3\\c=35\end{cases}
  5. Cazul cu toți factorii pozitivi: trei factori distincți cu produsul 62 sunt doar 1,2,31\displaystyle 1,2,31, deoarece 1⋅2⋅31=62\displaystyle 1\cdot 2\cdot 31=62. Adunăm 4\displaystyle 4 la fiecare factor. Concluzie: triplele de numere naturale cu a<b<c\displaystyle a<b<c sunt (2,3,35)\displaystyle (2,3,35) și (5,6,35)\displaystyle (5,6,35).
    {a−4=1b−4=2c−4=31⇔{a=5b=6c=35; deci (a,b,c)∈{(2,3,35),(5,6,35)}\displaystyle \begin{cases}a-4=1\\b-4=2\\c-4=31\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=5\\b=6\\c=35\end{cases}\text{; deci }(a,b,c)\in\{(2,3,35),(5,6,35)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1,0}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}\to\mathbb{R}, f(x)=1x(x+1)\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x+1)}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=l\displaystyle y=l, unde l=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă această limită este un număr real. Calculăm limita.
    l=lim⁡x→+∞1x(x+1)\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x(x+1)}
  2. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, atât x\displaystyle x, cât și x+1\displaystyle x+1 tind la +∞\displaystyle +\infty, deci numitorul x(x+1)→+∞\displaystyle x(x+1)\to+\infty. O fracție cu numărătorul 1\displaystyle 1 și numitorul care tinde la +∞\displaystyle +\infty are limita 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞1x(x+1)=1+∞=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{+\infty}=0
  3. Limita este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1,0}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}\to\mathbb{R}, f(x)=1x(x+1)\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x+1)}.

Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției f\displaystyle f, în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu axa absciselor.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta este paralelă cu axa absciselor când panta ei este zero, adică f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Scriem funcția ca f(x)=1x2+x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+x}.
    f(x)=1x2+x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+x}
  2. Derivăm folosind formula (1u)′=−u′u2\displaystyle \left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^{2}}, cu u=x2+x\displaystyle u=x^{2}+x, deci u′=2x+1\displaystyle u'=2x+1.
    f′(x)=−2x+1(x2+x)2=−2x+1x2(x+1)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2x+1}{(x^{2}+x)^{2}}=-\dfrac{2x+1}{x^{2}(x+1)^{2}}
  3. Punem condiția f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0.
    f′(x)=0⇔−2x+1x2(x+1)2=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow-\dfrac{2x+1}{x^{2}(x+1)^{2}}=0
  4. O fracție este nulă când numărătorul este zero, iar numitorul este nenul, ceea ce este adevărat pe domeniu (x≠0\displaystyle x\neq 0 și x≠−1\displaystyle x\neq -1). Rezolvăm 2x+1=0\displaystyle 2x+1=0.
    x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}
  5. Calculăm ordonata: x(x+1)=−12⋅12=−14\displaystyle x(x+1)=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}, deci f(−12)=1−14=−4\displaystyle f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{-\frac{1}{4}}=-4. Punctul căutat este (−12,−4)\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2},-4\right).
    x=−12 și y=−4\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}\text{ și }y=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1,0}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}\to\mathbb{R}, f(x)=1x(x+1)\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x+1)}.

Calculați lim⁡n→+∞(f(1)+f(2)+…+f(n))n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(f(1)+f(2)+\ldots+f(n)\right)^n.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem fracția: pentru orice k∈N∗\displaystyle k\in\mathbb{N}^* avem f(k)=1k(k+1)=1k−1k+1\displaystyle f(k)=\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}.
    f(k)=1k−1k+1\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}
  2. Scriem suma Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)\displaystyle S_n=f(1)+f(2)+\ldots+f(n) cu descompunerea de mai sus: Sn=1−12+12−13+…+1n−1n+1\displaystyle S_n=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}. Termenii intermediari se reduc doi câte doi, rămân doar primul și ultimul.
    Sn=1−1n+1\displaystyle S_n=1-\frac{1}{n+1}
  3. Înlocuim suma în limită: lim⁡n→+∞(1−1n+1)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^n. Baza tinde la 1\displaystyle 1, iar exponentul tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci avem un caz de nedeterminare 1∞\displaystyle 1^\infty.
    lim⁡n→+∞(1−1n+1)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n
  4. Aplicăm limita lim⁡n→+∞(1+an)1/an=e\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(1+a_n)^{1/a_n}=e pentru an→0\displaystyle a_n\to 0, cu an=−1n+1\displaystyle a_n=-\dfrac{1}{n+1}. Scriem (1−1n+1)n=[(1−1n+1)−(n+1)]−nn+1\displaystyle \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^n=\left[\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)}\right]^{-\frac{n}{n+1}}.
    [(1−1n+1)−(n+1)]−nn+1\displaystyle \left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)}\right]^{-\frac{n}{n+1}}
  5. Paranteza pătrată tinde la e\displaystyle e, iar exponentul −nn+1\displaystyle -\dfrac{n}{n+1} tinde la −1\displaystyle -1. Deci limita este e−1=1e\displaystyle e^{-1}=\dfrac{1}{e}.
    1e\displaystyle \frac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}.

Calculați ∫241ln⁡xf(x) dx\displaystyle \int_2^4\frac{1}{\ln x}f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x} în integrală: ∫241ln⁡x⋅ln⁡xx dx\displaystyle \displaystyle\int_2^4\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{\ln x}{x}\,dx.
    ∫241ln⁡x⋅ln⁡xx dx\displaystyle \int_2^4\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{\ln x}{x}\,dx
  2. Pe [2,4]\displaystyle [2,4] avem x>1\displaystyle x>1, deci ln⁡x>0\displaystyle \ln x>0 și putem simplifica ln⁡x\displaystyle \ln x. Rămâne ∫241x dx\displaystyle \displaystyle\int_2^4\frac{1}{x}\,dx.
    ∫241x dx\displaystyle \int_2^4\frac{1}{x}\,dx
  3. O primitivă a lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ln⁡x∣24=ln⁡4−ln⁡2\displaystyle \ln x\Big|_2^4=\ln 4-\ln 2.
    ln⁡x∣24=ln⁡4−ln⁡2\displaystyle \ln x\Big|_2^4=\ln 4-\ln 2
  4. Folosim ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 4=2\ln 2, deci ln⁡4−ln⁡2=2ln⁡2−ln⁡2=ln⁡2\displaystyle \ln 4-\ln 2=2\ln 2-\ln 2=\ln 2. Aceasta este valoarea integralei.
    ln⁡4−ln⁡2=2ln⁡2−ln⁡2=ln⁡2\displaystyle \ln 4-\ln 2=2\ln 2-\ln 2=\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}.

Arătați că ∫1ef(x)xdx=1−2e\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)}{x}dx=1-\frac{2}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x} în integrală și obținem f(x)x=ln⁡xx2\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\ln x}{x^{2}}.
    ∫1ef(x)x dx=∫1eln⁡xx2 dx\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^e\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx
  2. Pregătim integrarea prin părți: derivata lui −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} este 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}, deci scriem integrala ca ∫1e(−1x)′ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(-\dfrac{1}{x}\right)'\ln x\,dx.
    ∫1eln⁡xx2 dx=∫1e(−1x)′ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx=\int_1^e\left(-\frac{1}{x}\right)'\ln x\,dx
  3. Aplicăm formula ∫abu′v dx=uv∣ab−∫abuv′ dx\displaystyle \int_a^b u'v\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b uv'\,dx cu u=−1x\displaystyle u=-\dfrac{1}{x} și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x, unde v′=1x\displaystyle v'=\dfrac{1}{x}. Avem −∫1e(−1x)⋅1x dx=+∫1e1x2 dx\displaystyle -\int_1^e\left(-\dfrac{1}{x}\right)\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=+\int_1^e\dfrac{1}{x^{2}}\,dx.
    −1xln⁡x∣1e+∫1e1x2 dx\displaystyle -\frac{1}{x}\ln x\Big|_1^e+\int_1^e\frac{1}{x^{2}}\,dx
  4. Calculăm primul termen: la x=e\displaystyle x=e avem −1eln⁡e=−1e\displaystyle -\dfrac{1}{e}\ln e=-\dfrac{1}{e}, iar la x=1\displaystyle x=1 avem −ln⁡1=0\displaystyle -\ln 1=0.
    −1xln⁡x∣1e=−1e−0=−1e\displaystyle -\frac{1}{x}\ln x\Big|_1^e=-\frac{1}{e}-0=-\frac{1}{e}
  5. Pentru a doua integrală, o primitivă a lui 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} este −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}, deci ∫1e1x2 dx=−1x∣1e=−1e+1\displaystyle \int_1^e\dfrac{1}{x^{2}}\,dx=-\dfrac{1}{x}\Big|_1^e=-\dfrac{1}{e}+1.
    ∫1e1x2 dx=−1e+1\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{e}+1
  6. Adunăm cele două rezultate: −1e+(1−1e)=1−2e\displaystyle -\dfrac{1}{e}+\left(1-\dfrac{1}{e}\right)=1-\dfrac{2}{e}.
    −1e+1−1e=1−2e\displaystyle -\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}.

Demonstrați că lim⁡n→+∞∫1ef(x)xndx=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_1^e\frac{f(x)}{x^n}dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul explicit: f(x)xn=ln⁡xx⋅xn\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^n}=\dfrac{\ln x}{x\cdot x^n}.
    f(x)xn=ln⁡xxn+1\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^n}=\dfrac{\ln x}{x^{n+1}}
  2. Pentru x∈[1,e]\displaystyle x\in[1,e] avem 0≤ln⁡x≤1\displaystyle 0\leq\ln x\leq 1, iar xn+1>0\displaystyle x^{n+1}>0. Împărțind la xn+1\displaystyle x^{n+1} obținem o încadrare a integrandului.
    0≤ln⁡xxn+1≤1xn+1\displaystyle 0\leq\dfrac{\ln x}{x^{n+1}}\leq\dfrac{1}{x^{n+1}}
  3. Integrăm inegalitatea pe [1,e]\displaystyle [1,e]; sensul inegalităților se păstrează.
    0≤∫1eln⁡xxn+1dx≤∫1e1xn+1dx\displaystyle 0\leq\int_1^e\dfrac{\ln x}{x^{n+1}}dx\leq\int_1^e\dfrac{1}{x^{n+1}}dx
  4. Calculăm integrala din dreapta: o primitivă a lui x−n−1\displaystyle x^{-n-1} este −1n⋅1xn\displaystyle -\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{x^{n}}, deci ∫1e1xn+1dx=−1n⋅1xn∣1e\displaystyle \int_1^e\dfrac{1}{x^{n+1}}dx=-\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{x^n}\Big|_1^e.
    ∫1e1xn+1dx=−1n(1en−1)\displaystyle \int_1^e\dfrac{1}{x^{n+1}}dx=-\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{e^n}-1\right)
  5. Avem lim⁡n→+∞1en=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{e^n}=0, deci paranteza tinde la −1\displaystyle -1, iar 1n→0\displaystyle \dfrac{1}{n}\to 0. Așadar limita membrului drept este 0\displaystyle 0. Din criteriul cleștelui rezultă concluzia.
    lim⁡n→+∞(−1n(1en−1))=0⇒lim⁡n→+∞∫1ef(x)xndx=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{e^n}-1\right)\right)=0\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}\int_1^e\dfrac{f(x)}{x^n}dx=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.